2025届高考数学思想方法大合集-实现数形结合的关键讲义

第01节 实现数形结合的关键是转化 数形结合是高中数学中一个非常重要的思想方法,关键在于将抽象的数学问题转化为直观的几何图形,或者反过来,通过几何图形来理解抽象的数学概念. 例如,通过数形结合将零点问题转化为两函数的交点;通过作出函数的图象得出交点位置进而求解范围;通过函数表达式得出函数图象或者通过函数图象得出函数的表达式等.总之,数形结合能够帮助我们更直观地理解数学问题,提高解题效率和准确性. 类型一 零点问题的转化 【典例1】(2025届九师联盟高三上学期10月联考)已知关于的方程有两个不相等的实数解,则正实数的取值范围是( ) A. B. C. D. 【解题策略】 先设函数,再把两个不相等的实数解转化为函数有两个交点,数形结合列式求解即可. 【详细解析】 由,记. 因为在上单调递减,在上单调递增, 所以的最小值为,结合图象知,若函数与的图象有两个交点, 即原方程有两个不相等的实数解,则需,解得. 故选:A. 【典例2】(2025届江西抚州部分学校高三上期一轮复习联考(一))方程的根的个数是 . 【解题策略】 方程的根的个数即函数和图象交点的个数,分别在同一直角坐标系下作出两个函数的图象即可求解. 【详细解析】 设函数和, 由为偶函数,周期, ,,,,, ,,, 可作出函数和的大致图象,如图, 由图可得,两个函数的图象共有6个交点,即方程的根有6个, 故答案为:6. 【典例3】(2024届广东汕头潮南高三下期高考考前测试)已知函数. (1) 若曲线在处的切线与轴垂直,求的极值. (2) 若在只有一个零点,求. 【解题策略】 (1) 求出函数的导数,结合几何意义求出,再分析单调性求出极值. (2) 由函数零点的意义,等价变形得在只有一解,转化为直线与函数图象只有一个交点求解. 【详细解析】 (1) 函数的定义域为R,求导得,, 依题意,,则,, 当时,,当时,, 因此函数在上单调递减,在上单调递增, 所以函数在处取得极小值,无极大值. (2) 函数在只有一个零点,等价于在只有一个零点, 设,则函数在只有一个零点,当且仅当在只有一解, 即在只有一解,于是曲线与直线只有一个公共点, 令,求导得,当时,,当时,, 因此函数在上单调递减,在上单调递增, 函数在取得极小值同时也是最小值, 当时,;当时,, 画山大致的图象,如图, 在只有一个零点时,, 所以在只有一个零点时,. 【方法归纳】 数形结合转化零点问题是指利用函数图象来解决与零点相关的问题. 首先,我们需要根据题目条件,将零点问题转化成两个函数的交点问题,并分析出具体的函数.然后,作出两个函数的大致图象,通过图象来观察函数零点的位置和数量.进而,利用图象的交点来确定零点,解决问题. 【举一反三】 (2025届山东济南高三上期开学摸底考试) 1. 直线与曲线 的交点个数为( ) A.2 B.3 C.4 D.5 【答案】A 【分析】由题意知要求交点即求函数的零点,等价于求的零点,等价于求和两函数交点,作出相关图形,利用数型结合从而可求解. 【详解】由题意可得,所以其与直线的交点, 等价于求的零点,等价于的零点, 等价于求函数与函数的交点, 易得函数为周期为2的函数,且时,, 所以是函数的一个对称中心, 对于,, 所以关于点对称,且为增函数,为增函数, 所以在,上单调递增, 所以可以作出和图象如下图, 由图可得其有2个交点,故A正确. 故选:A. (2024届江苏徐州三中高三迎一检复习试题(四)) 2. 已知函数是定义在R上偶函数,当时,,若函数仅有4个零点,则实数的取值范围是( ) A. B. C. D. 【答案】A 【分析】首先根据的性质画出函数图象,然后把函数仅有4个零点,转化为函数与的图象有4个交点,数形结合即可求解. 【详解】当时,,此时单调递增, 当时,,此时单调递减, 又函数是定义在R上偶函数,其图象关于y轴对称作出函数图象: 因为函数仅有4个零点,所以函数与的图象有4个交点, 根据图象可知:,即实数的取值范围是. 故选:A. 