专题10 因式分解（3大题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年八年级数学下学期期末真题分类汇编（河南专用）

专题10 因式分解 题型概览 01 因式分解的意义 02 因式分解 03 因式分解的应用 因式分解的意义 1．（2024春•二七区期末）下列从左到右的变形，属于因式分解的是（　　） A．（x+y）（x﹣y）＝x2﹣y2 B．m2n+8n＝n（m2+8） C．12xy2＝2x•6y2 D．x2﹣4x+2＝x（x﹣4）+2 2．（2024春•金水区期末）数学活动课上，同学们一起玩卡片游戏，游戏规则是：从给出的三张卡片中任选两张进行加减运算，运算的结果能进行因式分解的同学进入下一轮游戏，否则将被淘汰．给出的三张卡片如图所示，则在第一轮游戏中被淘汰的是（　　） A．甲：M+N B．乙：M﹣N C．丙：N+P D．丁：N﹣P 3．（2024春•郏县期末）仔细阅读下面例题： 例题：已知二次三项式x2+5x+m有一个因式是x+2，求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式为px+n，得x2+5x+m＝（x+2）（px+n）， 对比等式左右两边x的二次项系数，可知p＝1，于是x2+5x+m＝（x+2）（x+n）． 则x2+5x+m＝x2+（n+2）x+2n， ∴n+2＝5，m＝2n， 解得n＝3，m＝6， ∴另一个因式为x+3，m的值为6． 依照以上方法解答下面问题： （1）若二次三项式x2﹣7x+12可分解为（x﹣3）（x+a），则a＝　 　 ； （2）若二次三项式2x2+bx﹣6可分解为（2x+3）（x﹣2），则b＝　 　 ； （3）已知代数式2x3+x2+kx﹣3有一个因式是2x﹣1，求另一个因式以及k的值． 因式分解 4．（2024春•宝丰县期末）下列因式分解正确的是（　　） A．x2+9＝（x+3）2 B．a2+2a+4＝（a+2）2 C．a3﹣4a2＝a2（a﹣4） D．1﹣4x2＝（1+4x）（1﹣x） 5．（2024春•宝丰县期末）因式分解：2a3﹣12a2+18a＝　 ． 6．（2024春•平顶山期末）分解因式：6x﹣9xy＝　 　 ． 7．（2024春•驻马店期末）因式分解：（x2﹣1）﹣3（x﹣1）＝　 　 ． 8．（2024春•鲁山县期末）因式分解： （1）ab（a﹣b）﹣2a（b﹣a）2； （2）（x2+2x+1）﹣y2． 9．（2024春•中牟县期末）把下列各式因式分解： （1）﹣16m3+16m2﹣4m； （2）9（x+y）2﹣4y2． 因式分解的应用 10．（2024春•新郑市期末）对任意整数n，（2n+1）2﹣25都能（　　） A．被3整除 B．被4整除 C．被5整除 D．被6整除 11．（2024春•中牟县期末）李明喜欢密码编译，在他的密码手册中，有这样一条信息：x﹣y，a﹣b，x2﹣y2，4，x+y，a+b分别对应下列六个字：牟，爱，美，我，中，丽，现将4a（x2﹣y2）﹣4b（x2﹣y2）因式分解，结果呈现的密码信息可能是（　　） A．美丽中牟 B．我爱美丽 C．我爱美 D．我爱中牟 12．（2024春•金水区校级期末）（﹣8）2024+（﹣8）2023能被下列哪个数整除？（　　） A．3 B．5 C．7 D．9 13．（2024秋•淮阳区校级期末）若m为任意整数，（m+3）2﹣km2的值总能被3整除，则整数k不能取（　　） A．﹣2 B．0 C．1 D．4 14．（2024春•宝丰县期末）小南是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：x﹣1，a﹣b，2，x2+1，a，x+1，分别对应下列六个字：数，爱，我，化，物，学．现将2a（x2﹣1）﹣2b（x2﹣1）因式分解，结果呈现的密码信息可能是（　　） A．我爱化 B．爱物化 C．我爱数学 D．物化数学 15．（2024春•荥阳市期末）如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数为“凤凰数”，如8＝32﹣12，16＝52﹣32，所以8，16都是“凤凰数”，下列整数是“凤凰数”的为（　　） A．22 B．24 C．30 D．34 16．（2024春•中牟县期末）学习完4.1《因式分解》，张明和李放剪出如图①所示的4个长方形，然后又拼成了如图②所示的大长方形，请你写出一个多项式的因式分解：　 　 ． 