高一下期末真题百题大通关（135题14题型）（提升版）-【帮课堂】2024-2025学年高一数学同步学与练（沪教版2020必修二）

高一下期末真题百题大通关（135题14题型）（提升版） 题型一 常用三角公式 题型二 解三角形 题型三 正弦函数的图像与性质 题型四 余弦函数的图像与性质 题型五 函数y= Asin(ωx + φ)的图像 题型六 正切函数的图像与性质 题型七 向量的数量积 题型八 向量的坐标表示 题型九 向量的应用 题型十 复数及其四则运算 题型十一 复数的几何意义 题型十二 实系数一元二次方程 题型十三 复数的三角形式 题型汇聚 题型练习 题型一 常用三角公式 1．（23-24高一下·上海·期末）在中，，则（    ） A． B． C．或 D．以上答案均不正确 【答案】B 【知识点】用和、差角的余弦公式化简、求值 【分析】由求解. 【详解】解：因为，所以，则， 又因为，所以或， 若，则，与三角形内角和定理相矛盾， 所以，则， 所以 ， 故选：B 2．（23-24高一下·上海·期末）假设实数满足，，，则的取值（   ） A．是唯一确定的 B．不唯一，但有限多 C．有无穷多 D．不存在符合题意的 【答案】B 【知识点】逆用和、差角的余弦公式化简、求值、逆用和、差角的正弦公式化简、求值 【分析】先应用三角换元，再结合两角和差公式及同角三角函数关系计算即可. 【详解】因为设, 因为设, 所以可得， 因为,所以, 所以. 故选：B. 3．（23-24高一下·上海·期中）若，，，，则的值等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、用和、差角的余弦公式化简、求值、二倍角的余弦公式 【分析】结合同角三角函数基本关系，两角差的余弦公式与二倍角公式计算即可得. 【详解】，，，， ，， ， . 故选：B. 4．（23-24高一下·上海·期末）若，则的值为 ． 【答案】/0.75 【知识点】正、余弦齐次式的计算、诱导公式五、六、三角函数的化简、求值——诱导公式、二倍角的正弦公式 【分析】根据已知条件利用诱导公式和公式化简得到，两边平方结合正弦的二倍角公式即可. 【详解】由， 所以， 即， 所以， 即， 故答案为：. 5．（23-24高一下·上海松江·期末）如图，某体育公园广场放置着一块高为3米的大屏幕滚动播放各项体育赛事，大屏幕下端离地面高度3.5米，若小明同学的眼睛离地面高度1.5米，则为了获得最佳视野（最佳视野指看到大屏幕的上下夹角最大），小明应在距离大屏幕所在的平面 米处观看?（精确到0.1米）. 【答案】3.2 【知识点】用和、差角的正切公式化简、求值、基本（均值）不等式的应用 【分析】作于，设，根据两角差的正切公式，结合不等式求的最大值，并确定对应的即可. 【详解】如图：作于，设， 则，. 所以（当且仅当时取“”） 又，故（米）， 故答案为：3.2 6．（23-24高一下·上海宝山·期末）已知，，，则 ． 【答案】 【知识点】三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、用和、差角的正弦公式化简、求值、给值求值型问题 【分析】结合所给角的象限与余弦值，可得其 正弦值，再利用两角差的正弦公式计算即可得. 【详解】由，，，则， 则，， . 故答案为：. 7．（22-23高一下·上海长宁·期末）已知，，，，则 ． 【答案】 【知识点】已知正（余）弦求余（正）弦、用和、差角的余弦公式化简、求值 【分析】由同角三角函数的基本关系求出，再由两角和的余弦公式求解即可. 【详解】因为，，所以， 因为，，所以， . 故答案为：. 8．（22-23高一下·上海静安·期末）已知点的坐标为，将绕坐标原点顺时针旋转至.则点的坐标为 . 【答案】 【知识点】利用定义求某角的三角函数值、已知两角的正、余弦，求和、差角的余弦、已知两角的正、余弦，求和、差角的正弦 【分析】根据题意，设以为中终边的角为，以为终边的角为，然后结合三角函数的定义以及正余弦的和差角公式，代入计算，即可得到结果. 【详解】设以为中终边的角为，则由三角函数的定义可知，， 由题意，以为终边的角为， 且， ， 且， 则点的横坐标为，纵坐标为. 即点的坐标为. 故答案为： 9．（23-24高一下·上海·期末）已知，，且. (1)求的值； (2)求. 【答案】(1) (2) 【知识点】三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、用和、差角的余弦公式化简、求值、二倍角的正切公式 【分析】（1）根据同角的三角函数关系和二倍角公式，求出和的值； （2）由同角的三角函数关系和三角恒等变换，即可求出的值． 【详解】（1）由，，得， ，于是. （2）由，得，又， ， 由得： ． 10．（22-23高一下·上海黄浦·期末）某小区围墙一角要建造一个水池和两条小路．如图，四边形中，，，以为圆心、为半径的四分之一圆及与圈成的区域为水池，线段和为两条小路，且所在直线与圆弧相切．已知米，设（），那么当为多少时，才能使两条小路长之和最小？最小长度是多少？    【答案】，最小，最小长度为米. 【知识点】三角函数在生活中的应用、二倍角的正切公式、基本不等式求和的最小值 【分析】设与圆弧的切点为，连接，由三角函数表示出，化简可得，再由基本不等式求解即可. 【详解】设与圆弧的切点为，连接， 由题设，得，于是， 从而， 由，得，从而， 当且仅当，即，最小，最小长度为米.      11．（22-23高一下·上海徐汇·期末）已知函数的最大值为1. (1)求函数的单调减区间； (2)将函数的图像向右移动个单位，再将所得图像向上移动1个单位，得到的图像，如果在区间上有8个最大值，求的取值范围. 【答案】(1)，； (2). 【知识点】由正弦（型）函数的值域（最值）求参数、三角恒等变换的化简问题、求sinx型三角函数的单调性 【分析】（1）根据两角和的正弦公式得，由最大值求出，即可得函数的单调减区间； （2）根据三角函数的图象变换可得，由正弦函数的图象即可求解. 【详解】（1）， ，. 令，， 可得，， 单调递减区间：，. （2）， ， 由题可得， 在上的最大值点从小到大依次为，，，，，…， 在上的最大值点从大到小依次为，，，，，…， 因为在区间上有8个最大值， 所以该8个最大值点为，，，，，，，， 所以，即，解得. 12．（23-24高一下·上海·期末）平面直角坐标系内有一圆心位于原点的圆，半径为，已知点分别是角的终边与该圆的交点（始边均为轴正半轴）. (1)写出点的坐标； (2)若原点为的重心，试判断是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【知识点】三角函数定义的其他应用、三角恒等变换的化简问题、有条件的恒等式证明 【分析】（1）根据三角函数的定义即可得解； （2）先证明一个引理：若，则，回到原题，连结、、，结合重心的特征，及三角恒等变换即可得出结论. 【详解】（1）根据三角函数的定义可得； （2）先证明一个引理：若，则， 因为，所以， 所以， 所以， 回到原题，连结、、， 则 ， 由三角形的重心为原点得，即， 所以两式平方相加可得，所以，同理， 所以， 故三角形面积为定值． 【点睛】关键点点睛：证明一个引理：若，则，是解决本题的关键. 13．（22-23高一下·上海杨浦·期末）已知直角梯形，，，，扇形圆心角，，如图，将，以及扇形的面积分别记为    (1)写出的表达式，并指出其大小关系（不需证明）； (2)用表示梯形的面积；并证明：； (3)设，，试用代数计算比较与的大小. 【答案】(1)， (2)，证明见解析， (3) 【知识点】扇形面积的有关计算、用和、差角的正弦公式化简、求值、二倍角的正弦公式、二倍角的正切公式 【分析】（1）根据锐角三角函数，以及扇形的面积公式即可求解， （2）根据二倍角公式即可得，利用，即可由放缩法求证，或者构造函数利用导数求解单调性即可求证， （3）利用和差角公式，以及即可作差比较大小，或者构造函数求导判断单调性，即可利用的单调性求解. 【详解】（1）由题意可得， 所以， 如图：在单位圆中，设，, 则， 由于，所以，， 因此.    （2）， 方法一：由. 所以， 由于，则，所以 故， 方法二：由于， 令则， 由于，所以， 故， 因此在单调递增，故，所以 因此. （3）方法一：由于 所以， 由于，所以， 故， ， 因此. 方法二：：， 记， ，故在单调递减，故，所以，故在单调递减， 由于，所以. 【点睛】本题考查了三角恒等变换，应用面积关系证明出关键不等式，，结合二倍角公式以及弦切互化关系，即可由三角函数的性质求解，而证明不等式时，常采用放缩法或者作差法，将一些基本的不等关系进行适当的放缩，或者利用作差法求解，多注意不等式的变形形式，比如本题的由得是解决本题第三问的关键. 14．（22-23高一下·上海宝山·期末）在数学中，双曲函数是与三角函数类似的函数，最基本的双曲函数是双曲正弦函数与双曲余弦函数，其中双曲正弦函数：，双曲余弦函数：.（e是自然对数的底数，）. (1)计算的值； (2)类比两角和的余弦公式，写出两角和的双曲余弦公式：______，并加以证明； (3)若对任意，关于的方程有解，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3) 【知识点】求函数值、指数幂的运算、根据零点求函数解析式中的参数、函数新定义 【分析】（1）求出，代入化简即可求出答案； （2）类比推理可得出展开式中含有两项，展开即可得出结论；证明时，分别从左右两边化简，均可得出； （3）代入整理可得有解.令，，，根据的单调性以及基本不等式得出，.然后即可得出关于的不等式，求解即可得出答案. 【详解】（1）由已知可得，，， 所以，， 所以，. （2）. 证明如下： 左边， 右边. 所以，左边=右边， 所以，. （3）原题可转化为方程有解，即有解. 令，，， 因为在上单调递增，，， 所以，. 又，当且仅当，即时等号成立， 所以，即有最大值， 又当， 则要使有解，应有， 即，所以. 【点睛】思路点睛：小问3，由已知得出有解，构造函数，，，，然后分别求出的值域，即可得出关系式. 题型二 解三角形 15．（23-24高一下·上海·期末）的内角，，的对边分别为，，，满足，则角的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】余弦定理解三角形 【分析】由余弦定理的推论求得，求解即可. 【详解】因为，所以， 即，所以， 因为，所以， 故选：B 16．（23-24高一下·上海闵行·期末）疫情期间，为保障市民安全，要对所有街道进行消毒处理，某消毒装备的设计如图所示，为路面，为消毒设备的高，为喷杆，，，处是喷酒消毒水的喷头，且喷射角，已知，.则消毒水喷洒在路面上的宽度的最小值为 . 【答案】/ 【知识点】三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形、基本（均值）不等式的应用 【分析】由题知，底边上的高，又，可得，根据余弦定理和均值不等式得到，则计算可得答案. 【详解】 设中，定点到底边的距离为h， 已知，，，， 则 又， 则， 即， 在中，由余弦定理： ， 当且仅当时，等号成立， 故，而， 所以，则， 所以的最小值为. 故答案为：. 17．（22-23高一下·上海奉贤·期中）的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，则下列命题正确的序号是 ． ①．若，则 ②．若，则是锐角三角形 ③．若，则是直角三角形 ④．若，则为等腰三角形 ⑤．若锐角中，则恒成立 【答案】①③ 【知识点】cos2x的降幂公式及应用、正弦定理解三角形、余弦定理解三角形 【分析】根据正弦定理，余弦定理，三角函数恒等变换的应用逐一判断各个选项即可． 【详解】对于①，若，则， ， 在递减，所以，故①正确； 对于②，中，∵，则，∴角C为锐角， 但锐角三角形需判定三个顶角均为锐角，所以不一定是锐角三角形，故②错误； 对于③，若，即，化简可得，所以是直角三角形，故③正确； 对于④，由正弦定理及，得 所以或， 则为等腰三角形或直角三角形，故④错误． 对于⑤．角A，B，C分别取，代入不成立． 故选：①③． 18．（22-23高一下·上海黄浦·期末）在中，若，，且，则 ． 【答案】或 【知识点】正弦定理解三角形、正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形 【分析】由正弦定理可求出，再由余弦定理可得，解方程即可得出答案. 【详解】由正弦定理可得：，故， 所以，由余弦定理可得：， 所以，可得，则， 又因为，所以可以看成是一元二次方程的两根， 所以，解得：或， 故或. 故答案为：或 19．（22-23高一下·上海虹口·期末）在△中，，，为边的中点，则△的外接圆面积与的外接圆面积之比为 . 【答案】 【知识点】正弦定理求外接圆半径 【分析】利用正弦定理以及图形的几何关系求解. 【详解】设△的外接圆为,的外接圆半径为, 在△由正弦定理得,在中由正弦定理得, 又∵,∴， ∴, 故答案为：. 20．（22-23高一下·上海宝山·期末）如图，为计算湖泊岸边两景点与之间的距离，在岸上选取和两点，现测得，，，，，据以上条件可求得两景点与之间的距离为 （精确到）.    【答案】5.8 【知识点】正弦定理解三角形、余弦定理解三角形、距离测量问题 【分析】在中，根据余弦定理求出，然后在，先求出，然后根据正弦定理，即可求出答案. 【详解】在中，有，，， 由余弦定理可得，， 即， 整理可得， 解得或（舍去）. 在中，有，，， 所以，. 由正弦定理可得， (km). 故答案为：. 21．（23-24高一下·上海·期末）已知是大于3的正整数，平面直角坐标系中，正边形内接于单位圆.若集合，则集合表示的平面区域的面积为 .（结果用表示） 【答案】 【知识点】三角形面积公式及其应用 【分析】根据给定信息，确定集合表示的平面区域，再结合三角形面积求解即得. 【详解】由，得点在线段的垂直平分线分平面含点一侧的区域， 线段的垂直平分线与线段的垂直平分线交于点，线段的垂直平分线与线段的垂直平分线交于点， 照此进行，线段的垂直平分线与线段的垂直平分线交于点， 集合表示的平面区域是正边形及内部，其内切圆半径为， 显然，，， 所以集合表示的平面区域的面积为. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：由题设信息，确定集合表示的平面区域对应的图形是求解本题的关键. 22．（23-24高一下·上海闵行·期末）如图，某快递小哥从A地出发，沿小路以平均时速20km/h，送快件到C处，已知，，，，． (1)求的面积． (2)快递小哥出发25分钟后，公司发现快件有重大问题，由于通讯不畅，公司只能派车沿大路追赶，若汽车平均时速50km/h，问汽车能否先到达C处？ 【答案】(1) (2)汽车先到达C处，理由见解析 【知识点】正弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形、距离测量问题 【分析】（1）由余弦定理求出，利用三角形面积公式求出答案； （2）由正弦定理求出，得到汽车所需时间，由余弦定理求出，进而得到快递小哥出发25分钟的路程和剩余时间，作差比较后得到结论. 【详解】（1）因为，，， 由余弦定理得， 即，故， 解得，负值舍去， 故 （2）在中，由正弦定理得， 又，故， 因为，所以， ， 故汽车所需时间为h， 因为，由余弦定理得 ， 故， 故， 快递小哥出发25分钟，骑行路程为， 剩余路程为，到达C处所需时间为， 其中， 故，所以汽车先到达C处. 23．（23-24高一下·上海黄浦·期末）在中，已知边上的中线长为． (1)求证：； (2)若边上的中线长分别为，当为钝角三角形时，求m、n、t之间所满足的关系式，并指出哪个角为钝角． 【答案】(1)证明见解析 (2)，为钝角 【知识点】余弦定理解三角形 【分析】（1）根据两次余弦定理并结合角互补即可即可证明； （2）同（1）得到，，再利用合理变形即可得到m、n、t之间关系式，再通过作差法即可得到的大小关系，则得到为钝角. 【详解】（1）因为， 则， 则在和利用余弦定理得， 化简得. （2）由（1）知①， 同理可得②，③， ①②③得④， 则m、n、t满足④式， ④①得， 同理可得，， 因为，则 则，则， ，则， 则，则，根据大边对大角，则为钝角. 24．（23-24高一下·上海宝山·期末）锐角中角、、的对边分别为、、，且． (1)求角的大小； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】辅助角公式、正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形、求三角形中的边长或周长的最值或范围 【分析】（1）借助正弦定理将角化为边后，借助余弦定理计算即可得； （2）借助正弦定理将边化为角后，结合两角和的正弦公式与辅助角公式可将化为正弦型函数形式，再利用锐角三角形性质可得角的范围，即可得解. 