第08讲 基本不等式（4个知识点+11大题型）（讲义+精练）-2025 年新高一数学暑假自学能力进阶精品讲义与演练（苏教版2019）

第08讲 基本不等式 01 思维导图与题型归纳 02 全面梳理基础知识，夯实学习根基 03 聚焦核心题型，举一反三 04 过关测试，检验成效 知识点一：基本不等式 1、对公式及的理解． （1）成立的条件是不同的：前者只要求都是实数，而后者要求都是正数； （2）取等号“=” 的条件在形式上是相同的，都是“当且仅当时取等号”． 2、由公式和可以引申出常用的常用结论 ①（同号）； ②（异号）； ③或 知识点诠释： 可以变形为：，可以变形为：． 知识点二：基本不等式的证明 方法一：几何面积法 如图，在正方形中有四个全等的直角三角形． 设直角三角形的两条直角边长为、，那么正方形的边长为．这样，4个直角三角形的面积的和是，正方形的面积为．由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，所以：．当直角三角形变为等腰直角三角形，即时，正方形缩为一个点，这时有． 得到结论：如果，那么（当且仅当时取等号“=”） 特别的，如果，，我们用、分别代替、，可得： 如果，，则，（当且仅当时取等号“=”）． 通常我们把上式写作：如果，，，（当且仅当时取等号“=”） 方法二：代数法 ∵， 当时，； 当时，． 所以，（当且仅当时取等号“=”）． 知识点诠释： 特别的，如果，，我们用、分别代替、，可得： 如果，，则，（当且仅当时取等号“=”）． 通常我们把上式写作： 如果，，，（当且仅当时取等号“=”）． 知识点三：基本不等式的几何意义 如图，是圆的直径，点是上的一点，，，过点作交圆于点D，连接、． 易证，那么，即． 这个圆的半径为，它大于或等于，即，其中当且仅当点与圆心重合，即时，等号成立． 知识点诠释： 1、在数学中，我们称为的算术平均数，称为的几何平均数．因此基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 2、如果把看作是正数的等差中项，看作是正数的等比中项，那么基本不等式可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项． 知识点四：用基本不等式求最大（小）值 在用基本不等式求函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等． ① 一正：函数的解析式中，各项均为正数； ② 二定：函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值； ③ 三取等：函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值． 知识点诠释： 1、两个不等式：与成立的条件是不同的，前者要求a，b都是实数，后者要求a，b都是正数． 2、两个不等式：与都是带有等号的不等式，对于“当且仅当……时，取“=”号这句话的含义要有正确的理解． 3、基本不等式的功能在于“和积互化”．若所证不等式可整理成一边是和，另一边是积的形式，则考虑使用平均不等式；若对于所给的“和式”中的各项的“积”为定值，则“和”有最小值，对于给出的“积式”中的各项的“和”为定值，则“积”有最大值． 4、利用两个数的基本不等式求函数的最值必须具备三个条件： ①各项都是正数； ②和（或积）为定值； ③各项能取得相等的值． 5、基本不等式在解决实际问题中有广泛的应用，在应用时一般按以下步骤进行： ①先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数； ②建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题； ③在定义域内，求出函数的最大或最小值； ④写出正确答案． 题型一：对基本不等式的理解及简单应用 【例1】（2025·高一·辽宁·期中）《几何原本》中的几何代数法是以几何方法研究代数问题，这种方法是数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有图形如图所示，为线段上的点，且，，为的中点，以为直径作半圆，过点作的垂线交半圆于，连接，则该图形可以完成的无字证明为（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】数学里有一种证明方法叫Proofs without words，也称为无字证明，一般是指仅用图形语言而无需文字解释就能不证自明的数学命题．