专题12 空间角与空间距离的综合4种常考题型总结（河北专用）-【好题汇编】备战2024-2025学年高一数学下学期期末真题分类汇编

专题12 空间角与空间距离的综合4种常考题型总结 题型概览 题型 01 求异面直线所成角 题型 02 求直线与平面所成角 题型 03 求二面角 题型 04 求点到平面的距离 ( 题型01 ) 求异面直线所成角 1．（2025春•武强县校级期末）如图，在正方体中，，分别为，的中点，异面直线与所成角为　　 A． B． C． D． 2．（2024春•承德期末）在正四棱锥中，，，是棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值是　　 A． B． C． D． 3．（2024春•沧州期末）如图，在正三棱台中，，，分别是，的中点，则异面直线，所成角的余弦值为　　 A． B． C． D． 4．（2024春•唐山期末）在正四面体中，是棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为　　 A． B． C． D． 5．（2024春•邯郸期末）在如图所示的圆锥中，为底面圆的直径，为的中点，，则异面直线与所成角的余弦值为 　　． 6．（2024春•邢台期末）在正方体中，，分别为棱，的中点，则直线与直线所成角的余弦值为 　　． 7．（2024春•邢台期末）如图所示，在四棱柱中，侧面都是矩形，底面四边形是菱形，且，，若异面直线和所成的角的大小是，则的长度是 　　． 8．（2023春•秦皇岛期末）在三棱锥中，，均为等边三角形，，，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为　　 A．0 B． C． D．1 9．（2023春•唐山期末）在正三棱柱中，，为棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为　　 A． B． C． D． ( 题型02 ) 求直线与平面所成角 10．（2024春•张家口期末）在正四棱锥中，，与平面所成角的余弦值为，则四棱锥外接球的体积为 　　． 11．（2024春•河北期末）如图，在四棱锥中，平面，，，，，为的中点，为的中点． （1）证明：平面． （2）证明：平面． （3）求直线与平面所成角的正弦值． 12．（2024春•辛集市期末）如图，已知等腰梯形中，，，是的中点，，将沿着翻折成△，使平面平面． （1）求证：平面； （2）求与平面所成的角； （3）在线段上是否存在点，使得平面，若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 13．（2021春•安平县校级期末）在《九章算术》中，将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”．如图，四棱锥为阳马，侧棱底面，，为棱的中点，则直线与平面所成角的正弦值为　　 A． B． C． D． 14．（2023春•曹妃甸区校级期末）如图所示，垂直于以为直径的圆所在的平面，为圆上异于，的任意一点．若，，记直线与平面所成的角为，，则的最大值为　　 A． B． C． D． 15．（2023春•昌黎县校级期末）如图，在长方体中，，．则直线与平面所成角的余弦值是　　 A． B． C． D． ( 题型03 ) 求二面角 16．（2023春•石家庄期末）在三棱锥中，底面是边长为3的等边三角形，，，若此三棱锥外接球的表面积为，则二面角的余弦值为　　 A． B． C． D． 17．（2024春•邢台期末）已知正方体． （1）证明：． （2）求二面角的余弦值． （多选）18．（2024春•深州市校级期末）如图，在表面积为的正方体中，点在侧面（包含边界）内运动，则下列结论正确的有　　 A．直线 B．二面角的大小为 C．三棱锥的外接球体积为 D．过三点，，的正方体的截面面积的最大值为 19．（2020春•保定期末）若正四面体的每条棱长均为2，则二面角的余弦值为　　 A． B． C． D． 20．