专题01 一次函数（考题猜想，易错压轴必刷69题23种题型）-2024-2025学年八年级数学下学期期末考点大串讲（北京版）

专题01 一次函数（易错压轴必刷69题23种题型） 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 · 题型一 变量和常量 · 题型二 函数的基本概念 · 题型三 函数的表示法 · 题型四 平面直角坐标系中的点坐标 · 题型五 已知点所在的象限求参数 · 题型六 平面直角坐标系中的实际问题 · 题型七 中点坐标 · 题型八 函数图象的画法 · 题型九 正比例函数的相关概念 · 题型十 根据一次函数的定义求参数 · 题型十一 一次函数的图象 · 题型十二 已知函数经过的象限求参数范围 · 题型十三 一次函数图象与坐标轴的交点问题 · 题型十四 一次函数图象的平移问题 · 题型十五 一次函数的增减性 · 题型十六 一次函数与方程、不等式的关系 · 题型十七 一次函数的实际问题 · 题型十八 一次函数的几何问题 · 题型十九 一次函数的图象与性质压轴 · 题型二十 一次函数的平移压轴 · 题型二十一 一次函数的旋转压轴 · 题型二十二 一次函数的应用压轴 · 题型二十三 一次函数的新定义问题 题型一 变量和常量 1．在圆的面积计算公式中，对于变量和常量的说法正确的是（   ） A．2是常量，S、、R是变量 B．2，是常量，S、R是变量 C．2，S，是常量，R是变量 D．2，，R是常量，S是变量 【答案】B 【分析】本题考查了函数的定义，根据变量是改变的量，常量是不变的量即可求解． 【详解】解：在圆的面积计算公式中， 变量是S、R，常量是2，是， 故选：B． 2．汽车油箱中有汽油．如果不再加油，那么油箱中的油量（单位：）随行驶路程（单位：km）的增加而减少，耗油量为．在该变化过程中，常量是（   ） A．行驶路程 B．每千米的耗油量 C．耗油总量 D．油箱中的剩余油量 【答案】B 【分析】本题考查变量与常量，理解变量和常量的定义是正确解答的关键．根据变量、常量的定义结合具体情境进行判断即可． 【详解】解：在这个变化过程中，行驶路程随着行驶时间的变化而变化，耗油总量随着行驶时间的变化而变化，油箱中的余油量随着行驶时间的变化而变化， 因此变量有：行驶路程，耗油总量油箱中的余油量， 而不变的量是每千米的耗油量，即是不变的， 故选：B． 3．节约用水已成为大家的共识．每月的用水量（单位：立方米）、支付的水费、每立方米水的价格，这三个量中的常量是 ，变量是 ． 【答案】 每立方米水的价格 每月的用水量，支付的水费 【分析】本题主要考查常量和变量，熟记常量和变量的定义是解题的关键．根据常量和变量的定义，即可作答． 【详解】解：常量：每立方米水的价格， 变量：每月的用水量、支付的水费． 故答案为：每立方米水的价格；每月的用水量、支付的水费． 题型二 函数的基本概念 4．函数中，自变量的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 【答案】C 【分析】本题考查了函数自变量的取值范围、二次根式有意义的条件、零次幂有意义的条件等知识点，掌握二次根式以及零次幂有题意的条件是解题的关键． 根据被开方数大于或等于0且分母不等于0，列出不等式组求解即可． 【详解】解：由题意可得：，解得：且． 故选C． 5．下列图象中，表示y是x的函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了函数的定义，掌握函数的定义是解决本题的关键． 对于一个自变量x，只有唯一一个因变量y与之相对应，y是x的函数，据此逐项分析判断即可解答． 【详解】解：根据函数概念逐项分析判断如下： A、存在自变量x取一个值的时候，有多个y值与自变量x相对应，故y不是x的函数，故A选项不符合题意； B、存在自变量x取一个值的时候，有2个y值与自变量x相对应，故y不是x的函数，故B选项不符合题意； C、存在自变量x取一个值的时候，有2个y值与自变量x相对应，故y不是x的函数，故C选项不符合题意． D、对于每一个自变量x的值，都有1个y值与自变量x相对应，故y是x的函数，故D选项符合题意． 故选：D． 6．下列各式：①；②；③；④，其中y是x的函数的有 ． 【答案】①③④ 【分析】本题考查函数的判断，根据函数的定义，一个变化的过程中，有两个变量，其中随着的变化而变化，且对于每一个确定的的值都有唯一确定的值与之对应，我们就称y是x的函数，进行判断即可． 【详解】解：由题意，y是x的函数的有，，共3个，，对于每一个确定的的值并不是都有唯一确定的值与之对应，故y不是x的函数； 故答案为：①③④． 题型三 函数的表示法 7．已知等腰三角形的周长为36，腰长为，底边长为，那么关于的函数关系式及定义域是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等腰三角形的定义及三角形周长可列出函数关系式；然后根据三角形的三边关系即可求出定义域． 【详解】解：∵等腰三角形的周长是36，设腰长为x，底边长为y， ∴y关于x的函数关系式为， 根据题意，得： ， 解得：， 即， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了根据实际问题列函数关系式和三角形周长及等腰三角形的定义—等腰三角形两腰相等，解题的关键是熟练掌握根据实际问题列函数关系式的方法和三角形周长，等腰三角形的定义． 8．如图所示长方形恰好可分成7个形状大小相同的小长方形，若设小长方形的长为，宽为，则与的关系可表示为 ． 【答案】 【分析】本题考查了列函数关系式，由图得，即可求解；能根据题意列出关系式是解题的关键． 【详解】解：由题意得 ， ， 故答案为：． 9．拖拉机开始工作时，油箱中有油60L，每小时耗油5L． (1)写出油箱中的余油量Q（L）与工作时间t（h）之间的函数关系式； (2)写出自变量t的取值范围； (3)拖拉机工作4小时后，油箱余油是多少? 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查根据题意列函数解析式和自变量的取值范围，掌握数量关系“油箱中的余油量油箱中原有油量消耗的油量”，是解题的关键． （1）根据“油箱中的余油量=油箱中原有油量消耗的油量”，即可列出函数解析式； （2）根据油箱中的余油量大于等于0，得到不等式，求解即可； （3）把代入函数解析式求解． 【详解】（1）解：由题意得：； （2）解：由题意得：， 解得：， ∴自变量t的取值范围是； （3）解：由题意得：． 题型四 平面直角坐标系中的点坐标 10．在平面直角坐标系中，、Q两点分别在y轴两侧，且轴，若，则点Q的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了坐标与图形性质，根据两点所在直线平行于x轴，那么这两点的纵坐标相等可得出点Q的纵坐标为2，再根据点P和Q两点分别在y轴两侧，且可得出点Q的纵坐标． 【详解】解：∵、Q两点分别在y轴两侧，且轴， ∴点Q的纵坐标为2，点Q的纵坐标为，， 故点Q的坐标为：， 故选：A 11．若点的坐标满足，，，则点P的坐标为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了绝对值，平方根，象限中的点坐标．计算，求出符合要求的解即可． 【详解】解：∵，， ∴或，或， ∵， ∴，或，， ∴点坐标为或， 故答案为：或． 12．已知点，试根据以下条件分别求出点A的坐标： (1)点A的横坐标比纵坐标大2； (2)已知点，且轴． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查点的坐标、解一元一次方程、坐标与图形，熟练掌握相关点的坐标特征是解题的关键， （1）根据横坐标比纵坐标大2列方程再求解即可； （3）根据点，且轴，得出，求出m的值，再求解即可． 【详解】（1）解：∵点A的横坐标比纵坐标大2，， ∴， 解得：， ∴，， ∴点A的坐标为：； （2）解：∵点，且轴，， ∴， 解得：， ∴， ∴点A的坐标为：． 题型五 已知点所在的象限求参数 13．已知点，根据下列条件求出点P的坐标． (1)点P在y轴上． (2)点P的纵坐标比横坐标大5． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了求点的坐标，在y轴上的点的坐标特点，熟知点的坐标的有关知识是解题的关键． （1）在y轴上的点横坐标为0，据此求出m的值即可得到答案； （2）根据点P的纵坐标比横坐标大5建立方程求出m的值即可得到答案． 【详解】（1）解：∵点在y轴上， ∴， ∴， ∴， ∴点P的坐标为； （2）解：∵点的纵坐标比横坐标大5， ∴， ∴， ∴， ∴点P的坐标为． 14．在平面直角坐标系中，点在第二象限，则a的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查解一元一次不等式组、点的坐标，解答本题的关键是明确第二象限点的坐标的符号是，列出相应的不等式组．根据点在第二象限和第二象限点的坐标的特点，可以得到关于的不等式，从而可以得到的取值范围． 【详解】解：∵点在第二象限， ∴， 解得：； 故答案为： 15．在平面直角坐标系中，若点在第二象限，则的值可能是（    ） A．3 B．0 C．2 D．－4 【答案】A 【分析】本题考查了点的坐标及解一元一次不等式，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键．根据第二象限点的纵坐标大于0列出不等式，然后求解即可． 【详解】解：∵点在第二象限， ∴， ∴， ∴A符合题意． 故选A． 题型六 平面直角坐标系中的实际问题 16．如图，小东去游乐场游玩，他根据游乐场的地图建立了平面直角坐标系，并标注了自己最想游玩的三个项目的位置，若旋转木马位于点，过山车位于点．则摩天轮位于点（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了点的坐标，由旋转木马位于点以及过山车位于点建立平面直角坐标系，结合图形即可得解，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：∵旋转木马位于点，过山车位于点． ∴建立平面直角坐标系如图所示： ， 故摩天轮位于点， 故选：C． 17．李明的座位在第5排第4列，简记为，张扬的座位在第3排第2列，简记为．如果周伟的座位在李明的后面相距2排，同时在他的左边相距3列，那么周伟的座位可简记为 ． 【答案】 【分析】本题考查坐标确定位置，读懂题目信息，理解有序数对的两个数的实际意义是解题关键． 先求出周伟所在的排数与列数，再根据第一个数表示排数，第二个数表示列数解答． 【详解】解：∵李明的座位在第5排第4列，周伟的座位在李明的后面相距2排，同时与他的左边相距3列， ∴周伟在第7排第1列， ∴周伟的座位可简记为． 故答案为：． 18．【问题提出】小明想准确描述学校各建筑物的位置，应该怎样操作呢？ 