由于这种证明方法的特殊性，无字证明被认为比严格的数学证明更为优雅与有条理．如图，在等腰直角中，为斜边的中点，是斜边上异于、的一个动点，设，，则该图形可以完成的无字证明是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2025·高一·天津南开·开学考试）设，，则下列不等式中一定成立的是（   ） ①        ② ③    ④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1-3】（2025·高一·上海静安·期中）给出下列命题中，真命题的个数为（    ） ①已知，则成立； ②已知且，则成立； ③已知，则的最小值为2； ④已知，，则成立． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型二：利用基本不等式比较大小 【例2】设，为正数，则，，，的大小关系是 ． 【变式2-1】若、、、、、是正实数，且，，则有 ．（比较大小） 【变式2-2】已知，且，则下列不等式中，恒成立的序号是 . ①；②；③；④. 【变式2-3】（2025·高一·全国·单元测试）甲、乙两车从地沿同一线路到达地，甲车一半时间的速度是，另一半时间的速度为，乙车用速度、各行走了一半路程，且，则 车先到达地． 题型三：利用基本不等式证明不等式 【例3】（1）比较与的大小； （2）证明不等式： 【变式3-1】（1）已知且，试比较与的大小； （2）已知且，且，求证：. 【变式3-2】若x，y为正实数，求证：． 【变式3-3】完成下列不等式的证明： (1)对任意的正实数，，，证明：； (2)设，，为正实数，且，证明：. 题型四：直接法求最值 【例4】已知， 且， 则的最大值为 ． 【变式4-1】（2025·上海奉贤·三模）若，则有最大值为 ． 【变式4-2】（2025·高一·重庆·期末）已知都是正实数，若，则的最大值为 . 【变式4-3】，则的最大值为 . 题型五：常规凑配法求最值 【例5】已知，则当取最大值时的值为 ． 【变式5-1】设，则的最大值为 . 【变式5-2】（2025·高一·河北·期中）已知实数，，满足，则的最大值为 . 【变式5-3】（2025·高一·北京朝阳·期末）已知，则的最大值为 ． 题型六：消参法求最值 【例6】已知，且，则的最小值是 ． 【变式6-1】若则的最小值为 【变式6-2】（2025·高一·河南鹤壁·开学考试）若实数a，b满足，则 的最小值为 ． 【变式6-3】已知，且，则的最小值为 ，此时 ． 题型七：换元求最值 【例7】函数的最小值为 ． 【变式7-1】若正实数x，y满足，则的最小值是 . 【变式7-2】（2025·高一·广东汕头·期中）设正数，满足，则的最大值是 . 【变式7-3】（2025·高一·浙江·期中）设，则的最大值为 . 题型八：“1”的代换求最值 【例8】（2025·高一·内蒙古呼伦贝尔·期末）若正数满足，则的最小值为（    ） A． B． C．6 D． 【变式8-1】（2025·高一·广东广州·期中）已知正数满足，则的最小值为（    ） A．5 B． C． D．9 【变式8-2】（2025·高一·江苏淮安·期中）已知正数，满足，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 【变式8-3】（2025·高一·江苏镇江·期中）已知，，，则的最小值为（   ） A．36 B．25 C．16 D．9 题型九：条件等式求最值 【例9】设正数，满足，则的最小值为 ． 【变式9-1】（2025·高一·重庆·期中）若满足，则的最大值是 ，的最小值是 . 【变式9-2】已知，且，则的最小值为 . 【变式9-3】（2025·高一·山东临沂·期中）已知，则的最大值为 题型十：利用基本不等式求解恒成立问题 【例10】（2025·高一·湖南·开学考试）已知，且恒成立，则的最大值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式10-1】设实数满足，，不等式恒成立，则实数的最大值为（   ） A．12 B．24 C． D． 【变式10-2】（2025·高一·四川达州·期中）已知，，若不等式恒成立，则实数的最大值为（    ） A．64 B．25 C．13 D．