17．（2024春•金水区校级期末）【发现】一个两位数的十位上的数字为a，个位上的数字为b，a＞b且a+b＝10，若将其十位上的数字与个位上的数字调换位置，得到一个新的两位数，则这两个数的平方差是20的倍数． 【解决问题】 （1）用含a的代数式表示： 原来的两位数为 　　 ，新的两位数为 　 　 ； （2）使用因式分解的方法说明【发现】中的结论正确． 18．（2024春•管城区校级期末）若一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么这个正整数称为“智慧数”． 小明对智慧数进行了探究： 3＝22﹣12，3是智慧数；5＝32﹣22，5是智慧数；7＝42﹣32，7是智慧数；9＝52﹣42，9是智慧数； … 小明猜测除1外，所有的奇数都是智慧数． 小明的证明方法如下： 设k是正整数， （k+1）2﹣k2＝（k+1+k）（k+1﹣k）＝2k+1． 所以，除1外，所有的奇数都是智慧数． 小明继续对对智慧数进行了探究： 8＝32﹣12，8是智慧数；12＝42﹣22，12是智慧数；16＝52﹣32，16是智慧数；20＝62﹣42，20是智慧数； … （1）请你帮助小明完成上述探究： ①猜测：　 　 ． ②请你对猜测进行证明： （2）请写出不超过2024的最大的智慧数为 　 　 ；它能表示为 　　 和 　　 这两个正整数的平方差． 19．（2024春•中原区期末）数学上常用的因式分解的方法有提公因式法、运用公式法，但也有一些多项式无法直接用上述方法因式分解，小明思考后发现，可以分组讲行因式分解．例如： a2﹣b2+a﹣b＝（a﹣b）（a+b）+（a﹣b）×1＝（a﹣b）（a+b+1）， 请解决以下问题： （1）将多项式m2﹣9n2因式分解：m2﹣9n2＝　 　 ； （2）将多项式m2﹣9n2+m﹣3n因式分解； （3）△ABC的三边a，b，c满足ac﹣bc+a2﹣b2＝0，判断△ABC的形状，并说明理由． 20．（2024春•汝州市期末）小刚同学动手剪了如图①所示的正方形与长方形纸片若干张．他用1张1号、1张2号和2张3号卡片拼出一个新的图形（如图②）．根据图②的面积关系可得等式：a2+2ab+b2＝（a+b）2，即使用拼图将a2+2ab+b2分解因式． （1）如果要拼成一个长为（a+2b），宽为（a+b）的大长方形，则需要2号卡片 　　 张，3号卡片 　　 张； （2）当他拼成如图③所示的长方形，根据图③的拼图可以把多项式a2+4ab+3b2分解因式，其结果是 　 　 ； （3）动手操作，请依照小刚的方法，在④的方框中画出面积为a2+5ab+6b2的长方形拼图，并利用拼图分解因式． 21．（2024春•开封期末）如果一个正整数能表示成两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”，如：8＝32﹣12，16＝52﹣32，24＝72﹣52，……，因此，8，16，24都是“智慧数”． （1）28 　　 “智慧数”，2024 　　 “智慧数”（填“是”或“不是”）； （2）设两个连续奇数为2k﹣1和2k+1（其中k为正整数），它们构造的“智慧数”是8的倍数吗？请说明理由． 22．（2024春•郑州期末）如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么称这个正整数为智慧数．例如，3＝22﹣12，5＝32﹣227＝42﹣32，因此3，5，7这三个数都是“智慧数”． 小组活动任务：从1开始，第2024个智慧数是哪个数呢？ 某数学兴趣小组的研究过程如下： 【阶段一】 特殊情况探讨：3＝22﹣12，5＝32﹣22，7＝42﹣32，8＝32﹣12，9＝52﹣42，11＝62﹣52⋯ 【阶段二】 一般性探究：同学们想到设k是正整数， ∵（k+1）2﹣k2＝2k+1， ∴除1外，所有的奇数都是智慧数． 又∵（k+1）2﹣（k﹣1）2＝①　　 ， ∴除4外，所有能被②　　 整除的偶数都是智慧数． ∴还需要讨论被4除余2的数是否是智慧数． 如果4k+2是智慧数，那么必有两个正整数m和n，使得4k+2＝m2﹣n2，即2（2k+1）＝（m+n）（m﹣n）． … 【阶段三】 总结与归纳：把从1开始的正整数依次每4个分成一组，除第一组有③　　 个智慧数外，其余各组都有④　　 个智慧数，而且每组中第⑤　　 个不是智慧数． 