1.4充要条件-知识点训练卷 浙江省2026年单考单招《数学考纲百套卷》第4卷（原卷+解析版）

编写说明：浙江省2026年单考单招《数学考纲百套卷》，依据《中等职业学校数学课程标准》（2020年版）及浙江历年单考单招真题进行编写。本套试卷共100份：第一部分是按照课程标准编写的71份知识点训练卷；第二部分是集合与充要条件、函数、三角函数等10个章节的29份专题训练卷；第三部分是参考近年考试真题编写的10份综合模拟卷。 本卷是浙江省2026年单考单招《数学考纲百套卷》的第4卷，是知识点训练卷，主要考查充分条件、必要条件、充要条件的掌握情况。 浙江省2026年单考单招《数学考纲百套卷》 第4卷 1.4 充要条件 知识点训练卷 考试时间：45分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分） 1．已知集合，“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．且是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．设甲：是等腰三角形，乙：是等边三角形，则甲是乙的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．若集合，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．使成立的一个充分条件是（    ） A． B． C． D． 6．“整数能够被5整除”是“整数的末位数字为5”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8．成立的充要条件是（    ） A． B． C． D． 9．已知，且，则p是q的（    ）． A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 10．“”是“关于的不等式的解集为”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 二、填空题（本题共5小题，每小题4分，共20分） 11．判断下列两个命题与的关系. （1）已知：，：，则是的 条件，是的 条件.（填“充分”或“必要”） （2）已知：，：，则是的 条件，是的 条件.（填“充分”或“必要”） 12．命题：一个四边形是平行四边形，命题：一个四边形是正方形，则是的 条件．（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”） 13．“两个三角形相似”是“两个三角形全等”的 条件（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”）． 14．已知：，：，若是的必要条件，则实数的取值范围是 ． 15．设，则的一个必要不充分条件是 ，的一个充分不必要条件是 （填序号）． ①；②；③；④；⑤． 三、解答题（本题共4小题，每小题10分，共40分） 16．下列各题中，试分别指出是的什么条件. （1）两个三角形相似，两个三角形全等； （2）一个四边形是矩形，四边形的对角线相等； （3），； （4），. 17．已知，若是的必要条件，求实数的取值范围． 18．设，是的充分条件，求的取值范围． 19．已知集合，，全集. (1)当时，求； (2)若“”是“”的充分条件，求实数a的取值范围. 试卷第1页，共3页 第 8 页 共 8 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 编写说明：浙江省2026年单考单招《数学考纲百套卷》，依据《中等职业学校数学课程标准》（2020年版）及浙江历年单考单招真题进行编写。本套试卷共100份：第一部分是按照课程标准编写的71份知识点训练卷；第二部分是集合与充要条件、函数、三角函数等10个章节的29份专题训练卷；第三部分是参考近年考试真题编写的10份综合模拟卷。 本卷是浙江省2026年单考单招《数学考纲百套卷》的第4卷，是知识点训练卷，主要考查充分条件、必要条件、充要条件的掌握情况。 浙江省2026年单考单招《数学考纲百套卷》 第4卷 1.4 充要条件 知识点训练卷 考试时间：45分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分） 1．已知集合，“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据并集的性质结合充分与必要条件的判定方法即可得解. 【详解】由题知“”“”， 而， 所以“”是“”充分不必要条件. 故选：A． 2．且是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据充分条件和必要条件的定义判断即可. 【详解】若且，则， 且是的充分条件， 若，则，解得且， 且是的必要条件. 故选：C. 3．设甲：是等腰三角形，乙：是等边三角形，则甲是乙的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据必要不充分条件的概念判断即可. 【详解】等腰三角形包括等边三角形，所以“如果是等腰三角形，那么得不到是等边三角形”，故充分性不成立， “如果是等边三角形，那么是等腰三角形”成立，故必要性成立， ∴甲是乙的必要不充分条件． 故选:B. 4．若集合，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据集合的运算，并结合充要条件的概念可判断. 【详解】因为， 所以，解得. 所以“”不是“”的充分条件； 若，则，此时. 所以“”是“”的必要条件. 综上所述，“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 5．使成立的一个充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据充分条件的概念分析即可. 【详解】结合题意可知，求使成立的一个充分条件， 即求的一个子集，结合选项可知，B项:符合题意. 故选:B. 6．