专题01 一元二次方程（8大考点精准练+2大易错点+过关检测）-【暑假自学课】2025年新九年级数学暑假提升精品讲义（人教版）

专题01 一元二次方程（8大核心考点精准练+2大易错点+过关检测） 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：8大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1一元二次方程的概念 1.定义等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并 且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程 2.一元二次方程的“三要素” 一是整式方程，二是只含一个未知数，三是整理后未知数的最高次数是2 3.对“未知数的最高次数是2”的理解 (1)该项系数不为0: (2)该项未知数指数为2; (3)当方程中的二次项系数含有字母时,字母取值不确定,这个方程不一定是一元二次方程.如 ,当m=0时,属于一元一次方程. 知识点2一元二次方程的一般形式 1.一般形式 一元二次方程的一般形式是 (a≠0).其中 是二次项,a是二次项系数;bx是一次项,b是一次项系数;c是常数项. 2.一元二次方程的一般形式的特点:方程右边是0,左边是关于x的二次整式,且二次项系数不为 0. 3.特殊形式 二次项系数不为0,当b取0或c取0时,一元二次方程的一般形式呈现如下情况: 4.注意事项 确定一元二次方程的各项和各项系数时注意不要丢掉前面的符号.一般情况下,将一元二次方程整理为一般形式时,若二次项系数为负数,要乘“-1”把它转化为正数,若有的项系数是分数,要把它转化为整数. 知识点3 一元二次方程的解( 根) 1.概念 使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根.如x=2和x=5 都是方程的解(根). 2.一元二次方程的解(根)满足的条件(1)未知数的值;(2)使方程左右两边相等 3.判断一个数是不是一元二次方程的解(根)的方法 4.方法技巧 利用一元二次方程的根求字母的值或代数式的值的方法 （1）求字母的值：可根据一元二次方程的根的定义，把这个根代入原 方程，得到一个含字母的方程，直接解这个方程求出字母的值， （2）求代数式的值：把待求式灵活变形，运用代入法求值 【题型1】一元二次方程的定义 1．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）下列方程是一元二次方程的是（   ） A．B．C．D． 2．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）下列方程中是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 3．（2024八年级上·上海·专题练习）判断下列方程是否为一元二次方程： ①； ②； ③； ④； ⑤； ⑥． 【方法点睛】 一元二次方程的概念可利用口诀记忆： 等号两边是整式， 化简整理右边0， 只含1个未知数， 最高次数是2次 【题型2】一元二次方程的一般形式 4．（24-25九年级上·重庆·阶段练习）已知一元二次方程，则它的一次项系数为（    ） A．1 B． C．2 D． 5．（24-25九年级上·广西贺州·期中）方程化为一元二次方程的一般形式是（   ） A． B． C． D． 6．（2023九年级上·全国·专题练习）将下列方程化为一元二次方程的一般形式，并指出它们的二次项系数、一次项系数及常数项． (1)； (2)； (3) ； (4) 【方法点睛】 确足一元一次万程的各贝及具系数，三点注意莫忽视 (1)先把方程化为一般形式，如果二次项系数小于0，一般把方程两边同乘一1，将其二次项系数转化 为大于0的数 (2)指出一元二次方程各项的系数时，注意带上前面的符号，不要漏掉. (3)特例：若没有出现一次项bx,则b=0:若没有出现常数项，则c=0. 【题型3】由一元二次方程的定义求字母的值 7．（2025·黑龙江佳木斯·二模）若关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．（24-25九年级上·甘肃武威·阶段练习）若方程是关于的一元二次方程，则 ． 9．（24-25九年级上·湖南永州·期中）已知关于的方程 (1)为何值时，此方程是一元一次方程？ (2)为何值时，此方程是一元二次方程？并写出一元二次方程的二次项系数及常数项． 【方法点睛】 确定一元二次方程待定字母的值（或取值范围）的步骤 (1)列：根据一元二次方程的定义，未知数的最高次数等于2，二次项系数不为零，列出关于某个字母 的方程或不等式组； (2)解：解方程或不等式组： (3)定：确定字母的值（或取值范围）. 【题型4】一元二次方程的解 10．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）下列各数中，哪个是方程的解（   ） A． B．1 C．0 D．2 11．（23-24九年级上·全国·假期作业）下列哪些数是一元二次方程的根？ ． 12．（20-21九年级上·全国·课后作业）在下列各方程后面的括号内分别给出了一组数，从中找出方程的解： （1）； （2）． 【方法点睛】 能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．判断一个数是否是一元二次方程的解，只需要代入原方程看是否左右相等. 【题型5】一元二次方程的解的估算 13．（24-25九年级上·宁夏中卫·期末）在估算一元二次方程的解时，小明列表如下： x 请判断其中一个解x的大致范围是（　　） A． B． C． D． 14．（24-25九年级上·湖南永州·期中）观察下面的表格： 判断方程的其中一个解的范围是（   ） A． B． C． D． 15．（24-25九年级上·山东青岛·阶段练习）根据下面表格中的信息，判断关于的方程的一个解的范围是（ ） A． B． C． D． 【题型6】由一元二次方程的解求字母的值 16．（24-25九年级上·辽宁大连·期中）若是关于x的一元二次方程的一个根，则m的值是（） A．