12 【变式10-3】（2025·高一·山东·期中）已知正实数满足，且不等式恒成立，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 题型十一：基本不等式在实际问题中的应用 【例11】（2025·高一·云南昆明·期中）我国古代著名数学巨著《周髀算经》记载着周朝时期的商高与周公的对话，商高提出了“勾三股四弦五”特例.后来古希腊的毕达哥拉斯学派用演绎法证明了直角三角形斜边的平方等于两直角边的平方之和.若一个直角三角形的斜边长等于5，则这个直角三角形周长的最大值为（    ） A．12 B． C． D．15 【变式11-1】港珠澳大桥通车后，经常往来于珠港澳三地的刘先生采用自驾出行．由于燃油的价格有升也有降，现刘先生有两种加油方案，第一种方案是每次均加30升的燃油，第二种方案是每次加200元的燃油，则下列说法正确的是（   ） A．采用第一种方案更划算 B．采用第二种方案更划算 C．两种方案一样划算 D．无法确定采用哪种方案更划算 【变式11-2】一批货物随17列货车从A市以的速度匀速直达B市．已知两地铁路线长，为了安全，两列货车的间距不得小于（货车长度忽略不计），那么这批货物全部运到B市最快需要（   ） A．2小时 B．4小时 C．6小时 D．8小时 【变式11-3】建造一个容积为，深为的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价分别为每平方米180元和80元，那么水池的最低总造价为（   ） A．1000元 B．2000元 C．2720元 D．4720元 1．若，，且，则（   ） A．有最小值为 B．有最大值为 C．有最小值为 D．有最大值为 2．（2025·高一·福建福州·期中）用一段长为的篱笆围成一个矩形菜园（菜园的一边靠墙），菜园的面积最大是（    ） A．36 B．144 C．60 D．72 3．已知，求的最小值（    ） A．7 B．4 C．-7 D．8 4．（2025·高一·河南漯河·期末）已知实数，且，则的最小值为（    ） A． B． C．8 D．12 5．（2025·高一·辽宁抚顺·开学考试）已知正数x，y满足，则的最大值为（   ） A．8 B．10 C．12 D．14 6．（2025·高一·安徽马鞍山·开学考试）已知均为正实数，且，则的最小值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 7．（2025·高一·云南昆明·期末）已知，，且，则的最小值为（   ）． A．9 B．8 C．6 D．5 8．（多选题）（2025·高一·江苏苏州·期末）已知x，y都为正数，且2x＋y＝4，则下列说法正确的是（    ） A．xy的最大值为2 B．4x2＋y2的最小值为8 C．＋的最小值为8 D．＋的最大值为 9．（多选题）（2025·高一·云南昭通·期中）下列结论正确的是（   ） A．任意，则 B．若，则 C．若，则 D．若，，，则 10．（多选题）（2025·高一·内蒙古赤峰·期末）设正实数m，n满足，则（    ） A．的最小值为 B．的最大值为2 C．的最大值为 D．的最小值为 11．（2025·高一·浙江杭州·期末）已知正实数满足，则的最小值为 ． 12．（2025·高一·黑龙江佳木斯·开学考试）已知，且是方程的一个根，则的最小值是 ． 13．利用基本不等式求下列式子的最值： (1)若，求的最小值； (2)已知，且，求的最大值； (3)若，求的最大值. 14．通过市场调查发现：某产品生产需投入年固定成本3万元，每生产万件，需要额外投入流动成本万元.在年产量不足万件时，（万元）；在年产量不少于万件时，（万元）.已知每件产品售价元，且生产的产品在当年可全部售完. (1)写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式； (2)当年产量为多少万件时，生产销售该产品所获利润最大？最大利润是多少？ （注：若，当且仅当时等号成立） 15．（2025·高一·广西·开学考试）（1）已知是正实数，且，求的最小值； （2）函数的最小值为多少？ 16．（2025·高一·安徽淮南·期末）已知，，且. (1)求的最小值； (2)求的最小值； (3)求的最小值. 17．（2025·高一·上海徐汇·期末）已知都是正实数，且. (1)求证：； (2)求的最小值. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第08讲 基本不等式 01 思维导图与题型归纳 02 全面梳理基础知识，夯实学习根基 03 聚焦核心题型，举一反三 04 过关测试，检验成效 知识点一：基本不等式 1、对公式及的理解． （1）成立的条件是不同的：前者只要求都是实数，而后者要求都是正数； （2）取等号“=” 的条件在形式上是相同的，都是“当且仅当时取等号”． 2、由公式和可以引申出常用的常用结论 ①（同号）； ②（异号）； ③或 知识点诠释： 可以变形为：，可以变形为：． 知识点二：基本不等式的证明 方法一：几何面积法 如图，在正方形中有四个全等的直角三角形． 设直角三角形的两条直角边长为、，那么正方形的边长为．这样，4个直角三角形的面积的和是，正方形的面积为．由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，所以：．当直角三角形变为等腰直角三角形，即时，正方形缩为一个点，这时有． 得到结论：如果，那么（当且仅当时取等号“=”） 特别的，如果，，我们用、分别代替、，可得： 如果，，则，（当且仅当时取等号“=”）． 通常我们把上式写作：如果，，，（当且仅当时取等号“=”） 方法二：代数法 ∵， 当时，； 当时，． 所以，（当且仅当时取等号“=”）． 知识点诠释： 特别的，如果，，我们用、分别代替、，可得： 如果，，则，（当且仅当时取等号“=”）． 通常我们把上式写作： 如果，，，（当且仅当时取等号“=”）． 知识点三：基本不等式的几何意义 如图，是圆的直径，点是上的一点，，，过点作交圆于点D，连接、． 易证，那么，即． 这个圆的半径为，它大于或等于，即，其中当且仅当点与圆心重合，即时，等号成立． 知识点诠释： 1、在数学中，我们称为的算术平均数，称为的几何平均数．因此基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 2、如果把看作是正数的等差中项，看作是正数的等比中项，那么基本不等式可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项． 知识点四：用基本不等式求最大（小）值 在用基本不等式求函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等． ① 一正：函数的解析式中，各项均为正数； ② 二定：函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值； ③ 三取等：函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值． 知识点诠释： 1、两个不等式：与成立的条件是不同的，前者要求a，b都是实数，后者要求a，b都是正数． 2、两个不等式：与都是带有等号的不等式，对于“当且仅当……时，取“=”号这句话的含义要有正确的理解． 3、基本不等式的功能在于“和积互化”．若所证不等式可整理成一边是和，另一边是积的形式，则考虑使用平均不等式；若对于所给的“和式”中的各项的“积”为定值，则“和”有最小值，对于给出的“积式”中的各项的“和”为定值，则“积”有最大值． 4、利用两个数的基本不等式求函数的最值必须具备三个条件： ①各项都是正数； ②和（或积）为定值； ③各项能取得相等的值． 5、基本不等式在解决实际问题中有广泛的应用，在应用时一般按以下步骤进行： ①先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数； ②建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题； ③在定义域内，求出函数的最大或最小值； ④写出正确答案． 题型一：对基本不等式的理解及简单应用 【例1】（2025·高一·辽宁·期中）《几何原本》中的几何代数法是以几何方法研究代数问题，这种方法是数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有图形如图所示，为线段上的点，且，，为的中点，以为直径作半圆，过点作的垂线交半圆于，连接，则该图形可以完成的无字证明为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】，，，而（重合时取等号）， 因此有． 故选：D． 【变式1-1】数学里有一种证明方法叫Proofs without words，也称为无字证明，一般是指仅用图形语言而无需文字解释就能不证自明的数学命题．由于这种证明方法的特殊性，无字证明被认为比严格的数学证明更为优雅与有条理．