2.2 二次函数的图象与性质 第2课时 课件 -2025-2026学年北师大版九年级数学下册

第二章　二次函数 2　二次函数的图象与性质 第2课时　二次函数y＝ax2＋k的图象与性质 1 　当a为正数时，y＝ax2＋k的图象与性质 二次函数y＝ax2＋k的图象是一条① ，当a＞0时，它的开口向 ② ，对称轴是③ ，顶点坐标是④ ，顶点是图象 的最⑤ 点. 【例1】抛物线y＝x2－1的顶点坐标是（　B　）. A. （0，1） B. （0，－1） C. （1，0） D. （－1，0） 抛物线 上 y轴 （0，k） 低 B A. （0，0） B. （0，－1） C. （0，1） D. （1，0） 抛物线y＝2x2＋1的顶点坐标是（　C　）. C 【例2】对于二次函数y＝ x2＋2，下列说法中错误的是（　B　）. A. 最小值为2 B. 图象与y轴没有公共点 C. 当x＜0时，y随x的增大而减小 D. 其图象关于y轴对称 对于二次函数y＝3x2＋2，下列说法错误的是（　D　）. B D A. 最小值为2 B. 图象与x轴没有公共点 C. 图象的对称轴是y轴 D. 当x＜0时，y随x的增大而增大 　当a为负数时，y＝ax2＋k的图象与性质 二次函数y＝ax2＋k的图象是一条⑥ ，当a＜0时，它的开口向 ⑦ ，对称轴是⑧ ，顶点坐标是⑨ ，顶点是图象 的最⑩ 点. 抛物线 下 y轴 （0，k） 高 【例3】 抛物线y＝－x2＋3的开口向 ，对称轴是 ，当x ＝ 时，y有最 值，是 ⁠. 与抛物线y＝－x2－1顶点相同，形状相同且开口方向相反的抛物 线所对应的函数表达式是（　B　）. 下 y轴 0 大 3 B A. y＝－x2－1 B. y＝x2－1 C. y＝－x2＋1 D. y＝x2＋1 　抛物线的上下平移 k为正数时，函数y＝ax2＋k的图象是由y＝ax2的图象向上平移k个单位长 度得到的； k为负数时，函数y＝ax2＋k的图象是由y＝ax2的图象向下平移｜k｜个单 位长度得到的. 【例4】将二次函数y＝x2的图象向下平移1个单位长度，则平移后得到的图 象对应的函数表达式为（　A　）. A. y＝x2－1 B. y＝x2＋1 C. y＝（x－1）2 D. y＝（x＋1）2 抛物线y＝ x2向上平移2个单位长度后得到的新抛物线的表达式 为 ⁠. A y＝ x2＋2 1. 抛物线y＝2x2＋1的对称轴是（　C　）. A. 直线x＝ B. 直线x＝－ C. y轴 D. 直线x＝2 2. 抛物线y＝x2，y＝－2x2＋1，y＝2x2＋1共有的性质是（　C　）. A. 开口向上 B. 都有最高点 C. 对称轴都是y轴 D. 顶点都是原点 C C 3. 已知a＜－1，点（a－1，y1），（a，y2），（a＋1，y3）都在函数y＝ 3x2－2的图象上，则（　D　）. A. y1＜y2＜y3 B. y1＜y3＜y2 C. y2＜y1＜y3 D. y3＜y2＜y1 D 4. 将抛物线y＝ax2＋c向下平移5个单位长度后，得到抛物线y＝－2x2，则＝ ，c＝ ⁠. －2 5 5. （2023·深圳一模）已知点（x1，y1），（x2，y2）均在抛物线y＝x2－4 上，下列说法中正确的是（　D　）. A. 若y1＝y2，则x1＝x2 B. 若x1＝－x2，则y1＝－y2 C. 若0＜x1＜x2，则y1＞y2 D. 若x1＜x2＜0，则y1＞y2 D 6. （2024·福田区校级二模）函数y＝ax2－a与y＝ax－a（a≠0）在同一 平面直角坐标系中的图象可能是（　D　）. A B C D D 解析：①当a＞0时，二次函数y＝ax2－a的图象开口向上、对称轴为y轴、 顶点在y轴负半轴上，一次函数y＝ax－a（a≠0）的图象经过第一、三、四 象限，且两个函数的图象交于y轴同一点； ②当a＜0时，二次函数y＝ax2－a的图象开口向下、对称轴为y轴、顶点在 y轴正半轴上，一次函数y＝ax－a（a≠0）的图象经过第一、二、四象限， 且两个函数的图象交于y轴同一点.对照四个选项可知D正确.故选D. 7. 已知抛物线y＝－2x2＋c与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边）， 与y轴交于点C. （1）当∠ACB＝60°时，求c的值； 解：（1）由题意，得－2x2＋c＝0， ∴x＝± ，∴A ， B ， ∴OA＝OB＝ . ∵∠ACB＝60°，C（0，c），∴ OB＝OC， ∴ ＝c， ∴c＝ . （2）当∠ACB＝90°时，求抛物线的表达式. 解：（2）当∠ACB＝90°时，易得OB＝OC， ∴ ＝c， ∴c＝ ， ∴抛物线的表达式为y＝－2x2＋ . 参考答案 【新课导学】 ①抛物线　②上　③y轴　④（0，k）　⑤ 低 【例1】　B　对点训练1　C 【例2】　B　对点训练2　D ⑥抛物线　⑦下　⑧y轴　⑨ （0，k）　⑩高 【例3】　下　y轴　0　大　3　对点训练3　B 【例4】　A　对点训练4　y＝x2＋2 1. C　2.C　3.D　4.－2　5　5.D 6. D　解析：①当a＞0时，二次函数y＝ax2－a的图象开口向上、对称轴为 y轴、顶点在y轴负半轴上，一次函数y＝ax－a（a≠0）的图象经过第一、 三、四象限，且两个函数的图象交于y轴同一点； 【课堂通关】 ②当a＜0时，二次函数y＝ax2－a的图象开口向下、对称轴为y轴、顶点在 y轴正半轴上，一次函数y＝ax－a（a≠0）的图象经过第一、二、四象 限，且两个函数的图象交于y轴同一点.对照四个选项可知D正确.故选D. 7. 解：（1）由题意，得－2x2＋c＝0， ∴x＝± ， ∴A ， B ， ∴OA＝OB＝ . ∵∠ACB＝60°，C（0，c）， ∴ OB＝OC， ∴ ＝c， ∴c＝ . （2）当∠ACB＝90°时，易得OB＝OC， ∴ ＝c， ∴c＝ ， ∴抛物线的表达式为y＝－2x2＋ . $$