第06讲 有理数的加法（思维导图+新课指引+3知识点+10考点+过关检测）-2025年小升初数学无忧衔接（通用版）

第06讲 有理数的加法 1.理解有理数加法的意义，掌握有理数加法法则，正确进行有理数加法运算； 2.理解有理数加法运算律，并能运用运算律简化运算； 3.经历探索有理数加法法则的过程，理解有理数加法法则的会理性； 4.感知数学知识源于生活，并应用于生活，渗透“化归”等数学思想。 【新课指引】 【思考 1】一间 0℃ 冷藏室连续两次改变温度： 第一次改变温度 第二次改变温度 两次变化后温度上升情况 上升 5°℃ 再上升 3°℃ 下降 5°℃ 再下降 3°℃ 下降 5°℃ 再上升 3°℃ 下降 3°℃ 再上升 5°C 下降 3°℃ 再上升 3°C 注意: 1)上升:下降 5℃，即上升-5℃;下降3C，即上升-3℃℃； 2)共:对连续两次温度变化进行求和； 3)可借助温度计(或数轴)理解。 知识点一 有理数的加法法则 有理数加法运算法则： 1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加. 即:若a＞0，b＞0，则；若a＜0，b＜0，则. 2）绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值. 即：若a＞0，b＜0，|a|＞|b|，则;若a＞0，b＜0，|a|＜|b|，则. 3）互为相反数的两个数相加和为0.即：若a＞0，b＜0，|a|=|b|，则a+b=0. 4）一个数与0相加，仍得这个数.即：a+0=a. 【注意】①一个有理数由符号和绝对值两部分组成，所以进行加法运算时，要先确定符号，后确定绝对值 ②当后一个加数为负数时，这个负数必须用括号括起来，即两个符号要用括号隔开，如2+(-1)中-1必须用括号括起来，不要写成2+ -1这样的形式. 有理数加法的运算步骤（“一判二定三加减"）： 第一步：判断加法的类型并根据加法的类型确定使用哪一个法则； 第二步：根据加数绝对值的大小及加数的符号确定和的符号； 第三步：对绝对值进行加或减，确定和的绝对值. 1．（2025·陕西西安·三模）计算：（　　） A．9 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查有理数的加法，根据绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值解题． 【详解】解：， 故选：D． 2．（2025·吉林长春·二模）下面给出的四个数，使式子的结果为正数的是（　　） A． B．0 C．1 D．3 【答案】D 【分析】本题主要考查了有理数加法运算、正负数等知识，熟练掌握有理数加法法则是解题关键．根据有理数加法法则以及负数的定义，逐项分析判断即可． 【详解】解：A.，故本选项不符合题意； B. ，故本选项不符合题意； C. ，故本选项不符合题意； D. ，本选项符合题意． 故选：D． 3．（2025·山西晋中·二模）某地一天早晨的气温是，中午气温上升了，则中午的气温是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了有理数加法的实际应用，掌握理解题意是解题的关键． 根据有理数的加法计算即可． 【详解】解：由题意得：， 故选：B． 4．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）x的相反数是2，，则（    ） A．或1 B．5或 C．1 D． 【答案】A 【分析】此题考查了代数式求值的知识，涉及了相反数及绝对值的知识，属于基础题，注意本题有两个解，不要遗漏． 先根据相反数及绝对值的知识求出和，然后代入求解即可． 【详解】解：∵的相反数是， ， 故或． 故选：A． 知识点二 加法运算律 文字描述 字母表示 加法交换律 两个数相加，交换加数的位置，和不变. 加法结合律 三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变. 注意：运用加法交换律交换加数的位置时，一定要带着性质符号一起交换. 1．（24-25七年级上·河北石家庄·期末）小明同学在解题时，将式子变成后再进行计算，该同学运用了（   ） A．加法交换律 B．加法结合律 C．加法交换律和结合律 D．乘法分配律 【答案】C 【分析】本题考查了加法的交换律和结合律，熟练掌握相关定义是关键．根据加法的结合律和交换律的定义解答即可．加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变；加法的结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变． 【详解】解：根据小明的解题过程，应用了加法交换律和结合律． 故选：． 2．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）下列交换加数位置的变形，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查加法交换律，根据加法交换律逐一进行判断即可． 【详解】解：A、，原选项变形错误，不符合题意； B、，原选项变形错误，不符合题意； C、，原选项变形正确，符合题意； D、，原选项变形错误，不符合题意； 故选C． 3．（2024七年级上·全国·专题练习）计算：（    ） A．15 B． C．3 D． 【答案】A 【分析】本题考查有理数的加法，加法运算律，先将两个同分母的数相加，可以简便计算，据此即可解答． 【详解】解：． 故选：A 4．（2024七年级上·全国·专题练习）计算：的结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查有理数加法运算，涉及加法运算律，先由有理数加法交换律及结合律恒等变形，再由有理数加法运算法则求解即可得到答案． 【详解】解： ， 故答案为：． 5．（24-25七年级上·广东汕头·阶段练习）计算： 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的加减混合运算，首先根据减去一个数等于加上这个数的相反数，把加减混合运算转化为有理数的加法运算，把小数转化为分数，再利用加法交换律和结合律，把分母相同的数结合在一起，可得：原式，利用有理数的加法法则进行计算即可． 【详解】解： 考点一： 有理数的加法概念理解 1．（22-23七年级上·湖北宜昌·期中）如果，且．则下列说法中可能成立的是（ ） A．a、b为正数，c为负数 B．a、c为正数，b为负数 C．b、c为正数，a为负数 D．a、c为正数，b为0 【答案】A 【分析】本题主要考查的是有理数的加法，绝对值的意义，根据有理数的加法，一对相反数的和为，可得、、中至少有一个为正数，至少有一个为负数，又，那么，进而得出可能存在的情况，掌握有理数的加法法则是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴、、中至少有一个为正数，至少有一个为负数， ∵， ∴， ∴可能、为正数，为负数；也可能、为负数，为正数． 故选：A． 3．（24-25七年级上·内蒙古呼伦贝尔·阶段练习）如果两数相加的和小于每一个加数，那么下列判断正确的是（   ） A．这两个加数一定有一个数是0 B．这两个加数一定都是负数 C．这两个加数一正一负 D．这两个加数的符号不能确定 【答案】B 【分析】本题主要考查了有理数加法中的符号问题， 根据负数的特点结合有理数加法法则即可得出答案． 【详解】解∶只有两个负数相加和才小于这两个加数． 故选：B． 3．（24-25六年级上·上海杨浦·期中）下列说法中正确的是（    ） A．如果两个数的和为负数，那么这两个数一正一负，且负数的绝对值较大； B．如果两个数的差为正数，那么这两个数一定都为正数； C．如果两个负数相加，那么它们的和一定小于每一个加数： D．如果两个有理数相加，那么它们的和一定大于每一个加数． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的加减法法则，绝对值，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据有理数的加减法法则，绝对值的定义逐项分析即可得选出正确结果． 【详解】解：A.两个负数相加，和也为负数，故选项错误． B.一个绝对值小的负数减去一个绝对值大的负数，和也为正数，故选项错误． C. 如果两个负数相加，那么它们的和一定小于每一个加数，故选项正确． D. 一个正数和一个负数相加，它们的和小于正数，故选项错误． 故选：C 1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加. 2）绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值. 3）互为相反数的两个数相加和为0.即：若a＞0，b＜0，|a|=|b|，则a+b=0. 4）一个数与0相加，仍得这个数.即：a+0=a. 1．（24-25七年级上·江苏盐城·阶段练习）下列说法正确的个数有：①两个有理数相加，它们的和一定大于每一个加数；②一个正数与一个负数相加一定得0；③绝对值是它本身的数是非负数；④表示的数一定是负数． A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的加法及绝对值，解决本题的关键是熟记有理数的加法及绝对值的性质．根据有理数的加法及绝对值的性质即可解答． 【详解】解：①，和2不大于加数3， ①是错误的； 从上式还可看出一个正数与一个负数相加不一定得0， ②是错误的． 绝对值是它本身的数是0和正数，即是非负数， ③是正确的； 表示的数可以是负数，也可以是0或正数， ④是错误的； 综上所述：正确的是③，共1个． 故选：C 2．（23-24七年级上·江苏宿迁·期末）若两个数在数轴上对应的点分别在原点的两侧，则这两个数相加所得的和（    ） A．一定是正数 B．一定是负数 C．一定是0 D．以上都不对 【答案】D 【分析】本题主要考查了有理数的加法法则，数轴的定义，根据两个有理数在数轴上的对应点分别在原点的两侧，可知这两个数一正一负，则这两个数相加有可能是正数， 也有可能是负数，也有可能是0． 【详解】解：∵两个有理数在数轴上的对应点分别在原点的两侧， ∴这两个数一正一负， ∴这两个数相加有可能是正数， 也有可能是负数，也有可能是0． 故选：D． 3．（24-25六年级上·山东东营·期末）下说法正确的是（   ） A．有理数的绝对值为正数 B．如果两数之和为0，则这两个数的绝对值相等 C．两个有理数相加，和一定大于每一个加数 D．任何数都有倒数 【答案】B 【分析】此题考查了绝对值，倒数，以及加法，熟练掌握各自的定义是解本题的关键． 利用绝对值，相反数，以及倒数的定义计算即可得到结果． 【详解】解：A、有理数的绝对值不一定为正数，例如，故选项错误，不符合题意； B、如果两数之和为 0，即两数互为相反数，则这两个数的绝对值相等，故选项正确，符合题意； C、两个有理数相加，和不一定大于每一个加数，故选项错误，不符合题意； D、除 0 外的数有倒数，故选项错误，不符合题意； 故选：B． 