专题01 平面向量的概念与运算9种常考题型总结（河北专用）-【好题汇编】备战2024-2025学年高一数学下学期期末真题分类汇编

专题01 平面向量的概念与运算9种常考题型总结 题型概览 题型01向量的相关概念辨析 题型02向量的线性运算 题型03用已知向量表示其他向量平面向量 题型04向量共线问题 题型05向量数量积的运算 题型06向量垂直的应用 题型07向量夹角相关计算 题型08向量模长相关计算 题型09向量的投影向量 ( 题型01 ) 向量的相关概念辨析 1．（2023秋•昌黎县校级期末）下列物理量中，不能称为向量的是　　 A．质量 B．速度 C．位移 D．力 【解析】既有大小，又有方向的量叫做向量； 质量只有大小没有方向，因此质量不是向量． 而速度、位移、力既有大小，又有方向，因此它们都是向量． 故选：． （多选）2．（2023春•路南区校级期末）下列选项中，错误的是　　 A．若存在实数使成立，则与共线 B．若，则 C．若、、、四点不同），则、、三点共线 D．若，则或 【解析】由向量共线定理可知正确； 当时，满足，此时，可取任意实数，错误； 由，可得，即，所以，，三点共线，正确； 当，时，满足等式，但不一定有或，错误． 故选：． ( 题型02 ) 向量的线性运算 3．（2023春•承德期末）设为平行四边形的对角线的交点，则　　 A． B． C． D． 【解析】由图形可知，故． 故选：． 4．（2024春•河北期末）等于　　 A． B． C． D． 【解析】根据向量的运算法则，可得． 故选：． 5．（2024春•石家庄期末）若为的边的中点，则　　 A． B． C． D． 【解析】为的边的中点， 由向量加法法则得， ． 故选：． 6．（2024春•涉县校级期末）在平行四边形中，为的中点，为上一点，则　　 A． B． C． D． 【解析】因为为的中点， 所以， 所以． 故选：． 7．（2023春•元氏县校级期末）下列各式中结果为零向量的是　　 A．B． C． D． 【解析】对，，错误； 对，，错误； 对，，错误； 对，，正确． 故选：． ( 题型03 ) 用已知向量表示其他向量平面向量 8．（2018秋•张家口期末）设为所在平面内一点，，则　　 A． B． C． D． 【解析】； ； ． 故选：． 9．（2017春•桃城区校级期末）如图，已知，，，，则　　 A． B． C． D． 【解析】， ， 故选：． 10．（2024春•深州市校级期末）在矩形中，为线段的中点，则　　 A． B． C． D． 【解析】在矩形中，为的中点， ， 故选：． 11．（2022春•承德期末）在平行四边形中，是的中点，交于，则　　 A． B． C． D． 【解析】因为是的中点，，所以， 所以． 故选：． ( 题型04 ) 向量共线问题 （多选）12．（2024秋•邯郸期末）与向量共线的单位向量的坐标为　　 A． B． C． D． 【解析】根据题意，设要求向量为，且， 为单位向量，则， 解可得，则，或，； 故选：． 13．（2023秋•昌黎县校级期末）已知是两个不共线的向量，，若与是共线向量，则实数的值为　　 A． B．6 C． D． 【解析】是两个不共线的向量， ，与是共线向量， 由向量，可得， 可得，解得． 故选：． 14．（2023秋•保定期末）已知命题，，与共线，命题，则是的　　 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【解析】充分性：由与共线，则，解得或0，是的不充分条件； 必要性：当，时，由，则与共线，是的必要条件． 故选：． 15．（2023秋•唐山期末）已知向量，，若与共线，则实数　　． 【解析】向量，，若与共线， 则，解得． 故答案为：1． 16．（2024春•沧州期末）已知，是平面内两个不共线的向量，若，，． （1）证明：，，三点共线； （2）若，，点，，，，恰好构成平行四边形，求点的坐标． 【解析】（1）证明：因为已知，是平面内两个不共线的向量， 又因为，所以． 所以，，三点共线． （2）设点的坐标为，则，， 因为，，，恰好构成平行四边形．