期末复习专题06 第十章概率（5考点清单+12考点题型）-2024-2025学年高一下学期数学期末复习（人教A版2019必修二 全国通用）

期末复习专题06 第十章概率 内容导图预览 考点清单总结 考点清单1 随机事件的相关概念 一、有限样本空间 1.我们把对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验. 2. 定义 字母表示 样本点 我们把随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点 用ω表示 样本空间 全体样本点的集合称为试验E的样本空间 用Ω表示 有限样本空间 如果一个随机试验有n个可能结果ω1，ω2，…，ωn，则称样本空间Ω=｛ω1，ω2，…，ωn｝为有限样本空间 Ω=｛ω1，ω2，…，ωn｝ 二、随机事件 随机事件 我们将样本空间Ω的子集称为随机事件，简称事件，并把只包含一个样本点的事件称为基本事件，随机事件一般用大写字母A，B，C，…表示.在每次试验中，当且仅当A中某个样本点出现时，称为事件A发生 必然事件 Ω作为自身的子集，包含了所有的样本点，在每次试验中总有一个样本点发生，所以Ω总会发生，我们称Ω为必然事件 不可能事件 空集∅不包含任何样本点，在每次试验中都不会发生，我们称∅为不可能事件 一、事件的关系 定义 符号 图示 包含关系 一般地，若事件A发生，则事件B一定发生，我们就称事件B包含事件A(或事件A包含于事件B) B⊇A (或A⊆B) 相等关系 如果事件B包含事件A，事件A也包含事件B，即B⊇A且A⊇B，则称事件A与事件B相等 A=B 三、事件的运算 定义 符号 图示 并事件(或和事件) 一般地，事件A与事件B至少有一个发生，这样的一个事件中的样本点或者在事件A中，或者在事件B中，我们称这个事件为事件A与事件B的并事件(或和事件) A∪B (或A+B) 交事件(或积 事件) 一般地，事件A与事件B同时发生，这样的一个事件中的样本点既在事件A中，也在事件B中，我们称这样的一个事件为事件A与事件B的交事件(或积事件) A∩B (或AB) 2.类似地，我们可以定义多个事件的和事件以及积事件.例如：对于三个事件A，B，C，A∪B∪C(或A+B+C)发生当且仅当A，B，C中至少有一个发生，A∩B∩C(或ABC)发生当且仅当A，B，C同时发生，等等. 四、互斥事件与对立事件 1.互斥事件 一般地，如果事件A与事件B不能同时发生，也就是说A∩B是一个不可能事件，即A∩B=∅，则称事件A与事件B互斥(或互不相容). 2.对立事件 一般地，如果事件A和事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生，即A∪B=Ω，且A∩B=∅，那么称事件A与事件B互为对立，事件A的对立事件记为. 考点清单2 古典概型问题 一、列举法解决古典概型问题 　(1)解题时要注意是“有放回抽取”还是“无放回抽取”，若是“有放回抽取”，则在每次抽取之前，产品种类及个数都不发生变化，因此某件新产品被抽到的概率也不变；若是“无放回抽取”(假设每次抽取的结果都可知)，则在每次抽取之前，所剩产品种类及个数都在发生变化，因此某件产品被抽到的概率也在不断变化. 二、概率与统计相结合 古典概型与统计结合题，无论是直接描述还是利用频率分布表、频率分布直方图等给出信息，只需要能够从题中提炼出需要的信息，则此类问题即可解决，解决此类题目的步骤主要有 第一步：根据题目要求求出数据(有的用到分层随机抽样、有的用到频率分布直方图等知识)； 第二步：列出样本空间，计算样本空间包含的样本点个数； 第三步：找出所求事件包含的样本点个数； 第四步：根据古典概型概率计算公式求解； 第五步：明确规范地表述结论. 三、“放回”与“不放回”问题 抽取问题是古典概型的常见问题，解决此类问题需要注意两点：一是所给问题是否需要将被抽取的个体进行区分才能满足古典概型的条件，二是看抽取的方式是有放回还是不放回，两种抽取方式对样本点的总数有影响.另外，不放回抽取看作无序或有序抽取均可，有放回抽取要看作有序抽取. 考点清单3 概率的基本性质 一、概率的基本性质 性质1　对任意的事件A，都有P(A)≥0. 性质2　必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P(Ω)=1，P(∅)=0. 性质3　如果事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)=P(A)+P(B). 如果事件A1，A2，…，Am两两互斥，那么事件A1∪A2∪…∪Am发生的概率等于这m个事件分别发生的概率之和，即P(A1∪A2∪…∪Am)=P(A1)+P(A2)+…+P(Am). 性质4　如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(B)=1-P(A)，P(A)=1-P(B). 性质5　如果A⊆B，那么P(A)≤P(B). 性质6　设A，B是一个随机试验中的两个事件，我们有P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B). 二、互斥事件与对立事件概率公式的应用 互斥事件、对立事件的概率公式的应用 (1)互斥事件的概率加法公式为P(A∪B)=P(A)+P(B)，运用该公式解题时，首先要分清事件间是否互斥，同时要学会把一个事件拆分为几个互斥事件，然后求出各事件的概率，用概率加法公式得出结果. (2)当直接计算符合条件的事件个数比较烦琐时，可先计算出对立事件的概率，然后利用对立事件的概率加法公式P(A)+P(B)=1，求出符合条件的事件的概率. 考点清单4 事件的相互独立性 一、相互独立事件的概念 对任意两个事件A与B，如果P(AB)=P(A)P(B)成立，则称事件A与事件B相互独立. 反思感悟　两个事件是否相互独立的判断 (1)直接法：由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影响. (2)公式法：若P(AB)=P(A)P(B)，则事件A，B为相互独立事件. 二、相互独立事件的性质 如果事件A与事件B相互独立，那么A与，与B，与也都相互独立. 互斥事件与相互独立事件都描述了两个事件间的关系，但互斥事件强调不可能同时发生，相互独立事件则强调一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响；互斥的两个事件可以相互独立，相互独立的两个事件也可以互斥. 三、相互独立事件概率的计算 (1)求相互独立事件同时发生的概率的步骤 ①首先确定各事件之间是相互独立的. ②求出每个事件的概率，再求积. (2)使用相互独立事件同时发生的概率计算公式时，要掌握公式的适用条件，即各个事件是相互独立的. (3)求较复杂事件的概率的一般步骤 ①列出题中涉及的各个事件，并且用适当的符号表示. ②理清事件之间的关系(两个事件是互斥还是对立，或者是相互独立的)，列出关系式. ③根据事件之间的关系准确选取概率公式进行计算. ④当直接计算符合条件的事件的概率较复杂时，可先间接地计算其对立事件的概率，再求出符合条件的事件的概率. 考点清单5 频率与概率 一、频率的稳定性 1.一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率fn(A)会逐渐稳定于事件A发生的概率P(A).我们称频率的这个性质为频率的稳定性.因此，我们可以用频率fn(A)估计概率P(A). 2.概率是一个确定的数，与每次试验的次数无关. 二、游戏公平性的判断 游戏规则公平的判断标准 在各类游戏中，如果每人获胜的概率相等，那么游戏就是公平的，也就是说游戏规则是否公平只要看获胜的概率是否相等.例如：体育比赛中决定发球权的方法应该保证比赛双方先发球的概率相等，这样才是公平的；每个人购买彩票中奖的概率应该是相等的，这样才是公平的；抽签决定某项事务时，任何一支签被抽到的概率也是相等的，这样才是公平的等等. 三、用随机模拟估计概率 1.利用随机模拟试验，只适用于试验结果是有限个的情形. 2.利用随机模拟试验，关键是建立好适当的模型. 3.利用随机模拟的方法估算概率的步骤：一是建立概率模型；二是进行模拟试验；三是统计计算，随着模拟的数量的不断增加，模拟结果就越来越接近概率. 考点题型·巩新知 考点一 随机事件的相关概念 1．以下事件是随机事件的是（    ） A．下雨屋顶湿 B．秋后柳叶黄 C．有水就有鱼 D．水结冰体积变大 2．下列事件是必然事件的是（    ） A．从分别标有数字1，2，3，4，5的5张标签中任取一张，得到标有数字4的标签 B．底面是正方形的四棱柱是正四棱柱 C．平行于同一条直线的两条直线互相平行 D．有公共点的两个圆相切 3．对于概率是千分之一的事件，下列说法正确的是（    ） A．概率太小，不可能发生 B．1000次中一定发生1次 C．1000人中，999人说不发生，1人说发生 D．1000次中有可能发生1次 4．如图，由A，B两盏正常的小灯泡组成并联电路，当闭合开关时，下列事件为必然事件的是（    ） A．A灯亮，B灯不亮 B．A灯不亮，B灯亮 C．A，B两盏灯均亮 D．A，B两盏灯均不亮 5．对满足的非空集合、，有下列四个命题： ①“若任取，则”是必然事件；      ②“若，则”是不可能事件； ③“若任取，则”是随机事件；      ④“若，则”是必然事件. 其中正确命题的个数为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 考点二 互斥事件与对立事件 6．抛掷一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件：“点数不大于3”，“点数不小于3”，“点数大于4”，“点数为奇数”，“点数为偶数”，下列结论正确的是（   ） A．A，B为互斥事件 B．B，C为对立事件 C．C，D为互斥事件 D．D，E为对立事件 7．如图，甲、乙两个元件串联构成一段电路，事件M=“甲元件故障”，N=“乙元件故障”，则表示该段电路没有故障的事件为（    ） A． B． C． D． 8．从分别写有的张卡片中随机一次取出张，设事件为“写有的卡片被取出”，为“写有的卡片被取出”，为“取出的卡片上的数都大于”，为“取出的卡片上的数之和小于”，则（   ） A．与是互斥事件 B．与是对立事件 C． D． 9．把红、蓝、黑、白张纸牌随机地分给甲、乙、丙、丁个人，每人分得张，事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是（ ） A．对立 B．相等 C．相互独立 D．互斥但不对立 10．抛掷一枚质地均匀的骰子，有如下随机事件：“点数不大于2”；“点数大于2”；“点数大于5”；“点数为奇数”.则下列说法正确的有（    ） A． B．，为对立事件 C．与互斥 D． 考点三 古典概型的概率计算 11．将一枚质地均匀的骰子抛掷一次，出现“正面向上的点数大于3”的概率是（    ） A． B． C． D． 12．罗老师准备从小染，小冰等5人中随机选取2人去参加巴蜀中学的超级演说家比赛，则小染、小冰两人中至少有1人被选到的概率为（    ） A．0.4 B．0.5 C．0.6 D．0.7 13．甲、乙两人玩掷骰子游戏，规则如下：每人各掷骰子两次，以两次骰子的点数之和作为投掷者的得分，若得分不同，得分多的一方获胜，若得分相同视为平局，则甲获胜的概率为（   ） A． B． C． D． 14．大运河文化带，长城文化带和西山永定河文化带作为北京历史文化名城保护体系的重要内容，高度凝练了北京旧城以外的文化遗产，对于建设北京全国文化中心，满足人民对美好生活的需要，起到关键的支撑作用．