（2024春•张家口期末）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，平面，平面平面，平面平面． （1）证明：； （2）证明：平面； （3）当为何值时，二面角的余弦值为． 21．（2020春•邯郸期末）把正方形沿对角线折起，当以，，，四点为顶点的三棱锥体积最大时，二面角的大小为　　 A． B． C． D． 22．（2024春•张家口期末）如图，在矩形中，，，是的中点，将沿折起使点到点的位置，是的中点． （1）证明：平面； （2）若，证明：平面平面； （3）在（2）的条件下，求二面角的余弦值． 23．（2024春•唐山期末）如图，在三棱柱中，，，侧面为矩形． （1）记平面与平面交线为，证明：； （2）证明：△为等边三角形； （3）若，，且为棱的中点，求平面与平面所成二面角的正弦值． ( 题型04 ) 求点到平面的距离 24．（2020春•卢龙县期末）如图，在边长为的菱形中，，面，，是和的中点． （1）求证：平面； （2）求到平面的距离． 25．（2024春•河北期末）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．在如图所示的阳马中，侧棱底面，且，点是的中点，连接，，． （1）证明：平面； （2）证明：平面．试判断四面体是否为鳖臑．若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，请说明理由； （3）若二面角为，求点到平面的距离． 26．（2023春•长安区校级期末）设四边形为矩形，点为平面外一点，且平面，若，． （1）求与平面所成角的正切值； （2）在边上是否存在一点，使得点到平面的距离为，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由； （3）若点是的中点，在内确定一点，使的值最小，并求此时的值． （多选）27．（2021春•河北期末）如图，在直三棱柱中，，是等边三角形，点为该三棱柱外接球的球心，则下列命题正确的是　　 A．平面 B．异面直线与所成角的大小是 C．球的表面积是 D．点到平面的距离是 28．（2019春•邢台期末）如图，在四棱锥中，平面，，，，，点在棱上 （1）证明：平面 （2）若三棱锥的体积为，求点到平面的距离 1．（2021春•沧州期末）如图，四棱锥的侧面是边长为2的正三角形，底面为矩形，且平面平面，，分别为，的中点，二面角的正切值为2． （1）求四棱锥的体积； （2）证明：； （3）求直线与平面所成角的正弦值． 2．（2024春•深州市校级期末）如图，已知，在平面内，是平面的斜线，且，，，则直线与平面所成的角的大小为 　　． （多选）3．（2024春•唐县校级期末）正方体的棱长为2，，，分别为，，的中点，点为线段上的动点，则下列结论正确的是　　 A．直线与所成角的余弦值为 B．三棱锥的体积为定值 C．平面截正方体所得的截面周长为 D．直线与平面所成角的正弦值为 （多选）4．（2024春•定州市期末）在正四棱柱中，，，则　　 A．正四棱柱的侧面积为24 B．与平面所成角的正切值为 C．异面直线与所成角的余弦值为 D．三棱锥内切球的半径为 5．（2024春•保定期末）一块四棱锥木块如图所示，平面，四边形为平行四边形，且，． （1）要经过点、将木料锯开，使得截面平行于侧棱，在木料表面该怎样画线？并说明理由； （2）计算（1）中所得截面的面积； （3）求直线与（1）中截面所在平面所成角的正弦值． 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题12 空间角与空间距离的综合4种常考题型总结 题型概览 题型 01 求异面直线所成角 题型 02 求直线与平面所成角 题型 03 求二面角 题型 04 求点到平面的距离 ( 题型01 ) 求异面直线所成角 1．（2025春•武强县校级期末）如图，在正方体中，，分别为，的中点，异面直线与所成角为　　 A． B． C． D． 