专题10 空间直线与平面的平行问题4种常考题型总结（河北专用）-【好题汇编】备战2024-2025学年高一数学下学期期末真题分类汇编

专题10 空间直线与平面的平行问题4种常考题型总结 题型概览 题型 01 平行关系的判定 题型 02 线面平行的证明 题型 03 面面平行的证明 题型 04 平行关系的探索性问题 ( 题型01 ) 平行关系的判定 1．（2023秋•武强县校级期末）已知，是两条不同直线，是平面，且，，“”是“”的　　 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 （多选）2．（2023秋•唐山期末）如图，正三棱柱的各条棱长都为2，，分别是，的中点，则　　 A． B． C． D．平面 3．（2024春•涉县校级期末）设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，已知，，则“，”是“”的　　 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（2024秋•邯郸期末）设，是空间中两条不同的直线，，是空间中两个不同的平面，那么下列说法正确的为　　 A．若，，则 B．若，，，则 C．若，，则 D．若，，，则 ( 题型0 2 ) 线面平行的证明 5．（2025春•武强县校级期末）如图，在直三棱柱中，，分别为，的中点． （Ⅰ）求证：平面； （Ⅱ）若，求直三棱柱的体积和表面积． 6．（2024秋•枣强县校级期末）如图，四棱锥中，平面平面，△为等边三角形，底面为等腰梯形，且，点是棱的中点，过点，，的平面交棱于点． （1）证明：平面； 7．（2024春•武强县校级期末）如图，多面体中，四边形为矩形，二面角为，，，，，． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 8．（2021春•保定期末）在四棱锥中，底面是矩形，底面，点是中点． （1）求证：平面； （2）若，，求三棱锥的表面积． 9．（2020春•卢龙县期末）如图，在边长为的菱形中，，面，，是和的中点． （1）求证：平面； （2）求到平面的距离． ( 题型0 3 ) 面面平行的证明 10．（2023春•元氏县校级期末）如图，在三棱柱中，，，分别为，，的中点． （1）求证：平面； （2）求证：平面平面． 11．（2024春•广平县校级期末）在正方体中，、、分别是、和的中点，求证： （1）平面； （2）平面平面． ( 题型0 4 ) 平行关系的探索性问题 13．（2024秋•邯郸期末）如图，已知四棱锥中，平面平面，底面为矩形，且，，，为棱的中点，点在棱上，且． （1）证明：； （2）在棱上是否存在一点使平面？若存在，请指出点的位置并证明；若不存在，请说明理由． （多选）1．（2022秋•沧州期末）如图所示，已知几何体是正方体，则　　 A．平面 B．平面 C．异面直线与所成的角为 D．异面直线与所成的角为 （多选）2．（2023春•邢台期末）在正方体中，，，，分别为，，的中点，则　　 A．，为异面直线 B．平面截正方体所得截面的面积为 C．平面 D． 3．（2021秋•博野县校级期末）如图，在棱长为2的正方体中，点，分别是棱，的中点，是侧面正方形内一点（含边界），若平面，则线段长度的取值范围是 　　． 4．（2020秋•冀州区校级期末）如图，在下列四个正方体中，，为正方体的两个顶点，，，为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线与平面不平行的是　　 A． B． C． D． 5．（2020秋•迁安市期末）如图，在三棱柱中，平面，，，，、分别为、的中点． （Ⅰ）求证：平面； （Ⅱ）求三棱锥的体积． 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题10 空间直线与平面的平行问题4种常考题型总结 题型概览 题型 01 平行关系的判定 题型 02 线面平行的证明 题型 03 面面平行的证明 题型 04 平行关系的探索性问题 ( 题型01 ) 平行关系的判定 1．