2.6应用一元二次方程第1课时　课件　-2024—2025学年北师大版数学九年级上册

第二章　一元二次方程 6　应用一元二次方程 第1课时　一元二次方程的应用（1）——行程、动点等问题 1 　用一元二次方程解决行程、动点等问题 1. 列方程解实际问题的三个重要环节： 一是整体地、系统地审题；二是把握问题中的等量关系；三是正确求解方程 并检验解的合理性. 2. 利用方程解决实际问题的关键是寻找等量关系. 3. 解决应用题的一般步骤： 审（审题目，分清已知量、未知量、等量关系等）； 设（设未知数，有时会用未知数表示相关的量）； 列（根据题目中的等量关系列出方程）； 解（解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰）； 验（检验方程的解能否保证实际问题有意义）； 答（写出答案，切忌答非所问）. 【例1】如图，东西方向上有A，C两地相距10千米，甲以16千米/时的速度 从A地出发向正东方向前进，乙以12千米/时的速度从C地出发向正南方向前 进，那么最快经过（　A　）小时，甲、乙两人相距6千米. A. B. C. 1.5 D. A 解析：设最快经过x小时，甲、乙两人相距6千米，根据题意可得，BC＝ （10－16x）千米，DC＝12x千米， ∵BC2＋DC2＝BD2， ∴（10－16x）2＋（12x）2＝62，解得x1＝x2＝0.4. ∴最快经过0.4小时，甲、乙两人相距6千米. 《九章算术》中有一题：“今有二人同立，甲行率七，乙行率 三，乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会，问甲乙各行几何？”大意是说： “甲、乙二人同时从同一地点出发，甲的速度为7，乙的速度为3，乙一直向 东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇.甲、乙 各走了多少步？”请问甲走的步数是 ⁠. ​ 解析：设甲、乙两人相遇的时间为t，则乙走了3t步，甲斜向北偏东方向走 了（7t－10）步，依题意得102＋（3t）2＝（7t－10）2，整理得40t2－140t ＝0，解得t1＝ ，t2＝0（不合题意，舍去）， ∴7t＝7× ＝ ，即甲走的步数是 ，故答案为 . 【例2】（根据九年级北师大版教材P53第2题改编）如图，在Rt△ABC中， ∠C＝90°，AC＝8 m，BC＝6 m，点P，Q同时由C，B两点出发分别沿 CA，BC方向向点A，C匀速移动（一个点到达终点时另一个点也停止运 动），点P，Q的速度分别是2 m/s和1 m/s，经过几秒△PCQ的面积是 Rt△ABC面积的 ？ 解：设经过x s后△PCQ的面积为Rt△ABC面积的 ，根据题意，得 ×2x （6－x）＝ × ×8×6. 整理，得x2－6x＋8＝0，解得x1＝2，x2＝4. 答：经过2秒或4秒，△PCQ的面积是Rt△ABC面积的 . （2024秋·福田区期中）如图，在矩形ABCD中，AB＝8 m，AD ＝3 cm，动点P，Q同时出发，点P从点A出发以2 cm/s的速度向点B移动， 一直到达点B为止，点Q从点C出发以1 cm/s的速度向点D移动.请问当点P 和点Q的距离是5 cm时，P，Q两点出发了（　B　）秒. B A. 4 B. 或4 C. 或8 D. 解析：8÷2＝4（秒），过点Q作QE⊥AB于点E，则四边形BCQE是矩 形，如图所示. 当运动时间为t秒时，AP＝2t，CQ＝BE＝t， ∴PE＝｜AB－AP－BE｜＝｜8－2t－t｜＝｜8－3t｜. 根据题意，得PE2＋EQ2＝PQ2， 即（8－3t）2＋32＝52， 整理得3t2－16t＋16＝0，解得t1＝ ，t2＝4， ∴当点P和点Q的距离是5 cm时，P，Q两点出发了 秒或4秒. 故选B. 1. 九年级（3）班同学之间互赠一寸相片留念，送出的相片总共2 070张，如 果设九年级（3）班有x个学生，则可列方程为（　B　）. A. x（x－1）＝2 070 B. x（x－1）＝2 070 C. （x－1）2＝2 070 D. x（x＋1）＝2 070 B 2. 如图，把一块长为40 cm，宽为30 cm的矩形硬纸板的四角剪去四个相同小 正方形，然后把纸板的四边沿虚线折起，并用胶带粘好，即可做成一个无盖 纸盒.若该无盖纸盒的底面积为600 cm2，设剪去小正方形的边长为x cm，则 所列方程是 ⁠. （30－2x）（40－2x）＝600 3. （2024秋·龙岗区校级月考）《九章算术》中的“折竹抵地”问题：“今 有竹高二十尺，未折抵地，去本四尺，问折者高几何？”