专题02 平面向量的基本定理及坐标运算9种常考题型总结（河北专用）-【好题汇编】备战2024-2025学年高一数学下学期期末真题分类汇编

专题02 平面向量的基本定理及坐标运算9种常考题型总结 题型概览 题型01 基底的判断 题型02 用基底表示向量 题型03 向量线性运算的坐标表示 题型04 利用坐标求向量共线问题 题型05 向量数量积的坐标表示 题型06 向量垂直的坐标表示 题型07 利用坐标求向量的夹角 题型08 利用坐标求向量的模长 题型09 利用坐标求投影向量 ( 题型01 ) 基底的判断 1．（2018春•增城区期末）设，是平面内一组基底，则下面四组向量中，能作为基底的是　　 A．与 B．与 C．与 D．与 ( 题型02 ) 用基底表示向量 2．（2024春•张家口期末）如图，在中，是线段上的一点，且满足，则　　 A． B． C． D． 3．（2024春•邢台期末）已知平行四边形的对角线和相交于点，且为线段中点，则　　 A． B． C． D． （多选）4．（2024春•唐山期末）已知平行四边形的两条对角线交于点，则　　 A．B． C． D． 5．（2023春•曹妃甸区校级期末）如图所示，点为的边的中点，为线段上靠近点的四等分点，则　　 A． B． C． D． 6．（2022秋•石家庄期末）中，点是的中点，点为上一点，与交于点，且，．则　　 A． B． C． D． 7．（2023春•沧州期末）在中，点满足，若线段上的一点满足，则的取值范围是 　　． ( 题型03 ) 向量线性运算的坐标表示 8．（2023春•长安区校级期末）已知向量，向量，若，则的值为 　　． 9．（2023秋•河北期末）已知向量满足，，则　　 A．2 B．1 C． D． ( 题型04 ) 利用坐标求向量共线问题 10．（2023秋•保定期末）已知命题，，与共线，命题，则是的　　 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 11．（2023秋•唐山期末）已知向量，，若与共线，则实数　　． 12．（2023春•河北期末）已知向量，则下列选项中与共线的单位向量是　　 A． B． C． D． 13．（2023春•辛集市期末）在中，为上的中线，为的中点，，分别为线段，上的动点（不包括端点，，，且，，三点共线，若，，则的最小值为　　 A． B． C．2 D． 14．（2024秋•唐山期末）已知向量，，若与平行，则　　 A． B．6 C． D． 15．（2024春•唐县校级期末）在中，三个内角，，所对的边分别为，，，设向量，．若，则角的大小为　　 A． B． C． D． ( 题型0 5 ) 向量数量积的坐标表示 16．（2024春•石家庄期末）在菱形中、为坐标原点、，、则的值为 　　． （多选）17．（2022春•元氏县校级期末）已知平面向量，，，则下列说法正确的是　　 A． B． C．向量与的夹角为 D．向量在上的投影向量为 18．（2016秋•保定期末）若，，则　　 A．2 B．1 C．0 D． ( 题型0 6 ) 向量垂直的坐标表示 19．（2019春•遵化市期末）已知向量，，若，则　　 A．1 B． C．2 D．3 20．（2023春•石家庄期末）已知向量，若与垂直，则　　 A．1 B． C．2 D．4 21．（2023春•饶阳县校级期末）已知向量，，若，则　　 A． B． C． D．2 22．（2023秋•沧州期末）已知，，若与垂直，则　　 A． B． C．2 D． 23．（2024春•河北期末）若向量，，则“”是“”的　　 A．必要不充分条件 B．充要条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 24．（2024春•保定期末）已知向量，，若，则　　． ( 题型0 7 ) 利用坐标求向量的夹角 25．（2024春•邯郸期末）已知向量，且，则向量与向量的夹角为　　 A． B． C． D． 26．（2024春•定州市期末）已知向量，，，且与的夹角为锐角，则的取值范围是 　　（用区间表示）． 27．（2023春•曹妃甸区校级期末）已知，，若与的夹角是锐角，则实数的取值范围是 　　 ． 28．（2022春•定州市期末）已知向量． （1）若，求； （2）若，向量，求与夹角的余弦值． 29．（2018秋•承德期末）已知向量，． （1）求向量与夹角的余弦值； （2）若与垂直，求的值． ( 题型0 8 ) 利用坐标求向量的模长 30．（2023秋•深州市校级期末）已知向量．若，则　　． 31．（2023秋•辛集市期末）已知向量，，若，则　　 A．2 B．3 C．4 D． 32．（2023春•石家庄期末）已知，，且，则　　． ( 题型0 9 ) 利用坐标求投影向量 33．（2024秋•河北期末）已知平面向量，，若在方向上的投影向量为，则　　 A．2 B． C．0 D．1 34．（2024春•高碑店市校级期末）已知向量，则向量在向量方向上的投影向量为 　　． 35．（2024春•莲池区校级期末）已知平面向量，则向量在方向上的投影向量为 　　． 36．（2022秋•桃城区校级期末）已知向量，，向量，，则向量在向量上的投影向量为 　　． 1．（2024春•廊坊期末）古希腊数学家特埃特图斯利用如图所示的直角三角形来构造无理数．已知，，，若，则　　 A． B． C． D． 2．（2024春•邢台期末）已知是所在平面内一点，若，且，设的面积为，的面积为，则　　． 3．（2024春•河北期末）已知向量，． （1）若，求实数的值； （2）若与的夹角为钝角，求实数的取值范围． （多选）4．（2023春•唐山期末）如图，在菱形中，，延长边至点，使得．动点从点出发，沿菱形的边按逆时针方向运动一周回到点，若，则　　 A．满足的点有且只有一个 B．满足的点有两个 C．存在最小值 D．不存在最大值 5．（2023春•石家庄期末）如图，在中，，，为上一点，且满足，若，，则的值为　　． 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 平面向量的基本定理及坐标运算9种常考题型总结 题型概览 题型01 基底的判断 题型02 用基底表示向量 题型03 向量线性运算的坐标表示 题型04 利用坐标求向量共线问题 题型05 向量数量积的坐标表示 题型06 向量垂直的坐标表示 题型07 利用坐标求向量的夹角 题型08 利用坐标求向量的模长 题型09 利用坐标求投影向量 ( 题型01 ) 基底的判断 1．（2018春•增城区期末）设，是平面内一组基底，则下面四组向量中，能作为基底的是　　 A．与 B．与 C．与 D．与 【解析】因为只有两个不共线的两个向量才能作为平面向量的基底，对应选项，，的两个向量都共线，故不能作为基底； 故选：． ( 题型02 ) 用基底表示向量 2．（2024春•张家口期末）如图，在中，是线段上的一点，且满足，则　　 A． B． C． D． 【解析】因为在中，是线段上的一点，且满足， 所以， 所以． 故选：． 3．（2024春•邢台期末）已知平行四边形的对角线和相交于点，且为线段中点，则　　 A． B． C． D． 【解析】如图， ． 故选：． （多选）4．（2024春•唐山期末）已知平行四边形的两条对角线交于点，则　　 A．B． C． D． 【解析】由题意得，故正确，错误； ， 又，， 所以， 又， 所以，故错误，正确． 故选：． 5．（2023春•曹妃甸区校级期末）如图所示，点为的边的中点，为线段上靠近点的四等分点，则　　 A． B． C． D． 【解析】由题意得． 故选：． 6．（2022秋•石家庄期末）中，点是的中点，点为上一点，与交于点，且，．则　　 A． B． C． D． 【解析】因为点是的中点，所以， 故，则， 故， 因为，，三点共线，所以存在使得， 即，则， 所以，解得：． 故选：． 7．（2023春•沧州期末）在中，点满足，若线段上的一点满足，则的取值范围是 　　． 【解析】，，． ，，三点共线， ，，，， ． 故答案为：． ( 题型03 ) 向量线性运算的坐标表示 8．（2023春•长安区校级期末）已知向量，向量，若，则的值为 　　． 