期末复习专题05 第九章统计（6考点清单+9考点题型）-2024-2025学年高一下学期数学期末复习（人教A版2019必修二 全国通用）

期末复习专题05 第九章统计 内容导图预览 考点清单总结 考点清单1 简单随机抽样 1、 全面调查和抽样调查 调查方式 全面调查 抽样调查 定义 对每一个调查对象都进行调查的方法，称为全面调查，又称普查 根据一定目的，从总体中抽取一部分个体进行调查，并以此为依据对总体的情况作出估计和推断的调查方法 相关概念 总体：在一个调查中，把调查对象的全体称为总体； 个体：组成总体的每一个调查对象称为个体 样本：把从总体中抽取的那部分个体称为样本； 样本量：样本中包含的个体数称为样本容量，简称样本量 二、简单随机抽样 一般地，设一个总体含有N(N为正整数)个个体，从中逐个抽取n(1≤n<N)个个体作为样本 如果抽取是放回的，且每次抽取时总体内的各个个体被抽到的概率都相等，把这样的抽样方法叫做放回简单随机抽样 如果抽取是不放回的，且每次抽取时总体内未进入样本的各个个体被抽到的概率都相等，把这样的抽样方法叫做不放回简单随机抽样 简单随机抽样：放回简单随机抽样和不放回简单随机抽样统称为简单随机抽样.通过简单随机抽样获得的样本称为简单随机样本 三、简单随机抽样的方法 简单随机抽样的常见方法 1.抽签法 先把总体中的个体编号，然后把所有编号写在外观、质地等无差别的小纸片(也可以是卡片、小球等)上作为号签，并将这些小纸片放在一个不透明的盒里，充分搅拌.最后从盒中不放回地逐个抽取号签，使与号签上的编号对应的个体进入样本，直到抽足样本所需要的个体数. 2.随机数法 (1)定义：先把总体中的个体编号，用随机数工具产生总体范围内的整数随机数，把产生的随机数作为抽中的编号，剔除重复的编号并重新产生随机数，直到产生的不同编号个数等于样本所需要的个体数. (2)产生随机数的方法： ①用随机试验生成随机数； ②用信息技术生成随机数： Ⅰ.用计算器生成随机数；Ⅱ.用电子表格软件生成随机数；Ⅲ.用R统计软件生成随机数. 四、用样本平均数估计总体平均数 一般地，总体中有N个个体，它们的变量值分别为Y1，Y2，…，YN，则称==Yi为总体均值，又称总体平均数. 如果总体的N个变量值中，不同的值共有k(k≤N)个，不妨记为Y1，Y2，…，Yk，其中Yi出现的频数fi(i=1，2，…，k)，则总体均值还可以写成加权平均数的形式=fiYi. 如果从总体中抽取一个容量为n的样本，它们的变量值分别为y1，y2，…，yn，则称==yi为样本均值，又称样本平均数.我们常用样本平均数去估计总体平均数. 考点清单2 分层随机抽样 一、分层随机抽样的定义 1.分层随机抽样：一般地，按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体，每个个体属于且仅属于一个子总体，在每个子总体中独立地进行简单随机抽样，再把所有子总体中抽取的样本合在一起作为总样本，这样的抽样方法称为分层随机抽样，每一个子总体称为层. 2.比例分配：在分层随机抽样中，如果每层样本量都与层的大小成比例，那么称这种样本量的分配方式为比例分配. 3.分层随机抽样的特点： (1)从分层随机抽样的定义可看出，分层随机抽样适用于总体由差异明显的几个部分组成的情况. (2)分层随机抽样是等可能抽样.用分层随机抽样从个体数为N的总体中抽取一个容量为n的样本时，在整个抽样过程中，每个个体被抽到的可能性相等，都等于. (3)分层随机抽样是建立在简单随机抽样的基础之上的，由于它充分利用了已知信息，因此利用它获取的样本更具有代表性，更能充分反映总体的情况，在实践中的应用也更广泛. 二、分层随机抽样的应用 比例分配的分层随机抽样的实施步骤： 第一步，按某种特征将总体分成若干部分(层)； 第二步，计算各层所占比例.所占比例=； 第三步，计算各层抽取的个体数，各层抽取的个体数=总样本量×各层所占比例； 第四步，按简单随机抽样从各层抽取样本； 第五步，综合每层抽样，组成样本. 三、用分层随机抽样的样本平均数估计总体平均数 如果总体分为2层，两层包含的个体数分别为M，N，两层抽取的样本量分别为m，n，两层的样本平均数分别为，，两层的总体平均数分别为，，总体平均数为，样本平均数为，则=+，=+.因此，在比例分配的分层随机抽样中，我们可以直接用样本平均数估计总体平均数. 四、获取数据的基本途径 获取数据的基本途径　 适用类型 注意问题 通过调查获取数据 对于有限总体问题，一般通过抽样调查或普查的方法获取数据 要充分有效地利用背景信息选择或创建更好的抽样方法，并有效避免抽样过程中的人为错误 通过试验获取数据 没有现存的数据可以查询 严格控制试验环境，通过精心的设计安排试验，以提高数据质量 通过观察获取数据 自然现象 借助专业测量设备通过长久的持续观察获取数据 通过查询获得数据 众多专家研究过，其收集的数据有所存储 必须根据问题背景知识“清洗”数据，去伪存真 考点清单3 频率分布直方图 一、频率分布直方图的概念 1.制作频率分布直方图的步骤 (1)求极差：即一组数据中最大值与最小值的差. (2)决定组距与组数：组距与组数的确定没有固定的标准，数据分组的组数与数据的个数有关，一般数据的个数越多，所分组数也越多.当样本量不超过100时，常分成5~12组.为方便起见，一般取等长组距，并且组距应力求“取整”. (3)将数据分组：当所有组距的长度超过极差时，我们可以使第一组的左端点略小于数据中的最小值，最后一组的右端点略大于数据中的最大值. (4)列频率分布表：计算各小组的频率，第i组的频率=. (5)画频率分布直方图：横轴表示分组，纵轴表示，这里，实际上就是频率分布直方图中各小长方形的高度，它反映了各组样本观测数据的疏密程度.因为小长方形的面积=组距×=频率，所以各小长方形的面积表示相应各组的频率.这样，频率分布直方图就以面积的形式反映了数据落在各个小组的频率的大小.容易知道，在频率分布直方图中，各小长方形的面积的总和等于1，即样本数据落在整个区间的频率为1. 2.频数分布表的四个特征： (1)频率分布表中的数字与分组数(组距)有关，分组数的变化可引起频率分布结构的变化. (2)随机性：频率分布表由样本决定，因此会随着样本的改变而改变. (3)规律性：根据频率趋近于概率的原理，若固定分组数，随着样本容量的增加，频率分布表中的各个频率会稳定于总体分布在相应分组的概率. (4)频率和等于1. 3.频率分布表和频率分布直方图的优缺点 (1)频率分布表反映具体数据在各个不同区间的取值频率，但不够直观、形象，对分析数据分布的总体态势不太方便. (2)频率分布直方图能够直观地表明数据分布的形状，一般呈中间高、两端低、左右对称的“峰”状结构.但是从直方图本身得不到具体的数据内容，也就是说，将数据表示成直方图以后，原始数据不能在图中表示出来. 二、频率分布直方图的应用 　(1)频率分布直方图的性质 ①因为小矩形的面积=组距×=频率，所以各小矩形的面积表示相应各组的频率.这样，频率分布直方图就以面积的形式反映了数据落在各个小组内的频率大小. ②在频率分布直方图中，各小矩形的面积之和等于1. ③=样本量. (2)频率分布直方图反映了样本在各个范围内取值的可能性，由抽样的代表性利用样本在某一范围内的频率，可近似地估计总体在这一范围内的可能性. 三、几种不同的统计图 统计图 图示 分析 条形图 用一个单位长度表示一定的数量或频率，根据数量的多少或频率的大小画成长短不同的矩形条，条形图能清楚地表示出每个项目的具体数目或频率. 扇形图 用整个圆面积表示总数(100%)，用圆内的扇形面积表示各个部分所占总数的百分数. 折线图 在画折线图时，要注意明确横轴、纵轴的实际含义. 直方图 能够直观地表明数据分布的形状，一般呈中间高、两端低、左右对称的“峰”状结构.但是从直方图本身得不到具体的数据内容， 考点清单4 百分位数的定义 1.一组数据的第p百分位数的定义：一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有p%的数据小于或等于这个值，且至少有(100-p)%的数据大于或等于这个值. 2.计算一组n个数据的第p百分位数的步骤： 第1步，按从小到大排列原始数据. 第2步，计算i=n×p%. 第3步，若i不是整数，而大于i的比邻整数为j，则第p百分位数为第j项数据；若i是整数，则第p百分位数为第i项与第(i+1)项数据的平均数. 3.一组数据常用的分位数： (1)中位数相当于是第50百分位数.除了中位数外，常用的分位数还有第25百分位数，第75百分位数. (2)第25，50，75百分位数，这三个分位数把一组由小到大排列后的数据分成四等份，因此称为四分位数. (3)第25百分位数也称为第一四分位数或下四分位数等，第75百分位数也称为第三四分位数或上四分位数等. 由频率分布直方图求百分位数的方法 (1)要注意频率分布直方图中小矩形的面积，就是数据落在该组的频率. (2)可采用方程的思想，设出第p百分位数，根据其意义列出方程并求解即可. 考点清单5 众数、中位数、平均数 一、众数、中位数、平均数 1.众数：一组数据中出现次数最多的数. 2.中位数：把一组数据按从小到大(或从大到小)的顺序排列后，当数据个数是奇数时，处在最中间的数是中位数；当数据个数是偶数时，最中间两个数的平均数是中位数. 3.平均数：如果有n个数x1，x2，…，xn， 那么=(x1+x2+…+xn)叫做这n个数的平均数. 二、总体集中趋势的估计 众数、中位数、平均数的意义 (1)样本的众数、中位数和平均数常用来表示样本数据的“中心值”，其中众数和中位数容易计算，不受少数几个极端值的影响，但只能表达样本数据中的少量信息，平均数代表了数据更多的信息，但受样本中每个数据的影响，越极端的数据对平均数的影响也越大. (2)当一组数据中有不少数据重复出现时，其众数往往更能反映问题，当一组数据中个别数据较大时，可用中位数描述其集中趋势. 三、利用频率分布直方图估计总体的集中趋势 利用频率分布直方图求众数、中位数以及平均数的方法 (1)众数即为出现次数最多的数，所以它的频率最高，在最高的小矩形中.中位数即为从小到大中间的数(或中间两数的平均数).平均数为每个小矩形底边中点的横坐标与小矩形面积乘积之和. (2)用频率分布直方图求得的众数、中位数不一定是样本中的具体数. 考点清单6 方差、标准差 一、方差、标准差 1.假设一组数据为x1，x2，…，xn，则这组数据的平均数为=，方差为s2=(xi-)2，标准差为s=. 2.如果总体中所有个体的变量值分别为Y1，Y2，…，YN，总体平均数为，则称S2=(Yi-)2为总体方差，S=为总体标准差. 3.总体方差的加权形式：如果总体的N个变量值中，不同的值共有k(k≤N)个，不妨记为Y1，Y2，…，Yk，其中Yi出现的频数为fi(i=1，2，…，k)，则总体方差为S2=fi(Yi-)2. 二、分层随机抽样的方差 假设第一层有m个数，分别为x1，x2，…，xm，平均数为，方差为s2；第二层有n个数，分别为y1，y2，…，yn，平均数为，方差为t2.则=xi，s2=(xi-)2，=yi， t2=(yi-)2. 若记总的样本平均数为，样本方差为b2，则可以算出 =xi+yi)=， b2= =. 考点题型·巩新知 考点一 简单随机抽样 1．某工厂利用随机数表对生产的40个零件进行抽样测试，先将40个零件进行编号，编号分别为，从中抽取8个样本，下面提供随机数表的第1行到第3行： 0347，4373，8636，9647，3661，4698，6371，6202 9774，2467，6242，8114，5720，4253，3237，3214 1676，0227，6656，5026，7107，3290，7978，5336 若从表中第2行第7列开始向右依次读取数据，则得到的第5个样本编号是（    ） A．37 B．32 C．14 D．16 2．已知一个总体中有个个体，用抽签法从中抽取一个容量为的样本，若每个个体被抽到的可能性是，则（    ） A．10 B．20 C．40 D．不确定 3．从某班学号为1到10的十名学生（其中含学生甲）中抽取3名学生参加某项调查，现用抽签法抽取样本（不放回抽取），每次抽取一个号码，共抽3次，设甲第一次被抽到的可能性为，第二次被抽到的可能性为，则（    ） A．， B．， C．， D．， 4．某工厂利用随机数表对生产的700个零件进行抽样测试，先将700个零件进行编号，001，002，……，699，700．从中抽取70个样本，若从下图提供随机数表中第1行第6列开始向右读取数据，则得到的第4个样本编号是 . 84 42 12 53 31 34 57 86 07 36 25 30 07 32 86 23 45 78 89 07 23 68 96 08 04 32 56 78 08 43 67 89 53 55 77 34 89 94 83 75 22 53 55 78 32 45 77 89 23 45 5．为估计某草场内兔子的数量，使用以下方法：先随机从草场中捕捉兔子100只，在每只兔子的尾巴上作上记号后放回草场.再随机从草场中捕捉60只，若尾巴上有记号的兔子共有10只，估计此草场内约有兔子 只. 考点二 分层随机抽样 6．高一（1）班有学生45人，高一（2）班有学生27人，高一（3）班有学生36人，用分层抽样的方法从这三个班中抽出一部分人组成的方队，进行体操比赛，则高一（1）班、高一（2）班、高一（3）班分别被抽取的人数是（   ） A．15，9，12 B．9，15，12 C．12，9，15 D．15，12，9 7．某农场共有300头牛，其中甲品种牛30头，乙品种牛90头，丙品种牛180头，现采用分层抽样的方法抽取60头牛进行某项指标检测，则抽取甲，乙，丙三个品种牛的头数分别为（    ） A． B． C． D． 8．某高中的三个年级共有学生1000人，其中高一300人，高二340人，高三360人，该校现在要了解学生对校本课程的看法，准备从全校学生中抽取50人进行访谈，若采取分层抽样，且按年级来分层，则高一年级应抽取的人数是 ． 9．某校高中部高一、高二、高三人数之比为5:4:3，其中女生有600人，现准备从该校所有高中学生中抽取容量为120的样本.若根据年级采用按比例分配的分层随机抽样，抽取的高三学生为n个人；若根据性别采用按比例分配的分层随机抽样，抽取的女生为m个人，且，则该校高中部学生人数为 . 10．某高中高一年级有学生1440人，高二年级有学生1600人，高三年级有学生1760人.现用分层抽样的方法，从这三个年级学生中抽取n人了解他们的学习情况，其中在高二年级抽取了100人，则 . 考点三 百分位数的计算 11．2024年巴黎奥运会奖牌榜前8名的金牌数依次为40，40，20，18，16，16，14，12，这组数据的下四分位数为（   ） A．13 B．13.5 C．15 D．15.5 12．某学校组织学生开展环保知识测试活动，现把100名学生的成绩绘制成了如图所示的频率分布直方图，根据图中数据得（   ） A．，此样本数据的66%分位数为82.5 B．，此样本数据的66%分位数为82.5 C．，此样本数据的66%分位数为85 D．，此样本数据的66%分位数为85 13．2022年月以来我国南方遭受严重洪灾，为了弘扬“一方有难，八方支援”的中国精神，某校举行募捐活动，下表是某班名同学捐款的频数分布表，若第分位数为，第分位数为，则（    ） 捐款金额元 频数 A． B． C． D． 14．某工厂生产了500件产品，质检人员测量其长度 (单位: 厘米)，将测量数据分成6组， 整理得到如图所示的频率分布直方图. 如果要让 90% 的产品长度不超过厘米，根据直方图估计，下列最接近的数是（   ） A．93.5 B．94.1 C．94.7 D．95.5 15．已知一组数据的第60百分位数为2，其中，则这组数据的极差为 . 考点四 平均数 众数和中位数的计算 16．10名工人某天生产同一零件，生产的件数是15、17、14、10、15、17、17、16、14、12，设其平均数为，中位数为，众数为，则有（   ） A． B． C． D． 17．在一次业余歌唱比赛中，随机从观众中抽出10人担任评委．下面是他们给某位选手的打分情况： 43 44 45 45 46 48 49 49 50 51 设这10个分数的平均数为，再从中去掉一个最高分，去掉一个最低分，设剩余8个分数的平均数为，则（   ） A． B．且 C．且 D．且 18．为了研究我市甲、乙两个旅游景点的游客情况，文旅局统计了今年4月到9月甲、乙两个旅游景点的游客人数（单位：万人），得到如图所示的折线图.根据两个景点的游客人数的折线图，下列说法正确的是（   ） A．7，8，9月份的总游客人数甲景点比乙景点少 B．乙景点4月到9月的游客人数总体呈上升趋势 C．甲景点4月到9月游客人数的平均值在内 D．甲、乙两景点4月到9月中游客量的最高峰期都在8月 19．央视“朗读者”节目感动无数观众，某中学开展了“我爱朗读”读书活动，为了解5月份全校学生读书情况，随机调查了八年级50名学生读书的册数，统计数据如下表所示：关于这组数据，下列说法错误的是（    ） 册数 0 1 2 3 4 人数 3 13 16 17 1 A．中位数是2 B．众数是3 C．平均数是2 D．方差是2． 20．为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试，得分（十分制）如图所示，假设得分的中位数为，众数为，平均值为，则（    ）      A． B． C． D． 考点五 总体平均数、众数和中位数的估计值 21．某校期中考试后，为分析100名高三学生的数学学习情况，整理他们的数学成绩得到如图所示的频率分布直方图．则下列结论错误的是（   ） A．估计数学成绩的众数为75 B． C．估计数学成绩的75百分位数约为85 D．估计成绩在80分及以上的学生的平均分为87.50 22．某市高一年级举行了一次数学竞赛，从所有参加竞赛的名学生中随机抽取了一部分学生，经统计这部分学生的成绩全部介于至之间，将成绩数据按照分组，作出频率分布直方图如图所示，则（    ） A． B．估计全市高一年级数学竞赛成绩不低于分的有人 C．估计全市高一年级数学竞赛成绩的平均分是 D．估计全市高一年级数学竞赛成绩的中位数约为 23．为激发户外运动爱好者健身热情，增进群众健身获得感、幸福感. 某市体育部门随机抽取200名群众进行每天体育运动时间的调查，按照时长(单位:分钟)分成6组:[30，40)，[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90]. 处理后绘制了如下图的频率分布直方图. (1)求图中的值； (2)求运动时长在[50，70)的样本群众人数； (3)估计该市群众每天体育运动时间的众数、平均数、中位数(保留1位小数). 24．课外阅读有很多好处，可以帮助提高阅读能力、拓展知识面、提高思维能力、提高情感素养和提高人际交往能力.某校为了解学生课外阅读的情况，随机统计了名学生的一个学期课外阅读时间（单位：小时），所得数据都在内，将所得的数据分成4组：，，，，得到如图所示的频率分布直方图，现知道课外阅读时间在内的有80人.    (1)求和的值； (2)估计该校学生一个学期课外阅读时间的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）； (3)求所得数据的中位数. 25．为了解某校高一年级学生数学学习的阶段性表现，年级组织了一次阶段测试.已知此次考试共有450名学生参加，考试成绩的频率分布直方图如图所示（同一组中的数据以该区间的中点值为代表）. (1)求a的值； (2)估计这次数学考试成绩的众数、中位数和平均数（结果保留两位小数）； (3)估计该校学生的数学成绩的第70百分位数（结果保留两位小数）. 考点六 极差 方差和标准差的计算 26．已知甲、乙两组数可分别用图（1）、（2）表示，记甲、乙两组数的平均数和方差分别为、、、，则它们的大小关系是（   ）    A．， B．， C．， D．， 27．已知一组样本数据：2，2，0，2，4，1，3，则下列关于该组样本数据说法正确的是（   ） A．极差是4 B．众数不等于平均数 C．方差是 D．分位数是3 28．已知一组数据，的极差为m，平均数为a，方差为b，另外一组数据的极差为9，平均数为11，方差为13，则（    ） A． B． C． D． 29．甲、乙两名运动员参加射击选拔赛，两人在相同条件下各射击次，组委会从两人的成绩中各随机抽取次成绩（满分分），如下表所示： 甲射击成绩 乙射击成绩 (1)分别求出甲、乙两名运动员次射击成绩的平均数与方差； (2)判断哪位运动员的射击成绩更好? 30．某机构对100名菜农去年种植销售的蔬菜重量（单位：吨）进行了统计调查，将得到的数据按，，，分为4组，画出的频率分布直方图如图所示. (1)求m； (2)估计这100名菜农去年种植销售的蔬菜重量的中位数； (3)估计这100名菜农去年种植销售的蔬菜重量的平均数与方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表）. 考点七 平均数和方差的性质 31．已知一组数据的平均数为，标准差为，则数据的平均数和方差分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 32．已知某9个数据的平均数为6，方差为5，现又加入一个新数据6，此时这10个数的平均数和方差分别为（    ） A．6， B．6， C．5， D．5，5 33．已知数据的平均数和方差分别为4，10，那么数据的平均数和方差分别为（   ） A． B． C． D． 34．已知数据的平均数为，方差为，由生成新数据，则（   ） A．新数据的平均数为 B．新数据的方差为 C．新数据的中位数一定比原数据的中位数大 D．新数据的极差一定比原数据的极差大 35．一组数据的平均数为1，方差为5，记的平均数为，方差为则 . 考点八 平均数和方差的分析 36．已知样本数据，若去掉其中的最大数与最小数，则下列统计量不会变化的是（   ） A．平均数 B．中位数 C．标准差 D．极差 37．已知一个样本，样本容量为10，平均数为15，方差为3，现从样本中去掉一个数据，此时样本的平均数为，方差为，则（    ） A．， B．， C．， D．， 38．是，，，的平均数，是，，，的平均数，是，，，的平均数，则下列各式正确的是 A． B． C． D． 39．有一组样本数据，由这组数据得到新样本数据，其中，则（    ） A．两组样本数据的样本平均数相同 B．两组样本数据的样本极差相同 C．两组样本数据的样本中位数相同 D．两组样本数据的样本标准差相同 40．有一组样本数据，，，，其中，由这组数据得到新样本数据，，，，则（    ） A．两组样本数据的极差一定相等 B．两组样本数据的平均数一定相等 C．两组样本数据的中位数可能相等 D．两组样本数据的方差可能相等 考点九 分层随机抽样的平均数和方差的计算 41．某中学从高一学生中抽取了50名男生，50名女生调查高一学生身高的情况.已知所有这100名学生身高的方差为48，其中50名男生身高的平均数为，方差为16，50名女生身高的平均数为，则50名女生身高的方差为（    ） A．15 B．24 C．30 D．36 42．已知全校共3000名学生，其中有1800名男生，1200名女生，为调查学生的身高情况，按分层随机抽样的方法抽取20名学生的身高作为样本，样本中男生身高的平均数为170，方差为30，女生身高的平均数为160，方差为45，则利用样本估计总体的平均数为 ，估计总体的方差为 . 43．2024年以来，四川省文化和旅游厅制定出台推动文旅市场恢复振兴的系列措施，为进一步发展四川文旅，提升四川经济，在5月份对来川旅游的部分游客发起满意度调查，从饮食、住宿、交通、服务等方面调查旅客满意度，满意度采用百分制，统计的综合满意度绘制成如下频率分布直方图，图中． (1)求图中a的值并估计满意度得分的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； (2)若有超过的人满意度在75分及以上，则认为该月文旅成绩合格．四川省5月份文旅成绩合格了吗? (3)四川文旅6月份继续对来川旅游的游客发起满意度调查，采用样本量比例分配的分层随机抽样，现知6月1日-6月15日调查的4万份数据中其满意度的平均值为80，方差为75；6月16日-6月30日调查的6万份数据中满意度的平均值为90，方差为70．由这些数据计算6月份的总样本的平均数与方差． 44．某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六组：，，，，，，得到如图所示的频率分布直方图． (1)求频率分布直方图中的值与样本成绩的第80百分位数； (2)在样本答卷成绩为，，的三组市民中，用分层抽样的方法抽取13个，则样本的答卷成绩在中的市民应抽取多少个？ (3)若落在的平均成绩是57，方差是2，落在的平均成绩为69，方差是5，求这两组成绩的总平均数和总方差． 45．某地区有小学生9000人，初中生8600人，高中生4400人，教育局组织网络“防溺水”网络知识问答，现用分层抽样的方法从中抽取220名学生，对其成绩进行统计分析，得到如下图所示的频率分布直方图所示的频率分布直方图. (1)成绩位列前10%的学生平台会生成“防溺水达人”优秀证书，试估计获得“防溺水达人”的成绩至少为多少分； (2)已知落在内的平均成绩为67，方差是9，落在内的平均成绩是73，方差是29，求落在内的平均成绩和方差. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期末复习专题05 第九章统计 内容导图预览 考点清单总结 考点清单1 简单随机抽样 1、 全面调查和抽样调查 调查方式 全面调查 抽样调查 定义 对每一个调查对象都进行调查的方法，称为全面调查，又称普查 根据一定目的，从总体中抽取一部分个体进行调查，并以此为依据对总体的情况作出估计和推断的调查方法 相关概念 总体：在一个调查中，把调查对象的全体称为总体； 个体：组成总体的每一个调查对象称为个体 样本：把从总体中抽取的那部分个体称为样本； 样本量：样本中包含的个体数称为样本容量，简称样本量 二、简单随机抽样 一般地，设一个总体含有N(N为正整数)个个体，从中逐个抽取n(1≤n<N)个个体作为样本 如果抽取是放回的，且每次抽取时总体内的各个个体被抽到的概率都相等，把这样的抽样方法叫做放回简单随机抽样 如果抽取是不放回的，且每次抽取时总体内未进入样本的各个个体被抽到的概率都相等，把这样的抽样方法叫做不放回简单随机抽样 简单随机抽样：放回简单随机抽样和不放回简单随机抽样统称为简单随机抽样.通过简单随机抽样获得的样本称为简单随机样本 三、简单随机抽样的方法 简单随机抽样的常见方法 1.抽签法 先把总体中的个体编号，然后把所有编号写在外观、质地等无差别的小纸片(也可以是卡片、小球等)上作为号签，并将这些小纸片放在一个不透明的盒里，充分搅拌.最后从盒中不放回地逐个抽取号签，使与号签上的编号对应的个体进入样本，直到抽足样本所需要的个体数. 2.随机数法 (1)定义：先把总体中的个体编号，用随机数工具产生总体范围内的整数随机数，把产生的随机数作为抽中的编号，剔除重复的编号并重新产生随机数，直到产生的不同编号个数等于样本所需要的个体数. (2)产生随机数的方法： ①用随机试验生成随机数； ②用信息技术生成随机数： Ⅰ.用计算器生成随机数；Ⅱ.用电子表格软件生成随机数；Ⅲ.用R统计软件生成随机数. 四、用样本平均数估计总体平均数 一般地，总体中有N个个体，它们的变量值分别为Y1，Y2，…，YN，则称==Yi为总体均值，又称总体平均数. 如果总体的N个变量值中，不同的值共有k(k≤N)个，不妨记为Y1，Y2，…，Yk，其中Yi出现的频数fi(i=1，2，…，k)，则总体均值还可以写成加权平均数的形式=fiYi. 如果从总体中抽取一个容量为n的样本，它们的变量值分别为y1，y2，…，yn，则称==yi为样本均值，又称样本平均数.我们常用样本平均数去估计总体平均数. 考点清单2 分层随机抽样 一、分层随机抽样的定义 1.分层随机抽样：一般地，按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体，每个个体属于且仅属于一个子总体，在每个子总体中独立地进行简单随机抽样，再把所有子总体中抽取的样本合在一起作为总样本，这样的抽样方法称为分层随机抽样，每一个子总体称为层. 2.比例分配：在分层随机抽样中，如果每层样本量都与层的大小成比例，那么称这种样本量的分配方式为比例分配. 3.分层随机抽样的特点： (1)从分层随机抽样的定义可看出，分层随机抽样适用于总体由差异明显的几个部分组成的情况. (2)分层随机抽样是等可能抽样.用分层随机抽样从个体数为N的总体中抽取一个容量为n的样本时，在整个抽样过程中，每个个体被抽到的可能性相等，都等于. (3)分层随机抽样是建立在简单随机抽样的基础之上的，由于它充分利用了已知信息，因此利用它获取的样本更具有代表性，更能充分反映总体的情况，在实践中的应用也更广泛. 二、分层随机抽样的应用 比例分配的分层随机抽样的实施步骤： 第一步，按某种特征将总体分成若干部分(层)； 第二步，计算各层所占比例.所占比例=； 第三步，计算各层抽取的个体数，各层抽取的个体数=总样本量×各层所占比例； 第四步，按简单随机抽样从各层抽取样本； 第五步，综合每层抽样，组成样本. 三、用分层随机抽样的样本平均数估计总体平均数 如果总体分为2层，两层包含的个体数分别为M，N，两层抽取的样本量分别为m，n，两层的样本平均数分别为，，两层的总体平均数分别为，，总体平均数为，样本平均数为，则=+，=+.因此，在比例分配的分层随机抽样中，我们可以直接用样本平均数估计总体平均数. 四、获取数据的基本途径 获取数据的基本途径　 适用类型 注意问题 通过调查获取数据 对于有限总体问题，一般通过抽样调查或普查的方法获取数据 要充分有效地利用背景信息选择或创建更好的抽样方法，并有效避免抽样过程中的人为错误 通过试验获取数据 没有现存的数据可以查询 严格控制试验环境，通过精心的设计安排试验，以提高数据质量 通过观察获取数据 自然现象 借助专业测量设备通过长久的持续观察获取数据 通过查询获得数据 众多专家研究过，其收集的数据有所存储 必须根据问题背景知识“清洗”数据，去伪存真 考点清单3 频率分布直方图 一、频率分布直方图的概念 1.制作频率分布直方图的步骤 (1)求极差：即一组数据中最大值与最小值的差. (2)决定组距与组数：组距与组数的确定没有固定的标准，数据分组的组数与数据的个数有关，一般数据的个数越多，所分组数也越多.当样本量不超过100时，常分成5~12组.为方便起见，一般取等长组距，并且组距应力求“取整”. (3)将数据分组：当所有组距的长度超过极差时，我们可以使第一组的左端点略小于数据中的最小值，最后一组的右端点略大于数据中的最大值. (4)列频率分布表：计算各小组的频率，第i组的频率=. (5)画频率分布直方图：横轴表示分组，纵轴表示，这里，实际上就是频率分布直方图中各小长方形的高度，它反映了各组样本观测数据的疏密程度.因为小长方形的面积=组距×=频率，所以各小长方形的面积表示相应各组的频率.这样，频率分布直方图就以面积的形式反映了数据落在各个小组的频率的大小.容易知道，在频率分布直方图中，各小长方形的面积的总和等于1，即样本数据落在整个区间的频率为1. 2.频数分布表的四个特征： (1)频率分布表中的数字与分组数(组距)有关，分组数的变化可引起频率分布结构的变化. (2)随机性：频率分布表由样本决定，因此会随着样本的改变而改变. (3)规律性：根据频率趋近于概率的原理，若固定分组数，随着样本容量的增加，频率分布表中的各个频率会稳定于总体分布在相应分组的概率. (4)频率和等于1. 3.频率分布表和频率分布直方图的优缺点 (1)频率分布表反映具体数据在各个不同区间的取值频率，但不够直观、形象，对分析数据分布的总体态势不太方便. (2)频率分布直方图能够直观地表明数据分布的形状，一般呈中间高、两端低、左右对称的“峰”状结构.但是从直方图本身得不到具体的数据内容，也就是说，将数据表示成直方图以后，原始数据不能在图中表示出来. 二、频率分布直方图的应用 　(1)频率分布直方图的性质 ①因为小矩形的面积=组距×=频率，所以各小矩形的面积表示相应各组的频率.这样，频率分布直方图就以面积的形式反映了数据落在各个小组内的频率大小. ②在频率分布直方图中，各小矩形的面积之和等于1. ③=样本量. (2)频率分布直方图反映了样本在各个范围内取值的可能性，由抽样的代表性利用样本在某一范围内的频率，可近似地估计总体在这一范围内的可能性. 三、几种不同的统计图 统计图 图示 分析 条形图 用一个单位长度表示一定的数量或频率，根据数量的多少或频率的大小画成长短不同的矩形条，条形图能清楚地表示出每个项目的具体数目或频率. 扇形图 用整个圆面积表示总数(100%)，用圆内的扇形面积表示各个部分所占总数的百分数. 折线图 在画折线图时，要注意明确横轴、纵轴的实际含义. 直方图 能够直观地表明数据分布的形状，一般呈中间高、两端低、左右对称的“峰”状结构.但是从直方图本身得不到具体的数据内容， 考点清单4 百分位数的定义 1.一组数据的第p百分位数的定义：一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有p%的数据小于或等于这个值，且至少有(100-p)%的数据大于或等于这个值. 2.计算一组n个数据的第p百分位数的步骤： 第1步，按从小到大排列原始数据. 第2步，计算i=n×p%. 第3步，若i不是整数，而大于i的比邻整数为j，则第p百分位数为第j项数据；若i是整数，则第p百分位数为第i项与第(i+1)项数据的平均数. 3.一组数据常用的分位数： (1)中位数相当于是第50百分位数.除了中位数外，常用的分位数还有第25百分位数，第75百分位数. (2)第25，50，75百分位数，这三个分位数把一组由小到大排列后的数据分成四等份，因此称为四分位数. (3)第25百分位数也称为第一四分位数或下四分位数等，第75百分位数也称为第三四分位数或上四分位数等. 由频率分布直方图求百分位数的方法 (1)要注意频率分布直方图中小矩形的面积，就是数据落在该组的频率. (2)可采用方程的思想，设出第p百分位数，根据其意义列出方程并求解即可. 考点清单5 众数、中位数、平均数 一、众数、中位数、平均数 1.众数：一组数据中出现次数最多的数. 2.中位数：把一组数据按从小到大(或从大到小)的顺序排列后，当数据个数是奇数时，处在最中间的数是中位数；当数据个数是偶数时，最中间两个数的平均数是中位数. 3.平均数：如果有n个数x1，x2，…，xn， 那么=(x1+x2+…+xn)叫做这n个数的平均数. 二、总体集中趋势的估计 众数、中位数、平均数的意义 (1)样本的众数、中位数和平均数常用来表示样本数据的“中心值”，其中众数和中位数容易计算，不受少数几个极端值的影响，但只能表达样本数据中的少量信息，平均数代表了数据更多的信息，但受样本中每个数据的影响，越极端的数据对平均数的影响也越大. (2)当一组数据中有不少数据重复出现时，其众数往往更能反映问题，当一组数据中个别数据较大时，可用中位数描述其集中趋势. 三、利用频率分布直方图估计总体的集中趋势 利用频率分布直方图求众数、中位数以及平均数的方法 (1)众数即为出现次数最多的数，所以它的频率最高，在最高的小矩形中.中位数即为从小到大中间的数(或中间两数的平均数).平均数为每个小矩形底边中点的横坐标与小矩形面积乘积之和. (2)用频率分布直方图求得的众数、中位数不一定是样本中的具体数. 考点清单6 方差、标准差 一、方差、标准差 1.假设一组数据为x1，x2，…，xn，则这组数据的平均数为=，方差为s2=(xi-)2，标准差为s=. 2.如果总体中所有个体的变量值分别为Y1，Y2，…，YN，总体平均数为，则称S2=(Yi-)2为总体方差，S=为总体标准差. 3.总体方差的加权形式：如果总体的N个变量值中，不同的值共有k(k≤N)个，不妨记为Y1，Y2，…，Yk，其中Yi出现的频数为fi(i=1，2，…，k)，则总体方差为S2=fi(Yi-)2. 二、分层随机抽样的方差 假设第一层有m个数，分别为x1，x2，…，xm，平均数为，方差为s2；第二层有n个数，分别为y1，y2，…，yn，平均数为，方差为t2.则=xi，s2=(xi-)2，=yi， t2=(yi-)2. 若记总的样本平均数为，样本方差为b2，则可以算出 =xi+yi)=， b2= =. 考点题型·巩新知 考点一 简单随机抽样 1．某工厂利用随机数表对生产的40个零件进行抽样测试，先将40个零件进行编号，编号分别为，从中抽取8个样本，下面提供随机数表的第1行到第3行： 0347，4373，8636，9647，3661，4698，6371，6202 9774，2467，6242，8114，5720，4253，3237，3214 1676，0227，6656，5026，7107，3290，7978，5336 若从表中第2行第7列开始向右依次读取数据，则得到的第5个样本编号是（    ） A．37 B．32 C．14 D．16 【答案】D 【分析】根据随机数表法的应用，按照已知的要求选出五个三个数字组成编号即可． 【详解】依题意从第2行第7列开始的数为67（舍去），62（舍去），42（舍去），81（舍去），14， 57（舍去），20，42（舍去），53（舍去），32，37，32（舍去），14（舍去），16， 则满足条件的5个样本编号为14，20，32，37，16，则第5个编号为16． 故选：D 2．已知一个总体中有个个体，用抽签法从中抽取一个容量为的样本，若每个个体被抽到的可能性是，则（    ） A．10 B．20 C．40 D．不确定 【答案】C 【分析】抽签法可知每个个体被抽到的可能性均为，即可得到方程，解得即可. 【详解】根据抽签法可知每个个体被抽到的可能性均为， 依题意可得，解得. 故选：C 3．从某班学号为1到10的十名学生（其中含学生甲）中抽取3名学生参加某项调查，现用抽签法抽取样本（不放回抽取），每次抽取一个号码，共抽3次，设甲第一次被抽到的可能性为，第二次被抽到的可能性为，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】由题意结合简单随机抽样的特征即可确定实数，的值. 【详解】由简单随机抽样的定义知，每个个体在每次抽取中都有相同的可能性被抽到， 因为每次抽取一个号码，所以甲第一次被抽到的可能性为， 第二次被抽到的可能性为. 即甲同学在每次抽样中被抽到的可能性都是，所以，. 故选：D. 4．某工厂利用随机数表对生产的700个零件进行抽样测试，先将700个零件进行编号，001，002，……，699，700．从中抽取70个样本，若从下图提供随机数表中第1行第6列开始向右读取数据，则得到的第4个样本编号是 . 84 42 12 53 31 34 57 86 07 36 25 30 07 32 86 23 45 78 89 07 23 68 96 08 04 32 56 78 08 43 67 89 53 55 77 34 89 94 83 75 22 53 55 78 32 45 77 89 23 45 【答案】007 【分析】直接由随机数表依次读取数据即可. 【详解】从表中第1行第6列开始向右读取数据，依次为253，313，457，860（舍去）， 736（舍去），253（舍去），007， 故得到的第4个样本编号是007. 故答案为：007 5．为估计某草场内兔子的数量，使用以下方法：先随机从草场中捕捉兔子100只，在每只兔子的尾巴上作上记号后放回草场.再随机从草场中捕捉60只，若尾巴上有记号的兔子共有10只，估计此草场内约有兔子 只. 【答案】 【分析】利用简单随机抽样，结合样本估计总体可解. 【详解】假设草场约有n只兔子，则，则. 故答案为：600. 考点二 分层随机抽样 6．高一（1）班有学生45人，高一（2）班有学生27人，高一（3）班有学生36人，用分层抽样的方法从这三个班中抽出一部分人组成的方队，进行体操比赛，则高一（1）班、高一（2）班、高一（3）班分别被抽取的人数是（   ） A．15，9，12 B．9，15，12 C．12，9，15 D．15，12，9 【答案】A 【分析】由分层抽样的方法结合题意计算即可. 【详解】利用分层抽样的方法得，高一（1）班应抽出（人）， 高一（2）班应抽出（人）， 高一（3）班应抽出（人）， 则高一（1）班，高一（2）班，高一（3）班分别被抽取的人数是15，9，12， 故选：A. 7．某农场共有300头牛，其中甲品种牛30头，乙品种牛90头，丙品种牛180头，现采用分层抽样的方法抽取60头牛进行某项指标检测，则抽取甲，乙，丙三个品种牛的头数分别为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出抽样比例，进而求解. 【详解】由题意知，抽样比例为， 则， 所以抽取甲，乙，丙三个品种牛的头数分别为. 故选：A 8．某高中的三个年级共有学生1000人，其中高一300人，高二340人，高三360人，该校现在要了解学生对校本课程的看法，准备从全校学生中抽取50人进行访谈，若采取分层抽样，且按年级来分层，则高一年级应抽取的人数是 ． 【答案】 【分析】确定抽样比，即可求解； 【详解】由题意可知抽样比为：， 所以高一年级应抽取的人数是， 故答案为： 9．某校高中部高一、高二、高三人数之比为5:4:3，其中女生有600人，现准备从该校所有高中学生中抽取容量为120的样本.若根据年级采用按比例分配的分层随机抽样，抽取的高三学生为n个人；若根据性别采用按比例分配的分层随机抽样，抽取的女生为m个人，且，则该校高中部学生人数为 . 【答案】1800 【分析】根据给定条件，利用分层抽样的定义列式计算得解. 【详解】设该校高中部高一、高二、高三人数分别为5k，4k，3k， 依题意，，，， 所以该校高中部人数为1800. 故答案为：1800 10．某高中高一年级有学生1440人，高二年级有学生1600人，高三年级有学生1760人.现用分层抽样的方法，从这三个年级学生中抽取n人了解他们的学习情况，其中在高二年级抽取了100人，则 . 【答案】300 【分析】根据题意求得每个学生抽到的概率，结合分层抽样列出方程，即可求解. 【详解】利用分层抽样的方法从三个年级中抽取了n人进行问卷调查，其中高二年级抽取了100人，高二年级共有1600人， 则每个学生被抽到的概率为， 可得，解得（人）， 故答案为：. 考点三 百分位数的计算 11．2024年巴黎奥运会奖牌榜前8名的金牌数依次为40，40，20，18，16，16，14，12，这组数据的下四分位数为（   ） A．13 B．13.5 C．15 D．15.5 【答案】C 【分析】将数据从小到大排列，根据下四分位数的含义求解，即可得答案. 【详解】将这组数据从小到大排列为：12，14，16，16，18，20，40，40， 由于，故这组数据的下四分位数为， 故选：C 12．某学校组织学生开展环保知识测试活动，现把100名学生的成绩绘制成了如图所示的频率分布直方图，根据图中数据得（   ） A．，此样本数据的66%分位数为82.5 B．，此样本数据的66%分位数为82.5 C．，此样本数据的66%分位数为85 D．，此样本数据的66%分位数为85 【答案】B 【分析】利用概率和为1可求，利用百分位数的定义可求66%分位数，从而可得结论. 【详解】由频率分布直方图得：，解得， 数据在的频率为，数据在的频率为0.84， 因此此样本数据的66%分位数，由，解得， 所以估计此样本数据的66%分位数为82.5. 故选：B. 13．2022年月以来我国南方遭受严重洪灾，为了弘扬“一方有难，八方支援”的中国精神，某校举行募捐活动，下表是某班名同学捐款的频数分布表，若第分位数为，第分位数为，则（    ） 捐款金额元 频数 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据百分位数的运算法则计算出从而计算出. 【详解】因为，所以按从小到大排列取第、项数据的平均数，其平均数为，所以． 因为，所以按从小到大排列取第、项数据的平均数，其平均数为，所以，所以． 故选：D 14．某工厂生产了500件产品，质检人员测量其长度 (单位: 厘米)，将测量数据分成6组， 整理得到如图所示的频率分布直方图. 如果要让 90% 的产品长度不超过厘米，根据直方图估计，下列最接近的数是（   ） A．93.5 B．94.1 C．94.7 D．95.5 【答案】C 【详解】根据给定的频率分布直方图，结合第90百分位数求出. 【解答】观察频率分布直方图，得， 则，，所以，与最接近的数为. 故选：C 15．已知一组数据的第60百分位数为2，其中，则这组数据的极差为 . 【答案】2或3 【分析】先根据百分位数为2求的值，进而可得. 【详解】因为，故第60百分位数为第5位数， 当时，将数据从小到大排列为，第5位数为2，满足题意，此时极差为， 当时，将数据从小到大排列为，第5位数为2，满足题意，此时极差为， 当时，将数据从小到大排列为，第5位数为，不满足题意， 故这组数据的极差为2或3. 故答案为：2或3. 考点四 平均数 众数和中位数的计算 16．10名工人某天生产同一零件，生产的件数是15、17、14、10、15、17、17、16、14、12，设其平均数为，中位数为，众数为，则有（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】借助平均数、中位数与众数定义计算即可得. 【详解】将这些数从小到大重新排列为：10、12、14、14、15、15、16、17、17、17， 故其中位数，众数， 平均数， 故. 故选：B. 17．在一次业余歌唱比赛中，随机从观众中抽出10人担任评委．下面是他们给某位选手的打分情况： 43 44 45 45 46 48 49 49 50 51 设这10个分数的平均数为，再从中去掉一个最高分，去掉一个最低分，设剩余8个分数的平均数为，则（   ） A． B．且 C．且 D．且 【答案】A 【分析】根据平均数的概念直接计算可得结果. 【详解】由题意得，， ， ∴. 故选：A. 18．为了研究我市甲、乙两个旅游景点的游客情况，文旅局统计了今年4月到9月甲、乙两个旅游景点的游客人数（单位：万人），得到如图所示的折线图.根据两个景点的游客人数的折线图，下列说法正确的是（   ） A．7，8，9月份的总游客人数甲景点比乙景点少 B．乙景点4月到9月的游客人数总体呈上升趋势 C．甲景点4月到9月游客人数的平均值在内 D．甲、乙两景点4月到9月中游客量的最高峰期都在8月 【答案】AB 【分析】根据折线图分别求游客数判断A,根据递增及最高峰判断B,D,再计算平均值判断C. 【详解】由游客人数折线图可知，甲景点7，8，9月份的总游客人数为， 乙景点的7，8，9月份的总游客人数为，，A正确； 根据乙景点的游客人数折线图可知乙景点每月的游客人数逐月增多，所以总体呈上升趋势，故B正确； 甲景点游客人数的平均值为，，C错误； 由游客人数折线图可知，甲景点4月到9月中游客量的最高峰期在8月，乙景点4月到9月中游客量的最高峰期在9月，D错误. 故选:AB. 19．央视“朗读者”节目感动无数观众，某中学开展了“我爱朗读”读书活动，为了解5月份全校学生读书情况，随机调查了八年级50名学生读书的册数，统计数据如下表所示：关于这组数据，下列说法错误的是（    ） 册数 0 1 2 3 4 人数 3 13 16 17 1 A．中位数是2 B．众数是3 C．平均数是2 D．方差是2． 【答案】D 【分析】利用众数，中位数，平均数的定义及方差公式，即可得出答案． 【详解】A.∵将这组样本数据按从小到大的顺序排列，其中处于中间的两个数都是2， ∴这组数据的中位数为2，故A正确，不符合题意； B.∵这组样本数据中，3出现了17次，出现的次数最多， ∴这组数据的众数是3；故B正确，不符合题意； C.由题可知这组样本数据的平均数为：，故C正确，不符合题意； D.方差为： ，故D错误，符合题意， 故选：D． 20．为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试，得分（十分制）如图所示，假设得分的中位数为，众数为，平均值为，则（    ）      A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据中位数、众数、平均数的知识确定正确答案. 【详解】中位数，众数为， 平均数为， 所以，所以B选项正确，其它选项错误. 故选：B 考点五 总体平均数、众数和中位数的估计值 21．某校期中考试后，为分析100名高三学生的数学学习情况，整理他们的数学成绩得到如图所示的频率分布直方图．则下列结论错误的是（   ） A．估计数学成绩的众数为75 B． C．估计数学成绩的75百分位数约为85 D．估计成绩在80分及以上的学生的平均分为87.50 【答案】B 【分析】根据众数的概念可得选项A正确；利用长方形面积之和为1可得选项B错误；根据百分位数的概念可得选项C正确；根据加权平均数的计算方法可得选项D正确. 【详解】估计数学成绩的众数为（分），A选项正确. 根据题意可得，∴， B选项错误. ∵前四组的频率依次为0.1，0.15，0.35，0.3， ∴估计数学成绩的75百分位数约为（分），C选项正确. ∵成绩在80分及以上的学生的两组的频率之比为， ∴估计成绩在80分及以上的学生的平均分为，D选项正确． 故选：B． 22．某市高一年级举行了一次数学竞赛，从所有参加竞赛的名学生中随机抽取了一部分学生，经统计这部分学生的成绩全部介于至之间，将成绩数据按照分组，作出频率分布直方图如图所示，则（    ） A． B．估计全市高一年级数学竞赛成绩不低于分的有人 C．估计全市高一年级数学竞赛成绩的平均分是 D．估计全市高一年级数学竞赛成绩的中位数约为 【答案】ABC 【分析】由所有矩形条的面积和为，列方程求，判断A，由频率分布直方图求成绩不低于分的频率，再由频率频数样本量的关系，求结论，判断B，根据平均数的计算公式求平均数，判断C，根据中位数定义求中位数判断D. 【详解】对于A，由频率分布直方图，得，解得，故A正确； 对于B，成绩不低于分的频率为，所以估计成绩不低于分的有人，故B正确； 对于C，成绩的平均值，故C正确； 对于D，成绩在，的频率依次为， 显然中位数，则，解得，故D错误. 故选：ABC. 23．为激发户外运动爱好者健身热情，增进群众健身获得感、幸福感. 某市体育部门随机抽取200名群众进行每天体育运动时间的调查，按照时长(单位:分钟)分成6组:[30，40)，[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90]. 处理后绘制了如下图的频率分布直方图. (1)求图中的值； (2)求运动时长在[50，70)的样本群众人数； (3)估计该市群众每天体育运动时间的众数、平均数、中位数(保留1位小数). 【答案】(1) (2)90（人） (3)众数为，平均数，中位数为. 【分析】（1）根据频率和为1计算求参即可； （2）先求出的频率再计算频数即可； （3）应用频率分布图计算众数，平均数及中位数定义分别计算求解即可. 【详解】（1）根据题意， ， 解得. （2）运动时长为的频率为 所以运动时长为的样本群众人数为（人） （3）由图可知，该市群众每天体育运动时间的众数约为. 该市群众每天体育运动时间的平均数约为 由题意知， 前两组的频率为， 前三组的频率为. 所以 中位数在50和60之间，设为x，则+ (，解得， 即该市群众每天体育运动时间的中位数约为. 24．课外阅读有很多好处，可以帮助提高阅读能力、拓展知识面、提高思维能力、提高情感素养和提高人际交往能力.某校为了解学生课外阅读的情况，随机统计了名学生的一个学期课外阅读时间（单位：小时），所得数据都在内，将所得的数据分成4组：，，，，得到如图所示的频率分布直方图，现知道课外阅读时间在内的有80人.    (1)求和的值； (2)估计该校学生一个学期课外阅读时间的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）； (3)求所得数据的中位数. 【答案】(1) (2)105 (3)106.25 【分析】（1）根据频率公式和频率和为1列出方程，即可得解； （2）根据频率分布直方图中平均数计算公式计算即可； （3）根据频率分布直方图中中位数计算公式计算即可. 【详解】（1）根据题意，时间在内的有80人，频率为， 所以， 再由频率分布直方图可知：， 解得 ； （2）估计该校学生一个学期课外阅读时间的平均数为： ； （3）显然中位数位于内，设中位数为， 则， 解得：. 25．为了解某校高一年级学生数学学习的阶段性表现，年级组织了一次阶段测试.已知此次考试共有450名学生参加，考试成绩的频率分布直方图如图所示（同一组中的数据以该区间的中点值为代表）. (1)求a的值； (2)估计这次数学考试成绩的众数、中位数和平均数（结果保留两位小数）； (3)估计该校学生的数学成绩的第70百分位数（结果保留两位小数）. 【答案】(1) (2)众数为65，中位数为67.69，平均成绩为67.60 (3)第70的分位数为75.83 【分析】（1）由频率分布直方图面积为1，求解即可； （2）由众数、中位数、平均数的计算公式即可求解； （3）由百分位数的计算公式即可求解； 【详解】（1）由，解得. （2）由频率分布直方图知：众数为65，设中位数为x， 因为，，故中位数位于内， 则有，解得. 所以中位数为67.69. 这次数学考试的平均成绩为 . （3）成绩小于70分所占的比例为， 成绩小于80分所占的比例为， 所以第70的分位数在内， 所以第70的分位数为. 考点六 极差 方差和标准差的计算 26．已知甲、乙两组数可分别用图（1）、（2）表示，记甲、乙两组数的平均数和方差分别为、、、，则它们的大小关系是（   ）    A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】分类计算两组数的均值与方差后可得正确的选项. 【详解】， 故， ， ，故， 故选：B. 27．已知一组样本数据：2，2，0，2，4，1，3，则下列关于该组样本数据说法正确的是（   ） A．极差是4 B．众数不等于平均数 C．方差是 D．分位数是3 【答案】AD 【分析】由数据的最大值减去最小值可得极差，即可判断；出现次数最多的为众数，求出7个数据的平均数即可判断；根据方差公式求解即可判断；将数据从小到大排序，由百分位数的计算方法即可求解. 【详解】对于，由已知样本数据的最大值为，最小值为，所以极差为，故正确； 对于，样本数据的众数为，平均数为， 所以众数等于平均数，故错误； 对于，方差为，故错误； 对于，将数据按照从小到大的顺序排列可得，，，，，，， 因为，所以分位数是，故正确. 故选：. 28．已知一组数据，的极差为m，平均数为a，方差为b，另外一组数据的极差为9，平均数为11，方差为13，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据极差，平均数和方差的计算公式，通过计算，然后判断选项的正误. 【详解】假设最小，最大，则， 若,则另外一组数据最小，最大， 此时极差为，A错误. 易得所以，B，D正确，C错误. 故选：BD. 29．甲、乙两名运动员参加射击选拔赛，两人在相同条件下各射击次，组委会从两人的成绩中各随机抽取次成绩（满分分），如下表所示： 甲射击成绩 乙射击成绩 (1)分别求出甲、乙两名运动员次射击成绩的平均数与方差； (2)判断哪位运动员的射击成绩更好? 【答案】(1)平均数均为，甲成绩方差为，乙成绩方差为 (2)甲运动员的射击成绩更好 【分析】（1）根据平均数和方差求法直接求解即可； （2）对比平均数和方差即可得到结论. 【详解】（1）甲运动员次射击成绩的平均数为； 乙运动员次射击成绩的平均数为； 甲运动员次射击成绩的方差为； 乙运动员次射击成绩的方差为； （2）甲、乙两名运动员的平均成绩相同，方差， 甲运动员的射击成绩更稳定，即甲运动员射击成绩更好. 30．某机构对100名菜农去年种植销售的蔬菜重量（单位：吨）进行了统计调查，将得到的数据按，，，分为4组，画出的频率分布直方图如图所示. (1)求m； (2)估计这100名菜农去年种植销售的蔬菜重量的中位数； (3)估计这100名菜农去年种植销售的蔬菜重量的平均数与方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表）. 【答案】(1). (2)37.5吨. (3)平均数为37吨，方差为81. 【分析】(1)由频率直方图以及频率和为1列出方程即可求得 (2)结合频率分布直方图和中位数定义先确定中位数所在区间，再列式求出中位数. (3)应用均值和方差公式可求解. 【详解】（1）由图可得，得. （2）设这100名菜农去年种植销售的蔬菜重量的中位数的估计值为， 因为第一组和第二组数据的频率之和为（0.01+0.03）×10=0.4<0.5， 第一组、第二组和第三组数据的频率之和为（0.01+0.03+0.04）×10=0.8>0.5. 所以，由，得. 故这100名菜农去年种植销售的蔬菜重量的中位数约为37.5吨. （3）估计这100名菜农去年种植销售的蔬菜重量的平均数吨， 方差 考点七 平均数和方差的性质 31．已知一组数据的平均数为，标准差为，则数据的平均数和方差分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】根据数据的平均数与方差的性质求解即可. 【详解】由题知，，， 所以，的平均数为， 的方差分别. 故选：C. 32．已知某9个数据的平均数为6，方差为5，现又加入一个新数据6，此时这10个数的平均数和方差分别为（    ） A．6， B．6， C．5， D．5，5 【答案】A 【分析】依据一组数据的平均数定义和方差定义，再利用题给条件去求这10个数的平均数和方差即可解决 【详解】设原9个数据分别为， 现又加入一个新数据6，此时这10个数为，6 则这10个数的平均数 这10个数的方差 故选：A 33．已知数据的平均数和方差分别为4，10，那么数据的平均数和方差分别为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用平均数与方差的运算性质求解即可． 【详解】设数据的平均数和方差分别为和， 即，， 则的平均数为， 方差为 由数据的平均数和方差分别为4，10， 所以，，解得. 故选：D. 34．已知数据的平均数为，方差为，由生成新数据，则（   ） A．新数据的平均数为 B．新数据的方差为 C．新数据的中位数一定比原数据的中位数大 D．新数据的极差一定比原数据的极差大 【答案】AD 【分析】A.利用平均数的定义判断；B.利用方差的定义判断；C. 利用中位数的定义判断；D.利用极差的定义判断. 【详解】A.新数据的平均数为，故正确； B.新数据的方差为 ，故错误； C. 设原数据的中位数为m，则新数据的中位数为， 当时，；当时，；当时，，故错误； D. 原数据的极差为，新数据的极差，故正确； 故选：AD 35．一组数据的平均数为1，方差为5，记的平均数为，方差为则 . 【答案】2025 【分析】根据期望和方差的性质即可求解. 【详解】由题意可得， 故， 故答案为：2025 考点八 平均数和方差的分析 36．已知样本数据，若去掉其中的最大数与最小数，则下列统计量不会变化的是（   ） A．平均数 B．中位数 C．标准差 D．极差 【答案】B 【分析】直接求出和的平均数、中位数、标准差、极差，即可求解. 【详解】因为样本数据的平均数为， 中位数为，标准差为， 极差为， 又的平均数为，中位数为， 标准差为，极差为， 故选：B. 37．已知一个样本，样本容量为10，平均数为15，方差为3，现从样本中去掉一个数据，此时样本的平均数为，方差为，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】根据平均数和方差的计算公式分别进行分析即可. 【详解】设个数据为， 因为，所以； 又因为， 且， 所以， 故选：C. 38．是，，，的平均数，是，，，的平均数，是，，，的平均数，则下列各式正确的是 A． B． C． D． 【答案】A 【详解】分析：根据题意，由是，，，的平均数，结合平均数的计算公式，可得，同理得出；结合上述，从而得到，将其代入求平均数的公式中，计算可得出答案. 详解：因为是，，，的平均数，所以，同理，则有，故选A. 点睛：该题主要考查平均数的相关计算，解题的关键在于掌握平均数的计算公式；在解题的过程中，寻找等量关系式就显得尤为重要. 39．有一组样本数据，由这组数据得到新样本数据，其中，则（    ） A．两组样本数据的样本平均数相同 B．两组样本数据的样本极差相同 C．两组样本数据的样本中位数相同 D．两组样本数据的样本标准差相同 【答案】BD 【分析】根据平均数、极差、中位数和标准差的定义判断. 【详解】，故A错； 设，则两组样本数据的样本极差都为，故B正确； 若原样本数据的中位数为，则新样本数据的中位数为，故C错； ，故D正确. 故选：BD. 40．有一组样本数据，，，，其中，由这组数据得到新样本数据，，，，则（    ） A．两组样本数据的极差一定相等 B．两组样本数据的平均数一定相等 C．两组样本数据的中位数可能相等 D．两组样本数据的方差可能相等 【答案】BCD 【分析】通过特殊值的思路，结合极差、平均数、中位数和方差的定义判断. 【详解】取原样本数据为，，，，则新样本数据为，，，， 所以两组样本数据的极差不一定相等，中位数有可能相等，所以A选项错误，C选项正确； 因为，所以两组样本数据的平均数一定相等，B选项正确； 取原样本数据为，，，，则新样本数据为，，，，两组样本数据的方差可能相等，D选项正确. 故选：BCD. 考点九 分层随机抽样的平均数和方差的计算 41．某中学从高一学生中抽取了50名男生，50名女生调查高一学生身高的情况.已知所有这100名学生身高的方差为48，其中50名男生身高的平均数为，方差为16，50名女生身高的平均数为，则50名女生身高的方差为（    ） A．15 B．24 C．30 D．36 【答案】C 【分析】利用分层抽样的平均数公式、方差公式分别计算即得. 【详解】设男生身高的平均数和方差分别是，女生身高的平均数和方差分别是， 则，， 可得所有100名学生身高的平均数. 所有100名学生身高的方差， 即，解得. 故选：C. 42．已知全校共3000名学生，其中有1800名男生，1200名女生，为调查学生的身高情况，按分层随机抽样的方法抽取20名学生的身高作为样本，样本中男生身高的平均数为170，方差为30，女生身高的平均数为160，方差为45，则利用样本估计总体的平均数为 ，估计总体的方差为 . 【答案】 166 60 【分析】根据分层抽样的定义求出所抽取的男女生人数，然后结合已知数据可估计总体的平均数和方差. 【详解】由题意得抽取20名学生中，男生有名，女生有名， 因为样本中男生身高的平均数为170，方差为30，女生身高的平均数为160，方差为45， 所以利用样本估计总体的平均数为， 估计总体的方差为. 故答案为：166，60. 43．2024年以来，四川省文化和旅游厅制定出台推动文旅市场恢复振兴的系列措施，为进一步发展四川文旅，提升四川经济，在5月份对来川旅游的部分游客发起满意度调查，从饮食、住宿、交通、服务等方面调查旅客满意度，满意度采用百分制，统计的综合满意度绘制成如下频率分布直方图，图中． (1)求图中a的值并估计满意度得分的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； (2)若有超过的人满意度在75分及以上，则认为该月文旅成绩合格．四川省5月份文旅成绩合格了吗? (3)四川文旅6月份继续对来川旅游的游客发起满意度调查，采用样本量比例分配的分层随机抽样，现知6月1日-6月15日调查的4万份数据中其满意度的平均值为80，方差为75；6月16日-6月30日调查的6万份数据中满意度的平均值为90，方差为70．由这些数据计算6月份的总样本的平均数与方差． 【答案】(1)，79.5 (2)合格 (3)总样本平均值为86，总样本方差为96 【分析】（1）利用频率分布直方图中各个小矩形的面积之和为1，可求出a的值，再利用平均数的定义求解； （2）超过的人满意度在75分及以上，即为分位数大于或等于75，利用百分位数的定义求解； （3）利用分层随机抽样的均值和方差公式求解. 【详解】（1）由题意知，解得． 估计满意度得分的平均值为． （2）超过的人满意度在75分及以上，即为分位数大于等于75， 因为满意度在的频率为，满意度在的频率为， 可知分位数位于． 则，可以估计40%分位数为， 所以有超过60%的人满意度在75分及以上，河北省5月份文旅成绩合格了． （3）把6月1日-6月15日的样本记为，其平均数记为，方差记为， 把6月16日-6月30日的样本记为，其平均数记为，方差记为， 则总样本平均数， 则总样本方差 ， 所以总样本平均值为86，总样本方差为96. 44．某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六组：，，，，，，得到如图所示的频率分布直方图． (1)求频率分布直方图中的值与样本成绩的第80百分位数； (2)在样本答卷成绩为，，的三组市民中，用分层抽样的方法抽取13个，则样本的答卷成绩在中的市民应抽取多少个？ (3)若落在的平均成绩是57，方差是2，落在的平均成绩为69，方差是5，求这两组成绩的总平均数和总方差． 【答案】(1)0.03；第80百分位数为86． (2)6人 (3)65；36 【分析】（1）根据每组小矩形的面积之和为1求出，判断出第80百分位数，进而可得答案； （2）先求出抽样比，再利用分层抽样的性质即可求解； （3）利用分层抽样的平均数和方差的计算公式即可求解. 【详解】（1）， ． 成绩落在内的频率为， 落在内的频率为， 显然第80百分位数， ，解得， 第80百分位数为86． （2）由频率分布直方图知，样本成绩为，，的三组答卷的市民有个样本， 成绩在的市民人数为， 用分层抽样的方法应在答卷成绩为的市民中，抽取人． （3）由频率分布直方图知，成绩在的市民人数为， 成绩在的市民人数为， 总平均数， 总方差为． 45．某地区有小学生9000人，初中生8600人，高中生4400人，教育局组织网络“防溺水”网络知识问答，现用分层抽样的方法从中抽取220名学生，对其成绩进行统计分析，得到如下图所示的频率分布直方图所示的频率分布直方图. (1)成绩位列前10%的学生平台会生成“防溺水达人”优秀证书，试估计获得“防溺水达人”的成绩至少为多少分； (2)已知落在内的平均成绩为67，方差是9，落在内的平均成绩是73，方差是29，求落在内的平均成绩和方差. 【答案】(1) (2)平均数为，方差为. 【分析】（1）依题意可知题目所求是第分位数，先判断第分位数落在哪个区间再求解即可； （2）先求出每组的比例，再根据分层随机抽样的平均数及方差求解即可. 【详解】（1）前4组的频率之和为， 前5组的频率之和为， 第分位数落在第5组，设为x，则，解得. “防溺水达人”的成绩至少为分. （2））的频率为，）的频率为， 所以的频率与的频率之比为 的频率与的频率之比为 设内的平均成绩和方差分别为， 依题意有，解得 ，解得， 所以内的平均成绩为，方差为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$