第一章 1 锐角三角函数-【支点·同步系列】2024-2025学年九年级下册数学（北师大版）

第一章 直角三角形的边角关系 1 锐角三角函数 第1课时 正切 要点提示 1.正切的定义:如图①,在Rt△ABC中.C一90{},锐角A的对边与都边 ### 2.坡度与坡角:(1)如图②,我们通常把坡面的铅直高度h与水平宽度1的 图① 围 01 ....... 固基础 ......... 知识点1锐角的正切 1.(2024云南)在Rt△ABC中,B-90{*},已 知AB-3,BC-4,则tanA的值为 ) D 知识点2 正切与梯子的倾斜程度的关系 2.如图,将△ABC放在每个小正方形的边长 5.如图所示的是甲、乙两个自动扶梯的截面示 都为1的网格中,点A,B,C均在格点上,则 意图, (填“甲”或“乙”)自动扶梯 tanC的值是 C ) 比较陆. A.2 10 5m 6m C.1 12m 乙 第5题图 #。# 知识点③坡度 6.如图,某河堤迎水坡AB的坡比i= A.B 2 第2题图 第3题图 间的水平距离AC一6m,则坡面AB的长是 3.如图,在Rt△ABC中,C=90{*},BC=30 _ ) A.1m tanB3 ,则AC= B.9m C.3/5m 4.(教材第4页题2变式)如右图,在 D.2v10m Rt△ABC中, C=90*,AB=26. 5 tanA- 2.求AC和BC的长. 第6题图 第7题图 ①2 下册第一章 7.如图,一座公路桥离地面的高度AC为6m. (1)cot30*= 引桥AB的水平宽度BC为24m.为降低坡 度,现决定将引桥坡面改为AD,使其坡度为 1.6,则BD的长为 m. cotA的值. B 易错点 对正切及坡度的概念理解不清 而致错 & 8.在如图所示的滑梯中,滑板 AB的长度为2/2m,滑梯 的高度AC为2m,则滑梯滑 ...C B 板的坡度为 , 第8题图 2提能力 9.如图,将矩形ABCD沿EF折叠,使顶点C ......... 3拓思维 恰好落在AB边的中点C'上.若AB=4.BC ......... -8,则tan BFC的值为 ( ) 13.如右图,在Rt△ABCB B# C# D.# 中, A-90*,BC的垂 直平分线交BC于点 F.交AC于点D.连接BD,延长AC至点 E.使CE-AB (1)若AE=1,求△ABD的周长; 第9题图 第10题图 10.如图,AD是△ABC的高,BD=2CD=6; C tanC-2,则边AB的长为 -~ A.3/② B.35 C.6/② D.3/7 11. 如图,在Rt△AOB中, AOB=90{,顶点A.B分 别在反比例函数y-(x> .(<o)的图象上. 第11题图 )与y一 2 若tanBAO的值为 ,则的值是 12.如下图,定义:在Rt△ABC中,锐角A的邻 边与对边的比叫做A的余切,记作cotA. 即cotA-A的邻边AC A的对边 BC根据上述角的 余切定义,解答下列问题; 数学 九年级BS版 第2课时 正弦和余弦 要点提示 1.正弦、余弦与三角函数的定义:(1)如图①,在Rt△ABC中,A的对边与 斜过。__ 斜边 图①,在Rt△ABC中, A的舞边与斜边的眈叫做 A的余魏,记作cosA. 图① 图② 斜边 2.梯子的倾斜程度与三角函数值的关系:如图②,如果AB表示靠墙倾斜的梯子,那么tan BAC的值趁大,梯子 越楚;sin BAC的值越大,梯子越陵;cos BAC的值越小,梯子健 固基础 ......... ........ 知识点1正弦和余弦 1.在RtABC中,若 C-90*,AC-2/②,AB -3,则cosA的值为 __ 2.在等腰三角形ABC中,AB-AC-5,BC 6.则sinA的值为 知识点③ 知识点2锐角三角函数 梯子的倾斜程度与三角函数值的 关系 3.