类型二 范围问题的转化 【典例1】(2024-2025辽宁本溪一中学年高三上期假期验收考试)设函数定义域为,为奇函数,为偶函数,当时,,则下列结论错误的是( ) A. B.为奇函数 B. 在上是减函数 D.方程仅有个实数解 【解题策略】 根据与的奇偶性可判断函数的对称性与周期性,从而作出函数图象,数形结合判断各选项. 【详细解析】 为奇函数,即,关于点对称, 又为偶函数,即,关于直线对称, 所以,即, 所以, 即函数的最小正周期为, A 选项:,A选项正确; B 选项:,所以为奇函数,B选项正确; C 选项:由当时,,所以,所以在上单调递增,C选项错误; D 选项:由,得 作出函数及图象如图所示, 由已知函数的值域为,且, 当时,,函数与无公共点, 当时,由图象可知函数与函数有个公共点, 即有个解,D选项正确; 故选:C. 【典例2】(2024-2025上海嘉定一中高三上学期数学测试卷三)已知函数,若,且,则的取值范围是 . 【解题策略】 画出的图象,数形结合可得,,故,然后利用对勾函数的单调性即可求出答案. 【详细解析】 的图象如下: 因为且,所以且, 所以,所以,故, 由对勾函数在上单调递减,所以, 所以的取值范围是. 故答案为: 【典例3】已知函数. (1) 若关于轴对称,求; (2) 当时,讨论的单调性; (3) 若在上恒成立,求的最小值. 【解题策略】(1)由是偶函数,通过即可求解; (4) 由得,画出函数的图象即可判断单调性; (5) 根据题意得,,,证明当,时,当,时,当,时恒成立,则当时取等号,再证明在恒成立即可. 【详细解析】 (1) 因为是偶函数, 所以, 即, 则,解得:. (2) 当时, 则, 当时,,对称轴为, 结合图象,易知的单调递增区间为,, 的单调递减区间为:,. (3) 先证, 因为对任意,都有恒成立, 即对任意,都有恒成立, 所以, 且对任意实数,,恒成立, 1 当,时, 恒成立, 2 当,时, 恒成立, 3 当,时, 由恒成立, 则,当时取等号. 再证,当时,对一切时恒成立, 当时,, 因为, 所以, 所以, 综上所述,函数在的最大值为,则的最小值为1. 【方法归纳】 数形结合转化范围问题涉及将抽象的数学问题通过图形化手段来简化和解决.例如,在处理高中数学中的不等式问题时,可以借助函数图象来直观地确定解集的范围;交点问题中,通过做出函数的图象得出交点,进而求解参数的范围.通过图形的辅助,可以更清晰地把握问题的关键,简化求解步骤. 【举一反三】 (2025届安徽江淮十校高三第一次联考(一模)) 3. 已知函数,若不等式的解集中恰有两个不同的正整数解,则实数的取值范围是( ) A. B. B. D. 【答案】C 【分析】不等式可化为,利用导数分析函数的单调性,作函数,的图象,由条件结合图象列不等式求的取值范围. 【详解】函数的定义域为, 不等式化为:. 令,,, 故函数在上单调递增,在上单调递减. 当时,,当时,, 当时,, 当时,,当,且时,, 画出及的大致图象如下, 因为不等式的解集中恰有两个不同的正整数解, 故正整数解为. 故, 即. 故. 故选:C. (2024-2025浙江浙南名校联盟高三上学期第一次联考(10月)) 4. 将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的,纵坐标变为原来的2倍,得到函数的图象,若在上只有一个极大值点,则 的最大值为( ) A.2 B.3 C.4 D.5 【答案】B 【分析】根据伸缩变换规则可得,再由余弦函数图象性质以及极值点个数解不等式可得结果. 【详解】由题可知, 当时,, 若在上只有一个极大值点, 则由的图像可得, 解得, 因为,所以的最大值为3. 故选:B. 类型三 图象问题的转化 【典例1】(2024-2025湖南郴州高三上学期第一次模拟)函数的图象大致为( ) A. B. C. D. 【解题策略】 利用定义判断函数奇偶性,并判断在上函数值符号,即可得确定图象. 