专题03 平面向量的综合应用5种常考题型总结（河北专用）-【好题汇编】备战2024-2025学年高一数学下学期期末真题分类汇编

专题03 平面向量的综合应用5种常考题型总结 题型概览 题型01 求数量积的范围 题型02 求向量夹角的范围 题型03 求向量模长的范围 题型04 求向量系数的范围 题型05 三角形四心问题 ( 题型0 1 ) 求数量积的范围 1．（2023秋•新华区校级期末）在中，若，，，则的取值范围为　　 A．， B．， C．， D．， （多选）2．（2024春•河北期末）如图，在中，，，，为线段的中点，，为线段的中点，为线段上的动点，则下列结论正确的是　　 A．若为线段的中点，则 B．若为线段的中点，则 C． D．的取值范围为， 3．（2023春•沧州期末）在中，，，为所在平面内的动点，且，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 4．（2023春•衡水期末）如图，在边长为4的等边中，点为中线上的动点，点为的中点，则的取值范围为　　 A． B．， C． D．， 5．（2022秋•魏县校级期末）正四面体的棱长为4，空间中的动点满足，则的取值范围为　　 A． B． C． D．， 6．（2022春•邯郸期末）如图，在平面四边形中，，，，，、分别是，的中点，为线段上一点，且．设，． （1）若，以，为基底表示向量与； （2）若，求的取值范围． ( 题型0 2 ) 求向量夹角的范围 7．（2024春•定州市期末）已知向量，，，且与的夹角为锐角，则的取值范围是 　　（用区间表示）． 8．（2023春•曹妃甸区校级期末）已知，，若与的夹角是锐角，则实数的取值范围是 　　 ． 9．（2023春•张家口期末）已知向量，． （1）若，求的值； （2）若，求实数的值； （3）若与的夹角是钝角，求实数的取值范围． 10．（2023春•昌黎县校级期末）已知向量，，且与的夹角为锐角，则的取值范围是 　　． ( 题型0 3 ) 求向量模长的范围 11．（2017春•邢台期末）设向量，，满足，，，且，则的取值范围为　　 A．， B．， C． D．， 12．（2024秋•衡水期末）已知平面向量，，，，，且，则的最大值是 　　，的最小值是 　　． 13．（2016春•沧州校级期末）设为单位向量，且，若向量满足，则的最大值是　　 A． B．2 C． D．1 ( 题型0 4 ) 求向量系数的范围 14．（2023秋•廊坊期末）在锐角中，角，，的对边分别为，，，且． （1）求的值； （2）求的取值范围． 15．（2018春•定州市校级期末）如图，在等腰梯形中，，，是的中点，点在以为圆心，为半径的圆弧上变动，为圆弧与的交点，若，其中，，则的取值范围是　　． 16．（2023春•沧州期末）在中，点满足，若线段上的一点满足，则的取值范围是 　　． 17．（2022春•定州市期末）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“勾股圆方图”，后人称其为“赵爽弦图”．如图，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形．已知，为线段的中点，设为中间小正方形内一点（不含边界）．若，则的取值范围为 　　． ( 题型0 5 ) 三角形四心的问题 （多选）18．（2023秋•沧州期末）在棱长为2的正四面体中，，分别是，的中点，是的重心，则下列结论正确的是　　 A． B． C．在上的投影向量为 D． 19．（2024秋•邢台期末）在中，为重心，，，则　　． （多选）20．（2022春•大名县校级期末）下列关于平面向量的说法中正确的是　　 A．已知，均为非零向量，若，则存在唯一的实数，使得 B．已知非零向量，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是 C．若且，则 D．若点为的重心，则 21．（2024春•承德期末）已知是的外心，若，则内角的最大值是 　　． 22．（2024春•涉县校级期末）在中，，是的外心，． （1）求边的长； （2）若为的中点，求的值． （多选）23．（2022春•石家庄期末）著名数学家欧拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，此直线被称为三角形的欧拉线，该定理被称为欧拉线定理．