【动手操作】如图是小明把学校以的比例尺绘制而成的平面示意图，每个小方格的单位长度是，小明以正东为轴的正方向，正北为轴的正方向建立平面直角坐标系后，得到实验室的坐标是，高中楼的坐标是． 【问题解决】 （1）平面直角坐标系的原点应为___________的位置（填写建筑名称）； （2）在图中画出此平面直角坐标系并标出初中楼的坐标是___________； （3）用方向与距离表示校门相对于操场的位置是___________．（小方格的相对两顶点的距离取140米） 【拓广延伸】 （4）下午放学后，在初中楼下的小明同学以4米/秒的平均速度向操场跑去，参加体育锻炼，问：小明需要多少秒到达操场？ 【答案】（1）图书馆；（2）见解析；；（3）校门在操场的南偏东，距离米；（4）小明需要100秒到达操场 【分析】本题主要考查了实际问题中用坐标表示位置，正确建立坐标系是解题的关键． （1）即可得到平面直角坐标系的原点的位置； （2）根据高中楼和实验楼的坐标，建立坐标系即可得到答案； （3）根据方向角的表示方法，进行解答即可； （4）根据题意列式计算即可． 【详解】解：（1）∵实验室的坐标是，高中楼的坐标是， ∴平面直角坐标系的原点应为图书馆的位置； （2）由题意得，可以建立如下坐标系； 初中楼的坐标是； （3）根据图可知：校门在操场的南偏东，距离（米）； （4）， （秒）， 答：小明需要100秒到达操场． 题型七 中点坐标 19．如图，在平面直角坐标系xOy中，为等腰三角形，AB=AC，轴，若，，则的面积为（   ） A．8 B．9 C．12 D．24 【答案】C 【分析】本题考查坐标与图形，等腰三角形的性质．过点作，利用等腰三角形的三线合一，求出，，据此求解即可． 【详解】解：∵轴，，， ∴点的纵坐标为， 过点作，交轴于点，交于点，则：，    ∵ ∴， ∴，， ∴的面积为． 故选：C． 20．公司正在开发一款基于平面直角坐标系下的导航软件．为测试软件的准确性，工程师在坐标系中设置了以下关键点：表示起点，表示终点．如果软件需要在线段之间设置一个中转站，且中转站到点和点的距离相等，则中转站的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了中点坐标公式，熟练掌握中点坐标公式，是解题的关键．设中转站的坐标为，根据中点坐标公式进行求解即可． 【详解】解：设中转站的坐标为， ∵中转站到点A和点B的距离相等， ∴中转站为的中点， ∴， ∴中转站的坐标为． 故答案为：． 21．已知两点和，下列说法正确的有 （填序号） ① 直线轴                        ②A、B两点间的距离 ③的面积                 ④线段的中点坐标是 【答案】②③④ 【分析】本题考查了坐标与图形，涉及坐标点以及坐标点构成的线段中点，三角形面积为底乘以高的一半；正确掌握相关性质内容是解题的关键． 根据坐标与图形的性质，线段中点坐标的公式即可． 【详解】解：∵两点和， ∴直线轴，，线段的中点坐标是，即，故②④正确； ∴，故③正确； 故答案为：②③④ 题型八 函数图象的画法 22．脂肪氧化率（单位：）指单位时间内人体通过代谢途径氧化分解脂肪产生能量的速率，我们通常用它来描述运动产生的效果．脂肪氧化率与运动强度（单位）密切相关，下表记录了不同的运动强度所对应的脂肪氧化率的数据： 运动强度（） 45 50 55 60 65 70 75 80 85 脂肪氧化率 0.01 0.36 0.52 0.59 0.60 0.50 0.39 0.22 (1)通过观察表格数据可以看出，若设运动强度为，脂肪氧化率为是的函数．在如图建立的平面直角坐标系，已经描出表中部分对应点，补全图形并画出函数图象： (2)结合函数图象，解决问题： ①的值约为___________（精确到小数点后两位）； ②当脂肪的氧化率维持在0.4及以上时，运动强度的范围约为___________（精确到整数位）； ③研究发现，初中生的课间跑操的运动强度与速度之间满足如下函数关系： 则若要使脂肪的氧化率达到最佳的效果，即脂肪氧化率达到 以提高初中生的耐力、强身健体，则跑步的速度应控制在___________千米/小时左右（精确到整数位）． 【答案】(1)见详解 (2)①②③8 【分析】本题考查了函数图象，新定义，近似数，描点法画函数图象，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先逐个描点，再依次连接，即可作答． （2）①根据（1）的图象，以及结合“精确到小数点后两位”这个要求，即可作答． ②根据（1）的图象，以及结合“精确到整数位”这个要求，即可作答． ③先找出要使脂肪的氧化率达到最佳的效果，即脂肪的氧化率为，此时对应的运动强度为，则运动强度为所对的运动速度为千米/小时左右，即可作答． 【详解】（1）解：如图所示： （2）解：结合函数图象， ①的值约为， 故答案为：； ②当脂肪的氧化率维持在0.4及以上时，运动强度的范围约为（精确到整数位）； 故答案为：； ③研究发现，初中生的课间跑操的运动强度与速度之间满足如下函数关系： 则若要使脂肪的氧化率达到最佳的效果，即脂肪的氧化率为，此时对应的运动强度为， 则观察上表，运动强度为所对的运动速度为千米/小时左右， 即跑步的速度应控制在千米/小时左右． 故答案为：8 23．在学习函数时，我们需要根据函数图象研究函数性质，某班数学课中开展对函数的研究，列表如下． x … 0 1 2 3 4 5 … y … 1 0 1 4 9 … (1)填写上表，并根据表格数据描出对应的点，画出函数的图象． (2)根据函数图象，当时，直接写出y的取值范围______． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了描点法画函数图象、求函数解析式，正确作出函数图象是解题的关键． （1）由表格可知，函数经过，得到，再代入和求出对应的的值，即可填写表格；根据表格数据描出对应的点，用光滑的曲线连接各点即可画出函数图象； （2）当时，观察函数图象中y的最小值和最大值，即可解答． 【详解】（1）解：由表格可知，函数经过， ， 解得：， 函数解析式为， 当时，； 当时，； 则填表如下： x … 0 1 2 3 4 5 … y … 9 4 1 0 1 4 9 … 描点，画出函数图象如下： （2）解：由图象可知，当时，y的最小值为0，最大值为9， y的取值范围为． 故答案为：． 24．如图1，是的边上的高，且，，点从点出发，沿线段向终点运动，其速度与时间的关系如图所示，设点运动时间为（），的面积为（）． (1)在点沿向点运动的过程中，它的速度是__________，用含x的代数式表示线段的长是_________； (2)求变量与之间的关系式； (3)当点运动时间为时，求的面积． 【答案】(1)3， (2) (3) 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，三角形的面积； （1）根据由图2可知，点沿向点运动的过程中的速度，根据速度、路程和时间的关系即可求得的长， （2）根据三角形面积公式求得与的关系式； （3）把代入关系式即可求得的值，根据与之间的关系式即可求解． 【详解】（1）解：由图2可知，在点沿向点运动的过程中，它的速度是，所以线段的长是； 故答案为：，． （2）根据三角形的面积公式得： （3）当时， 题型九 正比例函数的相关概念 25．已知函数是关于x的正比例函数，则m，n的值是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查了正比例函数的定义，解二元一次方程组，由正比例函数的定义得出，解二元一次方程组即可得解，熟练掌握一次函数的定义是解此题的关键． 【详解】解：∵函数是关于x的正比例函数， ∴， 解得：， 故选：D． 26．若函数是关于x的正比例函数，则k满足的条件为 ． 【答案】 【分析】本题考查正比例函数的定义．根据正比例函数的定义，确定其表达式中系数需满足的条件，进而求解的取值． 【详解】解：由题意得， 解得， 故答案为：． 27．已知与成正比例，当时，． (1)求与之间的函数关系式； (2)若点在这个函数的图象上，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了待定系数法求正比例函数及点在图象上的意义； （1）由由待定系数法设，即可求解； （2）将点代入关系式，即可求解； 会用待定系数法求解，并把看作整体是解题的关键． 【详解】（1）解：与成正比例， 设， 当时，， ， 解得：， ， 故与之间的函数关系式为； （2）解：点在这个函数的图象上， ， 解得：， 故的值为． 题型十 根据一次函数的定义求参数 28．若函数是一次函数，则m的值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查一次函数的定义；因此此题可根据“形如，的函数叫做一次函数”得，，然后求解即可． 【详解】解：由题意得：，， 解得：； 故选：B． 29．若是关于的一次函数，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的定义，形如（为常数，）的函数叫一次函数，根据一次函数的定义得出，，计算即可得解． 【详解】解：∵是关于的一次函数， ∴，， 解得：， 故答案为：． 30．已知关于的函数． (1)取何值时，该函数是关于的一次函数？ (2)和取何值时，该函数是关于的正比例函数？ 【答案】(1)当时，该函数是关于的一次函数； (2)当，时，该函数是关于的正比例函数． 【分析】本题考查了一次函数与正比例函数的定义及解析式，关键是掌握两种函数的定义，另外要清楚一次函数与正比例函数是一般与特殊的关系． （1）根据一次函数的定义及表示形式完成即可； （2）根据正比例函数的解析式完成即可． 【详解】（1）解：由题意知：，， ∴， 即当时，该函数是关于的一次函数； （2）解：由（1）知，， 由题意知：，所以， 即当，时，该函数是关于的正比例函数． 题型十一 一次函数的图象 31．如图是一次函数的图象，则函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的性质，由一次函数的图象可得：，，即可得出，再由一次函数的性质可得函数的图象经过一、二、三象限，即可得解，熟练掌握一次函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：由一次函数的图象可得：，， ∴， ∴函数的图象经过一、二、三象限，如图： ， 故选：D． 32．两个一次函数在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质是解题的关键； 观察题中所给选项，根据图象逐项判断m、n的正负，如果通过两个一次函数图象所判断的m、n的正负一致，即为正确选项； 【详解】解：当，时，经过一、三、四象限，经过一、二、四象限，故选项B符合题意； 当，时，经过一、二、四象限，经过一、三、四象限，没有选项符合题意； 故选：B． 33．若式子＋（k﹣1）0有意义，则一次函数y＝（k﹣1）x＋1﹣k的图象可能是 ．（填字母代号）    A.B.C.D. 