模块3专题05指数函数与对数函数（讲义）- 四川省2026年对口招生一轮复习《数学知识点清单》（原卷版+解析版）

编写说明：四川省2026年对口招生一轮复习《数学知识点清单》，依据《中等职业学校数学课程标准》（2020年版）及历年对口高考真题进行编写。本资料将高考必备知识进行科学划分，系统总结归纳知识点，全面梳理高考题型。整套资料共包含9个模块共40个专题，每个专题均配备配套讲义、课件及练习题。 本专题是四川省2026年对口招生一轮复习《数学知识点清单》的模块3函数的第5个专题：指数函数与对数函数。本专题涵盖幂的运算、对数的概念及运算、指数函数的定义、图形及性质、对数函数的定义、图形及性质等知识点，每个知识点后均配有真题及模拟题，供学生进行知识检测。 四川省2026年对口招生 一轮复习 《数学知识点清单》 专题05 指数函数与对数函数（讲义） 知识点1 指数函数 1．根式 (1)根式的概念 根式的概念 符号表示 备注 如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根 n＞1且n∈N* 当n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数 零的n次方根是零 当n为偶数时，正数的n次方根有两个，它们互为相反数 ± 负数没有偶次方根 (2)两个重要公式 ① ② 2．有理数指数幂 (1)幂的有关概念 : ①零指数幂：a0＝1(a≠0)． ②负整数指数幂：a－p＝(a≠0，p∈N*)； ③正分数指数幂： ＝(a＞0，m，n∈ N*，且n＞1)； ④负分数指数幂： ＝ ＝(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)； ⑤0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂无意义． (2)有理数指数幂的性质 ①aras＝ar＋s(a＞0，r，s∈Q)； ②(ar)s＝ars(a＞0，r，s∈Q)； ③(ab)r＝arbr(a＞0，b＞0，r∈Q)． 3．指数函数的图象与性质 y＝ax a＞1 0＜a＜1 图象 定义域 R 值域 (0，＋∞) 性质 过定点(0,1) 当x＞0时，y＞1；x＜0时，0＜y＜1 当x＞0时，0＜y＜1；x＜0时，y＞1 在(－∞，＋∞)上是增函数 在(－∞，＋∞)上是减函数 一、单选题 1．（23-24高三下·四川·对口/高职单招）已知，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高三下·四川·对口/高职单招）一个温度为的物体移入恒温的室内，分钟后该物体的温度为.已知与的关系可以表示为，其中，现将温度为的该物体移入恒温的室内，分钟后该物体的温度为，则再过分钟该物体的温度为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高三下·四川·模拟预测）已知函数，，的大致图像如图所示，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高三下·四川·模拟预测）已知，则（    ） A． B．6 C．8 D．9 5．（23-24高三下·四川·对口/高职）（    ） A．1 B．2 C．4 D．25 一、单选题 1．不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 2．，，，则（   ） A． B． C． D． 3．若指数函数经过点，则（    ） A．4 B． C．4或 D．8 4．若，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 5．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 6．函数的图像过定点 . 7．若函数在上是减函数,则的取值范围是 . 8．已知函数，则 ． 三、解答题 9．已知函数（且）的图像过点． (1)求函数的解析式； (2)若函数在上与x轴只有一个公共点，求实数m的取值范围． 10．已知函数（且）恒过定点. (1)求实数； (2)若函数，求函数的解析式. 知识点2 对数函数 1．对数的概念 如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数． 2．对数的性质与运算法则 (1)对数的性质 几个恒等式(M，N，a，b都是正数，且a，b≠1) ①＝N； ②logaaN＝N； ③logbN＝； ④＝logab； ⑤logab＝，推广logab·logbc·logcd＝logad. (2)对数的运算法则(a>0，且a≠1，M>0，N>0) ①loga(M·N)＝logaM＋logaN； ②loga＝logaM－logaN； ③logaMn＝nlogaM(n∈R)； ④loga＝logaM. 3．对数函数的图象与性质 a＞1 0＜a＜1 图象 性质 (1)定义域：(0，＋∞) (2)值域：R　　　　 (3)过点(1,0)，即x＝1时，y＝0 (4)当x＞1时，y＞0 当0＜x＜1时，y＜0 (5)当x＞1时，y＜0 当0＜x＜1时，y＞0 (6)在(0，＋∞)上是增函数 (7)在(0，＋∞)上是减函数 一、单选题 1．