2026届高考数学思想方法大合集-函数与解三角形中的分类与整合思想讲义

第02节 三角函数与解三角形 三角函数在高中数学中是一个重要的部分，涉及到多种类型的问题，其中分类讨论是解决一些复杂问题时常用的方法。分类讨论通常基于三角函数的性质、图象以及不同角度范围内的特点来进行。以下是一些分类讨论的常见情况：在求解三角函数值的时候，需要借助三角函数的定义及诱导公式，进行分类讨论求解；在求解三角方程货不等式时，根据方程的特性，可能需要对解的个数和范围进行分类讨论，或不等式的特性，对解的范围进行分类讨论；在解决一些三角方程或不等式时，需要根据角度所在的象限来判断三角函数值的正负。 解三角形中的分类讨论问题通常涉及根据角的大小分类讨论：当给定的条件可能导致不同范围的角时，需要根据角的大小进行分类讨论。当给定的条件可能导致不同长度的边时，需要根据边的长度进行分类讨论。例如，已知两边和夹角，但夹角大小可能导致不同的第三边长度，这时需要根据夹角的大小来判断第三边是长于、短于还是等于已知边。根据三角形的边长关系，可以分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形。不同的三角形类型可能会影响解题方法和解的性质。 类型一 在三角公式中的应用 【典例1】 （2024届山东实验中学高三第二次模拟考试） 质点和在以坐标原点为圆心，半径为1的圆上逆时针作匀速圆周运动，同时出发.的角速度大小为，起点为圆与轴正半轴的交点；的角速度大小为，起点为圆与射线的交点.则当与第2024次重合时，的坐标为（ ） A．     B．    C．    D． 【解题策略】设两质点重合时，所用时间为，则重合点坐标为，通过题意得到，结合周期性即可得解. 【详细解析】 设两质点重合时，所用时间为，则重合点坐标为， 由题意可知，两质点起始点相差角度为， 则，解得， 若，则，则重合点坐标为， 若，则，则重合点坐标为，即， 若，则，则重合点坐标为，即， 当与第2024次重合时，，则， 则重合点坐标为，即. 故选：B. 【典例2】 （2024北京大兴精华学校高三下期5月高考适应性考试） 已知，，若对任意实数x都有恒成立，则满足条件的一组有序数对为 . 【解题策略】根据三角函数恒成立，则对应的解析式分类讨论求得即可． 【详细解析】 ，若对任意实数x都有恒成立， 则，或， 由，得， 因为，令，得， 由，得， 因为，令，得， 所以满足条件的一组有序数对为或. 故答案为：（答案不唯一） 【典例3】 （2025届广东普通高中毕业班第二次调研考试） 已知集合，，设函数. （1） 当和时，分别判断函数是否是常数函数？说明理由； （2） 已知，求函数是常数函数的概率； （3） 写出函数是常数函数的一个充分条件，并说明理由. 【解题策略】（1）分情况讨论，运用三角恒等变换诱导公式，同角三角函数关系式，二倍角公式进行化简函数，再结合常数函数概念判定即可；（2）运用常数函数概念，结合和差角公式，结合三角函数方程知识，进行计算，再结合古典概型概率计算即可；（3）运用常数函数概念，结合三角恒等变换，分情况讨论，找出充分条件即可. 【详细解析】 （1） 当时，， 此时是常数函数； 当时， ，此时不是常数函数. （2） 设，不妨令. . 若函数是常数函数，则 则， 得，所以， 得或，，所以或，， 同理或，，或，， 则① 集合共有13个元素，从中任取3个元素组成集合， 共个， 而满足①的集合有，，，，，共5个， 则使得函数是常数函数的概率为. （3） 不妨令， 因为 ， 若函数是常数函数，则 得，所以， 得，，所以，， 1 当为偶数时，可以拆分成组两项（，）的和，每一组为定值时，也为定值， 所以函数是常数函数的一个充分条件可以是 2 当为奇数时，可以拆分成1组三项的和与组两项（，）的和，每一组为定值时，也为定值， 所以函数是常数函数的一个充分条件可以是 . 