利用三角形数找规律。今天主要学习利用三角形数来解决坐标变化规律问题。学习之前我们先来了解一下什么是三角形数。相传古希腊数学家毕达哥拉斯有一独特爱好，把小石子摆成三角形来研究数学。这四个三角形中的石子的个数分别是13、60，这样的数叫三角形数。其实观察图形不难发现，后一个图形都比前一个图形多了最后一行小狮子。所以这前四个三角形数还可以写成1 1加2 1加2加3 1加2加3加4，以此类推，第N个三角形数就是1加2加3，一直加到N考考大家这个连续自然数的和等于多少呢？没错，选B它等于首尾相加乘以个数再除以2。大家一定要记住这个经典公式，接下来一起见证它在规律题中的神奇作用吧。例一，在坐标系中有若干个整数点，按箭头方向排列，如102021323130，按这个规律去推导第22个点坐标，要求这个点坐标我们需要先判断它的位置。仔细观察图形可发现，这些点是一列一列走的，第一列有一个点，第二列有二个点，第三列有三个点，第四列有四个点，第五列有五个点，以此类推，第N列就有N个点。那怎么找第22个点的位置呢？我们结合图形来看看这些列数和点的总数之间有什么规律，第一列共有一个点，前两列共有三个点，前三列共有六个点，前四列共有十个点。原来就是刚才所讲的三角形数。按照三角形数的规律，第N个三角形数就是二分之N乘N加1，这说明且N列共有二分之N乘N加一个点。好了，有了这个公式就可以算出第22个点在第几列了。怎么算呢？二分之N乘N加1约等于22，化简下就是N乘N加1约等于44。我们知道6乘7等于42，也就是说前六列共有21个点，22比21多1，那么可以判断第22个点一定在第七列，而且是第七列的第一个点。讲到这里你能得出它的横坐标吗？没错，答案是7。这些点的横坐标与它们所在的列数是一样的。接着我们再来推导纵坐标，通过观察点的运动方向，奇数列从上往下，偶数列从下往上好。第22个点就是位于第七列的第一个点，它的纵坐标是多少呢？没错，答案是6。因为第七列是奇数列，点是从上往下运动的，所以它位于第七列的最上方。我们再观察一下第三列和第五列，这些基数列的最上方的点坐标，他们的纵坐标都比横坐标小一，所以第22个点的纵坐标就是6，那么它的坐标就是七六了。来总结一下这种规律的解题方法。首先利用公式推算出与所求点较为接近的三角形数所在的列数，然后再确定所求点位置，也就是判断它在第几列第几个。最后根据列数来判断横坐标，再结合点的运动方向，判断纵坐标。这一点给大家举个例子，如果一个点位于第N列的第M个点，那它的横坐标就是N而纵坐标要结合点的运动方向去判断。当N为偶数时，看图，第一个点的纵坐标都是零，第二个点的纵坐标都是一，第三个点的纵坐标都是2，以此类推，第M个点的纵坐标就是M减1。当N为奇数时来看图，第一个点的纵坐标比横坐标小一，第二个点的纵坐标比横坐标小二，第三个点的纵坐标比横坐标小3，以此类推，第M个点的纵坐标就是N减M减记为横标看列竖纵标看奇偶。这时小橙子突然跳出来说，我有个更好的办法，要找第22个点坐标，按照前面的规律接着往后画七个点，然后把这些点坐标标记出来。瞧，答案就出来了。这个思路确实可行，不过我们再来做个辨识题，看看会不会有新发现。现在要找第2025个点的坐标，这可比刚才的第22个点大多了。看来小澄子的主点绘制法在这就不够高效了。别着急，咱们还按照刚才总结的方法来，先用公式找与2025较为接近的三角形数来确定它的位置。经过一系列的计算可知，前六十三列共有2016个点比2025小，前六十四列共有2080个点比2025大。这个计算别担心，后面会给大家拓展的。由此能够得出第2025个点在第六十四列。因为2025比2001十六大9，所以第64列的第九个点，显然它的横坐标是64，那纵坐标会是多少呢？没错是吧？因为偶数列从下往上，套用刚才的规律，纵坐标为9减1，也就是8，所以第2025个点的坐标为64 8。好了，来给大家拓展一下这个估算法要知道第2025个点在第几列，其实就是看哪个N能让二分之N乘N加1约等于2025，也就是N乘N加1约等于4050。因为N乘N加一接近于N的平方，所以想想哪个数的平方接近4050就行了。63的平方等于3969，64的平方等于4096，所以找乾63列和前64列附近的数就可以了。好了，一起总结一下今天的学习内容。今天主要学习了利用三角形数找规律问题，一般要先利用公式推算出与所求点较为接近的三角形数所在的列数，在确定所求点位置，也就是判断它在第几列第几个最后有列数判断横坐标，再根据点的运动方向推导纵坐标。像例题中偶数列从下往上，奇数列从上往下第N列的第M个点的纵坐标是有区别的。好了，今天这个视频就到这里，下个视频更精彩。