2025届高考数学思想方法大合集-.以数辅形三大法宝（代数法、解析法、向量法）讲义

第02节 以数辅形三大法宝（代数法、解析法、向量法） 代数法是高中数学中解决几何问题的重要工具之一.它通过建立数学模型，将几何图形的性质转化为代数表达式，从而利用代数运算来解决问题.这种方法不仅能够简化计算过程，还能帮助学生更好地理解几何图形的内在联系和性质.在高中数学中，代数法的应用非常广泛，例如利用坐标系将几何问题转化为代数问题，使用代数方程来表示几何图形的性质，利用函数的概念来研究几何图形的变化规律等. 解析法是高中数学中一种重要的方法，它通过建立数学模型，利用代数方程或不等式来研究几何图形的性质.这种方法将几何问题转化为代数问题，使得问题的解决变得更加直观和易于操作.解析法的核心在于运用坐标系，将几何图形上的点用坐标表示，从而将几何问题转化为坐标点的运算问题.在解析几何中，我们通常会用到直角坐标系，通过点的坐标来描述直线、圆和圆锥曲线等基本图形的方程.通过将这些方程联立，结合韦达定理，我们可以研究图形的位置、大小、形状以及它们之间的相互关系. 向量法，作为高中数学的一大法宝，巧妙地将数与形相结合，为解决复杂问题提供了全新的视角.通过引入向量的概念，我们能够将几何问题转化为代数问题，从而利用代数的运算规律和技巧来求解.在向量法中，向量被赋予了长度和方向两个属性，这使得我们能够更加直观地理解几何图形之间的关系.例如，在解决三角形问题时，我们可以利用向量的加法、减法以及数量积等运算，来求解三角形的边长、角度以及面积等问题.此外，向量法在处理空间几何问题时也显得尤为强大.通过将三维空间中的点、线、面等元素转化为向量，我们能够利用向量的线性运算和共面、共线等性质，来求解空间几何中的各种问题. 类型一 代数法 【典例1】椭圆上的动点到其左焦点的距离的最大值为（ ） A．4    B．5    C．6    D．8 【解题策略】利用椭圆的相关性质，代入椭圆的相关方程，即可利用代数法求解相关问题. 【详细解析】 由题意可知该椭圆的半长轴、半短轴、半焦距分别为， 设， 则，时取得等号. 故选：B. 【典例2】若双曲线的焦点在x轴上，渐近线方程为，虚轴长为，则双曲线的标准方程为 ． 【解题策略】由若双曲线的焦点在x轴上，所以双曲线标准方程可设为，由虚轴长为，可知，再由渐近线方程为，可知，代入即可求解. 【详细解析】 由若双曲线的焦点在x轴上，所以双曲线标准方程可设为：， 由虚轴长为，可知，再由渐近线方程为，可知， 所以双曲线标准方程为：. 故答案为：. 【典例3】当正数a为何值时，抛物线与椭圆有4个不同的交点． 【解题策略】 本例是一道解析几何的常规题．一般情况下，判断曲线交点的个数问题可以通过几何直观得到，但几何直观得到的结论是否一定正确需要通过代数推理加以严格证明．由题意，作出椭圆与抛物线的图形如图所示，由图可知只需即可保证有四个交点，反之，有四个交点是否一定要？而本例要求的是充要条件，一般情况下，仅从图形直观出发得出的结论，常常是片面的，不严密的，只有通过代数运算，推理得到的结论才是正确无误的，我们讲“数形结合”应当从数与形两个维度思考问题，深刻领会华罗庚先生所讲的“数无形时少直觉，形少数时难入微”的内涵． 【详细解析】 将抛物线与椭圆方程联立，得 消去x得关于y的二次方程，两曲线有四个交点， 等价于关于y的二次方程在内有两个不同的解． 记，使方程在内有两个不同解的 充要条件是解得． 【方法归纳】 高中代数法的归纳主要涉及函数、方程与不等式、圆锥曲线等.主要通过函数或者代数式的计算，将复杂的几何问题或者抽象的逻辑问题，转化为代数式进行计算，进而求解问题.学生能够更好地掌握高中代数的核心内容，并在解决具体问题时灵活运用.把代数和几何相结合，它能促进代数问题与图形之间的相互转化，通过改变思维的角度，使我们较快地从所给问题的情境中探究出符合命题目标的某个熟悉的模型，从而迅速、准确、科学地解决问题. 【举一反三】 1． 设线段两端点在抛物线上移动，M为线段的中点，(a为大于零的常数)，求M到y轴的最短距离. 【答案】当时，点M到y轴的最短距离为；当时，点M到y轴的最短距离为. 【分析】由抛物线性质可知，其通径为1，从而需要对，分类求解：当时，设出直线并与抛物线方程联立，结合两点间距离公式，求出M到y轴的距离为d的函数，根据其单调性求解即可；当时，利用抛物线定义和三角不等式并结合图像求解即可. 【详解】由抛物线方程易知，其通径为1，从而需要对和时分类求解： 当时，设：，， 与联立，得， 当时，， 所以， 设M到y轴的距离为d，则. 又，所以， 得. 所以.设， 则，当时，得在上是增函数，所以当时，， 故当时，点M到y轴的最短距离为； 当时，设F为抛物线的焦点，分别过A、B、M向抛物线的准线引垂线，垂足分别为、、，如下图： 易知， 结合抛物线的定义及梯形中位线的性质，得， 所以的最小值为， 从而M到y轴的最短距离为. （2024-2025广东茂名高三上期10月联考） 2． 已知椭圆与双曲线有公共焦点，与在第一象限的交点为，且. (1)求与的方程； (2)记的上顶点为的左顶点为，直线与的另一个交点为，求. 【答案】(1)的方程为的方程为 (2) 【分析】（1）由，结合椭圆、双曲线定义列方程即可求解； （2）确定方程，联立方程，求得坐标，即可求解. 【详解】（1）因为，所以， 记，则. 由椭圆的定义可得，. 由双曲线的定义可得，. 所以的方程为的方程为. （2）由题意得，则直线的方程为. 设. 联立得，所以.所以， 所以. 类型二 解析法 【典例1】（2024届陕西省安康中学、高新中学大联考高三模拟）已知双曲线为坐标原点，若直线与双曲线的两条渐近线分别交于点，则内切圆的半径等于（ ） A．    B．    C．    D． 【解题策略】 求出渐近线方程，与直线联立，求出点的坐标，求出的三边长，及点到直线的距离，利用等面积法即可求解内切圆的半径. 【详细解析】 双曲线的渐近线方程为， 联立方程，解得 同理联立，解得， 不妨设， 则， 点到直线的距离， 设内切圆的半径为， 则有， 即， 解得. 故选：C 【典例2】（2024-2025河南豫西北教研联盟（许洛平）高三第一次质量检测）设抛物线的焦点为，直线与的一个交点为，直线与的另一个交点为，则 . 【解题策略】 根据给定条件，联立直线与抛物线的方程求出交点坐标，进而求出点的坐标，再借助抛物线定义求出长. 【详细解析】 抛物线的焦点为，由，解得或， 即点或，当点时，直线，即， 由，得，因此， 显然点与关于轴对称，则当点时，点与点关于轴对称，， 所以. 故答案为： 【典例3】已知定义在上的函数设a、b、c是三个互不相同的实数，且满足，求abc的取值范围． 【解题策略】 函数是上的分段函数，根据函数图象的变化规律可以作出函数在其定义域上的图象，然后由图象求参数的取值范围．求解时对这一等式的运用是关键． 【详细解析】 由题意不妨设，函数在和上分别单调递减， 在上单调递增，且，，，作出函数的简图，如图所示． 由图知．根据题意，即， 则，即，∴．又，故． 【方法归纳】 高中数学解析法主要涉及函数、方程和不等式的解析解法以及圆锥曲线与直线的位置关系求解.解析法通常指的是利用代数运算来求解数学问题的方法.以下是一些常见的解析法应用：如函数图象的绘制：根据函数的解析式，分析函数的性质（如单调性、极值、对称性等），并绘制其图象，进而求解参数；在平面直角坐标系中，表达出点坐标，利用直曲联立求出线段长，进而求解问题.解析法是高中数学中非常重要的解题工具，它要求学生具备扎实的代数基础和逻辑推理能力.掌握解析法可以帮助学生更好地理解和解决各种数学问题. 【举一反三】 （2024~2025辽宁大连市部分学校高三上期10月联考） 3． 已知函数． (1)若，求函数的最小值； (2)若函数在区间上是减函数，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求导得函数的单调区间，进一步得最值； （2）在区间上恒成立，分离参数即可求解. 【详解】（1）当时，， 且，                                              令，即； ，，                                                 所以在上单调递减，在上单调递增. 所以当时，函数取最小值为． （2）因为函数在区间上是减函数， 所以在区间上恒成立．      即在上恒成立， 则在上恒成立，                                 令，， 显然在区间上单调递减，在区间上单调递增， 则，                                         所以，实数的取值范围为. （2024-2025河南豫西北教研联盟（许洛平） 4． 设为椭圆的左､右焦点，点在椭圆上，点关于原点的对称点为，四边形的面积为. (1)求椭圆的方程； (2)过点作直线与交于两点，的面积为，求的方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）设椭圆的焦距为，由四边形的面积为与，可求，进而将代入椭圆方程可求值，从而得到椭圆的方程； （2）设,与椭圆联立方程组，可得，进而求的值，从而由的面积可得的值，即得到直线的方程. 【详解】（1）设椭圆的焦距为，因为， 所以四边形为平行四边形，其面积设为S，则 ，所以， 所以，即 又点在椭圆，则，整理得， 解得， 所以椭圆的方程为. （2）易知的斜率不为，设， 联立，得， 又， 所以. 所以， 由， 解得， 所以的方程为或.    类型三 向量法 【典例1】（2025届福建省高中毕业班适应性练习卷（二））在中，点是边上一点，若，则的最小值为（ ） A．    B．    C．    D．7 【解题策略】根据给定条件，利用共线向量定理的推论求得，，.，再利用基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【详细解析】 在中，点是边上一点，，则，，. ， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. 故选：B 【典例2】（2024湖南怀化高三下期第二次模拟考试）已知双曲线，过点的直线交双曲线于两点，交轴于点（点与双曲线的顶点不重合），若，则当时，点坐标为 ． 【解题策略】在平面直角坐标系中，直线与双曲线相交问题，时常把两个曲线的方程联立，消去x（或y）建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．设出直线的方程，与双曲线方程联立，利用韦达定理及向量坐标运算结合已知列式求解即得. 【详细解析】 显然直线的斜率存在且不为0，设直线的方程为，则， 由消去y并整理得， ，则且，设， 于是，， 由，得，则， ，而，因此，解得， 所以点坐标为. 故答案为： 【典例3】如图所示，在四棱锥中，平面ABCD，，，，，． 图2-32 （1） 证明； （2） 求二面角的正弦值； （3） 设E为棱PA上的点，满足异面直线BE与CD所成的角为30°，求AE的长． 【解题策略】 本例主要考查空间两条直线的位置关系、二面角、异面直线所成的角、空间两点间的距离，可以用“几何法”求解也可以用“向量法”求解．“几何法”在于由“形”出发，观察“数”的特征，发现平行、垂直等几何关系中的数量关系，经历“作—证—求”的思维转化过程，体会“几何法”中所蕴含的数形结合思想．“向量法”也由“形”出发，把相关的点、线“坐标化”“向量化”，空间图形“向量化”归根结底就是点、线段“向量化”，体会“向量法”中所蕴含的数形结合思想，实践证明，通过建立坐标系，将几何对象坐标化进一步利用向量运算的几何意义，是解决空间几何体中求距离、夹角的好方法． 【详细解析】 （1） 如图所示．以、、为x、y、z正半轴方向， 建立空间直角坐标系，则、、、 ．，，∵，∴． （2） 解法一（几何法）：如图所示，作，垂足为H，联结DH． 由（1）知平面ADH，即为二面角的平面角，记为． 在中，求得，，在中，求得， ．二面角的正弦值为． 解法二：，，设平面PCD的法向量． 则即得取，∴． 是平面PAC的一个法向量．， ．∴二面角的正弦值为． （3） 设，则，， ，解得，故AE的长为． 【方法归纳】 向量法在高中数学中是一个重要的工具，它用于解决向量、平面解析几何和立体几何相关问题.向量是既有大小又有方向的量，通常用有向线段表示.在二维空间中，一个向量可以用两个分量表示；在三维空间中，向量则有三个分量. 向量法除了在解决平面向量问题中可以简化计算，利用平面向量基本定理或坐标系计算外，在其他领域也应用广泛.例如在立体几何中，借助向量可以轻松得出线线、线面和面面的位置关系及角度关系，在解析几何中，可以借助向量知识得出圆锥曲线和直线的位置关系，进而求解角度，面积，定点，定值等问题. 【举一反三】 5． 在直角坐标系中，已知点，点在三边围成的区域（含边界）上， (1)若，求； (2)设，用表示，并求的最大值. 【答案】(1) (2)；1. 【分析】（1）因为，所以，即得，故求得； （2）因为，所以，即，两式相减得，令，点在三边围成的区域（含边界）上，当直线过点时，取得最大值1，故的最大值为1. 【详解】（1）因为，所以， 即， 所以. （2）因为，， 所以，即， 两式相减得：， 令，由图可知，当直线过点时，取得最大值，，故的最大值为1. . （2024届陕西咸阳永寿中学全国高考分科调研模拟测试（二）） 6． 已知椭圆的离心率是双曲线的离心率的倒数，椭圆的左､右焦点分别为，上顶点为，且. (1)求椭圆的方程； (2)当过点的动直线与椭圆相交于两个不同点时，设，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据向量数量积得到关系式，结合离心率以及求解出，则椭圆方程可求； （2）设出坐标，根据向量共线表示出对应坐标关系，再利用点差法结合已知坐标关系进行化简从而得到关于的表示，根据椭圆的有界性可求的范围. 【详解】（1）设点的坐标分别为， 又点的坐标为，且， 所以，解得， 所以椭圆的方程为. （2）设，则依据得， 整理得， 又，故， 得， 即， 当时，此时，即重合，显然不成立，所以， 所以，即， 又，得， 又，故，且， 故实数的取值范围为. （2024-2025中学生标准学术能力诊断性测试高三上期10月测试） 7． 已知函数，则函数的零点个数为（    ） A．2 B．0 C．3 D．无穷 【答案】A 【分析】根据函数表达式确定函数在（）上是增函数且，零点个数转化为函数与的图象交点个数，作出它们的大致图象后，观察可得交点个数，从而得结论． 【详解】由，得在区间上的函数值都是区间上相应函数值的一半，， 又时，是增函数，即， 所以，因此时，， 令，它在上是减函数，，，， 当时，， 作出和在上图象，如图，由图可知： 在时，的图象与的图象没有交点，所以在上，它们只有两个交点， 所以的零点个数为2. 故选：A． （2024-2025湖南湘西高三上期州自检） 8． 已知均为单位向量，且，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用向量的模的计算可得，结合二次函数可求最小值. 【详解】因为均为单位向量，且且， 所以， ， 当时，的最小值为. 故选：B. （2024山东省春季高考济南市第三次模拟考试） 9． 如图所示，正方体的棱长为1，点分别为的中点，则下列说法正确的是（    ） A． 直线与直线垂直 B．直线与平面平行 B． 三棱锥的体积为 D．直线BC与平面所成的角为 【答案】B 【分析】A选项根据正方体的性质判断；对于B，D利用空间向量判断，对于C，利用体积公式求解即可. 【详解】A选项：为正方体，所以，直线与直线不垂直，所以直线与直线不垂直，故A错误； 如图建立空间直角坐标系，则， 对于B，设平面的法向量为，则， 令，则， 因为，所以，所以， 因为在平面外，所以直线与平面平行，所以B正确， 对于C， ，所以三棱锥的体积为，所以C错误， 对于D，，直线BC与平面所成的角为，，所以D错误， 故选：B. 10． 椭圆的离心率为，过椭圆焦点并且垂直于长轴的弦长度为1． (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线与椭圆相交于，两点，与轴相交于点，若存在实数，使得，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据椭圆离心率公式，结合椭圆垂直于长轴的弦长公式进行求解即可； （2）根据直线是否存在斜率，结合平面向量的坐标运算公式、一元二次方程根与系数关系分类讨论进行求解即可. 【详解】（1）因为该椭圆的离心率为，所以有， 在方程中，令，解得， 因为过椭圆焦点并且垂直于长轴的弦长度为1， 所以有，由可得：， 所以椭圆的方程为； （2）当直线不存在斜率时，由题意可知直线与椭圆有两个交点，与纵轴也有两个交点不符合题意； 当直线存在斜率时，设为，所以直线的方程设为， 于是有， 因为该直线与椭圆有两个交点，所以一定有， 化简，得， 设，于是有， 因为， 所以， 代入中，得， 于是有， 化简，得，代入中，得. 【点睛】关键点睛：本题的关键是由向量等式得到. （2025届安徽皖江名校联盟高三上期第一次联考） 11． 已知双曲线C：的离心率为2.且经过点. (1)求C的方程； (2)若直线l与C交于A，B两点，且（点O为坐标原点），求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据离心率以及经过的点即可联立求解曲线方程； （2）联立直线与双曲线方程得韦达定理，进而根据向量的数量积的坐标运算化简得，根据弦长公式，结合不等式即可求解， 【详解】（1）由题意可得，解得， 故双曲线方程为. （2）当直线斜率不存在时，可设， 则， 将其代入双曲线方程， 又，解得， 此时， 当直线斜率存在时，设其方程为，设， 联立， 故， 则 ， 化简得，此时， 所以 ， 当时，此时， 当时，此时， ，故， 因此， 综上可得. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02节 以数辅形三大法宝（代数法、解析法、向量法） 代数法是高中数学中解决几何问题的重要工具之一.它通过建立数学模型，将几何图形的性质转化为代数表达式，从而利用代数运算来解决问题.这种方法不仅能够简化计算过程，还能帮助学生更好地理解几何图形的内在联系和性质.在高中数学中，代数法的应用非常广泛，例如利用坐标系将几何问题转化为代数问题，使用代数方程来表示几何图形的性质，利用函数的概念来研究几何图形的变化规律等. 解析法是高中数学中一种重要的方法，它通过建立数学模型，利用代数方程或不等式来研究几何图形的性质.这种方法将几何问题转化为代数问题，使得问题的解决变得更加直观和易于操作.解析法的核心在于运用坐标系，将几何图形上的点用坐标表示，从而将几何问题转化为坐标点的运算问题.在解析几何中，我们通常会用到直角坐标系，通过点的坐标来描述直线、圆和圆锥曲线等基本图形的方程.通过将这些方程联立，结合韦达定理，我们可以研究图形的位置、大小、形状以及它们之间的相互关系. 向量法，作为高中数学的一大法宝，巧妙地将数与形相结合，为解决复杂问题提供了全新的视角.通过引入向量的概念，我们能够将几何问题转化为代数问题，从而利用代数的运算规律和技巧来求解.在向量法中，向量被赋予了长度和方向两个属性，这使得我们能够更加直观地理解几何图形之间的关系.例如，在解决三角形问题时，我们可以利用向量的加法、减法以及数量积等运算，来求解三角形的边长、角度以及面积等问题.此外，向量法在处理空间几何问题时也显得尤为强大.通过将三维空间中的点、线、面等元素转化为向量，我们能够利用向量的线性运算和共面、共线等性质，来求解空间几何中的各种问题. 类型一 代数法 【典例1】椭圆上的动点到其左焦点的距离的最大值为（ ） A．4    B．5    C．6    D．8 【解题策略】利用椭圆的相关性质，代入椭圆的相关方程，即可利用代数法求解相关问题. 【详细解析】 由题意可知该椭圆的半长轴、半短轴、半焦距分别为， 设， 则，时取得等号. 故选：B. 【典例2】若双曲线的焦点在x轴上，渐近线方程为，虚轴长为，则双曲线的标准方程为 ． 【解题策略】由若双曲线的焦点在x轴上，所以双曲线标准方程可设为，由虚轴长为，可知，再由渐近线方程为，可知，代入即可求解. 【详细解析】 由若双曲线的焦点在x轴上，所以双曲线标准方程可设为：， 由虚轴长为，可知，再由渐近线方程为，可知， 所以双曲线标准方程为：. 故答案为：. 【典例3】当正数a为何值时，抛物线与椭圆有4个不同的交点． 【解题策略】 本例是一道解析几何的常规题．一般情况下，判断曲线交点的个数问题可以通过几何直观得到，但几何直观得到的结论是否一定正确需要通过代数推理加以严格证明．由题意，作出椭圆与抛物线的图形如图所示，由图可知只需即可保证有四个交点，反之，有四个交点是否一定要？而本例要求的是充要条件，一般情况下，仅从图形直观出发得出的结论，常常是片面的，不严密的，只有通过代数运算，推理得到的结论才是正确无误的，我们讲“数形结合”应当从数与形两个维度思考问题，深刻领会华罗庚先生所讲的“数无形时少直觉，形少数时难入微”的内涵． 【详细解析】 将抛物线与椭圆方程联立，得 消去x得关于y的二次方程，两曲线有四个交点， 等价于关于y的二次方程在内有两个不同的解． 记，使方程在内有两个不同解的 充要条件是解得． 【方法归纳】 高中代数法的归纳主要涉及函数、方程与不等式、圆锥曲线等.主要通过函数或者代数式的计算，将复杂的几何问题或者抽象的逻辑问题，转化为代数式进行计算，进而求解问题.学生能够更好地掌握高中代数的核心内容，并在解决具体问题时灵活运用.把代数和几何相结合，它能促进代数问题与图形之间的相互转化，通过改变思维的角度，使我们较快地从所给问题的情境中探究出符合命题目标的某个熟悉的模型，从而迅速、准确、科学地解决问题. 【举一反三】 1． 设线段两端点在抛物线上移动，M为线段的中点，(a为大于零的常数)，求M到y轴的最短距离. （2024-2025广东茂名高三上期10月联考） 2． 已知椭圆与双曲线有公共焦点，与在第一象限的交点为，且. (1) 求与的方程； (2) 记的上顶点为的左顶点为，直线与的另一个交点为，求. 类型二 解析法 【典例1】（2024届陕西省安康中学、高新中学大联考高三模拟）已知双曲线为坐标原点，若直线与双曲线的两条渐近线分别交于点，则内切圆的半径等于（ ） A．    B．    C．    D． 【解题策略】 求出渐近线方程，与直线联立，求出点的坐标，求出的三边长，及点到直线的距离，利用等面积法即可求解内切圆的半径. 【详细解析】 双曲线的渐近线方程为， 联立方程，解得 同理联立，解得， 不妨设， 则， 点到直线的距离， 设内切圆的半径为， 则有， 即， 解得. 故选：C 【典例2】（2024-2025河南豫西北教研联盟（许洛平）高三第一次质量检测）设抛物线的焦点为，直线与的一个交点为，直线与的另一个交点为，则 . 【解题策略】 根据给定条件，联立直线与抛物线的方程求出交点坐标，进而求出点的坐标，再借助抛物线定义求出长. 【详细解析】 抛物线的焦点为，由，解得或， 即点或，当点时，直线，即， 由，得，因此， 显然点与关于轴对称，则当点时，点与点关于轴对称，， 所以. 故答案为： 【典例3】已知定义在上的函数设a、b、c是三个互不相同的实数，且满足，求abc的取值范围． 【解题策略】 函数是上的分段函数，根据函数图象的变化规律可以作出函数在其定义域上的图象，然后由图象求参数的取值范围．求解时对这一等式的运用是关键． 【详细解析】 由题意不妨设，函数在和上分别单调递减， 在上单调递增，且，，，作出函数的简图，如图所示． 由图知．根据题意，即， 则，即，∴．又，故． 【方法归纳】 高中数学解析法主要涉及函数、方程和不等式的解析解法以及圆锥曲线与直线的位置关系求解.解析法通常指的是利用代数运算来求解数学问题的方法.以下是一些常见的解析法应用：如函数图象的绘制：根据函数的解析式，分析函数的性质（如单调性、极值、对称性等），并绘制其图象，进而求解参数；在平面直角坐标系中，表达出点坐标，利用直曲联立求出线段长，进而求解问题.解析法是高中数学中非常重要的解题工具，它要求学生具备扎实的代数基础和逻辑推理能力.掌握解析法可以帮助学生更好地理解和解决各种数学问题. 【举一反三】 （2024~2025辽宁大连市部分学校高三上期10月联考） 3． 已知函数． (1) 若，求函数的最小值； (2) 若函数在区间上是减函数，求实数a的取值范围． （2024-2025河南豫西北教研联盟（许洛平） 4． 设为椭圆的左､右焦点，点在椭圆上，点关于原点的对称点为，四边形的面积为. (1) 求椭圆的方程； (2) 过点作直线与交于两点，的面积为，求的方程. 类型三 向量法 【典例1】（2025届福建省高中毕业班适应性练习卷（二））在中，点是边上一点，若，则的最小值为（ ） A．    B．    C．    D．7 【解题策略】根据给定条件，利用共线向量定理的推论求得，，.，再利用基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【详细解析】 在中，点是边上一点，，则，，. ， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. 故选：B 【典例2】（2024湖南怀化高三下期第二次模拟考试）已知双曲线，过点的直线交双曲线于两点，交轴于点（点与双曲线的顶点不重合），若，则当时，点坐标为 ． 【解题策略】在平面直角坐标系中，直线与双曲线相交问题，时常把两个曲线的方程联立，消去x（或y）建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．设出直线的方程，与双曲线方程联立，利用韦达定理及向量坐标运算结合已知列式求解即得. 【详细解析】 显然直线的斜率存在且不为0，设直线的方程为，则， 由消去y并整理得， ，则且，设， 于是，， 由，得，则， ，而，因此，解得， 所以点坐标为. 故答案为： 【典例3】如图所示，在四棱锥中，平面ABCD，，，，，． 图2-32 （1） 证明； （2） 求二面角的正弦值； （3） 设E为棱PA上的点，满足异面直线BE与CD所成的角为30°，求AE的长． 【解题策略】 本例主要考查空间两条直线的位置关系、二面角、异面直线所成的角、空间两点间的距离，可以用“几何法”求解也可以用“向量法”求解．“几何法”在于由“形”出发，观察“数”的特征，发现平行、垂直等几何关系中的数量关系，经历“作—证—求”的思维转化过程，体会“几何法”中所蕴含的数形结合思想．“向量法”也由“形”出发，把相关的点、线“坐标化”“向量化”，空间图形“向量化”归根结底就是点、线段“向量化”，体会“向量法”中所蕴含的数形结合思想，实践证明，通过建立坐标系，将几何对象坐标化进一步利用向量运算的几何意义，是解决空间几何体中求距离、夹角的好方法． 【详细解析】 （1） 如图所示．以、、为x、y、z正半轴方向， 建立空间直角坐标系，则、、、 ．，，∵，∴． （2） 解法一（几何法）：如图所示，作，垂足为H，联结DH． 由（1）知平面ADH，即为二面角的平面角，记为． 在中，求得，，在中，求得， ．二面角的正弦值为． 解法二：，，设平面PCD的法向量． 则即得取，∴． 是平面PAC的一个法向量．， ．∴二面角的正弦值为． （3） 设，则，， ，解得，故AE的长为． 【方法归纳】 向量法在高中数学中是一个重要的工具，它用于解决向量、平面解析几何和立体几何相关问题.向量是既有大小又有方向的量，通常用有向线段表示.在二维空间中，一个向量可以用两个分量表示；在三维空间中，向量则有三个分量. 向量法除了在解决平面向量问题中可以简化计算，利用平面向量基本定理或坐标系计算外，在其他领域也应用广泛.例如在立体几何中，借助向量可以轻松得出线线、线面和面面的位置关系及角度关系，在解析几何中，可以借助向量知识得出圆锥曲线和直线的位置关系，进而求解角度，面积，定点，定值等问题. 【举一反三】 5． 在直角坐标系中，已知点，点在三边围成的区域（含边界）上， (1) 若，求； (2) 设，用表示，并求的最大值. （2024届陕西咸阳永寿中学全国高考分科调研模拟测试（二）） 6． 已知椭圆的离心率是双曲线的离心率的倒数，椭圆的左､右焦点分别为，上顶点为，且. (1) 求椭圆的方程； (2) 当过点的动直线与椭圆相交于两个不同点时，设，求的取值范围. （2024-2025中学生标准学术能力诊断性测试高三上期10月测试） 7． 已知函数，则函数的零点个数为（    ） A．2 B．0 C．3 D．无穷 （2024-2025湖南湘西高三上期州自检） 8． 已知均为单位向量，且，则的最小值为（   ） A． B． C． D． （2024山东省春季高考济南市第三次模拟考试） 9． 如图所示，正方体的棱长为1，点分别为的中点，则下列说法正确的是（    ） A． 直线与直线垂直 B．直线与平面平行 B． 三棱锥的体积为 D．直线BC与平面所成的角为 10． 椭圆的离心率为，过椭圆焦点并且垂直于长轴的弦长度为1． (1) 求椭圆的标准方程； (2) 若直线与椭圆相交于，两点，与轴相交于点，若存在实数，使得，求的取值范围． （2025届安徽皖江名校联盟高三上期第一次联考） 11． 已知双曲线C：的离心率为2.且经过点. (1) 求C的方程； (2) 若直线l与C交于A，B两点，且（点O为坐标原点），求的取值范围. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$