专题1.3 空间向量基本定理（6类必考点）-2025-2026学年高二数学人教A版2019选择性必修第一册

专题1.3 空间向量基本定理 【知识梳理】 1 【考点1：基底的概念与辨析】 2 【考点2：用基底表示向量】 3 【考点3：正交分解】 4 【考点4：利用空间向量的基本定理解决角度问题】 5 【考点5：理由空间向量的基本定理解决长度问题】 7 【考点6：空间向量基本定理中的参数问题】 9 【知识梳理】 1．空间向量基本定理 如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc，我们把{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量． 2．用基底表示向量的步骤 (1)定基底：根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一个基底． (2)找目标：用确定的基底(或已知基底)表示目标向量，需要根据三角形法则及平行四边形法则，结合 相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简，最后求出结果． (3)下结论：利用空间的一个基底{}可以表示出空间所有向量．表示要彻底，结果中只能含 有，不能含有其他形式的向量． 3．空间向量的正交分解 (1)单位正交基底 如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都是1，那么这个基底叫做单位正交基底 ，常用{i，j，k}表示． (2)向量的正交分解 由空间向量基本定理可知，对空间任一向量a，均可以分解为三个向量xi，yj，zk使得a＝xi＋yj＋zk. 像这样把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解． 4．求夹角、证明垂直问题 (1)θ为a，b的夹角，则cos θ＝. (2)若a，b是非零向量，则a⊥b⇔a·b＝0. 5．求距离(长度)问题 ＝( ＝ )． 6．利用空间向量基本定理解决几何问题的思路: (1)平行和点共线都可以转化为向量共线问题；点线共面可以转化为向量共面问题； (2)几何中的求夹角、证明垂直都可以转化为向量的夹角问题，解题中要注意角的范围； (3)几何中求距离(长度)都可以转化为向量的模，用向量的数量积可以求得． 【考点1：基底的概念与辨析】 1．（24-25高二上·广东深圳·期末）已知为空间的一组基底，则下列各组向量中能构成空间的一组基底的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 2．（2025·上海黄浦·二模）如图，在平行六面体中，设，，若、、组成空间向量的一个基底，则可以是（    ）    A． B． C． D． 3．（23-24高二上·吉林长春·期末）若是空间的一组基，且向量，则可以与构成空间的另一组基的向量是（   ） A． B． C． D． 4．（多选）（24-25高二下·江苏宿迁·期中）若为空间的一个基底，则下列各组向量一定能构成空间的一个基底的是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·陕西西安·期末）若是空间的一个基底，且向量，，不能构成空间的一个基底，则实数 ． 【考点2：用基底表示向量】 1．（24-25高二上·江苏常州·期中）如图，在平行六面体中，M为与的交点．若，，，则下列向量中与相等的向量是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·贵州黔南·期中）如图所示，空间四边形中，，，，点在上，点在上，且，，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·天津滨海新·期中）如图所示，在平行六面体 中，M是 的中点，点N是CA₁上的点，且 用表示向量 的结果是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高二下·云南文山·阶段练习）已知空间四边形，，分别是边，的中点，点在线段上，且使，用向量，，表示向量是（   ） A． B． C． D． 5．（2025·湖北·二模）如图所示，在平行六面体中，，.设，，，，则（   ） A． B． C． D． 【考点3：正交分解】 1．（24-25高二下·江苏·课后作业）已知是空间的一个单位正交基底，向量用坐标形式可表示为 ． 2．（23-24高一下·湖南长沙·期末）已知是空间的一个单位正交基底，向量是空间的另一个基底，用基底表示向量 . 3．