串讲 一次函数（考点串讲，6考点+3专题突破+5易错）-2024-2025学年八年级数学下学期期末考点大串讲（北京版）

八年级数学下学期·期末复习大串讲 串讲 一次函数 （6考点+3专题突破+5易错） 01 02 04 03 目 录 易错易混 题型剖析 考点透视 押题预测 六大常考点：知识梳理+针对训练 三大专题突破（4图象与实际问题+2面积问题+3动态问题） 五大易错易混经典例题+针对训练 精选3道期末真题对应考点练 图象法 一、 三 二、四 增大 减小 一、三、四 二、三、四 上加下减 知识结构 3 知识梳理 知识点一：函数自变量的取值范围 1. 自变量的取值范围 (1)定义：使函数有意义的自变量的取值的全体叫做自变量的取值范围. (2)确定自变量取值范围的方法：其一，要使函数关系式有意义；其二，对实际问题中的函数关系，还应该使实际问题有意义. (3)不同类型的函数自变量取值范围的确定 类型 特征 举例 取值范围 整式型 等式右边是关于自变量的整式 y＝2x2＋3x－1 全体实数 分式型 等式右边是关于自变量的分式 y＝ 使分母不为0的实数 根 式 型 偶次根 式型 等式右边是关于自变量的开偶次方的式子 y＝ 使根号下的式子为大于或等于0 的数 奇次根 式型 等式右边是关于自变量的开奇次方的式子 y＝ 全体实数 1. 函数的图象 一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象． 通过图象可以数形结合地研究函数 知识点二：函数的图象 拓展：函数图象上的任意一点的坐标(x，y)中的x，y均满足函数解析式；满足函数解析式的任意一对x，y的值，所对应的点一定在这个函数的图象上. 2. 描点法画函数图象的一般步骤 步骤 描述 注意 列表 表中给出一些自变量的值及其对应的函数值 根据自变量的取值范围取值时，要从小到大或自中间向两边选取，并且取值要有代表性，以便全面地反映函数图象的全貌 描点 在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点 描点时取点越多，图象就越准确 连线 按照横坐标由小到大的顺序，把所描出的各点用平滑曲线连接起来 连线时用光滑的曲线，不要出现明显的拐弯点 函数 字母系数取值 （ k>0 ） 图象 经过的象限 函数性质 y＝kx+b (k≠0) b>0 y随x增大而 增大 b=0 b<0 第一、三象限 第一、二、三象限 第一、三、四象限 知识点三：一次函数的图象与性质 函数 字母系数取值 （ k<0 ） 图象 经过的象限 函数性质 y＝kx+b (k≠0) b>0 y随x增大而 减小 b＝0 b<0 第一、二、 四象限 第二、四象限 第二、三、 四象限 求一次函数解析式的一般步骤： （1）先设出函数解析式； （2）根据条件列关于待定系数的方程（组）； （3）解方程（组）求出解析式中未知的系数； （4）把求出的系数代入设的解析式，从而具体写出这个解析式.这种求解析式的方法叫待定系数法. 知识点四：用待定系数法求一次函数的解析式 　求ax+b=0(a，b是 　常数，a≠0)的解． x为何值时，函数 y= ax+b的值为0？ 从“数”的角度看 求ax+b=0(a, b是 　 常数，a≠0)的解． 　求直线y= ax+b与 x 　轴交点的横坐标． 从“形”的角度看 (1)一次函数与一元一次方程 知识点五：一次函数与方程、不等式 解不等式ax+b＞0 (a，b是常数，a≠0) ． 　x为何值时，函数 　y= ax+b的值大于0？ 解不等式ax+b＞0 (a，b是常数，a≠0) ． 求直线y= ax+b在 x轴 上方的部分（射线） 所对应的横坐标的 取值范围． 从“数”的角度看 从“形”的角度看 (2)一次函数与一元一次不等式 12 一般地，任何一个二元一次方程都可以转化为一次函数y=kx+b(k、b为常数，且k≠0)的形式，所以每个二元一次方程都对应一个一次函数，也对应一条直线． (3)一次函数与二元一次方程组 方程组的解 对应两条直线交点的坐标. 建立模型：认真分析实际问题中的数量关系，找出其中的常量与变量，设出变量，根据已知条件建立一次函数关系式。 