（23-24高三下·四川·对口/高职单招）函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三下·四川·职教高考）已知函数．若，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高三下·四川·模拟预测）函数的图像是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 4．（22-23高三·四川·模拟预测）某食品的保鲜时间y（单位：小时）与储藏温度x（单位：）满足函数关系（为自然对数的底数，为常数）.若该食品在的保鲜时间是192小时，在的保鲜时间是96小时，则该食品在的保鲜时间是 小时. 5．（23-24高三下·四川·职教高考）若，则 . 一、单选题 1．（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．已知，则a，b，c的大小关系为（   ） A． B． C． D． 3．2020年11月24日4时30分，中国在文昌航天发射场用长征五号遥五运载火箭，成功将嫦娥五号月球探测器送入地月转移轨道，发射取得圆满成功．在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度、燃料的质量、火箭（除燃料外）的质量之间M的函数关系是．按照这个规律，当时，火箭的最大速度v约可达到（参考数据：）（   ） A． B． C． D． 4．函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 5．已知，，则（ ） A．25 B．5 C． D． 二、填空题 6．若函数的图像经过点和点，则 . 7．函数的定义域为 . 8．已知函数则 ． 三、解答题 9．设，已知图像经过点与． (1)求实数与函数的解析式； (2)求函数小于0时x的取值范围． 10．已知函数． (1)求的定义域； (2)若的值恒为负数，求x的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！34 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$编写说明:四川省2026年对口招生一轮复习《数学知识点清单》,依据《中等职业学校数学课程标准》(2020年版)及历年对口高考真题进行编写。本资料将高考必备知识进行科学划分,系统总结归纳知识点,全面梳理高考题型。整套资料共包含9个模块共40个专题,每个专题均配备配套讲义、课件及练习题。 本专题是四川省2026年对口招生一轮复习《数学知识点清单》的模块3函数的第5个专题:指数函数与对数函数。本专题涵盖幂的运算、对数的概念及运算、指数函数的定义、图形及性质、对数函数的定义、图形及性质等知识点,每个知识点后均配有真题及模拟题,供学生进行知识检测。 四川省2026年对口招生 一轮复习 《数学知识点清单》 专题05 指数函数与对数函数(讲义) 知识点1 指数函数 1.根式 (1)根式的概念 根式的概念 符号表示 备注 如果xn=a,那么x叫做a的n次方根 n>1且n∈N* 当n为奇数时,正数的n次方根是一个正数,负数的n次方根是一个负数 零的n次方根是零 当n为偶数时,正数的n次方根有两个,它们互为相反数 负数没有偶次方根 (2)两个重要公式 ① ② 2.有理数指数幂 (1)幂的有关概念 : ①零指数幂:a0=1(a≠0). ②负整数指数幂:a-p=(a≠0,p∈N*); ③正分数指数幂: =(a>0,m,n∈ N*,且n>1); ④负分数指数幂: = =(a>0,m,n∈N*,且n>1); ⑤0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂无意义. (2)有理数指数幂的性质 ①aras=ar+s(a>0,r,s∈Q); ②(ar)s=ars(a>0,r,s∈Q); ③(ab)r=arbr(a>0,b>0,r∈Q). 3.指数函数的图象与性质 y=ax a>1 0<a<1 图象 定义域 R 值域 (0,+∞) 性质 过定点(0,1) 当x>0时,y>1;x<0时,0<y<1 当x>0时,0<y<1;x<0时,y>1 在(-∞,+∞)上是增函数 在(-∞,+∞)上是减函数 一、单选题 1.(23-24高三下 四川 对口/高职单招)已知,则的大小关系为( ) A. B. C. D. 【答案】C 【分析】根据指数函数,幂函数的性质即可求解. 【详解】由题意得,因为幂函数在上是增函数, 又指数函数在定义域上是增函数. 所以,又, 所以. 故选:C. 2.(23-24高三下 四川 对口/高职单招)一个温度为的物体移入恒温的室内,分钟后该物体的温度为.已知与的关系可以表示为,其中,现将温度为的该物体移入恒温的室内,分钟后该物体的温度为,则再过分钟该物体的温度为( ) A. B. C. D. 【答案】C 【分析】根据题意可知当时,,将其代入解析式中,得出,再令代入求值即可. 