【详解】（1）由正弦定理可得，即， 由余弦定理可得，又，则； （2）由，则、， 则 ， 由为锐角三角形，可得，解得， 则，则， 故. 25．（23-24高一下·上海·期末）在中，内角所对的边分别为，已知． (1)求角的大小； (2)若，且的面积为，求的周长． 【答案】(1) (2) 【知识点】二倍角的余弦公式、辅助角公式、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形 【分析】（1）根据题意，利用三角函数关系式和恒等变换，求得，进而求得的值； （2）根据题意，利用正弦定理和三角形的面积公式，求得和，结合余弦定理，列出方程，求得的值，进而得到三角形的周长. 【详解】（1）解：由题意知， 因为，可得， 所以，可得，即 由于，可得，所以，解得． （2）解：因为，由正弦定理得， 又因为的面积为，可得，解得， 所以，解得， 由余弦定理， 即，可得，所以的周长为． 26．（22-23高一下·上海静安·期末）如图，某人位于临河的公路上，已知公路两个相邻路灯、之间的距离是，为了测量点与河对岸一点之间的距离，此人先后测得，.    (1)求、两点之间的距离； (2)假设你只携带着量角器（可以测量以你为顶点的角的大小）.请你设计一个通过测量角可以计算出河对岸两点、之间距离的方案，用字母表示所测量的角的大小，并用其表示出的长. 【答案】(1) (2)答案见解析 【知识点】正弦定理解三角形、余弦定理解三角形、距离测量问题 【分析】（1）在中利用正弦定理直接求解即可； （2）测得，，，在中利用正弦定理求出，再在中利用余弦定理可求出 【详解】（1）在中，由正弦定理，有 ， 即. 答：、两点之间的距离为. （2）测得，，. 在中，由正弦定理，有 ，即. 在中，由余弦定理，有 或. 27．（22-23高一下·上海普陀·期末）在中，已知． (1)求角的大小； (2)设角、、的对边分别为、、．若，且边上的高为，求的周长． 【答案】(1) (2) 【知识点】诱导公式五、六、二倍角的余弦公式、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形 【分析】（1）利用诱导公式结合二倍角的余弦公式可得出关于的方程，结合角的取值范围先得出的值，进而可得出角的值； （2）设，则，利用余弦定理求得，利用三角形的面积公式求出的值，即可得出的周长. 【详解】（1）解：因为， 所以，，即. 因为，则，所以，，解得， 所以，，因此，. （2）解：因为，设，则， 由余弦定理可得，所以，， 因为边上的高为，则， 即，解得， 因此，的周长为. 28．（22-23高一下·上海宝山·期末）已知中，是角所对的边，，且.    (1)求角； (2)若，在的边上分别取两点，使沿线段折叠到平面后，顶点正好落在边（设为点）上，设，试求关于的函数解析式； (3)在（2）的条件下，求的最小值并求此时的值. 【答案】(1) (2)， (3) 【知识点】正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形、基本（均值）不等式的应用 【分析】（1）由正弦定理边角互化及三角形内角关系，通过变换得，再结合二倍角公式可求； （2）由题意可知为等边三角形，且，，在中，由余弦定理整理可得； （3）通过换元变换后再利用基本不等式即可求其最值． 【详解】（1）由正弦定理及，知，因为，所以，即， 因为，所以，所以，所以,解得． （2）,是等边三角形， 又因为， 由题意,， 在中,由余弦定理得， ， ， 因为，， （3）由（2）知，， 设，，当且仅当，即，时取等号， 此时的最小值为. 29．（23-24高一下·上海松江·期末）在滴水湖公园湖畔拟建造一个四边形的露营基地，如图所示．为考虑露营客人娱乐休闲的需求，在四边形区域中，将三角形区域设立成花卉观赏区，三角形区域设立成烧烤区，边修建观赏步道，边修建隔离防护栏，其中米，米，，其中． (1)若米，求烧烤区的面积？ (2)为了保证烧烤区的占地面积最大，那么需要修建多长的隔离防护栏？ (3)在（2）条件下，为了使得花卉观赏区的面积也尽可能大，则应如何设计观赏步道？ 【答案】(1) (2)修建的隔离防护栏长米时，烧烤区的占地面积最大 (3)设计观赏步道米时，花卉观赏区的面积最大 【知识点】正弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形、求三角形面积的最值或范围 【分析】（1）先由余弦定理求出，即可由面积公式求解. （2）设米，先由余弦定理求出与的关系式，进而得，进而代入面积公式结合一元二次函数的性质研究最值即可得解. （3）先利用正弦定理求得，接着代入结合三角恒等变换公式计算即可求解. 【详解】（1）若，则， 又，所以， 所以烧烤区的面积为. （2）设米，则， 又，所以， 所以烧烤区的面积为， 所以当即时，烧烤区的面积最大为，此时米， 所以修建的隔离防护栏长米时，烧烤区的占地面积最大. （3）由（2）得米， 所以在中由题意得，即， 所以， 所以 ， 又，所以， 所以当即时，有最大值为， 此时，， 所以在（2）条件下，设计观赏步道米时，花卉观赏区的面积最大. 【点睛】思路点睛：对求花卉观赏区的面积最大值，先在中利用正弦定理得，接着代入结合三角恒等变换公式计算化简得，再利用三角函数值的有界性即可求出解. 30．（23-24高一下·上海·期末）某新能源汽车公司计划建设一个锂电池工厂，工厂必须建在河边，锂电池需要锂和钴两种矿产资源.如图，是锂矿，是钴矿，直线是一条河流.两点在直线上的投影分别为两点.已知，.假设工厂建在线段上（包含端点）的点处，设. (1)求的长. (2)若沿线段与建两条公路用于矿产运输，且要求是钝角，求的取值范围. (3)若要建设公路连接三点，假设公路建设成本和公路长度成正比，请你运用数学建模的思想设计一个最佳的工厂选址和公路建设方案.（已知的最大值约为.） 【答案】(1)； (2)； (3)答案见解析. 【知识点】余弦定理解三角形、几何图形中的计算、距离测量问题 【分析】（1）作于，利用直角三角形结合已知求出. （2）利用余弦定理建立不等式求解即得. （3）根据给定条件，可得公路连接点到点的距离和最小，推得，通过旋转确定点位置并计算得解. 【详解】（1）依题意，，则，由，得， 作于，则，， 所以. （2）在中，， 由是钝角及余弦定理，得， 即，于是，整理得， 解得，所以的取值范围是. （3）最佳方案：工厂建在处，，中间有一个三岔路口，，且. 由公路建设成本和公路长度成正比，得当且仅当公路长度最短时，公路建设成本最低， 即三岔路口到点的距离和最小，此时必有，否则令点在上的投影为， 则有与最小矛盾， 将绕点逆时针旋转得，则为正三角形， ，显然， 则，当且仅当点共线时取等号， 此时必有，， 显然，由（1）得， ，而， 令交直线于点，则，， ， 所以工厂建在处，，中间有一个三岔路口，，且. 35．（22-23高一下·山东济南·期末）射影几何学中，中心投影是指光从一点向四周散射而形成的投影，如图，为透视中心，平面内四个点经过中心投影之后的投影点分别为．对于四个有序点，定义比值叫做这四个有序点的交比，记作．    (1)证明：； (2)已知，点为线段的中点，，求． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】正弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形 【分析】（1）利用面积公式表示出、即可得到，同理得到，即可得证； （2）由（1）可得，即可得到，设，，利用余弦定理与正弦定理得到方程组，求出，，再由余弦定理计算可得. 【详解】（1）在、、、中， ， 所以， 又在、、、中， ， 所以， 又，，， 所以， 所以. （2）由题意可得，所以， 即，所以，又点为线段的中点，即， 所以，又，则，， 设，且， 由，所以， 即，解得①， 在中，由正弦定理可得②， 在中，由正弦定理可得③， 且， ②③得，即④ 由①④解得，（负值舍去），即， 所以. 【点睛】关键点睛：本题解答的关键是理解所给定义，利用面积公式求出线段的比，利用整体思想计算. 题型三 正弦函数的图像与性质 31．（23-24高一下·上海闵行·期末）对于函数，给出下列结论： ①函数的图象关于点对称； ②函数的对称轴是，； ③若函数是偶函数，则的最小值为； ④函数在的值域为， 其中正确的命题个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【知识点】由正弦（型）函数的奇偶性求参数、求正弦（型）函数的对称轴及对称中心、求图象变化前（后）的解析式、三角恒等变换的化简问题 【分析】利用三角恒等变换公式将函数化简，再根据正弦函数的性质一一判断即可. 【详解】因为 ， 因为，所以函数的图象关于点对称，故①正确； 令，解得， 所以函数的对称轴是，，故②正确； 因为为偶函数， 所以，解得， 所以的最小值为，故③正确； 当，则，当， 即时，故④错误. 故选：D 32．（23-24高一下·上海·期末）已知函数，现有四个命题：（1）函数的最小正周期为；（2）函数在区间上是增函数；（3）函数的图象关于直线对称；（4）函数是奇函数.其中真命题的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【知识点】求正弦（型）函数的最小正周期、求正弦（型）函数的对称轴及对称中心、求sinx型三角函数的单调性 【分析】利用正弦函数周期性判断命题（1），利用正弦函数单调性求出函数的单调区间判断（2），利用正弦函数的对称性求出对称轴判断（3），利用函数平移法则结合函数的对称性判断（4）. 【详解】函数，的最小正周期，（1）正确. 当，时，即，，函数为增函数， ，函数在区间上是增函数，（2）正确. 当，，即，为函数的对称轴，时，， 函数的图象关于直线对称,（3）正确. 函数图象相当于函数的图象向右平移个单位， 图象关于轴对称，为偶函数,（4）错误. 真命题的个数是3个. 故选：C 33．（23-24高一下·上海·期末）若函数在上严格减，则正实数的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】利用正弦型函数的单调性求参数 【分析】利用三角函数的单调性求参数取值范围即可. 【详解】因为，所以，又函数在上严格减， 设其最小正周期为，则，即，则， 所以，即，解得：， 当时，，当时，， 故答案为： 34．（23-24高一下·上海·期末）当今各网络销售平台通常会提供上门回收旧家具服务.平台工作人员小牛正在回收某客户淘汰的旧家具，为了省力，小牛选择将旧家具水平推运（旧家具背面水平放置于带滚轮的平板车上，平板车长宽均小于旧家具背面）.已知旧家具的形状为长方体.小牛在推运过程中遇到一处直角过道，如图所示，过道宽为1.8米.记旧家具在地面的投影为矩形，其中宽度米.请帮助小牛得出结论：按此种方式推运的旧家具，可以通过该直角过道的最大高度为 米（结果精确到0.1米）. 【答案】 【知识点】利用函数单调性求最值或值域、求含sinx(型)函数的值域和最值、三角函数在生活中的应用、用和、差角的正弦公式化简、求值 【分析】延长与直角过道的边相交于、，由表示出，设进行换元，利用单调性即可求解. 【详解】依题意设，，延长与直角过道的边相交于、，则， 所以，，， 又， 则，． 设， 因为，所以，所以， 则 ， 再令，， 则， 因为在上单调递增，且， 又在上单调递减， 所以在上单调递减， 故当，即，时，取得最小值， 由实际意义需向下取，此情况下能顺利通过过道的家具的高度的最大值为米． 故答案为： 35．（22-23高一下·上海长宁·期末）已知函数在有且仅有5个零点，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、正弦函数图象的应用 【分析】由 的范围, 可得 的范围, 由题意可得 的范围, 进而求出 的范围. 【详解】因为 , 所以 , 要使函数有 5 个零点, 则 , 解得 的范围为 . 故答案为: . 36．（22-23高一下·上海闵行·期末）已知函数的定义域为，且当时，，其中取一切正整数.函数的图像与直线恰有24个交点，则实数的取值范围是 . 【答案】 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、正弦函数图象的应用 【分析】依题意可得函数的图像与直线只在前几段有交点，分别分析函数与在前几段的交点个数，找到临近点，分析临界值时的交点情况，即可求出参数的取值范围. 【详解】因为函数在各段中的最大值逐渐减小，要使函数的图像与直线恰有个交点， 则函数的图像与直线只在前几段有交点， 依题意当时，，此时函数的图像与直线必有个交点， 当时，，此时函数的图像与直线必有个交点， 当时，，此时函数的图像与直线必有个交点， 当时，，此时函数的图像与直线必有个交点， 当时，，此时函数的图像与直线必有个交点， 若，则当时，，此时函数的图像与直线必有个交点， 此时函数的图像与直线的图象仅有个交点，不符合题意， 所以， 当时，，此时函数的图像与直线必有个交点， 此时函数的图像与直线的图象恰有个交点， 若时，则当时，，此时函数的图像与直线必有个交点， 不满足函数的图像与直线的图象恰有个交点， 所以， 综上可得，即实数的取值范围是. 故答案为： 37．（22-23高一下·上海普陀·期末）函数的值域为 ． 【答案】 【知识点】已知角或角的范围确定三角函数式的符号、求含sinx(型)函数的值域和最值、二倍角的正弦公式 【分析】分类讨论角x的象限及为轴线角即可求y的值域 【详解】由函数， 当的终边落在第一象限时，有，又，故此时， 当的终边落在第二象限时，有； 当的终边落在第三象限时，有，又，故此时， 当的终边落在第四象限时，有 当的终边落在两个坐标轴上时，有. 综上所述的值域是. 故答案为： 38．（22-23高一下·上海宝山·期末）已知函数，有以下命题： ①函数的最小正周期为； ②函数在上为增函数； ③直线是函数图象的一条对称轴； ④函数在上有三个零点； ⑤函数的最小值为. 请写出正确命题的全部序号 . 【答案】①③⑤ 【知识点】求正弦（型）函数的对称轴及对称中心、辅助角公式、求sinx型三角函数的单调性、判断零点所在的区间 【分析】①②根据周期的定义，结合三角函数的诱导公式二，利用函数在的单调性，可得答案；③根据轴对称的性质公式，结合三角函数的诱导公式，可得答案；④根据函数在上的单调性，结合零点存在性定理，可得答案；⑤根据①所得到的函数在的单调性，以及最小正周期，可得答案. 【详解】①：， 当时，，则， 根据函数在上单调递增，可得此时单调递减； 当时，，则， 根据函数在上单调递增，可得此时单调递增； 故①正确； ②：由①可知函数在上单调递减，在上单调递增，故②不正确； ③：， ， 由，则直线是函数的对称轴，故③正确； ④：当时，， 则，根据函数在上单调递增，可得此时单调递增， 由，则函数在存在唯一零点； 当时，， 则，根据函数在上单调递减，可得此时单调递减， 由，则函数在存在唯一零点； 易知，，， 综上：函数在上有两个零点，故④不正确； ⑤：由①可知函数在上单调递减，在上单调递增， 则当时，函数的最小值为， 因为由①可知，函数的最小正周期为，所以，故⑤正确. 故答案为：①③⑤. 39．（22-23高一下·上海浦东新·期末）函数的最大值为，则正数a的值是 . 【答案】 【知识点】由正弦（型）函数的值域（最值）求参数、辅助角公式 【分析】利用辅助角公式和正弦函数的图像和性质即可求解. 【详解】因为函数， 由正弦函数的图像和性质可知，函数的最大值为， 因为，所以， 故答案为：. 40．（23-24高一下·上海·期末）已知函数. (1)求的最小正周期； (2)求在区间上的最小值. 【答案】(1)； (2). 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、求正弦（型）函数的最小正周期、辅助角公式、sin2x的降幂公式及应用 【分析】（1）根据二倍角的正弦公式、降幂公式以及辅助角公式化简解析式，即可求得周期. （2）由的范围求得的范围，再利用正弦函数的性质可得结果. 【详解】（1）依题意，， 所以的最小正周期. （2）由，得， 则当，即时，， 所以在区间上的最小值是. 41．（23-24高一下·上海黄浦·期末）设． (1)当时，用函数单调性的定义证明：函数在区间上是严格增函数． (2)①根据a的不同取值，讨论函数在区间上零点的个数； ②若函数在区间（k为正整数）上恰有7个零点，求k的最小值及此时a的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2)①见解析；②的最小值为3，此时. 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、正弦函数图象的应用、二倍角的正弦公式、求函数零点或方程根的个数 【分析】（1）根据单调函数的定义，结合三角函数的性质和不等式的性质，判断的正负，即可证明； （2）①根据三角函数的性质，将函数的零点转化为图象的交点个数问题，即可判断； ②根据①的结果以及分析过程，判断当时的交点情况，以及得到取值. 