4．（22-23七年级上·全国·课后作业）下列说法中，正确的是(　　) A．同号两个数相加的和，一定是正数B．同号两个数相加的和，一定不是0 C．异号两个数相加的和，一定是负数D．异号两个数相加的和，一定是0 【答案】B 【分析】逐一进行分析即可． 【详解】同号两数相加，取相同的符号；绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号． A中，同号两个数相加的和，不一定是正数，也可能是负数，故错误； B中，同号两个数相加的和，一定不是0，故正确； C中，异号两个数相加的和，不一定是负数，也可能是正数，也可能是0，故错误； D中，异号两个数相加的和，不一定是负数，也可能是正数，也可能是0，故错误； 故选：B． 【点睛】本题主要考查有理数加法的有关结论，掌握有理数加法的运算法则是解题的关键． 5．（22-23七年级上·全国·课后作业）下列叙述正确的是(　　) A．两个有理数的和一定大于每一个加数 B．两数相加，只需把两个数的绝对值相加 C．符号相反的两个数相加，结果为零 D．异号两数相加，如果正数的绝对值大，那么和为正数，如果负数的绝对值大，那么和为负数 【答案】D 【分析】根据有理数加法法则：①同号相加，取相同符号，并把绝对值相加．②绝对值不等的异号加减，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．依此即可作出判断． 【详解】A项错误，反例：5＋(－3)＝2，但2<5； B项错误，反例：－5＋(－3)＝－8，但|－5|＋|－3|＝8，而8≠－8； C项错误，－5＋(＋3)＝－2，结果不是零． D项正确. 【点睛】考查了有理数的加法，在进行有理数加法运算时，首先判断两个加数的符号：是同号还是异号，是否有0．从而确定用那一条法则．在应用过程中，要牢记“先符号，后绝对值”． 考点二： 有理数的加法运算 1．（24-25七年级上·山东聊城·阶段练习）计算：（1） ； （2） ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的加法运算，根据有理数的加法法则求解即可． 【详解】解：（1）； （2）； 故答案为：，． 2．（24-25七年级上·贵州遵义·期中）下列不能表示3与的和的式子是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了有理数加法运算．根据题意列出算式并结合有理数加法运算法则，逐项分析判断即可． 【详解】解：A、，能表示3与的和，故本选项不符合题意； B、，能表示3与的和，故本选项不符合题意； C、，能表示3与的和，故本选项不符合题意； D、，只表示的是4和的和，不能表示3与的和，故本选项符合题意． 故选：D． 3．（24-25七年级上·重庆酉阳·期中）我国是最早认识负数并进行相关运算的国家，魏晋时期的数学家刘徽在其著作《九章算术注》中，用不同颜色的算簿（小棍形状的记数工具）分别表示正数和负数，如图①表示的是的运算过程．按照这种方法，图②中表示的算式是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正数和负数，有理数的加法运算，解题关键能够类比题干中的信息从而解决问题．观察图①发现上半部分是白色的表示负数，黑色的表示正数，即可得出图2表示的算式． 【详解】解：按照这种方法，图②中表示的算式是， 故选：C． 4．（24-25七年级上·山西晋中·期中）如果，且a，b异号，则的值为（   ） A． B． C． D．5 【答案】B 【分析】本题考查了绝对值的意义，有理数加法运算．根据，，可得、的值，根据、异号，分类讨论，从而可以求得． 【详解】解：，，、异号， ∴，或，， ∴或． 故选：B． 第一步：判断加法的类型并根据加法的类型确定使用哪一个法则； 第二步：根据加数绝对值的大小及加数的符号确定和的符号； 第三步：对绝对值进行加或减，确定和的绝对值. 1．（24-25七年级上·安徽宣城·期中）下列各式的结果，符号为正的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的加法运算，掌握有理数的加法法则是解题的关键．根据有理数的加法逐项计算进而即可求得答案． 【详解】解：A． 是负数，故该选项不符合题意， B． ，不是正数，故该选项不符合题意， C． ，是正数，故该选项符合题意， D． ，不是正数，故该选项不符合题意． 故选C． 2．（24-25七年级上·甘肃平凉·期中）若，，则等于（   ） A．2 B．8 C．2或8 D．或 【答案】C 【分析】本题考查绝对值的意义，有理数的加法，利用分类讨论思想解题是关键． 由绝对值的意义求得a，b的值，然后代入求解． 【详解】解：∵，， ∴，， 当，时，， 当，时，， 当，时，， 当，时，， 综上，等于2或8， 故选：C． 3．（24-25七年级上·河南安阳·期中）数轴上在和之间的所有整数的和为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了数轴上的有理数的特点，有理数的加法运算．找出和两点之间的整数，然后计算它们的和，即可解题． 【详解】解：数轴上在和之间的所有整数为，，，，，， 则所有整数的和为， 故答案为：3． 4．（2024七年级上·全国·专题练习）计算下列各题： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了有理数加法运算，掌握有理数加法的运算法则是解题的关键． （1）根据有理数加法法则进行运算即可． （2）根据有理数加法法则进行运算即可． （3）根据有理数加法法则进行运算即可． （4）根据有理数加法法则进行运算即可． 【详解】（1）解：． （2） ． （3） ． （4） ． 考点三： 有理数的加法运算律 1．（2024七年级上·全国·专题练习）计算，这个运算应用了（　　） A．加法交换律 B．加法结合律 C．加法交换律和结合律 D．以上均不对 【答案】C 【分析】本题考查了加法运算律，解题关键是掌握加法交换律、加法结合律．根据加法交换律和加法结合律进行分析，即可得到答案． 【详解】解：，这个运算应用了加法交换律和结合律， 故选：C． 2．（2024七年级上·全国·专题练习）在计算时，■中可以填入的使该题用简便方法进行计算的数值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的加法，能灵活运用法则进行计算是解此题的关键．根据有理数的加法法则逐个判断即可． 【详解】解：观察分母，在计算时，中选可以使该题可以用简便方法， ， 而其它数都不能用简便方法， 故选：D． 3．（2024七年级上·全国·专题练习）下列算式中，没有运用加法交换律的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查加法交换律，熟记加法交换律的定义逐项判断是解决问题的关键． 【详解】解：A、B、D三个选项中的运算运用了加法交换律，C选项中的运算没有运用加法交换律， 故选：C． 在有理数的加法运算中，灵活运用运算律可简化运算过程，通常有以下方法技巧:(1)相反数结合法;(2)同号结合法;(3)同分母分数结合法;(4)凑整法;(5)同形结合法.做题时，要根据加数的特点灵活选择. 1．（24-25七年级上·山西太原·阶段练习）计算时，下列处理方式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查加法运算律，根据加法交换律和结合律进行解答即可． 【详解】解： ， 故选：A． 2．（24-25七年级上·湖南衡阳·阶段练习）若a、b互为相反数，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的加法计算，相反数的定义，根据互为相反数的两个数的和为0得到，再根据有理数加法计算法则求解即可． 【详解】解：∵a、b互为相反数， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（23-24七年级上·全国·课堂例题）已知，则 ． 【答案】1 【分析】由题意知，，代值求解即可． 【详解】解：由题意知，， 故答案为：1． 【点睛】本题考查了有理数的加法运算律，代数式求值．解题的关键在于对知识的熟练掌握与正确运算． 4．（24-25七年级上·全国·课后作业）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的加法，利用有理数加法的交换律和结合律计算即可． 【详解】解：原式 ． 考点四： 巧用拆项法进行有理数的加法运算 1．（23-24七年级上·重庆·阶段练习）用简便方法计算： ． 【答案】 【分析】原式变形后，计算即可得到结果． 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 【点睛】此题考查了有理数的加法，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 2．（23-24七年级上·宁夏吴忠·阶段练习）阅读：对于，可以按如下方法计算： 原式 ． 上面这种方法叫拆项法． 仿照上面的方法，请你计算：． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的加法计算，正确理解例题的解题方法并仿照解决问题是解题的关键．根据例题方法将各带分数拆解，将整数和分数分别相加，再计算加法即可． 【详解】解： ． ：即把一项或一个数拆分开，拆项后重新相加或错位相加，使本来采用常规方法不易解决或不能解决的计算或比较大小类问题变得容易解决或能解决. 1．（2024七年级上·全国·专题练习）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的加法运算；把整数与整数部分、分数与分数部分分别加在一起，然后把每个分数分别拆成两个分数相减的形式，通过分数的加减，相互抵消，求出结果． 【详解】解：原式 ． 2．（2024七年级上·全国·专题练习）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的加法运算，先拆项，然后利用加法交换律和结合律计算即可． 【详解】 ． 3．（2024七年级上·全国·专题练习）阅读第①小题的计算方法，再计算第②小题． ① 解：原式 ． 上述这种方法叫作拆项法．灵活运用加法的交换律、结合律可使运算简便． ②仿照上面的方法计算：． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的加法交换律及结合律，熟练掌握有理数的加法交换律及结合律是解题的关键，把变形为，再利用有理数的加法法则求解即可． 【详解】解：原式 ． 考点五： 有理数加法中的规律问题 1．（24-25七年级上·广东汕尾·阶段练习）一跳蚤在一直线上从点O开始，第1次向右跳1个单位长度，紧接着第2次向左跳2个单位长度，第3次向右跳3个单位长度，第4次向左跳4个单位长度……依此规律跳下去，当它跳第100次落下时，落点处离原点O的距离是  （     ） A．49个单位长度 B．