综上所述， 当为偶数时，函数是常数函数的一个充分条件可以是 ； 当为奇数时，函数是常数函数的一个充分条件可以是 . 【方法归纳】 在高中数学中，分类讨论是解决一些复杂问题的重要方法，尤其在三角公式应用中，分类讨论可以帮助我们更准确地处理不同情况下的问题。 在三角函数的定义中，常常涉及参数的讨论，需要对三角公式化简后分类讨论确定三角函数值或角度的大小；在利用诱导公式化简时，需要对公式中的k值进行分类讨论，确定正负符号，以便正确地解决问题。 【举一反三】 （2024届湖南岳阳高三下期教学质量监测（二）） 1． 已知，则（    ） A． B． C． D． 2． 已知角，终边上有一点，则（    ） A．2 B． C． D． 类型二 在三角函数中的应用 【典例1】 （2024届山东济南一中等校高三下期阶段性检测（开学考试）） 若函数在上的最大值小于，则的取值范围是（ ） A.     B. B.     D. 【解题策略】 根据x的范围，确定，由题意可得，结合正弦函数的性质，分类讨论，列出不等式，即可求得答案. 【详细解析】 由题意知，，则，且， 函数在上的最大值小于， 即此时， 在内，的函数值对应的x的值为，，， 1 当，且时，满足题意，此时； 2 当，且时，满足题意，此时， 综合上述，可得的取值范围是， 故选：D. 【典例2】 （2024吉林长春吉大附中实验学校高三下期高考考前适应性训练（一）） 函数的值域为 . 【解题策略】结合正弦函数的图象将解析式中的绝对值去掉，分类讨论函数，利用辅助角公式将其化成正弦型函数，数形结合求解函数的值域即可. 【详细解析】因，由，可得， 由，可得. 故当时，， 此时， 则，有； 当时，， 此时，则，有. 综上可得，的值域为. 故答案为： 【典例3】平面直角坐标系中有点、，. （1） 求向量和的夹角θ的余弦用x表示的函数f（x）； （2） 讨论f（x）的增减性； （3） 求θ的最大值和最小值. 【解题策略】在三角函数单调性的证明中划分单调区间，在求最值时对角进行分类讨论. 【详细解析】 （1） ，. （2） 设，则 . 因为，，. 1 当时，，所以，故f（x）在上是增函数. 2 当时，，所以，故f（x）在上是减函数. （3） ①当时，，故. 3 当时，，当时，. 所以当时，，故. 【方法归纳】 在三角函数中应用分类讨论，首先需要识别出问题中可能影响结果的变量或条件。例如，角度的取值范围、三角函数的正负性，以及不同象限中三角函数值的特性等。然后，根据这些变量或条件的不同情况，将问题划分为若干个互不相交的子集，并对每个子集分别进行讨论和求解，进而求解问题。 【举一反三】 3． 已知，，若，且在上为减函数. （1） 求函数的最小正周期； （2） 求实数a和角的值. 4． 已知函数，相邻两条对称轴的距离为． (1) 若为偶函数，设，求的单调递增区间； (2) 若过点，设，若对任意的，都有，求实数的取值范围． 类型三 在解三角形中的应用 【典例1】在中，若，则的形状是（ ） A.等腰三角形    B.直角三角形    C.等腰直角三角形    D.等腰或直角三角形 【解题策略】利用余弦定理将化简为，从而分类讨论可求解. 【详细解析】 由，得， 化简得， 当时，即，则为直角三角形； 当时，得，则为等腰三角形； 综上：为等腰或直角三角形，故D正确. 故选：D. 【典例2】已知外接圆的圆心为O，，，若有最大值，则参数t的值为 . 【解题策略】设D是线段的中点，从而可求得，同理可得，再结合可求得，再根据结合二次函数的性质即可得解. 【详细解析】如图所示，设D是线段的中点， 由于O是外接圆的圆心，故， 所以， 同理可得， 由于， 故，即， 解得， 则， 由于，依题意有最大值， 令，设， 当，即时，（舍去）， 当，即时， ，解得（舍去）， 综上可得. 