为了把握好三个文化带的文化精髓，做好保护与传承，某课外研究小组决定从三个文化带中随机选取两个文化带进行研究，那么所选的两个文化带中包含大运河文化带的概率是 ． 15．有5张未刮开的卡片，其中张是“中奖”卡，其余是“未中奖”卡，现从这5张卡片中随机抽取2张．你有资金100元，每次在刮开一张卡片前，下注已有资金的一半．若刮开结果为“中奖”，则赢得与下注金额相同的另一笔钱，若刮开结果是“未中奖”，则输掉下注的资金．抽取的2张卡片全部刮完后，若使资金增加的概率为．则 ；若使资金增加的概率大于使资金减少的概率，则至少为 ． 考点四 有（无）放回的概率计算 16．袋中装有除颜色外其他完全相同的红、黄球各1个，现从中随机取1个球，记录球的颜色后放回，并且往袋中放入2个与取出的球颜色相同的球，以此规则取球，则第三次取到红球的概率为（    ） A． B． C． D． 17．从分别写有1，2，3，4的4张卡片中无放回地随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率为 ． 18．袋 中共有个球 ，其中个黑球，个 白球 ，现把球 随机地一只只取出，则第 次取出 的是黑球的概率为 19．口袋内有红、白、黄大小完全相同的三个小球，求： (1)从中任意摸出两个小球，摸出的是红球和白球的概率； (2)从袋中摸出一个后放回，再摸出一个，两次摸出的球是一红一白的概率． 20．有4张面值相同的债券，其中有2张是中奖债券． (1)有放回地从债券中任取2次，每次取出1张，计算取出的2张都是中奖债券的概率； (2)无放回地从债券中任取2次，每次取出1张，计算取出的2张都是中奖债券的概率； (3)有放回地从债券中任取2次，每次取出1张，计算取出的2张中至少有1张是中奖债券的概率； (4)无放回地从债券中任取2次，每次取出1张，计算取出的2张中至少有1张是中奖债券的概率 考点五 古典概率的综合应用 21．从2，3，4，8，9中任取两个不同的数，分别记为a，b． (1)求为偶数的概率； (2)求为整数的概率． 22．有甲、乙两个盒子，其中甲盒中装有四张卡片，分别写有：奇函数、偶函数、增函数、减函数，乙盒中也装有四张卡片，分别写有函数：，，，． (1)若从乙盒中任取两张卡片，求这两张卡片上的函数的定义域不同的概率； (2)若从甲、乙两盒中各取一张卡片，乙盒中的卡片上的函数恰好具备甲盒中的卡片上的函数的性质时，则称为一个“奇遇”，现从两盒中各取一张卡片，求它们恰好“奇遇”的概率． 23．问卷的设计是一门很大的学问，例如，调查问题的措辞会对被调查者产生影响，举例来说，在“你在多大程度上喜欢吸烟”和“你在多大程度上不喜欢吸烟”这两种问法中，前者会比后者给出更为肯定的答案．下面设计了一个调查程序： 已知某高校有12000名学生，我们随机抽取其中1200名学生进行调查（吸烟问题）． 第一步：每个被测人员在大小和形状相同的50个红球与50个白球中随机摸取一个球，然后再同时掷两个骰子：（结果只有被测人员知道） 第二步：如果取到红球，且两个骰子的点数之和是4或5或6，则被测人员在计数器上点一下： 如果取到白球，且吸烟的被测人员在计数器上点一下．已知最后计数器数字是211． (1)求第二步中两个骰子的点数之和是4或5或6的概率： (2)试估计某高校吸烟的人数． 24．已知某医疗队共有医生20人，护士30人，现在要用分层随机抽样的方法从中选取5人组建一个救援小组. (1)求救援小组中医生和护士的人数； (2)若从救援小组中随机选取2人担任组长，求医生和护士各有1人被选中的概率. 25．甲乙两人独立的掷一枚质地均匀的骰子，骰子向上的点数可能是中的某一个数，设甲掷出的点数为，乙掷出的点数为，求： (1)求为奇数的概率； (2)求的概率； (3)若甲乙两人各掷出骰子5次，的值依次为：；的值依次为：1，3，4，6，5；试比较两组数据的均值和方差的大小（直接写出结论，不必写过程） 考点六 概率的基本性质 26．设随机事件A，B满足，，则（    ）． A． B． C． D． 27．已知随机事件A，B满足，，，则（    ） A． B． C． D． 28．设是一个随机试验中的两个互斥事件，且，则（   ） A． B． C． D． 29．中国篮球职业联赛中，某男篮球运动员在最近几次参加的比赛中的得分情况如表： 投篮次数 投中两分球的次数 投中三分球的次数 100 55 18 用表中数据来估计概率，记该运动员在一次投篮中，投中两分球为事件，投中三分球为事件，没投中为事件，则（   ） A． B． C． D． 30．设样本空间为，事件A、B：①；②；③；④；⑤．以上结论中正确的个数为 个． 考点七 独立事件与互斥事件 31．下列关于互斥事件、对立事件、独立事件（上述事件的概率都大于零）的说法中正确的是（    ） A．互斥事件一定是对立事件 B．对立事件一定是互斥事件 C．互斥事件一定是独立事件 D．独立事件一定是互斥事件 32．某科研小组共60名成员，他们需要完成甲、乙、丙、丁四个科研项目，科研成员随机参与，且每个人可以参与一个或多个项目．若参与甲项目的有30人，参与乙项目的有10人，参与丙项目的有20人，参与丁项目的有30人，参与了甲项目或乙项目的共有40人，同时参与了甲项目和丙项目的有10人，参与了甲项目或丁项目的共有60人，则下列说法正确的是（   ） A．参与甲项目与参与乙项目不互斥 B．参与甲项目与参与丁项目互斥但不对立 C．参与丙项目与参与丁项目不相互独立 D．参与甲项目与参与丙项目相互独立 33．已知甲袋里只有红球，乙袋里只有白球，丙袋里只有黑球，丁袋里这三种球都有.现从这四个袋子中随机抽取一个袋子，设事件为“所抽袋子里有红球”，事件为“所抽袋子里有白球”，事件为“所抽袋子里有黑球”，则下列说法正确的是（   ） A．事件与事件互斥 B．事件与事件相互独立 C．事件与事件相互对立 D．事件与事件相互独立 34．抛掷两枚质地均匀的硬币一次，设“第一枚硬币正面朝上”为事件A，“第二枚硬币反面朝上”为事件B，则下述正确的是（    ）. A．A与B对立 B．A与B互斥 C． D．A与B相互独立 35．某商场组织了一次幸运抽奖活动，袋中装有标号分别为1~8的8个大小形状相同的小球，现抽奖者从中抽取1个小球.事件“取出的小球编号为奇数”，事件“取出的小球编号为偶数”，事件“取出的小球编号小于6”，事件“取出的小球编号大于6”，则下列结论正确的是（   ） A．A与B互斥 B．A与B相互对立 C．C与D相互对立 D．B与D相互独立 考点八 独立事件的乘法公式 36．若随机事件A，B满足，，，则（    ） A． B． C． D． 37．假设，，且A与B相互独立，则下列说法正确的个数为（    ） ①        ②    ③        ④        ⑤ A．1 B．2 C．3 D．4 38．已知事件发生的概率分别为，则下列说法错误的是（   ） A．若，则 B．若与互斥，则 C．若，则事件与相互独立 D．若与相互独立，则 39．从集合中依次不放回的任取两个数，记事件 “第一次取出的数字是1”，事件”取出的两个数之和为7”，下列说法不正确的是（    ） A． B．为不可能事件 C．事件 A，B 相互独立 D． 40．设A，B是一个随机试验中的两个事件，记为事件A，B的对立事件，且，则= 考点九 独立事件的概率计算 41．甲、乙两名同学进行投篮比赛，甲每次命中概率为，乙每次命中概率为，甲和乙是否命中互不影响，甲、乙各投篮一次，则（   ） A．两人都命中的概率为 B．恰好有一人命中的概率为 C．两人都没有命中的概率为 D．至少有一人命中的概率为 42．某校课外活动兴趣小组设计一控制模块，电路如右图所示，当且仅当电子元件A，B至少有一个正常工作，且电子元件C正常工作，控制模块才能正常工作．已知电子元件A，B，C正常工作的概率分别为0.8，0.7，0.6，则该控制模块能正常工作的概率为（    ）    A．0.704 B．0.644 C．0.564 D．0.336 43．如图，一个正八面体，八个面分别标以数字1到8，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触的面上的数字，得到样本空间为，设事件，事件“得到的点数为偶数”，事件“得到的点数为质数”，则下列说法正确的是（   ）    A．事件B与C互斥 B． C．事件A与C相互独立 D． 44．一个不透明的盒子中装有大小和质地都相同，编号分别为1，2，3，4的4个小球，从中依次不放回摸出两个球.设事件“第一次摸出球的编号为奇数”，事件“摸出的两个球的编号之和为5”，事件“摸出的两个球中有编号为2的球”，则（   ） A． B．事件A与事件B为独立事件 C． D．事件B与事件C为互斥事件 45．现有甲，乙，丙，丁四支球队进行单循环比赛，即每两支球队在比赛中都要相遇且仅相遇一次，最后按各队的积分排名（积分多者名次靠前，积分同者名次并列）.积分规则为每队胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分.若每场比赛中每队胜，平，负的概率都为，则在比赛结束时，下列说法正确的是（   ） A．甲队胜3场与乙队胜3场是互斥事件 B．不可能出现恰有三支球队积分相同的情况 C．丙队积分为3分的概率为 D．甲队胜2场且乙队胜2场的概率为 考点十 独立事件概率的综合应用 46．在高二选科前，高一某班班主任对该班同学的选科意向进行了调查统计，根据统计数据发现：选物理的同学占全班同学的80%，同时选物理和化学的同学占全班同学的60%，且该班同学选物理和选化学相互独立.现从该班级中随机抽取一名同学，则该同学既不选物理也不选化学的概率为（    ） A．0.125 B．0.1 C．0.075 D．0.05 47．甲、乙两人进行投篮比赛，每次投篮若一方投中且另一方未投中，则投中的一方获胜，否则本次平局.已知每次投篮甲、乙投中的概率分别为和，且每次投篮甲、乙投中与否互不影响，各次投篮也互不影响，则次投篮甲至少获胜次的概率为 . 48．一名工人维护甲、乙两台独立的机床，在一小时内，甲需要维护和乙需要维护相互独立，它们的概率分别为，求下列事件的概率． (1)一小时内没有一台机床需要维护； (2)一小时内至少有一台机床不需要维护． 49．Matlab是一种数学软件，用于数据分析、无线通信、深度学习、图象处理与计算机视觉、信号处理、量化金融与风险管理、人工智能机器人和控制系统等领域，推动了人类基础教育和基础科学的发展，某中学举行了Matlab科普讲座后进行了问答比赛，已知甲乙两个同学互不影响地参加比赛，甲、乙答对每一道题的概率分别为与，乙连续2次答错的概率为． (1)求乙答对题的概率； (2)若甲、乙两人各回答2次，求两人共答对3次的概率． 50．多项选择题是数学考试中常见的题型，它一般从，，，四个选项中选出所有正确的答案，其评分标准为全部选对的得6分，部分选对的得部分分（如有两个正确选项的每选对一个得3分，三个正确选项的每选对一个得2分），有选错的得0分． (1)考生甲有一道答案为的多项选择题不会做，他随机选择一个或两个或三个选项，求他本题至少得2分的概率； (2)现有2道两个正确选项的多项选择题，根据训练经验，每道题考生乙得6分的根率为，得3分的概率为；每道题考生丙得6分的概率为，得3分的概率为．乙，丙二人答题互不影响，且两题答对与否也互不影响，求这2道多项选择题乙丙两位考生总分刚好得18分的概率． 51．临川二中两名优秀学子小明、小华同学独立地参加中国科技大学少科班的入学面试，入学面试时共有道题目，答对道题则通过面试（前道题都答对或都答错，第道题均不需要回答）．已知小明答对每道题目的概率均为，小华答对每道题目的概率依次为、、，且小明、小华两人对每道题能否答对相互独立．