请你完成以下任务： （1）下列偶数中是智慧数的是 　　 ； A.2018 B.2022 C.2024 D.2026 （2）请将【阶段二】【阶段三】中的①～⑤分别补充完整； （3）请完成【阶段二】“…”部分的研究； （4）在正整数中，从1开始，第2024个智慧数是 　 　 ． 23．（2024春•金水区期末）分组分解也是因式分解的一种方法，顾名思义就是将原多项式进行合理分组后分别进行因式分解的方法．如：分解因式：x3+x2+x+1＝（x3+x2）+（x+1）＝x2（x+1）+（x+1）＝（x+1）（x2+1）； x2﹣4x+4﹣y2＝（x﹣2）2﹣y2＝（x﹣2+y）（x﹣2﹣y）． 问题1．通过分析，你认为下面哪种说法才是分组分解的关键 　　 ；（只填序号） ①分组后组内能提取公因式；②分组后组内能运用公式；③分组后组间还能继续分解． 问题2．请你利用分组分解法分解因式： （1）x2﹣xy+2x﹣2y； （2）4x2+4xy+y2﹣4x﹣2y+1． 问题3．若a，b，c是△ABC的三边，当b2﹣ab+bc﹣ac＝0时，判断△ABC的形状． 24．（2024春•宝丰县期末）常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法及到了高中还要学习的十字相乘法，但有更多的多项式只用上述方法就无法分解，x2﹣4y2﹣2x+4y，我们细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了．过程为：x2﹣4y2﹣2x+4y＝（x+2y）（x﹣2y）﹣2（x﹣2y）＝（x﹣2y）（x+2y﹣2）这种分解因式的方法叫分组分解法．利用这种方法解决下列问题： （1）分解因式：a2﹣4a﹣b2+4； （2）△ABC三边a，b，c满足a2﹣ab﹣ac+bc＝0，判断△ABC的形状． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题10 因式分解 ( 题型概览 01 因式分解的意义 02 因式分解 03 因式分解的应用 ) ( 因式分解的意义 ) 1．（2024春•二七区期末）下列从左到右的变形，属于因式分解的是（　　） A．（x+y）（x﹣y）＝x2﹣y2 B．m2n+8n＝n（m2+8） C．12xy2＝2x•6y2 D．x2﹣4x+2＝x（x﹣4）+2 【分析】根据因式分解是把一个多项式化为几个整式的积的形式，可得答案． 【解答】解：A、是整式的乘法，故此选项不符合题意； B、把一个多项式化为几个整式的积的形式，故此选项符合题意； C、不是因式分解，故此选项不符合题意； D、没把一个多项式化为几个整式的积的形式，故此选项不符合题意； 故选：B． 2．（2024春•金水区期末）数学活动课上，同学们一起玩卡片游戏，游戏规则是：从给出的三张卡片中任选两张进行加减运算，运算的结果能进行因式分解的同学进入下一轮游戏，否则将被淘汰．给出的三张卡片如图所示，则在第一轮游戏中被淘汰的是（　　） A．甲：M+N B．乙：M﹣N C．丙：N+P D．丁：N﹣P 【分析】甲：利用完全平方公式进行因式分解即可；乙：利用平方差公式进行因式分解即可；丙：利用提取公因式法进行因式分解即可；丁：不能进行因式分解． 【解答】解：A、甲：M+N＝x2+5x+12+5x+13＝x2+10x+25＝（x+5）2，故此选项不符合题意； B、乙：M﹣N＝x2+5x+12﹣5x﹣13＝x2﹣1＝（x+1）（x﹣1），故此选项不符合题意； C、丙：N+P＝5x+13+x2﹣13＝x2+5x＝x（x+5），故此选项不符合题意； D、丁：N﹣P＝5x+13﹣x2+13＝﹣x2+5x+26，故此选项符合题意； 故选：D． 3．（2024春•郏县期末）仔细阅读下面例题： 例题：已知二次三项式x2+5x+m有一个因式是x+2，求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式为px+n，得x2+5x+m＝（x+2）（px+n）， 对比等式左右两边x的二次项系数，可知p＝1，于是x2+5x+m＝（x+2）（x+n）． 则x2+5x+m＝x2+（n+2）x+2n， ∴n+2＝5，m＝2n， 解得n＝3，m＝6， ∴另一个因式为x+3，m的值为6． 