2.5均值定理-知识点训练卷 浙江省2026年单考单招《数学考纲百套卷》第9卷（原卷版+解析版）

编写说明：浙江省2026年单考单招《数学考纲百套卷》，依据《中等职业学校数学课程标准》（2020年版）及浙江历年单考单招真题进行编写。本套试卷共100份：第一部分是按照课程标准编写的71份知识点训练卷；第二部分是集合与充要条件、函数、三角函数等10个章节的29份专题训练卷；第三部分是参考近年考试真题编写的10份综合模拟卷。 本卷是浙江省2026年单考单招《数学考纲百套卷》的第9卷，是知识点训练卷，主要考查均值定理的掌握情况。 浙江省2026年单考单招《数学考纲百套卷》 第9卷 2.5 均值定理 知识点训练卷 考试时间：45分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分） 1．已知，且，则的最大值为（   ） A．2 B．4 C．8 D．16 2．若矩形的面积为4，则其周长的最小值为（    ） A．4 B．6 C．8 D． 3．已知皆为正数，且，则（   ） A．有最小值4 B．有最大值4 C．有最小值6 D．有最大值6 4．已知，则的最小值是（   ） A．27 B．3 C．8 D．9 5．已知正数满足，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 6．已知，则的最小值为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 7．正数满足，若对任意正数恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．若，则的最大值是（   ） A． B． C． D． 9．若实数满足，其中，则的最小值是（    ） A． B． C．5 D．25 10．已知，，且，则的最小值为（ ） A．4 B．6 C． D．8 二、填空题（本题共5小题，每小题4分，共20分） 11．已知，则函数的最小值为 ． 12．函数的最大值为 ． 13．当时，函数的最小值为 ． 14．若是实数，且，则的最小值是 ． 15．已知，则的最小值为 ． 三、解答题（本题共4小题，每小题10分，共40分） 16．已知正数满足， 求的最小值. 17．用一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大？此时菜园的面积是多少？ 18．如图，一份印刷品的排版（阴影部分）为矩形，面积为，它的左、右两边都留有宽为2的空白，上、下两边都留有宽为 1的空白.记纸张的面积为 S，排版矩形的长和宽分别为x，y. (1)用x，y 表示 S; (2)如何选择纸张的尺寸，才能使纸张的面积最小? 并求最小面积. 19．新能源开发能够有效地解决我国能源短缺和传统能源使用带来的环境污染问题，国家新能源政策的出台，给新能源产业带来了春天，已知江苏某新能源企业，年固定成本万元，每生产台设备，另需投入成本万元，若年产量不足台，则；若年产量不小于台，则，每台设备售价万元，通过市场分析，该企业生产的设备能全部售完. (1)写出年利润（万元）关于年产量（台）的关系式； (2)年产量为多少台时，该企业所获利润最大？ 试卷第1页，共3页 第 9 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 编写说明：浙江省2026年单考单招《数学考纲百套卷》，依据《中等职业学校数学课程标准》（2020年版）及浙江历年单考单招真题进行编写。本套试卷共100份：第一部分是按照课程标准编写的71份知识点训练卷；第二部分是集合与充要条件、函数、三角函数等10个章节的29份专题训练卷；第三部分是参考近年考试真题编写的10份综合模拟卷。 本卷是浙江省2026年单考单招《数学考纲百套卷》的第9卷，是知识点训练卷，主要考查均值定理的掌握情况。 浙江省2026年单考单招《数学考纲百套卷》 第9卷 2.5 均值定理 知识点训练卷 考试时间：45分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分） 1．已知，且，则的最大值为（   ） A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】B 【分析】根据均值不等式即可得解. 【详解】因为，且， ，则， 当且仅当时，等号成立，所以的最大值为， 故选：. 2．若矩形的面积为4，则其周长的最小值为（    ） A．4 B．6 C．8 D． 【答案】C 【分析】设矩形的长为，宽为，再由基本不等式求最值即可. 【详解】已知矩形的面积为4，设矩形的长为，宽为， 则其周长的为，因为， 所以，当且仅当时等式成立， 所以，即周长的最小值为， 故选：C. 3．已知皆为正数，且，则（   ） A．有最小值4 B．有最大值4 C．有最小值6 D．有最大值6 【答案】A 【分析】根据题意，结合基本不等式，即可求解. 【详解】因为皆为正数，且， 所以， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 此时有最小值4. 故选：A. 4．已知，则的最小值是（   ） A．27 B．3 C．8 D．9 【答案】D 【分析】由基本不等式的性质求最值即可. 【详解】因为，即， 则， 当且仅当，即时，取等号， 故其最小值为9. 故选：D. 5．已知正数满足，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据基本不等式求解即可. 【详解】因为正数满足，根据基本不等式， 化简得，当且仅当等号成立. 则的最大值为. 故选：C. 6．已知，则的最小值为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】根据均值不等式即可得解. 【详解】因为， 则， 当且仅当时等号成立，此时或（舍）， 所以的最小值为， 故选：. 7．正数满足，若对任意正数恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先根据基本不等式求出的最小值，再求解一元二次不等式. 【详解】， 当且仅当等号成立. 因为对任意正数恒成立， 所以，即，解得. 则实数的取值范围是. 故选：A. 8．若，则的最大值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，结合基本不等式，即可求解. 【详解】因为，则， 所以，则， 当且仅当，即时，等号成立， 此时的最大值是. 故选：A． 9．若实数满足，其中，则的最小值是（    ） A． B． C．5 D．25 【答案】C 【分析】令，结合题意将变形成，利用均值不等式即可得解. 【详解】实数满足，其中， 令，则， 已知， 将变形为， 展开可得：， 对于，有， 所以，当且仅当时等号成立， 即的最小值是5， 故选：. 10．已知，，且，则的最小值为（ ） A．4 B．6 C． D．8 【答案】D 【分析】将展开，用代换，利用均值不等式，即可求解. 【详解】因为，，且， 所以， 因为， 当且仅当，即，时取等号， 所以. 故选：D. 二、填空题（本题共5小题，每小题4分，共20分） 11．已知，则函数的最小值为 ． 【答案】8 【分析】将函数进行化简，利用基本不等式，即可求解. 【详解】由题意知函数，， 所以 所以， 当且仅当，即时，等号成立，此时的最小值为8． 故答案为：. 12．函数的最大值为 ． 【答案】 【分析】利用基本不等式得到函数最大值. 【详解】， 由基本不等式可得，，等号当且仅当，即时成立， 因此，等号当且仅当时成立， 故答案为：. 13．当时，函数的最小值为 ． 【答案】 【分析】根据题意，结合基本不等式，即可求解. 【详解】因为， 又，， 所以函数， 当且仅当，即时，函数有最小值． 故答案为：. 14．若是实数，且，则的最小值是 ． 【答案】8 【分析】根据题意，结合指数幂的运算及基本不等式，即可求解. 【详解】因为是实数，所以， 又， 所以， 当且仅当，即时，等号成立，此时取得最小值8. 故答案为：8. 15．已知，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】根据题意，结合基本不等式，即可求解. 【详解】因为，则， 所以， 当且仅当，即时，等号成立，此时. 故答案为：. 三、解答题（本题共4小题，每小题10分，共40分） 16．已知正数满足， 求的最小值. 【答案】 【分析】根据基本不等式“1”的妙用，求最值即可. 【详解】因为，得， 即， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为. 17．用一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大？此时菜园的面积是多少？ 【答案】长为，宽为时菜园的面积最大，最大面积为 【分析】设出矩形的长和宽，根据篱笆的长度得到长与宽的关系. 再用基本不等式求得面积的范围，以及面积取最大值时，长和宽的取值. 【详解】设矩形菜园的长为，宽为，则有. 由于，从而， 并且当且仅当，即，时等号成立. 因此长为，宽为时，菜园的面积最大，最大面积为. 18．如图，一份印刷品的排版（阴影部分）为矩形，面积为，它的左、右两边都留有宽为2的空白，上、下两边都留有宽为 1的空白.记纸张的面积为 S，排版矩形的长和宽分别为x，y. (1)用x，y 表示 S; (2)如何选择纸张的尺寸，才能使纸张的面积最小? 并求最小面积. 【答案】(1) (2)纸张的长和宽分别为，时，纸张的面积最小，最小面积为. 【分析】（1）根据长方形面积公式列出解析式即可. （2）根据基本不等式即可确定最值. 【详解】（1）由阴影面积为， 可得，则纸张的长为，纸张的宽为， 所以. （2）由（1）可得，， 当且仅当，即时等号成立， 纸张的长和宽分别为，时，纸张的面积最小，最小面积为. 19．新能源开发能够有效地解决我国能源短缺和传统能源使用带来的环境污染问题，国家新能源政策的出台，给新能源产业带来了春天，已知江苏某新能源企业，年固定成本万元，每生产台设备，另需投入成本万元，若年产量不足台，则；若年产量不小于台，则，每台设备售价万元，通过市场分析，该企业生产的设备能全部售完. (1)写出年利润（万元）关于年产量（台）的关系式； (2)年产量为多少台时，该企业所获利润最大？ 【答案】(1) (2)当年产量为台时，该企业所获利润最大为万元. 【分析】（1）由题意根据利润等于销售额减去成本求解； （2）由二次函数的性质及基本不等式求解最大值即可. 【详解】（1）依题意，若年产量不足台，投入成本， 年固定成本万元，总收入万元， 故利润； 若年产量不小于台，投入成本， 年固定成本万元，总收入万元， 故利润. 故. （2）当，时，， 此时，当时，； 当，时， ， 当且仅当时，即当时，等号成立， 因为，故时，利润取得最大值，， 综上可知，当年产量为台时，该企业所获利润最大为万元. 试卷第1页，共3页 第 9 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 $$