记“小明只回答道题就结束面试”为事件，记“小华道题都回答且通过面试”为事件． (1)求事件发生的概率； (2)求事件和事件同时发生的概率； (3)求小明、小华两人恰有一人通过面试的概率． 52．每年的10月1日是国庆节，为庆祝该节日，某学校举办了“知识竞赛”．竞赛共分两轮，即每位参赛选手均须参加两轮比赛，已知在第一轮比赛中，选手甲，乙胜出的概率分别为，；在第二轮比赛中，选手甲，乙胜出的概率分别为p，q．假设甲，乙两人在每轮比赛中是否胜出互不影响． (1)若，求乙恰好有一轮胜出的概率； (2)若甲，乙各有一轮胜出的概率为，甲，乙两轮都胜出的概率为． ①求p，q的值； ②求甲，乙两人至少有一人两轮都胜出的概率． 考点十一 随机模拟 53．天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为．我们通过设计模拟实验的方法求概率，利用计算机产生之间的随机数： 425 123 423 344 144 435 525 332 152 342 534 443 512 541 135 432 334 151 312 354 若用1，3，5表示下雨，用2，4表示不下雨，则这三天中至少有两天下雨的概率近似为（    ） A． B． C． D． 54．进入8月份后，我市持续高温，气象局一般会提前发布高温橙色预警信号（高温橙色预警标准为24小时内最高气温将升至37摄氏度以上），在今后的3天中，每一天最高气温在37摄氏度以上的概率是.用计算机生成了20组随机数，结果如下： 116  785  812  730  134  452  125  689  024  169 334  217  109  361  908  284  044  147  318  027 若用0，1，2，3，4，5表示高温橙色预警，用6，7，8，9表示非高温橙色预警，则今后的3天中恰有2天发布高温橙色预警信号的概率估计是（    ） A． B． C． D． 55．已知某种设备在一年内需要维修的概率为0.2．用计算器进行模拟实验产生1~5之间的随机数，当出现随机数1时，表示一年内需要维修，其概率为0.2，由于有3台设备，所以每3个随机数为一组，代表3台设备一年内需要维修的情况，现产生20组随机数如下： 412        451        312        531        224        344        151        254        424        142     435        414        135        432        123        233        314        232        353        442 据此估计一年内这3台设备都不需要维修的概率为（   ） A．0.4 B．0.45 C．0.5 D．0.55 56．盒子中有四个大小质地完全相同的小球，分别写有“安”、“宁”、“联”、“盟”四个字，有放回地从中任取一个小球， 将三次抽取后“联”、“盟”两个字都抽取到记为事件.用随机模拟的方法估计事件发生的概率，利用电脑随机产生整数四个随机数，分别代表“安”、“宁”、“联”、“盟”这四个字，以每三个随机数为一组，表示取球三次的结果，经随机模拟产生了以下组随机数：233，103，122，320，031，231，133，130，231，001，220，132，021，123，023，230，321，232，由此可以估计，事件发生的概率为 . 57．现采用随机模拟的方法估计某运动员射击4次，至少击中3次的概率；先由计算器给出0到9之间取整数值的随机数，指定0，1表示没有击中目标，2，3，4，5，6，7，8，9表示击中目标，以4个随机数为一组，代表射击4次的结果，经随机模拟产生了10组随机数： 7527          0293          7140          9857          0347 4373          8636          6947          1417          4698 根据以上数据估计射击运动员射击4次至少击中3次的概率为 ． 考点十二 统计与概率 58．黄山雄踞风景秀丽的安徽南部，是我国最著名的山岳风景区之一．为更好地提升旅游品质，黄山风景区的工作人员随机选择100名游客对景区进行满意度评分（满分100分），根据这100名游客的评分，制成如图所示的频率分布直方图． (1)根据频率分布直方图，求的值；并估计这100名游客对景区满意度评分的平均数（同一组数据用该区间的中点值做代表）； (2)景区的工作人员采用按比例分层抽样的方法从评分在、的两组中共抽取6人，再从这6人中随机抽取2人进行个别交流，求选取的2人评分分别在和内各1人的概率． 59．某初级中学共有学生2000名，各年级男、女生人数如下表： 七年级 八年级 九年级 女生 373 x y 男生 377 370 z 已知在全校学生中随机抽取1名，抽到八年级女生的概率为0.19． (1)求x的值； (2)已知，，求九年级中女生比男生少的概率； (3)已知，在全校学生中随机抽取一名学生，则该学生是女生或是九年级学生的概率是多少？ 60．半程马拉松是一项长跑比赛项目，长度为21.0975公里，为全程马拉松距离的一半．20世纪50年代，一些赛事组织者设立了半程马拉松，自那时起，半程马拉松的受欢迎程度大幅提升．某调研机构为了了解人们对“半程马拉松”相关知识的认知程度，针对本市不同年龄的人举办了一次“半程马拉松”知识竞赛，将参与知识竞赛者按年龄分成5组，其中第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，得到如图所示的频率分布直方图． (1)根据频率分布直方图，估计参与知识竞赛者的平均年龄（结论精确到个位）； (2)现从以上各组中用比例分配的分层随机抽样的方法选取20人，担任本市的“半程马拉松”宣传使者．若有甲（年龄36），乙（年龄42）两人已确定入选为宣传使者，现计划从第四组和第五组被抽到的使者中，再随机抽取2名作为组长，求甲、乙两人至少有一人被选为组长的概率； (3)若第四组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为36和1，第五组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为42和2，据此估计年龄在内的所有参与知识竞赛者的年龄的平均数和方差． 61．“科学技术是第一生产力”.科技进步能够更好地推动高质量发展，如人工智能中的DeepSeek.某公司部门有员工100名，公司拟开展DeepSeek培训，分三轮进行，每位员工一轮至三轮培训达到“优秀”的概率分别为，，，每轮相互独立，有两轮及两轮以上获得“优秀”的员工才能应用DeepSeek. (1)估计部门员工经过培训能应用DeepSeek的人数（去尾法精确到个位）； (2)已知开展DeepSeek培训前，员工每人每年为公司创造利润6万元；开展DeepSeek培训后，能应用DeepSeek的员工每人每年平均为公司创造利润10万元.DeepSeek培训平均每人每年成本为1万元.根据公司发展需要，计划先将部门的部分员工随机调至公司其他部门，然后对其余员工开展DeepSeek培训.要保证培训后部门的年利润不低于员工调整前的年利润，部门最多可以调多少人到其他部门？ 62．某公司为了解用户对其产品的满意程度，从A地区随机抽取了400名用户，从B地区随机抽取了100名用户，请用户根据满意程度对该公司产品评分.该公司将收集到的数据按照［20，40），［40，60），［60，80），［80，100］分组，绘制成评分频率分布直方图如下： (1)为了更进一步了解A地区用户的不满意原因，将A地区抽取的400名用户作为一个总体，按照评分再用分层抽样的方法抽取40人进行面对面交流，那么应从评分在内的用户中抽取几人？ (2)从B地区随机抽取两名用户，且这两名用户评分独立，以频率估计概率，求这两名用户的评分恰好一个大于60分，另一个小于60分的概率； (3)根据频率分布直方图，假设同组中的每个数据用该组区间的中点值代替，估计A地区抽取的400名用户对该公司产品的评分的平均值为，地区抽取的100名用户对该公司产品的评分的平均值为，以及两个地区抽取的500名用户对该公司产品的评分的平均值为，试比较和的大小.（结论不要求证明） 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期末复习专题06 第十章概率 内容导图预览 考点清单总结 考点清单1 随机事件的相关概念 一、有限样本空间 1.我们把对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验. 2. 定义 字母表示 样本点 我们把随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点 用ω表示 样本空间 全体样本点的集合称为试验E的样本空间 用Ω表示 有限样本空间 如果一个随机试验有n个可能结果ω1，ω2，…，ωn，则称样本空间Ω=｛ω1，ω2，…，ωn｝为有限样本空间 Ω=｛ω1，ω2，…，ωn｝ 二、随机事件 随机事件 我们将样本空间Ω的子集称为随机事件，简称事件，并把只包含一个样本点的事件称为基本事件，随机事件一般用大写字母A，B，C，…表示.在每次试验中，当且仅当A中某个样本点出现时，称为事件A发生 必然事件 Ω作为自身的子集，包含了所有的样本点，在每次试验中总有一个样本点发生，所以Ω总会发生，我们称Ω为必然事件 不可能事件 空集∅不包含任何样本点，在每次试验中都不会发生，我们称∅为不可能事件 一、事件的关系 定义 符号 图示 包含关系 一般地，若事件A发生，则事件B一定发生，我们就称事件B包含事件A(或事件A包含于事件B) B⊇A (或A⊆B) 相等关系 如果事件B包含事件A，事件A也包含事件B，即B⊇A且A⊇B，则称事件A与事件B相等 A=B 三、事件的运算 定义 符号 图示 并事件(或和事件) 一般地，事件A与事件B至少有一个发生，这样的一个事件中的样本点或者在事件A中，或者在事件B中，我们称这个事件为事件A与事件B的并事件(或和事件) A∪B (或A+B) 交事件(或积 事件) 一般地，事件A与事件B同时发生，这样的一个事件中的样本点既在事件A中，也在事件B中，我们称这样的一个事件为事件A与事件B的交事件(或积事件) A∩B (或AB) 2.类似地，我们可以定义多个事件的和事件以及积事件.例如：对于三个事件A，B，C，A∪B∪C(或A+B+C)发生当且仅当A，B，C中至少有一个发生，A∩B∩C(或ABC)发生当且仅当A，B，C同时发生，等等. 四、互斥事件与对立事件 1.互斥事件 一般地，如果事件A与事件B不能同时发生，也就是说A∩B是一个不可能事件，即A∩B=∅，则称事件A与事件B互斥(或互不相容). 2.对立事件 一般地，如果事件A和事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生，即A∪B=Ω，且A∩B=∅，那么称事件A与事件B互为对立，事件A的对立事件记为. 考点清单2 古典概型问题 一、列举法解决古典概型问题 　(1)解题时要注意是“有放回抽取”还是“无放回抽取”，若是“有放回抽取”，则在每次抽取之前，产品种类及个数都不发生变化，因此某件新产品被抽到的概率也不变；若是“无放回抽取”(假设每次抽取的结果都可知)，则在每次抽取之前，所剩产品种类及个数都在发生变化，因此某件产品被抽到的概率也在不断变化. 