【答案】B 【分析】结合二次根式有意义的条件和0指数幂底数不为零，可找出k的取值范围，再结合一次函数系数与图像的关系，即可求解． 【详解】解：有意义 解得： 又在一次函数中，比例系数， 图像经过第一、三象限； 常数项， 图像与y轴交于y轴负半轴 故答案是：B． 【点睛】本题主要考查二次根式有意义的条件、0指数幂底数不为零、一次函数系数与图像的关系，属于基础题型，难度不大．解题的关键是掌握一次函数系数与图像的关系和数形结合思想．一次函数中，当时，图像过第一、三象限；当时，图像过第二、四象限；当时，图像交y轴正半轴；当时，图像过原点；当时，图像交y轴负半轴． 题型十二 已知函数经过的象限求参数范围 34．一次函数经过第一、三、四象限，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了根据一次函数经过的象限求参数的范围，解题关键根据题意列出不等式组． 先根据一次函数的图象与性质列出不等式组，再解这个不等式组即可． 【详解】解：∵一次函数经过第一、三、四象限， ∴，解得：， 故答案为： ． 35．关于函数，给出下列结论： ①此函数一定是一次函数； ②无论取什么值，函数图象必经过点； ③若函数经过二，三，四象限，则的取值范围是； 其中正确的是 ；（填序号） 【答案】②③ 【分析】本题考查根据交点坐标确定解析式字母系数的取值的运用．①当时，函数是一次函数；②，当时，，过函数过点，即可求解；③函数经过二，三，四象限，可得，从而可以求得k的取值范围． 【详解】解：①当时，函数是一次函数；故①不符合题意； ②， 当时，，过函数过点，故②符合题意； ③函数经过二，三，四象限，则， 解得：，故③符合题意； 故答案为：②③． 36．已知一次函数 (1)若图象平行于直线，求m的值； (2)若图象交y轴于正半轴，求m的取值范围； (3)若图象不过第三象限，求m的取值范围． 【答案】(1) (2)且 (3) 【分析】本题考查一次函数的系数与图象，解题的关键是熟练掌握一次函数的性质，灵活应用这些知识解决问题，属于中考常考题型． （1）根据图象平行于直线，所以相同即可解决问题． （2）根据若图象交轴于正半轴，，即可解决问题． （3）根据图象不过第三象限，，，解不等式组即可解决问题． 【详解】（1）解：一次函数图象平行于直线， ， ； （2）解：一次函数图象交轴于正半轴， 且 且； （3）解：一次函数图象不过第三象限， ， 解得． 题型十三 一次函数图象与坐标轴的交点问题 37．一次函数的图象与轴的交点是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点坐标，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 令，求出即可． 【详解】解：令，得， 解得：， 一次函数的图象与轴的交点是， 故选：B． 38．已知直线经过点，那么该直线与坐标轴围成的三角形的面积为 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点问题，求出当时，，再结合三角形面积公式计算即可得解，熟练掌握一次函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：在直线中，当时，， ∵直线经过点， ∴该直线与坐标轴围成的三角形的面积为， 故答案为：． 39．已知∶ 直线，当为何值时， (1)经过原点； (2)与y轴相交于； (3)与x轴相交于． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上各点的坐标符合此函数的解析式是解答此题的关键． （1）根据函数图象经过原点可知，求出的值即可； （2）直接把代入直线解析式得，求出的值即可； （3）直接把代入直线解析式得，求出的值即可． 【详解】（1）解：直线经过原点， ，解得， ； （2）解：直线与y轴相交于， ，解得， ； （3）解：直线与x轴相交于， ，解得， ． 题型十四 一次函数图象的平移问题 40．将直线向左平移个单位后交轴于正半轴，则的值可能是（　　） A．1 B．2 C．3 D．5 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的平移规律，根据上加下减，左加右减进行列式得，根据平移后交轴于正半轴，得，解出的取值范围，即可作答． 【详解】解：∵将直线向左平移个单位后交轴于正半轴， ∴， ∴， ∴， 故选：D 41．已知一次函数的图象是由一次函数的图象沿轴向上平移个单位得到的，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数图象与几何变换，根据“上加下减”的平移法则，表示出沿轴向上平移个单位得到的函数解析式，据此可解决问题，熟知“上加下减”的平移法则是解题的关键． 【详解】解：由题知，将一次函数的图象沿轴向上平移个单位长度后，所得一次函数的解析式为， 因为一次函数的图象是由一次函数的图象沿轴向上平移个单位得到的， 所以， 故答案为：． 42．已知一次函数的图象与直线平行，且经过点，求一次函数解析式． 【答案】 【分析】本题主要考查了两直线平行问题，求一次函数解析式．根据互相平行的两直线解析式的k值相等，得到一次函数的解析式为，再把点代入解析式求解即可． 【详解】解：∵一次函数的图象与直线平行， ∴， ∴一次函数为， ∵一次函数过点， ∴， ∴， ∴一次函数的解析式为：． 题型十五 一次函数的增减性 43．关于的一次函数，若随的增大而增大，且图象与轴的交点在原点下方，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的性质熟练掌握一次函数的性质是解题的关键． 由一次函数性质得，，，求解即可． 【详解】解：随的增大而增大， ． ． 图象与轴的交点在原点下方， ． ． ． 故选：C． 44．如果一次函数的函数值随的值增大而增大，那么的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的性质，熟练掌握一次函数，当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小是解题的关键．根据题意可知，解之即可得到答案． 【详解】解：一次函数的函数值随的值增大而增大， ， ， 故答案为：． 45．已知一次函数． (1)若y随x的增大而减小，求m的取值范围． (2)当m为何值时，函数图象经过原点？ (3)若函数图象经过第一、二、三象限，求m的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了一次函数的图象性质， （1）根据“一次函数，，为任何数，随的增大而增大，，为任何数，随的增大而减小，”列出不等式求解即可； （2）根据“一次函数图象经过原点，，”列式求解即可； （3）根据“一次函数的图象经过一、二、三象限时，，， ”列出不等式求解即可； 【详解】（1）解：∵y随x的增大而减小， ∴， ∴， （2）当m、n是满足时，即时函数图象经过原点； （3）若图象经过一、二、三象限，则，． 解得． 题型十六 一次函数与方程、不等式的关系 46．数形结合是解决数学问题常用的思想方法．如图，一次函数与一次函数的图象交于点，则关于的方程的解是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了两直线的交点问题，根据一次函数的图像即可知两直线交点的横坐标即方程的解． 【详解】解：∵一次函数与一次函数的图象交于点， ∴关于的方程的解是， 故选：C 47．请根据函数相关知识，对函数的图象与性质进行探究，并解决相关问题． ①列表；②描点；③连线． … 0 1 2 3 4 5 6 7 … … 5 3 1 3 5 … (1)表格中：__________，________． (2)在直角坐标系中画出该函数图象． (3)观察图象： ①当_________时，随的增大而增大； ②若关于的方程没有实数根，则的取值范围是___________． 【答案】(1)1，7 (2)详见解析 (3)①；② 【分析】本题是函数以绝对值的综合运用，掌握绝对值的性质，观察列表中的数，并找出规律，用描点，连线的方法画函数图象是解题的关键． （1）将代入，即可求解； （2）利用描点，连线的方法即可求解函数图象； （3）①从（2）中图象可求解；②根据图象的最值即可求解． 【详解】（1）解：当时，； 当时，； 故答案为：1，7； （2）解：根据表中数据，描点，连线如图所示： （3）解：①根据函数图象可得，当时，函数值随自变量的增大而增大； 故答案为：； ②根据函数图象可得，若关于的方程没有实数根， 则与没有交点， 的最小值为， 时，方程没有实数根， 故答案为：． 48．一次函数和的图象如图所示，且，． (1)关于的不等式的解集为______； (2)若不等式的解集是，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查一次函数与一元一次不等式、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答． （1）根据观察函数图象，即可求解； （2）先求出，再由不等式的解集是，可得点的横坐标为，即可求解． 【详解】（1）解；∵在中，， ∴随x增大而增大， ∵的函数图象经过， ∴∴不等式的解集为； （2）解：把点代入，得： ，解得， ∴， ∵不等式的解集是， ∴点的横坐标为， ∴在中，当时，， ∴点的坐标为． 题型十七 一次函数的实际问题 49．电热水袋将电能转化为热能，使袋内液体迅速升温．小明在加热某种电热水袋时，电热水袋温度与加热时间x（分钟）之间的关系如图所示． (1)加热之前，电热水袋的温度为______℃； (2)求电热水袋温度与加热时间x（分钟）之间的函数表达式； (3)已知电热水袋充电加热温度一旦超过，系统就会立刻启动断电保护机制，则从开始加热到启动断电保护机制，电热水袋一共加热了多少分钟？ 【答案】(1) (2) (3)电热水袋一共加热了9分钟． 【分析】本题考查了函数图象，求一次函数的解析式，一次函数的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）观察图象信息，进行作答即可； （2）先设解析式为，再把分别代入，解得，即可作答． （3）依题意，把代入，解得的值，即可作答． 【详解】（1）解：观察图象，加热之前，即时，， 即加热之前，电热水袋的温度为， 故答案为：； （2）解：依题意，设电热水袋温度与加热时间x（分钟）之间的函数表达式为， 把分别代入， 得， 解得， ∴， （3）解：依题意，把代入， 得， ∴， 即电热水袋一共加热了9分钟． 50．项目式学习． 【项目背景】 2025年4月24日是中国航天探月20年的重要节点，中国载人航天飞船“神舟二十号”成功发射． 【项目主题】 小航爸爸开了一家航模玩具店，小航想了解某种航模玩具（如图）的日销售量与售价之间的关系． 【项目素材】 素材1：这种航模玩具的进价为40元/套； 素材2：当这种航模玩具的销售单价为70元/套时，日销售量为10套，每套的售价每降低1元，日销售量就增加1套； 素材3：设这种航模玩具的销售单价为元/套，这种航模玩具的日销售量为套． 