专题15 任意角和弧度制（讲义） - 河北省2026年对口升学考试一轮复习《数学知识点清单》（原卷版+解析版）

编写说明：河北省2026年对口升学考试一轮复习《数学知识点清单》，依据《中等职业学校数学课程标准》（2020年版）及历年高考真题进行编写。本资料将高考必备知识进行科学划分，系统总结归纳知识点，全面梳理高考题型。整套资料共包含12个模块共40个专题，每个专题均配备配套讲义、课件及练习题。 本专题是河北省2026年对口升学考试一轮复习《数学知识点清单》的第15个专题任意角和弧度制。本专题涵盖象限角、终边相同的角、弧度制等知识点，知识点后均配有真题及模拟题，供学生进行知识检测。 河北省2026年对口升学考试 一轮复习 《数学知识点清单》 专题15任意角和弧度制（讲义） 1. 角的概念 角可以看成一条射线绕着端点旋转所成的图形， 顶点：用O表示； 始边：用OA表示，用语言可表示为起始位置； 终边：用OB表示，用语言可表示为终止位置． 2. 正角、负角、零角 正角 一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角 负角 一条射线绕其端点按顺时针方向旋转形成的角 零角 一条射线没有作任何旋转，称它形成了一个零角 3. 象限角 如果角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角．如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限． 4.终边相同的角 所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和． 5.弧度制 ①定义：以弧度为单位来度量角的单位制． ②1弧度的角：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角． ③表示方法：1弧度记作1 rad. 6.弧度数 一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0. 如果半径为r的圆的圆心角α 所对弧的长为l，那么角α的弧度数的绝对值是|α|＝　. 7.弧度与角度的换算 （1）1°＝ rad　；②1rad＝ °　. (2)常用特殊角的弧度数 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 360° 0 π 2π 8.弧度制下的弧长公式与扇形面积公式 (1)弧长公式 在半径为r的圆中， l＝|α|r，其中α的单位是弧度． (2)扇形面积公式 ． 【考点1】象限角、终边相同的角 1．(2024年河北) 设为第三象限角,则点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2．(2023年河北)已知点P在第三象限，则终边在第（ ）象限. A. 一 B. 二 C. 三 D. 四 3．（2023年安徽）角的终边在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．（2023年浙江）已知角＝3，则的终边在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【考点2】弧度制 5．（2023年宁夏）一场考试需要2小时，在这场考试中钟表的时针转过的弧度数为（   ） A． B． C． D． 6．（2024年山东）已知扇形的圆心角为，面积为，则该扇形的弧长为（    ） A． B． C． D． 7．（2023年江西）已知扇形的圆心角为，面积为，则此扇形的半径为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 知识点1 象限角、终边相同的角 1．在~范围内与角终边相同的角是（  ） A． B． C． D． 2．角的终边落在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．若角的终边与相同，则是（   ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 4．下列命题中正确的是（    ） A．第一象限角必是锐角 B．终边相同的角相等 C．相等的角终边必相同 D．不相等的角其终边必不相同 5．角的终边所在的象限是（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 6. 将的终边按逆时针方向旋转得到角，则角的终边与下列哪个角的终边重合（    ） A． B． C． D． 7．在之间与终边相同的角是（   ） A． B． C． D． 8．角的终边在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 9．下列说法正确的是（    ） A．若的终边在第一象限，则是锐角 B．第二象限角大于第一象限角 C．终边相同的角是相等的角 D．角与角的终边相同 10．若角，则将角的终边绕坐标原点逆时针旋转后得到的角所在的象限是（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 知识点2 弧度制 1．某时钟在正常运行的情况下，从12：00运行到12：40时，分针转过的圆心角为（   ） A． B． C． D． 2．对应的角度等于（    ） A． B． C． D． 3．把角化为的形式为（　　） A． B． C． D． 4．已知扇形的弧长为，圆心角为，则该扇形的半径为（   ） A．3 B．6 C．12 D． 5．已知扇形的周长是8，面积是4，则该扇形的圆心角的弧度数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 6．荡秋千是中华大地上很多民族共有的游艺竞技项目.据现有文献记载，它源自先秦.位于广东清远的天子山悬崖秋千建在高198米的悬崖边上，该秋千的缆索长8米，荡起来最大摆角为120°，则该秋千最大摆角所对的弧长为（    ） A．米 B．米 C．13.6米 D．198米 7．若一扇形的弧长为20，半径为5，则扇形圆心角的弧度数为（    ） A．4 B． C． D． 8．已知弧长等于圆半径的2倍，则这段弧所对的圆周角的弧度数为（   ） A． B．1 C． D．2 9．已知圆心角为的扇形的半径为5，则该扇形的面积为（   ） A． B． C． D． 10．中国传统折扇有着极其深厚的文化底蕴．《乐府诗集》中《夏歌二十首》的第五首曰：“叠扇放床上，企想远风来轻袖佛华妆，窈窕登高台.”如图所示，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成若一把折扇完全打开时圆心角为，扇面所在大圆的半径为，所在小圆的半径为，那么这把折扇的扇面面积为（   ）. A． B． C． D．以上都不对 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 编写说明：河北省2026年对口升学考试一轮复习《数学知识点清单》，依据《中等职业学校数学课程标准》（2020年版）及历年高考真题进行编写。本资料将高考必备知识进行科学划分，系统总结归纳知识点，全面梳理高考题型。整套资料共包含12个模块共40个专题，每个专题均配备配套讲义、课件及练习题。 本专题是河北省2026年对口升学考试一轮复习《数学知识点清单》的第15个专题任意角和弧度制。本专题涵盖象限角、终边相同的角、弧度制等知识点，知识点后均配有真题及模拟题，供学生进行知识检测。 河北省2026年对口升学考试 一轮复习 《数学知识点清单》 专题15任意角和弧度制（讲义） 1. 角的概念 角可以看成一条射线绕着端点旋转所成的图形， 顶点：用O表示； 始边：用OA表示，用语言可表示为起始位置； 终边：用OB表示，用语言可表示为终止位置． 2. 正角、负角、零角 正角 一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角 负角 一条射线绕其端点按顺时针方向旋转形成的角 零角 一条射线没有作任何旋转，称它形成了一个零角 3. 象限角 如果角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角．如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限． 4.终边相同的角 所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和． 5.弧度制 ①定义：以弧度为单位来度量角的单位制． ②1弧度的角：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角． ③表示方法：1弧度记作1 rad. 6.弧度数 一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0. 如果半径为r的圆的圆心角α 所对弧的长为l，那么角α的弧度数的绝对值是|α|＝　. 7.弧度与角度的换算 （1）1°＝ rad　；②1rad＝ °　. (2)常用特殊角的弧度数 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 360° 0 π 2π 8.弧度制下的弧长公式与扇形面积公式 (1)弧长公式 在半径为r的圆中， l＝|α|r，其中α的单位是弧度． (2)扇形面积公式 ． 【考点1】象限角、终边相同的角 1．(2024年河北) 设为第三象限角,则点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】由象限角的三角函数值的符号即可得解. 【详解】因为为第三象限角,所以. 因为点. 所以点在第二象限. 故选:. 2．(2023年河北)已知点P在第三象限，则终边在第（ ）象限. A. 一 B. 二 C. 三 D. 四 【答案】C 【解析】 【分析】根据各象限三角函数值的正负即可求解. 【详解】因为点P在第三象限， 所以. 即终边在第三象限. 故选：C. 3．（2023年安徽）角的终边在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】先在中找出与终边相同的角，再判断所在的象限即可. 【详解】因为，所以角和角终边相同， 又，所以角的终边在第三象限， 所以角的终边在第三象限. 故选：C. 4．（2023年浙江）已知角＝3，则的终边在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】根据象限角的定义，和弧度转化为角度即可求解. 【详解】∵一个完整的圆对应弧度为，角度为, 所以得到，， 由得，故角的终边在第二象限. 故选:B. 【考点2】弧度制 5．（2023年宁夏）一场考试需要2小时，在这场考试中钟表的时针转过的弧度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据弧度的定义得出每小时时针转过的弧度数即可得解. 【详解】时针转一圈即小时对应的弧度为，那么每小时转过的弧度数为， 所以转过小时，时针转过的弧度为， 故选：. 6．（2024年山东）已知扇形的圆心角为，面积为，则该扇形的弧长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先由扇形面积为求出半径，再利用弧长公式即可求解. 【详解】设扇形的弧长为，半径为， 因为扇形的圆心角，面积， 所以，解得， 所以扇形的弧长为. 故选：B. 7．（2023年江西）已知扇形的圆心角为，面积为，则此扇形的半径为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】根据扇形面积公式求解即可解得. 【详解】设该扇形的半径为． 由题意得扇形的面积为， 解得． 故选：D 知识点1 象限角、终边相同的角 1．在~范围内与角终边相同的角是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据终边相同的角相差的整数倍，即可求解. 【详解】选项A，，角度差不是的整数倍，错误， 选项B，，角度差不是的整数倍，错误， 选项C，，角度差是的整数倍，正确， 选项D，，角度差不是的整数倍，错误， 故选：C. 2．角的终边落在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】根据将所给的大角转化成小角，结合终边相同角的概念即可求解. 【详解】由题意得，，因为角的终边落在第四象限， 所以角的终边落在第四象限. 故选：D. 3．若角的终边与相同，则是（   ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【答案】C 【分析】先找到与角的终边相同的角，即可求解. 【详解】因为角的终边与相同， 所以， 即角的终边与的终边相同， 又是第三象限角，故角是第三象限角. 故选：C. 4．下列命题中正确的是（    ） A．第一象限角必是锐角 B．终边相同的角相等 C．相等的角终边必相同 D．不相等的角其终边必不相同 【答案】C 【分析】利用象限角与终边相同的角的定义即可判断. 【详解】A，是第一象限角，但不是锐角，故A错误； B，和终边相同，但不相等，故B错误； C，由角的定义可知，相等的角终边必相同，故C正确； D，和不相等，但终边相同，D错误 故选：C. 5．角的终边所在的象限是（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】利用终边相同的角的定义，结合象限角的定义即可得解. 【详解】因为，， 所以是第三角限角，即角的终边所在的象限为第三象限. 故选：C. 6. 将的终边按逆时针方向旋转得到角，则角的终边与下列哪个角的终边重合（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据终边相同的角的关系求解即可. 【详解】将的终边按逆时针方向旋转得到角, 因为，角度相差的整数倍， 所以角的终边与的终边重合，选项C满足， ，选项A错误， ，选项B错误， ，选项D错误， 故选：C. 7．在之间与终边相同的角是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用终边相同角的关系式，可得答案. 【详解】由于与终边相同的角可表示为：， 当时，可得在之间的角为. 故选：C 8．角的终边在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】先找到与角终边相同的角，再根据角限角的定义求解. 【详解】因为， 所以与的终边相同，又， 所以为第四象限角． 故选：D. 9．下列说法正确的是（    ） A．