二、概率与统计相结合 古典概型与统计结合题，无论是直接描述还是利用频率分布表、频率分布直方图等给出信息，只需要能够从题中提炼出需要的信息，则此类问题即可解决，解决此类题目的步骤主要有 第一步：根据题目要求求出数据(有的用到分层随机抽样、有的用到频率分布直方图等知识)； 第二步：列出样本空间，计算样本空间包含的样本点个数； 第三步：找出所求事件包含的样本点个数； 第四步：根据古典概型概率计算公式求解； 第五步：明确规范地表述结论. 三、“放回”与“不放回”问题 抽取问题是古典概型的常见问题，解决此类问题需要注意两点：一是所给问题是否需要将被抽取的个体进行区分才能满足古典概型的条件，二是看抽取的方式是有放回还是不放回，两种抽取方式对样本点的总数有影响.另外，不放回抽取看作无序或有序抽取均可，有放回抽取要看作有序抽取. 考点清单3 概率的基本性质 一、概率的基本性质 性质1　对任意的事件A，都有P(A)≥0. 性质2　必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P(Ω)=1，P(∅)=0. 性质3　如果事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)=P(A)+P(B). 如果事件A1，A2，…，Am两两互斥，那么事件A1∪A2∪…∪Am发生的概率等于这m个事件分别发生的概率之和，即P(A1∪A2∪…∪Am)=P(A1)+P(A2)+…+P(Am). 性质4　如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(B)=1-P(A)，P(A)=1-P(B). 性质5　如果A⊆B，那么P(A)≤P(B). 性质6　设A，B是一个随机试验中的两个事件，我们有P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B). 二、互斥事件与对立事件概率公式的应用 互斥事件、对立事件的概率公式的应用 (1)互斥事件的概率加法公式为P(A∪B)=P(A)+P(B)，运用该公式解题时，首先要分清事件间是否互斥，同时要学会把一个事件拆分为几个互斥事件，然后求出各事件的概率，用概率加法公式得出结果. (2)当直接计算符合条件的事件个数比较烦琐时，可先计算出对立事件的概率，然后利用对立事件的概率加法公式P(A)+P(B)=1，求出符合条件的事件的概率. 考点清单4 事件的相互独立性 一、相互独立事件的概念 对任意两个事件A与B，如果P(AB)=P(A)P(B)成立，则称事件A与事件B相互独立. 反思感悟　两个事件是否相互独立的判断 (1)直接法：由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影响. (2)公式法：若P(AB)=P(A)P(B)，则事件A，B为相互独立事件. 二、相互独立事件的性质 如果事件A与事件B相互独立，那么A与，与B，与也都相互独立. 互斥事件与相互独立事件都描述了两个事件间的关系，但互斥事件强调不可能同时发生，相互独立事件则强调一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响；互斥的两个事件可以相互独立，相互独立的两个事件也可以互斥. 三、相互独立事件概率的计算 (1)求相互独立事件同时发生的概率的步骤 ①首先确定各事件之间是相互独立的. ②求出每个事件的概率，再求积. (2)使用相互独立事件同时发生的概率计算公式时，要掌握公式的适用条件，即各个事件是相互独立的. (3)求较复杂事件的概率的一般步骤 ①列出题中涉及的各个事件，并且用适当的符号表示. ②理清事件之间的关系(两个事件是互斥还是对立，或者是相互独立的)，列出关系式. ③根据事件之间的关系准确选取概率公式进行计算. ④当直接计算符合条件的事件的概率较复杂时，可先间接地计算其对立事件的概率，再求出符合条件的事件的概率. 考点清单5 频率与概率 一、频率的稳定性 1.一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率fn(A)会逐渐稳定于事件A发生的概率P(A).我们称频率的这个性质为频率的稳定性.因此，我们可以用频率fn(A)估计概率P(A). 2.概率是一个确定的数，与每次试验的次数无关. 二、游戏公平性的判断 游戏规则公平的判断标准 在各类游戏中，如果每人获胜的概率相等，那么游戏就是公平的，也就是说游戏规则是否公平只要看获胜的概率是否相等.例如：体育比赛中决定发球权的方法应该保证比赛双方先发球的概率相等，这样才是公平的；每个人购买彩票中奖的概率应该是相等的，这样才是公平的；抽签决定某项事务时，任何一支签被抽到的概率也是相等的，这样才是公平的等等. 三、用随机模拟估计概率 1.利用随机模拟试验，只适用于试验结果是有限个的情形. 2.利用随机模拟试验，关键是建立好适当的模型. 3.利用随机模拟的方法估算概率的步骤：一是建立概率模型；二是进行模拟试验；三是统计计算，随着模拟的数量的不断增加，模拟结果就越来越接近概率. 考点一 随机事件的相关概念考点题型·巩新知 1．以下事件是随机事件的是（    ） A．下雨屋顶湿 B．秋后柳叶黄 C．有水就有鱼 D．水结冰体积变大 【答案】C 【分析】利用随机事件的定义求解即可. 【详解】由题意得A，B，D的概率为1，所以是必然事件， C的概率不为0，也不为1，所以它是随机事件，故C正确. 故选：C 2．下列事件是必然事件的是（    ） A．从分别标有数字1，2，3，4，5的5张标签中任取一张，得到标有数字4的标签 B．底面是正方形的四棱柱是正四棱柱 C．平行于同一条直线的两条直线互相平行 D．有公共点的两个圆相切 【答案】C 【分析】根据随机事件、必然事件的意义逐项分析即可求解. 【详解】对于A，标有数字4的标签可能取到，也可能取不到，不是必然事件，A不是； 对于B，底面是正方形的四棱柱不一定是正四棱柱，不是必然事件，B不是； 对于C，平行于同一条直线的两条直线互相平行，一定能发生，是必然事件，C是； 对于D，有公共点的两个圆可能相交，也可能相切，不是必然事件，D不是. 故选：C 3．对于概率是千分之一的事件，下列说法正确的是（    ） A．概率太小，不可能发生 B．1000次中一定发生1次 C．1000人中，999人说不发生，1人说发生 D．1000次中有可能发生1次 【答案】D 【分析】根据随机事件概率的意义，即可判断选项. 【详解】概率是千分之一，是指事件发生的可能性为千分之一，每一次发生都是随机的， 每一次可能发生，也可能不发生，1000次中有可能发生1次. 故选：D 4．如图，由A，B两盏正常的小灯泡组成并联电路，当闭合开关时，下列事件为必然事件的是（    ） A．A灯亮，B灯不亮 B．A灯不亮，B灯亮 C．A，B两盏灯均亮 D．A，B两盏灯均不亮 【答案】C 【分析】根据并联电路的特点及必然事件的概念判断即可. 【详解】由A，B两盏正常的小灯泡组成并联电路，当闭合开关时，可知A，B两盏灯均亮. 故选：C. 5．对满足的非空集合、，有下列四个命题： ①“若任取，则”是必然事件；      ②“若，则”是不可能事件； ③“若任取，则”是随机事件；      ④“若，则”是必然事件. 其中正确命题的个数为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件、子集的定义逐一判断即可. 【详解】①：因为，，所以，因此“若任取，则”是必然事件，故本命题是真命题； ②：当集合是集合的真子集时，显然存在一个元素在集合中，不在集合中， 因此“若，则”是随机事件，故本命题是假命题； ③：任取，当集合是集合的真子集时，有可能成立，也可能不成立， 因此“若任取，则”是随机事件,故本命题是真命题； ④：因为，所以一定有，显然“若，则”是必然事件，故本命题是真命题． 因此①③④为真命题. 故选：B 考点二 互斥事件与对立事件 6．抛掷一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件：“点数不大于3”，“点数不小于3”，“点数大于4”，“点数为奇数”，“点数为偶数”，下列结论正确的是（   ） A．A，B为互斥事件 B．B，C为对立事件 C．C，D为互斥事件 D．D，E为对立事件 【答案】D 【分析】写出基本事件和样本空间，得到；B，C包含共同的基本事件；C，D包含共同的基本事件；，且，从而判断出结论. 【详解】A选项，设抛掷一颗质地均匀的骰子，向上的点数为基本事件， 则样本空间为， 事件包含的基本事件有点数为1，点数为2，点数为3， 事件包含的基本事件有点数为3，点数为4，点数为5，点数为6， 由于有共同的基本事件，即点数为3，，故A，B不为互斥事件，A错误； B选项，事件C包含的基本事件有点数为5，点数为6， 结合A选项，显然B，C包含共同的基本事件，不互斥，不对立，B错误； C选项，事件包含的基本事件有点数为1，点数为3，点数为5， 结合B选项，可知C，D包含共同的基本事件，不互斥，C错误； D选项，事件包含的基本事件有点数为2，点数为4，点数为6， 结合C选项，，且， 所以D，E为对立事件，D正确. 故选：D 7．如图，甲、乙两个元件串联构成一段电路，事件M=“甲元件故障”，N=“乙元件故障”，则表示该段电路没有故障的事件为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据条件，得出甲、乙两个元件的故障情况，即可得出结果. 【详解】因为甲、乙两个元件串联，线路没有故障， 即甲、乙都没有故障，即事件和同时发生，即事件发生. 故选：D. 8．从分别写有的张卡片中随机一次取出张，设事件为“写有的卡片被取出”，为“写有的卡片被取出”，为“取出的卡片上的数都大于”，为“取出的卡片上的数之和小于”，则（   ） A．与是互斥事件 B．与是对立事件 C． D． 【答案】D 【分析】对于A，给出即可作为反例；对于B，给出即可作为反例；对于C，给出即可作为反例；对于D，论证发生等价于发生即可. 【详解】对于A，由于当同时取出时，与同时发生，所以它们不是互斥事件，故A错误； 对于B，由于当同时取出时，与都不发生，所以它们不是对立事件，故B错误； 对于C，由于当同时取出时，发生，不发生，所以它们不相等，故C错误； 对于D，由于发生当且仅当取出的卡片至少有一张是非正数，即至少有一个发生，故，故D正确. 故选：D. 9．把红、蓝、黑、白张纸牌随机地分给甲、乙、丙、丁个人，每人分得张，事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是（ ） A．对立 B．相等 C．相互独立 D．互斥但不对立 【答案】D 【分析】利用互斥事件和对立事件的特征易判断得出结论. 【详解】因纸牌只有红、蓝、黑、白张，分给甲、乙、丙、丁个人，每人一张， 则事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”在一次分法中不可能同时发生，故两事件互斥； 同时在一次分法中除了这两个事件，还有“丙分得红牌”，“丁分得红牌”这些可能事件， 故这两个事件不是对立事件. 故选：D. 10．抛掷一枚质地均匀的骰子，有如下随机事件：“点数不大于2”；“点数大于2”；“点数大于5”；“点数为奇数”.则下列说法正确的有（    ） A． B．，为对立事件 C．与互斥 D． 【答案】BD 【分析】根据对立事件、互斥事件，并事件，积事件的概念及事件之间的关系，逐项判断即可. 【详解】对于A，“点数大于2”“点数大于5”“点数大于2”，故A错误； 对于B，点数大于2与点数不大于2不可能同时发生，且必有一个发生，即为对立事件，故B正确； 对于C，点数为奇数与点数大于2可能同时发生，即与不是互斥事件，故C错误； 对于D，点数为奇数与点数大于5不可能同时发生，故，故D正确. 故选：BD. 考点三 古典概型的概率计算 11．