【项目任务】 任务1： （1）求与之间的函数关系式； 任务2： （2）当这种航模玩具的销售单价为60元/套时，这种航模玩具的日销售总利润为多少元？ 【答案】（1）；（2）400元． 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，求一次函数的关系式，求函数值， （1）根据每降低1元，日销售量就增加1套可得增加的套数，再加上原来的日销售量可得函数关系式； （2）将代入关系式求出y，再根据总利润等于单件利润乘以销售量得出答案． 【详解】解：（1）根据题意得，这种航模玩具的日销售量为套， ∴与之间的函数关系式为； （2）当时，， （元）， 即这种航模玩具的日销售总利润为400元． 51．年月日，年度全国十大考古新发现结果揭晓，陕西周原遗址（如图）项目入选．欣欣一家准备前往周原博物馆进行参观，有如下两种出行方案： 方案 出行方式 所需费用 方案一 乘坐公共交通出行 来回所需的总出行费用为元 方案二 自驾出行 每公里汽车耗油费用为元，来回所需的高速过路费共元，不计其他费用 设欣欣家到周原博物馆来回总路程为公里，按照方案二来回所需的总出行费用为元． (1)求与之间的函数关系式； (2)已知欣欣家到周原博物馆来回总路程为公里，请你帮助欣欣选择一种比较省钱的出行方案，并说明理由． 【答案】(1)； (2)按照方案一，乘坐公共交通出行比较省钱，见解析． 【分析】本题考查了一次函数的应用，找出函数关系式是解题的关键． （）根据题意可得，与之间的函数关系式为； （）当时，，然后比较即可． 【详解】（1）解：根据题意可得，与之间的函数关系式为； （2）解：当时，， ∵， ∴按照方案一，乘坐公共交通出行比较省钱． 题型十八 一次函数的几何问题 52．如图，在平面直角坐标系中，正比例函数的图象和一次函数的图象相交于点，且一次函数的图象与x轴交于点B． (1)求m，a的值． (2)求的面积． 【答案】(1)，； (2)． 【分析】本题考查一次函数与几何的综合应用，正确的求出函数解析式，是解题的关键： （1）把点代入，求出的值，再把点代入，求出的值即可； （2）求出点坐标，利用三角形的面积公式进行计算即可． 【详解】（1）解：把点代入，得， 解得， ∴点A的坐标为． 把点代入，得， 解得． （2）令，，解得， ∴点B的坐标为． ∵点，． ∴． 53．如图1，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为一次函数的图象分别与x轴和y轴交于点B，C，作直线． (1)求直线的函数表达式． (2)M是直线上的一动点，是否存在点M，使得？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． (3)如图2，点，P为x轴正半轴上的一动点，以点P 为直角顶点，为腰在第一象限内作等腰直角，连结QD，当的值最小时，请直接写出点Q的坐标． 【答案】(1)； (2)存在，点M的坐标为或； (3)． 【分析】（1）当时，得出点C的坐标为，设直线的函数表达式为，将点，代入，即可解答． （2）当时，得出点B的坐标为，由点，，得出，，分别讨论当，时，即可解答． （3）连接，设点P的坐标为．由，得当C，Q，D三点共线时，的值最小，过点Q作轴于点H，证得，得到点Q的坐标为，求出直线的函数表达式为把点代入即可解答． 【详解】（1）解：当时，， ∴点C的坐标为． 设直线的函数表达式为． 将点，代入， 得 解得 ∴直线的函数表达式为． （2）存在．当时，，解得， ∴点B的坐标为． ∵点，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当时，， 解得，点M的坐标为； 时，， 解得，点M的坐标为． 综上所述存在点M的坐标为或，使得． （3）点Q的坐标为． 如图，连接， 设点P的坐标为． ∵， ∴当C，Q，D三点共线时，的值最小． 过点Q作轴于点H， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴，， ∴点Q的坐标为． ∵点，， ∴易求得直线的函数表达式为． 把点代入，得， 解得， ∴点Q的坐标为． 【点睛】本题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法，全等三角形的判定和性质，三角形面积，坐标与图形性质等知识；解题的关键是正确添加辅助线构造全等三角形． 54．如图，已知在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，且经过，． (1)求一次函数的解析式； (2)求三角形的面积． 【答案】(1) (2)2 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数与几何综合，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）根据，及三角形面积公式求解即可； 【详解】（1）解：∵一次函数的图象经过，两点， ∴， 解得， ∴一次函数的解析式为； （2）解：∵，， ∴． 题型十九 一次函数的图象与性质压轴 55．如图1，已知直线l与x轴交于点，与y轴交于点，以A为直角顶点在第一象限内作等腰，其中上，． (1)求直线l的解析式和点C的坐标； (2)如图2，点M是的中点，点P是直线l上一动点，连接、，求的最小值，并求出当取最小值时点P的坐标； (3)在（2）的条件下，当取最小值时，在直线上是否存在一点Q，使？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)5； (3)存在；或 【分析】（1）用待定系数法即可求得直线的解析式，过点作轴，利用证明，结合其性质可得点的坐标； （2）根据中点坐标公式可得，延长至，使得，即点为的中点，可知，垂直平分，连接，则，得，当点在直线上时取等号，由勾股定理求得，利用待定系数法得直线的解析式为，当点在直线上时，即直线与直线相交，联立方程组即可求得此时点的坐标为； （3）根据题意得，过点作轴交直线于，可知，分情况：当点在点右侧时，当点在点、点之间时，当点在点左侧时，结合三角形的面积公式即可求解． 【详解】（1）∵，， ∴，， 设直线的解析式为， 将，，代入得，， 解得：， ∴， 过点作轴，则， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， 则点的坐标为； （2）由（1）可知，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为， ∵点是的中点， ∴点的坐标为，即：， 延长至，使得，即点为的中点， ∴点的坐标为，即， ∵， ∴垂直平分， 连接，则， ∴，当点在直线上时取等号， 由勾股定理可得：， 设直线的解析式为：， 则，解得：， ∴直线的解析式为：， 当点在直线上时，即直线与直线相交， 得，解得：， 即此时点的坐标为， 综上，的最小值为5，此时点的坐标为； （3）存在，理由如下： ∵， 则， 过点作轴交直线于， 此时，则，即， ∴，则， 当点在点右侧时，， ∴， 解得：， 当时，， 即此时点的坐标为； 当点在点、点之间时，，不符合题意； 当点在点左侧时，， ， 解得：， 当时，， 即此时点的坐标为； 综上，存在点的坐标为或时，． 【点睛】本题考查了图形与坐标，待定系数法求函数解析式，一次函数，两直线交点坐标与二元一次方程组解的关系，全等三角形的判定及性质，勾股定理等知识，熟练掌握知识点是解题的关键． 56．已知：如图，一次函数的图象分别与轴、轴相交于点、，且与经过点的一次函数的图象相交于点，直线与轴相交于点． (1)直线的函数表达式为：______；点的坐标为______；（直接写出结果） (2)点为线段上的一个动点，连接． 若直线将的面积分为两部分，试求点的坐标； 点是否存在某个位置，将沿着直线翻折，使得点恰好落在直线下方的轴上？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)或   【分析】（1）将点代入中，求出，再联立，求出点的坐标即可； （2）分两种情形或分别构建方程解答即可； 当点落在轴正半轴上（即为点）时，过点作，，垂足分别为点、，由翻折的性质得，所以，由（2）知，即，所以，由勾股定理得，求得，即可得解． 【详解】（1）解：将点代入，得， ， 直线的函数表达式为； 联立， 解得：， ， 故答案为：，； （2）解：直线将的面积分为两部分， 或， 在中，当时，， ， 在中，当时，， ， ， 如图中，过点作轴于点，则， ， 或， 设，由题意知， 过点作轴于点，则， 或， 解得：或， 当时，；当时，， 的坐标为或； 存在，点的坐标为， 当点落在轴正半轴上（即为点）时，如图： 过点作，，垂足分别为点、， 由翻折得， ， 由（2）知，即， ， 在中，由勾股定理得， ， 解得：， 点的横坐标为， 在中，当时，， ， 综上所述，点的坐标为． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，求两个一次函数的交点坐标，求一次函数与坐标轴的交点坐标，全等三角形的判定与性质，勾股定理，角平分线的性质定理，翻折的性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 57．在平面直角坐标系中，给出如下定义： a．当一个点的横坐标、纵坐标均为整数时，称这个点为整点； b．直线，直线与轴围成的三角形区域（不含边界点）称为域 根据阅读材料，解决下列问题： (1)如图，在平面直角坐标系中，已知直线与轴交于点，直线与轴交于点，两直线交于点． ①在这个域中有______个整点； ②求域的面积． (2)过（1）中纵坐标最大的整点作直线分别交域两边，于点，，使的面积是域面积的，求直线的表达式； (3)若直线，直线与轴围成的域内恰好有3个整点，请直接写出的取值范围． 【答案】(1)①2；②6 (2) (3)或 【分析】本题主要考查了一次函数的综合应用，两条直线的交点问题，解题的关键是熟练掌握待定系数法． （1）①先求出点A、B、C的坐标，然后根据整点的定义，求出结果即可； ②根据三角形面积公式求出结果即可； （2）设直线l的解析式为：，把代入得：，求出，得出，求出，得出，根据的面积是域面积的，得出，求出k即可； （3）根据直线，直线与轴围成的域内恰好有3个整点，得出整点为：，，或，，，分别求出n的取值范围即可． 【详解】（1）解：①把代入得：， 把代入得：，把代入得：， 解得：， ∴点A的坐标为，点，点， 联立， 解得：， ∴点C的坐标为， 把代入得：， ∴在这个域中有整点，共2个． ②； （2）解：根据解析（1）可知：纵坐标最大的整点为， 设直线l的解析式为：， ∵直线分别交域两边，于点，，且经过， ∴， 把代入得：， ∴， ∴直线l的解析式为：， 联立， 解得：， 当时，， ∴， ∴， ∵的面积是域面积的， ∴， ∴， 解得：， ∴直线l的解析式为：； （3）解：若直线，直线与轴围成的域内恰好有3个整点，则整点为：，，或，，， 当整点为，，时， 把代入得：， 把代入得：， ∴； 当整点为，，时， 把代入得：， 把代入得：， ∴； 综上分析可知：当或时，域内恰好有3个整点． 