确定定义域：根据实际问题的背景，确定自变量的取值范围，即函数的定义域。 求解问题：利用一次函数的性质和相关数学知识，对建立的函数模型进行求解，得出结果。 检验答案：将求得的结果代入原问题中进行检验，看是否符合实际意义，若不符合，则需要重新检查解题过程。 知识点六：一次函数的应用 2． 函数y＝中，自变量x的取值范围是　 　．  　　　　　　 　　　　　 　　　　　 知识点1：函数自变量的取值范围 1． 函数y＝中，自变量x的取值范围是( ) A． x＞2 B． x≥2 C． x≤－2 D． x≥2或x≤－2 　x≥1且x≠2　 B 针对训练 A B C D 知识点2：函数的图象 3． 如图，在大烧杯中放了一个小烧杯，现向小烧杯中匀速注水，小烧杯满了后继续匀速注水，则大烧杯的液面高度h与注水时间t的大致图象是( ) C C　　 　　D A　　　　　 B 4． 匀速地向一个容器内注水，在注满水的过程中，水面的高度h与时间t的函数关系如图所示，则该容器是下列四个中的( ) A A． 10 min时，水温升至100 ℃ B． 加热0~10 min时，水温随加热时间的增大而增大 C． 加热10 min后，水的温度不再变化 D． 加热0~10 min时，水的温度平均每分钟上升10 ℃ 5． (跨学科融合)嘉琪同学对水进行加热，并记录了水的温度T(℃)随加热时间t(min)变化的大致图象如图所示．下列说法错误的是( ) D 6． 周末小王骑电动车从家出发去商店买东西，当他骑了一段路时，想起要买一本书，于是原路返回到刚经过的新华书店，买到书后继续前往商场．如图，表示他离家的距离y(km)与所用的时间x(min)之间关系的图象．请根据图中提供的信息回答下列问题： (1)小王在新华书店停留了多长时间？ (2)小王距离商场多少千米时返回书店的？ 返回书店的速度是多少？ (3)小王在哪段路上骑行的速度最快？ 最快速度是多少？ 解：(1)30－20＝10(min)． ∴小王在新华书店停留了10 min． (2)6.25－6＝0.25(km)， (6－4)÷(20－15)＝0.4(km/min)． ∴小王距离商场0.25 km时返回书店的，返回书店的速度是0.4 km/min． (3)小王在买到书后前往商场的速度最快，最快速度是(6.25－4)÷(35－30)＝0.45(km/min)． 知识点3：一次函数的图象与性质 7． 一次函数y＝(k－3)x＋2的函数值y随x的增大而减小，则k的取值范围是( ) A． k＞0 B． k＜0 C． k＞3 D． k＜3 D 8． 若一次函数y＝x＋4的图象上有两点A，B(1，y2)，则下列说法正确的是( ) A． y1＞y2 B． y1≥y2 C． y1＜y2 D． y1≤y2 C 9． 已知直线y＝2x＋1是某一直线向上平移3个单位长度所得到的，则该直线的表达式为( ) A． y＝2x－2 B． y＝2x＋4 C． y＝2x＋7 D． y＝2x－5 A D C A B 10． 一次函数y＝ax＋b与正比例函数y＝abx(a，b为常数，且ab≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是( ) C C D A B 11． 若kb＜0，b－k＞0，函数y＝kx＋b与y＝bx＋k在同一坐标系中的图象是( ) D 12． (2024·镇江)点A(1，y1)，B(2，y2)在一次函数y＝3x＋1的图象上，则y1　 　y2．(填“＞”“＜”或“＝”)  　＜　 知识点4：待定系数法求函数关系式 13． 已知一次函数的图象经过点(－3，7)和点(2，－3)． (1)求一次函数的解析式；(2)求该函数图象与x轴的交点坐标． 解：(1)设一次函数的解析式为y＝kx＋b(k≠0)． 将点(－3，7)和点(2，－3)代入上式，得 ∴一次函数的解析式为y＝－2x＋1． (2)令y＝0，得－2x＋1＝0．解得x＝． ∴该函数图象与x轴的交点坐标为． 14． 若y与x－3成正比例，且x＝5时，y＝－4，试求出y与x的函数表达式． 解：由题意可设y＝k(x－3)(k≠0)． 把x＝5，y＝－4代入上式， 得－4＝(5－3)k．解得k＝－2． ∴y＝－2(x－3)＝－2x＋6． ∴y与x的函数表达式为y＝－2x＋6． 