模块3专题04二次函数（讲义）- 四川省2026年对口招生一轮复习《数学知识点清单》（原卷版+解析版）

编写说明：四川省2026年对口招生一轮复习《数学知识点清单》，依据《中等职业学校数学课程标准》（2020年版）及历年对口高考真题进行编写。本资料将高考必备知识进行科学划分，系统总结归纳知识点，全面梳理高考题型。整套资料共包含9个模块共40个专题，每个专题均配备配套讲义、课件及练习题。 本专题是四川省2026年对口招生一轮复习《数学知识点清单》的模块3函数的第4个专题：二次函数。本专题涵盖二次函数的定义、二次函数的解析式、二次函数的图形与性质、二次函数的综合应用等知识点，每个知识点后均配有真题及模拟题，供学生进行知识检测。 四川省2026年对口招生 一轮复习 《数学知识点清单》 专题04 二次函数（讲义） 1.二次函数的定义 形如f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的函数叫做二次函数． 2.二次函数的三种常见解析式 （1）一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)； （2）顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，(m，n)为顶点坐标； （3）两根式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)其中x1，x2分别是f(x)＝0的两实根． 3.二次函数的图象和性质 函数 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0) 图象 a>0 a<0 定义域 R R 值域 y∈ y∈ 对称轴 x＝－ 顶点 坐标 奇偶性 b＝0⇔y＝ax2＋bx＋c(a≠0)是偶函数 递增 区间 递减 区间 最值 当时，y有最小值ymin＝ 当时，y有最大值ymax＝ 一、单选题 1．（24-25）高三·四川广安·模拟预测）已知函数在区间上是减函数，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三·四川成都·一模）若二次函数在上单调递增，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·四川·二模）下列选项中，二次函数与指数函数的图像可能是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高三上·四川·二模）已知函数满足对任意实数，都有成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高三·四川·三模）某公司销售一种商品的利润（单位：百元）是销售量（件）的函数，且，则该公司销售这种商品的最大利润是（    ） A．900百元 B．990百元 C．9900百元 D．9990百元 二、填空题 6．（24-25高三下·四川·模拟预测）已知函数若存在，使，则的取值范围是 ． 7．（24-25高三上·四川·二模）已知函数在区间上是减函数，则实数a的取值范围是 . 三、解答题 8．（24-25高三下·四川自贡·三模）已知函数． (1)若关于的不等式的解集为，求实数的值； (2)若关于的不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围； 9．（24-25高三上·四川·三模）设二次函数是定义在区间上的偶函数. (1)求的解析式； (2)若函数，且对定义域内任意都成立，求的取值范围. 10．（24-24高三·四川·模拟预测）已知为实数，是定义在R上的偶函数，且 (1)求实数的值 (2)设函数在区间内为增函数，求实数k的取值范围． 一、单选题 1．函数在区间上的最大值为，最小值为m，则（    ） A．2 B．6 C．7 D．8 2．函数的单端递增区间是（    ） A． B． C． D． 3．已知，则二次函数的顶点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．若不等式的解集为，则函数的图象为（    ） A．   B．   C．   D．   5．已知二次函数在区间上是单调递增函数，则实数满足（    ） A． B． C． D． 6．设曲线与x轴在内有且仅有一个交点，则常数k的取值范围为（   ） A． B． C． D． 7．二次函数的值域是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 8．已知二次函数满足，且的最大值是8，则二次函数的解析式是 ． 9．若函数顶点的横坐标为，则函数最小值为 . 10．若函数值域为．则实数a的取值范围为 ． 三、解答题 11．已知二次函数满足条件，， (1)写出函数的解析式； (2)解不等式. 12．已知函数为偶函数，且． (1)求函数的解析式； (2)若，求m的取值范围． 13．某工厂生产某种产品的固定成本为万元，且每生产一吨该产品成本增加万元.若该产品一次性出售，其销售价格（单位：万元/吨）与销售量（单位：吨）的函数关系为：. (1)求该产品的利润（利润＝销售收入－总成本）与的函数解析式； (2)当为多少时利润最大，并求出最大利润. 14．已知函数是二次函数，且满足①；②方程有两个相等的实根. (1)求的解析式； (2)解不等式. 15．已知函数的图象过原点，且 (1)求解析式; (2)若对于任意，不等式恒成立，求m取值范围. 16．某企业生产电子元件的产量为劳动力人数与设备台数乘积的倍.该企业计划投入万元聘用劳动力和购买设备，设聘用一个劳动力需要万元，购买一台设备需要万元. (1)求该企业生产电子元件的产量与聘用劳动力人数的函数表达式； (2)该企业应聘用多少个劳动力及购买几台设备，使得产量达到最大，并求产量最大值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！34 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 编写说明：四川省2026年对口招生一轮复习《数学知识点清单》，依据《中等职业学校数学课程标准》（2020年版）及历年对口高考真题进行编写。本资料将高考必备知识进行科学划分，系统总结归纳知识点，全面梳理高考题型。整套资料共包含9个模块共40个专题，每个专题均配备配套讲义、课件及练习题。 本专题是四川省2026年对口招生一轮复习《数学知识点清单》的模块3函数的第4个专题：二次函数。本专题涵盖二次函数的定义、二次函数的解析式、二次函数的图形与性质、二次函数的综合应用等知识点，每个知识点后均配有真题及模拟题，供学生进行知识检测。 四川省2026年对口招生 一轮复习 《数学知识点清单》 专题04 二次函数（讲义） 1.二次函数的定义 形如f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的函数叫做二次函数． 2.