50个单位长度 C．51个单位长度 D．52个单位长度 【答案】B 【分析】本题考查有理数加法的应用，根据题意，可以写出前几次落点可以用哪些数字表示，从而可以发现数字的变化特点，从而可以得到当它跳第100次落下时，落点处离点O的距离是多少个单位长度，是解决问题的关键． 【详解】解：设向右为正，向左为负，由题意得， ， 故当它跳第100次落下时，落点处在点O的距离是50个单位长度， 故选：B． 2．（23-24七年级上·河南安阳·阶段练习）一电子蟋蟀落在数轴上的点处，第一步从向左跳一个单位到，第二步从向右跳2个单位到，第三步由向左跳3个单位到，第四步由向右跳4个单位到，……，按以上规律跳了2024步后，电子蟋蟀落在数轴上的点表示的数是0，则点表示的数是（    ） A．0 B．1012 C． D． 【答案】C 【分析】根据题意写出数字并总结出变化规律，然后计算即可得到答案． 【详解】解：根据题意可知： …… 当时， ， ∴，故选：C． 故选：C． 【点睛】本题考查了有理数的加法，掌握相关知识，找到数字的变化规律，同时注意解题中需注意的相关事项是本题的解题关键． 3．（24-25七年级上·湖南衡阳·期中）一只跳蚤在数轴上从原点开始，第1次向右跳2个单位长度，第2次向左跳4个单位长度，第3次向右跳6个单位长度，第4次向左跳8个单位长度，…依此规律跳下去，当它第2024次落下时，落点表示的数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了数轴与图形的变化规律，数轴上点的移动规律是“左减右加”，在学习的过程中培养数形结合的思维是解题的关键．数轴上点的移动规律是“左减右加”，依据规律计算即可． 【详解】解：设向右为正，向左为负， 则由题意得， ， 故答案为：． 1．（21-22七年级上·山东日照·阶段练习）一跳蚤在一直线上从O点开始，第1次向右跳1个单位，紧接着第2次向左跳2个单位，第3次向右跳3个单位，第4次向左跳4个单位…，依此规律跳下去，当它跳第2000次落下时，落点处位于O点的（    ） A．右侧500个单位 B．左侧500个单位 C．右侧1000个单位 D．左侧1000个单位 【答案】D 【分析】设从点O向右为正，向左为负．根据正负数的意义列出式子计算即可． 【详解】解：设从点O向右为正，向左为负， 由题意得最后的位置标示的数即为：， 观察可以发现，，，， ∴， ∴此时跳蚤在原点左侧1000个单位， 故选D． 【点睛】此题主要考查有理数加法在实际生活中的应用，解答本题的关键是会用正负数来表示一对具有相反意义的量．同时在计算的过程中，能正确找到规律． 2．（20-21七年级上·江西上饶·期中）把所有正整数从小到大排列，并按如下规律分组： （1），(2， 3， 4)，(5，6，7，8，9)，(10， 11，12， 13， 14， 15， 16)，…，现用等式 AM=(i，j)表示正整数 M 是第i 组第 j 个数(从左往右数)，如A8=(3，4)，则A2020=( ) A．(44，81) B．(44，82) C．(45，83) D．(45，84) 【答案】D 【分析】根据排列规律，先判断2020在第几组，再判断是这一组的第几个数即可求解； 【详解】设2020在第n组，组与组之间的数字个数规律可以表示为：2n-1 则1+3+5+7++(2n-1)=×2n×n=， 当n=44时， ， 当n=45时，， ∴ 2020在第45组，且2020-1936=84，即2020为第45组的第84个数； 故选：D． 【点睛】本题考查数字类的规律探究、有理数的加法运算，善用联想探究数字规律是解决此类问题的常用方法； 3．（2019七年级上·全国·专题练习）小明同学在上楼梯时发现，若只有一个台阶时，有一种走法；若有两个台阶时，可以一阶一阶地上，或者一步上两个台阶，共有2种走法；如果他一步只能上一个或者两个台阶，根据上述规律，有三个台阶时，他有3种走法，那么有四个台阶时，共有走法（    ） A．3种 B．4种 C．5种 D．6种 【答案】C 【分析】根据题意可知：当有四个台阶时，可分情况讨论：①逐级上，那么有一种走法；②上一个台阶和上二个台阶合用，那么有共三种走法；③一步走两个台阶，只有一种走法；所以可求得有五种走法．注意分类讨论思想的应用． 【详解】当有四个台阶时，可分情况讨论： ①逐级上，那么有一种走法； ②上一个台阶和上二个台阶合用，那么有： 　1、1、2；1、2、1；2、1、1； 共三种走法； ③一步走两个台阶，只有一种走法：2、2； 综上可知：共5种走法． 故选C． 【点睛】本题属规律性题目，解答此题的关键是根据所给的条件，列举出可能走的方法解答． 4．（23-24七年级上·浙江台州·阶段练习）观察下面的几个算式： 1＋2＋1＝4＝2×2；1＋2＋3＋2＋1＝9＝3×3； 1＋2＋3＋4＋3＋2＋1＝16＝4×4；． 根据上面几道题的规律，计算下面的题： 1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1的值为 【答案】81 【分析】先找题上几个算式的规律，1＋2＋1＝4＝2×2，前面加数最中间是2，则答案是2×2； 1＋2＋3＋2＋1＝9＝3×3，前面加数最中间是3，则答案是3×3；1＋2＋3＋4＋3＋2＋1＝16＝4×4，前面加数最中间是4，则答案是4×4；,前面加数最中间是5，则答案是5×5；由此推出规律计算即可. 【详解】先找题上几个算式的规律，1＋2＋1＝4＝2×2，前面加数最中间是2，则答案是2×2； 1＋2＋3＋2＋1＝9＝3×3，前面加数最中间是3，则答案是3×3；1＋2＋3＋4＋3＋2＋1＝16＝4×4，前面加数最中间是4，则答案是4×4；,前面加数最中间是5，则答案是5×5；则1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1，最中间加数是9，则答案是9×9=81，故答案为81. 【点睛】本题主要是对有理数规律问题的考查，准确找到规律并计算是解决本题的关键. 5．（24-25七年级上·河南南阳·期中）如图，你能由此得出计算规律吗？ (1)（____）； (2)由此猜测：______； (3)由（2）的结论求下列式子的值： ①______； ②______； ③______． 【答案】(1)6 (2) (3)①；②；③ 【分析】本题考查了有理数的加法，解题的关键是读懂题意能发现规律，利用规律解答． （1）根据题意发现规律，利用规律解答； （2）根据题意发现规律，利用规律解答； （3）①，再根据（2）的结论求解即可； ②，结合①的结果和（2）的结论求解即可； ③，再根据（2）的结论求解即可． 【详解】（1）解：根据图形圆圈个数可得：； 故答案为：6； （2）解：根据图形圆圈个数可得：； ； ； ； ； ∴； 故答案为：； （3）解：① ； ② ； ③ ． 故答案为：①10100；②20100；③1900． 考点六： 有理数加法的实际应用 1．（24-25七年级上·新疆和田·阶段练习）点A的海拔是，点比点A高，则点的海拔是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的加法的应用，根据点比点A高，列式，即可作答． 【详解】解：∵点A的海拔是，点比点A高， ∴， ∴点的海拔是， 故选：C 2．（2024七年级上·全国·专题练习）水池中的水位在某天八个不同时间测得的记录如下：（规定与前一天相比上升为正，单位：），，，，，，，，那么这天水池中水位的最终变化情况是（    ） A．上升 B．下降 C．没升没降 D．下降 【答案】B 【分析】本题主要考查正负数在实际生活中的应用，有理数加法的实际应用．明确上升为正，为负下降．依题意列式计算． 【详解】解：． 因此，水位最终下降了6． 故选：B． 3．（2024七年级上·全国·专题练习）某出租车驾驶员从公司出发，在南北向的人民路上连续接送5批客人，行驶路程记录如下：（规定向南为正，向北为负，单位：） 第1批 第2批 第3批 第4批 第5批 送完第5批客人后，该驾驶员在公司的 方 千米处． 【答案】 南 6 【分析】本题考查了正负数的意义，熟练应用正负数的意义是解题的关键． 根据向南为正，向北为负，把每个批次的行程相加即可求解． 【详解】解：∵， ∴该驾驶员在公司的南方6千米处． 故答案为：南；6． 4．（24-25七年级上·陕西渭南·期中）某水果店以每箱120元的价格从水果批发市场购进5箱冰糖橙，若以每箱10千克为标准，超过标准的千克数记为正数，不足标准的千克数记为负数，称重的记录如下（单位：千克）：． (1)求这5箱冰糖橙的总质量； (2)若水果店打算以每千克20元的价格销售这批冰糖橙，则全部售出可获利多少元？ 【答案】(1)这5箱苹果的总重量是48.6千克 (2)全部售出可获利372元 【分析】本题考查正数和负数，掌握正数和负数的意义是关键． （1）求出记录数据的和再加50千克即可； （2）根据销售额=销售单价×总数量计算即可； 【详解】（1）解：根据题意可知， （千克）； 答：这5箱苹果的总重量是48.6千克； （2）解： （元）； 答：全部售出可获利372元． 5．（24-25七年级上·陕西渭南·期中）在抗洪抢险中，解放军战士的冲锋舟加满油沿东西方向的河流抢救灾民，早晨从地出发，晚上到达地，约定向东为正方向，当天的航行路程记录如下（单位：千米）：，，，，，，，． (1)请你帮忙确定地位于地的什么方向，距离地多少千米？ (2)若冲锋舟每千米耗油升，求冲锋舟当天救灾过程中共耗油多少升？ 【答案】(1)B地位于A地东边，距离A地千米处 (2)冲锋舟当天救灾过程中共耗油升 【分析】本题考查有理数的加法和乘法的实际应用．解题的关键是读懂题意，正确的列出算式． （1）将所有数据相加后，根据结果进行判断即可； （2）将所有数据的绝对值相加，再乘以每千米的油耗，即可． 【详解】（1）解：； ∴B地位于A地东边，距离A地千米处； （2）（升）； 答：冲锋舟当天救灾过程中共耗油升． 有理数运算相关的实际应用题种类较多，但是很多题目只是所给的情境不一样，解答的方法并没有发生改变。能够熟练的分析应用题的数量关系，找准解题的方法和技巧。 1．（24-25七年级上·广东佛山·阶段练习）手机移动支付给生活带来便捷．如图是尹老师2024年某天的微信账单的收支明细（正数表示收入，负数表示支出，单位：元），尹老师当天微信收支的最终结果是 元． 【答案】+4/4 【分析】本题考查了正数和负数，有理数的加法，掌握正数和负数表示相反意义的量是解题的关键． 根据有理数的加法法则求和即可． 【详解】解：由题意可得：， ∴尹老师当天微信收支的最终结果是收入4元， 故答案为：4． 2．（24-25七年级上·四川成都·开学考试）（数字与数位）一个三位数与它的反序数的和等于888，这样的三位数有 个． 【答案】7 【分析】此题属于数字和问题，考查了学生分析与推理能力．由题意可知可能出现的情况，再求解即可． 【详解】解：因为，， 所以．的情况有， 所以这样的三位数有7个． 故答案为：7 3．（24-25七年级上·宁夏中卫·期末）学校图书馆把无线网络密码做成了数学题，小亮在图书馆查询信息时，思索了一会儿，输入密码，顺利地连接上了图书馆的网络，那么他输入的密码是 ． 