15． 如图，直线y＝kx＋b(k＞0)与x轴、y轴分别交于点A，B，且OA＝3，OB＝4． (1)求直线AB的解析式； (2)若C是第一象限内的直线AB上一点，当△AOC的面积为6时，求点C的坐标． 解：(1)∵OA＝3，OB＝4，∴A(3，0)，B(0，－4)． 将点A(3，0)，B(0，－4)代入y＝kx＋b， 得 ∴直线AB的解析式为y＝x－4． (2)设C． ∵△AOC的面积为6，∴OA·yC＝6，即×3×＝6．解得t＝6． ∴点C的坐标为(6，4)． 知识点5：一次函数与方程、不等式 16． 如图，已知一次函数y＝kx＋b的图象与x轴，y轴分别交于点(2，0)，点(0，3)，关于x的方程kx＋b＝0的解是( ) A． x＝2 B． x＝3 C． x＝0 D． 不确定 A 17． 一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象如图所示，点A(－1，4)在该函数的图象上，则不等式kx＋b＞4的解集为( ) A． x≥－1 B． x＜－1 C． x≤－1 D． x＞－1 B 18． 如图，已知y＝ax＋b和y＝kx的图象交于点P，根据图象可得关于x，y的二元一次方程组的解是  　．  19． 如图，直线l1∶y＝x＋1与直线l2∶y＝mx＋n相交于点P(a，2)． (1)求a的值； (2)不解关于x，y的方程组请你直接写出它的解； (3)请直接写出关于x的不等式x＋1≥mx＋n的解集． 解：(1)把点P(a，2)代入y＝x＋1， 得a＋1＝2．解得a＝1． (2)∵直线y＝x＋1与直线y＝mx＋n的交点P的坐标为(1，2)， ∴关于x，y的方程组 (3)由图象可知，关于x的不等式x＋1≥mx＋n的解集是x≥1． 知识点6：一次函数的应用 20． 某单位计划在新年期间组织员工到某地旅游，参加旅游的人数估计为10至25人，甲、乙两家旅行社的服务质量相同，且报价都是每人200元．经过协商，甲旅行社表示可给予每位游客七五折优惠；乙旅行社表示可先免去一位游客的旅游费用，然后给予其余游客八折优惠．设该单位参加这次旅游的人数是x人，选择甲旅行社时，所需的费用为y1元；选择乙旅行社时，所需的费用为y2元． (1)请分别写出y1，y2与x之间的关系式； (2)该单位选择哪一家旅行社支付的旅游费用较少？ 解：(1)由题意，得y1＝200×75%×x＝150x(10≤x≤25)， y2＝200×80%(x－1)＝160x－160(10≤x≤25)． (2)当150x＝160x－160时， 解得x＝16． ∴当x＝16时，两家旅行社费用一样； 当150x＜160x－160时， 解得x＞16． ∴当16＜x≤25时，甲旅行社费用较少； 当150x＞160x－160时， 解得x＜16． ∴当10≤x＜16时，乙旅行社费用较少． 综上所述，当人数为16人时，两家旅行社费用一样；当人数在10≤x＜16范围内时，选择乙旅行社旅支付的游费用较少；当人数在16＜x≤25范围内时，选择甲旅行社支付的旅游费用较少． 21． 端午节前夕，某大型超市采购了一批礼盒进行销售，这批礼盒有A型和B型两种共600个，其进价与标价如下表： 型号 进价 标价 A型 90元 120元 B型 50元 60元 (1)该超市将A型礼盒按标价的九折销售，B型礼盒按标价进行销售，当销售完这批礼盒后可获利9 200元，求该商场购进A型、B型这两种礼盒各多少个； (2)这批礼盒销售完毕后，该超市计划再次按原进价购进A、B两种礼盒共200个，且均按标价进行销售，请问如何进货能保证这批礼盒销售完之后获得利润最大，且利润不能超过成本的25%． 解：(1)设该商场购进A型礼盒x个，B型礼盒y个． 由题意，得 解得 答：该商场购进A型礼盒400个，B型礼盒200个． (2)设该商场购进A型礼盒a个，则购进B型礼盒(200－a)个． 由题意，得 (120－90)a＋(60－50)(200－a)≤［90a＋50(200－a)］×25%． 解得a≤50． ∵每个A型礼盒的利润比B型礼盒的利润高， ∴当a＝50时，利润最大． 此时200－50＝150(个)． 