（2023秋•武强县校级期末）已知，是两条不同直线，是平面，且，，“”是“”的　　 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【解析】一条直线平行平面，但这条直线不一定和平面内的直线平行，所以由，不能得到， 而，，，则， 所以“”是“”的必要不充分条件． 故选：． （多选）2．（2023秋•唐山期末）如图，正三棱柱的各条棱长都为2，，分别是，的中点，则　　 A． B． C． D．平面 【解析】取中点，连接，， 正三棱柱中，，分别是，的中点， 底面，则，又，， 若，则平面，则，又， 是等边三角形，，则与不垂直，项错误； 取中点，则，且，则，且， 则四边形为平行四边形，则，若，则与相交矛盾，错误； 项，由于，在长方形中，，正确； 项，，平面，平面，平面，正确． 故选：． 3．（2024春•涉县校级期末）设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，已知，，则“，”是“”的　　 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【解析】，是不同的直线，，是不同的平面，且，，推不出“且”，缺少条件，相交； 若“”，则内任意一条直线都平行于平面，正确； 故“且”是“”的必要不充分条件， 故选：． 4．（2024秋•邯郸期末）设，是空间中两条不同的直线，，是空间中两个不同的平面，那么下列说法正确的为　　 A．若，，则 B．若，，，则 C．若，，则 D．若，，，则 【解析】中，由面面平行的性质定理，可得正确； 中，由面面平行的性质定理可知直线，没有交点， 所以直线，平行或异面，所以不正确； 中，因为，，则或，所以不正确； 中，，，，当，相交时，，都平行于两个平面的交线也符合条件， 所以或与相交，所以不正确． 故选：． ( 题型0 2 ) 线面平行的证明 5．（2025春•武强县校级期末）如图，在直三棱柱中，，分别为，的中点． （Ⅰ）求证：平面； （Ⅱ）若，求直三棱柱的体积和表面积． 【解析】（Ⅰ）证明：取的中点，连接，， 因为为的中点，所以，， 因为四边形为平行四边形，为的中点， 所以，且， 所以，且， 所以四边形为平行四边形，所以， 又因为平面，平面， 所以平面； （Ⅱ）因为，所以△为直角三角形， 所以， 所以； ． 6．（2024秋•枣强县校级期末）如图，四棱锥中，平面平面，△为等边三角形，底面为等腰梯形，且，点是棱的中点，过点，，的平面交棱于点． （1）证明：平面； 【解析】（1）证明：因为底面为等腰梯形，且， 所以， 又因为平面，平面， 所以平面； 7．（2024春•武强县校级期末）如图，多面体中，四边形为矩形，二面角为，，，，，． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 【解析】（1）证明：是矩形， ，又平面， 平面， ，平面，平面， 又，平面平面， 平面，平面． （2），，即为二面角的平面角， ，又，平面， 又平面，平面平面， 作于，则平面．连结， 所以直线与平面所成角为，，， 所以． 直线与平面所成角的正弦值为． 8．（2021春•保定期末）在四棱锥中，底面是矩形，底面，点是中点． （1）求证：平面； （2）若，，求三棱锥的表面积． 【解析】（1）证明：连结，交于点，连接． 显然，为中点， 又为中点，在中， 由中位线定理可得：， 又面，面， 面． （2）底面，、平面， ，， ， 易知， 四边形为矩形，面， ，，， 面， ， 则为直角三角形， 在中，易得， ， ． 9．（2020春•卢龙县期末）如图，在边长为的菱形中，，面，，是和的中点． （1）求证：平面； （2）求到平面的距离． 【解析】（1）证明：，， 又平面，平面， 故平面； （2）解：在面内作过作于 面，面 面面 又面面，，面面 又平面，故点到平面的距离等于点到平面的距离． 在直角三角形中，，，， 故点到平面的距离等于点到平面的距离， 等于． ( 题型0 3 ) 面面平行的证明 10．（2023春•元氏县校级期末）如图，在三棱柱中，，，分别为，，的中点． （1）求证：平面； （2）求证：平面平面． 【解析】（1）证明：因为平面，，所以平面， （2）证明：因为，，所以四边形是平行四边形，所以， 又因为平面，所以平面，又因为平面，， 所以平面平面． 