如图，在等腰直角中，为斜边的中点，是斜边上异于、的一个动点，设，，则该图形可以完成的无字证明是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题设，且， 其中，或， 且， 由图知，即. 故选：A 【变式1-2】（2025·高一·天津南开·开学考试）设，，则下列不等式中一定成立的是（   ） ①        ② ③    ④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【解析】对于①，因为，，所以，当且仅当时等号成立，故①错误； 对于②，因为，所以， 所以， 当且仅当，即时取等号， 又，所以，则成立，故②正确； 对于③，， 当且仅当即时等号成立， 因为，所以成立，故③正确； 对于④， ， 当且仅当，即时等号成立，故④正确. 故选：C 【变式1-3】（2025·高一·上海静安·期中）给出下列命题中，真命题的个数为（    ） ①已知，则成立； ②已知且，则成立； ③已知，则的最小值为2； ④已知，，则成立． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【解析】当时，①中的不等式是错误的，①错； 因为与同号，所以是正确的，且，即时等号成立，所以②中的基本不等式计算是正确的，②对； （当时，无解，等号不成立），故③错； 因为，所以且，且，即时等号成立，所以④中的基本不等式运算是正确的，④对． 故选: B． 题型二：利用基本不等式比较大小 【例2】设，为正数，则，，，的大小关系是 ． 【答案】 【解析】∵， ∴， ∴， 即， ∴， 当且仅当时等号成立， ∵， 当且仅当时等号成立， 又，当且仅当时等号成立， 所以，当且仅当时等号成立 故答案为： 【变式2-1】若、、、、、是正实数，且，，则有 ．（比较大小） 【答案】≤ 【解析】．当且仅当时等号成立， 故, 故答案为： 【变式2-2】已知，且，则下列不等式中，恒成立的序号是 . ①；②；③；④. 【答案】④ 【解析】易知因为对于恒成立，当且仅当时，等号成立，所以①错误； 对于②，③，显然时，不等式均不成立，即②和③错误； 对于④，因为，所以，由基本不等式可得，当且仅当a=b成立即④正确； 故答案为：④ 【变式2-3】（2025·高一·全国·单元测试）甲、乙两车从地沿同一线路到达地，甲车一半时间的速度是，另一半时间的速度为，乙车用速度、各行走了一半路程，且，则 车先到达地． 【答案】甲 【解析】设两地的路程为1，那么甲车到达指定地点的时间为，则，； 乙车到达指定地点的时间为，则，； ，（当且仅当时不等式取“”； ，由知； 故答案为：甲． 题型三：利用基本不等式证明不等式 【例3】（1）比较与的大小； （2）证明不等式： 【解析】（1），所以. （2），当且仅当时取等号，所以. 【变式3-1】（1）已知且，试比较与的大小； （2）已知且，且，求证：. 【解析】（1）因为，，所以，，， 由题意， 所以（当且仅当时取等号）． （2）证明：，是正数，且， ， 当且仅当时取等号， 成立． 【变式3-2】若x，y为正实数，求证：． 【解析】 ， 当且仅当，且， 即时等号成立． 【变式3-3】完成下列不等式的证明： (1)对任意的正实数，，，证明：； (2)设，，为正实数，且，证明：. 【解析】（1）由基本不等式可得， 所以， 即 当且仅当时取等； （2）因为 所以，即， 因为 所以， 所以，当且仅当时取等 题型四：直接法求最值 【例4】已知， 且， 则的最大值为 ． 【答案】144 【解析】因为，由基本不等式得， 故，当且仅当时，等号成立． 故的最大值为 故答案为：144 【变式4-1】（2025·上海奉贤·三模）若，则有最大值为 ． 【答案】/0.25 【解析】因为，显然当时，取得最大值，所以， 当且仅当时等号成立，所以， 所以有最大值为. 故答案为：. 【变式4-2】（2025·高一·重庆·期末）已知都是正实数，若，则的最大值为 . 【答案】 【解析】， 可得：，当且仅当时，取等号， 所以的最大值为， 故答案为： 【变式4-3】，则的最大值为 . 【答案】8 【解析】， 所以，当且仅当时取等号， 故答案为：8 题型五：常规凑配法求最值 【例5】已知，则当取最大值时的值为 ． 【答案】/ 【解析】因为，可得，则， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以当取最大值时的值为. 故答案为：. 【变式5-1】设，则的最大值为 . 