依照以上方法解答下面问题： （1）若二次三项式x2﹣7x+12可分解为（x﹣3）（x+a），则a＝　﹣4　 ； （2）若二次三项式2x2+bx﹣6可分解为（2x+3）（x﹣2），则b＝　﹣1　 ； （3）已知代数式2x3+x2+kx﹣3有一个因式是2x﹣1，求另一个因式以及k的值． 【分析】（1）仿照题干中给出的方法计算即可； （2）仿照题干中给出的方法计算即可； （3）设出另一个因式为（ax2+bx+c），对比两边三次项系数可得a＝1，再参照题干给出的方法计算即可． 【解答】解：（1）∵（x﹣3）（x+a）＝x2﹣3x+ax﹣3a ＝x2+（a﹣3）x﹣3a ＝x2﹣7x+12． ∴a﹣3＝﹣7，﹣3a＝12， 解得：a＝﹣4． （2）∵（2x+3）（x﹣2）＝2x2+3x﹣4x﹣6 ＝2x2﹣x﹣6 ＝2x2+bx﹣6． ∴b＝﹣1． （3）设另一个因式为（ax2+bx+c），得2x3+x2+kx﹣3＝（2x﹣1）（ax2+bx+c）． 对比左右两边三次项系数可得：a＝1． 于是2x3+x2+kx﹣3＝（2x﹣1）（x2+bx+c）． 则2x3+x2+kx﹣3＝2x3﹣x2+2bx2﹣bx+2cx﹣c＝2x3+（2b﹣1）x2+（2c﹣b）x﹣c． ∴﹣c＝﹣3，2b﹣1＝1，2c﹣b＝k． 解得：c＝3，b＝1，k＝5． 故另一个因式为x2+x+3，k的值为5． ( 因式分解 ) 4．（2024春•宝丰县期末）下列因式分解正确的是（　　） A．x2+9＝（x+3）2 B．a2+2a+4＝（a+2）2 C．a3﹣4a2＝a2（a﹣4） D．1﹣4x2＝（1+4x）（1﹣x） 【分析】利用提公因式法、公式法逐个分解得结论． 【解答】解：A．x2+9≠x2+6x+9＝（x+3）2，故选项A分解错误； B．a2+2a+4≠a2+4a+4＝（x+2）2，故选项B解错误； C．a3﹣4a2＝a2（a﹣4），故选项C分解正确； D．1﹣4x2＝（1+2x）（1﹣2x）≠（1+4x）（1﹣4x），故选项D分解错误． 故选：C． 5．（2024春•宝丰县期末）因式分解：2a3﹣12a2+18a＝　2a（a﹣3）2　 ． 【分析】此多项式有公因式，应先提取公因式，再对余下的多项式进行观察，有3项，可采用完全平方公式继续分解． 【解答】解：2a3﹣12a2+18a ＝2a（a2﹣6a+9） ＝2a（a﹣3）2． 故答案为：2a（a﹣3）2． 6．（2024春•平顶山期末）分解因式：6x﹣9xy＝　3x（2﹣3y）　 ． 【分析】提公因式3x即可． 【解答】解：原式＝3x（2﹣3y）． 故答案为：3x（2﹣3y）． 7．（2024春•驻马店期末）因式分解：（x2﹣1）﹣3（x﹣1）＝　（x﹣1）（x﹣2）　 ． 【分析】利用分组分解法分解即可． 【解答】解：（x2﹣1）﹣3（x﹣1）＝（x+1）（x﹣1）﹣3（x﹣1）＝（x﹣1）（x﹣2）． 故答案为：（x﹣1）（x﹣2）． 8．（2024春•鲁山县期末）因式分解： （1）ab（a﹣b）﹣2a（b﹣a）2； （2）（x2+2x+1）﹣y2． 【分析】（1）利用提公因式法因式分解即可； （2）利用完全平方公式及平方差公式因式分解即可． 【解答】解：（1）原式＝ab（a﹣b）﹣2a（a﹣b）2 ＝a（a﹣b）[b﹣2（a﹣b）] ＝a（a﹣b）（b﹣2a+2b） ＝a（a﹣b）（3b﹣2a）； （2）原式＝（x+1）2﹣y2 ＝（x+1+y）（x+1﹣y）． 9．（2024春•中牟县期末）把下列各式因式分解： （1）﹣16m3+16m2﹣4m； （2）9（x+y）2﹣4y2． 【分析】（1）先利用提公因式法进行分解，再运用完全平方公式进行分解即可解答； （2）利用平方差公式进行分解，即可解答． 【解答】解：（1）原式＝﹣4m（4m2﹣4m+1）＝﹣4m（2m﹣1）2． （2）原式＝[3（x+y）+2y][3（x+y）﹣2y]＝（3x+5y）（3x+y）． ( 因式分解的应用 ) 10．（2024春•新郑市期末）对任意整数n，（2n+1）2﹣25都能（　　） A．被3整除 B．被4整除 C．被5整除 D．被6整除 【分析】先利用平方差公式因式分解可得（2n+1）2﹣25＝4（n﹣2）（n+3），因此对任意整数n，4都是4（n﹣2）（n+3）的一个因数，据此即可得出答案． 【解答】解：∵（2n+1）2﹣25＝（2n+1）2﹣52＝（2n+1﹣5）（2n+1+5）＝（2n﹣4）（2n+6）＝4（n﹣2）（n+3）， ∴对任意整数n，4都是4（n﹣2）（n+3）的一个因数， ∴对任意整数n，（2n+1）2﹣25都能被4整除， 故选：B． 11．（2024春•中牟县期末）李明喜欢密码编译，在他的密码手册中，有这样一条信息：x﹣y，a﹣b，x2﹣y2，4，x+y，a+b分别对应下列六个字：牟，爱，美，我，中，丽，现将4a（x2﹣y2）﹣4b（x2﹣y2）因式分解，结果呈现的密码信息可能是（　　） A．美丽中牟 B．我爱美丽 C．我爱美 D．我爱中牟 【分析】将式子进行因式分解进行判断即可． 【解答】解：原式＝（x2﹣y2）（4a﹣4b）， ＝4（a﹣b）（x+y）（x﹣y）， 对应的话为：我爱中牟． 故选：D． 12．（2024春•金水区校级期末）（﹣8）2024+（﹣8）2023能被下列哪个数整除？（　　） A．3 B．5 C．7 D．9 【分析】先将原式变形为（﹣8+1）•（﹣8）2023，即﹣7•（﹣8）2023，即可得出答案． 【解答】解：原式＝（﹣8）2023•（﹣8）+（﹣8）2023 ＝（﹣8+1）•（﹣8）2023 ＝﹣7•（﹣8）2023， ∴（﹣8）2024+（﹣8）2023能被7整除， 故选：C． 13．（2024秋•淮阳区校级期末）若m为任意整数，（m+3）2﹣km2的值总能被3整除，则整数k不能取（　　） A．﹣2 B．0 C．1 D．4 【分析】依题意，结合完全平方公式进行整式的化简计算，进一步分析可得解． 【解答】解：依题意，（m+3）2﹣km2 ＝m2+6m+9﹣km2 ＝（1﹣k）m2+6m+9 ＝3[m2+（2m+3）]， ∵（m+3）2﹣km2的值总能被3整除， ∴的值是整数， ∴（1﹣0）÷3不是整数， 故选：B． 14．（2024春•宝丰县期末）小南是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：x﹣1，a﹣b，2，x2+1，a，x+1，分别对应下列六个字：数，爱，我，化，物，学．现将2a（x2﹣1）﹣2b（x2﹣1）因式分解，结果呈现的密码信息可能是（　　） A．我爱化 B．爱物化 C．我爱数学 D．物化数学 【分析】首先应用提取公因式法，把2a（x2﹣1）﹣2b（x2﹣1）因式分解，然后根据x﹣1，a﹣b，2，x2+1，a，x+1分别对应数，爱，我，化，物，学，判断出结果呈现的密码信息即可． 【解答】解：2a（x2﹣1）﹣2b（x2﹣1） ＝（2a﹣2b）（x2﹣1） ＝2（a﹣b）（x﹣1）（x+1）． ∵2，a﹣b，x﹣1，x+1，分别对应我，爱，数，学， ∴结果呈现的密码信息可能是我爱数学． 故选：C． 15．（2024春•荥阳市期末）如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数为“凤凰数”，如8＝32﹣12，16＝52﹣32，所以8，16都是“凤凰数”，下列整数是“凤凰数”的为（　　） A．22 B．24 C．30 D．34 【分析】根据题意设这两个连续奇数分别为：2n﹣1，2n+1，其中n是正整数，则“凤凰数”＝8n，经过计算，只有24是8的倍数，即可得出结果． 【解答】解：设这两个连续奇数分别为：2n﹣1，2n+1，其中n是正整数， ∴“凤凰数”＝（2n+1）2﹣（2n﹣1）2 ＝4n2+4n+1﹣4n2+4n﹣1 ＝8n， A、22÷8＝2⋯⋯6，故选项A不符合题意； B、24÷8＝3，故选项B符合题意； C、30÷8＝3⋯⋯6，故选项C不符合题意； D、34÷8＝4⋯⋯2，故选项D不符合题意； 故选：B． 16．（2024春•中牟县期末）学习完4.1《因式分解》，张明和李放剪出如图①所示的4个长方形，然后又拼成了如图②所示的大长方形，请你写出一个多项式的因式分解：　x2+5x+6＝（x+2）（x+3）　 ． 【分析】根据图形可知，图中大长方形的面积：大长方形的长×宽＝1个边长为x的正方形+1个长为2、宽为x的长方形面积+1个长为x、宽为3的长方形面积+1个长为2、宽为3的长方形面积，列式即可． 【解答】解：图中大长方形的面积：大长方形的长×宽＝1个边长为x的正方形+1个长为2、宽为x的长方形面积+1个长为x、宽为3的长方形面积+1个长为2、宽为3的长方形面积， 即：x2+2x+3x+6＝x2+5x+6＝（x+2）（x+3）， 故答案为：x2+5x+6＝（x+2）（x+3）． 17．（2024春•金水区校级期末）【发现】一个两位数的十位上的数字为a，个位上的数字为b，a＞b且a+b＝10，若将其十位上的数字与个位上的数字调换位置，得到一个新的两位数，则这两个数的平方差是20的倍数． 【解决问题】 （1）用含a的代数式表示： 原来的两位数为 　9a+10　 ，新的两位数为 　100﹣9a　 ； （2）使用因式分解的方法说明【发现】中的结论正确． 【分析】（1）依据题意，根据十位上的数字为a，且a+b＝10，则个位上的数字为（10﹣a），再根据两位数的表示方法列出代数式即可得出答案； （2）依据题意，先计算这两个数的平方差，再进行判断即可． 【解答】解：（1）∵一个两位数的十位上的数字为a，个位上的数字为b，a＞b且a+b＝10， ∴b＝10﹣a． ∴原来的两位数为：10a+10﹣a＝9a+10． 将其十位上的数字与个位上的数字调换位置，得到一个新的两位数， ∴新的两位数为：10（10﹣a）+a＝100﹣9a． 故答案为：9a+10；100﹣9a． （2）根据题意得，（9a+10）2﹣（100﹣9a）2 ＝（9a+10+100﹣9a）（9a+10﹣100+9a） ＝110（18a﹣90） ＝1980（a﹣5） ＝99×20（a﹣5）． ∵a是整数， ∴（9a+10）2﹣（100﹣9a）2能被20整除，即【发现】中的结论正确． 18．（2024春•管城区校级期末）若一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么这个正整数称为“智慧数”． 小明对智慧数进行了探究： 3＝22﹣12，3是智慧数；5＝32﹣22，5是智慧数；7＝42﹣32，7是智慧数；9＝52﹣42，9是智慧数； … 小明猜测除1外，所有的奇数都是智慧数． 小明的证明方法如下： 设k是正整数， （k+1）2﹣k2＝（k+1+k）（k+1﹣k）＝2k+1． 所以，除1外，所有的奇数都是智慧数． 小明继续对对智慧数进行了探究： 8＝32﹣12，8是智慧数；12＝42﹣22，12是智慧数；16＝52﹣32，16是智慧数；20＝62﹣42，20是智慧数； … （1）请你帮助小明完成上述探究： ①猜测：　除4外，所有4的倍数的偶数都是智慧数　 ． ②请你对猜测进行证明： （2）请写出不超过2024的最大的智慧数为 　2024　 ；它能表示为 　507　 和 　505　 这两个正整数的平方差． 【分析】（1）①根据小明的探究进行猜测即可；②参照小明的证明方法进行证明即可； （2）通过2024＝5072﹣5052，可得不超过2024的最大的智慧数，及它能表示为哪两个正整数的平方差． 【解答】解：（1）①由小明的探究可以猜测：除4外，所有4的倍数的偶数都是智慧数， 故答案为：除4外，所有4的倍数的偶数都是智慧数； ②证明：设k是正整数， （k+2）2﹣k2＝（k+2+k）（k+2﹣k）＝4（k+1）， 所以，除4外，所有4的倍数的偶数都是智慧数； （2）∵2024＝5072﹣5052， ∴不超过2024的最大的智慧数为2024，它能表示为507和505这两个正整数的平方差， 故答案为：2024，507，505． 19．（2024春•中原区期末）数学上常用的因式分解的方法有提公因式法、运用公式法，但也有一些多项式无法直接用上述方法因式分解，小明思考后发现，可以分组讲行因式分解．例如： a2﹣b2+a﹣b＝（a﹣b）（a+b）+（a﹣b）×1＝（a﹣b）（a+b+1）， 请解决以下问题： （1）将多项式m2﹣9n2因式分解：m2﹣9n2＝　（m﹣3n）（m+3n）　 ； （2）将多项式m2﹣9n2+m﹣3n因式分解； （3）△ABC的三边a，b，c满足ac﹣bc+a2﹣b2＝0，判断△ABC的形状，并说明理由． 【分析】（1）利用公式法进行因式分解即可； （2）利用公式法和提公因式法进行因式分解即可； （3）先利用公式法和提公因式法进行因式分解，可得（a﹣b）（a+b+c）＝0，根据题意，可知a+b+c≠0，因此a﹣b＝0，即a＝b，即可得出结果． 【解答】解：（1）原式＝m2﹣（3n）2 ＝（m﹣3n）（m+3n）， 故答案为：（m﹣3n）（m+3n）； （2）原式＝m2﹣（3n）2+（m﹣3n） ＝（m﹣3n）（m+3n）+（m﹣3n） ＝（m﹣3n）（m+3n+1）； （3）△ABC是等腰三角形，理由如下： ∵ac﹣bc+a2﹣b2＝0， ∴c（a﹣b）+（a﹣b）（a+b）＝0， ∴（a﹣b）（a+b+c）＝0， ∵a+b+c≠0， ∴a﹣b＝0，即a＝b， ∴△ABC是等腰三角形． 20．