答：该商场购进A型礼盒50个，B型礼盒150个时，能保证这批礼盒销售完之后获得利润最大，且利润不能超过成本的25%． 22． (2024·黑龙江)甲、乙两货车分别从相距225 km的A，B两地同时出发，甲货车从A地出发途经配货站时，停下来卸货，半小时后继续驶往B地，乙货车沿同一条公路从B地驶往A地，但乙货车到达配货站时接到紧急任务立即原路原速返回B地，结果比甲货车晚半小时到达B地．如图是甲、乙两货车距A地的距离y(km)与行驶时间x(h)之间的函数图象，结合图象回答下列问题： (1)到达配货站之前，甲货车的速度是　 　km/h，乙货车的速度是________　 　km/h；  (2)求甲货车在配货站卸货后驶往B地的过程中，甲货车距 A地的距离y与行驶时间x之间的函数解析式； (3)直接写出甲、乙两货车在行驶的过程中，出发多长时间 甲、乙两货车与配货站的距离相等． 　40　 　30　 解：(2)∵3.5＋0.5＝4(h)，6－0.5＝5.5(h)， ∴E(4，105)， F(5.5，225)． 设线段EF对应的函数解析式为 y＝kx＋b(k≠0)． 将点E(4，105)，F(5.5，225)代入上式， 得 ∴甲货车在配货站卸货后驶往B地的过程中，甲货车距A地的距离y与行驶时间x之间的函数解析式为y＝80x－215(4≤x≤5.5)． (3)出发 h或 h或5 h时，甲、乙两货车与配货站的距离相等． 【提示】根据图中数据可求出线段CM对应的函数解析式为y＝225－40x＝－40x＋225(0≤x≤3)， 线段MN对应的函数解析式为y＝105＋40(x－3)＝40x－15(3＜x≤6)， 线段OD对应的函数解式为y＝30x(0≤x≤3.5)， 线段EF对应的函数解式为y＝80x－215(4≤x≤5.5)． 当0≤x≤3时， 由题意，得105－30x＝－40x＋225－105． 解得x＝； 当3＜x≤3.5时， 由题意，得105－30x＝40x－15－105．解得x＝； 当3.5＜x≤5.5，即当乙货车返回B地过程中与甲货车相遇时，两车与配货站的距离相等． 由题意，得80x－215＝40x－15．解得x＝5． 综上所述，出发 h或 h或5 h时，甲、乙两货车与配货站的距离相等． 函数图象与实际问题 专项突破一 39 类型一 由实物图形判断函数图象 1.向高为10的容器（形状如图）中注水，注满为止，则水深 与注水量 的函数关系的大致图象是( ) D A. B. C. D. 40 类型二 由实际情况的描述判断函数图象 2. 如图，用弹簧测力计将一铁块悬浮 于盛有水的水槽中，然后匀速向上提起，使铁块完全露 出水面，并上升一定高度，则下列能反映弹簧测力计的 读数与铁块被提起的时间 之间的函数关系的大 致图象是( ) A A. B. C. D. 41 3.小丽用洗衣机在洗涤衣服时经历了三个连续过程：注水、清洗、排水. 若洗衣服前洗衣机内无水，清洗时停止注水，则在这三个过程中洗衣机 内水量（升）与时间 （分）之间的函数关系对应的图象大致为( ) C A. B. C. D. 42 4.[2024·太原期末] 无人物品派送车现已应用于实际生活中.如图是派 送车某次派送的路线，该车从圆心 出发，按箭头所示方向，依次沿线 段半圆弧线段匀速行驶，最后回到点 处.则该车离出发点 的距离与所用时间 之间关系的图象大致是( ) B A. B. C. D. 43 5. 某校与部队联合开展红色之旅研学活动，上午 ，部队官兵乘坐军车从营地出发，同时学校师生乘坐大巴从学 校出发，沿公路（如图）到爱国主义教育基地进行研学.上午 ， 军车追上大巴并继续前行，到达仓库后，部队官兵下车领取研学物资， 然后乘坐军车按原速前行，最后和师生同时到达基地，设军车与大巴离 仓库的路程为，所用时间为 ，则下列图象能正确反映上述过程的是 ( ) A. B. C. D. √ 44 类型三 由函数图象描述实际问题 6.在雨地里放置一个无盖的容器，如果雨水均匀地落入 容器中，容器内水面高度与时间 之间的函数图象如 图所示，那么这个容器的形状可能是( ) B A. B. C. D. 45 7.[2024·武汉青山区期末] 匀速地向一个容器内注水，最后把容器注满， 在注水过程中，水面高度随时间 的变化规律如图所示（图中 是一条折线）.