专题05 正余弦定理解三角形6种常考题型总结（河北专用）-【好题汇编】备战2024-2025学年高一数学下学期期末真题分类汇编

专题05 正余弦定理解三角形6种常考题型总结 题型概览 题型01 余弦定理解三角形 题型02 正弦定理解三角形 题型03 三角形解的个数判断 题型04 正余弦定理边角互化 题型05 三角形的面积问题 题型06 多边形的形状判断 ( 题型01 ) 余弦定理解三角形 1．（2024春•保定期末）在中，角、、所对的边分别为、、，且，，，则为　　 A． B． C． D．5 2．（2023春•辛集市期末）在中，已知，，，则　　． ( 题型02 ) 正弦定理解三角形 3．（2024春•河北期末）在△中，角，，的对应边分别为，，．若，则　　 A． B． C． D． 4．（2024春•承德期末）在中，角，，的对边分别是，，，若，，，则　　 A．或 B．或 C． D． 5．（2023春•承德期末）已知的内角，，的对边分别为，，，若，，则　　 A． B． C． D． 6．（2023春•邯郸期末）在中，角，，所对的边分别为，，，若，，，则　　． 7．（2022春•唐山期末）在中，，，，则　　 A． B． C． D． 8．（2021春•深州市校级期末）在中，，，，则　　 A．5 B．6 C．7 D．8 ( 题型03 ) 三角形解的个数判断 9．（2024春•张家口期末）在中，内角，，所对的边分别为，，，，，若有两解，则的取值范围为　　 A． B． C． D．， 10．（2023春•河北期末）在△中，，设边长为，若满足条件的△有且只有一个，则的取值范围是　　 ． 11．（2021秋•行唐县期末）的内角，，的对边分别为，，．已知． （1）求． （2）____，若问题中的三角形存在，试求出；若问题中的三角形不存在，请说明理由． 在①，②，③，这三个条件中任选一个，补充在横线上． ( 题型04 ) 正余弦定理边角互化 12．（2016春•唐山校级期末）的三内角，，所对边长分别是，，，若，则角的大小为　　 A． B． C． D． 13．（2023秋•武强县校级期末）在中，，则　　． 14．（2022春•沧州期末）已知，，分别为的内角，，所对的边，，则　　 A． B． C． D． ( 题型0 5 ) 三角形的面积问题 15．（2023春•曹妃甸区校级期末）在中，内角，，所对的边分别为，，，若，的面积，则　　 A． B． C． D． 16．（2024秋•保定期末）△内角，，所对的边分别为，，，若，，，则△的面积为 　　． 17．（2024秋•唐县校级期末）△的内角，，的对边分别为，，，已知． （1）若，，求△的面积； （2）若角为钝角，求的取值范围． 18．（2024秋•邯郸期末）已知在△中，，，的对边分别为，，，满足． （1）若，求△的面积； （2）已知向量，且，求的值． 19．（2024秋•保定期末）在△中，角，，的对边分别为，，，． （1）求角； （2）若，为边上一点（不同于，两点），，求△的面积的取值范围． 20．（2024秋•廊坊期末）已知，将函数的图象向右平移个单位长度可得到的图象． （1）求函数的解析式； （2）设锐角△的内角，，所对的边分别为，，，若（B），且，求△面积的最大值． ( 题型0 6 ) 多边形的形状判断 21．（2017春•石家庄期末）已知的三个内角、、的对边分别为，，，若，则该三角形一定是　　 A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 22．（2024春•廊坊期末）在△中，角，，的对边分别为，，，若，则△为　　 A．等腰三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形 23．（2024春•邢台期末）在中，内角，，的对边分别为，，，若，则该三角形的形状是　　 A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．不确定的 24．（2024春•沧州期末）在中，角，，的对边分别为，，，若，则这个三角形是　　 A．等腰三角形或直角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 1．（2023春•辛集市期末）已知的内角，，的对边分别为，，，且． （1）求角； （2）若，且的面积为，求． 2．（2021秋•邯郸期末）已知中，内角，，的对边分别为，，，且满足． （1）求的值； （2）若，求面积的最大值． 3．（2021春•邯郸期末）在中，角，，所对应的边分别是，，，已知，且为钝角，则　　，的取值范围是 　　． 4．（2020春•卢龙县期末）在锐角三角形中，内角，，的对边分别为，，且． （1）求角的大小； （2）若，，求的面积． 5．（2020春•路南区校级期末）设的内角，，所对的边分别为，，，则下列命题正确的是　　．（填写所有正确命题的序号） ①若，则； ②若，则； ③若，则为锐角三角形； ④若，则 2 / 13 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故答案为：或． 11．（2021秋•行唐县期末）的内角，，的对边分别为，，．已知． （1）求． （2）____，若问题中的三角形存在，试求出；若问题中的三角形不存在，请说明理由． 在①，②，③，这三个条件中任选一个，补充在横线上． 【解析】（1）由，可得，则； ， 在中，， 则， ， ， ， ． （2）选择条件①，在中，，可得， ，， ， 根据辅助角公式，可得， ， ，即， 故． 选择条件② 由，得， ，，因此， 整理得，即，则； 在中，， ． 故． 选择条件③ 由， 得， 即， 整理得， 由于，，则方程无解，故不存在这样的三角形． ( 题型04 ) 正余弦定理边角互化 12．（2016春•唐山校级期末）的三内角，，所对边长分别是，，，若，则角的大小为　　 A． B． C． D． 【解析】在中，由正弦定理，可得：，，， ，可得：，整理可得：， 由余弦定理可得：， ， ． 故选：． 13．（2023秋•武强县校级期末）在中，，则　　． 【解析】因为，由正弦定理得， 变形得，所以， 又，所以． 故答案为：． 14．（2022春•沧州期末）已知，，分别为的内角，，所对的边，，则　　 A． B． C． D． 【解析】因为， 则， 所以，又，所以，解得， 故选：． ( 题型0 5 ) 三角形的面积问题 15．（2023春•曹妃甸区校级期末）在中，内角，，所对的边分别为，，，若，的面积，则　　 A． B． C． D． 【解析】由正弦定理及， 得， 所以， 因为，所以，即， 因为，且， 所以，化简得， 又，所以， 所以． 故选：． 16．（2024秋•保定期末）△内角，，所对的边分别为，，，若，，，则△的面积为 　　． 【解析】由，结合正弦定理得， 因为△中，， 所以，可得，结合，解得． 根据余弦定理，可得，解得， 所以△的面积． 故答案为：． 17．（2024秋•唐县校级期末）△的内角，，的对边分别为，，，已知． （1）若，，求△的面积； （2）若角为钝角，求的取值范围． 【解析】（1）因为， 所以由余弦定理可得：， 由正弦定理得：， 又因为， 则有， 因为，所以，则， 因为，所以． 由余弦定理得：， 因为，所以，解得， 所以△的面积． （2）因为为钝角，所以，解得， 由正弦定理，得，且， 代入化简得：． 因为，所以，，即， 所以的取值范围是． 18．（2024秋•邯郸期末）已知在△中，，，的对边分别为，，，满足． （1）若，求△的面积； （2）已知向量，且，求的值． 【解析】（1），， ， 由正弦定理得， ， 即， ，， ， 又，， ，， △的面积． （2），且， ，即， 又，， ，， 由（1）知， ， ． 19．（2024秋•保定期末）在△中，角，，的对边分别为，，，． （1）求角； （2）若，为边上一点（不同于，两点），，求△的面积的取值范围． 【解析】（1）由，结合正弦定理得， 在△中，， 可得， 所以，结合，化简得， 所以，结合，可得； （2）设，， 在△中，根据正弦定理得，解得， 所以， 结合， 可得△的面积 ． 因为， 所以，可得，，． 所以△的面积的取值范围是． 20．（2024秋•廊坊期末）已知，将函数的图象向右平移个单位长度可得到的图象． （1）求函数的解析式； （2）设锐角△的内角，，所对的边分别为，，，若（B），且，求△面积的最大值． 【解析】（1）根据题意， ． 将的图象向右平移个单位长度，可得的图象． 所以． （2）由（1）得（B），解得， 在锐角△中，为锐角，，所以，解得． 根据余弦定理得， 即，当且仅当时取等号， 所以，当时，△面积的最大值为． ( 题型0 6 ) 多边形的形状判断 21．（2017春•石家庄期末）已知的三个内角、、的对边分别为，，，若，则该三角形一定是　　 A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【解析】，由正弦定理可得， ， 可得． 又， ． 故的形状是等腰三角形， 故选：． 22．（2024春•廊坊期末）在△中，角，，的对边分别为，，，若，则△为　　 A．等腰三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形 【解析】因为，又， 即，由正弦定理可得， 即，所以△为直角三角形且为直角． 故选：． 23．（2024春•邢台期末）在中，内角，，的对边分别为，，，若，则该三角形的形状是　　 A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．不确定的 【解析】中，内角，，的对边分别为，，， 因为， 所以，该三角形的形状是直角三角形． 故选：． 24．（2024春•沧州期末）在中，角，，的对边分别为，，，若，则这个三角形是　　 A．等腰三角形或直角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 【解析】由及正弦定理可得：， 化简可得：，即， 由正弦定理可得：，即， 所以，或． 即，或， 所以这个三角形是等腰三角形或直角三角形． 故选：． 1．（2023春•辛集市期末）已知的内角，，的对边分别为，，，且． （1）求角； （2）若，且的面积为，求． 【解析】（1）因为， 所以由正弦定理可得，即， 因为， 所以， 因为， 所以． （2）由题意可得，可得， 又，联立可得，或， 当，时，为等边三角形，可得； 当，时，由余弦定理可得，可得． 2．（2021秋•邯郸期末）已知中，内角，，的对边分别为，，，且满足． （1）求的值； （2）若，求面积的最大值． 【解析】（1）因为， 所以，即， 由正弦定理知，， 因为， 所以， 又，所以，即． （2）由余弦定理知，， 所以， 所以，当且仅当时，等号成立， 所以面积， 故面积的最大值为． 3．（2021春•邯郸期末）在中，角，，所对应的边分别是，，，已知，且为钝角，则　　，的取值范围是 　　． 【解析】因为， 所以由正弦定理可得， 因为， 所以，即， 因为为钝角，为锐角，为锐角， 所以，可得， 则， 由于为钝角， 所以，解得， 则：， 所以． 故答案为：，． 4．（2020春•卢龙县期末）在锐角三角形中，内角，，的对边分别为，，且． （1）求角的大小； （2）若，，求的面积． 【解析】（1）将，利用正弦定理化简得：， ，， 为锐角，； （2），，， 由余弦定理得：， 即， 整理得：， 则． 5．（2020春•路南区校级期末）设的内角，，所对的边分别为，，，则下列命题正确的是　　．（填写所有正确命题的序号） ①若，则； ②若，则； ③若，则为锐角三角形； ④若，则 【解析】①若，由正弦定理可得：， 由余弦定理可得：，整理可得：， 则，命题正确； ②，故②正确； ③的三边长分别为，，，且， ． ． 又， ． 中，由余弦定理可得，故角为锐角． 再由题意可得，边为最大边，故角为的最大角， 是锐角三角形，命题正确； ④取，，满足得：，故④错误； 故答案为：①②③． 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$