直线与抛物线的位置关系(2)-知识点训练卷 山东省2026年春季高考《数学考纲百套卷》第61卷（解析版+原卷版）

编写说明：山东省2026年春季高考《数学考纲百套卷》，依据《山东省春季高考数学考试标准》及山东春季高考历年真题进行编写。本套试卷共100份：第一部分是按照考试标准编写的68份知识点训练卷；第二部分是集合与充要条件、函数、三角函数等11个章节的22份专题训练卷；第三部分是参考近年考试真题编写的10份综合模拟卷。 本卷是山东省2026年春季高考《数学考纲百套卷》的第61卷，是知识点训练卷，主要考查直线与抛物线的位置关系、抛物线的弦长的掌握情况。 山东省2026年春季高考《数学考纲百套卷》 第61卷 直线与抛物线的位置关系（2） 知识点训练卷 考试时间：60分钟 满分：120分 班级 姓名 学号 成绩 一、选择题（本题共15小题，每小题4分，共60分。） 1．若直线与抛物线恰有两个交点，那么实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．过点作直线与抛物线只有一个公共点，满足条件的直线有（  ）条 A．1 B．2 C．3 D．4 3．直线与抛物线交于两个不同的点，且中点的横坐标为，则的值为（    ） A．和 B． C． D． 4．直线过抛物线的两交点，直线的方程是（    ）. A． B． C． D． 5．已知抛物线的方程是，过抛物线焦点且与x轴垂直的直线交抛物线于两点，则（   ） A． B．8 C． D．4 6．已知过抛物线焦点的直线与抛物线相交于两点，则．设过抛物线焦点的直线与抛物线相交于两点，则（   ）． A．2 B．3 C．4 D．5 7．与直线平行，且与抛物线相切的直线方程为（        ） A． B． C． D． 8．“”是“直线与抛物线有唯一公共点”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既非充分也非必要条件 9．已知直线与抛物线相切于M点，则M到C的焦点距离为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 10．已知抛物线的焦点为，直线过点与抛物线交于两点A，B，与y轴交于，若，则抛物线的准线方程为（  ） A． B． C． D． 11．已知抛物线，点，，点在抛物线上，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 12．已知抛物线，直线l：，则抛物线上一动点P到直线l的距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 13．设抛物线与过焦点的直线交于A，B两点，则的值为（    ） A． B． C．3 D． 14．已知抛物线的焦点为，过的直线交于，两点，若为坐标原点），则该直线的斜率为（   ） A． B．2 C． D． 15．已知以F为焦点的抛物线上的两点A，B（点A的横坐标大于点B的横坐标），满足（O为坐标原点），弦AB的中点M的横坐标为，则实数（    ） A． B． C．3 D．4 二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分） 16．已知点在抛物线上，F为抛物线的焦点，直线与准线相交于点B，则线段的长度为 ． 17．已知抛物线，过焦点的直线l与抛物线交于、两点，则等于 . 18．已知抛物线，直线l经过抛物线的焦点且斜率为1，直线l与抛物线交于AB两点，以AB为直径的圆的方程是 . 19．过抛物线 的焦点F的直线交抛物线于两点，O为坐标原点，若 ，则的面积为 ． 三、解答题（本题共4小题，每小题10分，共40分） 20．已知抛物线的焦点为，抛物线与直线的一个交点的横坐标为8． (1)求抛物线的方程； (2)已知直线与垂直，且与抛物线交于不同的两点，若的中点为，且点横坐标为3，求的面积． 21．已知点分别是椭圆的左、右焦点，抛物线的顶点在坐标原点，焦点与椭圆的右焦点重合． (1)求抛物线的标准方程； (2)设抛物线与椭圆的一个交点为点，直线经过点且与抛物线相交于两点，若线段的长度等于的周长，求直线的方程． 22．设抛物线的焦点为F，过F且斜率为的直线l与C交于A，B两点，，求： (1)直线l的方程； (2)过点A，B且与抛物线C的准线相切的圆的方程． 23．已知抛物线的顶点是坐标原点O，焦点F在x轴的正半轴上，Q是抛物线上的点，点Q到焦点F的距离为1，且到y轴的距离是. (1)求抛物线的标准方程； (2)若直线l经过点，与抛物线相交于A，B两点，且，求直线l的方程. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 编写说明：山东省2026年春季高考《数学考纲百套卷》，依据《山东省春季高考数学考试标准》及山东春季高考历年真题进行编写。本套试卷共100份：第一部分是按照考试标准编写的68份知识点训练卷；第二部分是集合与充要条件、函数、三角函数等11个章节的22份专题训练卷；第三部分是参考近年考试真题编写的10份综合模拟卷。 本卷是山东省2026年春季高考《数学考纲百套卷》的第61卷，是知识点训练卷，主要考查直线与抛物线的位置关系、抛物线的弦长的掌握情况。 山东省2026年春季高考《数学考纲百套卷》 第61卷 直线与抛物线的位置关系（2） 知识点训练卷 考试时间：60分钟 满分：120分 班级 姓名 学号 成绩 一、选择题（本题共15小题，每小题4分，共60分。） 1．若直线与抛物线恰有两个交点，那么实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】联立直线与抛物线方程，消去后得到关于的一元二次方程，再利用判别式即可得解. 【详解】因为直线与抛物线恰有两个交点， 联立，消去，得， 则，解得. 故选：C. 2．过点作直线与抛物线只有一个公共点，满足条件的直线有（  ）条 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据直线与抛物线的位置关系判断交点个数即可解得. 【详解】由题，可知抛物线方程为，点在抛物线外部， 则与抛物线只有一个公共点的直线共有三条， 分别为两条直线与抛物线相切，一条直线与抛物线对称轴平行. 故选：C 3．直线与抛物线交于两个不同的点，且中点的横坐标为，则的值为（    ） A．和 B． C． D． 【答案】B 【分析】联立直线与抛物线方程，利用两交点中点的横坐标可得结果. 【详解】解：由题可知，设直线与抛物线的两个不同的交点为， 联立直线与抛物线的方程为， 可得， 又知的中点横坐标为， 故可知. 故选：B. 4．直线过抛物线的两交点，直线的方程是（    ）. A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据联立方程组求解交点，再利用两点求得斜率，进而求解即可. 【详解】联立解得或. 即两抛物线的交点为. 所以直线的斜率. 所以过两抛物线的交点的直线的方程为即. 故选：A. 5．已知抛物线的方程是，过抛物线焦点且与x轴垂直的直线交抛物线于两点，则（   ） A． B．8 C． D．4 【答案】B 【分析】首先根据抛物线方程求出焦点坐标，再由过抛物线焦点且与x轴垂直的直线交抛物线于两点，求出两点坐标，即可求出. 【详解】由抛物线的方程是，可得， 焦点坐标为，过焦点且与x轴垂直的直线交抛物线于两点， 则两点的横坐标均为2，将代入， 得，解得， 所以，则. 故选：B. 6．已知过抛物线焦点的直线与抛物线相交于两点，则．设过抛物线焦点的直线与抛物线相交于两点，则（   ）． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】首先联立方程，利用韦达定理求出，再根据题目条件求解即可. 【详解】由题意易得，联立，消去y，得， 设方程的两个根分别为，则， 所以． 故选：C. 7．与直线平行，且与抛物线相切的直线方程为（        ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行设切线方程，联立切线与抛物线方程即可求解. 【详解】解：由题意得，设切线方程为 ． 联立消去可得， ． 因为直线与抛物线相切， 所以，解得. 所以切线方程为. 故选 ：C 8．“”是“直线与抛物线有唯一公共点”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既非充分也非必要条件 【答案】A 【分析】联立与，分与两种情况，结合根的判别式得到或，从而求出答案. 【详解】联立与得，， 当时，，只有一个根，满足要求， 当时，令，解得， 故直线与抛物线有唯一公共点”时，或， 故是“直线与抛物线有唯一公共点”的充分不必要条件. 故选：A 9．已知直线与抛物线相切于M点，则M到C的焦点距离为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】将直线与抛物线联立方程组，求出，得点坐标得解. 