【详细解析】 由解析式,知的定义域为, , 所以为奇函数, 当时,,, 则, 所以,在上, 结合各项函数图象,知:C选项满足要求. 故选:C 【典例2】(2024届山东青岛高三第三次适应性检测)如图,函数 的部分图象如图所示,已知点为的零点,点为的极值点,,则函数的解析式为 . 【解题策略】 结合正弦函数的周期及向量数量积公式计算可得,再由函数零点可得,即可得解析式. 【详细解析】 由图可得,又,则,, ,则,, 则,化简得, 又,则,则有, 解得,又,则, 即. 故答案为:. 【典例3】(2024届上海浦东新区高三下期三模)已知,其中,. (1) 若,函数的最小正周期T为,求函数的单调减区间; (2) 设函数的部分图象如图所示,其中,,求函数的最小正周期T,并求的解析式. 【解题策略】 (1) 根据求出,求出的解析式,利用整体代换法计算即可求解; (2) 由图可知,,利用平面向量数量积的定义和坐标表示求出,进而求,将点D代入解析式计算即可求解. 【详细解析】 (1) 由题,,解得,故. 令, 所以的单调减区间为. (2) 由题,可得,, 因此,,又,得. 由,得. 再将代入,即. 由,解得. 因此的解析式为. 【方法归纳】 数形结合是高中数学中一个重要的思想方法,它通过将抽象的数学问题与直观的图形结合起来,帮助我们更好地理解和解决问题.常有利用基本函数的性质求函数的图象或利用图象的交点、对称性等求解函数表达式.无论是哪种题型,结合具体的题目条件和已知信息,利用函数性质,借助函数的图象,可以求出相应的图象或函数表达式. 【举一反三】 5. 函数的图象大致是( ) A. B. C. D. 【答案】A 【分析】求出函数的零点排除两个选项,再求出函数的极大值,结合图形即可判断得解. 【详解】函数定义域为R,由,得或,即函数有两个零点,BC错误; ,当时,,当时,, 函数在上单调递增,在上单调递减, 因此函数在处取得极大值,D错误,A符合题意. 故选:A 6. 心形代表浪漫的爱情,人们用它来向所爱之人表达爱意.一心形作为建筑立面造型,呈现出优雅的弧度,心形木屋融入山川,河流,森林,草原,营造出一个精神和自然聚合的空间.图是由此抽象出来的一个“心形”图形,这个图形可看作由两个函数的图象构成,则“心形”在轴上方的图象对应的函数解析式可能为( ) A. B. B. D. 【答案】C 【分析】根据奇偶性和最值排除错误答案即可. 【详解】A选项:,故A错误; B. 选项:记,则,故为奇函数, 不符合题意,故B错误; C. 选项:记,则, 故为偶函数, 当时,, 此函数在上单调递增,在上单调递减, 且,故C正确; D. 选项:记,则, 故既不是奇函数也不是偶函数,不符合题意,故D错误. 故选:C. (2024届九师联盟高三下期3月质量检测) 7. 已知函数,将的图象向左平移个单位长度,得到函数的图象,若关于x的方程在区间上有5个实数根,,,,,则( ) A. B. C. D. 【答案】D 【分析】根据平移求得的解析式,画出和的大致图象,由对称性求得,,,,,之间的关系,进而得解. 【详解】由题意知, 画出的图象以及的图象(如图所示), 与的图象在上有5个交点, 这5个交点的横坐标即为方程在上的5个实数根,,,,, 易知,,关于对称,,关于对称, ,关于对称,,关于对称, 所以,,,, 所以,故D正确. 故选:D. (2025届福建泉州高中毕业班适应性练习卷) 8. 函数的零点数量至多为( ) A.0 B.1 C.2 D.3 【答案】C 【分析】转化为与图象的交点,然后画图分情况讨论即可 【详解】由,得,令和, 所以的零点可转化为与图象的交点, 当时,在上为减函数,所以与图象只有一个交点, 当时,当时,两函数图象有2个交点,当逐渐增大时,交点从2个变为1个,到0个, 所以的零点数量至多为2, 故选:C. 【点睛】关键点点睛:本小题主要考查零点的概念和函数的单调性等知识;解题的关键是转化为与图象的交点,考查推理论证能力、运算求解能力等;考查数形结合思想、化归与转化思想等;体现基础性和综合性,导向对发展直观想象、数学运算等核心素养的关注. (2024届福建泉州五中高三高考热身测试) 9. 