【解析】连结、， 因为在正方形与正方形中，、分别为、的中点， 所以是△的中位线，可得， 所以异面直线与所成角即为直线与所成角， 结合，可知异面直线与所成角等于． 故选：． 2．（2024春•承德期末）在正四棱锥中，，，是棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值是　　 A． B． C． D． 【解析】在正四棱锥中，，，是棱的中点， 取中心为坐标原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系， 由题意知，，，， 所以，，，， ， ，， 所以． 故选：． 3．（2024春•沧州期末）如图，在正三棱台中，，，分别是，的中点，则异面直线，所成角的余弦值为　　 A． B． C． D． 【解析】如图所示，因为，由题意可得， 连接，，取的中点，连接，， 在正三棱台中，设， 由，分别是，的中点易知，，且， 所以四边形是平行四边形，所以， 即为异面直线，所成角（或其补角）， 在梯形中，为梯形的高，， 可得，， ， 即，， 在中，易知， 所以， 即异面直线，所成角的余弦值为． 故选：． 4．（2024春•唐山期末）在正四面体中，是棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为　　 A． B． C． D． 【解析】设正四面体的棱长为2，取的中点，连接，， 由是棱的中点，得， 则为异面直线与所成的角（或其补角）， 在中，，， 则． 异面直线与所成角的余弦值为． 故选：． 5．（2024春•邯郸期末）在如图所示的圆锥中，为底面圆的直径，为的中点，，则异面直线与所成角的余弦值为 　　． 【解析】如图所示，连接，分别取，的中点，，连接，，， 则，，所以或其补角为异面直线与所成角， 作于点，连接，由为的中点，可得，且， 而，则， 由余弦定理可得， 则， 则异面直线与所成角的余弦值为． 故答案为：． 6．（2024春•邢台期末）在正方体中，，分别为棱，的中点，则直线与直线所成角的余弦值为 　　． 【解析】如图所示： 设，分别为棱，的中点，连接，，， 由正方体的性质易得，， 所以为直线与直线所成的角， 设正方体的棱长为2，则，，， 即直线与直线所成角的余弦值为． 故答案为：． 7．（2024春•邢台期末）如图所示，在四棱柱中，侧面都是矩形，底面四边形是菱形，且，，若异面直线和所成的角的大小是，则的长度是 　　． 【解析】连接，， 由题意可知， 所以与所成的角等于异面直线和所成的角， 因为异面直线和所成的角的大小是， 所以， 菱形中，，， 所以， 在△中，，，， 所以， 解得． 8．（2023春•秦皇岛期末）在三棱锥中，，均为等边三角形，，，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为　　 A．0 B． C． D．1 【解析】如图，取的中点，连接，，则， 异面直线与所成角即为异面直线与所成角， 而异面直线与所成角的余弦值为， 因为，均为等边三角形，， 所以， 在中，，， 因为，所以，所以， ，所以． 故选：． 9．（2023春•唐山期末）在正三棱柱中，，为棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为　　 A． B． C． D． 【解析】记的中点为，连接，，如图， 因为为棱的中点，为的中点，所以， 所以为异面直线与的所成角（或补角）， 因为在正三棱柱中，， 所以，，， 所以在△中，， 所以异面直线与所成角的余弦值为． 故选：． ( 题型02 ) 求直线与平面所成角 10．（2024春•张家口期末）在正四棱锥中，，与平面所成角的余弦值为，则四棱锥外接球的体积为 　　． 【解析】已知在正四棱锥中，， 设， 则面， 又与平面所成角的余弦值为， 即， 则， 则， 即， 设为四棱锥外接球的直径， 则， 由射影定理可得：， 则， 即四棱锥外接球的半径为3， 即四棱锥外接球的体积为． 故答案为：． 11．