这个容器的形状可能是下面图中的( ) D A. B. C. D. 46 8.星期六早晨，蕊蕊妈妈从家里出发去观山湖公园锻炼，她匀速走了 后回家.如图中的折线段 是她出发后所在的位置离 家的距离与行走时间 之间的函数关系图，则下列图形中可 以大致描述蕊蕊妈妈行走的路线的是( ) B A. B. C. D. 47 类型四 从函数图象中获取信息 9.嘉淇同学对水进行加热，并记录了水温随加热时间 变化的 大致图象，如图所示.下列说法错误的是( ) D A.时，水温升至 B.加热 时，水温随加热时间的增大而增 大 C.加热 后，水温不再变化 D.加热时，水温平均每分钟上升 48 10. 把多个用电器连接在同一个插线板上，同时使用一 段时间后，插线板的电源线会明显发热，存在安全隐患.数学兴趣小组 对这种现象进行研究，得到时长一定时，插线板电源线中的电流 与使 用电器的总功率的函数图象（如图①），插线板电源线产生的热量 与 的函数图象（如图②）.下列结论中错误的是( ) A.当时， B.随 的增大而增大 C.每增加， 的增加量相同 D. 越大，插线板电源线产生的热量 越多 √ 49 11.[2024·廊坊期末] ，两地相距 ，甲8： 00由地出发骑自行车去地，速度为 ； 乙9：30由地出发开汽车也去 地，速度为 .两人之间的距离 与甲行驶的时间 的函数关系大致如图所示，下列说法中正确 的是( ) A A.， B.， C.乙到达地时两人相距 D.乙比甲提前到 地 50 [解析] 点拨：根据题意，得甲到达B地所需的时间为 ， . 乙到达B地所需的时间为 . 设乙出发后与甲相遇，则，解得 ， ，故A正确. ， ，故B错误. ， 乙比甲提前 到B地，故D错误. 乙到达B地时两人相距 ，故C错误. 51 一次函数与面积问题 专项突破二 52 类型一 直接利用面积公式求面积 1.如图，在平面直角坐标系中，直线 的解析式为 ，直线的解析式为，与 轴、 轴分别交于点，，直线与交于点 . （1）求出点， 的坐标； 解：当时，， . 令，得， . 53 （2）求 的面积. 解：联立方程组解得 ， 易知， . 54 2.如图，在平面直角坐标系中，正比例函数 与 一次函数的图象相交于点 ,一次函 数的图象与轴交于点.过点作 轴的平行线，分别交与 的图象于 点,，连接 . （1）求这两个函数的解析式； 解：因为正比例函数与一次函数 的图象相交于点 ,所以，，解得, .所以正比例函数的 解析式为，一次函数的解析式为 . 55 （2）求 的面积. 解：因为轴，,所以点,的纵坐标均为4.把 代入 ,得，所以 . 把代入 ， 得，所以.所以 . 又因为，所以 . 所以 . 56 类型二 已知图形面积求点的坐标 3.如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与 轴交于点 ，与轴交于点，与正比例函数 的图象交于点 . （1）直线 的解析式为__________； 57 （2）点是直线上的一点，若的面积为4，求点 的坐标. 解：设，令，得 ， ， . ，解得或 ， 或 ， 点的坐标为或 . 58 4.如图，一次函数的图象经过点,与轴交于点 ,与正 比例函数的图象交于点，点 的横坐标为1. （1）直线 的解析式为____________； 59 （2）若点在轴负半轴上,且满足,求点 的坐标； 解：在中，当时，， . 在中,令,则, . . 设，则 . ,，解得 . . （3）若,请直接写出 的取值范围. 解：的取值范围是 . 60 一次函数的动态问题 专项突破三 61 类型一 一次函数与动点 1.如图，直线与轴交于点，与 轴交 于点，点的坐标为，为线段的中点， 为轴上的一个动点，连接，，当 的周 长最小时，点 的坐标为( ) A A. B. C. D. 62 [解析] 点拨：如图，作点关于轴的对称点 ，连 接，交轴于点，连接,，则 , . 的周长 ， 点D,是定点， 的长不变， 当点在点处时， 的周长最小. 对于，令,则，令，则 ， 63 ， .是的中点， . ,点是点关于轴对称的点， . 设直线的解析式为 ， 将， 的坐标分别代入， 得解得 直线的解析式为 ， 令，则，即. 