【详解】（1）设， ， ， ， 因为，所以， 且，所以，所以， 则， 所以， 即，所以， 所以函数在区间上是严格增函数. （2）①，则， 当时，即，，， 所以不管为何值，和是函数的零点， 当，即或时，，如图画出函数的图象， 若或时，与无交点，没有零点， 若或时，与有1个交点，为和，需舍去，所以没有零点， 当或时，与有2个交点， 当时，与有3个交点， 综上可知，或时，有2个零点， 当或时，有4个零点， 当时，有个5零点. ②由①可知，时，最多有5个零点， 时，区间为，不管为何值，函数的零点包含，3个零点， 当时，与在区间有4个交点， 如图， 当时，在区间有4个交点，此时交点的横坐标为函数的零点， 所以的最小值为3，此时. 【点睛】关键点点睛：本题第2问考察函数零点问题，关键是讨论和两种情况. 42．（22-23高一下·上海嘉定·期末）已知函数 (1)求函数的周期； (2)若函数，求函数在区间上的值域； (3)若恒成立，试求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、求正弦（型）函数的最小正周期、由cosx（型）函数的值域（最值）求参数、三角恒等变换的化简问题 【分析】（1）将函数转化为，利用周期公式求解； （2）由（1）得到，再利用正弦函数的性质求解； （3）将恒成立，转化为求解. 【详解】（1）由诱导公式，， ， ∴的周期． （2）由（1），知， ， ， 由，则， 故，则. 故在区间上的值域为. （3）∵， ， ， ∴当时，， ∵恒成立， 等价于， ∴，即， 解得， ∴实数的取值范围为． 43．（22-23高一下·上海奉贤·期末）在路边安装路灯，灯柱与地面垂直（满足），灯杆与灯柱所在平面与道路垂直，且，路灯采用锥形灯罩，射出的光线如图中阴影部分所示，已知，路宽.设灯柱高，.    (1)求灯柱的高（用表示）； (2)若灯杆与灯柱所用材料相同，记此用料长度和为，求关于的函数表达式； (3)求出的最小值. 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、三角函数在生活中的应用、正弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用 【分析】（1）分别在、中，应用正弦定理求、，即可得解析式； （2）根据正弦定理得到，即. （3）根据计算得到的最小值. 【详解】（1）由题知，，， 在中， 则， 在中， 则. 所以. （2）由题意，而， 则， 所以， 结合（1）知：. （3）由（2）知， 又， 所以，当，时，. 44．（22-23高一下·上海闵行·期末）已知函数，其中，，分别求满足下列条件的函数的解析式. (1)，，. (2)，、是的两个相异零点，的最小值为，且的图像向右平移个单位长度后关于轴对称. (3)，，对任意的实数，记在区间上的最大值为，最小值为，，函数的值域为. 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】由正弦（型）函数的值域（最值）求参数、由正弦（型）函数的奇偶性求参数、由正（余）弦函数的性质确定图象（解析式）、用和、差角的正弦公式化简、求值 【分析】（1）根据求出，即可求出函数解析式； （2）依题意可得，即可求出，再根据三角函数的变换规则求出变换后的解析式，由对称性及诱导公式求出，即可得解； （3）首先求出周期，分、两种情况讨论，分别求出的取值范围，即可得到的值域，从而得到方程组，解得，再根据求出，即可得解. 【详解】（1）依题意，又，所以， 所以，，解得，，又， 所以，所以. （2）依题意，，所以， 所以，将的图像向右平移个单位长度得到， 又关于轴对称，所以，所以， 又，所以，所以. （3）因为，，即区间的长度恰为， 又，令，，解得，， 所以的对称轴为，， 根据正弦曲线的性质当在区间上严格单调时取得最大值， 当与恰关于，对称时取得最小值， ①不妨设当，则是上严格增函数， 则 ， 因为， 所以，则，即， 即， ②不妨设当， 则， 因为， 所以，则，即， 即， 综上所述，即，解得， 所以，又， 所以，所以或，， 因为，所以，所以. 45．（22-23高一下·上海杨浦·期末）记. (1)求关于x的方程的解集； (2)求函数的单调减区间. 【答案】(1)或 (2) 【知识点】特殊角的三角函数值、由正弦（型）函数的值域（最值）求参数、三角恒等变换的化简问题、求sinx型三角函数的单调性 【分析】(1）解方程，求出方程的解集即可； (2）结合二倍角公式及辅助角公式化简，再根据正弦函数的性质求出函数的递减区间即可． 【详解】（1） , 令 ，即, 即,即, 解得 或 , 故关于 x 的方程的解集是或. （2）， 单调减区间即 解得： , 故的递减区间是. 46．（22-23高一下·上海虹口·期末）如图，扇形是一块半径（单位：千米），圆心角的风景区，点在弧上（不与，重合）.现欲在风景区中规划三条商业街道，要求街道与垂直于点，街道与垂直于点，线段表示第三条街道.记. (1)若点是弧的中点，求三条街道的总长度； (2)通过计算说明街道的长度是否会随的变化而变化； (3)由于环境的原因，三条街道、、每年能产生的经济效益分别为每千米300、200、400（单位：万元），求这三条街道每年能产生的经济总效益的最大值.（精确到1万元） 【答案】(1) (2)，不随的变化而变化，为定值 (3)约为1222万元 【知识点】余弦定理解三角形、辅助角公式、几何中的三角函数模型、求含sinx(型)函数的值域和最值 【分析】（1）若点是弧的中点，则位于的角平分线上，根据直角三角形的边角关系进行计算即可． （2）设，利用余弦定理求出，然后进行化简判断即可． （3）求出经济总效益的表达式，利用辅助角公式进行化简，利用三角函数最值性质进行求解即可． 【详解】（1）若是弧的中点，位于的角平分线上， ，， 中，， ， 同理，， ，为等边三角形， 则， 三条街道的总长度． （2），， 则，， ， 中，由余弦定理可知： ， 则，为定值，即的长度不会随的变化而变化． （3）设三条街道每年能产生的经济总效益， ， 设，，则， 则， 当时，取最大值，最大值为， 即三条街道每年能产生的经济总效益最高约为1222万元． 47．（22-23高一下·上海浦东新·期末）已知函数． (1)求函数的最小正周期； (2)已知常数，若函数在区间上是增函数，求的取值范围； (3)若函数在的最大值为，求实数的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【知识点】利用正弦型函数的单调性求参数、求正弦（型）函数的最小正周期、辅助角公式、三角恒等变换的化简问题 【分析】（1）利用诱导公式，平方关系即可化简，进而求得最小正周期. （2）由（1）得在区间上是增函数，即而得出，求解即可. （3）利用诱导公式，平方关系，二倍角公式化简，然后利用换元法得到二次函数，求对应含参的二次函数在区间上的最大值问题，即可求得结果. 【详解】（1） ， 则最小正周期为. （2）由（1）知，， 则在区间上是增函数， 所以， 所以， 解得， 又，所以时符合，即. （3）因为， 所以 ， 令， 因为， 所以，， 即， 则对于，， 当，即时，在时取得最大值， 即，解得（舍去）； 当，即时，在时取得最大值， 即，解得； 当，即时，在时取得最大值， 即，解得或（舍去）. 综上，或. 题型四 余弦函数的图像与性质 48．（23-24高一下·上海黄浦·期末）设，若对任意的，都存在，使得成立，则可以是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、求cosx(型)函数的值域 【分析】设的值域为，的值域为，求出，根据题意，再代入选项逐项分析即可. 【详解】设的值域为，的值域为， 则由题意得，因为，则， 则，则， 因为，所以， 对A，当时，，则， 则，不满足，故A错误； 对B，当时，， ， 则， 则，满足，故B正确； 对C，当时，， ， 则， 则，不满足，故C错误； 对D，当时，， 则， 则，不满足，故D错误； 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是根据题意将其转化为两函数值域之间的包含关系，再利用整体法求出相关三角函数的值域，代入选项逐个分析即可. 49．（22-23高一下·上海长宁·期末）已知关于的不等式在内恒成立，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】求含cosx的二次式的最值 【分析】分离参数后，求函数的最大值即可. 【详解】由得， 设，因，所以， 则在上恒成立， 设， 则二次函数的对称轴为， 因其开口向下，所以时函数单调递增， 所以的最大值， 故， 故答案为： 50．（22-23高一下·上海黄浦·期末）已知，若对任意的正整数成立，则的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】解余弦不等式、求余弦（型）函数的最小正周期 【分析】依题意可得，，对、、、、分别求出的取值范围，从而求出需满足的条件，再根据周期性即可得解. 【详解】由，可得，， 又，当时，均满足题意； 当时，均满足题意； 当时，均满足题意； 当时，此时需，即； 当时，此时需，即； 由的最小正周期，所以之后会重复前面的取值， 综上可得，即的取值范围是. 故答案为： 51．（22-23高一下·上海闵行·期末）若函数的最大值为，则 . 【答案】 【知识点】求cosx(型)函数的值域、辅助角公式 【分析】根据辅助角公式得到，然后利用余弦函数的最值即可求解. 【详解】因为函数， 且函数的最大值为， 所以，解得， 故答案为：. 52．（23-24高一下·上海·期末）已知函数． (1)求的最小正周期，对称中心； (2)求的单调区间，最值以及取得最值时的值． 【答案】(1)，； (2)答案见解析 【知识点】求cosx型三角函数的单调性、求余弦（型）函数的最小正周期、求cosx（型）函数的对称轴及对称中心、三角恒等变换的化简问题 【分析】（1）利用二倍角公式以及两角和的余弦公式化简可得，利用余弦函数的周期公式以及对称性即可求解； （2）利用余弦函数的性质即可求解． 【详解】（1）因为， 所以的最小正周期， 令，解得， 所以的对称中心为； （2）令，解得， 令，解得， 所以的严格增区间为，严格减区间， 当，即时，取得最大值， 当，即时，取得最小值， 53．（22-23高一下·上海黄浦·期末）已知定义在上的函数，满足，当时，． (1)若函数的最小正周期为，求证：，为奇函数； (2)设，若，函数在区间上恰有一个零点，求的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、由周期性求函数的解析式、根据函数零点的个数求参数范围 【分析】（1）由函数的周期性和奇偶性即可证明； （2）令，则，等价于关于的方程在区间上仅有一解，分别求出在区间和区间的取值范围即可得出答案. 【详解】（1）当时，，所以， 又因为函数的最小正周期为，所以， 所以，故. 对于任意给定的，，因为， 所以. 对于任意给定的，，因为， 所以， 当时，. 综上所述，函数，为奇函数. （2），即， 当，，于是， 当，，于是， 据此可得，当（为正整数）时，， 当（为正整数）时，， 函数在区间（为正整数）上为严格的减函数，其值域为， 函数在区间上恰有一个零点，等价于关于的方程在区间上仅有一解， 对于函数，在区间上，其函数值的取值范围是； 在区间上，其函数值的取值范围是. 由题意，关于的方程在区间上须无解，而在区间上仅有一解， 所以的取值范围为. 54．（22-23高一下·上海静安·期末）（1）指出函数的最大值，及函数取得最大值时所对应的的值，并画出该函数在一个最小正周期内的大致图像； （2）指出正弦函数的单调性，并以此为依据证明：余弦函数在区间是严格增函数. 【答案】（1）时，函数取得最大值2，作图见解析；（2）单调增区间，单调减区间，其中，证明见解析 【知识点】画出具体函数图象、求sinx的函数的单调性、求cosx型三角函数的单调性、三角恒等变换的化简问题 【分析】（1）首先利用倍角公式化简，再根据正弦函数的图象和性质求最值，五点作图法作图． （2）利用正弦函数的单调性，结合诱导公式直接化为余弦函数，即可证明． 【详解】（1）， ，即时，函数取得最大值2. 0 0 2 0 0    （2）单调增区间，单调减区间，其中. 任取、，，即， 由于,是正弦函数的单调增区间， 所以，，即， 故，余弦函数在区间是严格增函数. 题型五 函数y= Asin(ωx + φ)的图像 55．（23-24高一下·上海金山·期末）已知，下列结论错误的个数是（    ） ①若，且的最小值为，则；②存在，使得的图像向右平移个单位长度后得到的图像关于轴对称；③若在上恰有7个零点，则的取值范围是；④若在上单调递增，则的取值范围是. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、利用正弦型函数的单调性求参数、求图象变化前（后）的解析式、二倍角的余弦公式 【分析】由二倍角公式将三角函数化简，然后由三角函数的性质逐项判断即可. 【详解】， 周期， ①由条件知，周期为，故①错误； ②函数图象右移个单位长度后得到的函数为， 其图象关于轴对称，则， 故对任意整数，故②错误； ③由条件，得，故③错误； ④由条件，得，又，故④正确. 故选：C. 56．（22-23高一下·上海闵行·期末）函数的图像可按向量方向平移到图像（平移距离为），的函数解析式为，当为奇函数时，向量可以等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】由余弦（型）函数的奇偶性求参数、求图象变化前（后）的解析式 【分析】根据平移变换得到的解析式，然后根据奇函数的性质求解即可. 【详解】设，所以， 因为为奇函数，所以， 令，整理得，所以可以等于. 故选：B. 57．（23-24高一下·上海·期末）设函数在上恰有两个零点，则 . 【答案】或 【知识点】正、余弦型三角函数图象的应用、辅助角公式、求零点的和 【分析】先将函数化简成，将函数有两个零点问题转化成函数与图象在上恰有两个交点问题，然后数形结合根据函数的图象性质即可得解. 【详解】由题得， 因为函数在上恰有两个零点， 所以方程在上恰有两个根， 所以函数与图象在上恰有两个交点， 令， 即函数的对称轴方程为， 所以在上有两条对称轴为和，如图， 所以由函数的图象性质可知或. 故答案为：或. 【点睛】思路点睛：研究三角函数问题，通常需要利用三角恒等变换公式化成一角一函数，故解决本题先利用辅助角公式将函数化简成，再将题中所给条件函数有两个零点问题转化成函数与图象在上恰有两个交点问题，然后作出有关函数图象，数形结合根据函数的图象性质即可得解. 58．（23-24高一下·上海静安·期末）函数的部分图像的示意图如图所示，已知，且，则 ． 【答案】 【知识点】由图象确定正（余）弦型函数解析式、三角函数图象的综合应用 【分析】借助图象结合三角函数的周期性可计算出函数解析式，再由所给条件可得，代入计算即可得解. 【详解】由图可得，又，故， ，又，故， 则有，，即，， 又，则，即， 由，则， 即， 故或，， 即或，， 又，故， 则. 故答案为：. 59．（22-23高一下·上海闵行·期中）将函数的图象向右平移个单位，再把所得函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则的单调递减区间为 . 【答案】， 【知识点】结合三角函数的图象变换求三角函数的性质、求sinx型三角函数的单调性 【分析】根据三角函数图象的平移和伸缩变换即可求解函数，再由正弦函数的性质求解. 【详解】将函数的图象向右平移个单位可得：， 再把所得函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍，可得， 令，， 解得，， 则的单调递减区间为，， 故答案为：， 60．（22-23高一下·上海宝山·期末）函数的部分图象如图所示，则 .    【答案】0 【知识点】由图象确定正（余）弦型函数解析式、三角函数的化简、求值——诱导公式、特殊角的三角函数值 【分析】根据函数图像确定以及的值，可得函数解析式，结合特殊角三角函数值，即可得答案. 【详解】由图象可知的最小正周期，故； 将代入可得，则， 故，而，故， 即，故， 故答案为：0 61．（22-23高一下·上海浦东新·期末）已知，若函数的图像如图所示，则 ． 【答案】 【知识点】函数周期性的应用、由图象确定正（余）弦型函数解析式 【分析】由函数的图像可得出，，，由此即可求出一个周期内，再利用周期性得出答案. 【详解】由图可知（同理），,解得：, 此时，又函数过点， 即，解得，取， 所以， ，，，，， ，，， 即， 所以 . 故答案为： 62．（23-24高一下·上海·期末）设，，．如图所示，函数的图象与坐标轴依次交于、、三点，直线交函数的图象于点．若，且坐标原点为的重心，则 ． 