账号： 密码 【答案】 【分析】本题主要考查了数字类规律探索，有理数加法在生活中的应用，有理数乘法的实际应用等知识点，从题目所给的算式中发现并总结出一般规律是解题的关键． 仔细观察题目所给的算式，可以发现并总结出一般规律：密码的前两位数为第一个数与第二个数的乘积，中间的两位数为第一个数与第三个数的乘积，最后的两位数为前两个两位数之和，然后根据规律列式计算即可． 【详解】解：由题意可知：密码的前两位数为第一个数与第二个数的乘积，中间的两位数为第一个数与第三个数的乘积，最后的两位数为前两个两位数之和， ∴， 故答案为：． 4．（24-25七年级上·北京·期中）有8筐白菜，以每筐25千克为标准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数，称后的纪录如下： 回答下列问题： (1)这8筐白菜中，最接近25千克的那筐白菜为______千克； (2)以每筐25千克为标准，这8筐白菜总计超过多少千克或不足多少千克？ (3)若白菜每千克售价2元，则出售这8筐白菜可卖多少元？ 【答案】(1)24.5 (2)不足5.5千克 (3)389元 【分析】本题主要考查了正负数的意义，有理数的混合运算， 对于（1），比较各数的绝对值，再根据绝对值最小的数即为答案； 对于（2），求出8个数的和，可得答案； 对于（3），先求出总重量，再乘以单价即可. 【详解】（1）解：， 可知， 即（千克） 所以最接近25千克的那筐白菜为24.5千克. 故答案为：24.5； （2）解：， 所以不足5.5千克； （3）解：（元）， 所以出售者8筐白菜可卖389元. 考点七： 利用有理数的加法解决幻方问题 1．（24-25七年级上·福建福州·期中）如图，在探究“幻方”、“幻圆”的活动课上，学生们感悟到我国传统数学文化的魅力．一个小组尝试将数字，这12个数填入“六角幻星”图中，使6条边上四个数之和都相等，部分数字已填入圆圈中，则的值为（   ） A．4 B．3 C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了幻方的应用，找到每一行的规律并正确进行填数是解题的关键． 共有个数，每一条边上4个数的和都相等，共有六条边，所以每个数都加了两遍，这个数共加了两遍后和为，所以每条边的和为，然后利用这个原理将剩余的数填入圆圈中，即可得到结果． 【详解】解：∵共有个数，每一条边上个数的和都相等，共有六条边， ∴每个数都加了两遍，这个数共加了两遍后和为，所以每条边的和为， ∴这一行最后一个圆圈数字应填，则所在的横着的一行最后一个圈为， ∴这一行第三个圆圈数字应填， ∴数字就剩下， 这一行剩下的两个圆圈数字和应为，则取中的， 这一行剩下的两个圆圈数字和应为，则取中的， 这两行交汇处是a即为3， 故选：B 2．（23-24七年级上·江苏无锡·期末）同学们都熟悉“幻方”游戏，现将“幻方”游戏稍作改进变成“幻圆”游戏，将，8，，12，，16，，20分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内外两个正方形顶点处圈内4个数字之和都相等，则的值为（    ） A．或 B．或10 C．2或 D．2或 【答案】B 【分析】本题考查有理数的加法，熟练掌握有理数的加法法则，能够根据所给的条件推理出b、d的可能取值是解题的关键．根据所给数的特征，可知横、竖、外圈、内圈的4个数之和为4，再由已经填写的数，确定或，从而求出d的值，即可求解． 【详解】解：∵， ∴横、竖、外圈、内圈的4个数之和为4， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴或， 当时，，此时， 当时，，此时． ∴的值为或10． 故选：B． 3．（24-25七年级上·湖南郴州·阶段练习）“幻方”最早记载于春秋时期的《大戴礼记》中，如图1，每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等，现，填入如图2所示的“幻方”中，部分数据已填入，则的值为（   ） A．512 B．64 C．128 D． 【答案】D 【分析】本题是一道关于 “幻方”规则的理解和应用的题目，综合考查了有理数运算、方程思想以及逻辑推理等知识点．理解每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等是解题的关键．利用给出的数字和条件求解和，最终计算出的值 【详解】解：由题意得，即 ， 每个三角形的三个顶点上的数字之和中间正方形四个顶点上的数字之和. ，即. . 故选：． 4．（2024七年级上·全国·专题练习）课本再现： 填幻方 有人建议向火星发射如图所示的图案，它叫做幻方，其中个格中的点数分别是．每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的点数的和都相同．如果火星上有智慧生物，那么他们可以从这种“数学语言”了解到地球上也有智能生物（人）． （）如图，每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的点数的和都是 __； （）请将填入图，使其构成一个幻方； 拓展延伸： （）如图，在一个由个圆圈组成的三角形里，把到这个连续整数分别填入圆圈中，要求三角形的每条边上的三个数的和都相等，请直接写出的最大值． 【答案】（）；（）见解析；（）见解析，． 【分析】（）根据图中数据计算即可作答； （）先将已知的个数求和，再除以即可求出每行、每列、每条对角线上的三个数之和，根据幻方的特点可知，已知的从小到大的排列的个数中，居于中间位置的数填在幻方的正中心的格子中，并且这列数中最大的数与最小的数必在一起，据此填表即可； （）根据三角形的每条边上的三个数的和S都相等，且和最大，把到这个数较大的三个数放在三个顶点处即可求解； 本题考查了有理数的加法的应用，理解题意是解题的关键． 【详解】解：（）任取两组数据，由图可知，， 故答案为：； （）， 即幻方中，每行、每列、每条对角线上的三个数之和都等于， 根据幻方的特点可知：从小到大的排列的个数中，居于中间位置的数填在幻方的正中心的格子中，并且这列数中最大的数与最小的数必在一起， 即三阶幻方如下： （答案不唯一） （）解：将填入三角形的三个顶点处， 与之间填， 与之间填， 与之间填， 如图， 则三角形的每条边上的三个数的和都相等，且和最大， 此时，， ∴的最大值为． 利用幻方和相等建立等量关系或直接幻方和相等的性质解题即可. 1．（24-25七年级上·湖北孝感·期中）幻方的历史很悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”(如图1)，“洛书”是一种关于天地空间变化脉络图案，它是以黑点与白点为基本要素，以一定方式构成若干不同组合．“洛书”用今天的数学符号翻译出来就是一个三阶幻方(如图2)．三阶幻方又名九宫格，是一种将数字(1至9，数字不重复使用)安排在三行三列正方形格子中，使每行、列和对角线上的数字和都相等． 如图3，有3个正方形，每个正方形的顶点处都有一个“◯”．将，，，，，，，，，，，这个数填入恰当的位置(数字不重复使用)，使每个正方形的个顶点处“◯”中的数的和都为．则的值为(　　) A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查的是有理数的加法，代数式求值，因为每个正方形的个顶点处“〇”中的数的和都为，易得；结合选项，则中间的正方形的顶点不能为，，则中间的正方形的未知顶点为，；从而得到或，所以或． 【详解】根据题意，，解得； 12个数中，还余下，，，， 结合选项，则中间的正方形的顶点不能为，， ∵ ∴中间的正方形的未知顶点为，； 因此或， 所以或． 故选：C． 2．（24-25七年级上·陕西延安·阶段练习）在一个的方格中填写9个数，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，得到的的方格称为一个三阶幻方，如图是一个满足条件的三阶幻方的一部分，则的值为（    ） A． B．4 C． D．9 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，代数式求值，理解三阶幻方的含义是解题关键．每行、每列、每条对角线上的三个数之和相列式，求出、的值，代入计算即可． 【详解】解：因为，每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等， 所以， 所以，， 所以， 故选：C． 3．（24-25七年级上·北京·期中）课本再现：填幻方 有人建议向火星发射如图1所示的图案，它叫做幻方，其中9个格中的点数分别是1，2，3，4，5，6，7，8，9．每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的点数的和都相同．如果火星上有智慧生物，那么他们可以从这种“数学语言”了解到地球上也有智能生物（人）． （1）如图1，每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的点数的和都是 ； （2）如图2，在一个由6个圆圈组成的三角形里，把到这6个连续整数分别填入圆圈中，要求三角形的每条边上的三个数的和都相等，请直接写出的最大值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的加法的应用，理解题意是解题的关键． （1）根据图中数据计算即可作答； （2）根据三角形的每条边上的三个数的和S都相等，且和最大，把到这个数较大的三个数放在三个顶点处即可求解； 【详解】解：（1）任取两组数据，由图可知，， 故答案为：； （2）将填入三角形的三个顶点处， 与之间填， 与之间填， 与之间填， 如图， 则三角形的每条边上的三个数的和都相等，且和最大， 此时，， ∴的最大值为， 故答案为：． 4．（24-25七年级上·江苏连云港·阶段练习）小华探究“幻方”时，提出了一个问题：如图，将0，1，2，，这五个数分别填在五个小正方形内，使横向三个数之和与纵向三个数之和相等，请你在图中完成．（填写一种情况符合题意即可） 【答案】 【分析】本题考查有理数的运算，根据横向三个数之和与纵向三个数之和相等，进行填写即可得出结果． 【详解】解：由题意，填写如下： 5．（24-25七年级上·重庆·期中）填幻方：有人建议向火星发射如图1所示的图案，它叫做幻方，其9个方格中的点数分别是1，2，3，4，5，6，7，8，9．每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的点数的和都相等．如果火星上有智慧生物，那么他们可以从这种“数学语言”了解到地球上也有智慧生物（人）． (1)如图1，每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的点数的和都是_____； (2)请把，1，7，10，13，16，19填入图2剩余方格中，使其构成一个幻方； 拓展延伸： (3)如图3，在一个由9个圆圈组成的三角形里，把分别填入圆圈中，要求三角形的每条边上的4个数的和都相等．请填出使的值最大时的一种情形，并直接写出的最大值和最小值． 