故答案为：. 【典例3】在非等腰△ABC中，已知，D是BC的一个三等分点，若，求sin∠BAC的值. 【解题策略】 这是一道解三角形的题目，条件D是BC的一个三等分点，而BC的三等分点有两个，势必需要分类讨论.这里BC是△ABC中关键的一条边，可设.即引入参数b，可以建立平面直角坐标系结合向量数量积的坐标运算求解，也可以运用解析几何中两直线夹角公式求解.我们可以发现，解三角形问题运用向量法或解析几何的方法都是不错的选择. 【详细解析】 解法一：不妨设. （1） 先考虑第一种情形：，如图所示. 以C为坐标原点，CB，CA方向分别为x轴，y轴的正方向，建立平面直角坐标系，则D（1，0），B（3，0），A（0，b）. ，解得或3. 由于△ABC不是等腰三角形，，. （2） 再考虑第二种情形：，如图3-2所示.此时D（2，0），B（3，0），.则，此方程无解. 综上所述，. 解法二：不妨设. （1） 先考虑第一种情形：，如图所示. . ，. ，或3. 由于△ABC不是等腰三角形，，. （2） 再考虑第二种情形：，如图所示. . ，.，无解. 综上所述，. 【方法归纳】 解三角形问题时，分类讨论是一种重要的数学思想。首先，需要明确分类讨论的依据，通常依据是三角形的边长关系、角度关系、特殊三角形的性质等。 确定分类讨论的依据：根据边长关系，可以分为等边三角形、等腰三角形和不等边三角形；根据角度关系，可以分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形。分别讨论每一种情况。对于每一种分类，根据已知条件和三角形的性质，列出方程或不等式进行求解。检验每种情况的解是否满足题目的所有条件。有时候，某些分类下的解可能不满足题目的其他条件，需要排除。进而得出结论。 【举一反三】 5． 如图所示，有一块等腰三角形形状的空地，腰的长为3，底的长为4，现决定在该空地内筑一条笔直的小路（宽度不计），将该空地分成一个四边形和一个三角形，设分成的四边形和三角形的周长相等，面积分别为和. （1） 若小路一端E为的中点，求此时小路的长度； （2） 求的最小值. 6． 如图所示，半圆O的直径为2，点A为直径延长线上的一点，，点B为半圆上任意一点，以AB为边向半圆外作等边三角形ABC.    (1) 求四边形OACB的面积的最大值； (2) 求线段OC长的最大值. 7． 已知角，，满足，且，则()()()=（    ） A．0 B．1 B． D． 8． 已知函数在区间上至少有两个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． （2024河南平顶山一中高三上期11月阶段测试） 9． 函数，已知为图象的一个对称中心，直线为图象的一条对称轴，且在上单调递增.记满足条件的所有的值的和为S，则S的值为（    ） A． B．2 C． D．3 10． 在锐角三角形中，点为延长线上一点，且，则三角形的面积为（    ） A． B． B． D． 11． 在中，角、、的对边分别为、、，已知，，.若，则（    ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02节 三角函数与解三角形 三角函数在高中数学中是一个重要的部分，涉及到多种类型的问题，其中分类讨论是解决一些复杂问题时常用的方法。分类讨论通常基于三角函数的性质、图象以及不同角度范围内的特点来进行。以下是一些分类讨论的常见情况：在求解三角函数值的时候，需要借助三角函数的定义及诱导公式，进行分类讨论求解；在求解三角方程货不等式时，根据方程的特性，可能需要对解的个数和范围进行分类讨论，或不等式的特性，对解的范围进行分类讨论；在解决一些三角方程或不等式时，需要根据角度所在的象限来判断三角函数值的正负。 