【答案】 【知识点】已知弦（切）求切（弦）、由图象确定正（余）弦型函数解析式、余弦定理解三角形 【分析】由重心定义得为中点，且由重心性质求出，进而得，从而结合函数图像以及周期公式可求出的解析式，进而求出B点坐标，再利用B点坐标和余弦定理可求出，接着利用同角三角函数的基本关系即可得解. 【详解】由重心定义得为中点，且由重心坐标形式的性质得， 即，故， 所以函数周期满足，又，故， 所以，故， 所以由图以及正弦函数性质得即， 又，故， 所以，则，即， 所以， 故， 又，故， 又，所以， . 故答案为：. 63．（23-24高一下·上海·期末）已知. (1)求函数的单调增区间； (2)求函数在区间上的最大值与最小值. (3)若函数在内有且只有一个零点，求实数m的取值范围. 【答案】(1) (2) (3)或 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、求含sinx(型)函数的值域和最值、三角函数图象的综合应用、求sinx型三角函数的单调性 【分析】（1）运用二倍角公式，辅助角公式化简成正弦型函数，令函数，函数可以看作向下平移个单位，则的单调增区间与相同，用五点法作图解题即可； （2）将在图像留下来，直接看图求出来即可； （3）将在图像留下来，转化为交点问题即可. 【详解】（1） ， 令，最小正周期为.可以运用五点法画出的图像. 五点分别为： 由图像，结合函数周期性，可知道的单调递增区间为： 函数可以看作向下平移个单位，则的单调增区间与相同， 故的单调递增区间为： （2）先求出在区间上的最大值与最小值，由图知. ， 函数可以看作向下平移个单位，则 （3）若函数在内有且只有一个零点, 等价于在内有且只有一个根， 等价于在内有且只有一个根， 等价于在内有且只有一个根， 等价于与在内有且只有一个交点. 且，图像如下 则或者，解得或. 64．（23-24高一下·上海·期末）已知函数，其中，（，） (1)若，，在用“五点法”作出函数，的大致图象的过程中，第一步需要将五个关键点列表，请完成下表： 0 0 (2)若，，写出函数的最小正周期和单调增区间 (3)若的频率为，且恒成立，求函数的解析式. 【答案】(1)答案见详解 (2)；， (3) 【知识点】五点法画正弦函数的图象、求正弦（型）函数的最小正周期、由正（余）弦函数的性质确定图象（解析式）、求sinx型三角函数的单调性 【分析】（1）根据题意，可得，完成五点法列表； （2）利用解析式结合正弦函数的单调递增区间，即可求出的单调递增区间； （3）根据题意可得，求得，又恒成立，可得，求得，得解. 【详解】（1）若，，则，，五点法列表如下： 0 0 1 0 0 （2）若，，则，所以最小正周期， 由的单调性可知，，即， 所以的单调增区间为，. （3）由题意可得的周期，则， 所以，又恒成立， 所以，即，即， 又，所以， 所以. 65．（23-24高一下·上海静安·期末）已知函数． (1)某同学打算用“五点法”画出函数在某一周期内的图象，列表如下： 0 0 1 0 0 0 0 0 请在答题纸上填写上表的空格处数值，并写出函数的表达式和单调递增区间； (2)将（1）中函数的图象向下平移个单位得到的图象，若函数在闭区间上恰有两个零点，请直接写出实数的取值范围． 【答案】(1)，，单调递增区间 (2) 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、求sinx型三角函数的单调性 【分析】（1）根据“五点法”完成表格，确定函数解析式，可求函数的单调增区间. （2）做出函数图象，根据图象求的取值范围. 【详解】（1）根据“五点法”，完成列表： 0 0 1 0 0 0 0 0 所以表中所填的数据为：． 由表格可知：，，. 所以. 由， 得， 所以函数单调递增区间． （2）根据列出得表格，可以做出函数得图象，如下： 该问题转化为方程在区间有两个交点，又，，， 所以的取值范围是． 66．（23-24高一下·上海宝山·期末）已知函数的部分图像如图所示： (1)求函数的表达式； (2)当时，求方程的所有根的和． 【答案】(1) (2) 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、由图象确定正（余）弦型函数解析式、三角函数图象的综合应用 【分析】（1）由函数的图象，得到，求得，再由，求得，即可求解； （2）由，求得或，结合，分类讨论，结合三角函数的性质，即可求解. 【详解】（1）解：由函数的图象，可得，可得，所以， 因为，即， 可得，即， 又因为，可得，所以. （2）解：由，可得或， 因为，可得， 当时，，设方程的解为， 则，可得； 当时，，则，可得， 综上所述，方程的所有根的和为. 67．（23-24高一下·上海·期末）已知函数 的图象与轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为，且图象上一个最低点为． (1)求的解析式和周期． (2)当 时，求的值域． 【答案】(1)，周期为 (2) 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、由正（余）弦函数的性质确定图象（解析式） 【分析】（1）由函数的图象的顶点坐标求出，由周期求出，由特殊点的坐标求出的值，可得函数的解析式，即可求解； （2）当时，得到，利用正弦型函数的性质，即可求解. 【详解】（1）解：由函数的图象与轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为， 可得最小正周期，所以. 又由图象上一个最低点为，可得， 且，即，可得， 即，因为，所以， 所以函数的解析式为，且由最小正周期，可得的周期为. （2）解：由（1）知， 当时，可得， 所以，当时，即时，函数取得最小值为； 当时，即，函数取得最大值为， 所以函数的值域为. 68．（22-23高一下·上海普陀·期末）已知． (1)求函数的单调增区间； (2)设方程在上的两解为和，求的值； (3)在中，角的对边分别为．若，，且，求的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】反三角函数、正弦定理解三角形、余弦定理解三角形、求sinx型三角函数的单调性 【分析】（1）利用辅助角公式及正弦函数的性质即求； （2）由题得，可解得，，再利用两角差的余弦公式及二倍角公式即求； （3）由题可求，再结合正余弦定理及面积公式即求. 【详解】（1）由题意知， 由，得到， 所以函数的单调增区间为 （2）令，化简得， 解得或． 由于，故，． 于是． 令，则， 因此． （3）由题意知， 由于，解得． 在中，由正弦定理知， 故，，又 所以， 在中，由余弦定理知， 所以，解得， 因此的面积． 69．（23-24高一下·上海·期末）设，．已知函数的图像关于直线成轴对称． (1)求函数的表达式； (2)若，且为锐角，求； (3)设，．若函数在区间上恰有奇数个零点，求的值以及零点的个数． 【答案】(1) (2) (3)；函数在区间上恰有个零点 【知识点】由对称性求函数的解析式、根据零点求函数解析式中的参数、正、余弦齐次式的计算、求函数零点或方程根的个数 【分析】（1）根据正弦函数对称轴方程即可求解. （2）利用二倍角的正切公式求出，再利用正弦形式的倍角公式、分母为“1”将变形后弦化切即可求解. （3）根据零点定义令得，再数形结合根据函数图像性质可求解. 【详解】（1）由题意， 所以，故，又， 所以，故. （2）因为，且为锐角， 所以 故由（1）. （3）由（1）， 令， 则函数在区间上恰有奇数个零点 在区间有奇数个解， 因为，最小正周期为，如图， 故由图像特征以及周期性质可知， 只有当时其在区间才有奇数个解， 此时，两边平方解得， 故此时或， 由图可知时有个解；时，有个解， 所以函数在区间上恰有个零点. 【点睛】易错点睛：在算函数在区间上的零点个数时，易漏算时这一组解导致零点个数算错. 70．（22-23高一下·上海闵行·期末）定义在上的函数，已知其在内只取到一个最大值和一个最小值，且当时函数取得最大值为3；当，函数取得最小值为. (1)求出此函数的解析式； (2)是否存在实数，满足不等式，若存在求出的取值范围，若不存在，请说明理由； (3)若将函数的图像保持横坐标不变，纵坐标变为原来的得到函数，再将函数的图像向左平移个单位得到函数，已知函数的最大值为10，求满足条件的的最小值. 【答案】(1) (2)存在， (3) 【知识点】解正弦不等式、由正（余）弦函数的性质确定图象（解析式）、求图象变化前（后）的解析式、复合函数的单调性 【分析】（1）先利用三角函数最值与周期的性质求得，再由求得，从而得解； （2）先根据根号的性质求得的取值范围，再结合的单调性得到关于的不等式，由此得解； （3）先利用三角函数平移的性质求得与，再利用复合函数的单调性确定满足条件时与的取值，从而求得的范围，由此得解. 【详解】（1），， 又在内只取到一个最大值和一个最小值， ，， ，， 则，又，， . （2）假设存在实数，满足题设不等式， 则满足，解得， ，， 同理， 当时，，故在上单调递增， 若有， 只需要，即成立即可， 存在，使成立. （3）由题意得， 函数与函数均为单调增函数，且， 当且仅当与同时取得才有的最大值为, 由，得， 则由，得， ，则， 又，的最小值为. 【点睛】关键点睛：本题第3小问的解决关键是利用复合函数的单调性，结合三角函数的性质确定满足条件时与的取值，从而得解. 题型六 正切函数的图像与性质 71．（21-22高一下·上海浦东新·期末）对于函数，其中，已知，则 . 【答案】 【知识点】函数奇偶性的应用、诱导公式二、三、四、由正弦函数的奇偶性求函数值、由正切函数的奇偶性求函数值 【分析】根据诱导公式计算的值并观察与的关系即可求得结果. 【详解】 而 所以，故 故答案为：. 72．（22-23高一下·上海虹口·期末）已知函数，其中. (1)若，求函数的最小正周期以及函数图象的对称中心； (2)若在闭区间上是严格增函数，求正实数的取值范围. 【答案】(1),,Z; (2) 【知识点】利用正切函数的单调性求参数、求正切（型）函数的周期、求正切（型）函数的对称中心 【分析】（1）利用正切函数的周期性和对称性求解； （2）利用正切函数的单调性求出的范围. 【详解】（1）∵，∴函数的最小正周期为, 令,Z,解得，Z, ∴函数图象的对称中心为,Z. （2）∵在闭区间上是严格增函数， ∴， ∴，且ω为正实数，解得 题型七 向量的数量积 73．（23-24高一下·上海·期末）已知向量，满足，，，则下列四个命题中，正确命题的个数是（    ）． ①若，则的最小值为； ②若，则存在唯一的y，使得； ③若，则的最小值为； ④若，则的最小值为． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【知识点】数量积的运算律、已知数量积求模、基本不等式求和的最小值 【分析】对于①，对两边平方转化为求的最值可判断①；对两边同乘以可判断②；对两边平方然后利用基本不等式可判断③；由③知可判断④. 【详解】，， 对于①，若，则 ，当且仅当时，取得等号， 的最小值为的最小值为①正确； 对于②，若，由得， 存在唯一的，使得，②正确； 对于③，若，则 ， 当且仅当时取得等号， 又，当且仅当，时取得等号，③正确； 对于④，若，则， 由③知，④正确. 故答案为：D. 74．（23-24高一下·上海·期末）已知在中，是边上的一个定点，满足，且对于边上任意一点，恒有，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】数量积的运算律、平面向量综合 【分析】由题意将题目转化为恒成立，即恒成立，解出的值，进而判断出排除其他答案即可. 【详解】设，则，过点作的垂线，垂足为， 在上任取一点， 设，如图所示； 则由数量积的几何意义可得， ，， 于是恒成立， 整理得恒成立， 只需即可，于是， 因此我们得到，即是的中点， 是等腰三角形，即. 故选：D. 75．（23-24高一下·上海·期末）折纸发源于中国19世纪，折纸传入欧洲，与自然科学结合在一起成为建筑学院的教具，并发展成为现代几何学的一个分支.我国传统的一种手工折纸风车（如图1）是从正方形纸片的一个直角顶点开始，沿对角线部分剪开成两个角，将其中一个角折叠使其顶点仍落在该对角线上，同样操作其余三个直角制作而成的，其平面图如图2，则下列结论成立的个数为（    ） ①；②；③；④ A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【知识点】向量减法的法则、数量积的运算律 【分析】根据几何关系，直接判断与是否平行，即可判断A;再根据转化向量求数量积判断B；根据几何关系，以及相等相等向量转化，判断C；根据向量转化证明数量积相等. 【详解】A.，则与不平行，故①错误； B.设，， ， ，故②正确； C.，故③正确； D.，故④正确. 故选：C 76．（23-24高一下·上海松江·期末）如图，直径的半圆，为圆心，点在半圆弧上，，线段上有动点，则的最小值为 ． 【答案】 【知识点】平面向量数量积的几何意义、用定义求向量的数量积 【分析】先分别过作、交于点和，求出，设，接着根据数量积定义以及题中所给条件求得，从而求出即可得解. 【详解】分别过作交于点，作交于点， 则， 设，则， 由题可知即， 所以，故的最小值为. 故答案为：. 77．（23-24高一下·上海·期末）北京冬奥会开幕式上的“雪花”元素惊艳了全世界（如图②），顺次连接图中各顶点可近似得到正六边形（如图①）.已知这个正六边形的边长为1，且P是其内部一点（包含边界），则的取值范围是 . 【答案】 【知识点】用定义求向量的数量积 【分析】由的几何意义表示向量在方向上的投影乘以，在借助图像可知当点在C点处时，有最大值，由此即可求出答案. 【详解】， 几何意义表示向量在方向上的数量投影乘以， 由图可知：当点P在点C处时，有最大值， 此时，， 所以的最大值是. ，所以取值范围为. 故答案为：. 78．（23-24高一下·上海·期末）在平面内，若有，，，则的最大值为 . 【答案】 【知识点】用定义求向量的数量积、数量积的运算律、已知数量积求模 【分析】根据题意，得到，所以，作，则，连接，取的中点，连接，作，连接，得到，得出点在以为直径的圆上，得到当运动到圆的最右侧时，在上的投影最大，此时最大，进而求得最大值. 【详解】由向量，，可得， 可得，所以， 如图所示，作，则，且， 连接，取的中点，连接，则， 因为，可得，所以， 作，连接，则，所以， 所以点在以为直径的圆上， 所以当运动到圆的最右侧时，在上的投影最大，此时最大， 由，, 因为，且，所以， 所以在上的最大投影为， 所以. 故答案为：. 79．（23-24高一下·上海·期末）设是单位向量，且，向量满足，则的取值范围是 . 【答案】 【知识点】数量积的运算律、已知数量积求模 【分析】利用数量积的运算律及性质建立不等式，再求解不等式即可得解. 【详解】单位向量满足，则， 由，得， 则，当且仅当同向时取等号， 因此，解得. 所以的取值范围是. 故答案为： 80．（23-24高一下·上海·期末）已知，则在上的数量投影是 ． 【答案】 【知识点】求投影向量 【分析】由数量投影公式求解. 【详解】解：数量投影为：， 故答案为： 81．（23-24高一下·上海·期末）已知非零向量，，满足：，则的最大值为 ． 【答案】/ 【知识点】数量积的运算律 【分析】由题可得，化简得，利用不等式求出取最大值，即可求解. 【详解】由，可得，所以， 要使取最大值，则取最大值，由于，所以，当且仅当时等号成立，所以的最大值为， 故答案为： 82．（23-24高一下·上海青浦·期末）在边长为1的正六边形中，记以为起点，其余顶点为终点的向量分别为，，，，，以为起点，其余顶点为终点的向量分别为，，，，.记，为的两个三元子集，则的最小值为 . 【答案】 【知识点】余弦定理解三角形、向量的模、用定义求向量的数量积、向量与几何最值 【分析】由“两个向量模长越大、夹角越小则两个向量的和向量的模长越大”结合可知正六边形结构特征求出的最大值；由数量积概念可知对于，当与达到最大时与此时方向相反，故此时达到最小值. 【详解】根据向量加法平行四边形法则以及几何意义可知： 当两个向量夹角为锐角时，两个向量模长越大、夹角越小则两个向量的和向量的模长越大. 所以由正六边形结构特征可知的最大值为， 连接正六边形交于点， 则由正六边形结构特征可知为正三角形，为其边上的中线， 且由正六边形结构特征，，， 所以由题意以及余弦定理得： ， 即， 所以，，， 所以， 故由向量加法法则； 所以当时，最大， 同理时，最大， 与此时方向相反， 故此时达到最小值为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键在于明确的最大值为和的最大值为. 83．（23-24高一下·上海·期末）在中，，平面上的点满足，，动点在线段上（不含端点）． (1)设，用含有的式子表示； (2)设，求的最小值； (3)求的最小值． 【答案】(1)； (2)； (3) 【知识点】已知数量积求模、已知模求数量积、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】(1)由平面向量的线性运算求解； (2)由 ，得，则，由基本不等式求解； (3) ，即可求解． 