【详解】根据题意可知当时,, 代入中得,, 整理得,再过分钟,即时, 该物体的温度为. 故选:C. 3.(23-24高三下 四川 模拟预测)已知函数,,的大致图像如图所示,则,,的大小关系为( ) A. B. C. D. 【答案】C 【分析】根据函数的单调性分析指数函数的底数范围,再令比较,即可求解. 【详解】由函数图像和指数函数的单调性可知函数为减函数,则; 函数,均为增函数,且, 当时,, 故. 故选:C. 4.(24-25高三下 四川 模拟预测)已知,则( ) A. B.6 C.8 D.9 【答案】D 【分析】根据指数的运算即可解得. 【详解】由题,, 则, 即, . 故选:D 5.(23-24高三下 四川 对口/高职)( ) A.1 B.2 C.4 D.25 【答案】C 【分析】利用完全平方公式和对数的基本运算性质求解. 【详解】 . 故选:C 一、单选题 1.不等式的解集是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【分析】根据指数函数的性质即可求解. 【详解】由题意得,不等式等价于, 因为指数函数在定义域上为单调递减函数,所以, 即不等式的解集是. 故选:C. 2.,,,则( ) A. B. C. D. 【答案】B 【分析】根据指数幂的运算,将各式的底数化为相同,再利用指数函数的单调性可判断结果. 【详解】因为在上单调递增,且,,, 所以,即. 故选:B. 3.若指数函数经过点,则( ) A.4 B. C.4或 D.8 【答案】A 【分析】根据指数函数的定义,结合待定系数法即可求解. 【详解】由题意得,因为指数函数经过,所以, 解得,(且,故舍去). 故选:A. 4.若,则( ) A.2 B.3 C.4 D.5 【答案】C 【分析】根据指数幂的运算公式将已知式子进行化简,得出即可得解. 【详解】,所以,解得, 故选:. 5.下列运算正确的是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【分析】利用指数幂的运算法则即可得解. 【详解】对于A,当时,,故A错误; 对于B,当时,,故B错误; 对于C,当时,,故C错误; 对于D,,故D正确. 故选:D. 二、填空题 6.函数的图像过定点 . 【答案】 【分析】根据,即可确定图像定点. 【详解】已知函数, 当,即时,, 所以图像过定点, 故答案为: 7.若函数在上是减函数,则的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据指数函数的单调性即可求解. 【详解】因为函数在上是减函数. 所以,解得:. 则实数的取值范围是. 故答案为: . 8.已知函数,则 . 【答案】4 【分析】根据所给的分段函数由内到外依次求函数值易得答案. 【详解】,所以. 故答案为:. 三、解答题 9.已知函数(且)的图像过点. (1)求函数的解析式; (2)若函数在上与x轴只有一个公共点,求实数m的取值范围. 【答案】(1) (2). 【分析】()将点代入函数中即可得解. ()将用的表达式代入化简,结合二次函数的性质即可得解. 【详解】(1)将点代入函数(且),得, 解得或(舍), 所以. (2)由()得, 设,,函数在定义域上为减函数,所以在上的取值范围为, 令,对称轴,图像为开口向上的抛物线, 在上与x轴有一个公共点,即在上与t轴有一个公共点,由于, 则当,即时,无解;当,即时, 若,即,解得,由得, 此时对称轴在内,符合题意; 若,要使在上与t轴只有一个公共点, 则只需满足,即,解得. 综上所述,m的取值范围为. 10.已知函数(且)恒过定点. (1)求实数; (2)若函数,求函数的解析式. 【答案】(1) (2) 【分析】(1)先分析函数恒过定点坐标,再结合题目已知条件,即可求解. (2)由(1)可知函数解析式,结合题意,即可求解. 【详解】(1)因为函数(且), 令,即时,, 所以函数恒过定点, 又题目已知函数恒过定点,即. (2)由(1)可知,即, 则, 即得到. 知识点2 对数函数 1.对数的概念 如果ax=N(a>0,且a≠1),那么数x叫做以a为底N的对数,记作x=logaN,其中a叫做对数的底数,N叫做真数. 2.对数的性质与运算法则 (1)对数的性质 几个恒等式(M,N,a,b都是正数,且a,b≠1) ①=N; ②logaaN=N; ③logbN=; ④=logab; ⑤logab=,推广logab logbc logcd=logad. (2)对数的运算法则(a>0,且a≠1,M>0,N>0) ①loga(M N)=logaM+logaN; ②loga=logaM-logaN; ③logaMn=nlogaM(n∈R); ④loga=logaM. 3.对数函数的图象与性质 a>1 0<a<1 图象 性质 (1)定义域:(0,+∞) (2)值域:R (3)过点(1,0),即x=1时,y=0 (4)当x>1时,y>0 当0<x<1时,y<0 (5)当x>1时,y<0 当0<x<1时,y>0 (6)在(0,+∞)上是增函数 (7)在(0,+∞)上是减函数 一、单选题 1.