第三章 4 圆周角和圆心角的关系-【支点·同步系列】2024-2025学年九年级下册数学（北师大版）

理，得BC=OB-OC=√3-2=5.：OCL √ON-OE=√/6.5-6.F≈2.24(m), AB,OC过点O,.AB=2BC=25. .MN=2EN=2×2.24=4.48(m). 11.50m【解析】设圆弧的圆心为O.如图所示，过点O 4.48<5, 作OC⊥AB于点C,交AB于点D,连接OA,则OA ∴此货船不能顺利通过拱桥. 0D=250m,AC=BC-2AB=150m, 4圆周角和圆心角的关系 第1课时圆周角定理及其推论1 ∴.OC=√/OA-AC=√250-150=200(m), 1.C2.A3.B4.90°5.A .CD=OD-OC=250-200=50(m),即这些钢索 中，最长的一根的长度为50m. 6.证明：：E为BC的中点， ∴BE=CE,.∠EBD=∠EAB. B 又，∠E=∠E, 路面 .'.△BED∽△AEB 桥 -器B=AE,DE 0 7.解：青青同学的答案不正确正确的答案为 12.2√T【解析】过点O作OF⊥CD 30°或150. 于点F,OG⊥AB于点G,连接OB, 如图，，弦AB的长等于半径，即OA=AB OD,OE,如图所示， =OB, ∴.DF=CF,AG=BG= 2AB=3 .△ABO是等边三角形，.∠AOB=60, ∴.∠C=30°. ∴.EG=AG-AE=2. :劣弧AB所对圆心角的度数为60°， 在Rt△BOG中，OG=√OB-BG=2, ∴.优弧ACB所对圆心角的度数为300°， .EG=OG, .∠ADB=150°， .△EOG是等腰直角三角形， 故弦AB所对圆周角的度数为30°或150° .∠OEG=45,OE=2OG=22. 8.B【解析】如图，以点A为圆心，AB的长 ∠DEB=75°，∴.∠OEF=30°， 为半径作⊙A. 0F=0E=E. ,AB=AC=AD,.B,C,D三个点均在 ⊙A上.由圆周角定理，得∠BDC= 在R1△ODF中，DF=OD-OF=√/I3-2 2∠BAC=22. 1 =/11, :∠CBD=2∠BDC,∴.∠CBD=44°， ∴.CD=2DF=21T ,.∠CAD=2∠CBD=88 13.解：(1)证明：如图，过点O作OE⊥AB,垂足为E, 9.A【解析】：A是劣弧BC的中点，OA是⊙O的半径， ..AE-BE.CE-DE. ,.OA⊥BC,故①正确： ..AE-CE=BE-DE. 即AC=BD. ∠D=30°，.∠ABC=∠D=30°，∠AOC=60° (2)连接OC,OA,如图所示. A是劣弧BC的中点，∴.AC=AB, 由(1)可知，OE⊥AB,OE⊥CD .∠AOC=∠AOB=60°， OE-6,∴CE-OC-OE=√/8-6-27， ∴，△AOC和△AOB都是等边三角形， ∴.OA=OB=AB=OC=AC=6, AE=OA-OE=√10-6=8， .四边形ABOC是菱形，故④正确： ∴.AC=AE-CE=8-27. OA⊥BC, 14.解：(1)如图，设拱桥所在圆的圆心为O,连接 OD.OB. BC-2BE=2AB·c030°=2×6×5 =65,故 :XC LAB,BD=号AB=6m ②正确： 设OB=OC=rm,则OD=(r-4)m. “∠A0B=60,∴sim∠AOB=sin60°- ,故③正确. 在R△BOD中，由勾股定理，得OB=OD+BD, 综上所述，其中正确结论的序号是①②③①. 即r=(r-4)+6,解得r=6.5, 10.100°【解析】C是BD的中点，AB=CD, .拱桥所在圆的半径为6.5m (2)不能.理由如下： ∴CD=BC=AB 如图，连接ON. ÷∠A=∠ACB=Z∠COD= (180°-∠0cD .OE=OC-CE=OC-(CD DE)=6.5-(4-3.6)=6.1(m), ∠00)-2180-2∠0Dc)=号×180°-2× .在Rt△OEN中，由勾股定理，得EN= 50)=40°， 下册参老各案 19 ∴.∠ABC=180°-∠A-∠ACB=180°-40°-40° .可设∠A=7x,则∠B=4x,∠C=2.x =100°. :四边形ABCD内接于⊙O, 11.30°【解析】C是半径OA的中点，DE⊥AB, .