（2024春•河北期末）如图，在四棱锥中，平面，，，，，为的中点，为的中点． （1）证明：平面． （2）证明：平面． （3）求直线与平面所成角的正弦值． 【解析】（1）证明：因为，，，为的中点，为的中点， 连接，，设，连接， 可得四边形为矩形， 可得为的中点，所以， 又因为平面，平面， 所以平面； （2）证明：因为平面，平面， 所以， 易证得，， 所以平面， 因为平面， 所以， 又因为，为的中点， 所以， 又因为， 所以平面； （3）解：，， 可得，， 由（2）可得平面， 所以为直线与平面所成的角， 所以． 所以直线与平面所成角的正弦值为． 12．（2024春•辛集市期末）如图，已知等腰梯形中，，，是的中点，，将沿着翻折成△，使平面平面． （1）求证：平面； （2）求与平面所成的角； （3）在线段上是否存在点，使得平面，若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【解析】（1）证明：，是的中点，， 故四边形是菱形，从而， 沿着翻折成△后，，， 又， 平面， 由题意，易知，， 四边形是平行四边形，故， 平面； （2）解：平面， 与平面所成的角为， 由已知条件，可知，， △是正三角形，， 与平面所成的角为； （3）假设线段上是存在点，使得平面， 过点作交于，连结，，如下图： ，，，，四点共面， 又平面，， 四边形为平行四边形，故， 为中点， 故在线段上存在点，使得平面，且． 13．（2021春•安平县校级期末）在《九章算术》中，将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”．如图，四棱锥为阳马，侧棱底面，，为棱的中点，则直线与平面所成角的正弦值为　　 A． B． C． D． 【解析】如图，侧棱底面，平面， 则平面平面， 底面为矩形，， 而平面平面，平面． 连接，则为在平面上的射影， 则为与底面所成角， 设，则，， ． ． 即直线与平面所成角的正弦值为． 故选：． 14．（2023春•曹妃甸区校级期末）如图所示，垂直于以为直径的圆所在的平面，为圆上异于，的任意一点．若，，记直线与平面所成的角为，，则的最大值为　　 A． B． C． D． 【解析】因为为以为直径的圆上异于，的任意一点， 所以，即． 又垂直于以为直径的圆所在的平面， 即平面，又平面，所以． 又，且、在面内，所以平面． 所以直线与平面所成的角为，即． 设，，则，且， 所以，， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 故选：． 15．（2023春•昌黎县校级期末）如图，在长方体中，，．则直线与平面所成角的余弦值是　　 A． B． C． D． 【解析】如图， 连接直线，显然，在长方体中，平面，故即为直线与平面所成角， 在△中，，，， ． 故选：． ( 题型03 ) 求二面角 16．（2023春•石家庄期末）在三棱锥中，底面是边长为3的等边三角形，，，若此三棱锥外接球的表面积为，则二面角的余弦值为　　 A． B． C． D． 【解析】因为，，， 所以， 所以， 所以为在直角三角形， 取的中点，则为的外心， 球心在过底面的外心， 球心在过底面的外心（中心）且垂直底面的直线上，也在过外心且垂直侧面的直线上， 如图： 因为三棱锥外接球的表面积为，即， 解得， 取的中点，连接，，，则， 所以，都垂直于， 所以是二面角的平面角， 又， ，，， 在中，， 又， 在中，， 所以， 所以， 在中，，， ， 由面得，又， 所以面， 由面得， 又，， 所以面， 又平面，平面有公共点， 所以，，，四点共面， 所以， 即二面角的大小为，其余弦值为． 故选：． 17．（2024春•邢台期末）已知正方体． （1）证明：． （2）求二面角的余弦值． 【解析】（1）证明：连接． 在正方体中，平面， 平面，所以． 在正方形中，． 因为，、平面， 所以平面．因为平面， 所以； （2）取的中点，连接，，则． 在正方体中， 因为平面，平面，所以． 又因为，，、平面， 所以平面，平面，则． 又因为，所以为二面角的平面角． 连接，设正方体的棱长为4．在中， ，， ． 