【答案】/0.25 【解析】因为，则，即， 可得，当且仅当，即时，等号成立， 所以的最大值为. 故答案为：. 【变式5-2】（2025·高一·河北·期中）已知实数，，满足，则的最大值为 . 【答案】 【解析】由，得， 所以， 当且仅当时取等号，故的最大值为. 故答案为：. 【变式5-3】（2025·高一·北京朝阳·期末）已知，则的最大值为 ． 【答案】1 【解析】由，则， 当且仅当时取等号． 故答案为：1 题型六：消参法求最值 【例6】已知，且，则的最小值是 ． 【答案】 【解析】因为，所以，则，当且仅当，即时，取等号． 【变式6-1】若则的最小值为 【答案】 【解析】由，得， 则，由，得， 因此 ， 当且仅当，即时等号. 故答案为： 【变式6-2】（2025·高一·河南鹤壁·开学考试）若实数a，b满足，则 的最小值为 ． 【答案】27 【解析】因为，所以， 所以 当且仅当，即时取等号. 所以的最小值为. 故答案为：. 【变式6-3】已知，且，则的最小值为 ，此时 ． 【答案】 12 或1 【解析】由题设，则， 又，当且仅当时等号成立， 所以，当且仅当时等号成立， 此时，可得，故或时等号成立. 综上，或时目标式取最小值为12. 故答案为：12；或1 题型七：换元求最值 【例7】函数的最小值为 ． 【答案】 【解析】由，又， 所以，当且仅当，即时等号成立， 所以原函数的最小值为. 故答案为： 【变式7-1】若正实数x，y满足，则的最小值是 . 【答案】16 【解析】，， ，即， 令，上式转化为，解得或（舍去）， ，即，当且仅当，即时等号成立. 所以得最小值为16. 故答案为：16. 【变式7-2】（2025·高一·广东汕头·期中）设正数，满足，则的最大值是 . 【答案】 【解析】设，， 则，可得，当且仅当时，等号成立， 又因为，即， 所以的最大值是. 故答案为：. 【变式7-3】（2025·高一·浙江·期中）设，则的最大值为 . 【答案】 【解析】， ， 令 又， ，当且仅当时等号成立, , 在上单调递减， 时， 的最大值为. 故答案为： 题型八：“1”的代换求最值 【例8】（2025·高一·内蒙古呼伦贝尔·期末）若正数满足，则的最小值为（    ） A． B． C．6 D． 【答案】B 【解析】由得，故， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：B． 【变式8-1】（2025·高一·广东广州·期中）已知正数满足，则的最小值为（    ） A．5 B． C． D．9 【答案】D 【解析】因为， 当且仅当，即，时等号成立， 所以的最小值为9. 故选：D. 【变式8-2】（2025·高一·江苏淮安·期中）已知正数，满足，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由已知，满足， 即， 则， 当且仅当，即时等号成立， 故选：A. 【变式8-3】（2025·高一·江苏镇江·期中）已知，，，则的最小值为（   ） A．36 B．25 C．16 D．9 【答案】C 【解析】由两边除以得， 所以 ，当且仅当时等号成立， 所以的最小值为. 故选：C 题型九：条件等式求最值 【例9】设正数，满足，则的最小值为 ． 【答案】 【解析】因为正数，满足，所以， 解得或（舍去），所以，当且仅当时取等号， 所以，当且仅当时取等号， 即的最小值为. 故答案为： 【变式9-1】（2025·高一·重庆·期中）若满足，则的最大值是 ，的最小值是 . 【答案】 2 【解析】因，由，可得， 即得，当且仅当，即或时取等号， 即当或时，的最大值是； 因，，即得， 当且仅当，即或时取等号， 即当或时，的最小值是. 故答案为：2；. 【变式9-2】已知，且，则的最小值为 . 【答案】2 【解析】因为，且， 所以且， 所以 ， 当且仅当即时等号成立， 所以的最小值为2. 故答案为：2. 【变式9-3】（2025·高一·山东临沂·期中）已知，则的最大值为 【答案】 【解析】因为， 所以， 又因为， 当且仅当即时等号成立， 所以有最小值为，则有最大值为. 故答案为：. 题型十：利用基本不等式求解恒成立问题 【例10】（2025·高一·湖南·开学考试）已知，且恒成立，则的最大值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【解析】因为，则，又恒成立， 即恒成立， 又， 当且仅当，即时取等号，所以， 故选：B. 