∠A+∠C=7x+2x=180°，∠B+∠D=180, 0c=20A=20D.∠Dc0=90, .x=20°，.∠B=4x=80°， .∠D=180°-∠B=180°-80°=100°， .∠CD0=30°， 6.140°【解析】如图，在优弧AB上任取一 ∴∠DOA=60°，∠DFA=30° 点P,连接AP,BP. 12.解：1)证明：∠ACB-合∠AOB,∠BAC- ,四边形APBC是⊙O的内接四边形 ,∴.∠P=180°-∠C=70° 名∠BOC∠ACB=2∠BAC. 由圆周角定理可得∠a=2∠P=140°. ∴.∠AOB=2∠BOC 7.C8.75° (2)如图，过点O作半径OD⊥AB 9.150°【解析】连接AC,如图. 于点E,连接BD, 设⊙O的半径为r,AE=x, ..AE=BE. 则BE=2x. :∠AOB=2∠BOC,∠DOB= BC是⊙O的直径， .∠BAC=90°. 2∠A0B. OE⊥BC,.∠BOE=90°， .∠DOB=∠BOC,∴BD=BC ∴.∠BOE=∠BAC. ,AB=4,BC=5, 又：∠B=∠B, ∴BE=2,BD=5 .△BOE△BAC, 在R1△BDE中，∠DEB=90°，由勾股定理，得DE= 器能即后器 /BD-BE=√(/5)-2=1. 整理，得r=3x, 在R1△BOE中，∠OEB=90°，由勾股定理，得OB =OE +BE OB=(OB-1)+2, oB器-厚-9∴∠B=30 08=8 :四边形ABCD是⊙O的内接四边形， ∴.∠ADC=180°-∠B=150 即⊙0的半径是号 10.解：(1)△ABC是等边三角形， 13.解：(1)∠APC=∠APD.证明如下： 证明：∠APC=60, 弦CD⊥AB,AB是⊙O的直径， .∠ABC=∠APC=60 同理，∠BAC=∠CPB=60°， ..AC=AD. .∠ABC=∠BAC=∠ACB=60°， ..∠APC=∠APD. ∴.△ABC是等边三角形. (2)∠APC+∠APD=180°.证明如下： :弦CD⊥AB,AB是⊙O的直径，∴.AC=AD (2)由(1)，得AC=AB=25. ∠PAC=90°， :∠APD的度数等于AD所对圆心角度数的一半， 线段PC为圆的直径 ∠APC的度数等于ADC所对圆心角度数的一半， 在R△PAC中，∠APC=60°，AC=25, AC所对的圆心角与ADC所对圆心角的度数之和为 360°，且AC=AD sm∠aPC-瓷-g, ∴.∠APC+∠APD=180 .PC=4, 第2课时圆周角定理的推论2 .圆的半径是2. 及圆内接四边形 11.解：(1)证明：AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90. 1.A2.35 :PDLCD,∠D=90°， 3.解：AB是⊙O的直径，∠C=90 .∠D=∠ACB. :∠B=50°，.∠BAC=90°-∠B=40 又：∠P=∠A, OD∥BC. ∴.△PCDx∽△ABC ∴.∠AOD=∠B=50. (2)当PC是⊙O的直径时，△PCD .'OA=OD. 2△ABC,画图如图所示. ∠0AD=2180°-∠A0D)=合×(180-509 理由：AB,PC是⊙O的直径， ∴.PC=AB. =65°， ∠P=∠A,∠PDC=∠ACB, .∠CAD=∠OAD-∠BAC=65°-40°=25. .△PCD≌△ABC(AAS). 4.A 5.解：：∠At∠B1∠C=7412, 3):∠ACB=90,AC-AB, 数学九年级BS版 .∠ABC=30 由(1)同理可证△PCD∽△ABC, .S.Me-BC AD_2X(2+B. 2 2 .∠PCD=∠ABC=30°. 综上，△ABC的面积为2-√5或2+3. PCLAB,AB是⊙O的直径， 9.C ∴.AC=AP 10.D【解析】由三角形外心的性质可知，OB=OC= ∴.∠ACP=∠ABC=30°， OA,从而确定点B,C的位置（如图），BC= .∠BCD=∠ACB-∠ACP-∠PCD=90°-30° √2+4=25. 30°■30°. 5确定圆的条件 1.B2.B3.A4.C 5.C【解析】如图，连接OB. ∠BAC=50°， .∠BOC=2∠BAC=100°， 1.