2.5二次函数与一元二次方程的关系第1课时 课件 -2025-2026学年北师大版九年级数学下册

第二章　二次函数 5　二次函数与一元二次方程的关系 第1 课时　二次函数与一元二次方程的关系（1） 1 　 二次函数的图象与x轴的交点情况 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴的交点有三种情况： 有两个交点、有一个交点、没有交点. 与此相对应，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根也有三种情况： 有两个不相等的实数根、有两个相等的实数根、没有实数根. 因此可以用一元二次方程根的判别式判断抛物线与x轴的交点个数： 当Δ＞0时，抛物线与x轴有① 交点； 两个 当Δ＝0时，抛物线与x轴有② 交点，这个交点是抛物线的③ ； 当Δ＜0时，抛物线与x轴④ 交点. 一个 顶点 没有 【例1】小兰画了一个函数y＝x2＋ax＋b的图象，如图所示，则关于x的方 程x2＋ax＋b＝0的解是 （　D　）. D A. 无解 B. x＝1 C. x＝－4 D. x1＝－1，x2＝4 如图，已知二次函数y＝x2＋bx＋c的图象经过点 （―1，0）， （1，―2），该图象与x轴的另一个交点为C，则AC的长为 ⁠. 3 　一元二次方程的根与抛物线的平移 利用平移来找一元二次方程的根的时候，注意理解抛物线的平移方式，再根 据平移方式来确定方程的解. 【例2】若二次函数y＝ax2－1的图象经过点（－2，0），则关于x的方程a （x－2）2－1＝0的实数根为 （　A　）. A A. x1＝0，x2＝4 B. x1＝－2，x2＝6 C. x1＝ ，x2＝ D. x1＝－4，x2＝0 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过（－3，0）与（1，0） 两点，关于x的方程ax2＋bx＋c＋m＝0（m＞0）有两个根，其中一个根是 3，则关于x的方程ax2＋bx＋c＋n＝0（0＜n＜m）有两个整数根，这两 个整数根是 （　B　）. A. －2和0 B. －4和2 C. －5和3 D. －6和4 B 1. 若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两个根为x1＝－2，x2＝4，则 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象的对称轴为 （　C　）. A. 直线x＝－3 B. 直线x＝3 C. 直线x＝1 D. 直线x＝－1 C 2. （2024春·龙华区月考）如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴是直线x ＝1，关于x的方程ax2＋bx＋c＝0的一个根为x＝4，则另一个根为 ⁠. x＝－2 3. 在平面直角坐标系中，将二次函数y＝（x－2 023）（x－2 024）＋5的 图象向下平移5个单位长度，所得抛物线与x轴有两个公共点P，Q，则PQ ＝ ⁠. 4. 将抛物线y＝x2－6x＋12向下平移k个单位长度.若平移后得到的抛物线 与x轴有公共点，则k的取值范围是 ⁠. 1 k≥3 5. （2023·罗湖区八校联考）已知抛物线y＝ax2－2ax＋c与y轴交于点C， 与x轴交于A，B两点，点A的坐标是（－1，0），O是坐标原点，且OC＝ 3OA. （1）求抛物线的函数表达式； 解：（1）抛物线的函数表达式为y＝x2－2x－3. （2）直接写出直线BC的函数表达式； 解：（2）直线BC的函数表达式为y＝x－3. （3）如图，D为y轴的负半轴上一点，且OD＝2，以OD为边作正方形 ODEF，将正方形ODEF以每秒1个单位的速度沿x轴的正方向移动，在运动 过程中，设正方形ODEF与△OBC重叠部分的面积为S，运动的时间为t秒 （0＜t≤2）. 求：①S与t之间的函数关系式； ②在运动过程中，S是否存在最大值？如果存在，直接写出这个最大值；如 果不存在，请说明理由. 解：（3）①当正方形ODEF的顶点D运动到直线BC上时，设点D（m，－ 2），根据题意，得－2＝m－3， ∴m＝1.当0＜t≤1时，正方形ODEF和△OBC的重合部分是矩形；∵OO1＝ t，OD＝2， ∴S＝2t.当1＜t≤2时，正方形和△OBC的重合部分是五边形，如图所示， ∵OB＝OC＝3， ∴△OBC，△D1GH都是等腰直角三角形， ∴D1G＝D1H＝t－1，S＝ － ＝2t－ （t－1）2＝－ t2＋3t－ . ②当0＜t≤1时，S＝2t的最大值为2；当1＜t≤2时，S＝－ t2＋3t－ ＝－ （t－3）2＋4，抛物线的开口向下，当1＜t≤2时，S随t的增大而增大， ∴当t＝2时，函数有最大值，S＝－ ×1＋4＝ . ∵ ＞2， ∴S的最大值为 . 综上所述，当t＝2时，S有最大值，最大值为 . 参考答案 【新课导学】 ①两个　②一个　③顶点　④没有 【例1】　D　对点训练1　3 【例2】　A　对点训练2　B 【课堂通关】 1.C　2.x＝－2　3.1　4.k≥3 5.解：（1）抛物线的函数表达式为y＝x2－2x－3. （2）直线BC的函数表达式为y＝x－3. （3）①当正方形ODEF的顶点D运动到直线BC上时，设点D（m，－ 2），根据题意，得－2＝m－3， ∴m＝1.当0＜t≤1时，正方形ODEF和△OBC的重合部分是矩形；∵OO1 ＝t，OD＝2， ∴S＝2t.当1＜t≤2时，正方形和△OBC的重合部分是五边形，如图所示， ∵OB＝OC＝3， ∴△OBC，△D1GH都是等腰直角三角形， ∴D1G＝D1H＝t－1，S＝ － ＝2t－ （t－1）2＝－ t2＋3t－ . ②当0＜t≤1时，S＝2t的最大值为2；当1＜t≤2时，S＝－ t2＋3t－ ＝ － （t－3）2＋4，抛物线的开口向下，当1＜t≤2时，S随t的增大而增 大， ∴当t＝2时，函数有最大值，S＝－ ×1＋4＝ . ∵ ＞2， ∴S的最大值为 . 综上所述，当t＝2时，S有最大值，最大值为 . $$