已知函数,若不等式的解集中有且仅有一个整数,则实数的取值范围是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【分析】利用导数求出函数的单调区间和极值,作出函数的大致图象,结合题意可知只有一个整数解,再由图象可得结论. 【详解】易知函数的定义域为,且, 当时,;当时,, 所以在上单调递增,在上单调递减; 即, 又当趋近于时,趋近于,当趋近于时,且趋近于; 作出函数的图象如下图所示: 易知恒过定点, 由不等式的解集中有且仅有一个整数可知只有一个整数解; 令,利用一次函数图象性质可知, 当时,在上恒成立,不合题意; 当时,若只有1个整数解,因此整数必为1; 所以可得,即,解得; 即实数的取值范围是. 故选:B (2024届天津四十七中高三下期高考模拟) 10. 已知函数的部分图象如图所示,则的解析式可能为( ) A. B. B. D. 【答案】B 【分析】根据题意,由给定的函数的图象,结合函数的单调性与奇偶性性质,结合排除法,即可求解. 【详解】对于A中,函数,当时,可得, 所以,不满足图象,所以A错误; 对于C中,函数的定义域为, 又由,所以函数为偶函数, 此时函数的图象关于轴对称,所以C错误; 对于D中,函数,当时,可得, 由反比例函数的性质,可得函数在上为单调递减函数,所以D错误, 经检验,选项B中函数满足图中的性质,所以B正确. 故选:B. (2024届安徽合肥一六八中高三最后一卷) 11. 函数(为自然函数的底数)的图象大致为( ) A. B. C. D. 【答案】A 【分析】由函数的奇偶性可排除B,C;再由趋近,,排除D,即可得出答案. 【详解】的定义域为, , 所以为奇函数,故排除B,C; 当趋近,,所以,, 所以,故排除D. 故选:A. 试卷第1页,共3页 试卷第1页,共3页 学科网(北京)股份有限公司 $$ 第01节 实现数形结合的关键是转化 数形结合是高中数学中一个非常重要的思想方法，关键在于将抽象的数学问题转化为直观的几何图形，或者反过来，通过几何图形来理解抽象的数学概念. 例如，通过数形结合将零点问题转化为两函数的交点；通过作出函数的图象得出交点位置进而求解范围；通过函数表达式得出函数图象或者通过函数图象得出函数的表达式等.总之，数形结合能够帮助我们更直观地理解数学问题，提高解题效率和准确性. 类型一 零点问题的转化 【典例1】（2025届九师联盟高三上学期10月联考）已知关于的方程有两个不相等的实数解，则正实数的取值范围是（ ） A．    B．    C．    D． 【解题策略】 先设函数，再把两个不相等的实数解转化为函数有两个交点，数形结合列式求解即可. 【详细解析】 由，记． 因为在上单调递减，在上单调递增， 所以的最小值为，结合图象知，若函数与的图象有两个交点， 即原方程有两个不相等的实数解，则需，解得． 故选：A． 【典例2】（2025届江西抚州部分学校高三上期一轮复习联考（一））方程的根的个数是 . 【解题策略】 方程的根的个数即函数和图象交点的个数，分别在同一直角坐标系下作出两个函数的图象即可求解. 【详细解析】 设函数和， 由为偶函数，周期， ，，，，， ，，， 可作出函数和的大致图象，如图， 由图可得，两个函数的图象共有6个交点，即方程的根有6个， 故答案为：6. 【典例3】（2024届广东汕头潮南高三下期高考考前测试）已知函数. （1） 若曲线在处的切线与轴垂直，求的极值. （2） 若在只有一个零点，求. 【解题策略】 （1） 求出函数的导数，结合几何意义求出，再分析单调性求出极值. （2） 由函数零点的意义，等价变形得在只有一解，转化为直线与函数图象只有一个交点求解. 