解三角形中的分类讨论问题通常涉及根据角的大小分类讨论：当给定的条件可能导致不同范围的角时，需要根据角的大小进行分类讨论。当给定的条件可能导致不同长度的边时，需要根据边的长度进行分类讨论。例如，已知两边和夹角，但夹角大小可能导致不同的第三边长度，这时需要根据夹角的大小来判断第三边是长于、短于还是等于已知边。根据三角形的边长关系，可以分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形。不同的三角形类型可能会影响解题方法和解的性质。 类型一 在三角公式中的应用 【典例1】 （2024届山东实验中学高三第二次模拟考试） 质点和在以坐标原点为圆心，半径为1的圆上逆时针作匀速圆周运动，同时出发.的角速度大小为，起点为圆与轴正半轴的交点；的角速度大小为，起点为圆与射线的交点.则当与第2024次重合时，的坐标为（ ） A．     B．    C．    D． 【解题策略】设两质点重合时，所用时间为，则重合点坐标为，通过题意得到，结合周期性即可得解. 【详细解析】 设两质点重合时，所用时间为，则重合点坐标为， 由题意可知，两质点起始点相差角度为， 则，解得， 若，则，则重合点坐标为， 若，则，则重合点坐标为，即， 若，则，则重合点坐标为，即， 当与第2024次重合时，，则， 则重合点坐标为，即. 故选：B. 【典例2】 （2024北京大兴精华学校高三下期5月高考适应性考试） 已知，，若对任意实数x都有恒成立，则满足条件的一组有序数对为 . 【解题策略】根据三角函数恒成立，则对应的解析式分类讨论求得即可． 【详细解析】 ，若对任意实数x都有恒成立， 则，或， 由，得， 因为，令，得， 由，得， 因为，令，得， 所以满足条件的一组有序数对为或. 故答案为：（答案不唯一） 【典例3】 （2025届广东普通高中毕业班第二次调研考试） 已知集合，，设函数. （1） 当和时，分别判断函数是否是常数函数？说明理由； （2） 已知，求函数是常数函数的概率； （3） 写出函数是常数函数的一个充分条件，并说明理由. 【解题策略】（1）分情况讨论，运用三角恒等变换诱导公式，同角三角函数关系式，二倍角公式进行化简函数，再结合常数函数概念判定即可；（2）运用常数函数概念，结合和差角公式，结合三角函数方程知识，进行计算，再结合古典概型概率计算即可；（3）运用常数函数概念，结合三角恒等变换，分情况讨论，找出充分条件即可. 【详细解析】 （1） 当时，， 此时是常数函数； 当时， ，此时不是常数函数. （2） 设，不妨令. . 若函数是常数函数，则 则， 得，所以， 得或，，所以或，， 同理或，，或，， 则① 集合共有13个元素，从中任取3个元素组成集合， 共个， 而满足①的集合有，，，，，共5个， 则使得函数是常数函数的概率为. （3） 不妨令， 因为 ， 若函数是常数函数，则 得，所以， 得，，所以，， 1 当为偶数时，可以拆分成组两项（，）的和，每一组为定值时，也为定值， 所以函数是常数函数的一个充分条件可以是 2 当为奇数时，可以拆分成1组三项的和与组两项（，）的和，每一组为定值时，也为定值， 所以函数是常数函数的一个充分条件可以是 . 综上所述， 当为偶数时，函数是常数函数的一个充分条件可以是 ； 当为奇数时，函数是常数函数的一个充分条件可以是 . 【方法归纳】 在高中数学中，分类讨论是解决一些复杂问题的重要方法，尤其在三角公式应用中，分类讨论可以帮助我们更准确地处理不同情况下的问题。 在三角函数的定义中，常常涉及参数的讨论，需要对三角公式化简后分类讨论确定三角函数值或角度的大小；在利用诱导公式化简时，需要对公式中的k值进行分类讨论，确定正负符号，以便正确地解决问题。 【举一反三】 （2024届湖南岳阳高三下期教学质量监测（二）） 1． 