【详解】（1）解：如图所示：   ； （2）因为，，由(１)得， 得， 由， 得， 则， 因为，所以， 则， 等号成立时，，得， 故的最小值为； （3）因为，所以， 则 ， 因为，所以当时，取得最小值为． 84．（23-24高一下·上海·期末）已知为等腰直角三角形，且，．点是的内部（包括的三条边）不同的点．记集合，若集合是集合的一个非空子集，向量表示集合中所有元素的和． (1)若点是斜边的等分点，试求（用含的式子表示） (2)证明对于任意的集合，存在的两个非空子集满足以下条件：①，；②且. 【答案】(1) (2)证明见解析 【知识点】向量加法的法则、向量加法的运算律、数量积的运算律 【分析】（1）直接使用等分点的向量性质即可； （2）设，然后分和两种情况证明结论. 【详解】（1） 记的中点为，则由已知有. 所以. （2）对，设，则，. 同时，由于，. 故，. 若，取，，则，. 若，不妨设. 由于，， 故我们可以找到正整数，使得，. （换言之，是满足的正整数的最大值） 由于，故. 取，，则 ，且 . 综上，结论成立. 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于对数量积的运算律的运用. 85．（23-24高一下·上海·期末）如图，已知是边长为2的正三角形，点是边的四等分点． (1)求的值； (2)若为线段上一点，且，求实数的值； (3)若为边上的动点，求的最小值，并指出当取最小值时点的位置． 【答案】(1)6 (2) (3) 【知识点】平面向量基本定理的应用、用定义求向量的数量积、数量积的运算律 【分析】（1）利用平行四边形法则化简表达式，然后利用已知条件及向量数量积公式计算即可； （2）利用三点共线定理建立等式，得出方程组求出参数即可； （3）根据为边上一点，所以可设，再利用向量的加减法与数乘运算，求出，进而得出，从而可求的最小值. 【详解】（1）由于为边的中点，所以， 故. 由于，故. 因此. （2）由于，故. 由于为线段上一点，设， 所以， 由向量基本定理得，解得，因此. （3）因为为边上一点，所以可设， ， 因为，， 所以， 当时，取得最小值为. 所以点的四等分点靠近的分点，即处. 题型八 向量的坐标表示 86．（23-24高一下·上海·期末）如图，正方形上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形边上再连接正方形，如此继续，设初始正方形的边长为1，则（  ）. A．0 B． C． D． 【答案】D 【知识点】向量的线性运算的几何应用、用基底表示向量、用定义求向量的数量积、数量积的运算律 【分析】通过作辅助线，将相关向量线性表示出来，再利用数量积定义式和运算律计算即得. 【详解】 如图，连接，延长交于点，延长交于点. 则由题意和图形的对称性，可知， 且，， 由题意可知， . 故选：D. 87．（22-23高一下·上海杨浦·期末）在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为，，点C在直线上运动，O为坐标原点，G为△ABC的重心，则、、中正数的个数为n，则n的值的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】数量积的坐标表示 【分析】利用重心的坐标公式，找出点，再结合平面向量数量积的坐标运算法则，解不等式，分类讨论即可. 【详解】设，因为G为△ABC的重心，则点， 令，则； 令则； 令，则，不等式恒成立， 所以当或时，；当时，. 综上：n的值的集合为. 故选：A. 88．（22-23高一下·上海静安·期末）已知平面向量，，则在方向上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求投影向量 【分析】由向量数量积求出在方向上的投影为，再结合投影向量的定义求解. 【详解】在方向上的投影为， 又方向上的单位向量为， 故在方向上的投影向量是. 故选：D. 89．（23-24高一下·上海松江·期末）已知向量，则向量在方向上的投影向量的坐标为 ． 【答案】 【知识点】数量积的坐标表示、坐标计算向量的模、求投影向量 【分析】由公式求出投影的数量，在乘与同方向的单位向量得到投影向量. 【详解】在方向上的投影的数量为， 所以在方向上的投影向量为， 故答案为：. 90．（23-24高一下·上海·期末）如图，在平行四边形ABCD中，E是对角线AC上靠近点C的三等分点，点F在BE上，若，则 . 【答案】 【知识点】向量加法的法则、利用平面向量基本定理求参数 【分析】根据向量平行四边形法则及线性运算得，再利用平面向量基本定理建立方程即可求得参数. 【详解】由题意可知，因为点F在BE上， 所以， 所以，所以，所以. 故答案为： 91．（23-24高一下·上海·期末）已知函数，其图像的最高点从左到右依次记为，，，，，其图像与轴的交点从左到右依次记为，，，，，则 【答案】 【知识点】求cosx（型）函数的最值、数量积的坐标表示 【分析】根据条件可得出，，，，，，，，， 然后得出，，，，这样即可得出答案. 【详解】根据题意得，，，， ，，，，，， ， ，， ， . 故答案为： 92．（23-24高一下·上海·期末）已知是边长为6的等边三角形，是的内切圆上一动点，则的最大值为 ． 【答案】 【知识点】数量积的坐标表示 【分析】取的中点，建立平面直角坐标系，设，，表示出，，根据数量积的坐标表示及余弦函数的性质计算可得. 【详解】如图取的中点，建立平面直角坐标系，则，，， 则内切圆的圆心在上，设圆心为，则为靠近的三等分点，即， 内切圆的半径， 因为点是的内切圆上一动点，设，， 则，， 所以， 因为，所以， 则， 则，当，即时取得最大值. 故答案为： 93．（23-24高一下·上海·期末）如图，正六边形的边长为，半径为1的图的圆心为正六边形的中心，若点在正六边形的边上运动，动点，在圆上运动且关于圆心对称，则的取值范围为 【答案】 【知识点】数量积的坐标表示 【分析】根据题意，以为原点建立平面直角坐标系，设点，则，将表示为关于的表达式，结合正六边形的性质算出的取值范围. 【详解】以为原点，六边形的左、右顶点所在直线为轴，建立如图所示平面直角坐标系， 则圆的方程为，当在轴下方，且位于正六边形与轴平行的边上时， 的纵坐标为，可得，其中， 设，则，． 可得，， 所以， 结合，当时，有最小值5， 当时，有最大值7，可知， 根据图形的对称性，可知：当在正六边形其它的边上时，也成立. 综上所述，的取值范围为. 故答案为： 94．（23-24高一下·上海徐汇·期末）平面直角坐标系中，设点是线段的等分点，其中.    (1)当时，试用表示； (2)当时，求的值； (3)当时，求的最小值. 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】用基底表示向量、数量积的坐标表示、向量模的坐标表示 【分析】（1）由条件得，，由向量的线性运算即可求解； （2）由基底表示出，再求出，最后求模即可； （3）由基底表示出，，从而表示出，再利用求函数的最值的知识求出最小值． 【详解】（1）由题意可得：， 当时，所以，. （2）因为，则， 由（1）可得：， 当时，则，， 所以 因为， 所以， 所以 （3）当时，，， 则，同理， 令， 当，2，3时，， 当时，上式有最小值为； 当 时，， 当，6，7时，，当时，上式有最小值为， 综上，的最小值为． 【点睛】关键点点睛：根据向量的线性运算得，即可结合数量积的运算求解. 95．（23-24高一下·上海宝山·期末）已知坐标平面内，向量，，． (1)求满足的实数、； (2)若向量满足，且，求的坐标． 【答案】(1)， (2)或 【知识点】向量垂直的坐标表示、坐标计算向量的模、平面向量线性运算的坐标表示 【分析】（1）借助向量坐标运算计算即可得； （2）借助向量坐标运算中垂直性质与模长公式计算即可得. 【详解】（1）由，则有，解得， 即，； （2）设，则有，解得或， 故或. 96．（22-23高一下·上海黄浦·期末）如图，已知为平行四边形．    (1)若，，，求及的值； (2)记平行四边形的面积为，设，，求证： 【答案】(1)， (2)证明见解析 【知识点】数量积的运算律、已知数量积求模、数量积的坐标表示、坐标计算向量的模 【分析】（1）由，根据数量积的运算律求出，再根据计算可得； （2）由面积公式得到，将两边平方，再由同角三角函数的基本关系、夹角公式及数量积、模的坐标表示计算可得. 【详解】（1）在平行四边形中， 所以 ， 即，解得， 所以 . （2）因为，将两边平方可得， 又， 所以， 整理得， 又，，， 所以， 所以. 题型九 向量的应用 97．（23-24高一下·上海·期中）窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图中所示的窗花轮廓可以看作是一个正八边形.已知该正八边形的边长为10，点在其边上运动，则的取值范围是 . 【答案】 【知识点】向量与几何最值 【分析】作出图形，由图可得点在上运动，取的最大值，当在上运动，取的最小值，求得相应最值即可. 【详解】分别过，作的垂线，垂足为，，且，， 因为点在正八边形上运动，所以在上的投影向量的起点为，终点在线段上移动， 则当点在上运动，取的最大值，为， 则当点在上运动，取的最小值，为， 所以的取值范围是 故答案为： 98．（22-23高一下·上海闵行·期末）已知平面向量、、、、、两两互不相等，且.若对任意的，均满足，则当且时，的值为 . 【答案】 【知识点】向量在几何中的其他应用 【分析】作出图形，根据图形的几何意义求解即可. 【详解】因为， 所以向量、、分别看作以为起点，以为终点， 且是边长为2的正三角形，为正三角形的中心，    又因为， 所以向量、、则是以为起点，正三角形各边中点为终点， 因为，当时，的值为， 故答案为：. 99．（21-22高一下·上海浦东新·期末）在梯形中，，分别为直线上的动点. (1)当为线段上的中点，试用和来表示； (2)若，求； (3)若为的重心，若在同一条直线上，求的最大值. 【答案】(1)； (2)； (3)1. 【知识点】向量的线性运算的几何应用、三角形的心的向量表示、用基底表示向量、已知数量积求模 【分析】(1)结合条件证明，再用和来表示即可； (2)利用表示，根据模的性质和数量积的性质求； (3)由条件确定的关系，结合基本不等式求的最大值. 【详解】（1）因为为线段上的中点，所以，，又方向相同， 所以，所以； （2）因为，所以，因为，，所以，所以， 又，所以 又， 所以； （3）设线段的中点为，连接，交与点，由已知为的重心， 由重心性质可得， 又， ， ， 所以， 设，， 所以，， 由基本不等式可得，所以，当且仅当时等号成立，所以的最大值为1. 题型十 复数及其四则运算 100．（22-23高一下·上海虹口·期末）已知，则下列说法中与“是纯虚数”不等价的是（    ） A． B． C．且 D．或，且 【答案】A 【知识点】根据相等条件求参数、求复数的模、复数的基本概念 【分析】利用复数的基本概念依次判断即可. 【详解】对于选项A，设，R , 由可知，，即， 但是不能说明一定不等于零，所以不能说明是纯虚数； 对于选项B，设，R , 由可知，即，，所以可知是纯虚数； 对于选项C，复数实部为，虚部不等于，所以可知是纯虚数； 对于选项D，设，R , 由可知，，则， 又因为，所以，同理且，可知，，所以可知是纯虚数； 故选：A. 101．（23-24高一下·上海·期末）已知复数和复数满足：，则 ． 【答案】 【知识点】复数的乘方、共轭复数的概念及计算、根据复数的加减运算结果求参数 【分析】设，根据题意结合共轭复数的概念可得和，进而可得，再结合复数的乘法运算求解即可. 【详解】设，则， 因为，可得； 且，可得， 由，可得， 由，可得， 则， ， 可得， ， 所以. 故答案为：. 102．（22-23高一下·上海杨浦·期末）设方程的两个根为，且，则实数m的值是 . 【答案】0或2 【知识点】复数范围内分解因式、一元二次方程的解集及其根与系数的关系 【分析】当为实数根时，利用根与系数关系即可求出结果； 当为虚数根时，原方程的根是，利用复数模的定义即可求出结果. 【详解】当为实数根时， 方程的两个根为， ， ， ， ； 当为虚数根时，原方程的根是， ， ， 或， 故答案为：0或2. 103．（22-23高一下·上海普陀·期末）在中，若（为虚数单位），则 ． 【答案】 【知识点】复数代数形式的乘法运算、复数的相等、逆用和、差角的正弦公式化简、求值、逆用和、差角的余弦公式化简、求值 【分析】根据复数代数形式的乘法运算及两角和的正弦、余弦公式化简，再根据复数相等，得到方程即可得解. 【详解】因为， 所以， 则， 即， 所以，即， 因为，所以. 故答案为：． 104．（23-24高一下·上海松江·期末）已知为虚数单位，复数． (1)当实数取何值时，是纯虚数； (2)当时，复数是关于的方程的一个根，求实数与的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】已知复数的类型求参数、复数加减法的代数运算、复数的乘方、复数范围内方程的根 【分析】（1）由是纯虚数得到实部为，虚部不为，解方程组得到的值； （2）将代入方程，实部和虚部均为，解方程组得到和的值. 【详解】（1）由是纯虚数得，解得. 所以当时，是纯虚数. （2）当时，， 因为是关于的方程的一个根，所以， 即，整理得， 所以，解得. 105．（23-24高一下·上海·期末）设是虚数单位，是关于的方程的两根，且满足. (1)若，求与的值； (2)若，求的值. 【答案】(1) (2)或 【知识点】复数范围内方程的根 【分析】（1）由，及，得，即可求解； （2）当时，则是关于的方程的两根，则，进行分类讨论，即可求解. 【详解】（1）解：由，得， 而，得， 因为是关于的方程的两根， 所以， 得，由，得， 得，则； （2）当时，则是关于的方程的两根， 则， 当时，则，不满足， 当时，得 得， 由得， 得， 得， 得， 当时，不成立，当时，得， 当时，得， 不妨记， 由得， 得， 故的值为：或 106．（23-24高一下·上海·期末）在复数范围解方程． (1)关于的实系数一元二次方程的两根满足，求实数的值； (2)关于的实系数一元二次方程的两根，请根据实数的不同取值范围讨论的值． 【答案】(1)—1或3； (2) 【知识点】复数范围内方程的根 【分析】（1）根据方程有实数根与复数根进行讨论，从而求出的值；（2）根据方程有实数根与复数根讨论的范围，从而得到的值. 【详解】（1）当，即时，，为实数，则，， 所以，解得：； 当，即时，，为复数，由，解得：，， 所以，解得：； 综上：或 （2）当，即时，，为实数，则，， 当时，，为一正一负，所以 所以； 当，，为两负数， 当，即时，，为复数，由，解得：，， 则，， 所以 综上： 107．（23-24高一下·上海闵行·期末）设复数，． (1)若在复平面上所对应的点在第一象限，求a的取值范围； (2)若为纯虚数，求． 【答案】(1) (2)4. 【知识点】已知复数的类型求参数、在各象限内点对应复数的特征 【分析】（1）根据共轭复数的定义，并计算，由在复平面上对应的点在第一象限即可求解； （2）根据为纯虚数得，即可得. 【详解】（1）由题意可知，因为， 所以， 所以， 又因为在复平面上对应的点在第一象限， 所以， 解得. 所以实数的取值范围为. （2）因为为纯虚数， 所以，即， 所以， 故. 108．（22-23高一下·上海静安·期末）设复数，，其中.现在复数系中定义一个新运算，规定：. (1)已知，求实数x的值； (2)现给出如下有关复数新运算性质的两个命题： ①； ②若，则或. 请判定以上两个命题是真命题还是假命题，并说明理由. 【答案】(1)或 (2)①是真命题，②是假命题，理由见解析 【知识点】共轭复数的概念及计算、复数代数形式的乘法运算、判断命题的真假 【分析】（1）根据复数新定义的运算及模长运算即可得结论； （2）根据复数新定义设，，根据运算逐个求证即可. 【详解】（1）由定义，有 即，整理得，， 或. （2）①设，，则， ，所以 ①是真命题. ②设，，则， 所以，则是其一组解， 故得不到或. ②是假命题. 109．（22-23高一下·上海宝山·期末）已知复平面上有点、，向量与向量对应的复数分别为和. (1)求点的坐标； (2)设点对应的复数为，复数满足，，且为纯虚数，求复数. 【答案】(1)； (2). 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、已知复数的类型求参数、复数代数形式的乘法运算、复数的向量表示 【分析】（1）根据给定条件，求出向量、的坐标，再利用向量的坐标运算求解作答. （2）求出，设出的代数形式，再结合已知求解作答. 【详解】（1）依题意，，，则， 所以点的坐标是. （2）依题意，，设，由，得， ，而为纯虚数，则， 由，得，解得， 所以. 110．（23-24高一下·上海·期末）通过平面直角坐标系，我们可以用有序实数对表示向量.