罗【解析1：(Va可-2)+(6 .∠OCB=(180°-100)÷2=40° 5)2+1c-61=0, AD∥BC, .√/a-I-2=0,b-5=0,c-6= ,.∠D=∠OCB=40°. 0,解得a=5,b=5,c=6. 6.1 如图，不妨取AC=BC=5,AB=6,过点C作CD⊥ 2 【解析】如图，连接AC,AB,BC, AB于点D.则AD=AB=3,此时外心0必在CD AC是⊙O的直径，∠BAC-∠BDC, 上，连接OA, .an∠BDC=tan∠BAC= BC AB .CD-AC-AD-4. 设△ABC外接圆的半径为r,则OD=4-r,OA=r. 在R△OAD中，：AD+OD=OA, 8.C【解析】由题意可分以下两种情况讨论： 8+4-n=广：解得一气， 当△ABC为钝角三角形时，连接OA,交BC于点D, 如图①所示. 即△ABC外接题的半径为气 ”点O为等腰三角形ABC的外心， 12.9x【解析】连接OB,OC,如图. ∴.OB=OA=OC. :AB=AC,AD是∠BAC的平 :∠BOC=60°， 分线， ∴.△OBC为等边三角形， AD是BC的垂直平分线， ..OB=OC=BC=2. ∴.OB=OC. 又AB=AC,.OA垂直平分BC, :EF是AC的垂直平分线， ..CD-BC-1. .OA=OC. ,∴.OA=OB=OC, 由勾股定理可得OD=√②一下=3，∴.AD=2-5, ,.△ABC外接圆的圆心是O,半径是OA,而OA=3, .S.w-BC AD_2X(25)-2-B: .△ABC外接圆的面积为πX3=9元， 2 13.解：连接AO并延长交BC于点E,如图. AB=AC,∠ACB=60°， .∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°. AE过圆心O,AE垂直平分BC, 图① 图② AE平分∠BAC,BE-号BC=4E, 当△ABC为锐角三角形时，连接AO并延长，交BC于 点D,如图②所示. A∠BAE=号∠BAC-30 :点O为等腰三角形ABC的外心， OA=OB,∴.∠ABD=∠BAE=30°， ∴.OB=OA=OC. .∠CBD=∠ABC-∠ABD=30°，∴.OB BE ∠BOC=60°， c0s30 .△OBC为等边三角形， 8,即⊙O的半径为8. :.OB=OC=BC=2. 14.解：(1)如图，连接DC 又：AB=AC,.AD垂直平分BC, :∠CBD=90°，.DC经过圆心O. ∠BDC=∠BAC=45°， i.CD-BC-1. .∠BCD=90°-∠BIDC=45°， ·∠BCD=∠BDC,.BD=BC 由勾股定理可得OD=√/2一1=3，.AD=2+3, 下册参考各案 214圆周角和圆心角的关系 第1课时圆周角定理及其推论1 要点提示 1,圆周角的定义：项点在围上、角的两这令别与国相受的角叫做圈周角. 2.圆周角定理：回周角的度数等于它所对狐上的围心角度数的一准。 3.圆周角定理的推论1：同兹或等镇所对的国周角相等。 O1因基础 知识点3圆周角定理的推论1 5.如图，在⊙O中，一定与∠1相等的角是 知识点1圆周角的定义 ( 1.下列四个图形中，∠α是圆周角的是() A.∠2 B.∠3C.∠4D.∠5 6.如下图，E为BC的中点，点A在⊙O上，AE 0 交BC于点D,连接BE,AB.求证：BE= A B AE·DE. 0 a C 知识点2圆周角定理 2.(2024武威)如图，点A,B,C在⊙O上，AC ⊥OB,垂足为D.若∠A=35°，则∠C的度 数是 ( 4.20° B.25 C.30° D.35° ●易错点因对问题考虑不周全而致漏解 7.已知在⊙O中，一条弦长等于半径，则该 弦所对圆周角的度数为 青青同学的答案为30°，你认为正确吗？ 第2题图 如果正确，请给出求解过程；如果不正确， 第3题因 3.如图，点A,B,C在⊙0上，且∠AOB= 请求出正确的答案， 2∠BOC=2a,则下列结论错误的是( A.∠ACB=a B.∠ABO=a C.∠BAC=za 1 D.∠OBC=90°- 4.如图，⊙O的直径CD垂直于弦AB,∠CAB =67.5°，则∠AOB的度数为 B D 第4题图 第5题图 数学九，年级BS版 念02提能力之… (2)若AB=4,BC=5,求⊙O的半径. 8.