11．（2024春•广平县校级期末）在正方体中，、、分别是、和的中点，求证： （1）平面； （2）平面平面． 【解析】证明：（1）连接，， 是正方形，是中点， 是中点， 又是中点， ， 平面，平面， 平面； （2）连接，， 是正方形，是的中点， 是中点， 又是中点， ， 平面，平面， 平面， 由（1）得平面，且， 平面平面． ( 题型0 4 ) 平行关系的探索性问题 13．（2024秋•邯郸期末）如图，已知四棱锥中，平面平面，底面为矩形，且，，，为棱的中点，点在棱上，且． （1）证明：； （2）在棱上是否存在一点使平面？若存在，请指出点的位置并证明；若不存在，请说明理由． 【解析】证明：（1）连接，，， 四棱锥中，，为的中点，所以， 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面，平面，所以， 在矩形中，， 因为，，， 所以，所以， 又，，所以平面， 又平面，所以， 解：（2）存在，为线段上靠近点的三等分点． 取的三等分点（靠近点，连接， 易知，，所以四边形是平行四边形，所以， 取中点，连接，所以，所以， 又平面，平面，则平面， 因为为中点，所以为的三等分点（靠近点， 连接，，所以， 又平面，平面，则平面， 又，平面，平面， 所以平面平面， 又平面，所以平面． （多选）1．（2022秋•沧州期末）如图所示，已知几何体是正方体，则　　 A．平面 B．平面 C．异面直线与所成的角为 D．异面直线与所成的角为 【解析】对于，由几何体是正方体可知，而平面， 故与平面相交，故错误； 对于，平面平面，且平面， 所以平面，故正确； 对于，，与均为正方体面对角线，故， 三角形是等边三角形， 则直线与所成的角为，故正确； 对于，， 同理，三角形是等边三角形， 直线与所成的角为，故错误． 故选：． （多选）2．（2023春•邢台期末）在正方体中，，，，分别为，，的中点，则　　 A．，为异面直线 B．平面截正方体所得截面的面积为 C．平面 D． 【解析】如图所示， 易得，即，在同一平面，错误； 平面截正方体所得的截面是边长为的正六边形， 该正六边形的面积为，正确； 易证平面，平面，又， 则平面平面， 因为平面， 所以平面，正确； 易证，又，， 则平面， 则，正确． 故选：． 3．（2021秋•博野县校级期末）如图，在棱长为2的正方体中，点，分别是棱，的中点，是侧面正方形内一点（含边界），若平面，则线段长度的取值范围是 　　． 【解析】如图所示： 取的中点，连接，，， 在正方体中，易得， 又因为平面，平面，所以平面， 同理证得平面，又因为， 所以平面平面， 因为是侧面内一点（含边界），且平面， 所以点在线段上运动， 如图所示： 在等腰中，作，且， 所以， 设点到线段的距离为， 由等面积法，得，解得， 所以线段长度的取值范围是， 故答案为：． 4．（2020秋•冀州区校级期末）如图，在下列四个正方体中，，为正方体的两个顶点，，，为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线与平面不平行的是　　 A． B． C． D． 【解析】对于选项，由于，结合线面平行判定定理可知与平面平行； 对于选项，如图， 为底面对角线的交点，可得， 又平面， 所以直线与平面不平行． 对于选项，由题意，可得，结合线面平行判定定理可知与平面平行； 对于选项，由于，结合线面平行判定定理可知与平面平行； 故选：． 5．（2020秋•迁安市期末）如图，在三棱柱中，平面，，，，、分别为、的中点． （Ⅰ）求证：平面； （Ⅱ）求三棱锥的体积． 【解析】（Ⅰ）法一：取中点，连结，， ，分别是，的中点， ，且； 又，且， ，且， 四边形为平行四边形， ； 又平面，平面， 平面； 法二：取中点，连结，， 则，且， 四边形为平行四边形， ； 又平面，平面， 平面， 、分别为、的中点， ； 又平面，平面， 平面； 又，平面，平面， 平面平面； 又平面， 平面； （Ⅱ），，， ； 三棱锥的体积为 ． 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$