【详解】设抛物线的焦点为， 联立，消可得， 因为直线与抛物线相切，则， ，，， . 故选：B. 10．已知抛物线的焦点为，直线过点与抛物线交于两点A，B，与y轴交于，若，则抛物线的准线方程为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将直线方程和抛物线方程联立，利用根与系数的关系和焦点弦公式可求，据此可求解. 【详解】由抛物线可知，其焦点， 因为直线与y轴交于， 所以直线的斜率，其方程为. 将直线方程和抛物线方程联立，可得 ，消元、整理可得， 设，则， 所以， 解得，所以准线方程为. 故选：D 11．已知抛物线，点，，点在抛物线上，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】的最大值为抛物线过B点的切线的倾斜角或其补角． 【详解】 设抛物线过B的切线方程为， 联立方程得， 所以，解得或， 当时，点M在x轴上方，此时， 当时，点M在x轴下方，直线的倾斜角为，则, 所以的最大值为. 故选：A. 12．已知抛物线，直线l：，则抛物线上一动点P到直线l的距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设抛物线上一点为，求出点到直线的距离，利用配方法，由此能求出抛物线上一点到直线的距离最小值. 【详解】设抛物线上一点， 点到直线的距离. 当时，即当时， 抛物线上一点到直线的距离最短， 且为. 故选：D. 13．设抛物线与过焦点的直线交于A，B两点，则的值为（    ） A． B． C．3 D． 【答案】B 【分析】先求出抛物线焦点坐标，设出直线方程，将两方程联立，进而求解. 【详解】抛物线的焦点坐标为， 直线斜率存在时，设过焦点的直线为， 将直线方程与抛物线方程联立得 ， 设点， 则， 则， 经检验直线斜率不存在时也适合. 故选：B 14．已知抛物线的焦点为，过的直线交于，两点，若为坐标原点），则该直线的斜率为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】根据抛物线方程写出焦点坐标，设出过焦点的直线方程，根据韦达定理和三角形面积公式即可解得. 【详解】抛物线焦点为， 设过焦点的直线为：， 由，可得， ，，， 的面积为：， 可得：，解得， 所以． 故选：D 15．已知以F为焦点的抛物线上的两点A，B（点A的横坐标大于点B的横坐标），满足（O为坐标原点），弦AB的中点M的横坐标为，则实数（    ） A． B． C．3 D．4 【答案】D 【详解】由题意可得抛物线的焦点． 弦AB的中点M的横坐标为， 由已知条件可知直线AB的斜率存在． 设直线AB的方程为，， 则联立，消去y得， ∴，又因为弦AB的中点M的横坐标为， ∴，∴，， ∴点A到准线的距离为， 点B到准线的距离为， 所以∴， 又，，故． 故选：D 二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分） 16．已知点在抛物线上，F为抛物线的焦点，直线与准线相交于点B，则线段的长度为 ． 【答案】 【分析】先求出点A的坐标和焦点F的坐标，进而求出直线的方程，联立直线与准线方程得到点B的坐标，再利用两点间的距离公式求解即可. 【详解】如图， 点在抛物线上， 所以，解得， 易得的焦点为， 所以直线的方程为，即， 联立方程有，解得， 所以点坐标为， 所以. 故答案为：. 17．已知抛物线，过焦点的直线l与抛物线交于、两点，则等于 . 【答案】 【分析】先设直线l方程，再联立抛物线与直线方程，根据韦达定理即可求出. 【详解】抛物线焦点为， 过焦点的直线l与抛物线交于、两点， 当直线l斜率为时，与抛物线仅有一个交点，不满足题意， 当直线线l斜率不为时，设其直线方程为， 联立抛物线方程可得，整理得. 所以. 故答案为：. 18．已知抛物线，直线l经过抛物线的焦点且斜率为1，直线l与抛物线交于AB两点，以AB为直径的圆的方程是 . 【答案】 【分析】根据条件得到直线方程，再联立方程组，利用弦长公式与中点坐标公式求解即可. 【详解】因为抛物线的焦点为. 由题意可得，直线的方程为，即. 联立方程组，可得. 设.则. 所以. 所以线段的中点坐标为. 所以以AB为直径的圆的圆心为，半径. 所以以AB为直径的圆的方程为. 故答案为：. 19．