(23-24高三下 四川 对口/高职单招)函数的定义域是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【分析】根据指数函数定义域为与对数函数真数大于零可求定义域. 【详解】函数有意义, 则,,即, 则函数的定义域是; 故选:C. 2.(24-25高三下 四川 职教高考)已知函数.若,则的大小关系为( ) A. B. C. D. 【答案】C 【分析】根据对数函数的单调性比较大小即可. 【详解】已知函数, 则, , , 由在上为增函数, 且,所以, 即, 故选:C. 3.(24-25高三下 四川 模拟预测)函数的图像是( ) A. B. C. D. 【答案】A 【分析】由对数函数的图像即可得解. 【详解】函数的图像如图所示: 将函数的图像中位于轴上方的图像保留, 位于轴下方的图像对称翻折到轴上方, 可得出函数的图像, 故选项A中的图像即为函数的图像. 故选:A. 二、填空题 4.(22-23高三 四川 模拟预测)某食品的保鲜时间y(单位:小时)与储藏温度x(单位:)满足函数关系(为自然对数的底数,为常数).若该食品在的保鲜时间是192小时,在的保鲜时间是96小时,则该食品在的保鲜时间是 小时. 【答案】24 【分析】根据题意,可得,结合指数幂的运算法则,可得,将代入函数解析式,即可求解. 【详解】由题意,得,所以, 当时,, 即该食品在的保鲜时间是24小时. 故答案为:24. 5.(23-24高三下 四川 职教高考)若,则 . 【答案】0 【分析】根据列方程求解即可. 【详解】由可知,, 所以,得. 故答案为:0. 一、单选题 1.( ) A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】A 【分析】先根据对数性质化简原式,结合完全平方公式和对数的运算性质,即可求解. 【详解】 故选:A. 2.已知,则a,b,c的大小关系为( ) A. B. C. D. 【答案】A 【分析】根据指数函数的性质及对数函数的性质比较大小即可得解. 【详解】函数,底数,在定义域上为减函数,所以, 函数,底数,所以在定义域上为增函数,所以, 函数,底数,所以在定义域上为增函数,所以, 所以, 故选:. 3.2020年11月24日4时30分,中国在文昌航天发射场用长征五号遥五运载火箭,成功将嫦娥五号月球探测器送入地月转移轨道,发射取得圆满成功.在不考虑空气阻力的情况下,火箭的最大速度、燃料的质量、火箭(除燃料外)的质量之间M的函数关系是.按照这个规律,当时,火箭的最大速度v约可达到(参考数据:)( ) A. B. C. D. 【答案】C 【分析】将代入到函数关系式,再根据参考数据计算即可. 【详解】因为,当时,则. 所以. 故选:C. 4.函数的定义域是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【分析】根据真数大于零及二次根式的性质列出不等式组即可得解. 【详解】函数, 则,解得, 所以定义域为, 故选:. 5.已知,,则( ) A.25 B.5 C. D. 【答案】C 【分析】根据指数幂的运算以及对数式与指数式的互化,即可求解. 【详解】由可得, 所以. 故选:C. 二、填空题 6.若函数的图像经过点和点,则 . 【答案】 【分析】将点坐标代入函数解析式,联立方程组求解即可. 【详解】已知函数, 图像经过点和点, 则,即, 则有,整理得, 解得,因为, 则(舍去),所以,, 所以, 故答案为:. 7.函数的定义域为 . 【答案】 【分析】由根式和对数函数有意义的条件结合对数函数的单调性即可得解. 【详解】要使函数有意义,则 ,解得, 故函数的定义域为. 故答案为:. 8.已知函数则 . 【答案】2e 【分析】根据自变量取值范围代值入不同解析式求函数值即可. 【详解】因为函数, 所以, 则. 故答案为:. 三、解答题 9.设,已知图像经过点与. (1)求实数与函数的解析式; (2)求函数小于0时x的取值范围. 【答案】(1),;, (2) 【分析】(1)根据题意,结合函数解析式,将已知点的坐标代入,即可求得的值,继而求得函数解析式; (2)根据题意,根据对数函数的单调性,即可求解. 【详解】(1)因为函数,且图像经过点与, 所以, 所以, 所以,即, 解得; 又,即, 所以函数解析式为,; (2)由题意得,即, 因为函数在定义域上为增函数, 所以,解得, 即x的取值范围是. 10.已知函数. (1)求的定义域; (2)若的值恒为负数,求x的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】(1)根据题意,结合对数函数的定义域和指数函数的单调性,即可求解; (2)根据题意,结合对数函数和指数函数的单调性,即可求解. 【详解】(1)因为函数, 所以, 即, 解得, 即函数的定义域为; (2)因为的值恒为负数, 所以,即, 所以, 所以,即, 所以, 即x的取值范围是. 原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究!34 学科网(北京)股份有限公司 学科网(北京)股份有限公司 学科网(北京)股份有限公司 $$