“整数能够被5整除”是“整数的末位数字为5”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据必要不充分的定义求解. 【详解】因为末位数字为5的整数一定能被5整除，但是，如果能被5整除，末尾的数字也可能是0. 所以“整数能够被5整除”是“整数的末位数字为5”的必要不充分条件. 故选：B． 7．“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据必要不充分条件的概念即可求解. 【详解】因为“”“”， 又因为“”“”. 所以“”是“”的必要不充分条件， 故选：B． 8．成立的充要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据充要条件的定义判断即可. 【详解】对于A，因为，，所以是的充分不必要条件，故A选项错误； 对于B，因为，，所以是的充分不必要条件， 故B选项错误； 对于C，因为，，所以是的充分不必要条件，故C选项错误，； 对于D，因为，，所以是的充要条件， 故D选项正确； 故选：D. 9．已知，且，则p是q的（    ）． A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据充分性和必要性的概念判断即可. 【详解】由得且或且， 所以p不能推导出q，但q可以推导出p，故p是q的必要不充要条件． 故选：C. 10．“”是“关于的不等式的解集为”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据“关于的不等式的解集为”求得的范围，从而可判断两个条件之间的关系. 【详解】解：关于的不等式的解集为，当时，不等式为，解集为，符合题意；当时，不等式化为，则，不符合题意；当时，不等式化为，则，不符合题意；综上， 所以“”是“关于的不等式的解集为”的充要条件. 故选：C. 二、填空题（本题共5小题，每小题4分，共20分） 11．判断下列两个命题与的关系. （1）已知：，：，则是的 条件，是的 条件.（填“充分”或“必要”） （2）已知：，：，则是的 条件，是的 条件.（填“充分”或“必要”） 【答案】 充分 必要 必要 充分 【分析】利用充分必要条件与集合的关系即可得解. 【详解】（1）设具有性质的元素构成的集合为，即， 具有性质的元素构成的集合为，即， 因为，所以，即是的充分条件，是的必要条件. （2）设具有性质的元素构成的集合为，即， 具有性质的元素构成的集合为，即， 因为，所以，即是的充分条件，是的必要条件. 故答案为：充分；必要；必要；充分 12．命题：一个四边形是平行四边形，命题：一个四边形是正方形，则是的 条件．（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”） 【答案】必要不充分 【分析】根据必要不充分条件的定义即可求解. 【详解】因为正方形是特殊的平行四边形． 所以一个四边形是平行四边形不一定是正方形， 但一个四边形是正方形一定是平行四边形. 即是的必要不充分条件． 故答案为：必要不充分. 13．“两个三角形相似”是“两个三角形全等”的 条件（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”）． 【答案】必要不充分 【分析】根据必要不充分条件的概念分析即可. 【详解】因为当两个三角形相似时不一定全等，所以充分性不成立， 但是全等肯定相似，所以必要性成立， 所以“两个三角形相似”是“两个三角形全等”的必要不充分条件． 故答案为:必要不充分. 14．已知：，：，若是的必要条件，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】利用必要条件定义与子集推出关系求解参数即可. 【详解】∵是的必要条件，∴，即， ∴，∴实数的取值范围为． 故答案为：. 15．设，则的一个必要不充分条件是 ，的一个充分不必要条件是 （填序号）． ①；②；③；④；⑤． 【答案】 ②③ ④ 【分析】根据充分性和必要性的判定进行. 【详解】解： 对于①，，，故是的一个既不充分也不必要条件； 对于②，，，故是的一个必要不充分条件； 对于③，，，故是的一个必要不充分条件； 对于④，，，故是的一个充分不必要条件； 对于⑤，，，故是的一个既不充分也不必要条件． 故答案为：②③；④． 三、解答题（本题共4小题，每小题10分，共40分） 16．下列各题中，试分别指出是的什么条件. （1）两个三角形相似，两个三角形全等； （2）一个四边形是矩形，四边形的对角线相等； （3），； （4），. 【答案】（1）必要不充分条件；（2）充分不必要条件；（3）充要条件；（4）既不充分也不必要条件. 【分析】（1）根据充分条件和必要条件的定义判断可得出结论； （2）根据充分条件和必要条件的定义判断可得出结论； （3）根据充分条件和必要条件的定义判断可得出结论； （4）根据充分条件和必要条件的定义判断可得出结论. 【详解】（1）两个三角形相似两个三角形全等，但两个三角形全等两个三角形相似， 是的必要不充分条件. （2）矩形的对角线相等，， 而对角线相等的四边形不一定是矩形，，是的充分不必要条件. （3），且，是的充要条件； （4）若，则，且，是的既不充分也不必要条件. 17．已知，若是的必要条件，求实数的取值范围． 【答案】 【分析】根据必要条件的性质，判断P和Q的关系，求解参数即可. 【详解】因为是的必要条件， 所以是的充分条件，即， 所以，解得， 所以实数的取值范围是． 18．设，是的充分条件，求的取值范围． 【答案】 【分析】设，由题可得，据此列不等式组可求解. 【详解】设， 因为是的充分条件， 所以， 所以，解得 故的取值范围． 19．已知集合，，全集. (1)当时，求； (2)若“”是“”的充分条件，求实数a的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）把代入集合A，利用补集和交集的定义求； （2）由题意，利用集合的包含关系求实数a的取值范围. 【详解】（1）当时，，或， 故. （2）“”是“”的充分条件，则， ，解得， 实数a的取值范围为 试卷第1页，共3页 第 8 页 共 8 页 学科网（北京）股份有限公司 $$