(2024上海浦东新区模拟)图①是第七届国际 5.如图,梯子与地面所成的锐角为a.关于a的 数学教育大会(ICME)会徽,在其主体图案中 三角函数值与梯子的倾斜程度之间的关系 选择两个相邻的直角三角形,恰好能组合得 下列叙述正确的是 ) 到如图②所示的四边形OABC.若AB-BC A.sina的值越小,梯子越陆 m. AOB一a,则OC的值为 ) B.cosa的值越小,梯子越陆 C.梯子的长度决定倾斜程度 第5题图 D.梯子的倾斜程度与。的三角函数值无关 ICME-7 易错点 不能正确构造直角三角形而误 图① 用② 用正弦 第3题图 6.如图,在4×5的网格中,每个 A.m{}sin{}。士n{} B.m②cos?a士n{} 小正方形的边长都是1,八ABC D. coSn sina 的顶点都在小正方形的顶点 上,则sin/ACB的值为 第6题图 4.如右图,在Rt△ABC中,C _。 一90*,BC-4.D为AC上的 一点,且AD一BD一5.求A的正弦、余弦 A.35 和正切. 下册第一章 提能力 02 在边AD上. ......... (1)求证:△ABFC△DFE; 7.如图,在3×3的网格中,A:B均为格点(小 正方形的顶点),以点A为圆心,AB的长为 半径作张,图中的C是该狐与格线的交点, 则sin/BAC的值是 ( ~ #A.### B. C ## ## 第7题图 第9题图 8.(教材第5页例2变式)在Rt△ABC中; 上的高CD的长为 。 A.2 9.如图,在菱形ABCD中,AE BC于点E,EC 03拓思维 ......... ......... # 13.数学核心素养·运算能力如下图,在 B.5 C.39 D.40 Rt△ABC中,ACB=90{*,sinA= 10.如图,已知a的一边在x轴上,另一边经过 D.E分别在边AB,AC上,且DE AC于 点A(2,4),顶点B的坐标为(-1,0),则sin 点E.若DE-2,DB-9,求; 的值为 (1)BC的长; (2)cos BCD的值 -101234× B/ 第10题图 第11题图 11.古代数学文化如图所示的是源于我国汉代 数学家赵爽的弦图,它是由四个全等的直 角三角形与一个小正方形拼成的一个大正 方形,若小正方形的面积为1,大正方形的 面积为25,直角三角形中较小的锐角为a, 则coso的值为 12.如下图,E是矩形ABCD的边CD上一点 ABCE沿BE折叠得到△BFE,且点F落 数学 九年级BS版参考答案 第一章 : AOB-90{} 直角三角形的边角关系 '. BOD+DBO=BOD+COA=90. 1 锐角三角函数 “00 '. DBO-COA.△BDO△OCA. 第1课时 正切 1.C 2.B 3.10/3 BC5 4.解:'在Rt△ABC中,tanA= AC12. BD.DO 进 一)() *.可设AC-12x,BC-5x. $AB=AC+BC=12)+(5x)=13x=2 6$ OC·CA 解得:-2. 'AC-12-24,BC-5x=10 故AC和BC的长分别是24,10 .o..-- 5.乙 6.C 4: 12.解:(1)③ ·AC-6m..'.DC-36m. - .BD=DC-BC,BC-24m. *.BD-36-24-12(m). 8.1:1 【解析】由题意,得BC-AB-AC-2m. 13.解:(1).DF垂直平分BC. ..BD-CD. .在Rt△ABC中,tan ABC-AC C=1. '.△ABD的周长=AB十AD十BD=AB+AD+CD 故滑梯滑板的坡度为1:1. 一AB+AC. 9.B 【解析】设BF=x.则CF=BC-BF=8-. ·CE-AB..'△ABD的周长=CE+AC=AE-1 由折叠可得CF-CF-8-x. .C是AB的中点...BC-- .BD-CD-3x. ·四边形ABCD是矩形...B-90{, '.AC-AD+CD-4x. 