将一枚质地均匀的骰子抛掷一次，出现“正面向上的点数大于3”的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据离散型随机变量概率公式求出结果. 【详解】抛掷一次骰子有6种结果,分别为1,2,3,4,5,6.大于3的结果有4,5,6. 所以“正面向上的点数大于3”的概率. 故选：A. 12．罗老师准备从小染，小冰等5人中随机选取2人去参加巴蜀中学的超级演说家比赛，则小染、小冰两人中至少有1人被选到的概率为（    ） A．0.4 B．0.5 C．0.6 D．0.7 【答案】D 【分析】运用古典概型的概率，先计算小染和小冰都没有被选到的概率，然后用1减去它，就是小染和小冰至少有1人选上的概率. 【详解】设事件为“小染，小冰中至少有1人被选到”， 小染，小冰中至少有1人被选到的概率为： . 故选：D. 13．甲、乙两人玩掷骰子游戏，规则如下：每人各掷骰子两次，以两次骰子的点数之和作为投掷者的得分，若得分不同，得分多的一方获胜，若得分相同视为平局，则甲获胜的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据古典概型公式直接计算可得结果. 【详解】掷骰子一共4次，基本事件共种情况， 其中，得两分平局两人抛出的都是；共有1种； 得三分平均两人均有两种情况，两人共种， 以此类推，甲、乙平局一共有种情况， 其余甲、乙获胜机会均等，各575种情况，所以甲获胜的概率为． 故选：B 14．大运河文化带，长城文化带和西山永定河文化带作为北京历史文化名城保护体系的重要内容，高度凝练了北京旧城以外的文化遗产，对于建设北京全国文化中心，满足人民对美好生活的需要，起到关键的支撑作用．为了把握好三个文化带的文化精髓，做好保护与传承，某课外研究小组决定从三个文化带中随机选取两个文化带进行研究，那么所选的两个文化带中包含大运河文化带的概率是 ． 【答案】 【分析】利用列举法列出所有可能结果，再由古典概型的概率公式计算可得. 【详解】设大运河文化带，长城文化带和西山永定河文化带分别为，，， 则随机试验从三个文化带中随机选取两个文化带的样本空间为， 随机事件所选的两个文化带中包含大运河文化带包含样本点， 所以随机试验所选的两个文化带中包含大运河文化带的概率． 故答案为： 15．有5张未刮开的卡片，其中张是“中奖”卡，其余是“未中奖”卡，现从这5张卡片中随机抽取2张．你有资金100元，每次在刮开一张卡片前，下注已有资金的一半．若刮开结果为“中奖”，则赢得与下注金额相同的另一笔钱，若刮开结果是“未中奖”，则输掉下注的资金．抽取的2张卡片全部刮完后，若使资金增加的概率为．则 ；若使资金增加的概率大于使资金减少的概率，则至少为 ． 【答案】 3 4 【分析】分类讨论结合古典概型计算求解；再应用对立事件概率公式解不等式求解. 【详解】总资金为100元，刮开第1张卡片前，下注50元： （1）若未中奖，剩50元；刮开第2张卡片前，下注25元，不管是否中奖，资金必减少； （2）若中奖，剩150元；刮开第2张卡片前，下注75元，未中奖，则资金减少；中奖，则资金增加 要使资金增加，则必须两张都中奖，否则资金将减少． 记事件为“两张卡片都中奖”，从5张卡片中抽取2张卡片，样本空间包含样本点个数为． 又，则，即从张“中奖”卡片中抽取2张的样本点个数为，解得． 要使资金增加的概率大于资金减少的概率，则，即．则． 又，故或，即至少为4． 故答案为：3；4. 考点四 有（无）放回的概率计算 16．袋中装有除颜色外其他完全相同的红、黄球各1个，现从中随机取1个球，记录球的颜色后放回，并且往袋中放入2个与取出的球颜色相同的球，以此规则取球，则第三次取到红球的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】记取到红球为事件，取到黄球为事件，则第三次取到红球的情况有四种情况，分别计算概率求和即可. 【详解】记取到红球为事件，取到黄球为事件，则第三次取到红球的概率 . 故选：B. 17．从分别写有1，2，3，4的4张卡片中无放回地随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率为 ． 【答案】/0.5 【分析】根据古典概型可知总有16种情况，符合题意的有8种，即答案为. 【详解】从分别写有1，2，3，4的4张卡片中无放回地随机抽取2张，共有： 16种； 2张卡片上的数字之积是4的倍数有：8种； 即概率为， 故答案为：##0.5. 18．袋 中共有个球 ，其中个黑球，个 白球 ，现把球 随机地一只只取出，则第 次取出 的是黑球的概率为 【答案】 【分析】由题意可知不管是第几次取球，取出的为黑球的概率均相等，则答案可直接求得. 【详解】不管前面次的结果如何,单从第次考虑,摸出的球是黑球的概率为, 其实每次摸出黑球的概率均相等，且均为， 故答案为：. 19．口袋内有红、白、黄大小完全相同的三个小球，求： (1)从中任意摸出两个小球，摸出的是红球和白球的概率； (2)从袋中摸出一个后放回，再摸出一个，两次摸出的球是一红一白的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）列出样本空间的样本点，结合古典概型的概率公式计算即可求解； （2）列出样本空间的样本点，结合古典概型的概率公式计算即可求解. 【详解】（1）无放回地取球，任意摸出两个小球的样本空间为 ｛（红,白）,（红,黄）,（白,黄）｝，共3个， 所以摸出的是红球和白球的概率为． （2）有放回地取球，样本空间为 ｛（红,红）,（红,白）,（红,黄）,（白,白）,（白,红）,（白,黄）,（黄,红）,（黄,白）,（黄,黄）｝，共9个， 而事件“摸出一红一白”包括（红,白），（白,红）2个样本点， 所以两次摸出的球是一红一白的概率为． 20．有4张面值相同的债券，其中有2张是中奖债券． (1)有放回地从债券中任取2次，每次取出1张，计算取出的2张都是中奖债券的概率； (2)无放回地从债券中任取2次，每次取出1张，计算取出的2张都是中奖债券的概率； (3)有放回地从债券中任取2次，每次取出1张，计算取出的2张中至少有1张是中奖债券的概率； (4)无放回地从债券中任取2次，每次取出1张，计算取出的2张中至少有1张是中奖债券的概率 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）先列举出所有基本事件，再根据条件求随机事件的概率； （2）由（1）的表格，分考虑顺序和不考虑顺序求解； （3）由（1）的表格，结合古典概型的概率公式求解； （4）分考虑顺序和不考虑顺序结合古典概型的概率公式求解. 【详解】（1）将4张面值相同的债券分别记作，规定是中奖债券，则有放回地取出2张债券的所有结果列表如下： 可见所有结果数共16种，取出的2张是中奖的债券和债券的结果数有4种，故所求概率是． （2）我们知道，无放回地抽取可考虑顺序，可不考虑顺序． 如果考虑顺序的话，我们可以在（1）中的表格里去掉对角线上的，得到的就是所有结果数，为12， 而取出的2张是中奖的债券和债券的结果有2种，故所求概率是； 如果不考虑顺序的话，可以在（1）中的表格里要么只取对角线以上的几种情况，要么只取对角线以下的几种情况． 这时可以看出所有结果数有6种，当然结果数还可以用列举法得到，而取出的2张是中奖的债券和债券的结果只有1种，故所求概率是． （3）有放回地抽取，由（1）中的表格可以看出所有结果数是16，至少有1张中奖的结果数是12，所以所求概率是． （4）无放回地抽取，借助（2）的分析解答，考虑顺序的话所有结果数是12，至少有1个中奖的结果数是10，所以此时的概率是； 不考虑顺序的话所有结果数是6，至少有1个中奖的结果数是5，所以所求概率是． 考点五 古典概率的综合应用 21．从2，3，4，8，9中任取两个不同的数，分别记为a，b． (1)求为偶数的概率； (2)求为整数的概率． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）写出样本空间，设出事件，列举出满足要求的样本点，得到答案； （2）在（1）基础上，事件“为整数”，得到事件共有3个样本点，得到答案. 【详解】（1）样本空间可记为 ，共包含20个样本点． 设事件“为偶数”，， 包含8个样本点，则． （2）由（1）得样本空间共包含20个样本点， 设事件“为整数”， 因为，，， 所以，包含3个样本点， 则． 22．有甲、乙两个盒子，其中甲盒中装有四张卡片，分别写有：奇函数、偶函数、增函数、减函数，乙盒中也装有四张卡片，分别写有函数：，，，． (1)若从乙盒中任取两张卡片，求这两张卡片上的函数的定义域不同的概率； (2)若从甲、乙两盒中各取一张卡片，乙盒中的卡片上的函数恰好具备甲盒中的卡片上的函数的性质时，则称为一个“奇遇”，现从两盒中各取一张卡片，求它们恰好“奇遇”的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）运用列举法列出从乙盒中任取两张卡片所有的取法，列举出取函数的定义域不同的取法，根据古典概型概率公式可求得所求的概率． （2）列举出从甲、乙两盒中各取一张卡片所有的取法．再由是偶函数，是奇函数，是减函数，是增函数，得出恰为“奇遇”的取法，根据古典概型概率公式可求得所求的概率. 【详解】（1）乙盒中的4个函数 ，，，分别记为， 从乙盒中任取两张卡片，所有的取法为，共种， 又函数，的定义域均为，函数的定义域为， 函数的定义域为， 所取函数的定义域不同的取法有，共5种， 所以这两张卡片上的函数的定义域不同的概率为． （2）把甲盒中的奇函数、偶函数、增函数、减函数分别记为奇、偶、增、减， 则从甲、乙两盒中各取一张卡片有（奇，1），（奇，2），（奇，3），（奇，4）， （偶，1），（偶，2），（偶，3），（偶，4），（增，1），（增，2），（增，3）， （增，4），（减，1），（减，2），（减，3），（减，4）， 共16种取法． 又是偶函数，是奇函数，是减函数，是增函数， 恰为“奇遇”的有（偶，1），（奇4），（减，2），（增，3），共4种， 所以“奇遇”的概率为． 23．问卷的设计是一门很大的学问，例如，调查问题的措辞会对被调查者产生影响，举例来说，在“你在多大程度上喜欢吸烟”和“你在多大程度上不喜欢吸烟”这两种问法中，前者会比后者给出更为肯定的答案．下面设计了一个调查程序： 已知某高校有12000名学生，我们随机抽取其中1200名学生进行调查（吸烟问题）． 第一步：每个被测人员在大小和形状相同的50个红球与50个白球中随机摸取一个球，然后再同时掷两个骰子：（结果只有被测人员知道） 第二步：如果取到红球，且两个骰子的点数之和是4或5或6，则被测人员在计数器上点一下： 如果取到白球，且吸烟的被测人员在计数器上点一下．已知最后计数器数字是211． (1)求第二步中两个骰子的点数之和是4或5或6的概率： (2)试估计某高校吸烟的人数． 【答案】(1) (2)220人 【分析】（1）由古典概型可求， （2）先求出被测试中的一个学生吸烟的概率，再估算高校吸烟的人数. 【详解】（1）设两个骰子的点数之和是4或5或6的事件为，则掷两个骰子共有种不同结果， 其中之和是4或5或6的有（1，3），（2，2），（3，1），（1，4），（2，3），（3，2），（4，1），（1，5），（2，4），（3，3），（4，2），（5，1），共有12种， 所以. （2）设被测试中的一个学生吸烟的概率为，则被计数器计数的学生人数为211， 所以，解得， 所以估计某高校吸烟的人数为人． 24．已知某医疗队共有医生20人，护士30人，现在要用分层随机抽样的方法从中选取5人组建一个救援小组. (1)求救援小组中医生和护士的人数； (2)若从救援小组中随机选取2人担任组长，求医生和护士各有1人被选中的概率. 