题型二十 一次函数的平移压轴 58．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，且与正比例函数的图象交于点． (1)求的值及一次函数的解析式； (2)若一次函数的图象与轴交于点，且正比例函数的图象向下平移个单位长度后经过点，求的值； (3)坐标轴上有一点，使得为等腰三角形，请直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或或或或 【分析】（1）先将点B代入正比例函数解析式，求出a的值，再将点A和点B坐标代入一次函数解析式求解即可； （2）先求出点C坐标，再将点C坐标代入，即可求出m的值； （3）为等腰三角形，分情况讨论：当点E在x轴上，设点E坐标为；当点E在y轴上，设点E坐标为，根据分别列方程求解即可． 【详解】（1）解：将点代入正比例函数， 得，解得， ∴点B坐标为， 将点，点代入一次函数， 得，解得， ∴一次函数解析式为； （2）解：当时，， ∴点C坐标为， ∵正比例函数的图象向下平移个单位长度后经过点C， ∴将点代入， 得，解得； （3）解：为等腰三角形，分情况讨论： 当点E在x轴上， 设点E坐标为， ∵， ∴， ， ， 当时， ， 解得或（不合题意，舍去）； 当时， ， 解得； 当时， ， 解得, 当点E在y轴上， 设点E坐标为， ∵, 当时， ，n无解， 当时，     ， 解得， 当时， ，n无解， 综上所述，满足条件的点E坐标为或或或或． 【点睛】本题考查了一次函数的综合应用，涉及待定系数法求解析式，一次函数与平移，等腰三角形的判定等，熟练掌握一次函数图象上点的坐标特征是解题的关键． 59．如图1，直线l：与x轴交于点A，与y轴交于点B．已知点． (1)求出点A，点B的坐标． (2)P是直线上一动点，且和的面积相等，求点P坐标． (3)如图2，平移直线l，分别交x轴，y轴于交于点，，过点C作平行于y轴的直线m，在直线m上是否存在点Q，使得是等腰直角三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标． 【答案】(1)， (2)或 (3)点Q为或或或或 【分析】（1）根据求与轴交点坐标的方法，列出方程即可得到结论； （2）设，根据面积公式列出方程即可得出结论； （3）如图2，①当点是直角顶点时，根据全等三角形的性质即可得出结论；②当点是直角顶点时，，根据平移的性质得到直线的解析式为，根据两点间的距离公式即可得到结论；③当点是直角顶点时，过点作轴于点，根据全等三角形的性质即可得出结论． 【详解】（1）解：令，则， 解得：， ∴， 令，则， ∴； （2）解：∵，， ∴，， ∵P是直线上一动点， ∴设， ∵和的面积相等， ∴， 解得：或， ∴或； （3）解：存在；理由如下： 如图1，过点作轴于点，    ①当点是直角顶点时， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴或， 当点时，， 当点时，与点重合，此时点与点A重合，即， ∴， ∴或， ②当点是直角顶点时，，    ∵直线的解析式为， 由平移知，直线的解析式为， ∴，， ∴， ∵， ∴直线的解析式为 ∴， ∴， ∴， ∴或， ∴或； ③当Q是直角顶点时，过Q作轴于H，    ∴， ∵，， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴在与中， ， ∴， ∴，， ∴或， 即：满足条件的点Q为或或或或． 【点睛】此题目是一次函数综合题，主要考查了一次函数的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的面积公式，等腰直角三角形的性质，判断是解本题的关键． 60．小明根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究并解决了相关问题，请补全下面的过程． (1)下表是y与x的几组对应值： x … 0 1 2 3 … y … m … 写出表中m的值：___________． (2)如图，在平面直角坐标系中，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象； (3)小明结合该函数图象，解决了以下问题： ①对于图象上两点，，若，则___________（填“”，“”或“”）； ②对于函数，当时，y的取值范围是___________； ③写出由函数的图象得到的图象的平移方式． 【答案】(1)0 (2)见解析 (3)①；②；③向左平移1个单位，向下平移个单位 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，根据图表画出函数的图象是解题的关键． （1）把代入即可求得； （2）根据坐标系中的点，用平滑的曲线连接即可； （3）观察图象即可解决问题． 【详解】（1）解：当时，， ∴； 故答案为：0； （2）解：函数图象如图所示； ； （3）解：观察该函数图象： ①对于图象上两点，若，则； ②对于函数，当时，y的取值范围是； ③当时，，当时，， ∴函数的图象得到的图象的平移方式是向左平移1个单位，向下平移个单位． 故答案为：①；②；③向左平移1个单位，向下平移个单位． 题型二十一 一次函数的旋转压轴 61．（1）操作思考：如图1，在平面直角坐标系中，等腰的直角顶点C在原点，将其绕着点O旋转，若顶点A恰好落在点处．则①的长为______；②点B的坐标为______．（直接写结果） （2）感悟应用：如图2，在平面直角坐标系中，将等腰如图放置，直角顶点，点，试求直线的函数表达式． （3）拓展研究：如图3，在直角坐标系中，点，过点B作轴，垂足为点A，作轴，垂足为点C，P是线段上的一个动点，点Q是直线上一动点，存在以点P为直角顶点的等腰，请直接写出点P的坐标． 【答案】（1），；（2）直线的函数表达式；（3）点P的坐标为：或． 【分析】（1）由可得，，，易证，，，因此； （2）同（1）可证，，，据此可求得．最后利用待定系数法求出一次函数解析式即可； （3）分两种情况讨论①当点Q在x轴下方时，②当点Q在x轴上方时．根据等腰构建一线三直角，从而求解． 【详解】解：（1）如图1，作轴于E，轴于F． ∵， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴． 故答案为：，； （2）如图2，过点B作轴于H． ∵，， 与（1）同理得， ∴，， ， ∴． 设直线的表达式为， 将和代入，得 ，解得， ∴直线的函数表达式； （3）如图3，设， 分两种情况： ①当点Q在x轴下方时，作轴，与的延长线交于点． ∵， ∴， ∵， ∴， 在与中， ， ∴． ∴， ∵，， ∴， ， ∴， 解得， ∴， ∴； ②当点Q在x轴上方时，作轴，与的延长线交于点． 同理可证． ∴， ∵，， ∴， ， ∴， 解得， 即， ∴的纵坐标为， ． 综上，点P的坐标为：或． 【点睛】本题考查了一次函数与三角形的全等，熟练掌握一次函数的性质与三角形全等判定是解题的关键． 62．（1）操作思考：如图1，在平面直角坐标系中，等腰的直角顶点在原点，将其绕着点旋转，若顶点恰好落在点处．则： ①的长为　　；②点的坐标为　　．（直接写结果） （2）感悟应用：如图2，在平面直角坐标系中，将等腰如图放置，直角顶点，点，试求直线的函数表达式． （3）拓展研究：若点是直线上且位于第三象限图象上的一个动点，点是轴上的一个动点，点是函数与轴的交点，当以点、、为顶点的三角形为等腰直角三角形时，请直接写出相应的点的坐标． 【答案】（1），；（2）；(3)，， 【分析】（1）根据勾股定理可得长，由对应边相等可得点坐标； （2）通过证明得出点坐标，用待定系数法求直线的函数表达式； （3）分别以、、为顶角的顶点，设，，利用（2）的全等思想表示相应线段的长度，列出方程求解即可． 【详解】1）如图1，作轴于，轴于． 由点坐标可知， 在中，根据勾股定理可得； 为等腰直角三角形， ∴，， ∵轴于，轴于， ∴， 又，， ∴， ∴， ∴， 所以点坐标为： （2）如图，过点作轴． ∵为等腰直角三角形 ∴， 轴 ∴ 又∵， ∴ ∴， ∴，， ∴， 设直线的表达式为 将和代入， 得， 解得， ∴直线的函数表达式为：． （3）由是函数与轴的交点，可知， 点是直线上且位于第三象限图象上的一个动点，点是轴上的一个动点， 设， 以点为顶角，即：，过作轴，且，， 由（2）类比可得：，，，解得： 故： 以点为顶角，即：，过作轴，交轴于且， 由（2）类比可得：，，，解得： 故： 以点为顶角，即：，过作，且，， 由（2）类比可得：，，，解得： 故： 【点睛】本题是一次函数与三角形的综合，主要考查了一次函数解析式、全等三角形的证明及性质，灵活运用全等的性质求点的坐标是解题的关键． 63．如图，已知一次函数y=﹣x+8的图象与x轴、y轴分别相交于点A、B，与一次函数y=x的图象相交于点C． （1）求点C坐标． （2）若点Q在直线AB上，且△OCQ的面积等于12，请求出点Q的坐标． （3）小明在探究中发现：若P为x轴上一动点，将线段PC绕点P按顺时针方向旋转90°得线段PC'，在点P的运动过程中，点C′始终在某一直线上运动．请直接写出该直线所对应的函数关系式：　 ． 【答案】（1）点C的坐标为（4，3）；（2）Q点的坐标为（1，）或（7，﹣）；（3）y=x﹣7． 【分析】（1）解析式联立，解方程组即可求得C的坐标； （2）求得A、B点的坐标，分两种情况讨论求得即可； （3）设P的坐标为（m，0），作CM⊥x轴于M，C′N⊥x轴于N，通过证得△PCM≌△C′PN（AAS），求得C′（3+m，m-4），即可得出结论． 【详解】（1）由方程组得， ∴点C的坐标为（4，3）； （2）∵一次函数的图象与x轴、y轴分别相交于点A、B， ∴A（，0），B（0，8）， ∵点Q在直线AB上， ∴设Q（x，）， 当Q点在C的上方时，S△OCQ=S△OBC﹣S△OBQ=12， ∴×8×4﹣=12，解得，x=1， ∴此时Q的坐标为（1，）； 当Q点在线段AC上时， S△OAC=××3=9.6<12，不存在，舍去； 当Q点在A的下方时，S△OCQ=S△OAC+S△OAQ=12， ∴××3+=12，解得，x=7， ∴此时Q的坐标为（7，﹣）， 故Q点的坐标为（1，）或（7，﹣）； （3）设P的坐标为（m，0），作CM⊥x轴于M，C′N⊥x轴于N， ∵C（4，3）， ∴OM=4，CM=3， ∴PM=， ∵∠CPM+∠C′PN=90°=∠CPM+∠PCM， ∴∠C′PN=∠PCM， 在△PCM和△C′PN中， ， ∴△PCM≌△C′PN（AAS）， ∴PN=CM=3，C′N=PM=4﹣m， ∴ON=3+m， ∴C′（3+m，m﹣4）， ∴点C′始终在直线上y=x﹣7运动， 故答案为：y=x﹣7． 【点睛】本题考查了两条直线相交问题，一次函数图像上点的坐标特征，三角形的面积，解题的关键：（1）解由解析式联立构成的方程组；（2）分类讨论；（3）表示出C′的坐标． 