（24-25高二上·山东烟台·阶段练习）设是单位正交基底，已知，若向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·湖北武汉·阶段练习）向量是空间的一个单位正交基底，向量在基底，，下的坐标为，则在基底的坐标为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二下·全国·课后作业）设是单位正交基底，已知向量在基底下的坐标为，其中，，，则向量在基底下的坐标是（   ） A． B． C． D． 【考点4：利用空间向量的基本定理解决角度问题】 1．（24-25高二上·广东佛山·阶段练习）两条异面直线，所成的角为，在直线，上分别取点、和点、，使得，且.已知，，，则 . 2．（23-24高一下·重庆·期末）在矩形中，，，沿对角线将矩形折成一个大小为的二面角，当点与点之间的距离为3时，（    ）． A． B． C． D．   3．（2024·山西晋中·三模）已知三棱锥中，分别为棱的中点，则直线与所成角的正切值为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·安徽·阶段练习）已知在三棱柱中，，记，. (1)求证：四边形为矩形； (2)若，求异面直线与所成角的余弦值. 5．（24-25高二上·福建厦门·期中）如图，在矩形和中，，记. (1)将用表示出来； (2)当等于多少时，线段的长度取得最小值？求此时与夹角的余弦值. 6．（24-25高二上·浙江台州·期末）如图，在直三棱柱中，，，. (1)用表示； (2)求直线与直线所成角的余弦值. 【考点5：理由空间向量的基本定理解决长度问题】 1．（24-25高二上·安徽蚌埠·期末）平行六面体，其中，，，，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·海南·期中）如图，在多面体中，底面是边长为1的正方形，底面底面，且是正方形的中心，若，则（    ） A．2 B． C．5 D． 3．（24-25高二上·山西·阶段练习）如图，在平行四边形中，，，将沿折起到位置，使得二面角的大小为，则 . 4．（24-25高二上·河南濮阳·阶段练习）如图所示，平行六面体的底面是边长为2的正方形，侧棱的长为3，，则对角线的长是 ． 5．（24-25高三下·江西九江·阶段练习）已知异面直线所成的角为，在直线上，在直线上，，则间的距离为 ． 6．（24-25高二上·内蒙古包头·阶段练习）如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都是1，，，为与的交点．设，，． (1)用，，表示，并求的值； (2)求的值． 【考点6：空间向量基本定理中的参数问题】 1．（2025高二·全国·专题练习）我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图，四棱锥为阳马，平面，点是边上一点,且，若，则（   ） A．1 B．2 C． D． 2．（2025高二·全国·课后作业）是空间的一个基底，向量，，，.若，则x，y，z的值分别为（    ） A．，1， B．，1， C．，1， D．，1， 3．（24-25高二上·河南·期中）在四面体中，为棱的中点，为线段的中点，若，则（    ） A． B．1 C．2 D．3 4．（24-25高二上·浙江台州·期中）如图，在三棱锥中，点为的重心，点在上，若，，，则下列说法正确的是（    ） A．若点为的重心，则 B．若，则四点不共面 C．若三棱锥各条棱长均等于，则相对棱之间的距离均等于 D．若与平面交于点，且，则为定值 5．（24-25高二上·重庆·期中）在三棱锥中，为的重心，，，，其中，，若交平面于点，且，则的取值范围为（   ）      A． B． C． D． 6．（24-25高二上·四川成都·期中）已知三棱锥，如图所示，为重心，点，为，中点，点，分别在，上，，，若四点共面，则 ． 7．（24-25高二上·山西晋城·期中）如图，三棱锥中，，分别是，上的点，且，，设，，． (1)试用，，表示向量； (2)已知，，且，若，求的值． 8．（24-25高二上·全国·课后作业）如图，在空间中平移到，连接对应顶点，设分别是的中点，是上一点． (1)若为的中点，用向量法证明：； (2)若，问是否存在点使得，并说明理由． 第 1 页 共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.3 空间向量基本定理 【知识梳理】 1 【考点1：基底的概念与辨析】 2 【考点2：用基底表示向量】 5 【考点3：正交分解】 8 【考点4：利用空间向量的基本定理解决角度问题】 11 【考点5：理由空间向量的基本定理解决长度问题】 16 【考点6：空间向量基本定理中的参数问题】 21 【知识梳理】 1．