【答案】(1) (2)见解析 (3)图见解析，， 【分析】本体考查有理数的运算，读懂题意，正确的列出算式，是解题的关键： （1）求出第一行三个数的和即可； （2）所有数据的和除以3，求出每一行，每一列和对角线上的点数和，将9个数排序，中间的数字填写在幻方的中央位置，再根据和的情况进行填写即可； （3）当3个顶点的数是13，16，19时，和最大，当3个顶点的数为，，1时，和最小，进行求解即可． 【详解】（1）解：； 故答案为：15； （2）解：∵， ∴每一行，每一列和对角线上的点数和均为21， ∵，，1，4，7，10，13，16，19位于中间的数据为7， ∴幻方最中间的数为7， 填表如图： （3）当3个顶点处的数字为3个最大的数时，和最大， ∴当3个顶点的数是13，16，19时，和最大， ∴， 填表如下： 当3个顶点处的数字为3个最小的数字时，和最小， ∴当3个顶点的数为，，1时，和最小， ∴． 考点八： 有理数加法中的新定义问题 1．（23-24六年级上·山东青岛·期中）定义一种运算，设表示不超过x的最大整数，例如 ，据此规定计算的值为(   ) A． B． C． D．4 【答案】A 【分析】本题主要考查了新定义，有理数的加法计算，根据新定义分别求出，再根据有理数的加法计算法则求解即可． 【详解】解：由题意得，， ∴， 故选A． 2．（24-25七年级上·宁夏银川·期中）已知a、b皆为正有理数，定义运算符号“”表示一种新的运算，它是这样定义的：．则的值等于（   ） A． B．5 C． D．10 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数加法运算，熟练掌握有理数加法运算法则，是解题的关键．根据题干中提供的信息，列出算式进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴． 故选：C． 3．（24-25七年级上·山西晋中·期中）我们定义一种新运算“※”：对于任意有理数a和b，都有．例如：．那么， ． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的运算，先根据新定义写出算式，再根据有理数的加法法则计算即可． 【详解】． 故答案为：． 4．（24-25七年级上·辽宁葫芦岛·期中）在学习完“有理数的加法”后，小米同学对运算产生了浓厚的兴趣．借助有理数运算的学习经验，自主探究新定义运算． 小米设计一种新运算“”，即对任意有理数a，b，满足如下规律：，称此种运算为“绝佳”运算． 例如，；（2）． 【探究一：两个数“绝佳”运算】 （1）填空：①_________；②_________； ③__________；④__________； 通过上面的计算结果，请你归纳出“绝佳”运算是否满足交换律？若不满足，请举出反例（举一个反例即可）； （2）①若，则_________；②若，则_________； 【探究二：三个数“绝佳”运算】 （3）小米同学想类比有理数的加法结合律，判断“绝佳”运算是否满足结合律． 请你帮助她验证等式是否成立，并归纳出“绝佳”运算是否满足结合律． 【答案】（1）①1 ；②1 ；③；④；满足交换律；（2）①4或；②1或；（3）等式不成立；运算不满足结合律 【分析】本题考查有理数的知识，解题的关键是掌握有理数的加法运算，绝对值的意义， （1）根据，进行计算，即可； （2）根据，进行计算，即可； （3）根据，先求出和的值，进而求解即可． 【详解】（1）∵， ∴①；②； ③；④； 由以上运算可得，“绝佳”运算满足交换律； 故答案为：，，，；满足； （2）∵， ∴， ∴或， ∴或； ∵， ∴，， ∴， ∴或， 解得或； 故答案为：①4或；②1或； （3）∵， ∴，， ∴； ∵， ∴ ∴等式不成立， ∴“绝佳”运算不满足结合律． 所谓新定义问题，就是在题目中给出一个从未接触过的新概念，要求我们通过认真阅读，现学现用，是近年来中考数学的新亮点、新题型，解决此类问题步骤如下:1)读懂题意(最关键);2)根据新定义进行运算、推理、迁移。常见类型有:(1)定义一种新运算;(2)定义一种新法则。 1．（23-24七年级上·湖南岳阳·期中）定义新运算：对任意有理数a，b，都有，例如，那么的值是 ． 【答案】 【分析】此题考查了有理数的混合运算，原式利用题中的新定义计算即可得到结果． 【详解】解：根据题中的新定义得：原式， 故答案为：． 2．（24-25七年级上·河北唐山·期中）在学习完《有理数》后，小奇对运算产生了浓厚的兴趣．他借助有理数的运算，定义了一种新运算“”，规则如下：．则的值是 ；则的值是 ． 【答案】 0 15 【分析】本题考查了新定义，有理数的混合运算，正确理解题意，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据新定义，利用有理数的混合计算求解即可． 【详解】解：由题意得，， ， 故答案为：；． 3．（23-24七年级上·江苏泰州·阶段练习）定义“※”运算，观察下列运算： ，； ，； ，． (1)请你认真思考上述运算，归纳“※”运算的法则：两数进行“※”运算时，同号得 ，异号得 ，并把绝对值 ；特别的，0与任何数进行“※”运算或任何数与0进行“※”运算，都得这个数的 ． (2)计算：； (3)计算：． 【答案】(1)正，负，相加；相反数 (2) (3) 【分析】本题考查了新定义，有理数的加法，理解新定义是解答本题的关键． （1）观察已知运算的符号及数值，可归纳出运算法则； （2）按照（1）中归纳出的运算法则进行计算即可； （3）按照（1）中归纳出的运算法则进行计算即可． 【详解】（1）归纳“※”运算的法则：两数进行“※”运算时，同号得正，异号得负，并把绝对值相加；特别地，0和任何数进行“※”运算或任何数和0进行“※”运算，都得这个数的相反数； 故答案为：正，负，相加；相反数； （2）根据题意得， ； （3） ． 考点九： 有理数加法中的符号问题 1．（23-24七年级上·四川成都·阶段练习）a、b、c三个数的位置如图所示：则 0， 0(填或)    【答案】 【分析】根据数轴上点的位置得到，则，再根据有理数加法计算法则求解即可． 【详解】解：由题意得，， ∴， ∴， 故答案为：①，②． 【点睛】本题主要考查了有理数与数轴，有理数的加法计算，正确根据题意得到以及a、b、c的符号是解题的关键． 2．（2023七年级上·浙江·专题练习）用“”或“”填空： （1）如果，那么 0； （2）如果，那么 0； （3）如果，那么 0； （4）如果，那么 0． 【答案】 【分析】（1）根据有理数的加法法则即可解答； （2）根据有理数的加法法则即可解答； （3）根据有理数的加法法则即可解答； （4）根据有理数的加法法则即可解答． 【详解】（1）同号两数相加，取相同的符号，两数都为正数，所以两数的和为正． 故答案为：； （2）同号两数相加，取相同的符号，两数都为负数，所以两数的和为负． 故答案为：； （3）异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，由于，所以两数的和取a的符号，即两数和的符号为正． 故答案为：； （4）异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，由于，所以两数的和取b的符号，即两数和的符号为负． 故答案为：； 【点睛】本题主要考查有理数的加法，熟练掌握有理数的加法法则是解题的关键． 3．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）若，，，则下列关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了有理数大小比较的方法，由于，，，则，，进而可得答案． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴， ∴， 故选：D． 4．（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）已知:，，，则的值是（     ） A．正数 B．负数 C．非正数 D．0 【答案】A 【分析】本题考查有理数的加法，掌握绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值． 【详解】解：∵，，， ∴， 故选：A． 1．（23-24七年级上·江苏无锡·阶段练习）下列叙述正确的是（   ） A．若，且，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，则 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数加法运算法则、绝对值的意义，根据有理数加法运算法则进行判断即可．解题的关键是熟练掌握有理数加法运算法则． 【详解】解：A、若，且，则，而，故此选项不符题意； B、当，，则，但，故此选项不符题意； C、若，，则，故此选项符题意； D、若，，则，但，故此选项不符题意； 故选：C． 2．（23-24七年级上·新疆伊犁·期中）如果的值是负数，则a与b的值 （     ） A．一定都是正数 B．一定都是负数 C．一定是一个正数，一个负数 D．至少有一个是负数 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的加法，根据理数的加法的法则判断即可． 【详解】解：的值是负数， a与b的值中至少有一个是负数． 故选：D． 3．（24-25七年级上·贵州黔南·期中）若，的相反数是，则的值为 ． 【答案】5或1/1或5 【分析】本题考查了绝对值、相反数、有理数的加法．根据绝对值的意义求出x的值，根据相反数的定义求出y的值，然后代入计算即可． 【详解】解：因为， 所以或． 因为的相反数是，所以， 所以的值为或． 故答案为：5或1． 4．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期中）已知，． （1）若x，y异号，则的值是 ； （2）若，则的值是 ． 【答案】 2或8 【分析】本题主要考查了代数式求值，绝对值的意义，有理数的加法计算和乘法计算： （1）根据绝对值的意义结合x，y异号求出x、y的值，再代值计算即可得到答案； （2）根据绝对值的意义结合求出x、y的值，再代值计算即可得到答案． 【详解】解：（1）∵，， ∴，， ∵x，y异号， ∴，，或，， ∴或， 故答案为：； （2）∵，， ∴，， ∵， ∴，， ∴或， 故答案为：2或8． 1．（24-25七年级上·四川绵阳·期中）算筹我国是最早认识负数并进行相关运算的国家，魏晋时期的数学家刘徽在其著作《九章算术注》中，用算筹（小棍形状的记数工具）来表示正负数，其中正放表示正数，斜放表示负数，例如图①表示的是的运算过程．按照这种方法，可推算图②中的算式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的加法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据题意列式计算得，即可得到答案． 【详解】解：根据题意得， 故选：B． 2．（24-25七年级下·陕西榆林·开学考试）下列说法正确的是（   ） A．运用了加法交换律B．