已知的外心为，垂心为，重心为，且，，下列说法正确的是　　 A． B． C． D． 1．（2024春•河北期末）已知向量，． （1）若，求实数的值； （2）若与的夹角为钝角，求实数的取值范围． 2．（2023春•石家庄期末）已知中，，，点是外接圆圆周上的一个动点，则取值范围是 　　． 3．（2024秋•保定期末）已知平面向量，满足，，则的最大值为　　 A．8 B． C．10 D． 4．（2024秋•河北期末）在边长为2的等边三角形中，点为边的中点，点在三角形所在的平面内，且满足，则的最大值为 　　． 5．（2024春•定州市期末）若非零向量，满足，，则　　 A．的最大值为 B．的最大值为1 C．的最小值为 D．的最小值为1 （多选）6．（2023春•唐山期末）如图，在菱形中，，延长边至点，使得．动点从点出发，沿菱形的边按逆时针方向运动一周回到点，若，则　　 A．满足的点有且只有一个 B．满足的点有两个 C．存在最小值 D．不存在最大值 7．（2022春•保定期末）已知向量，，满足，，，则的最大值为　　 A． B． C． D． 声明：试题解析 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 平面向量的综合应用5种常考题型总结 题型概览 题型01 求数量积的范围 题型02 求向量夹角的范围 题型03 求向量模长的范围 题型04 求向量系数的范围 题型05 三角形四心问题 ( 题型0 1 ) 求数量积的范围 1．（2023秋•新华区校级期末）在中，若，，，则的取值范围为　　 A．， B．， C．， D．， 【解析】因为， 所以为的外心，且为外接圆上一动点， 又，， 所以外接圆的半径． 如图， 作，垂足为，则． 所以，当与圆相切时，取最值，即在处取最大值6， 在处取最小值． 故选：． （多选）2．（2024春•河北期末）如图，在中，，，，为线段的中点，，为线段的中点，为线段上的动点，则下列结论正确的是　　 A．若为线段的中点，则 B．若为线段的中点，则 C． D．的取值范围为， 【解析】由题易知，，， 所以，， 则，，，，， ，且， 对于，因为为线段的中点，且为线段的中点，所以两式相加得：，故正确； 对于，由题意可知，，则，解得，所以，所以由可知：，故错误； 对于，设为线段的中点，则， 则，故正确； 对于， ， 又，所以，故正确． 故选：． 3．（2023春•沧州期末）在中，，，为所在平面内的动点，且，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 【解析】，，， ，，， 可得，，，，，， 若， 则，，， 可得，，， 所以， 所以是等边三角形． 建立如图所示的平面直角坐标系， ， ，． 由题意设，， 则，， ． 因为， 所以． 故选：． 4．（2023春•衡水期末）如图，在边长为4的等边中，点为中线上的动点，点为的中点，则的取值范围为　　 A． B．， C． D．， 【解析】由题意．建立如图所示坐标系， 则，，，，，， 则，， 设，其中， 则可得，则， 故，，． 故选：． 5．（2022秋•魏县校级期末）正四面体的棱长为4，空间中的动点满足，则的取值范围为　　 A． B． C． D．， 【解析】分别取，的中点，， 则， 所以， 故点的轨迹是以为球心，以为半径的球面， 则， 易求， 所以，， 即， 即， 所以的取值范围为，． 故选：． 6．（2022春•邯郸期末）如图，在平面四边形中，，，，，、分别是，的中点，为线段上一点，且．设，． （1）若，以，为基底表示向量与； （2）若，求的取值范围． 【解析】（1）由题干可知： ． 所以； 因为，所以 ． 所以． （2） 所以． 又，，． 所以． 所以 ． 因为，所以，所以， 所以取值范围为． ( 题型0 2 ) 求向量夹角的范围 7．（2024春•定州市期末）已知向量，，，且与的夹角为锐角，则的取值范围是 　　（用区间表示）． 【解析】因为与的夹角为锐角，所以且、不共线， 因为，，， 所以且，解得或且， 即实数的取值范围是，，，． 故答案为：，，，． 8．（2023春•曹妃甸区校级期末）已知，，若与的夹角是锐角，则实数的取值范围是 　　 ． 【解析】，，与的夹角是锐角， 则且、不同向，即，解得且， 故实数的取值范围是，，． 故答案为：，，． 9．（2023春•张家口期末）已知向量，． （1）若，求的值； （2）若，求实数的值； （3）若与的夹角是钝角，求实数的取值范围． 【解析】（1），，， ， ， ， ． （2），两边同平方得， 则化简得， ， ， ． （3）与的夹角是钝角， ，且与不反向共线， 即，由（1）可知， 则，且， 故实数的取值范围为，，． 10．（2023春•昌黎县校级期末）已知向量，，且与的夹角为锐角，则的取值范围是 　　． 【解析】，，且与的夹角为锐角， ，解得， 但当，即，两向量平行，应舍去， 的取值范围为，且， 故答案为：且． ( 题型0 3 ) 求向量模长的范围 11．（2017春•邢台期末）设向量，，满足，，，且，则的取值范围为　　 A．， B．， C． D．， 【解析】根据题意，设与的夹角为，，且，， 则， 即， 分析可得：， 又由，且，则， 则有， 故的取值范围为，， 故选：． 12．（2024秋•衡水期末）已知平面向量，，，，，且，则的最大值是 　　，的最小值是 　　． 【解析】设， 由得：，而， 所以， 故向量：以原点为始点，终点是圆心为，半径为的圆上的点， 结合图象，当时，； 设，由得，即， 故为以为始点，终点在射线上的点， 又到的距离为， 结合图象，． 故答案为：；． 13．（2016春•沧州校级期末）设为单位向量，且，若向量满足，则的最大值是　　 A． B．2 C． D．1 【解析】为单位向量，且 设，，， 则由足，得，，，， 即， 即， 即对应点的轨迹在以为圆心的圆上， 圆过圆心， 的最大值为圆的直径， 故选：． ( 题型0 4 ) 求向量系数的范围 14．（2023秋•廊坊期末）在锐角中，角，，的对边分别为，，，且． （1）求的值； （2）求的取值范围． 【解析】（1）由向量数量积得，所以， 由正弦定理得， 又，所以，所以， 又， 由，，解得； （2）由（1）知，， 在中，因为， 所以， 因为为锐角三角形，所以， 所以， 所以，， 所以， 即的取值范围为． 15．（2018春•定州市校级期末）如图，在等腰梯形中，，，是的中点，点在以为圆心，为半径的圆弧上变动，为圆弧与的交点，若，其中，，则的取值范围是　　． 【解析】建立平面直角坐标系如图所示， 则，，，， ，，，，； 设，， 由， ，， ，， ①， ②， 由①②解得， ， ， ，时，，， ，． 故答案为：，． 16．（2023春•沧州期末）在中，点满足，若线段上的一点满足，则的取值范围是 　　． 【解析】，，． ，，三点共线， ，，，， ． 故答案为：． 17．（2022春•定州市期末）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“勾股圆方图”，后人称其为“赵爽弦图”．如图，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形．已知，为线段的中点，设为中间小正方形内一点（不含边界）．若，则的取值范围为 　　． 【解析】过点作，分别交，于点，，过点作，交的延长线于点，过点作，交的延长线于点， 如图，由可知，点在线段上运动（不含端点）， 当点与点重合时，，可知； 当点与点重合时，，可知； 当点在线段上运动（不含端点）时，． 综上，的取值范围为， 故答案为：． ( 题型0 5 ) 三角形四心的问题 （多选）18．（2023秋•沧州期末）在棱长为2的正四面体中，，分别是，的中点，是的重心，则下列结论正确的是　　 A． B． C．在上的投影向量为 D． 【解析】如图，取的中点，连接，， ，，，平面，平面， 平面，结合平面，可得，故，项正确； 取的中点，连接，，则，，且， 结合、互相垂直，可知，即， 结合，可得是以为直角顶点的等腰直角三角形，，， ，故项正确； 由的分析，可知在上的投影向量为，故项不正确； 因为，所以项不正确． 故选：． 19．（2024秋•邢台期末）在中，为重心，，，则　　． 【解析】设的中点为，则， ， ，① ，，② ①②，可得， ， 故答案为：6． （多选）20．（2022春•大名县校级期末）下列关于平面向量的说法中正确的是　　 A．已知，均为非零向量，若，则存在唯一的实数，使得 B．