空间向量基本定理 如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc，我们把{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量． 2．用基底表示向量的步骤 (1)定基底：根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一个基底． (2)找目标：用确定的基底(或已知基底)表示目标向量，需要根据三角形法则及平行四边形法则，结合 相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简，最后求出结果． (3)下结论：利用空间的一个基底{}可以表示出空间所有向量．表示要彻底，结果中只能含 有，不能含有其他形式的向量． 3．空间向量的正交分解 (1)单位正交基底 如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都是1，那么这个基底叫做单位正交基底 ，常用{i，j，k}表示． (2)向量的正交分解 由空间向量基本定理可知，对空间任一向量a，均可以分解为三个向量xi，yj，zk使得a＝xi＋yj＋zk. 像这样把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解． 4．求夹角、证明垂直问题 (1)θ为a，b的夹角，则cos θ＝. (2)若a，b是非零向量，则a⊥b⇔a·b＝0. 5．求距离(长度)问题 ＝( ＝ )． 6．利用空间向量基本定理解决几何问题的思路: (1)平行和点共线都可以转化为向量共线问题；点线共面可以转化为向量共面问题； (2)几何中的求夹角、证明垂直都可以转化为向量的夹角问题，解题中要注意角的范围； (3)几何中求距离(长度)都可以转化为向量的模，用向量的数量积可以求得． 【考点1：基底的概念与辨析】 1．（24-25高二上·广东深圳·期末）已知为空间的一组基底，则下列各组向量中能构成空间的一组基底的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】A 【分析】由空间向量的基底的定义建立方程，可得答案. 【详解】对于A，设，无解， 所以，，不共面，能构成空间的一组基底，故A正确； 对于B，设，解得， 所以，，共面，不能构成空间的一个基底，故B错误； 对于C，设，解得， 所以，，共面，不能构成空间的一个基底，故C错误； 对于D，设，解得， 所以，，共面，不能构成空间的一个基底，故D错误. 故选：A. 2．（2025·上海黄浦·二模）如图，在平行六面体中，设，，若、、组成空间向量的一个基底，则可以是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用平行六面体的结构特征，结合空间共面向量定理爱空间向量基本定理逐项判断. 【详解】由，，、、组成空间向量的一个基，得向量、、不共面， 对于A，在平行六面体中，，则与、共面，A不是； 对于C，，与、共面，C不是； 对于D，，与、共面，D不是； 对于B，由，得，不共面， 假设与、共面，则存在，使得， 而，则， 整理得，从而，此方程组无解， 假设不成立，因此与、不共面，可以是. 故选：B 3．（23-24高二上·吉林长春·期末）若是空间的一组基，且向量，则可以与构成空间的另一组基的向量是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】逐一判断选项中的向量是否与共面即可，如果不共面就符合题意. 【详解】由题意知，不共面，对于选项A，，故共面，排除A； 对于选项B，，故共面，排除B； 对于选项D，由选项A得，，故共面，排除D． 对于C，，向量，而不与共面，故C正确. 故选：C. 4．（多选）（24-25高二下·江苏宿迁·期中）若为空间的一个基底，则下列各组向量一定能构成空间的一个基底的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】由基底的概念逐项判断即可. 【详解】对于A：因为，共面，不能构成基底； 对于B：设，所以，无解， 所以是不共面的向量，能构成空间的一个基底，故B正确； 对于C：设，显然无解，所以能构成空间的一个基底，C正确； 对于D：设，则， 所以，无解， 所以是不共面的向量，能构成空间的一个基底，故D正确； 故选：BCD 5．