（2024春•汝州市期末）小刚同学动手剪了如图①所示的正方形与长方形纸片若干张．他用1张1号、1张2号和2张3号卡片拼出一个新的图形（如图②）．根据图②的面积关系可得等式：a2+2ab+b2＝（a+b）2，即使用拼图将a2+2ab+b2分解因式． （1）如果要拼成一个长为（a+2b），宽为（a+b）的大长方形，则需要2号卡片 　2　 张，3号卡片 　3　 张； （2）当他拼成如图③所示的长方形，根据图③的拼图可以把多项式a2+4ab+3b2分解因式，其结果是 　（a+3b）（a+b）　 ； （3）动手操作，请依照小刚的方法，在④的方框中画出面积为a2+5ab+6b2的长方形拼图，并利用拼图分解因式． 【分析】（1）计算长方形的面积，即可得到所需需要2号卡片，3号卡片的数量； （2）根据因式分解方法分解即可； （3）利用因式分解 a2+5ab+6b2 得 （a+2b）（a+3b），即可画出图形． 【解答】解：（1）拼成的一个长为 （a+2b），宽为 （a+b） 的大长方形的面积为 （a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b， ∴需要2号卡片2张，3号卡片3张， 故答案为：2，3； （2）a2+4ab+3b2＝（a+b）（a+3b）， 故答案为：（a+3b）（a+b）； （3）利用拼图分解因式：a2+5ab+6b2＝（a+2b）（a+3b）， 如图所示： 21．（2024春•开封期末）如果一个正整数能表示成两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”，如：8＝32﹣12，16＝52﹣32，24＝72﹣52，……，因此，8，16，24都是“智慧数”． （1）28 　不是　 “智慧数”，2024 　是　 “智慧数”（填“是”或“不是”）； （2）设两个连续奇数为2k﹣1和2k+1（其中k为正整数），它们构造的“智慧数”是8的倍数吗？请说明理由． 【分析】（1）根据2024＝5072﹣5052进行判断． （2）利用平方差公式计算（2k+1）2﹣（2k﹣1）2＝（2k+1+2k﹣1）（2k+1﹣2k+1）＝4k•2＝8k，得到两个连续奇数构造的奇特数是8的倍数． 【解答】解：（1）28不能写成两个连续奇数的形式，所以不是智慧数， 2024＝5072﹣5052，所以是智慧数 故答案为：不是，是； （2）是， 理由：∵（2k+1）2﹣（2k﹣1）2 ＝（2k+1+2k﹣1）（2k+1﹣2k+1） ＝4k×2 ＝8k． ∴构造的“智慧数”是8的倍数． 22．（2024春•郑州期末）如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么称这个正整数为智慧数．例如，3＝22﹣12，5＝32﹣227＝42﹣32，因此3，5，7这三个数都是“智慧数”． 小组活动任务：从1开始，第2024个智慧数是哪个数呢？ 某数学兴趣小组的研究过程如下： 【阶段一】 特殊情况探讨：3＝22﹣12，5＝32﹣22，7＝42﹣32，8＝32﹣12，9＝52﹣42，11＝62﹣52⋯ 【阶段二】 一般性探究：同学们想到设k是正整数， ∵（k+1）2﹣k2＝2k+1， ∴除1外，所有的奇数都是智慧数． 又∵（k+1）2﹣（k﹣1）2＝①　4k　 ， ∴除4外，所有能被②　4　 整除的偶数都是智慧数． ∴还需要讨论被4除余2的数是否是智慧数． 如果4k+2是智慧数，那么必有两个正整数m和n，使得4k+2＝m2﹣n2，即2（2k+1）＝（m+n）（m﹣n）． … 【阶段三】 总结与归纳：把从1开始的正整数依次每4个分成一组，除第一组有③　1　 个智慧数外，其余各组都有④　3　 个智慧数，而且每组中第⑤　2　 个不是智慧数． 请你完成以下任务： （1）下列偶数中是智慧数的是 　C　 ； A.2018 B.2022 C.2024 D.2026 （2）请将【阶段二】【阶段三】中的①～⑤分别补充完整； （3）请完成【阶段二】“…”部分的研究； （4）在正整数中，从1开始，第2024个智慧数是 　2701　 ． 【分析】（1）由2024＝5072﹣5052可得解； （2）根据智慧数的意义及阶段二的一般性探究可以得解； （3）利用反证法； （4）利用整除知识及前面的结论可以得到解答． 