过抛物线 的焦点F的直线交抛物线于两点，O为坐标原点，若 ，则的面积为 ． 【答案】/ 【分析】根据题意，结合抛物线的定义，求出点A的坐标，继而求出直线的斜率和方程，将直线方程与抛物线方程联立方程组，结合韦达定理，求出焦点弦的长度，结合原点到直线的距离，代入即可求出三角形的面积. 【详解】 因为抛物线方程为， 所以焦点，准线方程为， 因为， 所以点A到准线的距离为3，设， 则，所以， 所以，， 所以点， 所以直线的斜率， 所以直线的方程为， 所以，即， 所以，所以焦点弦， 又原点O到直线的距离， 所以的面积为. 故答案为：. 三、解答题（本题共4小题，每小题10分，共40分） 20．已知抛物线的焦点为，抛物线与直线的一个交点的横坐标为8． (1)求抛物线的方程； (2)已知直线与垂直，且与抛物线交于不同的两点，若的中点为，且点横坐标为3，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由抛物线与直线交点横坐标，代入解得，进而得到抛物线方程； （2）将抛物线方程与直线方程联立，结合韦达定理和点到直线距离公式计算. 【详解】（1）抛物线与直线的一个交点的横坐标为8， 可得，解得， 所以抛物线方程为． （2）由直线与垂直，所以可设直线， 且直线与抛物线交于、两点， 联立得， 由韦达定理，，得，因此 抛物线的焦点为，，到直线的距离：， ，   . 21．已知点分别是椭圆的左、右焦点，抛物线的顶点在坐标原点，焦点与椭圆的右焦点重合． (1)求抛物线的标准方程； (2)设抛物线与椭圆的一个交点为点，直线经过点且与抛物线相交于两点，若线段的长度等于的周长，求直线的方程． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）由椭圆标准方程可求得椭圆的右焦点的坐标，进而可得抛物线的值，代入即可求得抛物线方程； （2）由椭圆的定义可得的周长，对直线分斜率存在与不存在两种情况讨论，用点斜式设出直线的方程与抛物线方程进行联立，整理得到一元二次方程，再根据根与系数的关系，代入弦长公式求出斜率的值，从而求出直线方程. 【详解】（1）设抛物线的标准方程为， 椭圆中，， 所以，椭圆的右焦点， 所以抛物线中， 故抛物线的标准方程为． （2）的周长为． 假设直线的斜率不存在，则，， 所以假设不成立；设直线的斜率为，则， 消去整理得， 设，则， 所以， 解得，故所求直线的方程为． 22．设抛物线的焦点为F，过F且斜率为的直线l与C交于A，B两点，，求： (1)直线l的方程； (2)过点A，B且与抛物线C的准线相切的圆的方程． 【答案】(1). (2)或． 【分析】（1）由弦长公式,直线的点斜式方程即可得解. （2）由垂径定理及圆的几何性质即可得解. 【详解】（1）由题意得,l的方程为． 设. 由得. . ∵,. ∴． 由题知. 解得（舍去）或. ∴l的方程为． （2）由（1）得的中点坐标为， ∴的垂直平分线方程为,即． 设所求圆的圆心坐标为. 则. 整理得. 解得或. ∴所求圆的方程为或． 23．已知抛物线的顶点是坐标原点O，焦点F在x轴的正半轴上，Q是抛物线上的点，点Q到焦点F的距离为1，且到y轴的距离是. (1)求抛物线的标准方程； (2)若直线l经过点，与抛物线相交于A，B两点，且，求直线l的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设抛物线方程，由抛物线定义求解参数即可得到方程. （2）分斜率存在与不存在两种情况设出直线方程，直线斜率不存在时直接求出交点坐标，由向量内积判断两直线是否垂直即可；斜率存在时结合韦达定理表示出A，B两点横坐标之和与积，由向量内积为零求出直线斜率即可求出直线方程. 【详解】（1）由已知条件，可设抛物线的方程为， 因为点Q到焦点F的距离是1， 所以点Q到准线的距离是1，又因为点Q到y轴的距离是， 所以，解得， 所以抛物线方程是. （2）假设直线的斜率不存在，则直线l的方程为， 与联立，可解得交点A、B的坐标分别为，，易得， 可知直线与直线不垂直，不满足题意，故假设不成立，从而，直线l的斜率存在， 设直线l的斜率为k，则方程为，整理得， 设，，联立直线l与抛物线的方程得， 消去y，并整理得， 于是，， 所以， 又因为，所以，即， 即，解得或， 当时，直线l的方程是，不满足，舍去， 当时，满足，直线l的方程是，即， 所以直线l的方程是. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$