3 B．2 C． D． 17．（2025·江西·模拟预测）已知关于的一元二次方程的一个根为，则的值为 ． 18．（2025·江苏镇江·二模）已知是关于的一元二次方程的一个根，则 ． 【方法点睛】 已知方程的一个根，求代数式或待定系数的值时，可根据一元二次方程的根的定义，把根代入原方 程，得到一个关于某个字母的方程，通过方程巧求代数式的值或解方程求字母的值 【题型7】由一元二次方程的解求代数式的值 19．（2025·吉林·模拟预测）已知a是方程的一个根，则代数式的值为 ． 20．（2025·山东威海·二模）已知关于x的一元二次方程的一个根是，则的值为 ． 21．（24-25九年级上·北京·期中）已知是方程的根，求代数式的值． 【题型8】由实际问题列一元二次方程 22．（2025·四川绵阳·一模）临近6月，九年级的同学就要毕业了，在毕业典礼中某班每一位同学都将自己的照片向全班其他同学各送一张留作纪念，该班共送了2652张照片．设该班有x名学生，根据题意，列出方程应为（    ） A． B． C． D． 23．（24-25九年级下·重庆江津·期中）在研究物体的放射性衰变时，我们常常关注放射性物质质量随时间的变化．假设在年初，有一块质量为克的某种放射性同位素．由于放射性衰变，其质量会逐年减少．到年初，经过精确测量，该放射性同位素的质量降至克．设这种放射性同位素质量的年平均减少率为，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 24．（2025·云南·模拟预测）如图，矩形草坪的长和宽分别为，，若将该草坪的长和宽各增加，扩建后增加的面积是原来矩形草坪面积的．根据题意，下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【易错点1】忽略一元二次方程中二次项系数不为零的条件 当一元二次方程的二次项系数或未知数的最高次数含字母时，必须保证二次项系数不为0，且未知数的最高次数为2 1．方程． （1）当取何值时是一元二次方程？ （2）当取何值时是一元一次方程？ 2．已知关于的方程． （1）当为何值时，此方程是一元一次方程？ （2）当为何值时，此方程是一元二次方程？ 【易错点2】未整理成一般形式就确定方程的项及各项系数而出错 一元二次方程的二次项系数、一次项系数与常数项是针对一元二次方程的一般形式定义的，因此确定一元二次方程的二次项系数、一次项系数及常数项时，若方程不是一般形式，需将这个一元二次方程化为一般形式.同时要注意，二次项系数、一次项系数与常数项包括它们前面的符号.不含一次项或常数项时，一次项系数或常数项为0 1．关于的一元二次方程化为一般形式后为，试求，的值． 2．设，，分别是一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项，根据下列条件，写出该一元二次方程． （1），且； （2）． 一、单选题 1．（24-25九年级上·四川南充·阶段练习）下列方程是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·广东广州·期中）关于的方程是一元二次方程，则 满足（ ） A． B． C． D．为任意实数 3．（22-23九年级上·广西河池·期中）已知是一元二次方程的一个根，则代数式的值为（　　） A．2021 B．2022 C．2023 D．2024 4．（24-25九年级上·甘肃酒泉·期中）若关于x的一元二次方程的一个根为1，则k的值为（   ） A． B．2 C． D． 5．（24-25九年级上·甘肃酒泉·期中）根据表格，判断关于的方程的一个解的取值范围为（   ） A． B． C． D． 6．（2025·山西吕梁·二模）太原的名优特产老陈醋醋香四溢，具有软化血管等功效．一位经销商在直播平台经营某种老陈醋礼盒，其进价为每盒50元，按70元出售，平均每天可售出100盒．后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售可增加20盒．若该经销商想要平均每天获利2240元，每盒老陈醋礼盒应降价多少元？若设每盒老陈醋礼盒应降价元，根据题意，所列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 二、填空题 7．（24-25九年级上·江西宜春·阶段练习）已知一元二次方程的二次项系数为3，则一次项系数为 ． 8．（24-25九年级上·黑龙江佳木斯·阶段练习）若是关于的一元二次方程，则的值是 ． 9．（23-24九年级上·广西河池·期中）若m是方程的一个根，则的值 ． 10．（24-25九年级上·广东惠州·阶段练习）一次会议上，每两个参加会议的人都相互握一次手，有人统计一共握手次，设这次参加会议有人，那么可以列方程为 ． 11．（24-25九年级上·湖北省直辖县级单位·期末）我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中记录了这样一个问题：“直田积八百六十四步，只云阔与长共六十步，问阔及长各几步？”其大意是：矩形面积是864平步，其中宽与长的和为60步，问宽和长各几步？若设矩形的长为步，根据题意可列方程 ． 三、解答题 12．（22-23八年级下·浙江·课后作业）判断下列各式哪些是一元二次方程． ①；②；③ ；④ ； ⑤ ；⑥ ；⑦ ． 13．（23-24八年级下·全国·假期作业）将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出二次项系数、一次项系数和常数项． (1)； (2)； (3)关于的方程． 14．（23-24九年级上·广东梅州·期中）若是关于的一元二次方程的一个解．求的值． 15．（21-22九年级上·北京海淀·期末）已知是方程的一个根，求代数式的值． 16．（23-24九年级上·甘肃定西·期中）已知是关于x的一元二次方程，求m的值． 17．（21-22九年级·全国·假期作业）已知关于x的方程（m﹣）﹣x＝3，试问： (1)m为何值时，该方程是关于x的一元一次方程？ (2)m为何值时，该方程是关于x的一元二次方程？ 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$