第二章 4 二次函数的应用-【支点·同步系列】2024-2025学年九年级下册数学（北师大版）

设这个二次函数的表达式为y=a(.x十1)十2. +4.AB=√(-2-1)+(4-0)产=5，且四边形 图象经过点(1,6)， AA'BB为菱形，.AA'=BB=AB=5,.抛物线是 ∴.6=a(1+1)2+2, 解得a=1,.y=(x十1)2+2. 沿水平方向平移了5个单位长度.“y=一音 3.解：(1)设该二次函数的表达式为y=a(x一4)一3. 8 根据题意，得点A的坐标为(1,0). 号+4=-专x+1)+9顶点为(-19》， 把A(1,0)代入y=a(.x-4)-3,得0=a(1-4)-3, .当抛物线向右平移5个单位长度时，平移后的抛 解得a=子 物线的顶点坐标为(4,9)：当抛物线向左平移5个 故该二次函数的表达式为y= 单位长度时，平移后的抛物线的顶点坐标为（一6， (2)令x=0.则y=名0-0-3=子0C=子 . ,二次函数图象的顶点坐标为(4，一3)， 11.解：(1)(2,4) ∴.点B与点A关于直线x=4对称， (2)设点Q的坐标为(，x。,y%),点N的坐标为(rv ∴点B的坐标为(7,0)， yy). :点M的坐标为(2,0)，Q为线段MN的中点， OB=7,∴an∠ABC=OC-3-1 ∴.w=2xo-2,yx=2yo. OB=7=3 a=一1..抛物线G的表达式为y=一x+8. 4.A 点N在抛物线c,上yw=一x十8， 5.解：(1)上直线x=1 ∴.2ya=-(2.x。-2)+8,即y%=-2x6+4xo+2, (2)把(-1,0)，(0.-3).(2，-3)代人y=ar+h+c, .抛物线c的表达式为y=一2x2+4x+2. (a-b+c=0. （a=1, 得c=-3, 解得b=-2, 12.解：(1)一次函数y=一3x十5和二次函数y=x一4x 十5不是“丘比特函数组”.理由如下： 4a+2b+c=-3, c=-3, 抛物线的表达式为y=x一2x-3. :y=x一4.x+5=(x一2)+1，二次函数图象的 顶点坐标为(2,1). 当x=-2时，m=4十4-3=5： 当x=2时，y=一3x+5=一1≠1， 当x=1时.n=1-2-3=-4. .一次函数y=-3.x十5和二次函数y=x-4x+5 6.D 7.D【解析】设这条抛物线的表达式为y=a(x一2)(x 不是“丘比特函数组” +1). (2)设二次函数y=ax+bz十c的顶点坐标为(m,m +2). 0C=2.点C的坐标为(0,2)或(0，-2). 当点C的坐标为(0,2)时，4·（一2）×1=2，解得a= 将(m,m+2)代人y=2x2-3.x一4.得m十2=2m 3-4,解得m,=3,m=一1. 一1，∴，这条抛物线的表达式为y=一(x一2)(x十1)， 即y=-x2+x+2: 当m=3时，二次函数y=a.x十b.x十c的顶点坐标为 当点C的坐标为(0，一2)时，a·(-2)×1=一2，解得 (3,5),则该二次函数的表达式为y=a(x-3)十5. a=1,∴.这条抛物线的表达式为y=(x-2)(x十1)，即 :一次函数y=x十2与y轴的交点为(0,2)， y=x-x-2. .将(0,2)代入y=a(x一3)+5，得9a十5=2，解得 综上所述，这条抛物线的表达式为y=一x十x十2或 a=- y=x2-x-2. 8.D【解析】将点(2,4)代入y=x十bx十c,得4+2b+c 六二次函数y=ar+b加十c的表达式为y=- 3 =4,即c=一2b,.该二次函数的表达式为y=x十b虹 +2x+2: 4 一2b,“该二次函数图象的顶点 当m=一1时，同理可得二次函数y=a.x2+bx十c的 表达式为y=x2+2x+2 坐标为(-多，一冬-20)，将顶点坐标代入y=2x+ 综上，二次函数y=ax2十br十c的表达式为y一 1,得-b+1=一年-26：整理，得公+6+4=0.解得 r+2x+2或y=+2r+2. 1 b=6=一2，.c=4,∴.该二次函数的表达式为y=x 4二次函数的应用 -2x十4. 第1课时应用二次函数求几何图形最值 9.y=-8(x-)'+3 1.B 10(4,9)或(-6，) 2.1【解析】：△ABC为等腰直角三角形，∴.