（24-25高二上·陕西西安·期末）若是空间的一个基底，且向量，，不能构成空间的一个基底，则实数 ． 【答案】 【分析】根据题意，可知存在，使得，结合空间向量基本定理运算求解. 【详解】由不能构成空间的一个基底，则存在，使得， 即， 所以，解得. 故答案为：. 【考点2：用基底表示向量】 1．（24-25高二上·江苏常州·期中）如图，在平行六面体中，M为与的交点．若，，，则下列向量中与相等的向量是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用向量的线性运算求解即可. 【详解】因为M为与的交点，所以M是与的中点， 所以. 故选：D. 2．（24-25高二下·贵州黔南·期中）如图所示，空间四边形中，，，，点在上，点在上，且，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意可得，，，又，从而可求解. 【详解】因为，，， 所以， 因为，，所以， 所以. 故选：D． 3．（24-25高一下·天津滨海新·期中）如图所示，在平行六面体 中，M是 的中点，点N是CA₁上的点，且 用表示向量 的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合图形，利用空间向量的加减数乘运算，将用空间的基底表示即可. 【详解】由图可得： . 故选：C. 4．（24-25高二下·云南文山·阶段练习）已知空间四边形，，分别是边，的中点，点在线段上，且使，用向量，，表示向量是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据空间向量的加法运算法则及数乘代换即可. 【详解】如图 ， 故选：C. 5．（2025·湖北·二模）如图所示，在平行六面体中，，.设，，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据空间向量的线性运算得，则得到其和值. 【详解】因为，， 则 ， 所以，故. 故选：D. 【考点3：正交分解】 1．（24-25高二下·江苏·课后作业）已知是空间的一个单位正交基底，向量用坐标形式可表示为 ． 【答案】 【分析】 由向量坐标的定义求解. 【详解】 由向量坐标的定义可知，是空间的一个单位正交基底，． 故答案为： 2．（23-24高一下·湖南长沙·期末）已知是空间的一个单位正交基底，向量是空间的另一个基底，用基底表示向量 . 【答案】 【分析】设，然后整理解方程组即可. 【详解】设， 即有， 因为是空间的一个单位正交基底， 所以有， 所以. 故答案为： 3．（24-25高二上·山东烟台·阶段练习）设是单位正交基底，已知，若向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意将向量用表示出来即可. 【详解】因为，向量在基底下的坐标为， 所以 ， 所以向量在基底下的坐标是. 故选：A 4．（24-25高二上·湖北武汉·阶段练习）向量是空间的一个单位正交基底，向量在基底，，下的坐标为，则在基底的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，根据空间向量基本定理即可建立关于，，的方程，解方程即得，，． 【详解】 设； 由题意可知， ，解得； 在基底下的坐标为． 故选：A． 5．（24-25高二下·全国·课后作业）设是单位正交基底，已知向量在基底下的坐标为，其中，，，则向量在基底下的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可得出，再结合，，，可得出关于基底的表达式，即可得解. 【详解】因为向量在基底下的坐标为，即， 又因为，，， 则， 因此，向量在基底下的坐标是. 故选：A. 【考点4：利用空间向量的基本定理解决角度问题】 1．（24-25高二上·广东佛山·阶段练习）两条异面直线，所成的角为，在直线，上分别取点、和点、，使得，且.已知，，，则 . 【答案】/0.5 【分析】由两边同时平方计算可得答案． 【详解】如图，两条异面直线，所成的角为， ，，，，， 或，， ， 则 ， 得或（舍去） 故答案为： 2．（23-24高一下·重庆·期末）在矩形中，，，沿对角线将矩形折成一个大小为的二面角，当点与点之间的距离为3时，（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量的线性运算可得，利用模长公式，结合数量积的运算即可求解. 【详解】分别作，，垂足为，则． 由，可得， 所以． 因为， 则 即， 故， 故选：B．    3．