由余弦定理得． 故二面角的余弦值为． （多选）18．（2024春•深州市校级期末）如图，在表面积为的正方体中，点在侧面（包含边界）内运动，则下列结论正确的有　　 A．直线 B．二面角的大小为 C．三棱锥的外接球体积为 D．过三点，，的正方体的截面面积的最大值为 【解析】对于，在表面积为的正方体中，点在侧面（包含边界）内运动， 连接，如图， 为正方体，，平面， 又平面，， 又，，平面，平面， 又平面，直线，故正确； 对于，由正方体性质，得平面，，平面， ，，二面角为，故错误； 对于，由题意得三棱锥的外接球即正方体的外接球， 其半径为体对角线的一半，即， 三棱锥的外接球体积为，故错误； 对于，由对称性，在△内与△内截面面积取最大值的情况相同， 且当在上时，截面即矩形，面积为． 故不妨设在△内（不包含． 设截面交，分别于，， 则由正方体性质与面面平行的性质可得，， ，截面为梯形． 设，，， ，，，，平面， 平面，平面． 又平面，，为梯形的高， 设，则， ． ，即，即，显然成立， 成立． ． 即， 过三点，，的正方体的截面面积的最大值为，故正确． 故选：． 19．（2020春•保定期末）若正四面体的每条棱长均为2，则二面角的余弦值为　　 A． B． C． D． 【解析】在正四面体中，取的中点，连接，， 如图所示由于和都为等边三角形，为的中点， 所以，，所以为两项邻面和平面的平面角， 由于四面体的各棱长为2， 故利用勾股定理得到， 故在中，， 故选：． 20．（2024春•张家口期末）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，平面，平面平面，平面平面． （1）证明：； （2）证明：平面； （3）当为何值时，二面角的余弦值为． 【解析】（1）证明：菱形中，，平面，平面， 则平面， 而平面平面，平面， 所以； （2）证明：在平面内过点作于，平面平面，平面平面， 则平面，而平面，于是， 又平面，平面， 则，而，平面， 因此平面，又， 所以平面； （3）由（2）知平面，平面，则， 菱形为正方形，由平面，平面，得， 过作于，连接，， ，而，， 则，有， 于是，则， 即，是二面角的平面角， 令，， ，而， 在中，由余弦定理得， 解得， 所以当的值为时，二面角的余弦值为． 21．（2020春•邯郸期末）把正方形沿对角线折起，当以，，，四点为顶点的三棱锥体积最大时，二面角的大小为　　 A． B． C． D． 【解析】如图所示，欲使得三棱锥体积最大， 三棱锥底面积一定，只须三棱锥的高最大即可， 即当平面平面时，三棱锥体积最大， 当以，，，四点为顶点的三棱锥体积最大时， 二面角的大小为． 故选：． 22．（2024春•张家口期末）如图，在矩形中，，，是的中点，将沿折起使点到点的位置，是的中点． （1）证明：平面； （2）若，证明：平面平面； （3）在（2）的条件下，求二面角的余弦值． 【解析】（1）证明：取的中点，连接，， 又是的中点，，且， 又，且， ，且， 四边形为平行四边形， ，又平面，平面， 平面； （2）证明：矩形中，，，是的中点， 易得，又， ，， 又，且， 平面，又平面， 平面平面； （3）由（2）可知平面平面， 在平面内过作于点，则平面， 又为等腰直角三角形，为中点， 再过作于点，连接，则根据三垂线定理可得即为所求， 取中点，则易知，又， ， ， 故二面角的余弦值为． 23．（2024春•唐山期末）如图，在三棱柱中，，，侧面为矩形． （1）记平面与平面交线为，证明：； （2）证明：△为等边三角形； （3）若，，且为棱的中点，求平面与平面所成二面角的正弦值． 