∠B=45° 【解析】根据题意，得 :四边形CDEF为矩形，∴∠EFC=90°，.∠EFB= 4a一4a十b-,解得 4 90°，.∠BEF=∠B=45, a=- a+2a十b=0, 3y= 4 8 3 3 ∴.EF=BF. b=4, 设CF=xcm,则EF=BF=(2一x)cm, 数学九年级Bs版 .SEmr=CF·EF=x(2-x)=-(x-1)+1, ∴.当x=1时，矩形CDEF的面积最大，最大面积为 “当x=4时.S取得最大值，最大值为号×华一8×4 1 cm'. +64=56. 3.D 8.解：(1)C(1,4),D(4,1),E(4,0) 4.解：1Dy=-云x-5+9(0<<10) (2)设直线BC的表达式为y,=kx+b(k≠0). 将B(一1,1)，C(1,4)的坐标代人， (2)令y=6,得-是(x-5)十9=6，解得=5十 3 一k十b1·解得 2 得 =5-5A6-6,(+ 55 k十b=4, 5 b 3 2 5A,B两点间的距离为(5+5）-(5-5) 直线8C的表达式为，-号+号 3 103(m 由点C(1,4)得曲线CD的表达式为y:=4(x>0). 3 5.190【解析】设与墙垂直的边AB=xm,则BC=46 (3)设点M的横坐标为m,则点P的坐标为(m,号n 2x+2=(48-2.x)m, .花园的面积S=AB·BC=x(48-2.x)=-2x +)Mp-2m+是 +48x 四边形MNQP是矩形， 由题意可知，48一2r10,.x≥19. ∴.QN=MP= m+ 3 :二次函数S=一2x+48x的图象的对称轴为直线x 48 六点Q的坐标为(am百2m+) 83 =一2×（°2=12，-2<0“当>12时，s随x的 增大而减小， 设矩形MNQP的面积为S, ∴.当x=19时，Sm大=19×(48-2×19)=190. 故这个花园的最大面积是190m. 则s=PQ·MP=(3m35-m)小·（受m+号） 6.B【解析】如图，以线段AB所在的直 -(+)+盟 线为x轴，以线段AB的垂直平分线为 y轴建立平面直角坐标系， 当m=- 时，S最大，最大值为受即矩形MN ∴A(一30,0).B(30,0),D(15,150). 设抛物线的表达式为y=a(x+30)(x QP的最大面积为界 -30). B 第2课时应用二次函数解决实际问题 将D15,150)代人，得150=a·(15+30)×(15 1.B 30), 2.C【解析】，图象过原点，∴.可设抛物线的表达式为 解得a=一g y=ax+bx(a≠0).由题图可知，图象过点(1,13)， 2 (2,24),代人并解得a=-1,b=14,,y=-x+14x 3v=2（x+30)(x30)=gx+20 =一(x一7)十49.故该公司销售此款电脑利润最大 ,抛物线顶端E的坐标为(0,200)， 的月份是7月. ∴.此抛物线顶端E到连桥AB的距离为200m 3.1504.B 7.解：(1)y=x十4. 5.B【解析】设该服装店平均每天的销售利润为e元， (2):正方形AEFG和正方形CHMN的面积相等， 售价降低x元. ∴AG=MH,.2AG=16+x,SE方BAEE=SEMN ( 由题意，得w=(25-1-15)(8+艺×4)=-2(x 3)2+98 又”SeMr=x(x十4) ∴当x=3时，该服装店平均每天的销售利润最大，此 ,.∴S=16X12-(SENBAEFO十S正为6cMn一2Se形wwr) 时每件的售价为25-3=22（元）. 16×12-2(6)'+2r(+40-号-8&x+61 6.解：(1)设该商品每件的售价为x元，进价为y元. 2(-)广+1 由题意，得怎，0解得0 y=30, ∴.该商品每件的售价为40元，进价为30元. >0∴函数图象开口向上， (2)设每件商品涨价a元. 由题意，得=(40+a一30)(200-4a)=(10+a)(200 当>号时，S随x的增大而增大，当<号时，S随 -4a)=-4a2+160a+2000=-4(a-20)2+3600. x的增大而减小. 售价不得高于进价的1.8倍， :4->2-引 ∴.40+a≤1.8×30， 解得a≤14. 下册参考答案 ,当a<20时，w随a的增大而增大， .抛物线y=一x2+4x一4与坐标轴的交点个数为2. ∴.