题型二十二 一次函数的应用压轴 64．“五一”期间，某服装商场举行促销活动，活动方案如下： 方案 促销方案 方案一 所有服装全场六折 方案二 “满送”（如：购买元服装，赠元购物券；购买元服装，赠元购物券） 方案三 “满减”（如：购买元服装，只需付元；购买元服装，只需付元） （注：一人只能选择一种方案） (1)小明想买一件上衣和一件裤子，已知上衣的标价为元，小明通过计算发现，若按方案一购买这两种服装与用方案二先买上衣再买裤子的花费相同． 求裤子的标价； 请你帮小明设计此次购买应选择哪种方案，并说明理由； (2)小明研究了该商场的活动方案三，发现实际售价（元）可以看成标价（元）的函数，请你写出，当时，关于的函数表达式为______，当时，关于的函数表达式为______，当时，关于的函数表达式为______； (3)小明准备用方案一或方案三购买一件标价为元的服装，当的取值范围是多少时，用方案三购买更合算？ 【答案】(1)元；应选择方案三，理由见解析； (2)，，； (3)当时，用方案三购买更合算． 【分析】（）设裤子的标价为元，根据题意列出方程解答即可求解；分别算出每一种方案的花费即可判断求解； （）根据题意列出函数解析式即可； （）分和两种情况讨论即可求解； 本题考查了一元一次方程的应用，一次函数的应用，求一次函数的解析式，根据题意，正确列出一元一次方程和一次函数解析式是解题的关键． 【详解】（1）解：设裤子的标价为元， 根据题意得，， 解得， 答：裤子的标价为元； 选择方案三，理由如下： 方案一的花费为：元， 方案二的花费为：元， 方案三的花费为：元， ∵， ∴应选择方案三； （2）解：当时，关于的函数表达式为，当时，关于的函数表达式为，当时，关于的函数表达式为； 故答案为：，，； （3）解：当时，方案一购买需花费元，方案三需花费元， ∵， ∴ 用方案一购买更合算； 当时，方案一购买需花费元，方案三需花费元， 当时，解得， ∴当时，用方案三购买更合算； 当时，两种方案购买花费一样多； 当时，用方案一购买更合算； 综上，当时，用方案三购买更合算． 65．某茶叶店计划购进甲、乙两种茶叶进行销售，两种茶叶的进价和售价如下已知用4000元购进甲种茶叶的数量与用6000元购进乙种茶叶的数量相同． 茶叶品种 进价（元/斤） 售价（元/斤） 甲 200 乙 300 (1)求的值； (2)茶叶店计划购进甲、乙两种茶叶共300斤，其中甲种茶叶不少于80斤且不超过120斤，“五一”期间，茶叶店让利销售，将乙种茶叶的售价每斤降低元（），甲种茶叶的售价不变，为保证销售完这两种茶叶的利润的最小值不低于31800元，求的最大值． 【答案】(1)100 (2)40 【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找出数量关系，正确得出一元一次不等式和一次函数关系式． （1）由题意：用4000元购进甲种茶叶的数量与用6000元购进乙种茶叶的数量相同，列出分式方程，解方程即可； （2）设购进甲种茶叶斤，销售完这两种茶叶的总利润为元，由题意得出与的一次函数关系式，再由一次函数的性质结合题意得出一元一次不等式，解不等式即可． 【详解】（1）解：由题意可知， 解得， 经检验，是原方程的根，且符合题意； （2）解：设茶叶店计算购进甲茶叶斤，那么乙茶叶斤，利润为， 由题意得：， ， ， 随的增大而减小， ， 当时，的最小值为：， 解得：， 的最大值为40． 66．已知学生宿舍、超市、书店依次在同一条直线上，超市离宿舍，书店离宿舍．李明从宿舍出发，先匀速骑行了到书店买书，在书店停留了，之后匀速骑行到超市购买生活用品，在超市停留了后，用了匀速散步返回宿舍．下面图中x表示时间，y表示离宿舍的距离．图象反映了这个过程中李明离宿舍的距离与时间之间的对应关系．    请根据相关信息，解答下列问题： (1)①填表： 李明离开宿舍的时间/ 5 10 30 50 李明离宿舍的距离/ 2 ②填空：李明从超市返回宿舍的速度为________； ③当时，请直接写出李明离宿舍的距离y关于时间x的函数解析式； (2)当李明离开宿舍时，同宿舍的张杰从宿舍出发，匀速步行直接到达书店，那么他在前往书店的途中遇到李明时离宿舍的距离是多少？（直接写出结果即可） 【答案】(1)①1，2，；②；③ (2)． 【分析】本题主要考查了从函数图象获取信息、求函数的解析式、列一元一次方程解决实际问题、一次函数的应用等知识点，准确理解题意并正确列出函数解析式是解题的关键． （1）①根据图象作答即可；②根据图象，由李明从超市到宿舍的距离除以时间即可解答；③当时，直接根据图象写出解析式即可；当时，设y与x的函数解析式为，然后利用待定系数法求解即可； （2）当李明离开宿舍时，即时，同宿舍的张杰从宿舍出发，匀速步行直接到达书店可得张杰的速度为，当李明在回宿舍的途中遇到张强时，他俩离宿舍的距离是相等的，据此列方程求解即可． 【详解】（1）解：①， 由图填表： 李明离开宿舍的时间/ 5 10 30 50 李明离宿舍的距离/ 1 2 2 故答案为：1，2，． ②张强从体育场到文具店的速度为， 故答案为：； ③当时，由函数图象可得：； 当时，设y与x的函数解析式为， 把代入，得，解得， ∴； 综上，李明离宿舍的距离y关于时间x的函数解析式． （2）解：当李明离开宿舍时，即时，同宿舍的张杰从宿舍出发，匀速步行直接到达书店得速度为． 当李明在回宿舍的途中遇到张杰时，他俩离宿舍的距离是相等的，设相遇时间为t， 当时，，他们没有相遇， 当时，，解得：（符合题意）， 当时，． 所以，那么他在前往书店的途中遇到李明时离宿舍的距离是． 题型二十三 一次函数的新定义问题 67．定义：平面直角坐标系中，对于，两点，称为E，F两点的“折线距离”，记为． 【探究应用】 平面直角坐标系中，、． （1）如图15-1，轴，轴，________； （2）如图15-2，一次函数的图象与x轴交于点M，与y轴交于点N，在线段上任取一点P，是否为定值？如果是，请求出定值，如果不是，请说明理由． 【拓展延伸】 （3）如图15-3，若点Q是直线的图象上一动点，画出满足的所有点Q构成的线段，并直接写出此线段的长度； （4）直接写出满足的所有点R围成图形的面积． 【答案】（1）4；（2）是定值，且；（3）；（4）32 【分析】（1）根据定义代入数据计算即可； （2）先求出点的坐标，设点，再根据定义得到，即可解答； （3）设，根据定义得，解不等式，求出临界点，再利用勾股定理即可解答； （4）设，由题意得到的点构成以为中心的正方形，顶点为，，，，据此求解即可． 【详解】解：（1）设， ∵、，且轴，轴， ∴，，即， ∴，， 根据题意：； 故答案为：4； （2）是定值， ∵一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点， 令，则，令，则， ∴，， 设点， 则， ∴是定值，且； （3）设，根据定义得， 令，则，令，则， ①当时， ∴，， 则，解得：， ∴，； ②当时， ∴，， 则，解得：， ∴，； ③当时， ∴，， 则，解得：（舍去）； 综上，时，， 此时，所有点构成的线段为点到点的线段长， 长度为； （4）设， ∵， ∴， 当时，，则， 当时，，则， 当时，，则， 当时，，则， ∴的点构成以为中心的正方形，顶点为，，，，如图， 则对角线长为8， ∴，即满足的所有点R围成图形的面积为32． 【点睛】本题考查了一次函数综合，一次函数图形的性质，勾股定理，熟练掌握数形结合的思想是解题的关键． 68．【定义1】对于给定的两个函数，任取自变量的一个值，当时，它们对应的函数值相等；当时，它们对应的函数值互为相反数．我们称这样的两个函数互为“友好函数”． 例如：一次函数，它的“友好函数”为； 【定义2】平面直角坐标系中将经过点且垂直于轴的直线记为直线． 已知一次函数，请回答下列问题： (1)该一次函数的“友好函数”为 ； (2)已知点在该一次函数的“友好函数”的图像上，求的值； (3)当时，求该一次函数的“友好函数”的最大值和最小值； (4)已知直线与该一次函数的“友好函数”的图像只有一个交点时，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)最大值为，最小值为 (4) 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、一次函数的性质，熟练掌握并能灵活运用一次函数的性质是解答本题的关键． （1）依据题意，根据“友好函数”的定义，由当时，，从而当时，，进而可以得解； （2）依据题意，分和，结合点在该一次函数的“友好函数”的图象上，进而建立方程求出，即可得解； （3）依据题意，分和，根据一次函数的性质求出最大值和最小值即可； （4）依据题意，画出一次函数的“友好函数”的图象，进而结合直线与该一次函数的“友好函数”的图象只有一个交点，即可得解． 【详解】（1）解：由题意，根据“友好函数”的定义， 当时，， 当时，， 故答案为：； （2）解：由题意，当时， 点在该一次函数的“友好函数”的图像上， ， ，符合题意； 当时， 点在该一次函数的“友好函数”的图像上， ， ，不符合题意； 综上，； （3）解：当时，，随的增大而减小， 当时，有最大值为，当时，临近最小值为； 当时，，随的增大而增大， 当时，有最小值为，当时，有最大值为； 综上所述，该一次函数的“友好函数”的最大值为，最小值为； （4）解：由题意，画出一次函数的“友好函数”的图象如下： 直线与该一次函数的“友好函数”的图像只有一个交点， ． 69．定义：一次函数（且）和一次函数为“逆反函数”，如和为“逆反函数”．如图1，的图象分别交x轴、y轴于点A、B，其“逆反函数”交x轴于点C，连接． (1)请写出的解析式和B、C点坐标． (2)一次函数图象上一点又是它的“逆反函数”图象上的点， ①求出的面积； ②如图2，过点D作y轴的垂线段，垂足为E，M为y轴上的一点，且，求出直线的解析式． 【答案】(1)； (2)①；②或 【分析】（1）根据新定义可得的解析式 ，在中，求出当时的函数值，在中，求出当时的自变量的值，即可求出点B和点C的坐标； （2）先求出；设直线与y轴交于H，则，根据计算求解即可； （3）当点M在点E的上方时，证明，得到，即可求解；当在点E下方时，则直线和关于对称，则的表达式为，即可求解． 【详解】（1）解；由新定义知，的解析式 ， 在中，当时，， 在中，当时，， ∴； （2）解：①联立，解得， ∴； 设直线与y轴交于H，则， ∴， ∴； ②设直线交y轴于点K， 当点M在点E的上方时， 过点K作交的延长线于点N，过点N作y轴的平行线， 过点K作x轴的平行线交于G，延长交于点H， 在中，当时，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵轴，即轴， ∴，即， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形，设点， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴，，即且， 解得：，， ∴， 由点D、N的坐标得，直线的表达式为：， ∴此时点M的坐标为， 当在E下方时， 则直线和关于对称，则， ∴， ∴同理可得的表达式为： 综上所述，直线的解析式为或． 