【解析】，两边平方后得， 即，解得：． 故答案为：5． 9．（2023秋•河北期末）已知向量满足，，则　　 A．2 B．1 C． D． 【解析】由题意知，向量满足，， 故， 则． 故选：． ( 题型04 ) 利用坐标求向量共线问题 10．（2023秋•保定期末）已知命题，，与共线，命题，则是的　　 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【解析】充分性：由与共线，则，解得或0，是的不充分条件； 必要性：当，时，由，则与共线，是的必要条件． 故选：． 11．（2023秋•唐山期末）已知向量，，若与共线，则实数　　． 【解析】向量，，若与共线， 则，解得． 故答案为：1． 12．（2023春•河北期末）已知向量，则下列选项中与共线的单位向量是　　 A． B． C． D． 【解析】向量， 则， 故与共线的单位向量是， 结合选项可知，正确． 故选：． 13．（2023春•辛集市期末）在中，为上的中线，为的中点，，分别为线段，上的动点（不包括端点，，，且，，三点共线，若，，则的最小值为　　 A． B． C．2 D． 【解析】由题意， 设，， 则， 所以，，得， 所以， 当且仅当，即，时等号成立， 的最小值为． 故选：． 14．（2024秋•唐山期末）已知向量，，若与平行，则　　 A． B．6 C． D． 【解析】向量，， 可得，， 由与平行，可得：，解得：． 故选：． 15．（2024春•唐县校级期末）在中，三个内角，，所对的边分别为，，，设向量，．若，则角的大小为　　 A． B． C． D． 【解析】因为，，且， 所以， 整理得：， 由余弦定理得：， 因为，所以． 故选：． ( 题型0 5 ) 向量数量积的坐标表示 16．（2024春•石家庄期末）在菱形中、为坐标原点、，、则的值为 　　． 【解析】设点的坐标为， 在菱形中、为坐标原点， 则，解得， 故点的坐标为， ， 则． 故答案为：10． （多选）17．（2022春•元氏县校级期末）已知平面向量，，，则下列说法正确的是　　 A． B． C．向量与的夹角为 D．向量在上的投影向量为 【解析】， 则，故错误； ，故正确； ， 又， 所以向量与的夹角为，故错误； 向量在上的投影向量为，故正确． 故选：． 18．（2016秋•保定期末）若，，则　　 A．2 B．1 C．0 D． 【解析】，， ． 故选：． ( 题型0 6 ) 向量垂直的坐标表示 19．（2019春•遵化市期末）已知向量，，若，则　　 A．1 B． C．2 D．3 【解析】根据题意，向量，， 则， 若，则有， 解可得： 故选：． 20．（2023春•石家庄期末）已知向量，若与垂直，则　　 A．1 B． C．2 D．4 【解析】向量， ， 与垂直， ， ，即， ， 故选：． 21．（2023春•饶阳县校级期末）已知向量，，若，则　　 A． B． C． D．2 【解析】向量，，， 则， 故． 故选：． 22．（2023秋•沧州期末）已知，，若与垂直，则　　 A． B． C．2 D． 【解析】，， 则， ，解得． 故选：． 23．（2024春•河北期末）若向量，，则“”是“”的　　 A．必要不充分条件 B．充要条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 【解析】因为，， 所以， 所以“”是“”的充分不必要条件． 故选：． 24．（2024春•保定期末）已知向量，，若，则　　． 【解析】根据题意，向量，，则， 若，则， 解可得：． 故答案为：． ( 题型0 7 ) 利用坐标求向量的夹角 25．（2024春•邯郸期末）已知向量，且，则向量与向量的夹角为　　 A． B． C． D． 【解析】由，得，解得， 由，， 因此，而， 所以． 故选：． 26．（2024春•定州市期末）已知向量，，，且与的夹角为锐角，则的取值范围是 　　（用区间表示）． 【解析】因为与的夹角为锐角，所以且、不共线， 因为，，， 所以且，解得或且， 即实数的取值范围是，，，． 故答案为：，，，． 27．（2023春•曹妃甸区校级期末）已知，，若与的夹角是锐角，则实数的取值范围是 　　 ． 【解析】，，与的夹角是锐角， 则且、不同向，即，解得且， 故实数的取值范围是，，． 故答案为：，，． 28．（2022春•定州市期末）已知向量． （1）若，求； （2）若，向量，求与夹角的余弦值． 【解析】（1）已知向量， 因为，所以， 即，解得， 所以， 故； （2）因为， 所以， 解得， 则． 因为， 所以， 即与夹角的余弦值为， 29．（2018秋•承德期末）已知向量，． （1）求向量与夹角的余弦值； （2）若与垂直，求的值． 【解析】（1）， ； （2）， ， ， 解得． ( 题型0 8 ) 利用坐标求向量的模长 30．（2023秋•深州市校级期末）已知向量．若，则　　． 【解析】根据题意，因为 所以， 由题可知，解得． 故答案为：． 31．（2023秋•辛集市期末）已知向量，，若，则　　 A．2 B．3 C．4 D． 【解析】已知向量，， ， ， ， 则， 则， 故选：． 32．（2023春•石家庄期末）已知，，且，则　　． 【解析】根据题意，已知，，则， 又由，则，必有． 故答案为：3． ( 题型0 9 ) 利用坐标求投影向量 33．（2024秋•河北期末）已知平面向量，，若在方向上的投影向量为，则　　 A．2 B． C．0 D．1 【解析】若在方向上的投影向量为， 则， 平面向量， 则， 故， 平面向量，， 则，解得． 故选：． 34．（2024春•高碑店市校级期末）已知向量，则向量在向量方向上的投影向量为 　　． 【解析】由向量，可得， 则向量在向量方向上的投影向量为． 故答案为：． 35．（2024春•莲池区校级期末）已知平面向量，则向量在方向上的投影向量为 　　． 【解析】因为， 所以，， 则向量在方向上的投影向量为． 故答案为：． 36．（2022秋•桃城区校级期末）已知向量，，向量，，则向量在向量上的投影向量为 　　． 【解析】， 向量在向量上的投影向量为：． 故答案为：． 1．（2024春•廊坊期末）古希腊数学家特埃特图斯利用如图所示的直角三角形来构造无理数．已知，，，若，则　　 A． B． C． D． 【解析】以为坐标原点，，所在直线分别为，轴建立如图所示的坐标系， 由题意得，则，，所以， 解得，所以． 故选：． 2．（2024春•邢台期末）已知是所在平面内一点，若，且，设的面积为，的面积为，则　　． 【解析】如图所示： 因为，且， 所以，其中， 设，则点在直线上， 的面积为，的面积为， 因为与同底，而高线之比等于与的比，即比值为， 所以． 故答案为：． 3．（2024春•河北期末）已知向量，． （1）若，求实数的值； （2）若与的夹角为钝角，求实数的取值范围． 【解析】（1）因为， 所以． 因为，，所以，， 所以，解得； （2）由已知可得，且与不共线， 因为，， ，可得，解得， 若与共线，则可，解得， 所以由，与不共线可得， 所以的取值范围为且． （多选）4．（2023春•唐山期末）如图，在菱形中，，延长边至点，使得．动点从点出发，沿菱形的边按逆时针方向运动一周回到点，若，则　　 A．满足的点有且只有一个 B．满足的点有两个 C．存在最小值 D．不存在最大值 【解析】建立直角坐标系，如右图所示： 设菱形的边长为2，则，，，，， 设，则由可得：，，，， 即，整理得：， 当在上时，有，故，， 当在上时，有，故，， 当在上时，有，故，， 当在上时，有，故，， 由此可知： 当时，点可位于点或中点处，故错误； 当时，点可位于中点或点处，故正确； 综上可知，故有最小值0，最大值3，故正确，错误． 故选：． 5．（2023春•石家庄期末）如图，在中，，，为上一点，且满足，若，，则的值为　　． 【解析】如图所示，建立直角坐标系． ， ，，， ，，，，． ，，， ，，， ，． 设， 与比较，可得：，， 解得． ，，，， ． 故答案为：． 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$