【答案】(1)医生人数为2，护士人数为3； (2) 【分析】（1）根据分层抽样的特征进行求解，得到答案； （2）2名医生，记为A，B；3名护士，记为a，b，c，利用列举法进行求解 【详解】（1）由题可知救援小组中医生的人数为，护士的人数为. （2）由（1）可知救援小组中有2名医生，记为A，B；有3名护士，记为a，b，c. 从中随机选取2人担任组长，所有的结果为，，，，， ，，，，，共有10种可能的结果. 记事件M为“医生和护士各有1人被选中担任组长”，依题意可知事件M包含的样本点 有，，，，，，共有6种可能的结果. 故. 25．甲乙两人独立的掷一枚质地均匀的骰子，骰子向上的点数可能是中的某一个数，设甲掷出的点数为，乙掷出的点数为，求： (1)求为奇数的概率； (2)求的概率； (3)若甲乙两人各掷出骰子5次，的值依次为：；的值依次为：1，3，4，6，5；试比较两组数据的均值和方差的大小（直接写出结论，不必写过程） 【答案】(1)； (2)； (3)，方差相等. 【分析】（1）利用古典概率直接求出概率. （2）利用列举法及古典概率求出概率. （3）求出平均数与方差，进而比较大小. 【详解】（1）甲掷出的点数共有6个不同结果，其中为奇数的结果有3个， 所以为奇数的概率为. （2）甲乙掷出的结果有：， ， ，36个， 其中的事件含有，6个， 所以的概率为. （3），，因此； 值的方差， 值的方差， 所以值的方差与值的方差相等. 考点六 概率的基本性质 26．设随机事件A，B满足，，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】应用条件概率公式、互斥事件的概率的性质计算判断. 【详解】， ， ， 故选：B． 27．已知随机事件A，B满足，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用概率的基本性质列式计算即得. 【详解】依题意，. 故选：D 28．设是一个随机试验中的两个互斥事件，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据互斥事件的概率加法公式求得，再利用对立事件的概率公式求解即可. 【详解】因是两个互斥事件，故， 于是，. 故选：C. 29．中国篮球职业联赛中，某男篮球运动员在最近几次参加的比赛中的得分情况如表： 投篮次数 投中两分球的次数 投中三分球的次数 100 55 18 用表中数据来估计概率，记该运动员在一次投篮中，投中两分球为事件，投中三分球为事件，没投中为事件，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据古典概型概率公式，结合和事件、对立事件的概率公式计算可得. 【详解】由题意可知，，故A，B正确； 事件为事件的对立事件，且事件两两互斥， ，故C正确； ，故D错误. 故选：ABC. 30．设样本空间为，事件A、B：①；②；③；④；⑤．以上结论中正确的个数为 个． 【答案】3 【分析】根据概率的性质可得答案. 【详解】根据概率的性质， 对于①，，故错误； 对于②，，故正确； 对于③，，故正确； 对于④，，故错误； 对于⑤，，故正确． 以上结论中正确的个数为3个． 故答案为：3. 考点七 独立事件与互斥事件 31．下列关于互斥事件、对立事件、独立事件（上述事件的概率都大于零）的说法中正确的是（    ） A．互斥事件一定是对立事件 B．对立事件一定是互斥事件 C．互斥事件一定是独立事件 D．独立事件一定是互斥事件 【答案】B 【分析】根据互斥事件、对立事件、独立事件的概念进行判断即可. 【详解】互斥事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件，故A错误，B正确； 互斥事件一定不能同时发生，而独立事件可以同时发生，所以互斥事件一定不是独立事件，独立事件可能互斥也可能不互斥，故C，D均错误. 故选：B. 32．某科研小组共60名成员，他们需要完成甲、乙、丙、丁四个科研项目，科研成员随机参与，且每个人可以参与一个或多个项目．若参与甲项目的有30人，参与乙项目的有10人，参与丙项目的有20人，参与丁项目的有30人，参与了甲项目或乙项目的共有40人，同时参与了甲项目和丙项目的有10人，参与了甲项目或丁项目的共有60人，则下列说法正确的是（   ） A．参与甲项目与参与乙项目不互斥 B．参与甲项目与参与丁项目互斥但不对立 C．参与丙项目与参与丁项目不相互独立 D．参与甲项目与参与丙项目相互独立 【答案】D 【分析】A选项，根据甲乙项目的参加情况得到，即可得到参与甲项目与参与乙项目互斥；B选项，根据甲丁项目的参加情况得到，即可得到参与甲项目与参与丁项目互斥且对立；C选项，根据参与甲项目与参与丁项目对立和得到，然后得到，，，最后利用乘法公式判断；D选项，利用乘法公式判断即可. 【详解】设总人数为，记参与甲，乙，丙，丁项目分别为事件， 由题意可得，故， 故参与甲项目与参与乙项目互斥，故A错误； 由题意可得，，故， 故参与甲项目与参与丁项目互斥且对立，故B错误； 由题意得， 故，， 故，故参与丙项目与参与丁项目相互独立，故C错误； ， 故参与甲项目与参与丙项目相互独立，故D正确． 故选：D． 33．已知甲袋里只有红球，乙袋里只有白球，丙袋里只有黑球，丁袋里这三种球都有.现从这四个袋子中随机抽取一个袋子，设事件为“所抽袋子里有红球”，事件为“所抽袋子里有白球”，事件为“所抽袋子里有黑球”，则下列说法正确的是（   ） A．事件与事件互斥 B．事件与事件相互独立 C．事件与事件相互对立 D．事件与事件相互独立 【答案】B 【分析】根据要写条件，利用互斥事件、对立事件和相互独立的定义，逐一判断选项即可. 【详解】对于A，事件和事件可以同时发生，即抽取丁袋，事件与事件不互斥，A错误； 对于B，，，，事件与事件相互独立，B正确； 对于C，事件与事件可以同时发生，即抽取丁袋，事件与事件不对立，C错误； 对于D，，，，事件与事件不独立，D错误. 故选：B 34．抛掷两枚质地均匀的硬币一次，设“第一枚硬币正面朝上”为事件A，“第二枚硬币反面朝上”为事件B，则下述正确的是（    ）. A．A与B对立 B．A与B互斥 C． D．A与B相互独立 【答案】D 【分析】根据题意，列举出抛掷两枚质地均匀的硬币的所有结果，再逐一分析判断各个选项即可得到结果. 【详解】由题意可得，抛掷两枚质地均匀的硬币的所有结果是：（正，正），（正，反），（反，正），（反，反）， 则事件包含的结果有：（正，正），（正，反），事件包含的结果有：（正，反），（反，反）， 显然事件，事件都包含“（正，反）”这一结果，即事件，事件能同时发生， 所以，事件，事件既不互斥也不对立，故AB错误. 又因为，而，， 所以，，故C错误，D正确. 故选：D 35．某商场组织了一次幸运抽奖活动，袋中装有标号分别为1~8的8个大小形状相同的小球，现抽奖者从中抽取1个小球.事件“取出的小球编号为奇数”，事件“取出的小球编号为偶数”，事件“取出的小球编号小于6”，事件“取出的小球编号大于6”，则下列结论正确的是（   ） A．A与B互斥 B．A与B相互对立 C．C与D相互对立 D．B与D相互独立 【答案】ABD 【分析】分别求出样本空间和事件、、、，再利用互斥事件、对立事件及相互独立事件的定义逐一判断. 【详解】抽奖者从中任取一个球的样本空间为， 事件，事件，事件，事件， 且，则与互斥，且与互为对立事件，AB正确； 且真包含于，事件C与D不相互对立，C错误； ，，事件B与D相互独立，D正确. 故选：ABD 考点八 独立事件的乘法公式 36．若随机事件A，B满足，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由概率的性质即可得到答案. 【详解】由概率的性质， . 故选：B. 37．假设，，且A与B相互独立，则下列说法正确的个数为（    ） ①        ②    ③        ④        ⑤ A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据相互独立事件的概念和乘法公式，以及互斥事件的概念，逐个判定，即可求解. 【详解】由，，且事件与相互独立，则与相互独立，与相互独立，则，所以①不正确，③正确； 又由，所以④正确； 由，所以⑤不正确； 又由事件与不一定时互斥事件，所以与不一定相等， 所以②不正确. 故选：B. 38．已知事件发生的概率分别为，则下列说法错误的是（   ） A．若，则 B．若与互斥，则 C．若，则事件与相互独立 D．若与相互独立，则 【答案】A 【分析】根据交事件的性质即可求A，根据互斥事件的性质即可求解C，根据相互独立的性质即可求解CD. 【详解】对于A，若，则,故A错误， 对于B，若与互斥，则,故B正确， 对于C, ,结合，故，故事件与相互独立，C正确， 对于D, 若与相互独立，则,D正确， 故选：A 39．从集合中依次不放回的任取两个数，记事件 “第一次取出的数字是1”，事件”取出的两个数之和为7”，下列说法不正确的是（    ） A． B．为不可能事件 C．事件 A，B 相互独立 D． 【答案】C 【分析】先将任取的两个数用一组有序实数表示，可列出试验和事件包括的样本点，利用古典概率模型求其概率，再根据各选项的要求逐一判断即可. 【详解】从集合中依次不放回的任取两个数，若用一组有序实数表示， 则试验的样本空间为： ， 则 ， . 对于A，因，故A正确，不合题意； 对于B，因，故为不可能事件，即B正确，不合题意； 对于C，因，则，则， 即事件 A，B 相互不独立，故C错误，符合题意； 对于D，因，故必有，即D正确，不合题意. 故选：C. 40．设A，B是一个随机试验中的两个事件，记为事件A，B的对立事件，且，则= 【答案】0.3/ 【分析】先求出，根据得到，结合，求出，从而得到. 【详解】由题意得，为互斥事件， 即， ， 又①，②， 式子①②相加得， 故， 所以，则. 故答案为：0.3 【点睛】若事件A，B互斥，则有， 若事件A，B不互斥，则有. 考点九 独立事件的概率计算 41．甲、乙两名同学进行投篮比赛，甲每次命中概率为，乙每次命中概率为，甲和乙是否命中互不影响，甲、乙各投篮一次，则（   ） A．两人都命中的概率为 B．恰好有一人命中的概率为 C．两人都没有命中的概率为 D．至少有一人命中的概率为 【答案】ABD 【分析】计算各事件的概率判断各选项是否正确. 【详解】设事件：甲投篮一次，命中；事件：乙投篮一次，命中. 则事件，独立. 对A选项：由，故A正确； 对B选项：由，故B正确； 对C选项：由，故C错误； 对D选项：由，故D正确. 故选：ABD 42．某校课外活动兴趣小组设计一控制模块，电路如右图所示，当且仅当电子元件A，B至少有一个正常工作，且电子元件C正常工作，控制模块才能正常工作．已知电子元件A，B，C正常工作的概率分别为0.8，0.7，0.6，则该控制模块能正常工作的概率为（    ）    A．0.704 B．0.644 C．0.564 D．0.336 【答案】C 【分析】先根据互斥事件和对立事件的概率公式，求得元件A与B至少有一个正常工作的概率，再结合独立事件的概率乘法公式，即可求解. 【详解】由题意，电子元件A与B至少有一个正常工作的概率为： 所以该控制模块能正常工作的概率为. 故选：C. 43．如图，一个正八面体，八个面分别标以数字1到8，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触的面上的数字，得到样本空间为，设事件，事件“得到的点数为偶数”，事件“得到的点数为质数”，则下列说法正确的是（   ）    A．事件B与C互斥 B． C．事件A与C相互独立 D． 