当的周长最小时，点 的坐标为 . 2.如图,在平面直角坐标系中，直线与 轴相交于点,与轴相交于点,并与直线 相 交于点,其中点 的横坐标为3. （1）求点的坐标和 的值. 解：把代入,得 , 所以点的坐标为 . 因为点在直线 上， 所以，解得 . 65 （2）点为直线上一动点,当点运动到何位置时, 的 面积等于?请求出此时点 的坐标. 解：由（1）可得的解析式为,把 代入,得 ，所以点的坐标为，所以 . 设点的坐标为 ,则易得 ，解得或 . ， ， 所以点的坐标为或 . 66 3.如图，在平面直角坐标系中，一次函数 的图象与轴交于点 ,与一次函数 的图象交于点 . （1）求点 的坐标; 解：联立解得 点的坐标为 . 67 （2）为轴上点右侧的一个动点,过点作 轴的平行线,与一次函数 的图象交于点,与一次函数为 的图象交于点 ,当时,求 的长. 解：设点的横坐标为,则,, ， , . ，,解得 . ,, . 68 类型二 一次函数与动直线 4.如图，在同一平面直角坐标系中，平行四边形 的边在轴的正半轴上，， 两点的坐标 分别为，，点 在第一象限，将直线 沿轴向上平移 个单位长度，若 平移后的直线与边有交点，则 的取值范围是 ( ) D A. B. C. D. 69 [解析] 点拨：将直线沿轴向上平移个单位长度, 平移后的直线的解析式为 . 四边形为平行四边形，且点,, , , 点 . 平移后的直线与边 有交点, 当直线过时,，解得 . 当直线过时,，解得 . . 70 5.如图，直线与轴、 轴分别交 于点,，与直线交于点 . （1）求, 两点的坐标. 解：对于直线，令 ，解得 ， . 联立方程组解得 . 71 （2）有一条垂直于轴的直线以每秒1个单位长度的速度从点 出发沿 射线方向作匀速运动，分别交直线，及轴于点，和 .设运 动时间为.当时，求 的值. 解：，, 点,,的横坐标为 , 则， ， . ，，解得 或6. （3）试探究在坐标平面内是否存在点，使得以,,, 为顶点的四边 形构成菱形.若存在，请直接写出 的值；若不存在，请说明理由. 解：存在，或 或4或2. 72 类型三 一次函数与几何变换 6.[2024·镇江模拟] 将一次函数（为常数）的图象位于 轴 下方的部分沿轴翻折到轴上方，和一次函数（ 为常数） 的图象位于轴及上方的部分组成“”型折线，过点作 轴的平行线 ，若该“”型折线在直线下方的点的横坐标满足，则 的取 值范围是( ) A A. B. C. D. 73 [解析] 点拨：一次函数的图象沿 轴翻折后的解析式为 ，即 , 把代入,得 , 把代入,得 . 该“”型折线在直线下方的点的横坐标满足, ， ， . 74 7.[2024·南京期末] 如图，一次函数的图象与轴、 轴分别 交于点，，把直线绕点顺时针旋转 交轴于点，则线段 的长为( ) A A. B. C. D. 75 [解析] 点拨：对于 ， 令，则；令，则 ， ，， , ， . 过点C作 ，垂足为D， ， 为等腰直角三角形， 设， ， 由旋转得 ， ， . 又，，解得 ， . 76 8.已知直线分别交轴、轴于点， . （1）点的坐标是________，点 的坐标是______； 77 （2）如图①，在线段上有一点，将沿直线折叠后，点 恰好落在轴上的点处，求点 的坐标； 解：由点,的坐标知, , 则 . 设，则， , 由折叠的性质得, , . ，，解得 , 点的坐标为 . 78 （3）如图②，将直线绕点逆时针旋转 交轴于点，求点 的 坐标. 解：如图，过点作于，过点 作轴于，作轴于 ， ， ， ， ， , . 79 将直线绕点逆时针旋转 交轴于点 ， , , , ， . 设，，，， ， ,, ， 解得， , 设直线的解析式为,把， 的坐标分别代 入，得 解得 直线的解析式为 , 当时，,解得 , 点的坐标为 . 易错点1．忽略一次函数系数不能为零 【例1】已知函数y＝(n＋3)是一次函数，则n＝　　　　．  错解：3或－3． 错解分析：一次函数的定义为一般地，形如y＝kx＋b(k，b是常数，k≠0)的函数，叫做一次函数．本题正是因为忽略了k≠0这一限制条件而出错． 正解：3． 易混易错 【针对训练】当m为何值时，函数y＝－(m－2)＋(m－4)是一次函数？ 