已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分类讨论并利用诱导公式对进行化简，再利用同角三角函数关系式、倍角公式的逆用求得. 【详解】设 1 时，， 2 时，， 3 时，， 此时 4 时，， 此时 综合①②③④，可以排除、, ， 所以， 故选：C. 2． 已知角，终边上有一点，则（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据弦切互化，结合正切和差角公式，即可得，结合角的范围即可求解. 【详解】，故，． 又，， 故在第三象限，故，． 故选:C． 类型二 在三角函数中的应用 【典例1】 （2024届山东济南一中等校高三下期阶段性检测（开学考试）） 若函数在上的最大值小于，则的取值范围是（ ） A.     B. B.     D. 【解题策略】 根据x的范围，确定，由题意可得，结合正弦函数的性质，分类讨论，列出不等式，即可求得答案. 【详细解析】 由题意知，，则，且， 函数在上的最大值小于， 即此时， 在内，的函数值对应的x的值为，，， 1 当，且时，满足题意，此时； 2 当，且时，满足题意，此时， 综合上述，可得的取值范围是， 故选：D. 【典例2】 （2024吉林长春吉大附中实验学校高三下期高考考前适应性训练（一）） 函数的值域为 . 【解题策略】结合正弦函数的图象将解析式中的绝对值去掉，分类讨论函数，利用辅助角公式将其化成正弦型函数，数形结合求解函数的值域即可. 【详细解析】因，由，可得， 由，可得. 故当时，， 此时， 则，有； 当时，， 此时，则，有. 综上可得，的值域为. 故答案为： 【典例3】平面直角坐标系中有点、，. （1） 求向量和的夹角θ的余弦用x表示的函数f（x）； （2） 讨论f（x）的增减性； （3） 求θ的最大值和最小值. 【解题策略】在三角函数单调性的证明中划分单调区间，在求最值时对角进行分类讨论. 【详细解析】 （1） ，. （2） 设，则 . 因为，，. 1 当时，，所以，故f（x）在上是增函数. 2 当时，，所以，故f（x）在上是减函数. （3） ①当时，，故. 3 当时，，当时，. 所以当时，，故. 【方法归纳】 在三角函数中应用分类讨论，首先需要识别出问题中可能影响结果的变量或条件。例如，角度的取值范围、三角函数的正负性，以及不同象限中三角函数值的特性等。然后，根据这些变量或条件的不同情况，将问题划分为若干个互不相交的子集，并对每个子集分别进行讨论和求解，进而求解问题。 【举一反三】 3． 已知，，若，且在上为减函数. （1）求函数的最小正周期； （2）求实数a和角的值. 【答案】（1）；（2）或. 【分析】（1）利用和差角公式可得，利用三角函数的性质即解； （2）对实数a分类讨论，再结合条件及三角函数的性质可求. 【详解】（1） ， 显然∴的最小正周期为. （2）若，在上为减函数，且的最大值为2， 即，此时， ，， 若，同理，此时. ，. 综上所述或. 4． 已知函数，相邻两条对称轴的距离为． (1)若为偶函数，设，求的单调递增区间； (2)若过点，设，若对任意的，都有，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2). 【分析】（1）由得，进而写出解析式， 根据条件确定解析式，应用余弦型函数的单调性求递增区间； （2）由题设有，设，结合二次函数性质、分类讨论研究的最值，即可求参数范围. 【详解】（1）由题设，所以， 由题设知为偶函数，且，所以， 所以，则， 所以 ，，即，， 所以单调递增区间为； （2）因为过点，所以，可得， 所以，又，所以，所以， 对任意的，都有成立， 所以即， ， 由，设， 则有图象是开口向下，对称轴为的抛物线， 当时在上单调递增，，即， 解得，所以； 当时在上单调递减，，即， 解得，所以； 当时，，所以，解得， 所以， 综上所述：实数的取值范围为. 类型三 在解三角形中的应用 【典例1】在中，若，则的形状是（ ） A.等腰三角形    B.直角三角形    C.等腰直角三角形    D.等腰或直角三角形 【解题策略】利用余弦定理将化简为，从而分类讨论可求解. 【详细解析】 由，得， 化简得， 当时，即，则为直角三角形； 当时，得，则为等腰三角形； 综上：为等腰或直角三角形，故D正确. 故选：D. 【典例2】已知外接圆的圆心为O，，，若有最大值，则参数t的值为 . 【解题策略】设D是线段的中点，从而可求得，同理可得，再结合可求得，再根据结合二次函数的性质即可得解. 【详细解析】如图所示，设D是线段的中点， 由于O是外接圆的圆心，故， 所以， 同理可得， 由于， 故，即， 解得， 则， 由于，依题意有最大值， 令，设， 当，即时，（舍去）， 当，即时， ，解得（舍去）， 综上可得. 故答案为：. 【典例3】在非等腰△ABC中，已知，D是BC的一个三等分点，若，求sin∠BAC的值. 【解题策略】 这是一道解三角形的题目，条件D是BC的一个三等分点，而BC的三等分点有两个，势必需要分类讨论.这里BC是△ABC中关键的一条边，可设.即引入参数b，可以建立平面直角坐标系结合向量数量积的坐标运算求解，也可以运用解析几何中两直线夹角公式求解.我们可以发现，解三角形问题运用向量法或解析几何的方法都是不错的选择. 【详细解析】 解法一：不妨设. （1） 先考虑第一种情形：，如图所示. 以C为坐标原点，CB，CA方向分别为x轴，y轴的正方向，建立平面直角坐标系，则D（1，0），B（3，0），A（0，b）. ，解得或3. 由于△ABC不是等腰三角形，，. （2） 再考虑第二种情形：，如图3-2所示.此时D（2，0），B（3，0），.则，此方程无解. 综上所述，. 解法二：不妨设. （1） 先考虑第一种情形：，如图所示. . ，. ，或3. 由于△ABC不是等腰三角形，，. （2） 再考虑第二种情形：，如图所示. . ，.，无解. 综上所述，. 【方法归纳】 解三角形问题时，分类讨论是一种重要的数学思想。首先，需要明确分类讨论的依据，通常依据是三角形的边长关系、角度关系、特殊三角形的性质等。 确定分类讨论的依据：根据边长关系，可以分为等边三角形、等腰三角形和不等边三角形；根据角度关系，可以分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形。分别讨论每一种情况。对于每一种分类，根据已知条件和三角形的性质，列出方程或不等式进行求解。检验每种情况的解是否满足题目的所有条件。有时候，某些分类下的解可能不满足题目的其他条件，需要排除。进而得出结论。 【举一反三】 5． 如图所示，有一块等腰三角形形状的空地，腰的长为3，底的长为4，现决定在该空地内筑一条笔直的小路（宽度不计），将该空地分成一个四边形和一个三角形，设分成的四边形和三角形的周长相等，面积分别为和. （1）若小路一端E为的中点，求此时小路的长度； （2）求的最小值. 【答案】（1）；（2）. 【分析】(1)根据题意，讨论点F的位置，结合余弦定理即可得到满足题意时小路的长度； (2)根据题意，分别讨论小路的端点E、F都在两腰上和小路的端点E、F分别在一腰（不妨上和底边上的两种情况，结合面积公式与均值不等式，即可求解. 【详解】(1)先确定点F的位置， 1 若点F在上（如图1-131中位置）， 设，则， 即，得（舍去），故点F不在上. 2 若点F在上（如图1-131中位置），设，则， 即，得，此时，. 于是在中，，得. 