【答案】BCD 【分析】确定事件包含的样本点，利用互斥、独立事件的意义，结合古典概率逐项判断. 【详解】事件，事件，事件，， 对于A，事件有相同的样本点2，事件B与C不互斥，A错误； 对于B，，则，B正确； 对于C，，事件A与C相互独立，C正确； 对于D，，D正确. 故选：BCD 44．一个不透明的盒子中装有大小和质地都相同，编号分别为1，2，3，4的4个小球，从中依次不放回摸出两个球.设事件“第一次摸出球的编号为奇数”，事件“摸出的两个球的编号之和为5”，事件“摸出的两个球中有编号为2的球”，则（   ） A． B．事件A与事件B为独立事件 C． D．事件B与事件C为互斥事件 【答案】AB 【分析】根据古典概型计算判断A，独立事件乘法公式计算判断B，根据概率性质计算判断C，应用互斥事件的定义判断D. 【详解】对于A：由古典概率的计算易得，故A正确； 对于B：因为，，， 所以，即事件A与事件B为独立事件，故B正确； 对于C：因为，故C错误； 对于D：当摸出的两个球编号为2，3时，事件B与事件C同时发生，故D错误， 故选:AB 45．现有甲，乙，丙，丁四支球队进行单循环比赛，即每两支球队在比赛中都要相遇且仅相遇一次，最后按各队的积分排名（积分多者名次靠前，积分同者名次并列）.积分规则为每队胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分.若每场比赛中每队胜，平，负的概率都为，则在比赛结束时，下列说法正确的是（   ） A．甲队胜3场与乙队胜3场是互斥事件 B．不可能出现恰有三支球队积分相同的情况 C．丙队积分为3分的概率为 D．甲队胜2场且乙队胜2场的概率为 【答案】ACD 【分析】对A，根据互斥事件的定义判断；对B，根据甲胜乙、丙胜甲、乙胜丙、甲丁平、乙丁平、丙丁平分析判断；对C，分两种情况，丙胜1负2场，或丙平3场，讨论求解；对D，根据甲队胜2场分3种情况，甲胜乙丙，甲胜乙丁，甲胜丙丁，讨论求解. 【详解】对于A，甲队胜3场是指甲胜乙，甲胜丙，甲胜丁， 乙队胜3场是指乙胜甲，乙胜丙，乙胜丁，不可能同时发生，故它们是互斥事件，故A正确； 对于B，若甲胜乙、丙胜甲、乙胜丙、甲丁平、乙丁平、丙丁平，则甲、乙、丙各得4分，丁得3分，故B错误； 对于C，丙队积分为3分，包含两种情况，丙胜1负2场，或丙平3场， 若丙胜1负2场，则其概率为， 若丙平3场，则其概率为， 所以丙队积分为3分的概率为，故C正确； 对于D，甲队胜2场且乙队胜2场，分下面3种情况： 若甲胜乙丙，乙胜丙丁，概率为， 若甲胜乙丁，乙胜丙丁，概率为， 若甲胜丙丁，乙胜丙丁，甲平乙或甲胜丙丁，乙胜甲丙或甲胜丙丁，乙胜甲丁， 其概率为， 所以甲队胜2场且乙队胜2场的概率为. 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：本题选项D解题的关键是根据甲队胜2场分3种情况，甲胜乙丙，甲胜乙丁，甲胜丙丁，由相互独立事件的概率公式求解，再相加即可. 考点十 独立事件概率的综合应用 46．在高二选科前，高一某班班主任对该班同学的选科意向进行了调查统计，根据统计数据发现：选物理的同学占全班同学的80%，同时选物理和化学的同学占全班同学的60%，且该班同学选物理和选化学相互独立.现从该班级中随机抽取一名同学，则该同学既不选物理也不选化学的概率为（    ） A．0.125 B．0.1 C．0.075 D．0.05 【答案】D 【分析】借助相互独立事件的性质与乘法公式计算即可得. 【详解】设事件“选物理”，“选化学”， 则有，， 由该班同学选物理和选化学相互独立， 即，则， 故，, 则. 故选：D. 47．甲、乙两人进行投篮比赛，每次投篮若一方投中且另一方未投中，则投中的一方获胜，否则本次平局.已知每次投篮甲、乙投中的概率分别为和，且每次投篮甲、乙投中与否互不影响，各次投篮也互不影响，则次投篮甲至少获胜次的概率为 . 【答案】/0.104 【分析】设甲获胜为事件,求出甲获胜的概率，次投篮甲至少获胜次的概率为，利用独立事件的概率公式求解即可. 【详解】设甲获胜为事件,则， 则次投篮甲至少获胜次的概率为 . 故答案为：. 48．一名工人维护甲、乙两台独立的机床，在一小时内，甲需要维护和乙需要维护相互独立，它们的概率分别为，求下列事件的概率． (1)一小时内没有一台机床需要维护； (2)一小时内至少有一台机床不需要维护． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设事件A为“甲机床需要维护”，事件B为“乙机床需要维护”， 一小时内没有一台机床需要维护，即，计算即可； （2）一小时内至少有一台机床不需要维护，即，计算可得. 【详解】（1）设事件A为“甲机床需要维护”，事件B为“乙机床需要维护”， 则， 则一小时内没有一台机床需要维护， 即. （2）一小时内至少有一台机床不需要维护， 即. 49．Matlab是一种数学软件，用于数据分析、无线通信、深度学习、图象处理与计算机视觉、信号处理、量化金融与风险管理、人工智能机器人和控制系统等领域，推动了人类基础教育和基础科学的发展，某中学举行了Matlab科普讲座后进行了问答比赛，已知甲乙两个同学互不影响地参加比赛，甲、乙答对每一道题的概率分别为与，乙连续2次答错的概率为． (1)求乙答对题的概率； (2)若甲、乙两人各回答2次，求两人共答对3次的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意列出关于的方程解得即可. （2）两人共答对3次，只可能为甲答对2次乙答对1次或甲答对1次乙答对2次，列式解得即可. 【详解】（1）设“甲答对每题的概率”为事件，“乙答对每题的概率”为事件， 由已知， 则乙连续2次答错的概率， 由题意得，解得或（舍去）， 乙答对题的概率为． （2）事件甲、乙两人各回答2次，两人共答对3次，可表示为事件：甲答对一次、乙2次全部答对， 与事件：乙只答对一次、甲2次全部答对的和事件． 甲答对一次、乙2次全部答对的概率为， 乙只答对一次、甲2次全部答对的概率为， 故两人共答对3次的概率为． 所以甲、乙两人各回答2次，两人共答对3次的概率为． 50．多项选择题是数学考试中常见的题型，它一般从，，，四个选项中选出所有正确的答案，其评分标准为全部选对的得6分，部分选对的得部分分（如有两个正确选项的每选对一个得3分，三个正确选项的每选对一个得2分），有选错的得0分． (1)考生甲有一道答案为的多项选择题不会做，他随机选择一个或两个或三个选项，求他本题至少得2分的概率； (2)现有2道两个正确选项的多项选择题，根据训练经验，每道题考生乙得6分的根率为，得3分的概率为；每道题考生丙得6分的概率为，得3分的概率为．乙，丙二人答题互不影响，且两题答对与否也互不影响，求这2道多项选择题乙丙两位考生总分刚好得18分的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设相应事件，利用列举法结合古典概型运算求解； （2）分析得分刚好得18分的可能性情况，根据独立事件概率乘法公式以及互斥事件概率加法公式运算求解. 【详解】（1）甲同学所有可能的选择答案有14种：，，，，，，，，，，，，，， 设事件表示“猜对本题至少得2分”， 则，有7个样本点， 所以. （2）由题意得乙得0分的概率为，丙得0分的概率为，乙丙总分刚好得18分的情况包含： 事件E：乙得12分有一种情况，丙得6分有，，三种情况， 则， 事件F：乙得9分有，两种情况，丙得9分有，两种情况， 则 事件G：乙得6分有，，三种情况，丙得12分有一种情况， 则， 故乙丙总分刚好得18分的概率. 51．临川二中两名优秀学子小明、小华同学独立地参加中国科技大学少科班的入学面试，入学面试时共有道题目，答对道题则通过面试（前道题都答对或都答错，第道题均不需要回答）．已知小明答对每道题目的概率均为，小华答对每道题目的概率依次为、、，且小明、小华两人对每道题能否答对相互独立．记“小明只回答道题就结束面试”为事件，记“小华道题都回答且通过面试”为事件． (1)求事件发生的概率； (2)求事件和事件同时发生的概率； (3)求小明、小华两人恰有一人通过面试的概率． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）若事件发生，则小明前两题都答对或都答错，利用独立事件和互斥事件的概率公式可求得的值； （2）若事件发生，则小华前两题一题，答错一题，第三题答对，求出的值，分析可知，事件、相互独立，由独立事件的概率公式可求得的值； （3）记小明没有通过面试为事件，小华通过面试的事件记为，求出这两个事件的概率，记小明、小华两人恰有一人通过面试的事件记为，则，利用独立事件和互斥事件的概率公式可求得的值. 【详解】（1）若事件发生，则小明前两题都答对或都答错， 所以，. （2）若事件发生，则小华前两题一题，答错一题，第三题答对， 根据题意则小华道题都回答且通过面试的概率为， 由题意可知，事件、相互独立，则. （3）记小明没有通过面试为事件， 即分前两道回答对一道且最后一道错误或前两道均回答错误两种情况， 则小明没有通过面试的概率为， 可得小明通过面试的概率为， 而由（1）可得小华通过面试的事件记为，则概率为， 由题意可知，事件、相互独立， 则小明、小华两人恰有一人通过面试的事件记为， 则概率为． 52．每年的10月1日是国庆节，为庆祝该节日，某学校举办了“知识竞赛”．竞赛共分两轮，即每位参赛选手均须参加两轮比赛，已知在第一轮比赛中，选手甲，乙胜出的概率分别为，；在第二轮比赛中，选手甲，乙胜出的概率分别为p，q．假设甲，乙两人在每轮比赛中是否胜出互不影响． (1)若，求乙恰好有一轮胜出的概率； (2)若甲，乙各有一轮胜出的概率为，甲，乙两轮都胜出的概率为． ①求p，q的值； ②求甲，乙两人至少有一人两轮都胜出的概率． 【答案】(1) (2)① ，；② 【分析】（1）利用互斥事件和独立事件的概率公式求解即可； （2）①根据对立事件和独立事件的概率公式列方程，即可求解；②先根据独立事件的概率公式求“甲两轮都胜出”和“乙两轮都胜出”的概率，再利用互斥事件和独立事件的概率公式求解即可. 【详解】（1）设事件“第一轮比赛中甲胜出”，事件“第二轮比赛中甲胜出”， 设事件“第一轮比赛中乙胜出”，事件“第二轮比赛中乙胜出”， 由题意得，，，相互独立，且，，，． 记事件“乙恰好有一轮胜出”，则，又互斥， 所以，当时， . 因此，当时，乙恰好有一轮胜出的概率为. （2）①事件“甲，乙各有一轮胜出”，事件“甲，乙两轮都胜出”， 则， ， 则，解得，． ②事件“甲两轮都胜出”，事件“乙两轮都胜出”， 事件“甲，乙两人至少有一人两轮都胜出”， ，， 考点十一 随机模拟 53．天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为．我们通过设计模拟实验的方法求概率，利用计算机产生之间的随机数： 425 123 423 344 144 435 525 332 152 342 534 443 512 541 135 432 334 151 312 354 若用1，3，5表示下雨，用2，4表示不下雨，则这三天中至少有两天下雨的概率近似为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由样本数据，利用频率近似估计概率. 【详解】设事件“三天中至少有两天下雨”，20个随机数中， 至少有两天下雨有， 即事件发生了13次，用频率估计事件的概率近似为． 故选：D． 54．进入8月份后，我市持续高温，气象局一般会提前发布高温橙色预警信号（高温橙色预警标准为24小时内最高气温将升至37摄氏度以上），在今后的3天中，每一天最高气温在37摄氏度以上的概率是.