解：由题意，得m2－3＝1且m－2≠0． 解得m＝±2且m≠2． ∴m＝－2． 易错点2．不熟悉函数的性质出现错误 【例2】一次函数y＝kx＋b，当－3≤x≤1时，对应的函数值为1≤y≤9，则这个函数的表达式是　　　　．  错解：∵当－3≤x≤1时，对应的函数值为1≤y≤9， ∴当x＝－3时y＝1；当x＝1时y＝9． ∴可得方程组解得 ∴y＝2x＋7． 错解分析：由于问题中没有给出y随x的变化怎样变化，所以应该考虑到有可能y随x的增大而增大，也有可能y随x的增大而减小，本题的出错原因正是没有全面考虑到这一点而漏解出错． 正解：当k＞0时，即y随x的增大而增大， 则当x＝－3时y＝1，当x＝1时y＝9． ∴可得方程组解得 ∴y＝2x＋7； 当k＜0时，即y随x的增大而减小， 则当x＝－3时y＝9，当x＝1时y＝1． ∴可得方程组解得 ∴y＝－2x＋3． ∴这个函数的表达式是y＝2x＋7或y＝－2x＋3． 【针对训练】 (创新题)定义：对于一个函数，当它的自变量x与函数值y满足m≤x≤n时，有m≤y≤n，我们就称此函数是在［m，n］范围内的“标准函数”．例如：函数y＝－x＋4，当x＝1时，y＝3；当x＝3时，y＝1，即当1≤x≤3时，有1≤y≤3，所以函数y＝－x＋4是在［1，3］范围内的“标准函数”． (1)正比例函数y＝x是在［1，2 024］范围内的“标准函数”吗？并说明理由； 解：对于y＝x，当x＝1时，y＝1；当x＝2 024时，y＝2 024， ∴当1≤x≤2 024时，有1≤y≤2 024． ∴正比例函数y＝x是在［1，2 024］范围内的“标准函数”． (2)若一次函数y＝kx＋b(k，b是常数，k≠0)是在［2，6］范围内的“标准函数”，求一次函数的解析式． 解：当x＝2时，y＝2k＋b；当x＝6时，y＝6k＋b． ①当k＞0时，由题意，得 ∴y＝x； ②当k＜0时，由题意，得 ∴y＝－x＋8． 综上所述，一次函数的解析式为y＝x或y＝－x＋8． 易错点3．忽略隐含条件，考虑问题不周密 【例3】已知直线y＝mx＋2m－4不经过第二象限，则m的取值范围是　 ．  错解：0＜m≤2． 错解分析：因为直线y＝mx＋2m－4，当m＝0时，y＝－4，图象也不经过第二象限，所以m＝0也符合条件，以上的错解忽略了直线y＝b(b＜0)图象不过第二象限这一情况，从而导致了错解． 正解：0≤m≤2． 【针对训练】已知一次函数y＝(2m＋1)x＋m－3． (1)若这个函数的图象与y轴交于负半轴，求m的取值范围； (2)若这个函数的图象不经过第四象限，求m的取值范围． 解：由题意，得m－3＜0且2m＋1≠0．解得m＜3且m≠－． ∴m的取值范围是m＜3且m≠－． 解：由题意，得2m＋1＞0且m－3≥0． 解得m＞－且m≥3． ∴m的取值范围是m≥3． 易错点4．考虑问题不全面 【例4】已知直线y＝－x＋5与x轴交于点A，直线上有一点P，满足△POA的面积为10，求点P的坐标． 错解：若y＝0，则x＝5． ∴点A的坐标为(5，0)． 设P(x，y)，则S△POA ＝·OA·y． ∴10＝×5y．解得y＝4． 代入y＝－x＋5，得x＝1． ∴点P的坐标为(1，4)． 错解分析：此题错误原因在于漏解，即忽略了点P在x轴下方的情形(如图D19－1－1)．     正解：设P(x，y)，则S△POA＝·OA·×5＝10．解得＝4． 图D19－1－1 ∴y1＝4，y2＝－4． 分别代入y＝－x＋5，得x1＝1，x2＝9． ∴点P的坐标为(1，4)或(9，－4)． 解：令x＝0，得y＝4；令y＝0，得x＝8． ∴直线y＝－x＋4与坐标轴交点分别为A(8，0)，B(0，4)． ∵CD垂直平分AB，∴CA＝CB． 设C(t，0)． 在Rt△OBC中，由勾股定理，得OB2＋OC2＝BC2，即42＋t2＝(8－t)2． 【针对训练】如图，直线y＝－x＋4的图象与x轴和y轴分别交于点A和点B，AB的垂直平分线与x轴交于点C，与AB交于点D，连接BC． (1)求OC的长； 解得t＝3．∴OC＝3． (2)若点E在x轴上，且△BED的面积为10，求点E的坐标． 解：设点E(m，0)，则EA＝． ∵D为AB的中点， ∴S△BEA＝2S△BED． 