当a=14时，有最大值，最大值为3456，此时售价 5.(1,0),(-2,0)6.-16 为40+14=54（元）， 7.①②【解析】①：a十b十c=0,.(1,0)是抛物线y= ∴.当售价为54元时，该商品每天的销售利润最大，最 ax+bx十c与x轴的一个交点. 大利润为3456元. ,抛物线经过点（一3,0），抛物线的对称轴为直线x 7.D 8.D.【解析】设一次函数的表达式为y=kx十.把(20， 1+2》=-1 2 =一1，即b=2a,故①正确： 20,(30,0分别代入得020解形一2 ②，b=e,.抛物线y=cx十bx十a的对称轴为直线 b=60, 1 .一次函数的表达式为y=一2x+60. x=-2=-2 设该超市每天获得的利润为元 又，a十b+c=0,.抛物线y=cx十br十a过点(1， 由题意，得e=(x-10)(-2x十60)=-2(x-20)2 0), +200, .抛物线过另一点（一2,0）， .当x=20时，第★=200， .方程cx2十bx十a=0一定有根为x=一2，放 故该超市每天销售苹果可获得的最大利润为200元. ②正确： 9.解：(1)设A种客房每间定价为x元，B种客房每间定 ③.△=6-4ac=(a+c)-4ac=(a-c)≥0，.当a 价为y元 =c时，抛物线与x轴只有一个交点，故③不正确. 由题意，十02： 综上所述，其中正确的是①②. 8.解：(1)：抛物线y=x2一(m十1)x十m与x轴只有一 解得/r=200, 个交点， y=120 ∴.一元二次方程x一(m十1)x十m=0有两个相等的 答：A种客房每间定价为200元，B种客房每间定价为 实数根，即△=[一(m十1)]一4m=0, 120元. 整理，得m2一2m十1=0， (2)设A种客房每间定价为a元， 解得m,=m2=1, 则w-(24-80)a=-0c+4- 1 1 .m=1. (2)由(1)可知，m=1, 220)2+4840. .该抛物线的表达式为y=x一2x十1=(x一1)2， -0<0. ,该抛物线的顶点坐标为(1,0). 令x=0,则y=1, ∴.当a=220时，W取最大值，W4做=4840. ∴.该抛物线与y轴的交点坐标为(0,1)， 答：当A种客房每间定价为220元时，A种客房一天 9.一1或2或1【解析】由题意可知，当该函数为一次函 的营业额W最大，最大营业额为4840元. 数时，其图象与x轴有且只有一个交点，此时a一1 10.解：(1)-260 0,即a=1:当该函数为二次函数时，a一1≠0且△= (2)当1≤x<20时，W=pg=(-2.x+60)(x+10)= (-4)2-4(a-1)×2a=0,解得a1=-1,a1=2.故a -2.x2+40x+600: 的值为一1或2或1. 当20≤x≤30时，W=pg=30(x十10)=30.x+300. 10.C 1-2z2+40x+600(1≤x<20), 综上，W= 11.B【解析】经过A(2一3b,m),B(4b十c一1，m)两 130.x+300(20≤x≤30). (3)在W=一2x2+40.x+600中，令W=1000,得 点的抛物线y=一号r+br-公+2(r为自变量)与 -2.x2+40.x+600=1000, x轴有交点， 整理，得x一20.x+200=0. :2-3h+46+c-1 :△=(-20)一4×200=一400<0..方程无实数 2 2×(-2) ,方程一 解，.当1≤x<20时，W<1000. 由30r+300>100.得>23 b缸-F+2c=0有实数根，即△=：-4×(-2）× ,20≤x≤30且x为整数， (-+2c)≥0， x可取24,25,26,27,28,29,30， ∴.b=e十1，≤4c, .销售额超过1000元的共有7天。 .(c+1)2≤4e,.(c-1)0, 5二次函数与一元二次方程 .-1=0,解得c=1, .b=c十1=2， 第1课时二次函数与一元二次 ∴.AB=|(4b+c-1)-(2-3b)1=12. 方程之间的关系 12.一5<1≤4【解析】如图，关于x的一元二次方程 1.D2.C3.A x+m.x一t=0的解就是抛物线y=一x十mx与直 4.C【解析】当y=0时，一x2十4x-4=0,解得x=x 线y=1的交点的横坐标.