用计算机生成了20组随机数，结果如下： 116  785  812  730  134  452  125  689  024  169 334  217  109  361  908  284  044  147  318  027 若用0，1，2，3，4，5表示高温橙色预警，用6，7，8，9表示非高温橙色预警，则今后的3天中恰有2天发布高温橙色预警信号的概率估计是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】查出20个随机数中表示今后3天中恰有2天发布高温橙色预警信号的随机数的个数，根据古典概型的概率公式，即可求得答案. 【详解】由题意可知表示今后的3天中恰有2天发布高温橙色预警信号的随机数有： 116  812  730  217  109  361  284  147  318  027共10个， 故今后的3天中恰有2天发布高温橙色预警信号的概率估计是， 故选：B 55．已知某种设备在一年内需要维修的概率为0.2．用计算器进行模拟实验产生1~5之间的随机数，当出现随机数1时，表示一年内需要维修，其概率为0.2，由于有3台设备，所以每3个随机数为一组，代表3台设备一年内需要维修的情况，现产生20组随机数如下： 412        451        312        531        224        344        151        254        424        142     435        414        135        432        123        233        314        232        353        442 据此估计一年内这3台设备都不需要维修的概率为（   ） A．0.4 B．0.45 C．0.5 D．0.55 【答案】C 【分析】找出代表事件“一年内没有1台设备需要维修”的数组，利用古典概型的概率公式可求得结果. 【详解】由题意可知，代表事件“一年没有1台设备需要维修”的数组有：224，344，254，424，435，432，233，232，353，442，共10组，则由古典概型概率公式计算， 知道估计一年内这3台设备都不需要维修的概率为 故选：C. 56．盒子中有四个大小质地完全相同的小球，分别写有“安”、“宁”、“联”、“盟”四个字，有放回地从中任取一个小球， 将三次抽取后“联”、“盟”两个字都抽取到记为事件.用随机模拟的方法估计事件发生的概率，利用电脑随机产生整数四个随机数，分别代表“安”、“宁”、“联”、“盟”这四个字，以每三个随机数为一组，表示取球三次的结果，经随机模拟产生了以下组随机数：233，103，122，320，031，231，133，130，231，001，220，132，021，123，023，230，321，232，由此可以估计，事件发生的概率为 . 【答案】 【分析】依题意由事件代表的随机数计算出符合题意的随机数组数，由古典概型公式计算可得结果. 【详解】根据题意可知“联”、“盟”两个字都抽取到，代表三个数字中同时出现数字2和3， 观察发现组随机数中有233，320，231，231，132，123，023，230，321，232，共10组， 再由古典概型公式计算可得事件发生的概率为. 故答案为： 57．现采用随机模拟的方法估计某运动员射击4次，至少击中3次的概率；先由计算器给出0到9之间取整数值的随机数，指定0，1表示没有击中目标，2，3，4，5，6，7，8，9表示击中目标，以4个随机数为一组，代表射击4次的结果，经随机模拟产生了10组随机数： 7527          0293          7140          9857          0347 4373          8636          6947          1417          4698 根据以上数据估计射击运动员射击4次至少击中3次的概率为 ． 【答案】 【分析】根据数据统计击中目标的次数，再用古典概型概率公式求解． 【详解】由数据得射击4次至少击中3次的次数有8个， 所以射击4次至少击中3次的概率为. 故答案为：． 考点十二 统计与概率 58．黄山雄踞风景秀丽的安徽南部，是我国最著名的山岳风景区之一．为更好地提升旅游品质，黄山风景区的工作人员随机选择100名游客对景区进行满意度评分（满分100分），根据这100名游客的评分，制成如图所示的频率分布直方图． (1)根据频率分布直方图，求的值；并估计这100名游客对景区满意度评分的平均数（同一组数据用该区间的中点值做代表）； (2)景区的工作人员采用按比例分层抽样的方法从评分在、的两组中共抽取6人，再从这6人中随机抽取2人进行个别交流，求选取的2人评分分别在和内各1人的概率． 【答案】(1)，平均数为； (2). 【分析】（1）根据直方图中频率和为1求出值；利用频率分布直方图求平均数的求法求解. （2）利用分层抽样及频率求各组人数，利用列举法结合古典概型运算求解. 【详解】（1）由频率分布直方图，得，则； 平均数为. （2）评分在的频率分别为， 则在中抽取人，记为；在中抽取4人，记为， 从这6人中随机抽取2人，样本空间： ，共有15个结果， 设选取的2人评分分别在和内各1人为事件， 则，共有8个结果， 所以. 59．某初级中学共有学生2000名，各年级男、女生人数如下表： 七年级 八年级 九年级 女生 373 x y 男生 377 370 z 已知在全校学生中随机抽取1名，抽到八年级女生的概率为0.19． (1)求x的值； (2)已知，，求九年级中女生比男生少的概率； (3)已知，在全校学生中随机抽取一名学生，则该学生是女生或是九年级学生的概率是多少？ 【答案】(1)380 (2) (3)． 【分析】（1）运用等可能事件概率公式可解； （2）设九年级女生比男生少为事件，九年级女生数、男生数记为,列举样本空间样本点和满足题意的样本点，然后运用古典概型计算； （3）运用并事件概率公式计算即可. 【详解】（1），． （2）设九年级女生比男生少为事件，九年级女生数、男生数记为， 由（1）知，，，． 满足题意得所有样本点是，共11个， 事件A包含的样本点是，共5个． 因此． （3）设“抽到女生”，“抽到九年级学生”，由（2）知， 又，， 全校女生共有（名）， 则有，，． 该学生是女生或九年级学生的概率为． 60．半程马拉松是一项长跑比赛项目，长度为21.0975公里，为全程马拉松距离的一半．20世纪50年代，一些赛事组织者设立了半程马拉松，自那时起，半程马拉松的受欢迎程度大幅提升．某调研机构为了了解人们对“半程马拉松”相关知识的认知程度，针对本市不同年龄的人举办了一次“半程马拉松”知识竞赛，将参与知识竞赛者按年龄分成5组，其中第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，得到如图所示的频率分布直方图． (1)根据频率分布直方图，估计参与知识竞赛者的平均年龄（结论精确到个位）； (2)现从以上各组中用比例分配的分层随机抽样的方法选取20人，担任本市的“半程马拉松”宣传使者．若有甲（年龄36），乙（年龄42）两人已确定入选为宣传使者，现计划从第四组和第五组被抽到的使者中，再随机抽取2名作为组长，求甲、乙两人至少有一人被选为组长的概率； (3)若第四组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为36和1，第五组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为42和2，据此估计年龄在内的所有参与知识竞赛者的年龄的平均数和方差． 【答案】(1)32 (2) (3)平均数为38，方差为． 【分析】（1）根据平均数的定义结合频率分布直方图求解即可； （2）先根据分层抽样的定义求出从第四组和第五组所抽取的人数，然后利用列举法结合古典概型的概率公式求解； （3）根据平均数和方差的定义结合已知条件求解即可. 【详解】（1）（岁）． （2）由题意得，第四组应抽取人，记为（甲），，，， 第五组应抽取人，记为（乙），，对应的样本空间为： ， ， 设事件为“甲、乙两人至少一人被选上”， 则， 所以． （3）设第四组、第五组的宣传使者的年龄的平均数分别为，，方差分别为，， 则，，，， 设第四组和第五组所有宣传使者的年龄平均数为，方差为， 则， ， 据此估计第四组和第五组所有人的年龄的平均数为38，方差为． 61．“科学技术是第一生产力”.科技进步能够更好地推动高质量发展，如人工智能中的DeepSeek.某公司部门有员工100名，公司拟开展DeepSeek培训，分三轮进行，每位员工一轮至三轮培训达到“优秀”的概率分别为，，，每轮相互独立，有两轮及两轮以上获得“优秀”的员工才能应用DeepSeek. (1)估计部门员工经过培训能应用DeepSeek的人数（去尾法精确到个位）； (2)已知开展DeepSeek培训前，员工每人每年为公司创造利润6万元；开展DeepSeek培训后，能应用DeepSeek的员工每人每年平均为公司创造利润10万元.DeepSeek培训平均每人每年成本为1万元.根据公司发展需要，计划先将部门的部分员工随机调至公司其他部门，然后对其余员工开展DeepSeek培训.要保证培训后部门的年利润不低于员工调整前的年利润，部门最多可以调多少人到其他部门？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出每个员工“优秀”的概率，再乘以总人数即可得解； （2）设调出人，分别求出调整期和调整后的利润，再根据题意建立不等式，解之即可. 【详解】（1）由题意每个员工“优秀”的概率 ， 则估计部门员工经过培训能应用DeepSeek的人数为个， 按去尾法取整，有人； （2）设调出人， 调整前的利润为（万元）， 调整后的利润为， 要保证培训后部门的年利润不低于员工调整前的年利润， 则，解得， 因为为整数，所以最大值为， 即部门最多可以调人到其他部门. 62．某公司为了解用户对其产品的满意程度，从A地区随机抽取了400名用户，从B地区随机抽取了100名用户，请用户根据满意程度对该公司产品评分.该公司将收集到的数据按照［20，40），［40，60），［60，80），［80，100］分组，绘制成评分频率分布直方图如下： (1)为了更进一步了解A地区用户的不满意原因，将A地区抽取的400名用户作为一个总体，按照评分再用分层抽样的方法抽取40人进行面对面交流，那么应从评分在内的用户中抽取几人？ (2)从B地区随机抽取两名用户，且这两名用户评分独立，以频率估计概率，求这两名用户的评分恰好一个大于60分，另一个小于60分的概率； (3)根据频率分布直方图，假设同组中的每个数据用该组区间的中点值代替，估计A地区抽取的400名用户对该公司产品的评分的平均值为，地区抽取的100名用户对该公司产品的评分的平均值为，以及两个地区抽取的500名用户对该公司产品的评分的平均值为，试比较和的大小.（结论不要求证明） 【答案】(1)4 (2) (3) 【分析】（1）利用频率分布直方图及分层抽样的概念求解； （2）利用频率分布直方图求概率，再结合独立事件概率乘积公式计算求解； （3）利用频率分布直方图，结合平均数的公式求解. 【详解】（1）由频率分布直方图及分层抽样的概念得： 应从评分在内的用户中抽取的人数为：； （2）由频率分布直方图得： B地区用户对该公司产品的评分小于60分的概率为：， B地区用户对该公司产品的评分大于60分的概率为：， 设这两名用户的评分恰好一个大于60分，另一个小于60分为事件A， 则； （3）， ， 所以 ，， 则. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$