类似的，我们可以把有序复数对看作一个向量，记，则称为复向量.类比平面向量的相关运算法则，对于，，、、、、，我们有如下运算法则： ①；②；③；④. (1)设，，求和. (2)由平面向量的数量积满足的运算律，我们类比得到复向量的相关结论：①②.试判断这两个结论是否正确，并说明理由. (3)若，集合，.对于任意的，求出满足条件的，并将此时的记为，证明对任意的，不等式恒成立.根据对上述问题的解答过程，试写出一个一般性的命题（不需要证明）. 【答案】(1)，； (2)①不正确，②正确，理由见解析 (3)证明见解析 【知识点】数量积的运算律、数量积的坐标表示、坐标计算向量的模、复数代数形式的乘法运算 【分析】（1）代入公式①③即可求解； （2）根据所给定义，以及向量的代数运算法则，即可求解； （3）设满足条件的，，，根据所给条件求出，再证明对任意的，不等式恒成立，则只需计算的最小值，不妨令，表示出，即可得到，根据完全平方数的性质计算可得. 【详解】（1）由，， 得，； （2）设，，，、、、、、、， 则，，故①不成立， ，，， ， 因为，， 所以， ，故②正确； （3）设满足条件的，，， 则，， 因为为任意的复数，不妨设且， 由定义可得，即，即， 所以，则， 以下证明对任意的，不等式恒成立，只需计算的最小值， 不妨令，则， 则， ， 当，时，取得最小值，此时与之前得到的相同，结论得证； 推广结论：对于任意复向量，，若对于任意的，当且仅当时，取得最小值. 【点睛】关键点点睛：本题的关键理解新定义，结合新定义以及所学习的知识解决问题. 题型十一 复数的几何意义 111．（22-23高一下·上海闵行·期末）在复平面上，设点、对应的复数分别为、，当由连续变到时，向量所扫过的图形区域的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】复数的坐标表示 【分析】求出取临界值时点的坐标、，即可得到图象，向量所扫过的图形区域的面积是的面积与弓形的面积之和，即向量所扫过的图形区域的面积是扇形的面积，从而求得向量所扫过的图形区域的面积. 【详解】由题意可得，点在单位圆上，点的坐标为， 如图：当时，点的坐标为，当时，点的坐标为， 向量所扫过的图形区域的面积是的面积与弓形的面积之和. 由于，关于实轴对称，所以的面积等于的面积(因为这两个三角形同底且等高)， 故向量所扫过的图形区域的面积是扇形的面积， 因为，所以扇形的面积为等于. 故选：B.    112．（22-23高一下·上海浦东新·期末）已知为虚数单位，下列说法中错误的是（   ） A．复数对应的向量为，复数对应的向量为，若，则 B．互为共轭复数的两个复数的模相等，且 C．复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模 D．若复数满足，则复数对应的点在以为圆心，为半径的圆上 【答案】D 【知识点】共轭复数的概念及计算、复数代数形式的乘法运算、与复数模相关的轨迹（图形）问题、求复数的模 【分析】对于A，利用复数的几何意义及向量数量积的运算法则即可判断；对于B，利用共轭复数的定义与复数模的运算即可判断；对于C，利用复数模的定义即可判断；对于D，利用复数的几何意义与模的运算判断即可. 【详解】对于A，因为 ，所以， 则，即，则，故正确； 对于B，设，则， 所以，，， 所以，且，故B正确； 对于C，根据复数模的定义可知：复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模，故C正确； 对于D，设，若复数满足， 则，即， 复数对应的点在以为圆心，为半径的圆上，故D错误. 故选：D. 113．（23-24高一下·上海·期末）已知复数满足，则的取值范围是 . 【答案】 【知识点】与复数模相关的轨迹（图形）问题 【分析】根据复数模的几何意义，即可求得的取值范围. 【详解】解：表示在复平面上对应的点是单位圆上的点， 的几何意义表示单位圆上的点和之间的距离， 最小距离为，最大距离为， 的取值范围为. 故答案为：. 114．（23-24高一下·上海·期末）已知复数的模长都为1，且复数的实部为，则的最大值为 ． 【答案】 【知识点】求复数的模 【分析】根据不等式求解. 【详解】因为，，的模长都为1，所以， 又的实部为，所以的虚部可能为， 所以，所以. 所以. 故答案为： 115．（23-24高一下·上海松江·期末）复数满足（为虚数单位），则 . 【答案】 【知识点】求复数的模、根据复数乘法运算结果求复数的特征 【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，然后利用复数模的公式计算即可. 【详解】因为复数满足，所以，所以， 故答案为： 116．（23-24高一下·上海静安·期末）若复数满足（为虚数单位），则 ． 【答案】 【知识点】求复数的模、复数的除法运算、共轭复数的概念及计算 【分析】利用复数的除法可求，求出后可求. 【详解】，故，故， 故答案为：. 117．（23-24高一下·上海黄浦·期末）i为虚数单位，若复数和复数满足，则的最大值为 ． 【答案】/ 【知识点】与复数模相关的轨迹（图形）问题、复数代数形式的乘法运算 【分析】结合复数模的公式，得到复数表示的几何图形，再结合复数的几何意义，利用数形结合求的最大值. 【详解】设，则，整理为， 所以复数表示的点的轨迹是以点为圆心的圆面， ，，表示的几何意义是圆面上的点到原点距离，如图， 的最大值为连结圆心和原点的距离再加半径，所以. 故答案为： 118．（23-24高一下·上海闵行·期末）若复数，满足．且（i为虚数单位），则 ． 【答案】 【知识点】复数的相等、求复数的模 【分析】令，，根据复数的相等可求得，代入复数模长的公式中即可得到结果. 【详解】设，， ， ，又，所以，， ， ， . 故答案为：. 119．（23-24高一下·上海·期末）当实数为何值时，复数为： (1)实数； (2)纯虚数； (3)对应点在第二象限？ 【答案】(1)或； (2)； (3)． 【知识点】已知复数的类型求参数、根据复数对应坐标的特点求参数 【分析】（1）结合实数的概念，即可求解； （2）结合纯虚数的概念，即可求解； （3）结合复数的几何意义，即可求解． 【详解】（1）复数为实数，则， 所以或. （2）复数为纯虚数，则， 所以. （3）复数对应点在第二象限，则，解得， 所以实数的取值范围是. 120．（23-24高一下·上海·期末）已知关于的实系数一元二次方程的两根为. (1)若为虚数，，且，求和的值； (2)若，求的值. 【答案】(1)， (2)或. 【知识点】求复数的模、由复数模求参数、复数范围内方程的根 【分析】（1）由根的判别式可得，设，结合复数的几何意义和韦达定理计算即可求解； （2）法一：分别讨论当方程有两个实根、两个虚根的情况，结合韦达定理、复数的几何意义即可求解；法二：利用韦达定理和完全平方公式计算直接得出结果. 【详解】（1）由题意，关于的实系数一元二次方程的两个虚根为， 可得，即， 设，由，解得， 所以，； （2）法一：由关于的实系数一元二次方程的两根为， ①若方程有两个实根，则，可得，且， 则，解得； ②若方程有两个虚根，则，可得， 设，不妨设，可得，解得， 所以. 综上可得，实数的值为或. 法二：由关于的实系数一元二次方程的两根为， 则， ， 解得或. 121．（23-24高一下·上海·期末）已知为虚数，且为实数． (1)求证：； (2)若为纯虚数，求． 【答案】(1)证明见解析 (2)或 【知识点】已知复数的类型求参数、求复数的模、复数的除法运算 【分析】（1）设（且），根据复数代数形式的除法、加法运算法则化简，再根据为实数，虚部为零，即可得到，从而得解； （2）由（1）可得，再根据复数代数形式的除法运算化简复数，最后得到方程组，解出即可； 【详解】（1）解：设（且）， 则 ， 由题意可得，又可得， 所以 （2）由， 则 若为纯虚数，则，解得或， 所以或 122．（23-24高一下·上海·期末）已知复数满足为坐标原点，复数在复平面内对应的向量为. (1)求； (2)若向量绕逆时针旋转得到对应的复数为，求. 【答案】(1)5 (2) 【知识点】求复数的模、复数代数形式的乘法运算 【分析】（1）求出对应复数，再利用模的公式求模即可. （2）利用复数的几何意义结合旋转的性质求出对应复数，再求乘积即可. 【详解】（1）由得：， . （2）又，由复数的几何意义， 得向量绕原点逆时针旋转得到的， 则对应的复数为，则. 123．（23-24高一下·上海闵行·期末）已知关于x的实系数一元二次方程有一对共轭虚根，． (1)当时，求共轭虚根和； (2)若，求实数a的值． 【答案】(1) (2)或. 【知识点】由复数模求参数、复数范围内方程的根 【分析】（1）由公式法求解即可； （2）由题可知，求得的范围，由求根公式计算，进而可得 利用模长公式求解即可. 【详解】（1）当时，，则方程的根为 即 （2）有一对共轭虚根，所以，即. ∴， 整理得，即,解得：或. 故或. 124．（22-23高一下·上海闵行·期末）通过平面直角坐标系，我们可以用有序实数对表示向量.类似的，我们可以把有序复数对看作一个向量，记，则称为复向量.类比平面向量的相关运算法则，对于，，、、、、，我们有如下运算法则： ①；    ②； ③；        ④. (1)设，，求和. (2)由平面向量的数量积满足的运算律，我们类比得到复向量的相关结论： ① ②    ③. 试判断这三个结论是否正确，并对正确的结论予以证明. (3)若，集合，.对于任意的，求出满足条件的，并将此时的记为，证明对任意的，不等式恒成立. 根据对上述问题的解答过程，试写出一个一般性的命题（不需要证明）. 【答案】(1)， (2)①③错误，②正确，证明见解析 (3)证明见解析，答案见解析 【知识点】复数综合、复数的向量表示、复数代数形式的乘法运算 【分析】（1）根据所给定义计算可得； （2）根据所给定义及复数代数形式的运算法则计算可得； （3）设满足条件的，，、，根据所给条件求出，再证明对任意的，不等式恒成立，则只需计算的最小值，不妨令，表示出，即可得到，根据完全平方数的性质计算可得. 【详解】（1）因为，， 所以， （2）设，，，、、、、、、， 则，，故①不成立， ，， ， 因为，， 所以 ，故②正确； ，， ，， 设，，， 则，， ， 所以，故，即③错误； （3）设满足条件的，，、， 则，， 因为为任意的复数，不妨设且， 由定义可得，即，则， 所以，则， 以下证明对任意的，不等式恒成立，只需计算的最小值， 不妨令，则， 则 ， 当，时取得最小值，此时与之前得到的相同，结论得证； 推广结论：对于任意复向量，，若对于任意的，当且仅当时，取到最小值. 【点睛】关键点睛：对于新定义问题，关键是理解所给定义，再结合所学相应知识解决问题. 125．（22-23高一下·上海杨浦·期末）设是一个关于复数z的表达式，若（其中x，y，，为虚数单位），就称f将点“f对应”到点．例如将点“f对应”到点． (1)若点“f对应”到点，点“f对应”到点，求点、的坐标； (2)设常数，，若直线l：，，是否存在一个有序实数对，使得直线l上的任意一点“对应”到点后，点Q仍在直线上？若存在，试求出所有的有序实数对；若不存在，请说明理由； (3)设常数，，集合且和且，若满足：①对于集合D中的任意一个元素z，都有；②对于集合A中的任意一个元素，都存在集合D中的元素z使得．请写出满足条件的一个有序实数对，并论证此时的满足条件． 【答案】(1) (2) (3)，证明见解析 【知识点】复数的相等、求复数的模、复数代数形式的乘法运算、复数的除法运算 【分析】（1）根据题中的新定义求解即可； （2）由题意可得，进而由条件得出关于的方程组，求解即可； （3）满足条件的一个有序实数对为，即，，结合复数模的求法及复数的运算证明即可. 【详解】（1）由知，则，故； 设，则， 由知，则，即. （2）直线l上的任意一点“对应”到点， ，且， ，即， 由题意，点仍在直线上，则，又， 则， 展开整理得， 则，解得， 所以，所求的有序实数对为. （3）满足条件的一个有序实数对为，即，，证明如下： 设，则，， ∵，∴， ，即，满足条件①； 设，且，即，得， 由得， 则 ， 则，满足条件②， 综上，满足条件的一个有序实数对为. 【点睛】方法点睛：新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的：遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决． 126．（22-23高一下·上海徐汇·期末）利用平面向量的坐标表示，可以把平面向量的概念推广为坐标为复数的“复向量”，即可将有序复数对（其中）视为一个向量，记作．类比平面向量可以定义其运算，两个复向量，的数量积定义为一个复数，记作，满足，复向量的模定义为． (1)设，，为虚数单位，求复向量、的模； (2)设、是两个复向量， ①已知对于任意两个平面向量，，（其中），成立，证明：对于复向量、，也成立； ②当时，称复向量与平行．若复向量与平行（其中为虚数单位，），求复数． 【答案】(1)， (2)①证明见解析；② 【知识点】求复数的模、复数的除法运算、复数综合 【分析】（1）根据题目中复向量的模长公式计算即可； （2）①利用模长公式和复数的三角不等式，以及的坐标表示，即可证明结论成立； ②根据①中等号成立的条件，结合题意即可求出和的值． 【详解】（1）因为，所以， 可得的模为； 因为，所以， 所以的模为； （2）因为，所以， 由复数的三角不等式， 由，得，所以， 所以， 综上所知， ②考虑①中等号成立的条件知，对于复数的三角不等式，复向量各分量均不为零时，其等号成立的条件是存在非负实数，使得， 若复向量与平行，则， 根据中等号成立的条件，应有， 则， 结合，得，解得； 所以，所以． 题型十二 实系数一元二次方程 127．（22-23高一下·上海虹口·期末）若，，均为复数，则下列结论中正确的有 .（填所有正确的结论序号） （1）若，则. （2）若，则. （3）. （4）若，则. 【答案】（4） 【知识点】共轭复数的概念及计算、复数代数形式的乘法运算、复数加减法的代数运算、求复数的模 【分析】根据复数的四则运算法则，依次举出反例分别判断即可. 【详解】（1）若，，则，但是与不能比较大小，则（1）错误； （2）设，，，则，但是， 则（2）错误； （3）设，，， 而，所以两者不等，则（3）错误； （4）令，R ,，R , ，， 由于，则， 两式分别平方后相加得，即， 所以 ，所以，则（4）正确； 故答案为：（4）. 128．（23-24高一下·上海·期末）设复数满足： (1)若，求与． (2)若是实系数一元二次方程的两个根，求实数的值． 【答案】(1)或 (2)或 【知识点】复数的相等、复数代数形式的乘法运算、复数范围内方程的根、共轭复数的概念及计算 【分析】（1）先设，代入运算即可； （2）由题意可设，则，代入运算即可. 【详解】（1）设，由得到， 因为， 则， 整理得， 可得，解得或， 所以或； （2）若，是实系数一元二次方程的两个虚根， 则，且，互为共轭复数， 设，则，可得，， 因为，即 解得或， 所以或. 129．（23-24高一下·上海·期末）已知复数，（，i是虚数单位） (1)若在复平面内对应的点落在第二象限，求实数a的取值范围； (2)若是实系数一元二次方程的根，且是实数，记，求的值. 【答案】(1)； (2) 【知识点】求复数的模、复数的乘方、复数的除法运算、根据复数对应坐标的特点求参数 【分析】（1）先利用复数减法运算化简复数，再结合复数对应的点所在象限列不等式即可求解； （2）根据韦达定理求得，然后利用复数运算法则化简得，利用该复数为实数列方程得，从而代入化简得，最后利用复数模的运算求解即可. 【详解】（1）因为复数，，所以， 其对应的点为，由题意，解得， 即实数a的取值范围为； （2）当时，1是方程的根，则， 若为实数，则，此时,不合题意； 当时，由题意知的两根为，， 所以，所以，所以， 因为为实数， 所以，即， 所以， 所以. 130．（22-23高一下·上海嘉定·期末）已知关于的实系数一元二次方程有两个虚根和，且，求的值. 【答案】 【知识点】复数范围内方程的根、由复数模求参数 【分析】由题意可得，求出的取值范围，求出实系数方程的两个虚根，结合可得出关于的等式，解之即可. 【详解】因为关于的实系数一元二次方程有两个虚根和， 则，解得， 由可得，可得，解得， 不妨取，， 所以，，解得，合乎题意. 因此，. 131．（22-23高一下·上海普陀·期末）设、，已知（为虚数单位）是方程的一个根． (1)求、的值； (2)设方程的另一根为，复数、对应的向量分别是、．若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围． 【答案】(1)、的值分别为、3 (2) 【知识点】复数的向量表示、向量夹角的坐标表示、复数代数形式的乘法运算、复数的相等 【分析】（1）根据复数的四则运算结合复数相等运算求解； （2）根据题意分析可得，结合数量积的符号以及向量共线运算求解. 【详解】（1）因为（为虚数单位）是方程的一个根， 则， 可得，解得， 所以、的值分别为、3. （2）由题意可知：，则， 可得， 若向量与的夹角为锐角， 可知且与不共线， 则，解得且， 所以实数的取值范围. 题型十三 复数的三角形式 132．（23-24高一下·上海松江·期末）瑞士数学家欧拉于1748年提出了著名的欧拉公式：，其中是自然对数的底数，是虚数单位，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论中占有非常重要的地位，被举为“数学中的天桥”．依据欧拉公式，下列选项正确的是（    ） A．的虚部为 B．复数在复平面内对应的点位于第二象限 C． D．若在复平面内分别对应点，则面积的最大值为 【答案】D 【知识点】求复数的实部与虚部、求复数的模、判断复数对应的点所在的象限、复数的三角表示 【分析】代入即可判断A；代入即可判断B；对等式右边进行代换化解即可判断C；代入，再计算相应相应的模，再利用三角形面积公式即可判断D. 【详解】对于A，，其虚部为1，A错误； 对于B， ，复数在复平面内对应的点位于第一象限，B错误； 对于C， ，故C错误； 对于D，，， ，， 因此的面积为：，面积的最大值为，D正确. 故选：D 133．（22-23高一下·上海杨浦·期末）若是纯虚数（其中是虚数单位），则正整数的最小值为 . 【答案】 【知识点】三角表示下复数的乘方与开方、已知复数的类型求参数 【分析】求得，根据复数的概念可得出的表达式，即可求得正整数的最小值. 【详解】因为 因为为纯虚数，则，可得， 可得，又因为，当时，正整数取最小值. 故答案为：. 134．（21-22高一下·上海黄浦·期末）已知复数，，其中为虚数单位，． (1)当、是实系数一元二次方程的两个虚根时，求实数、的值． (2)求的值域． 【答案】(1)，； (2) 【知识点】复数综合、共轭复数的概念及计算、复数范围内方程的根、二倍角的正弦公式 【分析】（1）由题意可知，列方程即可求得，从而可求得、的值； （2）由复数模的定义，结合三角函数值域的求法即可求解. 【详解】（1）复数，， 是实系数一元二次方程的两个虚根， 所以，即， 所以，所以， ， . （2） . ，， 即. 135．（21-22高一下·上海普陀·期末）在复平面内，设复数对应向量，它的共轭复数对应向量． (1)若复数是关于的方程的一个虚根，求出实数的取值范围，并用表示； (2)若，且点满足，求的重心所对应的复数； (3)若，可知在变化时会对应到不同的复数，若取不同的，，使得其所对应的复数满足，求证：所对应的点可以构成矩形． 【答案】(1);; (2)； (3)证明见解析. 【知识点】复数的相等、复数范围内方程的根、根据复数的坐标写出对应的复数、复数的向量表示 【分析】（1）复数是关于的方程的一个虚根，可得方程判别式小于0，即可求得答案； （2）设，则由求得，由三角形重心坐标公式求得的重心坐标，由此可得复数； （3）求得，说明所对应的点在单位圆上，再取值，说明为单位圆的两直径，即可证明结论. 【详解】（1）复数是关于的方程的一个虚根，， 则，即实数的取值范围； 解方程得， 不妨令复数，另一根为， 故. （2）由可知，故， 设，则由得，即， 解得，故，故的重心为， 故. （3）由于，则， 则所对应的点都在单位圆上， 又，则且， 不妨取，，则为单位圆的两直径， 则四边形的对角线互相平分且对角线相等， 则四边形为矩形，即所对应的点可以构成矩形． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高一下期末真题百题大通关（135题14题型）（提升版） 题型一 常用三角公式 题型二 解三角形 题型三 正弦函数的图像与性质 题型四 余弦函数的图像与性质 题型五 函数y= Asin(ωx + φ)的图像 题型六 正切函数的图像与性质 题型七 向量的数量积 题型八 向量的坐标表示 题型九 向量的应用 题型十 复数及其四则运算 题型十一 复数的几何意义 题型十二 实系数一元二次方程 题型十三 复数的三角形式 题型汇聚 题型练习 题型一 常用三角公式 1．（23-24高一下·上海·期末）在中，，则（    ） A． B． C．或 D．以上答案均不正确 2．（23-24高一下·上海·期末）假设实数满足，，，则的取值（   ） A．是唯一确定的 B．不唯一，但有限多 C．有无穷多 D．不存在符合题意的 3．（23-24高一下·上海·期中）若，，，，则的值等于（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一下·上海·期末）若，则的值为 ． 5．（23-24高一下·上海松江·期末）如图，某体育公园广场放置着一块高为3米的大屏幕滚动播放各项体育赛事，大屏幕下端离地面高度3.5米，若小明同学的眼睛离地面高度1.5米，则为了获得最佳视野（最佳视野指看到大屏幕的上下夹角最大），小明应在距离大屏幕所在的平面 米处观看?（精确到0.1米）. 6．（23-24高一下·上海宝山·期末）已知，，，则 ． 7．（22-23高一下·上海长宁·期末）已知，，，，则 ． 8．（22-23高一下·上海静安·期末）已知点的坐标为，将绕坐标原点顺时针旋转至.则点的坐标为 . 9．（23-24高一下·上海·期末）已知，，且. (1)求的值； (2)求. 10．（22-23高一下·上海黄浦·期末）某小区围墙一角要建造一个水池和两条小路．如图，四边形中，，，以为圆心、为半径的四分之一圆及与圈成的区域为水池，线段和为两条小路，且所在直线与圆弧相切．已知米，设（），那么当为多少时，才能使两条小路长之和最小？最小长度是多少？    11．（22-23高一下·上海徐汇·期末）已知函数的最大值为1. (1)求函数的单调减区间； (2)将函数的图像向右移动个单位，再将所得图像向上移动1个单位，得到的图像，如果在区间上有8个最大值，求的取值范围. 12．（23-24高一下·上海·期末）平面直角坐标系内有一圆心位于原点的圆，半径为，已知点分别是角的终边与该圆的交点（始边均为轴正半轴）. (1)写出点的坐标； (2)若原点为的重心，试判断是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 13．（22-23高一下·上海杨浦·期末）已知直角梯形，，，，扇形圆心角，，如图，将，以及扇形的面积分别记为    (1)写出的表达式，并指出其大小关系（不需证明）； (2)用表示梯形的面积；并证明：； (3)设，，试用代数计算比较与的大小. 14．（22-23高一下·上海宝山·期末）在数学中，双曲函数是与三角函数类似的函数，最基本的双曲函数是双曲正弦函数与双曲余弦函数，其中双曲正弦函数：，双曲余弦函数：.（e是自然对数的底数，）. (1)计算的值； (2)类比两角和的余弦公式，写出两角和的双曲余弦公式：______，并加以证明； (3)若对任意，关于的方程有解，求实数的取值范围. 题型二 解三角形 15．（23-24高一下·上海·期末）的内角，，的对边分别为，，，满足，则角的范围是（    ） A． B． C． D． 16．（23-24高一下·上海闵行·期末）疫情期间，为保障市民安全，要对所有街道进行消毒处理，某消毒装备的设计如图所示，为路面，为消毒设备的高，为喷杆，，，处是喷酒消毒水的喷头，且喷射角，已知，.则消毒水喷洒在路面上的宽度的最小值为 . 17．（22-23高一下·上海奉贤·期中）的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，则下列命题正确的序号是 ． ①．若，则 ②．若，则是锐角三角形 ③．若，则是直角三角形 ④．若，则为等腰三角形 ⑤．若锐角中，则恒成立 18．（22-23高一下·上海黄浦·期末）在中，若，，且，则 ． 19．（22-23高一下·上海虹口·期末）在△中，，，为边的中点，则△的外接圆面积与的外接圆面积之比为 . 20．（22-23高一下·上海宝山·期末）如图，为计算湖泊岸边两景点与之间的距离，在岸上选取和两点，现测得，，，，，据以上条件可求得两景点与之间的距离为 （精确到）.    21．（23-24高一下·上海·期末）已知是大于3的正整数，平面直角坐标系中，正边形内接于单位圆.若集合，则集合表示的平面区域的面积为 .（结果用表示） 22．（23-24高一下·上海闵行·期末）如图，某快递小哥从A地出发，沿小路以平均时速20km/h，送快件到C处，已知，，，，． (1)求的面积． (2)快递小哥出发25分钟后，公司发现快件有重大问题，由于通讯不畅，公司只能派车沿大路追赶，若汽车平均时速50km/h，问汽车能否先到达C处？ 23．（23-24高一下·上海黄浦·期末）在中，已知边上的中线长为． (1)求证：； (2)若边上的中线长分别为，当为钝角三角形时，求m、n、t之间所满足的关系式，并指出哪个角为钝角． 24．（23-24高一下·上海宝山·期末）锐角中角、、的对边分别为、、，且． (1)求角的大小； (2)若，求的取值范围． 25．（23-24高一下·上海·期末）在中，内角所对的边分别为，已知． (1)求角的大小； (2)若，且的面积为，求的周长． 26．（22-23高一下·上海静安·期末）如图，某人位于临河的公路上，已知公路两个相邻路灯、之间的距离是，为了测量点与河对岸一点之间的距离，此人先后测得，.    (1)求、两点之间的距离； (2)假设你只携带着量角器（可以测量以你为顶点的角的大小）.请你设计一个通过测量角可以计算出河对岸两点、之间距离的方案，用字母表示所测量的角的大小，并用其表示出的长. 27．（22-23高一下·上海普陀·期末）在中，已知． (1)求角的大小； (2)设角、、的对边分别为、、．若，且边上的高为，求的周长． 28．（22-23高一下·上海宝山·期末）已知中，是角所对的边，，且.    (1)求角； (2)若，在的边上分别取两点，使沿线段折叠到平面后，顶点正好落在边（设为点）上，设，试求关于的函数解析式； (3)在（2）的条件下，求的最小值并求此时的值. 29．（23-24高一下·上海松江·期末）在滴水湖公园湖畔拟建造一个四边形的露营基地，如图所示．为考虑露营客人娱乐休闲的需求，在四边形区域中，将三角形区域设立成花卉观赏区，三角形区域设立成烧烤区，边修建观赏步道，边修建隔离防护栏，其中米，米，，其中． (1)若米，求烧烤区的面积？ (2)为了保证烧烤区的占地面积最大，那么需要修建多长的隔离防护栏？ (3)在（2）条件下，为了使得花卉观赏区的面积也尽可能大，则应如何设计观赏步道？ 30．（23-24高一下·上海·期末）某新能源汽车公司计划建设一个锂电池工厂，工厂必须建在河边，锂电池需要锂和钴两种矿产资源.如图，是锂矿，是钴矿，直线是一条河流.两点在直线上的投影分别为两点.已知，.假设工厂建在线段上（包含端点）的点处，设. (1)求的长. (2)若沿线段与建两条公路用于矿产运输，且要求是钝角，求的取值范围. (3)若要建设公路连接三点，假设公路建设成本和公路长度成正比，请你运用数学建模的思想设计一个最佳的工厂选址和公路建设方案.（已知的最大值约为.） 题型三 正弦函数的图像与性质 31．（23-24高一下·上海闵行·期末）对于函数，给出下列结论： ①函数的图象关于点对称； ②函数的对称轴是，； ③若函数是偶函数，则的最小值为； ④函数在的值域为， 其中正确的命题个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 32．（23-24高一下·上海·期末）已知函数，现有四个命题：（1）函数的最小正周期为；（2）函数在区间上是增函数；（3）函数的图象关于直线对称；（4）函数是奇函数.其中真命题的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 33．（23-24高一下·上海·期末）若函数在上严格减，则正实数的取值范围是 ． 34．（23-24高一下·上海·期末）当今各网络销售平台通常会提供上门回收旧家具服务.平台工作人员小牛正在回收某客户淘汰的旧家具，为了省力，小牛选择将旧家具水平推运（旧家具背面水平放置于带滚轮的平板车上，平板车长宽均小于旧家具背面）.已知旧家具的形状为长方体.小牛在推运过程中遇到一处直角过道，如图所示，过道宽为1.8米.记旧家具在地面的投影为矩形，其中宽度米.请帮助小牛得出结论：按此种方式推运的旧家具，可以通过该直角过道的最大高度为 米（结果精确到0.1米）. 35．（22-23高一下·上海长宁·期末）已知函数在有且仅有5个零点，则实数的取值范围是 ． 36．（22-23高一下·上海闵行·期末）已知函数的定义域为，且当时，，其中取一切正整数.函数的图像与直线恰有24个交点，则实数的取值范围是 . 37．（22-23高一下·上海普陀·期末）函数的值域为 ． 38．（22-23高一下·上海宝山·期末）已知函数，有以下命题： ①函数的最小正周期为； ②函数在上为增函数； ③直线是函数图象的一条对称轴； ④函数在上有三个零点； ⑤函数的最小值为. 请写出正确命题的全部序号 . 39．（22-23高一下·上海浦东新·期末）函数的最大值为，则正数a的值是 . 40．（23-24高一下·上海·期末）已知函数. (1)求的最小正周期； (2)求在区间上的最小值. 41．（23-24高一下·上海黄浦·期末）设． (1)当时，用函数单调性的定义证明：函数在区间上是严格增函数． (2)①根据a的不同取值，讨论函数在区间上零点的个数； ②若函数在区间（k为正整数）上恰有7个零点，求k的最小值及此时a的取值范围． 42．（22-23高一下·上海嘉定·期末）已知函数 (1)求函数的周期； (2)若函数，求函数在区间上的值域； (3)若恒成立，试求实数的取值范围. 43．（22-23高一下·上海奉贤·期末）在路边安装路灯，灯柱与地面垂直（满足），灯杆与灯柱所在平面与道路垂直，且，路灯采用锥形灯罩，射出的光线如图中阴影部分所示，已知，路宽.设灯柱高，.    (1)求灯柱的高（用表示）； (2)若灯杆与灯柱所用材料相同，记此用料长度和为，求关于的函数表达式； (3)求出的最小值. 44．（22-23高一下·上海闵行·期末）已知函数，其中，，分别求满足下列条件的函数的解析式. (1)，，. (2)，、是的两个相异零点，的最小值为，且的图像向右平移个单位长度后关于轴对称. (3)，，对任意的实数，记在区间上的最大值为，最小值为，，函数的值域为. 45．（22-23高一下·上海杨浦·期末）记. (1)求关于x的方程的解集； (2)求函数的单调减区间. 46．（22-23高一下·上海虹口·期末）如图，扇形是一块半径（单位：千米），圆心角的风景区，点在弧上（不与，重合）.现欲在风景区中规划三条商业街道，要求街道与垂直于点，街道与垂直于点，线段表示第三条街道.记. (1)若点是弧的中点，求三条街道的总长度； (2)通过计算说明街道的长度是否会随的变化而变化； (3)由于环境的原因，三条街道、、每年能产生的经济效益分别为每千米300、200、400（单位：万元），求这三条街道每年能产生的经济总效益的最大值.（精确到1万元） 47．（22-23高一下·上海浦东新·期末）已知函数． (1)求函数的最小正周期； (2)已知常数，若函数在区间上是增函数，求的取值范围； (3)若函数在的最大值为，求实数的值． 题型四 余弦函数的图像与性质 48．（23-24高一下·上海黄浦·期末）设，若对任意的，都存在，使得成立，则可以是（    ）． A． B． C． D． 49．（22-23高一下·上海长宁·期末）已知关于的不等式在内恒成立，则实数的取值范围是 ． 50．（22-23高一下·上海黄浦·期末）已知，若对任意的正整数成立，则的取值范围是 ． 51．（22-23高一下·上海闵行·期末）若函数的最大值为，则 . 52．（23-24高一下·上海·期末）已知函数． (1)求的最小正周期，对称中心； (2)求的单调区间，最值以及取得最值时的值． 53．（22-23高一下·上海黄浦·期末）已知定义在上的函数，满足，当时，． (1)若函数的最小正周期为，求证：，为奇函数； (2)设，若，函数在区间上恰有一个零点，求的取值范围． 54．（22-23高一下·上海静安·期末）（1）指出函数的最大值，及函数取得最大值时所对应的的值，并画出该函数在一个最小正周期内的大致图像； （2）指出正弦函数的单调性，并以此为依据证明：余弦函数在区间是严格增函数. 题型五 函数y= Asin(ωx + φ)的图像 55．（23-24高一下·上海金山·期末）已知，下列结论错误的个数是（    ） ①若，且的最小值为，则；②存在，使得的图像向右平移个单位长度后得到的图像关于轴对称；③若在上恰有7个零点，则的取值范围是；④若在上单调递增，则的取值范围是. A．1 B．2 C．3 D．4 56．（22-23高一下·上海闵行·期末）函数的图像可按向量方向平移到图像（平移距离为），的函数解析式为，当为奇函数时，向量可以等于（    ） A． B． C． D． 57．（23-24高一下·上海·期末）设函数在上恰有两个零点，则 . 58．（23-24高一下·上海静安·期末）函数的部分图像的示意图如图所示，已知，且，则 ． 59．