两个数相加，和一定大于其中一个加数 C．一定是正数 D．互为相反数的两个数的绝对值一定相等 【答案】D 【分析】本题考查有理数的混合运算，绝对值的非负性．利用有理数的相关运算法则及绝对值的非负性逐项判断即可． 【详解】解：运用了加法结合律，则选项A不符合题意； 0加任何数还等于这个数，则选项B不符合题意； 一定是非负数，则选项C不符合题意； 互为相反数的两个数的绝对值一定相等，则选项D符合题意， 故选：D． 3．（24-25七年级上·河南安阳·期末）温度由变为，表示温度（   ） A．上升了 B．下降了 C．上升了 D．下降了 【答案】A 【分析】本题考查了有理数加法的应用，正负数的意义，根据温度由变为，得出温度上升了，即可作答．理解式子的意义是解题的关键． 【详解】解：温度由变为， 表示温度上升了， 故选：A． 4．（24-25七年级上·山东滨州·期末）数轴上有三个点，，，且为的中点，如果点表示数，线段的长为8，那么点表示的数是（   ） A．5 B．5或1 C． D．或1 【答案】D 【分析】本题考查在数轴上求距离及点的坐标，先求出长，然后根据点的位置利用有理数的加减运算解题即可． 【详解】解：∵为的中点，的长为8， ∴， 当点C在A的左侧时，点C表示的数为； 当点C在A的右侧时，点C表示的数为； 故选：D． 5．（24-25七年级上·云南昭通·期末）对用生活实例解释其意义正确的是（   ） A．一物体从数轴的原点出发，向左移动3个单位，再向右移动2个单位，现在该物体在数轴上对应点的数为1 B．某人做生意1月份赚了2万元，2月份亏了3万元，他这两个月合计亏了1万元 C．今天早上的气温是零上，随着冷空气的到来，下午气温下降了．现在的气温是零下 D．某人早上从水池里打水冲洗道路用了水，接着他又往水池注入水，现在水池里的水比原来多了 【答案】B 【分析】本题考查有理数运算的实际应用，分别列出各选项中的算式，进行判断即可． 【详解】解：A、由题意，，现在该物体在数轴上对应点的数为，该选项错误，不符合题意； B、，故他这两个月合计亏了1万元，符号题意； C、，故现在的气温是零下，该选项错误，不符合题意； D、，故现在水池中的水比原来少了，该选项错误，不符合题意； 故选B． 6．（24-25七年级下·新疆喀什·开学考试）若，则的值为（ ） A．1 B．5 C． D． 【答案】A 【分析】该题考查了有理数的加法和绝对值，将代入计算即可． 【详解】解：当时，， 故选：A． 7．（23-24七年级上·江苏宿迁·阶段练习）下列变形，运用加法运算律错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数加法的运算律，熟练掌握交换律，结合律是解题的关键． 【详解】A. ，符合交换律，不符合题意；     B. ，符合交换律，不符合题意； C. ，不符合结合律，符合题意；     D. ，符合结合律，不符合题意； 故选C． 8．（24-25七年级上·云南昭通·期末）【阅读材料】“洛书”（图1）是我国文化中最古老、最神秘的事物之一，数出图1中各处的圆圈和圆点个数，并按照图1中的顺序把它填入正方形方格中，就得到一个幻方（图2），在这个幻方中，9个格中的数字之间有什么样的关系： ．（用文字语言叙述） 【答案】每一横行、每一竖列以及两条斜对角线的数的和都为15 【分析】本题考查有理数加法的实际应用，求出每一行，每一列以及两条斜对角线上的三个数的和，即可得出结论． 【详解】解：； 故每一行的三个数字之和为15； ， 故每一列的三个数字之和为15； ， 故两条斜对角线上的三个数的和为15； 综上：每一横行、每一竖列以及两条斜对角线的数的和都为15； 故答案为：每一横行、每一竖列以及两条斜对角线的数的和都为15． 9．（23-24七年级上·北京西城·期末）“幻方”最早记载于春秋时期的《大戴礼》中，现将1，2，3，4，5，7，8，9这八个数字填入如图1所示的“幻方”中，使得每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等．若按同样的要求重新填数如图2所示，则的值是 ，的值是 ． 【答案】 －3 3 【分析】本题主要考查了有理数的运算，先设中间的四个的右上的数字为p，左下的数字为q，再根据题意列出关系式，整理可得答案． 【详解】设中间的四个的右上的数字为p，左下的数字为q， 根据题意，得，， 将上式变形得，． 故答案为：，3． 10．（2024七年级上·全国·专题练习）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数加法，掌握有理数加法交换律和结合律是解题的关键． 先根据有理数的加法运算律，把互为相反数结合，再计算． 【详解】解：原式 ． 故答案为： 11．（22-23六年级·上海·假期作业） 【答案】222185 【分析】利用数字的拆分，将每个加数都拆成两个数的差，再利用加法交换律与结合律进行简便计算即可． 【详解】解： ； 故答案为：． 【点睛】本题考查了有理数加法的简便计算，解题关键是发现规律，找出简便计算的方法． 12．（24-25七年级上·吉林长春·阶段练习）小明开车从家出发，在东西走向的道路上行驶，规定向东为正，向西为负，从出发到停车，行驶的路程记录如下（单位：千米）； ，，，，，． (1)停车时，小明在家的哪边？距离多远？ (2)汽车在行驶过程中，若每行驶千米耗油0.1升，则汽车共耗油多少升？ 【答案】(1)东边，9千米 (2)升． 【分析】本题主要考查数轴与正数，负数的知识，解题的关键是熟练掌握有理数的加法运算． （1）利用有理数的加法即可得解； （2）先求出小明开车的总过程，把这些行驶的路程的绝对值相加，再利用有理数的乘法即可求解． 【详解】（1）解：由题意，得： 千米． 答：小明停车时，小明在家的东边，距离家千米． （2）解：千米， 升， 答：汽车共耗油升． 13．（2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)10 (2) (3) 【分析】本题考查了有理数的加法运算，掌握计算法则，灵活运用简便计算的方法是解决本题的关键． （1）利用加法交换律和结合律运算即可； （2）利用加法交换律和结合律运算即可； （3）利用加法交换律和结合律运算即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第06讲 有理数的加法 1.理解有理数加法的意义，掌握有理数加法法则，正确进行有理数加法运算； 2.理解有理数加法运算律，并能运用运算律简化运算； 3.经历探索有理数加法法则的过程，理解有理数加法法则的会理性； 4.感知数学知识源于生活，并应用于生活，渗透“化归”等数学思想。 【新课指引】 【思考 1】一间 0℃ 冷藏室连续两次改变温度： 第一次改变温度 第二次改变温度 两次变化后温度上升情况 上升 5°℃ 再上升 3°℃ 下降 5°℃ 再下降 3°℃ 下降 5°℃ 再上升 3°℃ 下降 3°℃ 再上升 5°C 下降 3°℃ 再上升 3°C 注意: 1)上升:下降 5℃，即上升-5℃;下降3C，即上升-3℃℃； 2)共:对连续两次温度变化进行求和； 3)可借助温度计(或数轴)理解。 知识点一 有理数的加法法则 有理数加法运算法则： 1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加. 即:若a＞0，b＞0，则；若a＜0，b＜0，则. 2）绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值. 即：若a＞0，b＜0，|a|＞|b|，则;若a＞0，b＜0，|a|＜|b|，则. 3）互为相反数的两个数相加和为0.即：若a＞0，b＜0，|a|=|b|，则a+b=0. 4）一个数与0相加，仍得这个数.即：a+0=a. 【注意】①一个有理数由符号和绝对值两部分组成，所以进行加法运算时，要先确定符号，后确定绝对值 ②当后一个加数为负数时，这个负数必须用括号括起来，即两个符号要用括号隔开，如2+(-1)中-1必须用括号括起来，不要写成2+ -1这样的形式. 有理数加法的运算步骤（“一判二定三加减"）： 第一步：判断加法的类型并根据加法的类型确定使用哪一个法则； 第二步：根据加数绝对值的大小及加数的符号确定和的符号； 第三步：对绝对值进行加或减，确定和的绝对值. 1．（2025·陕西西安·三模）计算：（　　） A．9 B． C． D． 2．（2025·吉林长春·二模）下面给出的四个数，使式子的结果为正数的是（　　） A． B．0 C．1 D．3 3．（2025·山西晋中·二模）某地一天早晨的气温是，中午气温上升了，则中午的气温是（   ） A． B． C． D． 4．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）x的相反数是2，，则（    ） A．或1 B．5或 C．1 D． 知识点二 加法运算律 文字描述 字母表示 加法交换律 两个数相加，交换加数的位置，和不变. 加法结合律 三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变. 注意：运用加法交换律交换加数的位置时，一定要带着性质符号一起交换. 1．（24-25七年级上·河北石家庄·期末）小明同学在解题时，将式子变成后再进行计算，该同学运用了（   ） A．加法交换律 B．加法结合律 C．加法交换律和结合律 D．乘法分配律 2．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）下列交换加数位置的变形，正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（2024七年级上·全国·专题练习）计算：（    ） A．15 B． C．3 D． 4．（2024七年级上·全国·专题练习）计算：的结果是 ． 5．（24-25七年级上·广东汕头·阶段练习）计算： 考点一： 有理数的加法概念理解 1．（22-23七年级上·湖北宜昌·期中）如果，且．则下列说法中可能成立的是（ ） A．a、b为正数，c为负数 B．a、c为正数，b为负数 C．b、c为正数，a为负数 D．a、c为正数，b为0 3．（24-25七年级上·内蒙古呼伦贝尔·阶段练习）如果两数相加的和小于每一个加数，那么下列判断正确的是（   ） A．这两个加数一定有一个数是0 B．这两个加数一定都是负数 C．这两个加数一正一负 D．这两个加数的符号不能确定 3．（24-25六年级上·上海杨浦·期中）下列说法中正确的是（    ） A．如果两个数的和为负数，那么这两个数一正一负，且负数的绝对值较大； B．如果两个数的差为正数，那么这两个数一定都为正数； C．如果两个负数相加，那么它们的和一定小于每一个加数： D．如果两个有理数相加，那么它们的和一定大于每一个加数． 1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加. 2）绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值. 3）互为相反数的两个数相加和为0.即：若a＞0，b＜0，|a|=|b|，则a+b=0. 