又∵S△BEA＝EA·OB，S△BED＝10， ∴·4＝2×10． 解得m＝－2或m＝18． ∴点E的坐标为(－2，0)或(18，0)． 易错点5．画一次函数的图象没有考虑实际意义而出错 【例5】已知等腰三角形的周长为20，把底边y表示为腰长x的函数，并画出图象． 错解：∵等腰三角形底边长为y，腰长为x，周长为20， ∴y＋2x＝20，即y＝－2x＋20． 令x＝0，得y＝20．∴点A(0，20)． 令y＝0，得x＝10．∴点B(10，0)． ∴图象为过A，B的直线，如图． 错解分析：本题是实际问题，x和y分别表示线段的长的实际意义，x表示等腰三角形的腰长，y表示底边长，x和y应该满足三角形的三边关系定理，所以于是得5＜x＜10，故图象应是去掉端点的一条线段． 正解：由题意可得y＝－2x＋20(5＜x＜10)． 当x＝5时，y＝10．∴A(5，10)． 当x＝10时，y＝0．∴B(10，0)． ∴函数y＝－2x＋20(5＜x＜10)的图象如图D19－1－4． 【针对训练】已知一根长为20 m的铁丝围成一个长方形，若宽为x m，长为y m(x≤y)． (1)写出y关于x的函数关系式； 解：由题意，得2(x＋y)＝20． 整理，得y＝－x＋10． (2)画出y关于x的函数图象． 答图 解：∵x≤y，∴x≤－x＋10． 解得x≤5． ∴0＜x≤5． 当x＝1时，y＝－1＋10＝9； 当x＝5时，y＝－5＋10＝5． ∴函数图象经过点(1，9)，(5，5)， 画出函数图象如答图． 1．（跨学科） (2024·青海)化学实验小组查阅资料了解到：某种絮凝剂溶于水后能够吸附水中悬浮物并发生沉降，从而达到净水的目的，实验得出加入絮凝剂的体积与净水率之间的关系如图所示，下列说法正确的是( )  A．加入絮凝剂的体积越大，净水率越高 B．未加入絮凝剂时，净水率为0 C．絮凝剂的体积每增加0.1 mL，净水率的 增加量相等 D．加入絮凝剂的体积是0.2 mL时，净水率达到76.54% D 押题预测 2． (数学文化)我国古代数学经典著作《九章算术》记载：“今有善行者行一百步，不善行者行六十步，今不善行者先行一百步，善行者追之．问几何步及之？”如图是善行者与不善行者行走路程s(步)关于善行者的行走时间t的函数图象，则两图象交点P的纵坐标是　 　．  　250　 3．（综合探究）如图，在平面直角坐标系中，线段AB两端点的坐标分别为A(－4，2)，B(－1，5)，线段CD两端点的坐标分别为C(－5，1)，D(1，1)． (1)求AB所在直线的函数解析式； 解：(1)设AB所在直线的函数解析式为y＝kx＋b(k≠0)． 将点A(－4，2)，B(－1，5)代入上式，得 ∴AB所在直线的函数解析式为y＝x＋6． (2)点P从点C出发向点D运动，速度为每秒2个单位长度，运动时间为t s． ①当直线OP与线段AB有交点时，求t的取值范围； 解：(2)①设OP所在直线的函数解析式为y＝k'x(k'≠0)． 将点A(－4，2)代入上式，得2＝－4k'．解得k'＝－．∴y＝－x． 令y＝1，则1＝－x．解得x＝－2．∴t＝； 将点B(－1，5)代入y＝k'x，得5＝－k'．解得k'＝－5．∴y＝－5x． 令y＝1，则1＝－5x．解得x＝－．∴t＝． ∴t的取值范围为≤t≤． (2)点P从点C出发向点D运动，速度为每秒2个单位长度，运动时间为t s． ②当t＝2时，平面内存在一点Q，满足PQ∥y轴， 且QA＋QC的值最小，请直接写出符合条件的点Q的坐标． 解：(2)②符合条件的点Q的坐标为． 【提示】当t＝2时，CP＝2×2＝4，则P(－1，1)． ∵PQ∥y轴，∴点Q的横坐标为－1．则点Q在直线x＝－1上． 如答图，作点C关于PQ的对称点C'，连接AC'． 则QA＋QC＝QA＋QC'，当A，Q，C'三点共线时，QA＋QC的值最小，即为AC'． ∴直线AC'与直线x＝－1的交点即为符合条件的点Q．  由对称的性质可得C'(3，1)． 设直线AC'的函数解析式为y＝mx＋n(m≠0)． 将点A(－4，2)，C'(3，1)代入上式， 得 ∴直线AC'的函数解析式为y＝－x＋． 将x＝－1代入上式，得y＝． ∴符合条件的点Q的坐标为． 答图 $$