已知非零向量，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是 C．若且，则 D．若点为的重心，则 【解析】根据题意，依次分析选项： 对于，符合向量共线定理，正确； 对于，当时，与共线，与的夹角不是锐角，错误； 对于，若，，，满足，但不成立，错误； 对于，若点为的重心，则，正确； 故选：． 21．（2024春•承德期末）已知是的外心，若，则内角的最大值是 　　． 【解析】取，的中点，，连接，，如图： 因为是的外心，所以，， 设中，，对应边分别为，，， 则 ， 同理可得， 因为， 所以， 根据余弦定理得：， 当且仅当时等号成立， 因为函数在为减函数，且， 所以内角的最大值是． 故答案为：． 22．（2024春•涉县校级期末）在中，，是的外心，． （1）求边的长； （2）若为的中点，求的值． 【解析】（1）由题意，设中点为， 则， 解得； （2）由，， 可得 ． （多选）23．（2022春•石家庄期末）著名数学家欧拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，此直线被称为三角形的欧拉线，该定理被称为欧拉线定理．已知的外心为，垂心为，重心为，且，，下列说法正确的是　　 A． B． C． D． 【解析】对于，由于垂心为，则，于是，选项正确； 对于，由于，则，选项错误； 对于，结合垂径定理和向量投影可得，，， 于是，选项正确； 对于，依题意，，则，又为重心，则， 即，则，选项正确． 故选：． 1．（2024春•河北期末）已知向量，． （1）若，求实数的值； （2）若与的夹角为钝角，求实数的取值范围． 【解析】（1）因为， 所以． 因为，，所以，， 所以，解得； （2）由已知可得，且与不共线， 因为，， ，可得，解得， 若与共线，则可，解得， 所以由，与不共线可得， 所以的取值范围为且． 2．（2023春•石家庄期末）已知中，，，点是外接圆圆周上的一个动点，则取值范围是 　　． 【解析】如图，已知，，点是外接圆圆周上的一个动点， 设点为中点，则， 设点为外接圆心，， 因为，，由正弦定理可得： ，所以， 因为，所以，又，所以， 设，由题意知，，即，， 故 ，． 故答案为：，． 3．（2024秋•保定期末）已知平面向量，满足，，则的最大值为　　 A．8 B． C．10 D． 【解析】设向量、的夹角为， 根据，，可得， 化简得，可得， 所以， 当时，即、的夹角为0时，取得最大值10． 故选：． 4．（2024秋•河北期末）在边长为2的等边三角形中，点为边的中点，点在三角形所在的平面内，且满足，则的最大值为 　　． 【解析】已知等边三角形的边长为2，点为边的中点，可得，且， 以为坐标原点，，所在的直线分别为，轴建立平面直角坐标， 则，，， 设点，则，，， 可得， 所以， 又因为，所以， 设，， 则，当，时取等号． 所以的最大值为． 故答案为：． 5．（2024春•定州市期末）若非零向量，满足，，则　　 A．的最大值为 B．的最大值为1 C．的最小值为 D．的最小值为1 【解析】若，两边同时平方得， 可得，化简得， 设非零向量，的夹角为，故，而， 可得，即，而，故， 所以，， 可得，，故， 可得的最小值为，故正确． 故选：． （多选）6．（2023春•唐山期末）如图，在菱形中，，延长边至点，使得．动点从点出发，沿菱形的边按逆时针方向运动一周回到点，若，则　　 A．满足的点有且只有一个 B．满足的点有两个 C．存在最小值 D．不存在最大值 【解析】建立直角坐标系，如右图所示： 设菱形的边长为2，则，，，，， 设，则由可得：，，，， 即，整理得：， 当在上时，有，故，， 当在上时，有，故，， 当在上时，有，故，， 当在上时，有，故，， 由此可知： 当时，点可位于点或中点处，故错误； 当时，点可位于中点或点处，故正确； 综上可知，故有最小值0，最大值3，故正确，错误． 故选：． 7．（2022春•保定期末）已知向量，，满足，，，则的最大值为　　 A． B． C． D． 声明：试题解析【解析】由题意可设，，， 则，， 则，其中， 又， 则， 即的最大值为， 故选：． 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$