【解答】（1）∵5072﹣5052＝（507+505）（507﹣505）＝2024， ∴答案是2024， 故选C； （2）∵（k+1）2﹣（k﹣1）2＝2k×2＝4k， ∴除4外，所有能被4整除的偶数都是智慧数， 由下面的研究可以得到4k+2不是智慧数， ∴把从1开始的正整数依次每4个分成一组，第一组1、2、3、4中除3是智慧数外，其他都不是智慧数， 其余各组中4k+1、4k+3是奇数，4k+4是4的倍数，有3个智慧数，而且每组中第2个即4k+2不是智慧数． 故答案为：4k、4、1、3、2； （3）如果4k+2是智慧数，那么必有两个正整数m和n，使得4k+2＝m2﹣n2，即2（2k+1）＝（m+n）（m﹣n）， ∴m、n的奇偶性是相同的， ∴可设m+n＝2p，m﹣n＝2l（p、l均为正整数）， ∴2（2k+1）＝2p×2l＝4pl， 即2k+1＝2pl，显然这是不可能的， ∴4k+2不是智慧数； （4）∵（2024﹣1）÷3＝674•••••••1， ∴由阶段三的结论可得从1开始，第2024个智慧数是： 4×674+5＝2701， 故答案为：2701． 23．（2024春•金水区期末）分组分解也是因式分解的一种方法，顾名思义就是将原多项式进行合理分组后分别进行因式分解的方法．如：分解因式：x3+x2+x+1＝（x3+x2）+（x+1）＝x2（x+1）+（x+1）＝（x+1）（x2+1）； x2﹣4x+4﹣y2＝（x﹣2）2﹣y2＝（x﹣2+y）（x﹣2﹣y）． 问题1．通过分析，你认为下面哪种说法才是分组分解的关键 　③　 ；（只填序号） ①分组后组内能提取公因式；②分组后组内能运用公式；③分组后组间还能继续分解． 问题2．请你利用分组分解法分解因式： （1）x2﹣xy+2x﹣2y； （2）4x2+4xy+y2﹣4x﹣2y+1． 问题3．若a，b，c是△ABC的三边，当b2﹣ab+bc﹣ac＝0时，判断△ABC的形状． 【分析】利用分组分解的方法进行因式分解，问题1：确定分组分解的关键步骤；问题2：利用分组分解法进行因式分解；问题3：利用分组分解法进行因式分解，再判定三角形的性质； 【解答】解：问题1：分组分解的目的是分组以后，继续因式分解，最后组与组之间还要因式分解，故选③． （1）x2﹣xy+2x﹣2y＝x（x﹣y）+2（x﹣y）＝（x﹣y）（x+2）， （2）4x2+4xy+y2﹣4x﹣2y+1＝（4x2+4xy+y2）﹣2（2x+y）+1＝（2x+y）2﹣2（2x+y）+1＝（2x+y﹣1）2． 问题3：b2﹣ab+bc﹣ac＝0， （b2﹣ab）+（bc﹣ac）＝0， b（b﹣a）+c（b﹣a）＝0， （b﹣a）（b+c）＝0， ∵a，b，c是△ABC的三边， ∴b+c不可能是0， ∴b﹣a＝0， b＝a， ∴△ABC是等腰三角形． 24．（2024春•宝丰县期末）常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法及到了高中还要学习的十字相乘法，但有更多的多项式只用上述方法就无法分解，x2﹣4y2﹣2x+4y，我们细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了．过程为：x2﹣4y2﹣2x+4y＝（x+2y）（x﹣2y）﹣2（x﹣2y）＝（x﹣2y）（x+2y﹣2）这种分解因式的方法叫分组分解法．利用这种方法解决下列问题： （1）分解因式：a2﹣4a﹣b2+4； （2）△ABC三边a，b，c满足a2﹣ab﹣ac+bc＝0，判断△ABC的形状． 【分析】（1）首先将a2﹣4a+4三项组合，利用完全平方公式分解因式，进而利用平方差公式分解因式得出即可； （2）首先将前两项以及后两项组合，进而提取公因式法分解因式，即可得出a，b，c的关系，判断三角形形状即可． 【解答】解：（1）a2﹣4a﹣b2+4 ＝a2﹣4a+4﹣b2 ＝（a﹣2）2﹣b2 ＝（a+b﹣2）（a﹣b﹣2）； （2）a2﹣ab﹣ac+bc＝0， ∴a2﹣ab﹣（ac﹣bc）＝0， ∴a（a﹣b）﹣c（a﹣b）＝0， ∴（a﹣b）（a﹣c）＝0， ∴a﹣b＝0，或者a﹣c＝0， 即：a＝b，或者a＝c ∴△ABC是等腰三角形． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/5/29 13:14:02；用户：19902929970；邮箱：19902929970；学号：37357472 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$