【解析】（1）证明：因为在三棱柱中，， 由于平面，平面， 所以平面， 又因为平面，平面平面， 所以； （2）取的中点，棱的中点，连接，， 因为，为的中点， 所以， 又因为侧面为矩形，为的中点，为棱的中点， 所以， 因为，平面，平面， 所以平面， 因为平面， 所以， 因为在三棱柱中，， 所以， 又因为为棱的中点， 所以， 又因为在三棱柱中，，，， 所以， 又因为，则， 所以△为等边三角形； （3）连接，交于，则为的中点， 因为为的中点，为棱的中点， 所以，， 又因为在三棱柱中，，， 所以，， 所以四边形为平行四边形， 则平面即平面， 则平面平面， 所以平面与平面所成二面角，即为平面与平面所成二面角， 因为，， 所以，，，， 则，所以， 因为为的中点，所以， 所以，， 取的中点，连接，， 所以，，且，， 所以平面与平面所成二面角为或的补角， 因为在△中，，，， 所以， 所以． ( 题型04 ) 求点到平面的距离 24．（2020春•卢龙县期末）如图，在边长为的菱形中，，面，，是和的中点． （1）求证：平面； （2）求到平面的距离． 【解析】（1）证明：，， 又平面，平面， 故平面； （2）解：在面内作过作于 面，面 面面 又面面，，面面 又平面，故点到平面的距离等于点到平面的距离． 在直角三角形中，，，， 故点到平面的距离等于点到平面的距离， 等于． 25．（2024春•河北期末）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．在如图所示的阳马中，侧棱底面，且，点是的中点，连接，，． （1）证明：平面； （2）证明：平面．试判断四面体是否为鳖臑．若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，请说明理由； （3）若二面角为，求点到平面的距离． 【解析】（1）证明：如图，连接，交于点，连接， 则点为的中点，又因为为的中点， 所以， 又平面，平面， 所以平面． （2）证明：因为底面，所以， 因为为长方形，所以， 因为，、平面， 所以平面，因为平面， 所以， 因为，点是的中点， 所以，因为，、平面， 所以平面， 由平面，平面， 可知四面体的四个面都是直角三角形， 即四面体是一个鳖臑，其四个面的直角分别是，，，． （3）如图，取的中点，连接，过作，连接， 因为，分别是，的中点，所以， 所以平面，又平面， 所以，又因为，，，平面， 所以平面， 所以就是二面角的平面角，即， 所以，又，得， 过作，因为平面，平面， 所以，又因为，，平面， 所以平面， 在中，，， 所以， 因为，互相平分，是的中点， 所以点到平面的距离等于点到平面的距离等于点到平面的距离的2倍等于1， 即点到平面的距离为1． 26．（2023春•长安区校级期末）设四边形为矩形，点为平面外一点，且平面，若，． （1）求与平面所成角的正切值； （2）在边上是否存在一点，使得点到平面的距离为，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由； （3）若点是的中点，在内确定一点，使的值最小，并求此时的值． 【解析】（1）因为平面，平面， 所以， 又因为底面是矩形， 所以， 又因为， 所以平面， 所以与平面所成角为， 在直角中，，，可得， 又， 在直角中，可得， 所以直线与平面所成角的正切值为． （2）假设边上存在一点满足题设条件，作， 又因为，， 所以平面， 因为使得点到平面的距离为， 所以，此时点为的中点， 所以， 故存在点，当时，使点到平面的距离为． （3）延长到，使得， 因为平面，平面， 所以， 又因为底面是矩形， 所以， 又， 所以平面， 所以是点关于面的对称点， 连接，交面于，则点是使的值最小时，在面上的一点， 作于，则点是的中点， 连接交于，连接， 则， 所以， 又， 所以， 而， 所以． （多选）27．（2021春•河北期末）如图，在直三棱柱中，，是等边三角形，点为该三棱柱外接球的球心，则下列命题正确的是　　 A．平面 B．异面直线与所成角的大小是 C．球的表面积是 D．点到平面的距离是 【解析】如图，由题意可知． 因为平面，平面， 所以平面，故正确． 因为，所以是异面直线与所成的角． 因为， 所以， 所以，故错误． 设△外接圆的圆心为，连接，，， 由题意可得，， 则球的半径， 从而球的表面积是，故正确． 设△外接圆的半径为， 由题意可得， 则． 由正弦定理可得， 则点到平面的距离，故正确． 故选：． 28．