若的终边在第一象限，则是锐角 B．第二象限角大于第一象限角 C．终边相同的角是相等的角 D．角与角的终边相同 【答案】D 【分析】根据赋值法与终边相同角的定义判断即可； 【详解】对于A，因为当时，它的终边在第一象限，但它不是锐角；故A错误； 对于B，因为是第二象限角，是第一象限角，且，故B错误； 对于C，因为与的终边相同，但两者不是相等的角，故C错误； 对于D，因为角与角相差的整数倍，则终边相同；故D正确； 故选：D 10．若角，则将角的终边绕坐标原点逆时针旋转后得到的角所在的象限是（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】根据题意，结合任意角和象限角的概念，即可判断求解. 【详解】由题意，将角的终边绕坐标原点逆时针旋转后得到的角为， 又， 所以该角为第四象限角． 故选：D． 知识点2 弧度制 1．某时钟在正常运行的情况下，从12：00运行到12：40时，分针转过的圆心角为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先求出分针转过的圆心角,再根据角度与弧度的转化求解即可. 【详解】因为分针转过分钟所对应的圆心角为， 所以分针从12：00运行到12：40时，转过的圆心角为， 进而， 因为分针是顺时针旋转的，所以分针转过的圆心角为. 故选：A. 2．对应的角度等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将弧度制化为角度制即可解得. 【详解】将转化为角度，即. 故选：B 3．把角化为的形式为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将转化为弧度制，根据题意逐项分析即可得解. 【详解】将转化为弧度制为， 选项，，故错误； 选项，，但不满足，故错误； 选项，，符合题意，故正确； 选项，，不满足，故错误； 故选：. 4．已知扇形的弧长为，圆心角为，则该扇形的半径为（   ） A．3 B．6 C．12 D． 【答案】B 【分析】利用弧长公式，即可求解. 【详解】由题意知扇形的弧长为，圆心角为， 所以，即， 解得. 故选：B. 5．已知扇形的周长是8，面积是4，则该扇形的圆心角的弧度数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】根据扇形的弧长公式和面积公式列方程求解即可. 【详解】设扇形的半径为，所对的弧长为， 则由周长是8，面积是4，可得， 即，解得，则， 设该扇形的圆心角的弧度数为，所以， 所以该扇形的圆心角的弧度数为2. 故选：A. 6．荡秋千是中华大地上很多民族共有的游艺竞技项目.据现有文献记载，它源自先秦.位于广东清远的天子山悬崖秋千建在高198米的悬崖边上，该秋千的缆索长8米，荡起来最大摆角为120°，则该秋千最大摆角所对的弧长为（    ） A．米 B．米 C．13.6米 D．198米 【答案】A 【分析】根据题意得到秋千的最大摆角，再利用弧长公式即可得解. 【详解】由题意，秋千的最大摆角为， 且秋千的缆索长为米，即半径， 所以秋千最大摆角所对的弧长为米. 故选：A. 7．若一扇形的弧长为20，半径为5，则扇形圆心角的弧度数为（    ） A．4 B． C． D． 【答案】A 【分析】根据扇形的弧长公式，即可求解. 【详解】根据题意扇形弧长公式为：， . 故选：A. 8．已知弧长等于圆半径的2倍，则这段弧所对的圆周角的弧度数为（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】先根据弧长公式求得圆心角，再根据圆周角的概念即可求解. 【详解】依题意，弧长等于圆半径的2倍，所以, 可得圆心角弧度数, 又根据圆周角等于圆心角的一半，所以这段弧所对的圆周角弧度数为, 故选：B. 9．已知圆心角为的扇形的半径为5，则该扇形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据扇形的面积公式即可求解 【详解】根据弧度与角度的转换公式可知， ， 已知扇形的半径为5， 根据扇形的面积公式：， 故选：C 10．中国传统折扇有着极其深厚的文化底蕴．《乐府诗集》中《夏歌二十首》的第五首曰：“叠扇放床上，企想远风来轻袖佛华妆，窈窕登高台.”如图所示，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成若一把折扇完全打开时圆心角为，扇面所在大圆的半径为，所在小圆的半径为，那么这把折扇的扇面面积为（   ）. A． B． C． D．以上都不对 【答案】A 【分析】根据扇形面积公式，分别计算大扇形和小扇形的面积再相减即可求解. 【详解】由题意可知，大扇形的面积为， 小扇形的面积为， 所以这把折扇的扇面面积为. 故选：A. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$