【点睛】本题考查的是一次函数综合运用，涉及到三角形全等、新定义、面积的计算，分类求解是解题的关键． $$ 专题01 一次函数（易错压轴必刷69题23种题型） 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 · 题型一 变量和常量 · 题型二 函数的基本概念 · 题型三 函数的表示法 · 题型四 平面直角坐标系中的点坐标 · 题型五 已知点所在的象限求参数 · 题型六 平面直角坐标系中的实际问题 · 题型七 中点坐标 · 题型八 函数图象的画法 · 题型九 正比例函数的相关概念 · 题型十 根据一次函数的定义求参数 · 题型十一 一次函数的图象 · 题型十二 已知函数经过的象限求参数范围 · 题型十三 一次函数图象与坐标轴的交点问题 · 题型十四 一次函数图象的平移问题 · 题型十五 一次函数的增减性 · 题型十六 一次函数与方程、不等式的关系 · 题型十七 一次函数的实际问题 · 题型十八 一次函数的几何问题 · 题型十九 一次函数的图象与性质压轴 · 题型二十 一次函数的平移压轴 · 题型二十一 一次函数的旋转压轴 · 题型二十二 一次函数的应用压轴 · 题型二十三 一次函数的新定义问题 题型一 变量和常量 1．在圆的面积计算公式中，对于变量和常量的说法正确的是（   ） A．2是常量，S、、R是变量 B．2，是常量，S、R是变量 C．2，S，是常量，R是变量 D．2，，R是常量，S是变量 2．汽车油箱中有汽油．如果不再加油，那么油箱中的油量（单位：）随行驶路程（单位：km）的增加而减少，耗油量为．在该变化过程中，常量是（   ） A．行驶路程 B．每千米的耗油量 C．耗油总量 D．油箱中的剩余油量 3．节约用水已成为大家的共识．每月的用水量（单位：立方米）、支付的水费、每立方米水的价格，这三个量中的常量是 ，变量是 ． 题型二 函数的基本概念 4．函数中，自变量的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 5．下列图象中，表示y是x的函数的是（   ） A． B． C． D． 6．下列各式：①；②；③；④，其中y是x的函数的有 ． 题型三 函数的表示法 7．已知等腰三角形的周长为36，腰长为，底边长为，那么关于的函数关系式及定义域是（   ） A． B． C． D． 8．如图所示长方形恰好可分成7个形状大小相同的小长方形，若设小长方形的长为，宽为，则与的关系可表示为 ． 9．拖拉机开始工作时，油箱中有油60L，每小时耗油5L． (1)写出油箱中的余油量Q（L）与工作时间t（h）之间的函数关系式； (2)写出自变量t的取值范围； (3)拖拉机工作4小时后，油箱余油是多少? 题型四 平面直角坐标系中的点坐标 10．在平面直角坐标系中，、Q两点分别在y轴两侧，且轴，若，则点Q的坐标为（   ） A． B． C． D． 11．若点的坐标满足，，，则点P的坐标为 ． 12．已知点，试根据以下条件分别求出点A的坐标： (1)点A的横坐标比纵坐标大2； (2)已知点，且轴． 题型五 已知点所在的象限求参数 13．已知点，根据下列条件求出点P的坐标． (1)点P在y轴上． (2)点P的纵坐标比横坐标大5． 14．在平面直角坐标系中，点在第二象限，则a的取值范围是 ． 15．在平面直角坐标系中，若点在第二象限，则的值可能是（    ） A．3 B．0 C．2 D．－4 题型六 平面直角坐标系中的实际问题 16．如图，小东去游乐场游玩，他根据游乐场的地图建立了平面直角坐标系，并标注了自己最想游玩的三个项目的位置，若旋转木马位于点，过山车位于点．则摩天轮位于点（   ） A． B． C． D． 17．李明的座位在第5排第4列，简记为，张扬的座位在第3排第2列，简记为．如果周伟的座位在李明的后面相距2排，同时在他的左边相距3列，那么周伟的座位可简记为 ． 18．【问题提出】小明想准确描述学校各建筑物的位置，应该怎样操作呢？ 【动手操作】如图是小明把学校以的比例尺绘制而成的平面示意图，每个小方格的单位长度是，小明以正东为轴的正方向，正北为轴的正方向建立平面直角坐标系后，得到实验室的坐标是，高中楼的坐标是． 【问题解决】 （1）平面直角坐标系的原点应为___________的位置（填写建筑名称）； （2）在图中画出此平面直角坐标系并标出初中楼的坐标是___________； （3）用方向与距离表示校门相对于操场的位置是___________．（小方格的相对两顶点的距离取140米） 【拓广延伸】 （4）下午放学后，在初中楼下的小明同学以4米/秒的平均速度向操场跑去，参加体育锻炼，问：小明需要多少秒到达操场？ 题型七 中点坐标 19．如图，在平面直角坐标系xOy中，为等腰三角形，AB=AC，轴，若，，则的面积为（   ） A．8 B．9 C．12 D．24 20．公司正在开发一款基于平面直角坐标系下的导航软件．为测试软件的准确性，工程师在坐标系中设置了以下关键点：表示起点，表示终点．如果软件需要在线段之间设置一个中转站，且中转站到点和点的距离相等，则中转站的坐标为 ． 21．已知两点和，下列说法正确的有 （填序号） ① 直线轴                        ②A、B两点间的距离 ③的面积                 ④线段的中点坐标是 题型八 函数图象的画法 22．脂肪氧化率（单位：）指单位时间内人体通过代谢途径氧化分解脂肪产生能量的速率，我们通常用它来描述运动产生的效果．脂肪氧化率与运动强度（单位）密切相关，下表记录了不同的运动强度所对应的脂肪氧化率的数据： 运动强度（） 45 50 55 60 65 70 75 80 85 脂肪氧化率 0.01 0.36 0.52 0.59 0.60 0.50 0.39 0.22 (1)通过观察表格数据可以看出，若设运动强度为，脂肪氧化率为是的函数．在如图建立的平面直角坐标系，已经描出表中部分对应点，补全图形并画出函数图象： (2)结合函数图象，解决问题： ①的值约为___________（精确到小数点后两位）； ②当脂肪的氧化率维持在0.4及以上时，运动强度的范围约为___________（精确到整数位）； ③研究发现，初中生的课间跑操的运动强度与速度之间满足如下函数关系： 则若要使脂肪的氧化率达到最佳的效果，即脂肪氧化率达到 以提高初中生的耐力、强身健体，则跑步的速度应控制在___________千米/小时左右（精确到整数位）． 23．在学习函数时，我们需要根据函数图象研究函数性质，某班数学课中开展对函数的研究，列表如下． x … 0 1 2 3 4 5 … y … 1 0 1 4 9 … (1)填写上表，并根据表格数据描出对应的点，画出函数的图象． (2)根据函数图象，当时，直接写出y的取值范围______． 24．如图1，是的边上的高，且，，点从点出发，沿线段向终点运动，其速度与时间的关系如图所示，设点运动时间为（），的面积为（）． (1)在点沿向点运动的过程中，它的速度是__________，用含x的代数式表示线段的长是_________； (2)求变量与之间的关系式； (3)当点运动时间为时，求的面积． 题型九 正比例函数的相关概念 25．已知函数是关于x的正比例函数，则m，n的值是（    ） A．， B．， C．， D．， 26．若函数是关于x的正比例函数，则k满足的条件为 ． 27．已知与成正比例，当时，． (1)求与之间的函数关系式； (2)若点在这个函数的图象上，求的值． 题型十 根据一次函数的定义求参数 28．若函数是一次函数，则m的值为（    ） A．1 B． C． D． 29．若是关于的一次函数，则的值为 ． 30．已知关于的函数． (1)取何值时，该函数是关于的一次函数？ (2)和取何值时，该函数是关于的正比例函数？ 题型十一 一次函数的图象 31．如图是一次函数的图象，则函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 32．两个一次函数在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（   ） A． B． C． D． 33．若式子＋（k﹣1）0有意义，则一次函数y＝（k﹣1）x＋1﹣k的图象可能是 ．（填字母代号）    A.B.C.D. 题型十二 已知函数经过的象限求参数范围 34．一次函数经过第一、三、四象限，则的取值范围为 ． 35．关于函数，给出下列结论： ①此函数一定是一次函数； ②无论取什么值，函数图象必经过点； ③若函数经过二，三，四象限，则的取值范围是； 其中正确的是 ；（填序号） 36．已知一次函数 (1)若图象平行于直线，求m的值； (2)若图象交y轴于正半轴，求m的取值范围； (3)若图象不过第三象限，求m的取值范围． 题型十三 一次函数图象与坐标轴的交点问题 37．一次函数的图象与轴的交点是（    ） A． B． C． D． 38．已知直线经过点，那么该直线与坐标轴围成的三角形的面积为 39．已知∶ 直线，当为何值时， (1)经过原点； (2)与y轴相交于； (3)与x轴相交于． 题型十四 一次函数图象的平移问题 40．将直线向左平移个单位后交轴于正半轴，则的值可能是（　　） A．1 B．2 C．3 D．5 41．已知一次函数的图象是由一次函数的图象沿轴向上平移个单位得到的，则 ． 42．已知一次函数的图象与直线平行，且经过点，求一次函数解析式． 题型十五 一次函数的增减性 43．关于的一次函数，若随的增大而增大，且图象与轴的交点在原点下方，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 44．如果一次函数的函数值随的值增大而增大，那么的取值范围是 ． 45．已知一次函数． (1)若y随x的增大而减小，求m的取值范围． (2)当m为何值时，函数图象经过原点？ (3)若函数图象经过第一、二、三象限，求m的取值范围． 题型十六 一次函数与方程、不等式的关系 46．数形结合是解决数学问题常用的思想方法．如图，一次函数与一次函数的图象交于点，则关于的方程的解是（　　） A． B． C． D． 47．请根据函数相关知识，对函数的图象与性质进行探究，并解决相关问题． ①列表；②描点；③连线． … 0 1 2 3 4 5 6 7 … … 5 3 1 3 5 … (1)表格中：__________，________． (2)在直角坐标系中画出该函数图象． (3)观察图象： ①当_________时，随的增大而增大； ②若关于的方程没有实数根，则的取值范围是___________． 48．一次函数和的图象如图所示，且，． (1)关于的不等式的解集为______； (2)若不等式的解集是，求点的坐标． 题型十七 一次函数的实际问题 49．电热水袋将电能转化为热能，使袋内液体迅速升温．小明在加热某种电热水袋时，电热水袋温度与加热时间x（分钟）之间的关系如图所示． (1)加热之前，电热水袋的温度为______℃； (2)求电热水袋温度与加热时间x（分钟）之间的函数表达式； (3)已知电热水袋充电加热温度一旦超过，系统就会立刻启动断电保护机制，则从开始加热到启动断电保护机制，电热水袋一共加热了多少分钟？ 