所以， 即，解得， 所以点的坐标为． ( 题型0 5 ) 向量数量积的运算 17．（2025春•武强县校级期末）在△中，内角，，的对边分别为，则　　 A． B． C． D．1 【解析】由题意，，，， 则． 故选：． 18．（2023春•秦皇岛期末）已知，，则　　． 【解析】因为，， 所以， 所以． 故答案为：． 19．（2024春•古冶区校级期末）如图，在半径为的圆中，有一条长度为4的弦，则　　 A．2 B．4 C．8 D．12 【解析】如图，过作，交于点， 则为中点， 又， 则． 故选：． 20．（2024秋•保定期末）已知平面向量，满足，，则的最大值为　　 A．8 B． C．10 D． 【解析】设向量、的夹角为， 根据，，可得， 化简得，可得， 所以， 当时，即、的夹角为0时，取得最大值10． 故选：． 21．（2024秋•河北期末）在边长为2的等边三角形中，点为边的中点，点在三角形所在的平面内，且满足，则的最大值为 　　． 【解析】已知等边三角形的边长为2，点为边的中点，可得，且， 以为坐标原点，，所在的直线分别为，轴建立平面直角坐标， 则，，， 设点，则，，， 可得， 所以， 又因为，所以， 设，， 则，当，时取等号． 所以的最大值为． 故答案为：． 22．（2024春•保定期末）已知的外接圆圆心为，且，，点是线段上一动点，则的最小值是　　 A． B． C． D． 【解析】中，，所以是边上的中线， 因为是外接圆的圆心，所以是圆的直径，； 又因为，所以是等边三角形，， 所以，； 以所在直线为轴，以的中垂线为轴，建立平面直角坐标系，如图所示： 则，，，， 因为是线段上的点，设，，， 所以，，； 所以； 时，取得最小值为， 所以的最小值是． 故选：． 23．（2023秋•石家庄期末）若为坐标原点，过点的直线与函数的图象交于，两点，则　　． 【解析】因为， 所以是函数图象的对称中心，则为线段的中点， 可得，则． 故答案为：4． ( 题型0 6 ) 向量垂直的应用 24．（2019春•遵化市期末）已知向量，，若，则　　 A．1 B． C．2 D．3 【解析】根据题意，向量，， 则， 若，则有， 解可得： 故选：． 25．（2023春•饶阳县校级期末）已知向量，，若，则　　 A． B． C． D．2 【解析】向量，，， 则， 故． 故选：． 26．（2023秋•沧州期末）已知，，若与垂直，则　　 A． B． C．2 D． 【解析】，， 则， ，解得． 故选：． 27．（2024春•保定期末）已知向量，，若，则　　． 【解析】根据题意，向量，，则， 若，则， 解可得：． 故答案为：． 28．（2024春•涉县校级期末）已知向量，，若，则　　． 【解析】向量，，， 则，解得或， 则， 所以． 故答案为：． ( 题型0 7 ) 向量夹角相关计算 29．（2023秋•定州市校级期末）已知向量，，若，则与的夹角为　　 A． B． C． D． 【解析】设向量与的夹角为， 因为，所以， ， 因为， 所以． 因为，即与的方向相反， 所以与的夹角为． 故选：． 30．（2024春•承德期末）已知向量满足，且，则向量的夹角是　　 A． B． C． D． 【解析】根据题意，因为，且， 所以，即，解得， 所以，又，所以． 故选：． 31．（2024春•邯郸期末）已知向量，且，则向量与向量的夹角为　　 A． B． C． D． 【解析】由，得，解得， 由，， 因此，而， 所以． 故选：． 32．（2023春•河北期末）已知平面向量满足，，，则向量与向量的夹角为　　 A． B． C． D． 【解析】， ， ， ，且， ． 故选：． 33．（2024春•广平县校级期末）已知向量，，若与的夹角为钝角，则实数的取值范围为 　　． 【解析】由，3，，，； 由． 综上：且． 故答案为：． 34．（2024春•定州市期末）已知向量，，，且与的夹角为锐角，则的取值范围是 　（用区间表示）． 【解析】因为与的夹角为锐角，所以且、不共线， 因为，，， 所以且，解得或且， 即实数的取值范围是，，，． 