如图，若AB=AC=AD,∠CBD=2∠BDC, ∠BAC=44°，则∠CAD的度数为() A.68° B.88° C.90 D.112 第8题图 第9题园 9.如图，在半径为6的⊙O中，A是BC的中点， D是BDC上一个点，∠D=30°.有下列四个 结论：①OA⊥BC:②BC=63:③sin∠AOB =:④四边形ABOC是菱形.其中正确结 论的序号是 ) A.①②③④ B.①③④ 03拓思维 。 C.②③④ D.①② 13.数学核心素养·推理能力已知AB是 10.如图，点A,B,C,D都在⊙O上，C是BD的 ⊙O的直径，弦（非直径）CD⊥AB,P是 中点，AB=CD.若∠ODC=50°，则∠ABC ⊙O上不同于点C,D的任意一个点， 的度数为 (1)当点P在CD上运动时，如图①所示， ∠APC与∠APD之间有什么数量关系？ 请证明你的结论； (2)当点P在CAD上运动时，如图②所示， 第10题圈 第11题图 ∠APC与∠APD之间有什么数量关系？ 11.如图，AB是⊙O的直径，C是半径OA的 请证明你的结论 中点，过点C作DE⊥AB,交⊙O于D,E 两点，过点D作直径DF,连接AF,则 ∠DFA的度数为 12.如右图，OA,OB,OC都是 图② ⊙O的半径，∠ACB= 2∠B4C. (1)求证：∠AOB=2∠BOC: 下册第三章 49 第2课时 圆周角定理的推论2及圆内接四边形 要点提示 1,圆周角定理的推论2：直径所对的围周角是直角：90°的國周角所对的猛是直径. 2.圆内接四边形的定义及性质：(1)如采一个四边形的表个项点在同一个通上，那么这个四边形叫微图南接四 边形，这个圆叫做四边形的外接图：(2)围南接四边形的对角是补， O1固基础心 知识点2圆内接四边形的定义及性质 4.如图，AB是⊙O的直径，D, 知识点1圆周角定理的推论2 C是⊙O上的点，∠ADC= 1.（2024宜宾)如图，AB是⊙O的直径.若 115°，则∠BAC的度数是 ∠CDB=60°，则∠ABC的度数是( ( A.30° B.45 C.60° D.90 第4题图 A.25 B.30 C.35 D.40 5.如下图，已知四边形ABCD内接于⊙O.若 ∠A:∠B:∠C=7:4:2,求∠D的度数. D 第1题图 第2题圈 2.如图，在⊙O中，AB为直径，C为圆上一点， 0 ∠BAC的平分线与⊙O交于点D.若 ∠ADC=20°，则∠BAD的度数为 3.如下图，AB是⊙O的直径，C,D是⊙O上两 个点，OD∥BC,OD与AC相交于点E,连接 AD.若∠B=50°，求∠CAD的度数. 易错点对圆内接四边形的概念理解不 清而致错 6.如图，在⊙O中，点A,B,C在⊙O上.若 ∠C=110°，则∠a 0 第6题图 萃7题图 数学九年级BS版 之02提能力之…… ……O3拓思维 7.如图，⊙C过平面直角坐标系的原点，且与 11.数学核心素养·推理能力如图，在⊙O 两坐标轴分别交于点A,B,点A的坐标为 上，位于直径AB的异侧有定点C和动点 (0,3),M为第三象限内OB上的点.若∠M =120°，则⊙C的半径为 ( P,AC-AB,点P在半圆上运动（不与点 D.32 A,B重合)，过点C作直线PB的垂线CD A.6 B.5 C.3 交PB的延长线于点D. 8.(2024南充)如图，AB是⊙O的直径，位于 (1)如图①，求证：△PCDc∽△ABC; AB两侧的点C,D均在⊙O上.若∠BOC= (2)当点P运动到什么位置时，△PCD≌ 30°，则∠ADC的度数为 △ABC？请在图②中画出△PCD,并说明 理由； (3)如图③，当点P运动到PC⊥AB时，求 ∠BCD的度数. 第8题图 第9题图 9.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BC 是⊙O的直径，OE⊥BC交AB于点E.若BE =2AE,则∠ADC的度数为 图① 图② 图3 10.(2024贺州一模)如右图，点 A,P,B.C在圆上，∠APC= ∠CPB=60°.连接AB, BC.AC. (1)判断△ABC的形状，并证明你的结论； (2)若∠PAC=90°，AC=25,求圆的 半径 下册第三章 51