（2024·山西晋中·三模）已知三棱锥中，分别为棱的中点，则直线与所成角的正切值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据空间向量的数量积和运算律求出的值，再分别求出两向量的模，最后利用夹角公式即可. 【详解】记，则， ， 则， ， ， 设直线与所成的角为则 ， 所以 故选：C. 4．（24-25高二上·安徽·阶段练习）已知在三棱柱中，，记，. (1)求证：四边形为矩形； (2)若，求异面直线与所成角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用空间向量的基本定理及线性运算可得，可得从而证得； （2）由向量的线性运算可得，，再根据异面直线与所成角的余弦值的公式求解即可. 【详解】（1）由已知该几何体是三棱柱， 所以四边形为平行四边形， 又， 所以， 故，即. 所以四边形为矩形. （2）由已知， 又， ； 同理， ， ， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 5．（24-25高二上·福建厦门·期中）如图，在矩形和中，，记. (1)将用表示出来； (2)当等于多少时，线段的长度取得最小值？求此时与夹角的余弦值. 【答案】(1) (2)，. 【分析】（1）利用空间向量的加减运算法则化简即得； （2）分别求得，利用向量数量积的运算律求得，再利用空间向量的夹角公式计算即得结果. 【详解】（1）由图知， . （2）由题意， 由（1） ， 所以当时有最小值即有最小值； 此时，， 故， 且， 设与的夹角为，则. 6．（24-25高二上·浙江台州·期末）如图，在直三棱柱中，，，. (1)用表示； (2)求直线与直线所成角的余弦值. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）利用空间向量基本定理得到； （2）两边平方，求出，得到，并求出，，利用异面直线向量夹角余弦公式求出答案. 【详解】（1）， 故 ； （2）由（1）知，，两边平方得 因为三棱柱为直三棱柱，， 所以，故， ， 所以， 故. 因为，故， 设直线与直线所成角为， ， 所以， 所以直线与直线所成角的余弦值为. 【考点5：理由空间向量的基本定理解决长度问题】 1．（24-25高二上·安徽蚌埠·期末）平行六面体，其中，，，，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】用空间向量基本定理表示出，然后平方后转化为数量积的运算求得． 【详解】解：如图， 可得， 故 ． ． 故选：A 2．（24-25高二上·海南·期中）如图，在多面体中，底面是边长为1的正方形，底面底面，且是正方形的中心，若，则（    ） A．2 B． C．5 D． 【答案】A 【分析】设，用基底表示出，再由数量积的运算律化简可求出，即可得出答案. 【详解】因为底面是边长为1的正方形，底面底面ABCD， 所以，，，设， 因为， ， ，解得：， 故. 故选：A. 3．（24-25高二上·山西·阶段练习）如图，在平行四边形中，，，将沿折起到位置，使得二面角的大小为，则 . 【答案】 【分析】利用空间向量，将二面角的大小用表示，将条件和目标都用表示，再运用向量数量积求模长即可． 【详解】因为二面角的大小为，所以， 又且， 所以， 所以. 故答案为： 4．（24-25高二上·河南濮阳·阶段练习）如图所示，平行六面体的底面是边长为2的正方形，侧棱的长为3，，则对角线的长是 ． 【答案】 【分析】将对角线表示成，然后根据向量的方法计算出对角线的长即可. 【详解】，且的长为3，， 故，，， 由于， 所以 ． 故答案为：. 5．（24-25高三下·江西九江·阶段练习）已知异面直线所成的角为，在直线上，在直线上，，则间的距离为 ． 【答案】或 【分析】根据空间向量基本定理结合空间向量线性运算，用表示，利用模长公式可计算间的距离. 【详解】 以向量为基底，由题知：或， ∴， 当时，，∴， 当时，，∴． 故答案为：或． 6．（24-25高二上·内蒙古包头·阶段练习）如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都是1，，，为与的交点．设，，． (1)用，，表示，并求的值； (2)求的值． 【答案】(1)， (2)2 【分析】（1）先根据平行六面体的性质找到向量之间的关系，用表示出，再通过向量模的计算公式求出的值； （2）先求出，再根据向量数量积的运算规则求出的值. 【详解】（1）因为平行六面体中，为与的交点， 所以是中点，也是中点， 又因为，且平行六面体中，， 那么， 因为，， 所以， ， 因为，所以，又，， 所以， ，所以. （2）因为， 所以 . 