综上，若小路一端E为的中点，此时小路的长度为. (2)分情况讨论点E、F的位置. 1 若小路的端点E、F都在两腰上（如图1-132）， 设，，则， 即，得（，）. （当且仅当时取得等号）； 2 若小路的端点E、F分别在一腰（不妨设腰）上和底边上（如图1-133）， 设，，由， 即，得（，）. （当且仅当时取等号）. 综上所述，的最小值为. 6． 如图所示，半圆O的直径为2，点A为直径延长线上的一点，，点B为半圆上任意一点，以AB为边向半圆外作等边三角形ABC.    (1)求四边形OACB的面积的最大值； (2)求线段OC长的最大值. 【答案】(1) (2)3 【分析】（1）设，则，在△AOB中，由余弦定理求出，计算，再利用三角恒等变换以及三角函数的性质即可求解； （2）设，对为锐角、钝角、直角分类讨论都有，，在中，由余弦定理表示，再利用三角恒等变换以及三角函数的性质即可求解； 【详解】（1）设，则，在△AOB中，. 于是. 又， ∴当，即时， 取到最大值. （2）设. 若为锐角，则，且. ，. 若为钝角（如图所示），则，且，，， 若，则仍有，.    于是在△中，. ， ∴当，即时，OC取到最大值3. 7． 已知角，，满足，且，则()()()=（    ） A．0 B．1 B． D． 【答案】A 【分析】结合诱导公式与和差化积公式进行求值. 【详解】因为. 由和差化积公式得： . 所以或或. 若，则； 同理，当或时，都有. 故选：A 8． 已知函数在区间上至少有两个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由得，得，不妨设且和在区间内，从而可求出的范围，再由进行讨论即可得解. 【详解】由得，得， 不妨设且和在区间内，则， 即，化简得， 由，得，所以为大于1的整数， 当时，； 当时，； 当时，； 当时，， 可得当时，，且当时，， 所以， 故实数的取值范围为． 故选：C. 【点睛】思路点睛：根据题意令，求得函数零点，令，由零点和在区间内，再求出的范围，再分别对取值即可. （2024河南平顶山一中高三上期11月阶段测试） 9． 函数，已知为图象的一个对称中心，直线为图象的一条对称轴，且在上单调递增.记满足条件的所有的值的和为S，则S的值为（    ） A． B．2 C． D．3 【答案】C 【分析】由三角函数的对称性可得或，再由单调性可得，分类讨论计算即可. 【详解】由题意知：或，，， 化简得或，. ∵在上单调递增， ∴， ∴. 1 当时，取知，此 时， 又， 结合题意可知，即， 当时，，此时在上单调递减，不符合题意； 取时，，此时， 同理， 因为结合题意可知，即， 当时，，此时在上单调递增， ∴. 2 当时，取知，此时， 同理， 因为结合题意可知，即， 当时，，此时在上单调递增， ∴. 综上：或1，. 故选：C 10． 在锐角三角形中，点为延长线上一点，且，则三角形的面积为（    ） A． B． B． D． 【答案】C 【分析】在△ABC中，利用余弦定理求解BC，根据已知锐角三角形条件排除不符合条件的解，再利用三角形面积公式求得结果. 【详解】设则. 在△ABC中，由余弦定理， 得，即,解得. 当时，，，是一个钝角，不合题意，舍去. 当时，，，所以，又，则，符合题意. 在△中，，则△的面积. 故选：C． 11． 在中，角、、的对边分别为、、，已知，，.若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由正弦定理边角互化思想化简得出，可得出或，经分析得出，可得，由此求出的值，然后利用余弦定理可求得的值. 【详解】，，即， 由正弦定理得， ，则，可得， ，，或. 若，则，不合乎题意； 若，则，， ，，所以，， 由余弦定理得，因此，. 故选：A. 【点睛】本题考查利用正弦定理和余弦定理解三角形，考查计算能力，属于中等题. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$