50．项目式学习． 【项目背景】 2025年4月24日是中国航天探月20年的重要节点，中国载人航天飞船“神舟二十号”成功发射． 【项目主题】 小航爸爸开了一家航模玩具店，小航想了解某种航模玩具（如图）的日销售量与售价之间的关系． 【项目素材】 素材1：这种航模玩具的进价为40元/套； 素材2：当这种航模玩具的销售单价为70元/套时，日销售量为10套，每套的售价每降低1元，日销售量就增加1套； 素材3：设这种航模玩具的销售单价为元/套，这种航模玩具的日销售量为套． 【项目任务】 任务1： （1）求与之间的函数关系式； 任务2： （2）当这种航模玩具的销售单价为60元/套时，这种航模玩具的日销售总利润为多少元？ 51．年月日，年度全国十大考古新发现结果揭晓，陕西周原遗址（如图）项目入选．欣欣一家准备前往周原博物馆进行参观，有如下两种出行方案： 方案 出行方式 所需费用 方案一 乘坐公共交通出行 来回所需的总出行费用为元 方案二 自驾出行 每公里汽车耗油费用为元，来回所需的高速过路费共元，不计其他费用 设欣欣家到周原博物馆来回总路程为公里，按照方案二来回所需的总出行费用为元． (1)求与之间的函数关系式； (2)已知欣欣家到周原博物馆来回总路程为公里，请你帮助欣欣选择一种比较省钱的出行方案，并说明理由． 题型十八 一次函数的几何问题 52．如图，在平面直角坐标系中，正比例函数的图象和一次函数的图象相交于点，且一次函数的图象与x轴交于点B． (1)求m，a的值． (2)求的面积． 53．如图1，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为一次函数的图象分别与x轴和y轴交于点B，C，作直线． (1)求直线的函数表达式． (2)M是直线上的一动点，是否存在点M，使得？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． (3)如图2，点，P为x轴正半轴上的一动点，以点P 为直角顶点，为腰在第一象限内作等腰直角，连结QD，当的值最小时，请直接写出点Q的坐标． 54．如图，已知在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，且经过，． (1)求一次函数的解析式； (2)求三角形的面积． 题型十九 一次函数的图象与性质压轴 55．如图1，已知直线l与x轴交于点，与y轴交于点，以A为直角顶点在第一象限内作等腰，其中上，． (1)求直线l的解析式和点C的坐标； (2)如图2，点M是的中点，点P是直线l上一动点，连接、，求的最小值，并求出当取最小值时点P的坐标； (3)在（2）的条件下，当取最小值时，在直线上是否存在一点Q，使？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 56．已知：如图，一次函数的图象分别与轴、轴相交于点、，且与经过点的一次函数的图象相交于点，直线与轴相交于点． (1)直线的函数表达式为：______；点的坐标为______；（直接写出结果） (2)点为线段上的一个动点，连接． 若直线将的面积分为两部分，试求点的坐标； 点是否存在某个位置，将沿着直线翻折，使得点恰好落在直线下方的轴上？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 57．在平面直角坐标系中，给出如下定义： a．当一个点的横坐标、纵坐标均为整数时，称这个点为整点； b．直线，直线与轴围成的三角形区域（不含边界点）称为域 根据阅读材料，解决下列问题： (1)如图，在平面直角坐标系中，已知直线与轴交于点，直线与轴交于点，两直线交于点． ①在这个域中有______个整点； ②求域的面积． (2)过（1）中纵坐标最大的整点作直线分别交域两边，于点，，使的面积是域面积的，求直线的表达式； (3)若直线，直线与轴围成的域内恰好有3个整点，请直接写出的取值范围． 题型二十 一次函数的平移压轴 58．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，且与正比例函数的图象交于点． (1)求的值及一次函数的解析式； (2)若一次函数的图象与轴交于点，且正比例函数的图象向下平移个单位长度后经过点，求的值； (3)坐标轴上有一点，使得为等腰三角形，请直接写出点的坐标． 59．如图1，直线l：与x轴交于点A，与y轴交于点B．已知点． (1)求出点A，点B的坐标． (2)P是直线上一动点，且和的面积相等，求点P坐标． (3)如图2，平移直线l，分别交x轴，y轴于交于点，，过点C作平行于y轴的直线m，在直线m上是否存在点Q，使得是等腰直角三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标． 60．小明根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究并解决了相关问题，请补全下面的过程． (1)下表是y与x的几组对应值： x … 0 1 2 3 … y … m … 写出表中m的值：___________． (2)如图，在平面直角坐标系中，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象； (3)小明结合该函数图象，解决了以下问题： ①对于图象上两点，，若，则___________（填“”，“”或“”）； ②对于函数，当时，y的取值范围是___________； ③写出由函数的图象得到的图象的平移方式． 题型二十一 一次函数的旋转压轴 61．（1）操作思考：如图1，在平面直角坐标系中，等腰的直角顶点C在原点，将其绕着点O旋转，若顶点A恰好落在点处．则①的长为______；②点B的坐标为______．（直接写结果） （2）感悟应用：如图2，在平面直角坐标系中，将等腰如图放置，直角顶点，点，试求直线的函数表达式． （3）拓展研究：如图3，在直角坐标系中，点，过点B作轴，垂足为点A，作轴，垂足为点C，P是线段上的一个动点，点Q是直线上一动点，存在以点P为直角顶点的等腰，请直接写出点P的坐标． 62．（1）操作思考：如图1，在平面直角坐标系中，等腰的直角顶点在原点，将其绕着点旋转，若顶点恰好落在点处．则： ①的长为　　；②点的坐标为　　．（直接写结果） （2）感悟应用：如图2，在平面直角坐标系中，将等腰如图放置，直角顶点，点，试求直线的函数表达式． （3）拓展研究：若点是直线上且位于第三象限图象上的一个动点，点是轴上的一个动点，点是函数与轴的交点，当以点、、为顶点的三角形为等腰直角三角形时，请直接写出相应的点的坐标． 63．如图，已知一次函数y=﹣x+8的图象与x轴、y轴分别相交于点A、B，与一次函数y=x的图象相交于点C． （1）求点C坐标． （2）若点Q在直线AB上，且△OCQ的面积等于12，请求出点Q的坐标． （3）小明在探究中发现：若P为x轴上一动点，将线段PC绕点P按顺时针方向旋转90°得线段PC'，在点P的运动过程中，点C′始终在某一直线上运动．请直接写出该直线所对应的函数关系式：　 ． 题型二十二 一次函数的应用压轴 64．“五一”期间，某服装商场举行促销活动，活动方案如下： 方案 促销方案 方案一 所有服装全场六折 方案二 “满送”（如：购买元服装，赠元购物券；购买元服装，赠元购物券） 方案三 “满减”（如：购买元服装，只需付元；购买元服装，只需付元） （注：一人只能选择一种方案） (1)小明想买一件上衣和一件裤子，已知上衣的标价为元，小明通过计算发现，若按方案一购买这两种服装与用方案二先买上衣再买裤子的花费相同． 求裤子的标价； 请你帮小明设计此次购买应选择哪种方案，并说明理由； (2)小明研究了该商场的活动方案三，发现实际售价（元）可以看成标价（元）的函数，请你写出，当时，关于的函数表达式为______，当时，关于的函数表达式为______，当时，关于的函数表达式为______； (3)小明准备用方案一或方案三购买一件标价为元的服装，当的取值范围是多少时，用方案三购买更合算？ 65．某茶叶店计划购进甲、乙两种茶叶进行销售，两种茶叶的进价和售价如下已知用4000元购进甲种茶叶的数量与用6000元购进乙种茶叶的数量相同． 茶叶品种 进价（元/斤） 售价（元/斤） 甲 200 乙 300 (1)求的值； (2)茶叶店计划购进甲、乙两种茶叶共300斤，其中甲种茶叶不少于80斤且不超过120斤，“五一”期间，茶叶店让利销售，将乙种茶叶的售价每斤降低元（），甲种茶叶的售价不变，为保证销售完这两种茶叶的利润的最小值不低于31800元，求的最大值． 66．已知学生宿舍、超市、书店依次在同一条直线上，超市离宿舍，书店离宿舍．李明从宿舍出发，先匀速骑行了到书店买书，在书店停留了，之后匀速骑行到超市购买生活用品，在超市停留了后，用了匀速散步返回宿舍．下面图中x表示时间，y表示离宿舍的距离．图象反映了这个过程中李明离宿舍的距离与时间之间的对应关系．    请根据相关信息，解答下列问题： (1)①填表： 李明离开宿舍的时间/ 5 10 30 50 李明离宿舍的距离/ 2 ②填空：李明从超市返回宿舍的速度为________； ③当时，请直接写出李明离宿舍的距离y关于时间x的函数解析式； (2)当李明离开宿舍时，同宿舍的张杰从宿舍出发，匀速步行直接到达书店，那么他在前往书店的途中遇到李明时离宿舍的距离是多少？（直接写出结果即可） 题型二十三 一次函数的新定义问题 67．定义：平面直角坐标系中，对于，两点，称为E，F两点的“折线距离”，记为． 【探究应用】 平面直角坐标系中，、． （1）如图15-1，轴，轴，________； （2）如图15-2，一次函数的图象与x轴交于点M，与y轴交于点N，在线段上任取一点P，是否为定值？如果是，请求出定值，如果不是，请说明理由． 【拓展延伸】 （3）如图15-3，若点Q是直线的图象上一动点，画出满足的所有点Q构成的线段，并直接写出此线段的长度； （4）直接写出满足的所有点R围成图形的面积． 68．【定义1】对于给定的两个函数，任取自变量的一个值，当时，它们对应的函数值相等；当时，它们对应的函数值互为相反数．我们称这样的两个函数互为“友好函数”． 例如：一次函数，它的“友好函数”为； 【定义2】平面直角坐标系中将经过点且垂直于轴的直线记为直线． 已知一次函数，请回答下列问题： (1)该一次函数的“友好函数”为 ； (2)已知点在该一次函数的“友好函数”的图像上，求的值； (3)当时，求该一次函数的“友好函数”的最大值和最小值； (4)已知直线与该一次函数的“友好函数”的图像只有一个交点时，直接写出的取值范围． 69．定义：一次函数（且）和一次函数为“逆反函数”，如和为“逆反函数”．如图1，的图象分别交x轴、y轴于点A、B，其“逆反函数”交x轴于点C，连接． (1)请写出的解析式和B、C点坐标． (2)一次函数图象上一点又是它的“逆反函数”图象上的点， ①求出的面积； ②如图2，过点D作y轴的垂线段，垂足为E，M为y轴上的一点，且，求出直线的解析式． 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $$