2025届高考数学思想方法大合集-数形转化和知识板块之间的转化相交融讲义

第02节 数形转化和知识板块之间的转化相交融 数形转化是指将抽象的数学概念、公式或问题通过图形的方式直观地表达出来，便于理解和分析.例如，函数图像可以帮助我们直观地理解函数的性质，几何图形可以直观地展示几何定理和性质.在高中数学的学习过程中，我们经常会遇到各种知识板块相互交融的现象.这种交融不仅仅局限于数学内部的代数、几何、概率统计等分支，更体现在数学中各个分支之间的紧密联系.知识板块之间的转化，实质上是指不同学科或知识领域之间的相互渗透和融合.这种跨分支的融合，不仅能够拓宽我们的知识视野，还能促进创新思维的形成和解决问题的新方法的产生. 类型一 简单类型最值的转化交融 【典例1】（2024届湖北省宜荆荆高三下期五月高考适应性考试）设，其中，则的最小值为（    ） A．    B．    C．    D． 【解题策略】 令，，则可转化为曲线上的点与曲线上的点之间的距离与到直线的距离之和，据此利用导数和三角形不等式即可求解. 【详细解析】 令，，则点在函数图象上，在函数的图象上， 容易知道图象是抛物线图象的上半部分， 记抛物线焦点为，过 作抛物线的准线的垂线，垂足为，如图所示： 则， 当且仅当在线段 上时，取最小值. 设这时点坐标为，又， 所以有，解得 ，即该点为， 所以，因此. 故选：A. 【典例2】已知点，则点P到动直线的最大距离的最小值为 . 【解题策略】 由函数与图象可知点位于图中阴影部分区域，由图可知点到直线最大距离的最小值为函数上切线斜率为1的点到直线的距离的一半，求解即可. 【详细解析】 由，得，又， 当时，，当时，， 令，的定义域为， ，解得：， 令，可得，令，可得， 所以在上单调递减，在上单调递增， ， 函数与图象如下图， 由此可知：可知点位于图中阴影部分区域， 则点到直线最大距离的最小值为函数上切线斜率为1的点到直线的距离的一半. ， 设，得， 点到的距离为. 故答案为：. 【典例3】求函数的最大值． 【解题策略】 本例给出的函数解析式较为复杂（既含偶次根式，又是分式），若拘泥于代数方法解必然产生心理障碍，所以分析习题必须深入一步、有意识地从数和形两个方面进行感知活动，促使数与形之间的转化，可以借助三角换元法发现所给函数的几何意义，可以是定点与动点之间的斜率，即运用直线与半圆的位置关系（相切）求得y的最大值，当然数与形的转化方法也不是唯一的，读者可以从不同的角度想一想、试一试． 【详细解析】 ，由定义知且，∴，故可设，．则有，可看作是动点，（）与定点连线的斜率．而动点M的轨迹方程，即（）是半圆（如图2-25所示）． 图2-25 设切线为AT，T为切点，，，∴， ∴．即函数的值域为，故最大值为． 评析：本题也可如下转化：令，， 则（），求的最大值，即求半圆 （）上的点与原点连线斜率的最大值，易知． 【方法归纳】 数形结合是高中数学中解决几何问题的一种重要方法，它通过将抽象的数学问题转化为直观的图形来帮助我们理解和求解.在求最值问题时，数形结合法可以让我们更直观地看到问题的几何意义，从而找到解决问题的线索. 在实际操作中，数形结合法通常包括以下几个步骤：根据问题条件，画出相应的几何图形.分析图形的性质，找出与求最值相关的几何特征.利用几何定理和性质，推导出最值的条件.结合图形和推导结果，确定最值的位置或数值.通过数形结合法，我们可以将抽象的数学问题具体化，直观化，从而更有效地求解最值问题. 类型二 非常规类型的转化交融 【典例1】（2024届山西吕梁高三第三次模拟考试）设，当变化时的最小值为（ ） A．    B．    C．    D． 【解题策略】 根据题意可得在上，在上，将问题转化为抛物线焦点与上点的距离的最小值，结合抛物线的性质及导数的几何意义求解即可. 【详细解析】 在上，在上， 设到准线的垂线交准线于点，轴于. ， 又为焦点与上点的距离，设， 因为，所以过点的切线的斜率，当与切线垂直时，最小， 所以，，令，显然在上单调递增， 又，所以，所以，所以的最小值为. 故选：C. 【典例2】（2024届四川成都高三下期第三次诊断性检测）已知函数 ，若 存在最小值，且最小值为，则实数 的值为 【解题策略】 求得，令，得到，令，利用导数求得函数的单调性和极大值，分和，两种情况讨论，转化为，求得，即可求解. 【详细解析】 因为函数，可得， 令，可得，令，可得， 当时，可得，此时单调递增， 当时，可得，此时单调递减， 所以，函数的极大值为，当且仅当时，， 所以，可得，如图所示， 当时，有两个实数根，记为， 当时，；当时，， 所以在处取得极大值，不符合题意； 当时，有一个实数根，记为， 当时，；当时，， 所以在处取得极小值，也是最小值， 综上可得，在内取得最小值，即时，函数取得最小值， 所以，即，即， 解得或（舍去），所以. 故答案为：. 【典例3】已知关于x的函数（）的最小值为，求的最小值． 【解题策略】 题中给出的函数并非是常规函数类型，直接运用导数判断函数的单调性并求其最小值难度非常大，我们可以换个角度思考，观察所给函数表达式的特点是两个完全平方的和的形式，容易联想到平面上两点之间距离的平方，于是原问题可化归为求两点，之间的最短距离的平方，那么P、Q两点又有什么特点呢？显然点为函数图像上的一个动点，而点为直线上的一个动点，问题又可归结为两曲线上两个动点之间最小距离的平方，数形结合策略立刻发挥作用了！ 【详细解析】 解法一：不妨设，，则．且点为函数 图像上的一个动点，点为直线的一个动点． 如果将直线向曲线平移，直至与曲线相切， 设切点为P，过点P作直线的垂线，垂足为Q，则此时的值最小， 如图2-27所示． 设切点坐标为，对函数求导得，当时， 图2-27 切线斜率，得．此时得到切点．垂线段的长为．∴的最小值为2． 解法二：设，，则，的最小值即点到直线 的距离的最小值．由点P到直线的距离公式：． 令，求导得．令得，，． 当时，，此时函数单调递增； 当时，，此时函数单调递减； 当时，取得最小值为2．∴，∴的最小值为2． 【方法归纳】 在高中数学中，导数是处理数形结合最值问题的重要工具.通过求导数，我们可以找到函数的极值点，然后通过单调性进而确定函数的最大值和最小值，进而解决问题. （2024届江西新余四中高三下期全真模拟） 1． 函数在定义域上严格单调递增，则的最小值为：（     ）. A． B． C． D． 【答案】D 【分析】令，由复合函数的单调性可知，函数在上为增函数，可得出对任意的恒成立，由参变量分离法可得出，利用导数求出函数的最小值，即可求得实数的最小值. 【详解】当时，则，所以，， 令， 若内层函数在上为增函数， 且外层函数在上为增函数， 由复合函数的单调性可知，函数在上为增函数， 对任意的恒成立， 由参变量分离法可得， 令，其中，且， 令，可得，列表如下： 减 极小值 增 所以，函数在取得极小值，亦即最小值， 即， 所以，，可得，故实数的最小值为， 故选：D. （2024~2025辽宁大连部分学校高三上期10月联考） 2． 已知函数（，且）的图象恒过定点，若点在直线上，则的最小值为（    ） A．13 B． C． D．8 【答案】C 【分析】先得出，再由基本不等式得出答案. 【详解】当时，，即 因为在直线上，所以 当且仅当时，取等号，即的最小值为. 故选：C （2024陕西西安一中高三下期4月月考） 3． 在棱长为2的正方体中，P，Q，R分别为线段，，上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D．5 【答案】A 【分析】过作于，作于，设，把表示为的函数，再利用导数求出函数最小值即得. 【详解】在正方体中，，在平面内过作于，作于， 设，显然，则， 四边形为矩形，于是， 由，得平面，由，得平面， 则，当确定后，最小时，最小，当时，最小， 而，则， 同理，当确定后，最小，最小，则当时，最小， 而，则， 因此，令， 求导得，由，得， 当时，，当时，，即函数在上递减，在上递增， 则，所以的最小值为. 故选：A 【点睛】关键点点睛：过作出所在正方形面的垂线，再分析求出函数关系式是解决本问题的关键. （2024湘豫名校联考高三下期第三次模拟） 4． 已知实数m，n满足，则的最大值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】设，，转化为，利用直线与圆的位置关系得到，得到所以，令，求导得到函数单调性，求出最大值 【详解】令，，则条件化为， 即，，为半圆， 令， 画出图形如下： 显然当经过圆心时，， 圆心到的距离，解得，负值舍去， 故. 则.所以， 所以， 令，则当时，， 于是在上单调递增，所以. 综上所述，的最大值为2. 故选：B. （2025届江苏苏州部分学校高三7月适应性模拟演练） 5． 已知，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】设，则，将已知式子表示为关于的二次函数，利用二次函数性质求得在的最小值，即可求解． 【详解】设，则， 则 ， 设，根据得，， 则， 当时，有最小值， 则当，即时，取得最小值. 故答案为： 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02节 数形转化和知识板块之间的转化相交融 数形转化是指将抽象的数学概念、公式或问题通过图形的方式直观地表达出来，便于理解和分析.例如，函数图像可以帮助我们直观地理解函数的性质，几何图形可以直观地展示几何定理和性质.在高中数学的学习过程中，我们经常会遇到各种知识板块相互交融的现象.这种交融不仅仅局限于数学内部的代数、几何、概率统计等分支，更体现在数学中各个分支之间的紧密联系.知识板块之间的转化，实质上是指不同学科或知识领域之间的相互渗透和融合.这种跨分支的融合，不仅能够拓宽我们的知识视野，还能促进创新思维的形成和解决问题的新方法的产生. 类型一 简单类型最值的转化交融 【典例1】（2024届湖北省宜荆荆高三下期五月高考适应性考试）设，其中，则的最小值为（    ） A．    B．    C．    D． 【解题策略】 令，，则可转化为曲线上的点与曲线上的点之间的距离与到直线的距离之和，据此利用导数和三角形不等式即可求解. 【详细解析】 令，，则点在函数图象上，在函数的图象上， 容易知道图象是抛物线图象的上半部分， 记抛物线焦点为，过 作抛物线的准线的垂线，垂足为，如图所示： 则， 当且仅当在线段 上时，取最小值. 设这时点坐标为，又， 所以有，解得 ，即该点为， 所以，因此. 故选：A. 【典例2】已知点，则点P到动直线的最大距离的最小值为 . 【解题策略】 由函数与图象可知点位于图中阴影部分区域，由图可知点到直线最大距离的最小值为函数上切线斜率为1的点到直线的距离的一半，求解即可. 【详细解析】 由，得，又， 当时，，当时，， 令，的定义域为， ，解得：， 令，可得，令，可得， 所以在上单调递减，在上单调递增， ， 函数与图象如下图， 由此可知：可知点位于图中阴影部分区域， 则点到直线最大距离的最小值为函数上切线斜率为1的点到直线的距离的一半. ， 设，得， 点到的距离为. 故答案为：. 【典例3】求函数的最大值． 【解题策略】 本例给出的函数解析式较为复杂（既含偶次根式，又是分式），若拘泥于代数方法解必然产生心理障碍，所以分析习题必须深入一步、有意识地从数和形两个方面进行感知活动，促使数与形之间的转化，可以借助三角换元法发现所给函数的几何意义，可以是定点与动点之间的斜率，即运用直线与半圆的位置关系（相切）求得y的最大值，当然数与形的转化方法也不是唯一的，读者可以从不同的角度想一想、试一试． 【详细解析】 ，由定义知且，∴，故可设，．则有，可看作是动点，（）与定点连线的斜率．而动点M的轨迹方程，即（）是半圆（如图2-25所示）． 图2-25 设切线为AT，T为切点，，，∴， ∴．即函数的值域为，故最大值为． 评析：本题也可如下转化：令，， 则（），求的最大值，即求半圆 （）上的点与原点连线斜率的最大值，易知． 【方法归纳】 数形结合是高中数学中解决几何问题的一种重要方法，它通过将抽象的数学问题转化为直观的图形来帮助我们理解和求解.在求最值问题时，数形结合法可以让我们更直观地看到问题的几何意义，从而找到解决问题的线索. 在实际操作中，数形结合法通常包括以下几个步骤：根据问题条件，画出相应的几何图形.分析图形的性质，找出与求最值相关的几何特征.利用几何定理和性质，推导出最值的条件.结合图形和推导结果，确定最值的位置或数值.通过数形结合法，我们可以将抽象的数学问题具体化，直观化，从而更有效地求解最值问题. 类型二 非常规类型的转化交融 【典例1】（2024届山西吕梁高三第三次模拟考试）设，当变化时的最小值为（ ） A．    B．    C．    D． 【解题策略】 根据题意可得在上，在上，将问题转化为抛物线焦点与上点的距离的最小值，结合抛物线的性质及导数的几何意义求解即可. 【详细解析】 在上，在上， 设到准线的垂线交准线于点，轴于. ， 又为焦点与上点的距离，设， 因为，所以过点的切线的斜率，当与切线垂直时，最小， 所以，，令，显然在上单调递增， 又，所以，所以，所以的最小值为. 故选：C. 【典例2】（2024届四川成都高三下期第三次诊断性检测）已知函数 ，若 存在最小值，且最小值为，则实数 的值为 【解题策略】 求得，令，得到，令，利用导数求得函数的单调性和极大值，分和，两种情况讨论，转化为，求得，即可求解. 【详细解析】 因为函数，可得， 令，可得，令，可得， 当时，可得，此时单调递增， 当时，可得，此时单调递减， 所以，函数的极大值为，当且仅当时，， 所以，可得，如图所示， 当时，有两个实数根，记为， 当时，；当时，， 所以在处取得极大值，不符合题意； 当时，有一个实数根，记为， 当时，；当时，， 所以在处取得极小值，也是最小值， 综上可得，在内取得最小值，即时，函数取得最小值， 所以，即，即， 解得或（舍去），所以. 故答案为：. 【典例3】已知关于x的函数（）的最小值为，求的最小值． 【解题策略】 题中给出的函数并非是常规函数类型，直接运用导数判断函数的单调性并求其最小值难度非常大，我们可以换个角度思考，观察所给函数表达式的特点是两个完全平方的和的形式，容易联想到平面上两点之间距离的平方，于是原问题可化归为求两点，之间的最短距离的平方，那么P、Q两点又有什么特点呢？显然点为函数图像上的一个动点，而点为直线上的一个动点，问题又可归结为两曲线上两个动点之间最小距离的平方，数形结合策略立刻发挥作用了！ 【详细解析】 解法一：不妨设，，则．且点为函数 图像上的一个动点，点为直线的一个动点． 如果将直线向曲线平移，直至与曲线相切， 设切点为P，过点P作直线的垂线，垂足为Q，则此时的值最小， 如图2-27所示． 设切点坐标为，对函数求导得，当时， 图2-27 切线斜率，得．此时得到切点．垂线段的长为．∴的最小值为2． 解法二：设，，则，的最小值即点到直线 的距离的最小值．由点P到直线的距离公式：． 令，求导得．令得，，． 当时，，此时函数单调递增； 当时，，此时函数单调递减； 当时，取得最小值为2．∴，∴的最小值为2． 【方法归纳】 在高中数学中，导数是处理数形结合最值问题的重要工具.通过求导数，我们可以找到函数的极值点，然后通过单调性进而确定函数的最大值和最小值，进而解决问题. （2024届江西新余四中高三下期全真模拟） 1． 函数在定义域上严格单调递增，则的最小值为：（     ）. A． B． C． D． （2024~2025辽宁大连部分学校高三上期10月联考） 2． 已知函数（，且）的图象恒过定点，若点在直线上，则的最小值为（    ） A．13 B． C． D．8 （2024陕西西安一中高三下期4月月考） 3． 在棱长为2的正方体中，P，Q，R分别为线段，，上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D．5 （2024湘豫名校联考高三下期第三次模拟） 4． 已知实数m，n满足，则的最大值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 （2025届江苏苏州部分学校高三7月适应性模拟演练） 5． 已知，则的最小值为 ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$