'BC+BF=CF,即2+-(8-) 在Rt△ABD中. AB=BD-AD-(3)--2$ ” AB 22x 第2课时 正弦和余弦 , 10.C【解析】:AD是△ABC的高。 1.A '. ADB- ADC-90* { & 【解析】如图,过点A作AD1BC于点D,过点B :BD-2CD-6..CD=3. 作BEAC于点E. .AB-AC-5,BC-6. $*$AB-BD+AD=+6-6/ 2$$$ 11.- 【解析】如图,过点A作AC *.AD- AB-BD= 5-3=4. 1x轴于点C,过点B作BD1 '$-AC·BE-BC·AD, 轴于点D,则BDO=乙ACO 一90{。 D0 1(r>o)与y= ·顶点A,B分别在反比例函数y= 上(x<0)的图象上, 3.C ) .S_二 4.解:在Rt△BCD中,CD=BD-BC=-4 2,S 2. -3. 下册 参考答案 'AC-AD+CD-5+3=8, .$BE-EF+FB=3 3DE '.ABAC+BC=8+4-4/ EC 3DE 3 '. sin EBC- BC4-5 BE3V3DE3. '.sinA- AB 4v5' # 13.解:(1)在Rt△DEA中,DE=2,sinA= .AD-DF 5.B 6.D 7. B sin=3. 8.D【解析】如图. 又.DB-9..'$AB-DB+AD-12. 在Rt△ABC中.ACB=90*,AB=4.4 在Rt△ABC中,AB=12,sinA= 2 3 sinA- ## 由勾股定理,得AC-VAB-BC-16 (2)由(1)可知,AD-3,AB-12,BC-8, 在Rt△ACD中,sinA-CD. $AC-AB-BC=4,AE=AD-DE AC -5. ..CD-AC·sinA- 48 25 'CE-AC-AE-4--3. 9.C【解析】设菱形ABCD的边长为x,则AB=BC= *$CD=CE+DE-(3)*+2-7. 1.'EC-4..BE-r-4. “.AE1BC.. AEB-90* 在Rt△ABE中,cosB-BF-4-5 ·DE1AC.. DEA= ACB=90...DE/BC. AB )r-13 .CDE= BCD. '.cos BCD-cos CDE- 经检验,x= 2 30^{},45^{},60{}角的三角函数值 在Rt△ABE中,AB=BE*+AF. 3.解:(1)原式-+(^)#一#× 即(13)-()+AE ,. AEF=6. 11. 【解析】.小正方形的面积为1,大正方形的面积 (2)原式= #2-#③ 为25.',小正方形的边长为1,大正方形的边长为5. 设直角三角形较短的直角边长为a,则较长的直角边 ### 长为a十1,其中a>0.由勾股定理,得a十(a十1) 5,解得a=3(负值已舍去)...a十1-4..,cosa= -3-1-③+3 12.解:(1)证明:由题意,得 A一D一C- BFE -2. -90. 2 4 【解析】由题意,得。+15-60”,.g-45”,.',coso. . /AFB+/DFE-AFB十ABF=90$$ . ABF- DFE. tan-co45· tan5)x1-. .△ABF△DFE. (2)由折叠的性质,得FB-CB,EF一EC 5.75【解析】:(cosA-)+tanB-1|-0. .sinDFE- .cosA-,tanB-1..乙A-60”, B=45”, *$AB-CD=DE+EC-DE+EF=4DE,DF *在△ABC中,C-180*-A- B-75^{。 EF-DE-2/2DE 6.303 7.解:由题意,得BC+AC-43+4-(23+2)m. $.FB-AB·FF 4DF·3DE-32DE. DF 2/2DE 'AC-(23+2)-2-23(m). 数学 九年级BS版