（22-23高一下·上海闵行·期中）将函数的图象向右平移个单位，再把所得函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则的单调递减区间为 . 60．（22-23高一下·上海宝山·期末）函数的部分图象如图所示，则 .    61．（22-23高一下·上海浦东新·期末）已知，若函数的图像如图所示，则 ． 62．（23-24高一下·上海·期末）设，，．如图所示，函数的图象与坐标轴依次交于、、三点，直线交函数的图象于点．若，且坐标原点为的重心，则 ． 63．（23-24高一下·上海·期末）已知. (1)求函数的单调增区间； (2)求函数在区间上的最大值与最小值. (3)若函数在内有且只有一个零点，求实数m的取值范围. 64．（23-24高一下·上海·期末）已知函数，其中，（，） (1)若，，在用“五点法”作出函数，的大致图象的过程中，第一步需要将五个关键点列表，请完成下表： 0 0 (2)若，，写出函数的最小正周期和单调增区间 (3)若的频率为，且恒成立，求函数的解析式. 65．（23-24高一下·上海静安·期末）已知函数． (1)某同学打算用“五点法”画出函数在某一周期内的图象，列表如下： 0 0 1 0 0 0 0 0 请在答题纸上填写上表的空格处数值，并写出函数的表达式和单调递增区间； (2)将（1）中函数的图象向下平移个单位得到的图象，若函数在闭区间上恰有两个零点，请直接写出实数的取值范围． 66．（23-24高一下·上海宝山·期末）已知函数的部分图像如图所示： (1)求函数的表达式； (2)当时，求方程的所有根的和． 67．（23-24高一下·上海·期末）已知函数 的图象与轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为，且图象上一个最低点为． (1)求的解析式和周期． (2)当 时，求的值域． 68．（22-23高一下·上海普陀·期末）已知． (1)求函数的单调增区间； (2)设方程在上的两解为和，求的值； (3)在中，角的对边分别为．若，，且，求的面积． 69．（23-24高一下·上海·期末）设，．已知函数的图像关于直线成轴对称． (1)求函数的表达式； (2)若，且为锐角，求； (3)设，．若函数在区间上恰有奇数个零点，求的值以及零点的个数． 70．（22-23高一下·上海闵行·期末）定义在上的函数，已知其在内只取到一个最大值和一个最小值，且当时函数取得最大值为3；当，函数取得最小值为. (1)求出此函数的解析式； (2)是否存在实数，满足不等式，若存在求出的取值范围，若不存在，请说明理由； (3)若将函数的图像保持横坐标不变，纵坐标变为原来的得到函数，再将函数的图像向左平移个单位得到函数，已知函数的最大值为10，求满足条件的的最小值. 题型六 正切函数的图像与性质 71．（21-22高一下·上海浦东新·期末）对于函数，其中，已知，则 . 72．（22-23高一下·上海虹口·期末）已知函数，其中. (1)若，求函数的最小正周期以及函数图象的对称中心； (2)若在闭区间上是严格增函数，求正实数的取值范围. 题型七 向量的数量积 73．（23-24高一下·上海·期末）已知向量，满足，，，则下列四个命题中，正确命题的个数是（    ）． ①若，则的最小值为； ②若，则存在唯一的y，使得； ③若，则的最小值为； ④若，则的最小值为． A．1 B．2 C．3 D．4 74．（23-24高一下·上海·期末）已知在中，是边上的一个定点，满足，且对于边上任意一点，恒有，则（   ） A． B． C． D． 75．（23-24高一下·上海·期末）折纸发源于中国19世纪，折纸传入欧洲，与自然科学结合在一起成为建筑学院的教具，并发展成为现代几何学的一个分支.我国传统的一种手工折纸风车（如图1）是从正方形纸片的一个直角顶点开始，沿对角线部分剪开成两个角，将其中一个角折叠使其顶点仍落在该对角线上，同样操作其余三个直角制作而成的，其平面图如图2，则下列结论成立的个数为（    ） ①；②；③；④ A．1 B．2 C．3 D．4 76．（23-24高一下·上海松江·期末）如图，直径的半圆，为圆心，点在半圆弧上，，线段上有动点，则的最小值为 ． 77．（23-24高一下·上海·期末）北京冬奥会开幕式上的“雪花”元素惊艳了全世界（如图②），顺次连接图中各顶点可近似得到正六边形（如图①）.已知这个正六边形的边长为1，且P是其内部一点（包含边界），则的取值范围是 . 78．（23-24高一下·上海·期末）在平面内，若有，，，则的最大值为 . 79．（23-24高一下·上海·期末）设是单位向量，且，向量满足，则的取值范围是 . 80．（23-24高一下·上海·期末）已知，则在上的数量投影是 ． 81．（23-24高一下·上海·期末）已知非零向量，，满足：，则的最大值为 ． 82．（23-24高一下·上海青浦·期末）在边长为1的正六边形中，记以为起点，其余顶点为终点的向量分别为，，，，，以为起点，其余顶点为终点的向量分别为，，，，.记，为的两个三元子集，则的最小值为 . 83．（23-24高一下·上海·期末）在中，，平面上的点满足，，动点在线段上（不含端点）． (1)设，用含有的式子表示； (2)设，求的最小值； (3)求的最小值． 84．（23-24高一下·上海·期末）已知为等腰直角三角形，且，．点是的内部（包括的三条边）不同的点．记集合，若集合是集合的一个非空子集，向量表示集合中所有元素的和． (1)若点是斜边的等分点，试求（用含的式子表示） (2)证明对于任意的集合，存在的两个非空子集满足以下条件：①，；②且. 85．（23-24高一下·上海·期末）如图，已知是边长为2的正三角形，点是边的四等分点． (1)求的值； (2)若为线段上一点，且，求实数的值； (3)若为边上的动点，求的最小值，并指出当取最小值时点的位置． 题型八 向量的坐标表示 86．（23-24高一下·上海·期末）如图，正方形上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形边上再连接正方形，如此继续，设初始正方形的边长为1，则（  ）. A．0 B． C． D． 87．（22-23高一下·上海杨浦·期末）在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为，，点C在直线上运动，O为坐标原点，G为△ABC的重心，则、、中正数的个数为n，则n的值的集合为（    ） A． B． C． D． 88．（22-23高一下·上海静安·期末）已知平面向量，，则在方向上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 89．（23-24高一下·上海松江·期末）已知向量，则向量在方向上的投影向量的坐标为 ． 90．（23-24高一下·上海·期末）如图，在平行四边形ABCD中，E是对角线AC上靠近点C的三等分点，点F在BE上，若，则 . 91．（23-24高一下·上海·期末）已知函数，其图像的最高点从左到右依次记为，，，，，其图像与轴的交点从左到右依次记为，，，，，则 92．（23-24高一下·上海·期末）已知是边长为6的等边三角形，是的内切圆上一动点，则的最大值为 ． 93．（23-24高一下·上海·期末）如图，正六边形的边长为，半径为1的图的圆心为正六边形的中心，若点在正六边形的边上运动，动点，在圆上运动且关于圆心对称，则的取值范围为 94．（23-24高一下·上海徐汇·期末）平面直角坐标系中，设点是线段的等分点，其中.    (1)当时，试用表示； (2)当时，求的值； (3)当时，求的最小值. 95．（23-24高一下·上海宝山·期末）已知坐标平面内，向量，，． (1)求满足的实数、； (2)若向量满足，且，求的坐标． 96．（22-23高一下·上海黄浦·期末）如图，已知为平行四边形．    (1)若，，，求及的值； (2)记平行四边形的面积为，设，，求证： 题型九 向量的应用 97．（23-24高一下·上海·期中）窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图中所示的窗花轮廓可以看作是一个正八边形.已知该正八边形的边长为10，点在其边上运动，则的取值范围是 . 98．（22-23高一下·上海闵行·期末）已知平面向量、、、、、两两互不相等，且.若对任意的，均满足，则当且时，的值为 . 99．（21-22高一下·上海浦东新·期末）在梯形中，，分别为直线上的动点. (1)当为线段上的中点，试用和来表示； (2)若，求； (3)若为的重心，若在同一条直线上，求的最大值. 题型十 复数及其四则运算 100．（22-23高一下·上海虹口·期末）已知，则下列说法中与“是纯虚数”不等价的是（    ） A． B． C．且 D．或，且 101．（23-24高一下·上海·期末）已知复数和复数满足：，则 ． 102．（22-23高一下·上海杨浦·期末）设方程的两个根为，且，则实数m的值是 . 103．（22-23高一下·上海普陀·期末）在中，若（为虚数单位），则 ． 104．（23-24高一下·上海松江·期末）已知为虚数单位，复数． (1)当实数取何值时，是纯虚数； (2)当时，复数是关于的方程的一个根，求实数与的值． 105．（23-24高一下·上海·期末）设是虚数单位，是关于的方程的两根，且满足. (1)若，求与的值； (2)若，求的值. 106．（23-24高一下·上海·期末）在复数范围解方程． (1)关于的实系数一元二次方程的两根满足，求实数的值； (2)关于的实系数一元二次方程的两根，请根据实数的不同取值范围讨论的值． 107．（23-24高一下·上海闵行·期末）设复数，． (1)若在复平面上所对应的点在第一象限，求a的取值范围； (2)若为纯虚数，求． 108．（22-23高一下·上海静安·期末）设复数，，其中.现在复数系中定义一个新运算，规定：. (1)已知，求实数x的值； (2)现给出如下有关复数新运算性质的两个命题： ①； ②若，则或. 请判定以上两个命题是真命题还是假命题，并说明理由. 109．（22-23高一下·上海宝山·期末）已知复平面上有点、，向量与向量对应的复数分别为和. (1)求点的坐标； (2)设点对应的复数为，复数满足，，且为纯虚数，求复数. 110．（23-24高一下·上海·期末）通过平面直角坐标系，我们可以用有序实数对表示向量.类似的，我们可以把有序复数对看作一个向量，记，则称为复向量.类比平面向量的相关运算法则，对于，，、、、、，我们有如下运算法则： ①；②；③；④. (1)设，，求和. (2)由平面向量的数量积满足的运算律，我们类比得到复向量的相关结论：①②.试判断这两个结论是否正确，并说明理由. (3)若，集合，.对于任意的，求出满足条件的，并将此时的记为，证明对任意的，不等式恒成立.根据对上述问题的解答过程，试写出一个一般性的命题（不需要证明）. 题型十一 复数的几何意义 111．（22-23高一下·上海闵行·期末）在复平面上，设点、对应的复数分别为、，当由连续变到时，向量所扫过的图形区域的面积是（   ） A． B． C． D． 112．（22-23高一下·上海浦东新·期末）已知为虚数单位，下列说法中错误的是（   ） A．复数对应的向量为，复数对应的向量为，若，则 B．互为共轭复数的两个复数的模相等，且 C．复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模 D．若复数满足，则复数对应的点在以为圆心，为半径的圆上 113．（23-24高一下·上海·期末）已知复数满足，则的取值范围是 . 114．（23-24高一下·上海·期末）已知复数的模长都为1，且复数的实部为，则的最大值为 ． 115．（23-24高一下·上海松江·期末）复数满足（为虚数单位），则 . 116．（23-24高一下·上海静安·期末）若复数满足（为虚数单位），则 ． 117．（23-24高一下·上海黄浦·期末）i为虚数单位，若复数和复数满足，则的最大值为 ． 118．（23-24高一下·上海闵行·期末）若复数，满足．且（i为虚数单位），则 ． 119．（23-24高一下·上海·期末）当实数为何值时，复数为： (1)实数； (2)纯虚数； (3)对应点在第二象限？ 120．（23-24高一下·上海·期末）已知关于的实系数一元二次方程的两根为. (1)若为虚数，，且，求和的值； (2)若，求的值. 121．（23-24高一下·上海·期末）已知为虚数，且为实数． (1)求证：； (2)若为纯虚数，求． 122．（23-24高一下·上海·期末）已知复数满足为坐标原点，复数在复平面内对应的向量为. (1)求； (2)若向量绕逆时针旋转得到对应的复数为，求. 123．（23-24高一下·上海闵行·期末）已知关于x的实系数一元二次方程有一对共轭虚根，． (1)当时，求共轭虚根和； (2)若，求实数a的值． 124．（22-23高一下·上海闵行·期末）通过平面直角坐标系，我们可以用有序实数对表示向量.类似的，我们可以把有序复数对看作一个向量，记，则称为复向量.类比平面向量的相关运算法则，对于，，、、、、，我们有如下运算法则： ①；    ②； ③；        ④. (1)设，，求和. (2)由平面向量的数量积满足的运算律，我们类比得到复向量的相关结论： ① ②    ③. 试判断这三个结论是否正确，并对正确的结论予以证明. (3)若，集合，.对于任意的，求出满足条件的，并将此时的记为，证明对任意的，不等式恒成立. 根据对上述问题的解答过程，试写出一个一般性的命题（不需要证明）. 125．（22-23高一下·上海杨浦·期末）设是一个关于复数z的表达式，若（其中x，y，，为虚数单位），就称f将点“f对应”到点．例如将点“f对应”到点． (1)若点“f对应”到点，点“f对应”到点，求点、的坐标； (2)设常数，，若直线l：，，是否存在一个有序实数对，使得直线l上的任意一点“对应”到点后，点Q仍在直线上？若存在，试求出所有的有序实数对；若不存在，请说明理由； (3)设常数，，集合且和且，若满足：①对于集合D中的任意一个元素z，都有；②对于集合A中的任意一个元素，都存在集合D中的元素z使得．请写出满足条件的一个有序实数对，并论证此时的满足条件． 126．（22-23高一下·上海徐汇·期末）利用平面向量的坐标表示，可以把平面向量的概念推广为坐标为复数的“复向量”，即可将有序复数对（其中）视为一个向量，记作．类比平面向量可以定义其运算，两个复向量，的数量积定义为一个复数，记作，满足，复向量的模定义为． (1)设，，为虚数单位，求复向量、的模； (2)设、是两个复向量， ①已知对于任意两个平面向量，，（其中），成立，证明：对于复向量、，也成立； ②当时，称复向量与平行．若复向量与平行（其中为虚数单位，），求复数． 题型十二 实系数一元二次方程 127．（22-23高一下·上海虹口·期末）若，，均为复数，则下列结论中正确的有 .（填所有正确的结论序号） （1）若，则. （2）若，则. （3）. （4）若，则. 128．（23-24高一下·上海·期末）设复数满足： (1)若，求与． (2)若是实系数一元二次方程的两个根，求实数的值． 129．（23-24高一下·上海·期末）已知复数，（，i是虚数单位） (1)若在复平面内对应的点落在第二象限，求实数a的取值范围； (2)若是实系数一元二次方程的根，且是实数，记，求的值. 130．（22-23高一下·上海嘉定·期末）已知关于的实系数一元二次方程有两个虚根和，且，求的值. 131．（22-23高一下·上海普陀·期末）设、，已知（为虚数单位）是方程的一个根． (1)求、的值； (2)设方程的另一根为，复数、对应的向量分别是、．若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围． 题型十三 复数的三角形式 132．（23-24高一下·上海松江·期末）瑞士数学家欧拉于1748年提出了著名的欧拉公式：，其中是自然对数的底数，是虚数单位，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论中占有非常重要的地位，被举为“数学中的天桥”．依据欧拉公式，下列选项正确的是（    ） A．的虚部为 B．复数在复平面内对应的点位于第二象限 C． D．若在复平面内分别对应点，则面积的最大值为 133．（22-23高一下·上海杨浦·期末）若是纯虚数（其中是虚数单位），则正整数的最小值为 . 134．（21-22高一下·上海黄浦·期末）已知复数，，其中为虚数单位，． (1)当、是实系数一元二次方程的两个虚根时，求实数、的值． (2)求的值域． 135．（21-22高一下·上海普陀·期末）在复平面内，设复数对应向量，它的共轭复数对应向量． (1)若复数是关于的方程的一个虚根，求出实数的取值范围，并用表示； (2)若，且点满足，求的重心所对应的复数； (3)若，可知在变化时会对应到不同的复数，若取不同的，，使得其所对应的复数满足，求证：所对应的点可以构成矩形． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$