【考点6：空间向量基本定理中的参数问题】 1．（2025高二·全国·专题练习）我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图，四棱锥为阳马，平面，点是边上一点,且，若，则（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】利用空间向量基本定理将用，和表示出来，对照各项系数计算即得. 【详解】∵，∴， ∴ ， 则，，，故． 故选:A. 2．（2025高二·全国·课后作业）是空间的一个基底，向量，，，.若，则x，y，z的值分别为（    ） A．，1， B．，1， C．，1， D．，1， 【答案】A 【分析】利用空间向量的基本定理得，即可求结果. 【详解】 ， 由空间向量基本定理，得，解得. 故选：A 3．（24-25高二上·河南·期中）在四面体中，为棱的中点，为线段的中点，若，则（    ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据空间向量的线性运算即可求解. 【详解】如图， ， 又， 所以，则. 故选：C 4．（24-25高二上·浙江台州·期中）如图，在三棱锥中，点为的重心，点在上，若，，，则下列说法正确的是（    ） A．若点为的重心，则 B．若，则四点不共面 C．若三棱锥各条棱长均等于，则相对棱之间的距离均等于 D．若与平面交于点，且，则为定值 【答案】D 【分析】对于A，利用空间向量的线性运算即可判断；对于B，利用空间向量共面的充要条件证明四点共面即可判断，对于C，将三棱锥放到正方体中，由三棱锥的棱长为，可得正方体的棱长为，即可判断，对于D，用两种方法表示出，由空间向量的基本定理求得的值. 【详解】 对于A，连接并延长，交于点， 由题意，可令作为空间向量的一组基底， 由，故A错误； 对于B，由， 则， 故，因此可得四点共面，故B错误； 对于C，若三棱锥各条棱长均等于，如图，将三棱锥放到正方体中， 由三棱锥的棱长为，可得正方体的棱长为， 所以相对棱之间的距离即为正方体的棱长，等于，故C错误； 对于D，由， 连接．因为点共面，所以存在唯一的实数对， 使，即， 所以． 由空间向量基本定理，知，，， 所以，则为定值，故D正确． 故选：D. 【点睛】关键点睛：针对选项C，在解正四面体有关的知识时，可以放正方体中更加直观方便求解，针对D选项，关键是用两种方法表示出，再结合空间向量的基本定理即可求解. 5．（24-25高二上·重庆·期中）在三棱锥中，为的重心，，，，其中，，若交平面于点，且，则的取值范围为（   ）      A． B． C． D． 【答案】A 【分析】应用四点共面定理可知，若四点共面，则可用表示，且系数和为1，通过条件表示向量，可得的关系，代入计算可得结果. 【详解】连结并延长交于，因为为重心，则为中点， ， ， 四点共面，则，即， 因为，所以，解得：， ，，， 即， 故选：A    【点睛】知识点点睛：若四点共面，且面外一点，则可用表示且系数和为1. 6．（24-25高二上·四川成都·期中）已知三棱锥，如图所示，为重心，点，为，中点，点，分别在，上，，，若四点共面，则 ． 【答案】4 【分析】先得到，进一步有，结合四点共面的充要条件即可求解. 【详解】如图所示：    设中点为，连接，因为点G为重心， 所以点在线段上面， 因为 ， 所以， 所以， 若M，D，E，F四点共面，则，解得， 故答案为：4. 7．（24-25高二上·山西晋城·期中）如图，三棱锥中，，分别是，上的点，且，，设，，． (1)试用，，表示向量； (2)已知，，且，若，求的值． 【答案】(1) (2)2 【分析】（1）借助空间向量线性运算法则计算即可得； （2）由题意可得，结合数量积公式计算即可得. 【详解】（1） ． （2）由可得， 即， 即， 即， 即，． 8．（24-25高二上·全国·课后作业）如图，在空间中平移到，连接对应顶点，设分别是的中点，是上一点． (1)若为的中点，用向量法证明：； (2)若，问是否存在点使得，并说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)不存在，理由见解析 【分析】（1）以为基底表示出，根据向量相等来证得. （2）设，利用基底表示出，通过计算得到，从而判断出不存在符合题意的点. 【详解】（1）当为的中点时， ， ， 所以． （2）设，则 ， 由于，， 所以 ， 即，故不存在点使得． 第 1 页 共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $$