第15讲 函数图像讲义-2026届高三数学一轮复习

函数图象 一．图象变换 ( 左加右减 )1、平移变换： ( 上加下减 )函数的图像 函数的图像； 函数的图像 函数的图像； 注意：左右平移必须直接作用在上，例如，是向右平移1个单位. ( y轴左侧清除， 右侧对称到左侧 )2、翻折变换： 函数的图像 函数图像； ( 轴下方翻折到上方， 上方保留 ) 函数的图像 函数图像； 注意：左右翻折变换绝对值必须直接作用在上，例如，是先右左翻折变换为， 再由向右平移2个单位. ( 图像关于y轴对称 )3、对称变换： ( 图像关于轴对称 )函数的图像 函数的图像； ( 图像关于原点对称 )函数的图像 函数的图像； ( 图像关于 y=x 对称 )函数的图像 函数的图像； 函数的图像 函数的图像； ( y坐标不变, x 坐标伸缩 为原来的 1/k倍 )4、伸缩变换： ( x 坐标不变, y 坐标伸缩 为原来的 k倍 )函数的图像 函数的图像； 函数的图像 函数的图像； 1．图象变换问题 (1)为了得到函数y＝lg的图象，只需把函数y＝lgx的图象上所有的点向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度．( ) (2)若函数y＝f(x)满足f(x－1)＝f(x＋1)，则函数f(x)的图象关于直线x＝1对称．( ) (3)当x∈(0，＋∞)时，函数y＝|f(x)|与y＝f(|x|)的图象相同．( ) (4)函数y＝2|x－1|的图象关于直线x＝1对称．( ) (5)将函数y＝f(－x)的图象向右平移1个单位得到函数y＝f(－x－1)的图象．( ) 考点一 由解析式选图像 【例1】1．函数的图象大致为（ ） A．B． C．D． 规律方法 解决此类问题常有以下策略： (1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置； (2)从函数的单调性(有时可借助导数)，判断图象的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性； (4)从函数的周期性，判断图象的循环往复； (5)从函数的特殊点(与坐标轴的交点、经过的定点)，排除不合要求的图象． 【训练1】1．函数f(x)＝ln(x2＋1)的图象大致是( ) 2．函数y＝x2＋的图象大致为( ) 3．函数在的图像大致为（ ） A．B．C．D． 考点二 由图像选解析式 【例2】 1． 如图是下列四个函数中的某个函数在区间的大致图像，则该函数是（ ） A． B． C． D． 【训练2】1．已知函数y＝f(x)的大致图象如图所示，则函数y＝f(x)的解析式可以为( ) A．f(x)＝exln x B．f(x)＝e－xln(|x|) C．f(x)＝exln(|x|) D．f(x)＝e|x|ln(|x|) 2．已知函数在上的大致图象如下所示，则的解析式可能为（     ） A． B． C． D． 考点三 解析式含参数的图像问题（同时满足多个函数图像） 【例3】1．在同一直角坐标系中，函数，，且的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【训练3】1．如图所示，当时，函数与的图象是( ) A． B． C． D． 2．已知函数（a，b为常数，其中且）的图象如图所示，则下列结论正确的是（    ） A．， B．， C．， D．， 3．已知函数f(x)＝ax－2，g(x)＝loga|x|(a>0，且a≠1)，f(2 011)·g(－2 012)<0，则y＝f(x)，y＝g(x)在同一坐标系内的大致图象是( ) 4．在同一直角坐标系中，函数且的图象可能是（ ） A．B．C． D． 考点四 函数图象的变换 【例4】1．函数y＝21－x的大致图象为( ) 2．函数f(x)＝则y＝f(1－x)的图象是( ) 【训练4】1．函数y＝log2(|x|＋1)的图象大致是( ) 2．函数f(x)＝lg(|x|－1)的大致图象是( ) 3．已知图1对应的函数为，则图2对应的函数是（     ） A． B． C． D． 考点五 函数图象应用 【例5】1．高为、满缸水量为的鱼缸的轴截面如图所示，现底部有一个小洞，满缸水从洞中流出，若鱼缸水深为时水的体积为，则函数的大致图像是( ) A． B． C． D． 【训练5】1．如图为某无人机飞行时，从某时刻开始15分钟内的速度（单位：米/分钟）与时间（单位：分钟）的关系．若定义“速度差函数”为无人机在时间段内的最大速度与最小速度的差，则的图像为（    ） A． B． C． D． 2．列车从地出发直达外的地，途中要经过离地的地，假设列车匀速前进，后从地到达地，则列车与地距离（单位：与行驶时间（单位：）的函数图象为（    ） A． B． C． D． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 函数图象 一．图象变换 ( 左加右减 )1、平移变换： ( 上加下减 )函数的图像 函数的图像； 函数的图像 函数的图像； 注意：左右平移必须直接作用在上，例如，是向右平移1个单位. ( y轴左侧清除， 右侧对称到左侧 )2、翻折变换： 函数的图像 函数图像； ( 轴下方翻折到上方， 上方保留 ) 函数的图像 函数图像； 注意：左右翻折变换绝对值必须直接作用在上，例如，是先右左翻折变换为， 再由向右平移2个单位. ( 图像关于y轴对称 )3、对称变换： ( 图像关于轴对称 )函数的图像 函数的图像； ( 图像关于原点对称 )函数的图像 函数的图像； ( 图像关于 y=x 对称 )函数的图像 函数的图像； 函数的图像 函数的图像； ( y坐标不变, x 坐标伸缩 为原来的 1/k倍 )4、伸缩变换： ( x 坐标不变, y 坐标伸缩 为原来的 k倍 )函数的图像 函数的图像； 函数的图像 函数的图像； 1．图象变换问题 (1)为了得到函数y＝lg的图象，只需把函数y＝lgx的图象上所有的点向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度．(√) (2)若函数y＝f(x)满足f(x－1)＝f(x＋1)，则函数f(x)的图象关于直线x＝1对称．(×) 【解析】由周期性对称性可知f(x－1)＝f(x＋1)表示周期为2的函数． (3)当x∈(0，＋∞)时，函数y＝|f(x)|与y＝f(|x|)的图象相同．(×) 【解析】y＝|f(x)|表示原图像下翻上，y＝f(|x|)在x∈(0，＋∞)时图像不变，故不同． (4)函数y＝2|x－1|的图象关于直线x＝1对称．(√) (5)将函数y＝f(－x)的图象向右平移1个单位得到函数y＝f(－x－1)的图象．(×) 【解析】y＝f(－x)的图象向右平移1个单位得y＝f(－(x－1))＝f(－x+1)． 考点一 由解析式选图像 【例1】1．函数的图象大致为（ ） A．B． C．D． 【答案】A 【解析】由函数的解析式可得：，则函数为奇函数，其图象关于坐标原点对称，选项CD错误；当时，，选项B错误.故选：A. 规律方法 解决此类问题常有以下策略： (1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置； (2)从函数的单调性(有时可借助导数)，判断图象的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性； (4)从函数的周期性，判断图象的循环往复； (5)从函数的特殊点(与坐标轴的交点、经过的定点)，排除不合要求的图象． 【训练1】1．函数f(x)＝ln(x2＋1)的图象大致是( ) 【答案】A 【解析】函数f(x)＝ln(x2＋1)的定义域为(－∞，＋∞)，又因为f(－x)＝f(x)，故f(x)为偶函数， 且f(0)＝ln 1＝0，综上选A． 2．函数y＝x2＋的图象大致为( ) 【答案】C 【解析】因为ff(1)＜0，由零点存在定理得函数在区间上存在零点，排除A，D选项， 又当x＜0，f(x)＝x2＋，而f＝＋e＞0，排除B，选C． 3．函数在的图像大致为（ ） A．B．C．D． 【答案】B 【解析】设，则，所以是奇函数， 图象关于原点成中心对称，排除选项C．又排除选项D；， 排除选项A，故选B． 考点二 由图像选解析式 【例2】 1． 如图是下列四个函数中的某个函数在区间的大致图像，则该函数是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设，则，故排除B;设，当时，， 所以，故排除C;设，则，故排除D.选：A. 【训练2】1．已知函数y＝f(x)的大致图象如图所示，则函数y＝f(x)的解析式可以为( ) A．f(x)＝exln x B．f(x)＝e－xln(|x|) C．f(x)＝exln(|x|) D．f(x)＝e|x|ln(|x|) 【答案】C 【解析】如题图，函数的定义域是{x|x≠0}，排除选项A，当x→－∞时，f(x)→0，排除选项B，D，因此选C． 2．已知函数在上的大致图象如下所示，则的解析式可能为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】函数图象关于轴对称，函数为偶函数，选项D中函数满足，为奇函数，排除D； 又选项C中函数满足，与图象不符，排除C； 选项A中函数满足，与图象不符，排除A，只有B可选．故选：B． 考点三 解析式含参数的图像问题（同时满足多个函数图像） 【例3】1．在同一直角坐标系中，函数，，且的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为函数的图象与函数的图象关于轴对称， 所以函数的图象恒过定点，故选项A、B错误； 当时，函数在上单调递增，所以函数在上单调递减， 又在和上单调递减，故选项D错误，选项C正确.故选：C. 【训练3】1．如图所示，当时，函数与的图象是( ) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据题意，ab＞0，即a．b同号，当a＞0时，b＞0，y＝ax2的图象开口向上，过原点，y＝ax＋b过一．二．三象限；此时，没有选项符合，当a＜0时，b＜0，y＝ax2的图象开口向下，过原点，y＝ax＋b过二．三．四象限，此时，D选项符合． 2．已知函数（a，b为常数，其中且）的图象如图所示，则下列结论正确的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【解析】由图象可得函数在定义域上单调递增，所以，排除A，C； 又因为函数过点,所以，解得．故选：D 3．已知函数f(x)＝ax－2，g(x)＝loga|x|(a>0，且a≠1)，f(2 011)·g(－2 012)<0，则y＝f(x)，y＝g(x)在同一坐标系内的大致图象是( ) 【答案】B 【解析】由f(2 011)·g(－2 012)<0，知0<a<1，根据函数g(x)＝loga|x|(0<a<1)的图象和函数， f(x)＝ax－2(0<a<1)的图象，知选项B正确． 4．在同一直角坐标系中，函数且的图象可能是（ ） A．B．C． D． 【答案】D 【解析】当时，函数过定点且单调递减，则函数过定点且单调递增， 函数过定点且单调递减，D选项符合； 当时，函数过定点且单调递增，则函数过定点且单调递减， 函数过定点且单调递增，各选项均不符合.综上，选D. 考点四 函数图象的变换 【例4】1．函数y＝21－x的大致图象为( ) 【答案】A 【解析】y＝21－x＝，因为0＜＜1，所以y＝为减函数，取x＝0时，则y＝2，故选A． 2．函数f(x)＝则y＝f(1－x)的图象是( ) 【答案】C 【解析】画出y＝f(x)的图象，再作其关于y轴对称的图象，得到y＝f(－x)的图象，再将所得图象向右平移1个单位，得到y＝f[－(x－1)]＝f(－x＋1)的图象．答案　C 【训练4】1．函数y＝log2(|x|＋1)的图象大致是( ) 【答案】B 【解析】当x＞0时，y＝log2(x＋1)，先画出y＝log2x的图象，再将图象向左平移1个单位，最后作出关于y轴对称的图象，得与之相符的图象为B．答案：B 2．函数f(x)＝lg(|x|－1)的大致图象是( ) 【答案】B 【解析】易知f(x)为偶函数，故只考虑x＞0时f(x)＝lg(x－1)的图象，将函数y＝lg x图象向x轴正方向平移一个单位得到f(x)＝lg(x－1)的图象，再根据偶函数性质得到f(x)的图象． 3．已知图1对应的函数为，则图2对应的函数是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据函数图象知，当时，所求函数图象与已知函数相同， 当时，所求函数图象与时图象关于轴对称， 即所求函数为偶函数且时与相同，故BD不符合要求， 当时，，，故A正确，C错误.故选：A. 考点五 函数图象应用 【例5】1．高为、满缸水量为的鱼缸的轴截面如图所示，现底部有一个小洞，满缸水从洞中流出，若鱼缸水深为时水的体积为，则函数的大致图像是( ) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据题意知，函数的自变量为水深，函数值为鱼缸中水的体积，所以当时，体积，所以函数图像过原点，故排除A、C； 再根据鱼缸的形状，下边较细，中间较粗，上边较细，所以随着水深的增加，体积的变化速度是先慢后快再慢的，故选B. 【训练5】1．如图为某无人机飞行时，从某时刻开始15分钟内的速度（单位：米/分钟）与时间（单位：分钟）的关系．若定义“速度差函数”为无人机在时间段内的最大速度与最小速度的差，则的图像为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意可得，当时，无人机做匀加速运动，，“速度差函数”； 当时，无人机做匀速运动，，“速度差函数”； 当时，无人机做匀加速运动，，“速度差函数”； 当时，无人机做匀减速运动，“速度差函数”，结合选项C满足“速度差函数”解析式， 故选：C. 2．列车从地出发直达外的地，途中要经过离地的地，假设列车匀速前进，后从地到达地，则列车与地距离（单位：与行驶时间（单位：）的函数图象为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题可知列车的运行速度为，列车到达地的时间为， 故当时，.故选：C. 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