（2019春•邢台期末）如图，在四棱锥中，平面，，，，，点在棱上 （1）证明：平面 （2）若三棱锥的体积为，求点到平面的距离 【解析】证明：（1），，，即， 平面，，且 平面 解（2）三棱锥的体积为， ，． ． 为中点，即点到平面的距离等于点到平面的距离． 在中，由余弦定理可得． 由． 点到平面的距离为． 1．（2021春•沧州期末）如图，四棱锥的侧面是边长为2的正三角形，底面为矩形，且平面平面，，分别为，的中点，二面角的正切值为2． （1）求四棱锥的体积； （2）证明：； （3）求直线与平面所成角的正弦值． 【解析】（1）解：为正三角形，为中点， ， 又平面平面，平面平面， 平面， 又平面， ， 为二面角的平面角， ， 又，， 底面为正方形． 又易得， 四棱的体积． （2）证明：由（1）知，平面，平面， ， 在正方形中，易知， ， 而， ， ， ， 平面， 平面， ． （3）解：设，连接，． 平面． 为直线与平面所成的角， 可求得，，， ， 又，， ， 直线与平面所成角的正弦值为． 2．（2024春•深州市校级期末）如图，已知，在平面内，是平面的斜线，且，，，则直线与平面所成的角的大小为 　　． 【解析】取线段的中点，连接，，并延长，作，如图， ，，，， 则由余弦定理得，即， 同理可得， ，是的中点，，， 而，即，因此，， ，，，，平面， 平面，又平面， ，又，，，平面， 平面，是直线与平面所成的角， ， 线面角的范围为，， ， 所以直线与平面所成的角的大小为． 故答案为：． （多选）3．（2024春•唐县校级期末）正方体的棱长为2，，，分别为，，的中点，点为线段上的动点，则下列结论正确的是　　 A．直线与所成角的余弦值为 B．三棱锥的体积为定值 C．平面截正方体所得的截面周长为 D．直线与平面所成角的正弦值为 【解析】对于，取中点，连接、、， 则由题意可知，，且， 所以是直线与所成角或补角，且， 所以直线与所成角余弦值为，故正确； 对于，连接，， 由正方体几何性质可知且， 所以四边形是平行四边形，故， 又，所以，故与共面且过与的面有且只有一个， 故四边形是平面截正方体所得的截面图形， 连接，则由、均为所在边的中点以及正方体性质得，且， 故，又平面，平面， 所以平面，故点到平面的距离即为到平面的距离， 所以为定值，即三棱锥的体积为定值，故选项正确； 对于，由可知平面截正方体所得的截面图形为四边形， 又由上以及题意得，，， 所以平面截正方体所得的截面周长为，故正确； 对于，连接， 由正方体性质可知平面， 故是直线与平面所成的角， 又，所以， 所以，故直线与平面所成角的正弦值为，故错． 故选：． （多选）4．（2024春•定州市期末）在正四棱柱中，，，则　　 A．正四棱柱的侧面积为24 B．与平面所成角的正切值为 C．异面直线与所成角的余弦值为 D．三棱锥内切球的半径为 【解析】对于，正四棱柱的侧面积为，故正确； 对于，设， 因为，平面，平面， 所以，， 所以平面， 则为与平面所成的角， 因为，， 则，故正确； 对于，由，得或其补角为异面直线与所成的角， 因为，，则，故错误； 对于，三棱锥的表面积 ， 三棱锥的体积， 因为三棱锥体积为，其中为底面上的高，为三棱锥内切球半径， 所以三棱锥的内切球半径为，故正确． 故选：． 5．（2024春•保定期末）一块四棱锥木块如图所示，平面，四边形为平行四边形，且，． （1）要经过点、将木料锯开，使得截面平行于侧棱，在木料表面该怎样画线？并说明理由； （2）计算（1）中所得截面的面积； （3）求直线与（1）中截面所在平面所成角的正弦值． 【解析】（1）证明：连接和，相交于点， 取的中点，记为点，连接，，，则，即为所画的线，理由如下： 四边形为平行四边形， 点为的中点， 又点为的中点， 为三角形的中位线， ， 又面且面， 面； （2），，， ， ， ，， 又面且面， ，又面，面且， 面， 又面， ， ， 又， ， 又， ， 又， ， ， ； （3）设点到平面的距离为， ， ， 即， ， 直线与平面所成角的正弦值为． 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$