【变式10-1】设实数满足，，不等式恒成立，则实数的最大值为（   ） A．12 B．24 C． D． 【答案】B 【解析】由，变形可得，， 令，， 则转化为，即， 其中， 当且仅当，即，时取等号， 所以不等式恒成立，只需， 故选：B 【变式10-2】（2025·高一·四川达州·期中）已知，，若不等式恒成立，则实数的最大值为（    ） A．64 B．25 C．13 D．12 【答案】B 【解析】，，则， 不等式 恒成立，即恒成立， ， 当且仅当，即时等号成立， 所以，即实数m的最大值为. 故选：B. 【变式10-3】（2025·高一·山东·期中）已知正实数满足，且不等式恒成立，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为正实数满足， 所以，则， 当且仅当，即时取等号， 因为不等式恒成立， 所以，即． 故选：C． 题型十一：基本不等式在实际问题中的应用 【例11】（2025·高一·云南昆明·期中）我国古代著名数学巨著《周髀算经》记载着周朝时期的商高与周公的对话，商高提出了“勾三股四弦五”特例.后来古希腊的毕达哥拉斯学派用演绎法证明了直角三角形斜边的平方等于两直角边的平方之和.若一个直角三角形的斜边长等于5，则这个直角三角形周长的最大值为（    ） A．12 B． C． D．15 【答案】B 【解析】因为直角三角形的斜边长等于5，设两直角边分别为a、b，则， 又因为， 所以，当且仅当时取“＝”， 故三角形周长的最大值为. 故选：B． 【变式11-1】港珠澳大桥通车后，经常往来于珠港澳三地的刘先生采用自驾出行．由于燃油的价格有升也有降，现刘先生有两种加油方案，第一种方案是每次均加30升的燃油，第二种方案是每次加200元的燃油，则下列说法正确的是（   ） A．采用第一种方案更划算 B．采用第二种方案更划算 C．两种方案一样划算 D．无法确定采用哪种方案更划算 【答案】B 【解析】任取其中两次加油，假设第一次的油价为m元/升，第二次的油价为n元/升．第一种方案的均价为；第二种方案的均价为．因为，当且仅当时，等号成立，所以无论油价如何变化，第二种方案更划算． 【变式11-2】一批货物随17列货车从A市以的速度匀速直达B市．已知两地铁路线长，为了安全，两列货车的间距不得小于（货车长度忽略不计），那么这批货物全部运到B市最快需要（   ） A．2小时 B．4小时 C．6小时 D．8小时 【答案】D 【解析】设这批货物从A市全部运到B市的时间为t，则（小时），当且仅当，即时取等号． 【变式11-3】建造一个容积为，深为的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价分别为每平方米180元和80元，那么水池的最低总造价为（   ） A．1000元 B．2000元 C．2720元 D．4720元 【答案】B 【解析】由题意，设水池底面一边长为，则另一边长为，总造价，当且仅当，即时，等号成立． 1．若，，且，则（   ） A．有最小值为 B．有最大值为 C．有最小值为 D．有最大值为 【答案】D 【解析】因为，，且，由基本不等式可得，即， 当且仅当时，即当时，等号成立，故有最大值为. 故选：D. 2．（2025·高一·福建福州·期中）用一段长为的篱笆围成一个矩形菜园（菜园的一边靠墙），菜园的面积最大是（    ） A．36 B．144 C．60 D．72 【答案】D 【解析】设矩形菜园的宽为，长，则，且，. 因为（当且仅当，时取“”）. 故选：D 3．已知，求的最小值（    ） A．7 B．4 C．-7 D．8 【答案】A 【解析】因为当时，，所以 故最小值为7，当且仅当，即时，取等号. 故选：A 4．（2025·高一·河南漯河·期末）已知实数，且，则的最小值为（    ） A． B． C．8 D．12 【答案】C 【解析】由，， 则， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为8. 故选：C. 5．（2025·高一·辽宁抚顺·开学考试）已知正数x，y满足，则的最大值为（   ） A．8 B．10 C．12 D．14 【答案】A 【解析】因为，所以， 当且仅当时，等号成立，即的最大值为8． 故选：A. 6．（2025·高一·安徽马鞍山·开学考试）已知均为正实数，且，则的最小值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【解析】均为正实数，且， 所以， 当且仅当，即，时取等号， 则的最小值为 故选：C 7．（2025·高一·云南昆明·期末）已知，，且，则的最小值为（   ）． A．9 B．8 C．6 D．5 【答案】A 【解析】因为，，且， 所以， 所以， 当且仅当，即，时取等号. 故选：A 8．（多选题）（2025·高一·江苏苏州·期末）已知x，y都为正数，且2x＋y＝4，则下列说法正确的是（    ） A．xy的最大值为2 B．4x2＋y2的最小值为8 C．＋的最小值为8 D．＋的最大值为 【答案】AB 【解析】因为x>0，y>0，2x＋y＝4，所以，即xy≤2， 当且仅当2x＝y＝2时取等号，故A正确； 4x2＋y2＝(2x＋y)2－4xy＝16－4xy≥8，当且仅当2x＝y＝2时取等号，故B正确； ＝ ， 当且仅当2x＝y＝2时取等号，故C错误； ，即， 当且仅当2x＝y＝2时取等号，故D错误． 故选：AB 9．（多选题）（2025·高一·云南昭通·期中）下列结论正确的是（   ） A．任意，则 B．若，则 C．若，则 D．若，，，则 【答案】BD 【解析】对于A，当时，为负数，故A错误； 对于B，若，则，所以，故B正确； 对于C，若，则， 当且仅当，即时取等号， 又因为，所以故C错误； 对于D，若，，， 则，，当且仅当时等号成立，故D正确. 故选：BD. 10．（多选题）（2025·高一·内蒙古赤峰·期末）设正实数m，n满足，则（    ） A．的最小值为 B．的最大值为2 C．的最大值为 D．的最小值为 【答案】AB 【解析】对于A，， 当且仅当，即时取等号，故A正确； 对于B，，，当且仅当时取等号，则，故B正确； 对于C，由B分析可知，故C错误； 对于D，， 注意到，则.当且仅当时取等号，故D错误. 故选：AB 11．（2025·高一·浙江杭州·期末）已知正实数满足，则的最小值为 ． 【答案】6 【解析】由题设， 当且仅当时取等号，即的最小值为6. 故答案为：6 12．（2025·高一·黑龙江佳木斯·开学考试）已知，且是方程的一个根，则的最小值是 ． 【答案】8 【解析】由题意，可得，即得， 则， 因，故，当且仅当即时等号成立， 即当，时，取得最小值8. 故答案为：8. 13．利用基本不等式求下列式子的最值： (1)若，求的最小值； (2)已知，且，求的最大值； (3)若，求的最大值. 【解析】（1）因为，所以，当且仅当时取等号， 故最小值为4，此时. （2）因为， 所以，当且仅当时取等， 故最大值为. （3）因为， 所以，当且仅当时取等号， 故所求最大值为. 14．通过市场调查发现：某产品生产需投入年固定成本3万元，每生产万件，需要额外投入流动成本万元.在年产量不足万件时，（万元）；在年产量不少于万件时，（万元）.已知每件产品售价元，且生产的产品在当年可全部售完. (1)写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式； (2)当年产量为多少万件时，生产销售该产品所获利润最大？最大利润是多少？ （注：若，当且仅当时等号成立） 【解析】（1）因为每件商品售价为元，则万件的商品销售收入为万元； 根据题意得， 当时，； 当时，； 所以. （2）当时， ， 当且仅当，即时，有最大值； 当时，， 当且仅当，即时取等号， 因为，所以当年产量为万件时，利润最大，最大利润为万元 15．（2025·高一·广西·开学考试）（1）已知是正实数，且，求的最小值； （2）函数的最小值为多少？ 【解析】（1）因为是正实数，且， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为； （2）因为，则， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以函数的最小值为. 16．（2025·高一·安徽淮南·期末）已知，，且. (1)求的最小值； (2)求的最小值； (3)求的最小值. 【解析】（1），，解得，当且仅当时取等号， 所以当时，取得最小值16. （2），，解得，当且仅当时取等号， 所以当时，取得最小值16. （3），由，得， 则，当且仅当时取等号， 所以汉时，取得最小值9. 17．（2025·高一·上海徐汇·期末）已知都是正实数，且. (1)求证：； (2)求的最小值. 【解析】（1）因为，所以，因为都是正实数，所以，所以，得证； （2）由（1）得，，令，则， 当且仅当即，时，等号成立， 所以的最小值为4. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$