意思是：现有竹子 高20尺，折后竹尖抵地与竹子底部距离为4尺，问折处高几尺？如图所示， 设竹子折断处离地x尺，由题意可列方程为（　D　）. A. x2＋42＝202 B. （x－4）2＋x2＝202 C. x2－42＝（20－x）2 D. x2＋42＝（20－x）2 D 4. （2024秋·南山区校级期中）如图是某地下停车场的平面示意图，停车场 的长为40 m，宽为22 m.停车场内车道的宽都相等，若停车位的占地面积为 520 m2.求车道的宽度（单位：m）.设停车场内车道的宽度为x m，根据题意 所列方程为（　B　）. A. （40－2x）（22－x）＝520 B. （40－x）（22－x）＝520 C. （40－x）（22－2x）＝520 D. （40－x）（22＋x）＝520 B 5. 如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12 cm，BC＝16 cm，点Q从点 B出发以2 cm/s的速度沿BC边向点C移动，点P从点A出发以3 cm/s的速度 沿AB边向点B移动，当点P运动到点B时，两点同时停止运动. （1）如果P，Q分别从点A，B同时出发，那么运动几秒时，△PBQ的面积 等于9 cm2？ 解：由题意得AP＝3t cm，BQ＝2t cm，PB＝（12－3t）cm， ∴S△PBQ＝ BP·BQ＝ （12－3t）·2t＝12t－3t2. ∵△PBQ的面积为9 cm2，则12t－3t2＝9， 整理，得－3t2＋12t－9＝0，解得t1＝1，t2＝3. 答：如果P，Q分别从点A，B同时出发，那么运动1秒或3秒时，△PBQ的 面积等于9 cm2. （2）如果P，Q分别从点A，B同时出发，△PBQ的面积能否等于14 cm2？ 说明理由. 解：如果P，Q分别从点A，B同时出发，△PBQ的面积不能等于14 cm2， 理由： 若△PBQ的面积为14 cm2，则12t－3t2＝14，整理，得－3t2＋12t－14＝0， 由b2－4ac＝122－4×（－3）×（－14）＝－24＜0，可知这个方程无解. 答：P，Q分别从点A，B同时出发，△PBQ的面积不能等于14 cm2. 参考答案 【新课导学】 【例1】　A　解析：设最快经过x小时，甲、乙两人相距6千米，根据题意 可得，BC＝（10－16x）千米，DC＝12x千米，∵BC2＋DC2＝BD2， ∴（10－16x）2＋（12x）2＝62，解得x1＝x2＝0.4.∴最快经过0.4小时，甲、 乙两人相距6千米. 对点训练1　 　解析：设甲、乙两人相遇的时间为t，则乙走了3t步，甲斜 向北偏东方向走了（7t－10）步，依题意得102＋（3t）2＝（7t－10）2，整 理得40t2－140t＝0，解得t1＝ ，t2＝0（不合题意，舍去）， ∴7t＝7× ＝ ，即甲走的步数是 ，故答案为 . 【例2】　解：设经过x s后△PCQ的面积为Rt△ABC面积的 ，根据题意， 得 ×2x（6－x）＝ × ×8×6. 整理，得x2－6x＋8＝0，解得x1＝2，x2＝4. 答：经过2秒或4秒，△PCQ的面积是Rt△ABC面积的 . 对点训练2　 B　解析：8÷2＝4（秒）， 过点Q作QE⊥AB于点E，则四边形BCQE是矩形，如图所示. 当运动时间为t秒时，AP＝2t，CQ＝BE＝t， ∴PE＝｜AB－AP－BE｜＝｜8－2t－t｜＝｜8－3t｜. 根据题意，得PE2＋EQ2＝PQ2， 即（8－3t）2＋32＝52， 整理得3t2－16t＋16＝0，解得t1＝ ，t2＝4， ∴当点P和点Q的距离是5 cm时，P，Q两点出发了 秒或4秒. 故选B. 【课堂通关】 1. B　2.（30－2x）（40－2x）＝600　3.D　4.B 5. 解：（1）由题意得AP＝3t cm，BQ＝2t cm，PB＝（12－3t）cm， ∴S△PBQ＝ BP·BQ＝ （12－3t）·2t＝12t－3t2. ∵△PBQ的面积为9 cm2，则12t－3t2＝9， 整理，得－3t2＋12t－9＝0，解得t1＝1，t2＝3. 答：如果P，Q分别从点A，B同时出发，那么运动1秒或3秒时，△PBQ的 面积等于9 cm2. （2）如果P，Q分别从点A，B同时出发，△PBQ的面积不能等于14 cm2， 理由： 若△PBQ的面积为14 cm2，则12t－3t2＝14，整理，得－3t2＋12t－14＝0， 由b2－4ac＝122－4×（－3）×（－14）＝－24＜0，可知这个方程无解. 答：P，Q分别从点A，B同时出发，△PBQ的面积不能等于14 cm2. $$