4）一个数与0相加，仍得这个数.即：a+0=a. 1．（24-25七年级上·江苏盐城·阶段练习）下列说法正确的个数有：①两个有理数相加，它们的和一定大于每一个加数；②一个正数与一个负数相加一定得0；③绝对值是它本身的数是非负数；④表示的数一定是负数． A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 2．（23-24七年级上·江苏宿迁·期末）若两个数在数轴上对应的点分别在原点的两侧，则这两个数相加所得的和（    ） A．一定是正数 B．一定是负数 C．一定是0 D．以上都不对 3．（24-25六年级上·山东东营·期末）下说法正确的是（   ） A．有理数的绝对值为正数 B．如果两数之和为0，则这两个数的绝对值相等 C．两个有理数相加，和一定大于每一个加数D．任何数都有倒数 4．（22-23七年级上·全国·课后作业）下列说法中，正确的是(　　) A．同号两个数相加的和，一定是正数B．同号两个数相加的和，一定不是0 C．异号两个数相加的和，一定是负数D．异号两个数相加的和，一定是0 5．（22-23七年级上·全国·课后作业）下列叙述正确的是(　　) A．两个有理数的和一定大于每一个加数 B．两数相加，只需把两个数的绝对值相加 C．符号相反的两个数相加，结果为零 D．异号两数相加，如果正数的绝对值大，那么和为正数，如果负数的绝对值大，那么和为负数 考点二： 有理数的加法运算 1．（24-25七年级上·山东聊城·阶段练习）计算：（1） ； （2） ． 2．（24-25七年级上·贵州遵义·期中）下列不能表示3与的和的式子是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级上·重庆酉阳·期中）我国是最早认识负数并进行相关运算的国家，魏晋时期的数学家刘徽在其著作《九章算术注》中，用不同颜色的算簿（小棍形状的记数工具）分别表示正数和负数，如图①表示的是的运算过程．按照这种方法，图②中表示的算式是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级上·山西晋中·期中）如果，且a，b异号，则的值为（   ） A． B． C． D．5 第一步：判断加法的类型并根据加法的类型确定使用哪一个法则； 第二步：根据加数绝对值的大小及加数的符号确定和的符号； 第三步：对绝对值进行加或减，确定和的绝对值. 1．（24-25七年级上·安徽宣城·期中）下列各式的结果，符号为正的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·甘肃平凉·期中）若，，则等于（   ） A．2 B．8 C．2或8 D．或 3．（24-25七年级上·河南安阳·期中）数轴上在和之间的所有整数的和为 ． 4．（2024七年级上·全国·专题练习）计算下列各题： (1)； (2)； (3)； (4)． 考点三： 有理数的加法运算律 1．（2024七年级上·全国·专题练习）计算，这个运算应用了（　　） A．加法交换律 B．加法结合律 C．加法交换律和结合律 D．以上均不对 2．（2024七年级上·全国·专题练习）在计算时，■中可以填入的使该题用简便方法进行计算的数值为（   ） A． B． C． D． 3．（2024七年级上·全国·专题练习）下列算式中，没有运用加法交换律的是（　　） A． B． C． D． 在有理数的加法运算中，灵活运用运算律可简化运算过程，通常有以下方法技巧:(1)相反数结合法;(2)同号结合法;(3)同分母分数结合法;(4)凑整法;(5)同形结合法.做题时，要根据加数的特点灵活选择. 1．（24-25七年级上·山西太原·阶段练习）计算时，下列处理方式正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·湖南衡阳·阶段练习）若a、b互为相反数，则 ． 3．（23-24七年级上·全国·课堂例题）已知，则 ． 4．（24-25七年级上·全国·课后作业）计算：． 考点四： 巧用拆项法进行有理数的加法运算 1．（23-24七年级上·重庆·阶段练习）用简便方法计算： ． 2．（23-24七年级上·宁夏吴忠·阶段练习）阅读：对于，可以按如下方法计算： 原式 ． 上面这种方法叫拆项法． 仿照上面的方法，请你计算：． ：即把一项或一个数拆分开，拆项后重新相加或错位相加，使本来采用常规方法不易解决或不能解决的计算或比较大小类问题变得容易解决或能解决. 1．（2024七年级上·全国·专题练习）计算：． 2．（2024七年级上·全国·专题练习）计算：． 3．（2024七年级上·全国·专题练习）阅读第①小题的计算方法，再计算第②小题． ① 解：原式 ． 上述这种方法叫作拆项法．灵活运用加法的交换律、结合律可使运算简便． ②仿照上面的方法计算：． 考点五： 有理数加法中的规律问题 1．（24-25七年级上·广东汕尾·阶段练习）一跳蚤在一直线上从点O开始，第1次向右跳1个单位长度，紧接着第2次向左跳2个单位长度，第3次向右跳3个单位长度，第4次向左跳4个单位长度……依此规律跳下去，当它跳第100次落下时，落点处离原点O的距离是  （     ） A．49个单位长度 B．50个单位长度 C．51个单位长度 D．52个单位长度 2．（23-24七年级上·河南安阳·阶段练习）一电子蟋蟀落在数轴上的点处，第一步从向左跳一个单位到，第二步从向右跳2个单位到，第三步由向左跳3个单位到，第四步由向右跳4个单位到，……，按以上规律跳了2024步后，电子蟋蟀落在数轴上的点表示的数是0，则点表示的数是（    ） A．0 B．1012 C． D． 3．（24-25七年级上·湖南衡阳·期中）一只跳蚤在数轴上从原点开始，第1次向右跳2个单位长度，第2次向左跳4个单位长度，第3次向右跳6个单位长度，第4次向左跳8个单位长度，…依此规律跳下去，当它第2024次落下时，落点表示的数是 ． 1．（21-22七年级上·山东日照·阶段练习）一跳蚤在一直线上从O点开始，第1次向右跳1个单位，紧接着第2次向左跳2个单位，第3次向右跳3个单位，第4次向左跳4个单位…，依此规律跳下去，当它跳第2000次落下时，落点处位于O点的（    ） A．右侧500个单位 B．左侧500个单位 C．右侧1000个单位 D．左侧1000个单位 2．（20-21七年级上·江西上饶·期中）把所有正整数从小到大排列，并按如下规律分组： （1），(2， 3， 4)，(5，6，7，8，9)，(10， 11，12， 13， 14， 15， 16)，…，现用等式 AM=(i，j)表示正整数 M 是第i 组第 j 个数(从左往右数)，如A8=(3，4)，则A2020=( ) A．(44，81) B．(44，82) C．(45，83) D．(45，84) 3．（2019七年级上·全国·专题练习）小明同学在上楼梯时发现，若只有一个台阶时，有一种走法；若有两个台阶时，可以一阶一阶地上，或者一步上两个台阶，共有2种走法；如果他一步只能上一个或者两个台阶，根据上述规律，有三个台阶时，他有3种走法，那么有四个台阶时，共有走法（    ） A．3种 B．4种 C．5种 D．6种 4．（23-24七年级上·浙江台州·阶段练习）观察下面的几个算式： 1＋2＋1＝4＝2×2；1＋2＋3＋2＋1＝9＝3×3； 1＋2＋3＋4＋3＋2＋1＝16＝4×4；． 根据上面几道题的规律，计算下面的题： 1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1的值为 5．（24-25七年级上·河南南阳·期中）如图，你能由此得出计算规律吗？ (1)（____）； (2)由此猜测：______； (3)由（2）的结论求下列式子的值： ①______； ②______； ③______． 考点六： 有理数加法的实际应用 1．（24-25七年级上·新疆和田·阶段练习）点A的海拔是，点比点A高，则点的海拔是（   ） A． B． C． D． 2．（2024七年级上·全国·专题练习）水池中的水位在某天八个不同时间测得的记录如下：（规定与前一天相比上升为正，单位：），，，，，，，，那么这天水池中水位的最终变化情况是（    ） A．上升 B．下降 C．没升没降 D．下降 3．（2024七年级上·全国·专题练习）某出租车驾驶员从公司出发，在南北向的人民路上连续接送5批客人，行驶路程记录如下：（规定向南为正，向北为负，单位：） 第1批 第2批 第3批 第4批 第5批 送完第5批客人后，该驾驶员在公司的 方 千米处． 4．（24-25七年级上·陕西渭南·期中）某水果店以每箱120元的价格从水果批发市场购进5箱冰糖橙，若以每箱10千克为标准，超过标准的千克数记为正数，不足标准的千克数记为负数，称重的记录如下（单位：千克）：． (1)求这5箱冰糖橙的总质量； (2)若水果店打算以每千克20元的价格销售这批冰糖橙，则全部售出可获利多少元？ 5．（24-25七年级上·陕西渭南·期中）在抗洪抢险中，解放军战士的冲锋舟加满油沿东西方向的河流抢救灾民，早晨从地出发，晚上到达地，约定向东为正方向，当天的航行路程记录如下（单位：千米）：，，，，，，，． (1)请你帮忙确定地位于地的什么方向，距离地多少千米？ (2)若冲锋舟每千米耗油升，求冲锋舟当天救灾过程中共耗油多少升？ 有理数运算相关的实际应用题种类较多，但是很多题目只是所给的情境不一样，解答的方法并没有发生改变。能够熟练的分析应用题的数量关系，找准解题的方法和技巧。 1．（24-25七年级上·广东佛山·阶段练习）手机移动支付给生活带来便捷．如图是尹老师2024年某天的微信账单的收支明细（正数表示收入，负数表示支出，单位：元），尹老师当天微信收支的最终结果是 元． 2．（24-25七年级上·四川成都·开学考试）（数字与数位）一个三位数与它的反序数的和等于888，这样的三位数有 个． 3．（24-25七年级上·宁夏中卫·期末）学校图书馆把无线网络密码做成了数学题，小亮在图书馆查询信息时，思索了一会儿，输入密码，顺利地连接上了图书馆的网络，那么他输入的密码是 ． 账号： 密码 4．（24-25七年级上·北京·期中）有8筐白菜，以每筐25千克为标准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数，称后的纪录如下： 回答下列问题：(1)这8筐白菜中，最接近25千克的那筐白菜为______千克； (2)以每筐25千克为标准，这8筐白菜总计超过多少千克或不足多少千克？ (3)若白菜每千克售价2元，则出售这8筐白菜可卖多少元？ 考点七： 利用有理数的加法解决幻方问题 1．（24-25七年级上·福建福州·期中）如图，在探究“幻方”、“幻圆”的活动课上，学生们感悟到我国传统数学文化的魅力．一个小组尝试将数字，这12个数填入“六角幻星”图中，使6条边上四个数之和都相等，部分数字已填入圆圈中，则的值为（   ） A．4 B．3 C． D． 2．（23-24七年级上·江苏无锡·期末）同学们都熟悉“幻方”游戏，现将“幻方”游戏稍作改进变成“幻圆”游戏，将，8，，12，，16，，20分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内外两个正方形顶点处圈内4个数字之和都相等，则的值为（    ） A．