【详细解析】 （1） 函数的定义域为R，求导得，， 依题意，，则，， 当时，，当时，， 因此函数在上单调递减，在上单调递增， 所以函数在处取得极小值，无极大值. （2） 函数在只有一个零点，等价于在只有一个零点， 设，则函数在只有一个零点，当且仅当在只有一解， 即在只有一解，于是曲线与直线只有一个公共点， 令，求导得，当时，，当时，， 因此函数在上单调递减，在上单调递增， 函数在取得极小值同时也是最小值， 当时，；当时，， 画山大致的图象，如图， 在只有一个零点时，， 所以在只有一个零点时，. 【方法归纳】 数形结合转化零点问题是指利用函数图象来解决与零点相关的问题. 首先，我们需要根据题目条件，将零点问题转化成两个函数的交点问题，并分析出具体的函数.然后，作出两个函数的大致图象，通过图象来观察函数零点的位置和数量.进而，利用图象的交点来确定零点，解决问题. 【举一反三】 （2025届山东济南高三上期开学摸底考试） 1． 直线与曲线 的交点个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 （2024届江苏徐州三中高三迎一检复习试题（四）） 2． 已知函数是定义在R上偶函数，当时，，若函数仅有4个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 类型二 范围问题的转化 【典例1】（2024-2025辽宁本溪一中学年高三上期假期验收考试）设函数定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，，则下列结论错误的是（ ） A．     B．为奇函数 B． 在上是减函数    D．方程仅有个实数解 【解题策略】 根据与的奇偶性可判断函数的对称性与周期性，从而作出函数图象，数形结合判断各选项. 【详细解析】 为奇函数，即，关于点对称， 又为偶函数，即，关于直线对称， 所以，即， 所以， 即函数的最小正周期为， A 选项：，A选项正确； B 选项：，所以为奇函数，B选项正确； C 选项：由当时，，所以，所以在上单调递增，C选项错误； D 选项：由，得 作出函数及图象如图所示， 由已知函数的值域为，且， 当时，，函数与无公共点， 当时，由图象可知函数与函数有个公共点， 即有个解，D选项正确； 故选：C. 【典例2】（2024-2025上海嘉定一中高三上学期数学测试卷三）已知函数，若，且，则的取值范围是 . 【解题策略】 画出的图象，数形结合可得，，故，然后利用对勾函数的单调性即可求出答案. 【详细解析】 的图象如下： 因为且，所以且， 所以，所以，故， 由对勾函数在上单调递减，所以， 所以的取值范围是. 故答案为： 【典例3】已知函数. （1） 若关于轴对称，求； （2） 当时，讨论的单调性； （3） 若在上恒成立，求的最小值. 【解题策略】（1）由是偶函数，通过即可求解； （4） 由得，画出函数的图象即可判断单调性； （5） 根据题意得，，，证明当，时，当，时，当，时恒成立，则当时取等号，再证明在恒成立即可. 【详细解析】 （1） 因为是偶函数， 所以， 即， 则，解得：. （2） 当时， 则， 当时，，对称轴为， 结合图象，易知的单调递增区间为，， 的单调递减区间为：，. （3） 先证， 因为对任意，都有恒成立， 即对任意，都有恒成立， 所以， 且对任意实数，，恒成立， 1 当，时， 恒成立， 2 当，时， 恒成立， 3 当，时， 由恒成立， 则，当时取等号. 再证，当时，对一切时恒成立， 当时，， 因为， 所以， 所以， 综上所述，函数在的最大值为，则的最小值为1. 【方法归纳】 数形结合转化范围问题涉及将抽象的数学问题通过图形化手段来简化和解决.例如，在处理高中数学中的不等式问题时，可以借助函数图象来直观地确定解集的范围；交点问题中，通过做出函数的图象得出交点，进而求解参数的范围.通过图形的辅助，可以更清晰地把握问题的关键，简化求解步骤. 【举一反三】 （2025届安徽江淮十校高三第一次联考（一模）） 3． 已知函数，若不等式的解集中恰有两个不同的正整数解，则实数的取值范围是（    ） A． B． B． D． （2024-2025浙江浙南名校联盟高三上学期第一次联考（10月）） 4． 将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标变为原来的2倍，得到函数的图象，若在上只有一个极大值点，则ω的最大值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 类型三 图象问题的转化 【典例1】（2024-2025湖南郴州高三上学期第一次模拟）函数的图象大致为（ ） A．    B． C．    D． 【解题策略】 利用定义判断函数奇偶性，并判断在上函数值符号，即可得确定图象. 【详细解析】 由解析式，知的定义域为， ， 所以为奇函数， 当时，，， 则， 所以，在上， 结合各项函数图象，知：C选项满足要求. 故选：C 【典例2】（2024届山东青岛高三第三次适应性检测）如图，函数 的部分图象如图所示，已知点为的零点，点为的极值点，，则函数的解析式为 . 【解题策略】 结合正弦函数的周期及向量数量积公式计算可得，再由函数零点可得，即可得解析式. 【详细解析】 由图可得，又，则，， ，则，， 则，化简得， 又，则，则有， 解得，又，则， 即. 故答案为：. 【典例3】（2024届上海浦东新区高三下期三模）已知，其中，. （1） 若，函数的最小正周期T为，求函数的单调减区间； （2） 设函数的部分图象如图所示，其中，，求函数的最小正周期T，并求的解析式. 【解题策略】 （1） 根据求出，求出的解析式，利用整体代换法计算即可求解； （2） 由图可知，，利用平面向量数量积的定义和坐标表示求出，进而求，将点D代入解析式计算即可求解. 【详细解析】 （1） 由题，，解得，故. 令， 所以的单调减区间为. （2） 由题，可得，， 因此，，又，得. 由，得. 再将代入，即. 由，解得. 因此的解析式为. 【方法归纳】 数形结合是高中数学中一个重要的思想方法，它通过将抽象的数学问题与直观的图形结合起来，帮助我们更好地理解和解决问题.常有利用基本函数的性质求函数的图象或利用图象的交点、对称性等求解函数表达式.无论是哪种题型，结合具体的题目条件和已知信息，利用函数性质，借助函数的图象，可以求出相应的图象或函数表达式. 【举一反三】 5． 函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 6． 心形代表浪漫的爱情，人们用它来向所爱之人表达爱意.一心形作为建筑立面造型，呈现出优雅的弧度，心形木屋融入山川，河流，森林，草原，营造出一个精神和自然聚合的空间.图是由此抽象出来的一个“心形”图形，这个图形可看作由两个函数的图象构成，则“心形”在轴上方的图象对应的函数解析式可能为（    ） A． B． B． D． （2024届九师联盟高三下期3月质量检测） 7． 已知函数，将的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，若关于x的方程在区间上有5个实数根，，，，，则（    ） A． B． C． D． （2025届福建泉州高中毕业班适应性练习卷） 8． 函数的零点数量至多为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 （2024届福建泉州五中高三高考热身测试） 9． 已知函数，若不等式的解集中有且仅有一个整数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． （2024届天津四十七中高三下期高考模拟） 10． 已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（    ） A． B． B． D． （2024届安徽合肥一六八中高三最后一卷） 11． 函数（为自然函数的底数）的图象大致为（    ） A．   B．   C．   D．   试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$