由题意可知，m=4,二次 =2,与x轴只有1个交点(2,0)： 函数y=-x2十4x=-(x一2)十4，.该抛物线的顶 当x=0时，y=一4，与y轴有1个交点(0，一4)， 点坐标为(2,4)， 数学九年级Bs版4二次函数的应用 第1课时应用二次函数求几何图形最值 要点提示 用二次函数解决面积问题的一般步骤：(1)设未知数，引入自变量：(2)用含自变量的代数式分别表示与所求几 何图形面积相关的量：(3)根据几何图形的特征，列出其面积的计算公式，并且用函数表示这个几何围形的面 积：(4)根据函致表达式，利用品数的性质本出最值及取得最值时自变量的值. O1固基础 的距离为9m. (1)满足设计要求的抛物线的函数表达式为 知识点1用二次函数求图形面积的最值 1.如图，四边形ABCD的两条 对角线互相垂直，AC十BD= (写出自变量的取值范围)： 16,则四边形ABCD面积的 (2)现需在这一隧道内壁上安装照明灯，如 最大值是 下图所示，即在该抛物线上的点A,B处分 第1题图 A.16 B.32 别安装照明灯.已知点A,B到OE的距离均 C.36 D.64 为6m,求A,B两点间的距离 2.(2024鹰潭余江区模拟)如图，已知△ABC v/m 为等腰直角三角形，∠C=90°，BC=2cm.在 三角形内作矩形CDEF,使点D在AC上， E x/m 点E在AB上，点F在BC上，则矩形 CDEF的最大面积为 cm2. 第2题图 第3题图 知识点2用二次函数解决抛物线型问题 3.如图，赵州桥的桥拱近似呈抛物线形，建立 平面直角坐标系，其函数表达式为y= ●易错点没有考虑自变量的取值范围而 六子.当水位线在AB位置时，水面宽AB 致错 5.如图，利用一面墙（墙 =30m.这时水面离桥顶的距离是( EF最长可利用10m,且 A.5 m B.6m C.8m D.9m EF两端无法砌墙)围成 4.(教材第48页题3变式)现要修建一条隧 一个矩形花园ABCD,与 第5题图 道，其截面为抛物线形，如下图所示，线段 围墙平行的一边BC上要预留2m宽的入 OE表示水平的路面，以O为坐标原点，以 口MN,入口处不用砌墙.若用46m长的 OE所在直线为x轴，以过点O垂直于x轴 墙的材料砌围墙，则这个花园的最大面积 的直线为y轴，建立平面直角坐标系.设计 是 m2. 要求：OE=10m,该抛物线的顶点P到OE 数学九年级BS版 之02提能力之… ……O3拓思维 6.图①是由两栋超高层建筑组成的双塔连体 8.数学核心素养·几何直观如图①，有一 建筑，内侧曲线呈抛物线形，其示意图如图 块边角料ABCDE,其中AB,BC,DE,EA ②所示.两栋建筑由一条长60m的连桥AB 是线段，曲线CD可以看成反比例函数图象 连接，在该抛物线两侧距连桥AB150m处 的一部分.小宁想利用这块边角料截取一个 各有一扇窗户，其水平距离CD为30m.此 面积最大的矩形MNQP,其中点M,N在 抛物线顶端E到连桥AB的距离为() AE上（点M在点N左侧），点P在线段BC 上，点Q在曲线CD上.测量发现：∠A= ∠E=90°，AE=5,AB=DE=1,点C到 AB,AE所在直线的距离分别为2,4. (1)小宁尝试建立坐标系来解决该问题，通过 思考，他建立了如图②所示的平面直角坐标 围D 图② 第6题图 系，其中点A的坐标为（一1,0），点B的坐标 A.180mB.200mC.220mD.240m 为(-1,1)，请你写出点C,D,E的坐标： 7.如下图，学校准备在长16m、宽12m的草地 (2)求直线BC,曲线CD的表达式； (矩形ABCD)上规划三个矩形区域（图中阴 (3)求矩形MNQP的最大面积 影部分)栽种花卉，正方形AEFG和正方形 CHMN面积相等，且各有两边与矩形草地 的边重合，矩形MOFP是这两个正方形的重 叠部分.设PM为xm(2≤x≤4)，PF为ym. 图0 ② (1)直接写出y关于x的函数表达式（不用 写出自变量的取值范围)： (2)设花卉栽种区域的总面积为S,求S关 于x的函数表达式及其最大值， 下册第二章 第2课时 应用二次函数解决实际问题 要点提示 用二次函数解决利润问题的一般步骤：(1)设未和裁，引入自变量：(2)用含自变量的代数式分别表示销售单价 或销售量及销售收入：(3)用含自变量的代数式表示销售商品的购进成本：(4)用因变量（函数）及含自变量的代 数式分别表示销售利润，列出高数关系式：(5)根据函数关系式求出最值及取得最值时自变量的值 O1固基础 价应为 A.21元B.22元C.23元D.24元 知识点1简单销售问题中的最大利润 6.