或 B．或10 C．2或 D．2或 3．（24-25七年级上·湖南郴州·阶段练习）“幻方”最早记载于春秋时期的《大戴礼记》中，如图1，每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等，现，填入如图2所示的“幻方”中，部分数据已填入，则的值为（   ） A．512 B．64 C．128 D． 4．（2024七年级上·全国·专题练习）课本再现： 填幻方 有人建议向火星发射如图所示的图案，它叫做幻方，其中个格中的点数分别是．每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的点数的和都相同．如果火星上有智慧生物，那么他们可以从这种“数学语言”了解到地球上也有智能生物（人）． （）如图，每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的点数的和都是 __； （）请将填入图，使其构成一个幻方； 拓展延伸： （）如图，在一个由个圆圈组成的三角形里，把到这个连续整数分别填入圆圈中，要求三角形的每条边上的三个数的和都相等，请直接写出的最大值． 利用幻方和相等建立等量关系或直接幻方和相等的性质解题即可. 1．（24-25七年级上·湖北孝感·期中）幻方的历史很悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”(如图1)，“洛书”是一种关于天地空间变化脉络图案，它是以黑点与白点为基本要素，以一定方式构成若干不同组合．“洛书”用今天的数学符号翻译出来就是一个三阶幻方(如图2)．三阶幻方又名九宫格，是一种将数字(1至9，数字不重复使用)安排在三行三列正方形格子中，使每行、列和对角线上的数字和都相等． 如图3，有3个正方形，每个正方形的顶点处都有一个“◯”．将，，，，，，，，，，，这个数填入恰当的位置(数字不重复使用)，使每个正方形的个顶点处“◯”中的数的和都为．则的值为(　　) A． B． C．或 D．或 2．（24-25七年级上·陕西延安·阶段练习）在一个的方格中填写9个数，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，得到的的方格称为一个三阶幻方，如图是一个满足条件的三阶幻方的一部分，则的值为（    ） A． B．4 C． D．9 3．（24-25七年级上·北京·期中）课本再现：填幻方 有人建议向火星发射如图1所示的图案，它叫做幻方，其中9个格中的点数分别是1，2，3，4，5，6，7，8，9．每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的点数的和都相同．如果火星上有智慧生物，那么他们可以从这种“数学语言”了解到地球上也有智能生物（人）． （1）如图1，每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的点数的和都是 ； （2）如图2，在一个由6个圆圈组成的三角形里，把到这6个连续整数分别填入圆圈中，要求三角形的每条边上的三个数的和都相等，请直接写出的最大值是 ． 则三角形的每条边上的三个数的和都相等，且和最大， 此时，， 4．（24-25七年级上·江苏连云港·阶段练习）小华探究“幻方”时，提出了一个问题：如图，将0，1，2，，这五个数分别填在五个小正方形内，使横向三个数之和与纵向三个数之和相等，请你在图中完成．（填写一种情况符合题意即可） 5．（24-25七年级上·重庆·期中）填幻方：有人建议向火星发射如图1所示的图案，它叫做幻方，其9个方格中的点数分别是1，2，3，4，5，6，7，8，9．每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的点数的和都相等．如果火星上有智慧生物，那么他们可以从这种“数学语言”了解到地球上也有智慧生物（人）． (1)如图1，每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的点数的和都是_____； (2)请把，1，7，10，13，16，19填入图2剩余方格中，使其构成一个幻方； 拓展延伸： (3)如图3，在一个由9个圆圈组成的三角形里，把分别填入圆圈中，要求三角形的每条边上的4个数的和都相等．请填出使的值最大时的一种情形，并直接写出的最大值和最小值． 考点八： 有理数加法中的新定义问题 1．（23-24六年级上·山东青岛·期中）定义一种运算，设表示不超过x的最大整数，例如 ，据此规定计算的值为(   ) A． B． C． D．4 2．（24-25七年级上·宁夏银川·期中）已知a、b皆为正有理数，定义运算符号“”表示一种新的运算，它是这样定义的：．则的值等于（   ） A． B．5 C． D．10 3．（24-25七年级上·山西晋中·期中）我们定义一种新运算“※”：对于任意有理数a和b，都有．例如：．那么， ． 4．（24-25七年级上·辽宁葫芦岛·期中）在学习完“有理数的加法”后，小米同学对运算产生了浓厚的兴趣．借助有理数运算的学习经验，自主探究新定义运算． 小米设计一种新运算“”，即对任意有理数a，b，满足如下规律：，称此种运算为“绝佳”运算． 例如，；（2）． 【探究一：两个数“绝佳”运算】 （1）填空：①_________；②_________； ③__________；④__________； 通过上面的计算结果，请你归纳出“绝佳”运算是否满足交换律？若不满足，请举出反例（举一个反例即可）； （2）①若，则_________；②若，则_________； 【探究二：三个数“绝佳”运算】 （3）小米同学想类比有理数的加法结合律，判断“绝佳”运算是否满足结合律． 请你帮助她验证等式是否成立，并归纳出“绝佳”运算是否满足结合律． 所谓新定义问题，就是在题目中给出一个从未接触过的新概念，要求我们通过认真阅读，现学现用，是近年来中考数学的新亮点、新题型，解决此类问题步骤如下:1)读懂题意(最关键);2)根据新定义进行运算、推理、迁移。常见类型有:(1)定义一种新运算;(2)定义一种新法则。 1．（23-24七年级上·湖南岳阳·期中）定义新运算：对任意有理数a，b，都有，例如，那么的值是 ． 2．（24-25七年级上·河北唐山·期中）在学习完《有理数》后，小奇对运算产生了浓厚的兴趣．他借助有理数的运算，定义了一种新运算“”，规则如下：．则的值是 ；则的值是 ． 3．（23-24七年级上·江苏泰州·阶段练习）定义“※”运算，观察下列运算： ，； ，； ，． (1)请你认真思考上述运算，归纳“※”运算的法则：两数进行“※”运算时，同号得 ，异号得 ，并把绝对值 ；特别的，0与任何数进行“※”运算或任何数与0进行“※”运算，都得这个数的 ． (2)计算：； (3)计算：． 考点九： 有理数加法中的符号问题 1．（23-24七年级上·四川成都·阶段练习）a、b、c三个数的位置如图所示：则 0， 0(填或)    2．（2023七年级上·浙江·专题练习）用“”或“”填空： （1）如果，那么 0； （2）如果，那么 0； （3）如果，那么 0； （4）如果，那么 0． 3．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）若，，，则下列关系正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）已知:，，，则的值是（     ） A．正数 B．负数 C．非正数 D．0 1．（23-24七年级上·江苏无锡·阶段练习）下列叙述正确的是（   ） A．若，且，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，则 2．（23-24七年级上·新疆伊犁·期中）如果的值是负数，则a与b的值 （     ） A．一定都是正数 B．一定都是负数 C．一定是一个正数，一个负数 D．至少有一个是负数 3．（24-25七年级上·贵州黔南·期中）若，的相反数是，则的值为 ． 4．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期中）已知，． （1）若x，y异号，则的值是 ；（2）若，则的值是 ． 1．（24-25七年级上·四川绵阳·期中）算筹我国是最早认识负数并进行相关运算的国家，魏晋时期的数学家刘徽在其著作《九章算术注》中，用算筹（小棍形状的记数工具）来表示正负数，其中正放表示正数，斜放表示负数，例如图①表示的是的运算过程．按照这种方法，可推算图②中的算式为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·陕西榆林·开学考试）下列说法正确的是（   ） A．运用了加法交换律B．两个数相加，和一定大于其中一个加数 C．一定是正数 D．互为相反数的两个数的绝对值一定相等 3．（24-25七年级上·河南安阳·期末）温度由变为，表示温度（   ） A．上升了 B．下降了 C．上升了 D．下降了 4．（24-25七年级上·山东滨州·期末）数轴上有三个点，，，且为的中点，如果点表示数，线段的长为8，那么点表示的数是（   ） A．5 B．5或1 C． D．或1 5．（24-25七年级上·云南昭通·期末）对用生活实例解释其意义正确的是（   ） A．一物体从数轴的原点出发，向左移动3个单位，再向右移动2个单位，现在该物体在数轴上对应点的数为1 B．某人做生意1月份赚了2万元，2月份亏了3万元，他这两个月合计亏了1万元 C．今天早上的气温是零上，随着冷空气的到来，下午气温下降了．现在的气温是零下 D．某人早上从水池里打水冲洗道路用了水，接着他又往水池注入水，现在水池里的水比原来多了 6．（24-25七年级下·新疆喀什·开学考试）若，则的值为（ ） A．1 B．5 C． D． 7．（23-24七年级上·江苏宿迁·阶段练习）下列变形，运用加法运算律错误的是（   ） A． B． C． D． 8．（24-25七年级上·云南昭通·期末）【阅读材料】“洛书”（图1）是我国文化中最古老、最神秘的事物之一，数出图1中各处的圆圈和圆点个数，并按照图1中的顺序把它填入正方形方格中，就得到一个幻方（图2），在这个幻方中，9个格中的数字之间有什么样的关系： ．（用文字语言叙述） 9．（23-24七年级上·北京西城·期末）“幻方”最早记载于春秋时期的《大戴礼》中，现将1，2，3，4，5，7，8，9这八个数字填入如图1所示的“幻方”中，使得每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等．若按同样的要求重新填数如图2所示，则的值是 ，的值是 ． 10．（2024七年级上·全国·专题练习）计算： ． 11．（22-23六年级·上海·假期作业） 12．（24-25七年级上·吉林长春·阶段练习）小明开车从家出发，在东西走向的道路上行驶，规定向东为正，向西为负，从出发到停车，行驶的路程记录如下（单位：千米）； ，，，，，． (1)停车时，小明在家的哪边？距离多远？ (2)汽车在行驶过程中，若每行驶千米耗油0.1升，则汽车共耗油多少升？ 13．（2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$