故答案为：，，，． 35．（2024春•深州市校级期末）已知向量，，，且，． （1）求向量、； （2）若，，求向量，的夹角的正弦值． 【解析】（1）因为，，，且，， 所以，， 所以，， 所以，； （2）设向量，的夹角的大小为． 由题意可得，，， 所以，． ( 题型0 8 ) 向量模长相关计算 36．（2023春•石家庄期末）已知向量，若与垂直，则　　 A．1 B． C．2 D．4 【解析】向量， ， 与垂直， ， ，即， ， 故选：． 37．（2024秋•廊坊期末）已知和都是单位向量，若在上的投影向量为，则　　 A． B． C． D．3 【解析】根据题意可知，在上的投影向量为， 所以， 因为和都是单位向量，所以， 即． 故选：． 38．（2024秋•沧州期末）已知向量满足，且，则　　 A． B．2 C． D． 【解析】由题意，， 因为， 所以， 所以， ， 所以． 故选：． 39．（2024秋•邢台期末）已知单位向量和的夹角为，且，则　　 A．1 B． C．2 D． 【解析】因为单位向量和的夹角为，且， 所以， 所以． 故选：． 40．（2025春•武强县校级期末）已知满足，若在方向上的投影向量为，则　　 ． 【解析】由已知得，，则， 因为，所以，所以． 故答案为：． 41．（2024春•深州市校级期末）已知向量，满足，，，则　　 A． B． C．8 D．40 【解析】由题意知，，，， 所以， 所以． 故选：． 42．（2024秋•河北期末）已知平面向量，，若在方向上的投影向量为，则　　 A．2 B． C．0 D．1 【解析】若在方向上的投影向量为， 则， 平面向量， 则， 故， 平面向量，， 则，解得． 故选：． ( 题型0 9 ) 向量的投影向量 43．（2024春•邯郸期末）在中，，，平面内一点满足，则向量在向量上的投影向量为　　 A． B． C． D． 【解析】在中，，， 则， ，即为直角三角形， 又，故是的外心且是斜边的中点， 为正三角形， 向量在向量上的投影向量即为向量． 故选：． 44．（2024春•河北期末）已知，是夹角为的单位向量，则在方向上的投影向量为　　 A． B． C． D． 【解析】，是夹角为的单位向量， 则在方向上的投影向量为：． 故选：． 45．（2023秋•保定期末）已知向量，为单位向量，且满足，则向量在向量方向的投影向量为　　 A． B． C． D． 【解析】向量，为单位向量， 则， ， 则，即，解得， 故向量在向量方向的投影向量为：． 故选：． 46．（2023秋•石家庄期末）在等边中，，则向量在向量上的投影向量为　　 A． B． C． D． 【解析】由题可知 ， ，所以向量在向量上的投影向量为． 故选：． 1．（2024秋•邢台期末）已知△中，，，，为△所在平面内一点，且满足，则的值为　　 A． B． C．1 D．4 【解析】△中，，，，为△所在平面内一点，且满足， 设的中点为，的中点为，则， ， 为线段的靠近的三等分点， ， 故选：． 2．（2024秋•唐县校级期末）在锐角△中，，它的面积为10，，，分别在、上，且满足，对任意，恒成立，则　　． 【解析】因△的面积为10，且， 则有，解得， 由图知表示直线上一点到点的向量， 而则表示直线上一点到点的距离， 由对任意恒成立可知，的长是点到直线上的点的最短距离， 故易得此时，同理可得， 如图所示，因， 由可得：， 由可得：， 由锐角三角形可知是锐角，故是钝角， 于是， 于是． 故答案为：． 3．（2023秋•新华区校级期末）在中，若，，，则的取值范围为　　 A．， B．， C．， D．， 【解析】因为， 所以为的外心，且为外接圆上一动点， 又，， 所以外接圆的半径． 如图， 作，垂足为，则． 所以，当与圆相切时，取最值，即在处取最大值6， 在处取最小值． 故选：． 4．（2024春•邢台期末）已知，，且与夹角为，求： （1）； （2）与的夹角； （3）若向量与平行，求实数的值． 【解析】（1），，且与夹角为， ，解得； （2）因为， 所以，又， 所以， ， 所以与的夹角为． （3）因为向量与平行， 所以， 因为向量与不共线， 所以，解得． 5．（2023秋•昌黎县校级期末）已知，，且与的夹角为． （1）求． （2）求． 【解析】（1）因为，，且与的夹角为， 所以， 所以． （2）． 6．（2024春•高碑店市校级期末）已知平面向量，，． （1）设函数，求的对称轴方程； （2）设函数，求的最大值． 【解析】（1）由题意知，， 由，，得，， 即的对称轴为，； （2）由题意知，， 设，则， 由，得， 所以， 又函数是一条开口向下、对称轴为的抛物线， 且在上单调递增，在上单调递减， 所以． 7．（2024春•张家口期末）在中，，，，是边的中点，是边上靠近点的三等分点，与交于点． （1）求； （2）求的余弦值． 【解析】（1）在中，， 则，， 由是边的中点，得， 由是边上靠近点的三等分点， 得， 因此 ； （2）由（1）知，，， 所以的余弦值． 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 平面向量的概念与运算9种常考题型总结 题型概览 题型01向量的相关概念辨析 题型02向量的线性运算 题型03用已知向量表示其他向量平面向量 题型04向量共线问题 题型05向量数量积的运算 题型06向量垂直的应用 题型07向量夹角相关计算 题型08向量模长相关计算 题型09向量的投影向量 ( 题型01 ) 向量的相关概念辨析 1．（2023秋•昌黎县校级期末）下列物理量中，不能称为向量的是　　 A．质量 B．速度 C．位移 D．力 （多选）2．（2023春•路南区校级期末）下列选项中，错误的是　　 A．若存在实数使成立，则与共线 B．若，则 C．若、、、四点不同），则、、三点共线 D．若，则或 ( 题型02 ) 向量的线性运算 3．（2023春•承德期末）设为平行四边形的对角线的交点，则　　 A． B． C． D． 4．（2024春•河北期末）等于　　 A． B． C． D． 5．（2024春•石家庄期末）若为的边的中点，则　　 A． B． C． D． 6．（2024春•涉县校级期末）在平行四边形中，为的中点，为上一点，则　　 A． B． C． D． 7．（2023春•元氏县校级期末）下列各式中结果为零向量的是　　 A．B． C． D． ( 题型03 ) 用已知向量表示其他向量平面向量 8．（2018秋•张家口期末）设为所在平面内一点，，则　　 A． B． C． D． 9．（2017春•桃城区校级期末）如图，已知，，，，则　　 A． B． C． D． 10．（2024春•深州市校级期末）在矩形中，为线段的中点，则　　 A． B． C． D． 11．（2022春•承德期末）在平行四边形中，是的中点，交于，则　　 A． B． C． D． ( 题型04 ) 向量共线问题 （多选）12．（2024秋•邯郸期末）与向量共线的单位向量的坐标为　　 A． B． C． D． 13．（2023秋•昌黎县校级期末）已知是两个不共线的向量，，若与是共线向量，则实数的值为　　 A． B．6 C． D． 14．（2023秋•保定期末）已知命题，，与共线，命题，则是的　　 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 15．（2023秋•唐山期末）已知向量，，若与共线，则实数　　． 16．（2024春•沧州期末）已知，是平面内两个不共线的向量，若，，． （1）证明：，，三点共线； （2）若，，点，，，，恰好构成平行四边形，求点的坐标． ( 题型0 5 ) 向量数量积的运算 17．（2025春•武强县校级期末）在△中，内角，，的对边分别为，则　　 A． B． C． D．1 18．（2023春•秦皇岛期末）已知，，则　　． 19．（2024春•古冶区校级期末）如图，在半径为的圆中，有一条长度为4的弦，则　　 A．2 B．4 C．8 D．12 20．（2024秋•保定期末）已知平面向量，满足，，则的最大值为　　 A．8 B． C．10 D． 21．（2024秋•河北期末）在边长为2的等边三角形中，点为边的中点，点在三角形所在的平面内，且满足，则的最大值为 　　． 22．（2024春•保定期末）已知的外接圆圆心为，且，，点是线段上一动点，则的最小值是　　 A． B． C． D． 23．（2023秋•石家庄期末）若为坐标原点，过点的直线与函数的图象交于，两点，则　　． ( 题型0 6 ) 向量垂直的应用 24．（2019春•遵化市期末）已知向量，，若，则　　 A．1 B． C．2 D．3 25．（2023春•饶阳县校级期末）已知向量，，若，则　　 A． B． C． D．2 26．（2023秋•沧州期末）已知，，若与垂直，则　　 A． B． C．2 D． 27．（2024春•保定期末）已知向量，，若，则　　． 28．（2024春•涉县校级期末）已知向量，，若，则　　． ( 题型0 7 ) 向量夹角相关计算 29．（2023秋•定州市校级期末）已知向量，，若，则与的夹角为　　 A． B． C． D． 30．（2024春•承德期末）已知向量满足，且，则向量的夹角是　　 A． B． C． D． 31．（2024春•邯郸期末）已知向量，且，则向量与向量的夹角为　　 A． B． C． D． 32．（2023春•河北期末）已知平面向量满足，，，则向量与向量的夹角为　　 A． B． C． D． 33．（2024春•广平县校级期末）已知向量，，若与的夹角为钝角，则实数的取值范围为 　　． 34．（2024春•定州市期末）已知向量，，，且与的夹角为锐角，则的取值范围是 　（用区间表示）． 35．（2024春•深州市校级期末）已知向量，，，且，． （1）求向量、； （2）若，，求向量，的夹角的正弦值． ( 题型0 8 ) 向量模长相关计算 36．（2023春•石家庄期末）已知向量，若与垂直，则　　 A．1 B． C．2 D．4 37．（2024秋•廊坊期末）已知和都是单位向量，若在上的投影向量为，则　　 A． B． C． D．3 38．（2024秋•沧州期末）已知向量满足，且，则　　 A． B．2 C． D． 39．（2024秋•邢台期末）已知单位向量和的夹角为，且，则　　 A．1 B． C．2 D． 40．（2025春•武强县校级期末）已知满足，若在方向上的投影向量为，则　　 ． 41．（2024春•深州市校级期末）已知向量，满足，，，则　　 A． B． C．8 D．40 42．（2024秋•河北期末）已知平面向量，，若在方向上的投影向量为，则　　 A．2 B． C．0 D．1 ( 题型0 9 ) 向量的投影向量 43．（2024春•邯郸期末）在中，，，平面内一点满足，则向量在向量上的投影向量为　　 A． B． C． D． 44．（2024春•河北期末）已知，是夹角为的单位向量，则在方向上的投影向量为　　 A． B． C． D． 45．（2023秋•保定期末）已知向量，为单位向量，且满足，则向量在向量方向的投影向量为　　 A． B． C． D． 46．（2023秋•石家庄期末）在等边中，，则向量在向量上的投影向量为　　 A． B． C． D． 1．（2024秋•邢台期末）已知△中，，，，为△所在平面内一点，且满足，则的值为　　 A． B． C．1 D．4 2．（2024秋•唐县校级期末）在锐角△中，，它的面积为10，，，分别在、上，且满足，对任意，恒成立，则　　． 3．（2023秋•新华区校级期末）在中，若，，，则的取值范围为　　 A．， B．， C．， D．， 4．（2024春•邢台期末）已知，，且与夹角为，求： （1）； （2）与的夹角； （3）若向量与平行，求实数的值． 5．（2023秋•昌黎县校级期末）已知，，且与的夹角为． （1）求． （2）求． 6．（2024春•高碑店市校级期末）已知平面向量，，． （1）设函数，求的对称轴方程； （2）设函数，求的最大值． 7．（2024春•张家口期末）在中，，，，是边的中点，是边上靠近点的三等分点，与交于点． （1）求； （2）求的余弦值． 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$