某新型高科技商品，每件的售价比进价多10 1.某种服装的销售利润y(单位：万元)与销售 元，8件的进价相当于6件的售价，每天可售 数量x(单位：万件)之间满足函数关系式y 出200件，经市场调查发现，如果每件商品 =一2x十4x十5，则销售利润的 ( 涨价1元，每天就会少卖4件。 A.最大值为5万元B.最大值为7万元 (1)该商品的售价和进价分别是多少元？ C.最小值为5万元D.最小值为7万元 (2)设每天的销售利润为元，但物价部门 2.一家电脑公司推出一款（利润历元） 33--+ 规定其销售单价不高于进价的1.8倍，则当 新型电脑，投放市场后124 售价为多少元时，该商品每天的销售利润最 月一3月的利润情况如图 13 大？最大利润为多少元？ 所示.该图可以近似看作 23月份 抛物线的一部分，则该公 第2题因 司销售此款电脑利润最大的月份是( A.5月B.6月 C.7月 D.8月 3.一种商品每件的进价为100元，在某段时间 内以每件a元的价格出售，可卖出(200一a) 件，若要使利润最大，则商品的定价应为 元 知识点2“每每模型”中的利润问题 4.(教材第49页随堂练习变式)某网店销售一 款运动服，每件的进价为100元.若按每件 128元的价格出售，则每天可卖出100件.根 据市场调查结果显示，若每件降价1元，则 每天可多卖出5件.要使每天获得的利润最 ”4.0。。。 02提能力● 大，则每件需要降价 ( 7.(2024大连沙河口区期中)某主播代销（厂家 A.3元B.4元C.5元D.8元 先免费提供货源，待货物销售后再进行结 5.某服装店购进若干件单价为15元的童装，销 算，未售出的由厂家负责处理)某一品牌的 售一段时间后发现：当每件的售价为25元 电子产品，在销售中发现：每件电子产品的 时，平均每天能售出8件，而当每件的售价降 售价为99元时，日销售量为200件；当每件 低2元时，平均每天能多售出4件，要使该服 电子产品的售价降低5元时，日销售量会增 装店平均每天的销售利润最大，则每件的售 加10件，已知每售出1件电子产品，该主播 数学九年级BS版 需支付厂家和其他费用共50元.设每件电 ……念O3拓思维念… 子产品的售价为x(单位：元)，主播每天的利 10.数学核心素养·模型观念为了振兴乡村 润为（单位：元），则与x之间的函数关 经济，增加村民收人，某村委会干部带领村 系式为 ( 民在网上直播推销农产品.在试销售的30 A.=(99-x)[200+10(x-50)] B.w=(x-50)[200+10(99-x)] 天中，第x天(1≤x≤30且x为整数)的售 价（单位：元/kg)与x之间的函数关系式 Cw=r-50(20+号9×10) 为p= [m.x十n(1≤x<20), 销量q(单位： D.u=(x-50)(200+99-工X10) 30(20≤x≤30)， 5 kg)与x之间的函数关系式为g=x十10. 8.某超市对进价为10元/kgkg1 已知第5天售价为50元/kg,第10天售价 的某种苹果的销售情况 20 为40元/kg,设第x天的销售额为W元. 进行统计，发现该种苹果 可2030i元g） (1)n= n= 每天的销售量y(单位： 第8题图 (2)求第x天的销售额W元与x之间的函 kg)与售价x(单位：元/kg)之间存在如图所 数关系式： 示的一次函数关系，则该超市每天销售苹果 (3)在试销售的30天中，销售额超过1000 可获得的最大利润为 () 元的共有多少天？ A.180元B.220元C.190元D.200元 9.(2024遂宁)某酒店有A,B两种客房，其中 A种24间，B种20间.若全部入住，一天营 业额为7200元：若A,B两种客房均有10 间入住，一天营业额为3200元. (1)A,B两种客房每间定价分别是多少元？ (2)酒店对A种客房调研发现：如果客房不 调价，房间可全部住满：如果每个房间定价 每增加10元，就会有1个房间空闲.当A种 客房每间定价为多少元时，A种客房一天的 营业额W最大？最大营业额为多少元？ 下册第二章 35