二次函数的三种常见解析式 （1）一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)； （2）顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，(m，n)为顶点坐标； （3）两根式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)其中x1，x2分别是f(x)＝0的两实根． 3.二次函数的图象和性质 函数 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0) 图象 a>0 a<0 定义域 R R 值域 y∈ y∈ 对称轴 x＝－ 顶点 坐标 奇偶性 b＝0⇔y＝ax2＋bx＋c(a≠0)是偶函数 递增 区间 递减 区间 最值 当时，y有最小值ymin＝ 当时，y有最大值ymax＝ 一、单选题 1．（24-25）高三·四川广安·模拟预测）已知函数在区间上是减函数，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】按的取值结合一次函数和二次函数的性质分类讨论即可. 【详解】函数在区间上是减函数， 当时，为在上的减函数，满足题意； 当时，为二次函数，对称轴为， 要满足在区间上是减函数，则，解得， 综上，a的取值范围是. 故选：B. 2．（24-25高三·四川成都·一模）若二次函数在上单调递增，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次函数在上单调递增可知对称轴，即可求解. 【详解】二次函数，开口向下，对称轴为， 在对称轴左侧单调递增，在对称轴右侧单调递减， 又因为函数在上单调递增， 对称轴， . 故选：B. 3．（24-25高三上·四川·二模）下列选项中，二次函数与指数函数的图像可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据指数函数，二次函数的性质即可求解. 【详解】对ABCD，由指数函数图像可得，，则，所以. 二次函数的对称轴为， 由二次函数图像可得，A项，；B项，； C项，；D项，；故A正确，BCD错误. 故选：A. 4．（24-25高三上·四川·二模）已知函数满足对任意实数，都有成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次函数的性质，反比例函数的性质，分段函数的单调性即可求解. 【详解】由题意得，对任意实数，都有成立，则在定义域上单调递减. 所以，解得，即实数的取值范围是. 故选：D. 5．（24-25高三·四川·三模）某公司销售一种商品的利润（单位：百元）是销售量（件）的函数，且，则该公司销售这种商品的最大利润是（    ） A．900百元 B．990百元 C．9900百元 D．9990百元 【答案】C 【分析】根据二次函数最值即可求解最大利润. 【详解】因为函数为， 件且满足， 所以最大利润为百元. 故选：C. 二、填空题 6．（24-25高三下·四川·模拟预测）已知函数若存在，使，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】作出函数的图像，由题意及二次函数的对称性可知，结合指数函数的单调性再分类讨论即可求解. 【详解】作出函数的图像如图所示， 由题意，，且，则， 所以，所以， 当时，，此时； 当时，有，， ， 此时； 综上所述的取值范围为. 故答案为：. 7．（24-25高三上·四川·二模）已知函数在区间上是减函数，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【分析】配方得到二次函数减区间和对称轴即可解. 【详解】， 该二次函数的对称轴为，的单调减区间为， 在区间上是减函数， 对称轴必须在直线的右侧或者和其重合， ，解得. 故答案为：. 三、解答题 8．（24-25高三下·四川自贡·三模）已知函数． (1)若关于的不等式的解集为，求实数的值； (2)若关于的不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围； 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）根据题意得到一元二次函数对应的方程的根，再根据韦达定理求解即可. （2）根据题意得到不等式，再求解不等式解出的取值范围. 【详解】（1）关于的不等式的解集为， 方程的两根为， ， 解得． （2）令对任意的恒成立， 由为开口向上的二次函数，. 即：. 实数的取值范围为． 9．（24-25高三上·四川·三模）设二次函数是定义在区间上的偶函数. (1)求的解析式； (2)若函数，且对定义域内任意都成立，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据二次函数在给定区间上为偶函数，则有给定区间关于原点对称且即可求解函数解析式. （2）先表示出函数的解析式，再由函数的最大值即可求解. 【详解】（1）因为是定义在上的偶函数， 则 ，得， 又， 则， 所以. （2）由（1）知， 又即对定义域内任意都成立， 即对定义域内任意都成立，           所以，               令， 的最大值为，即，，           故的取值范围为. 10．（24-24高三·四川·模拟预测）已知为实数，是定义在R上的偶函数，且 (1)求实数的值 (2)设函数在区间内为增函数，求实数k的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由偶函数的定义，结合，代入即可求解. （2）结合二次函数的单调性即可求解 【详解】（1）因为是定义在R上的偶函数，，且， 所以. （2）由（1）可知，， 所以，对称轴为， 又因为函数在区间内为增函数， 所以， 故k的取值范围为. 一、单选题 1．函数在区间上的最大值为，最小值为m，则（    ） A．2 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【分析】根据二次函数图像和单调性，配合已知区间即可解得最值，作差即可解得. 【详解】由题，， 则函数图像为开口向下的抛物线，对称轴为， 则函数在上单调递增，在上单调递减， 故在区间上最大值为，最小值为， 故， 故选：D 2．函数的单端递增区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数解析式的对称轴和单调性即可解得. 【详解】由题，函数， 表示为开口向上的抛物线，且对称轴为， 则函数单调递减区间为， 单调递增区间为， 故选：C 3．已知，则二次函数的顶点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，借助顶点坐标公式即可判断. 【详解】因为二次函数的顶点坐标为， 且， ∴，∴顶点在第三象限. 故选：C. 4．若不等式的解集为，则函数的图象为（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】由不等式的解集为，可知函数图象开口向下，同时，和为函数图象与x轴交点，即可判断. 【详解】因为不等式的解集为，所以， 同时和为方程的两个根， 所以函数图象为开口向下的抛物线，且与轴的交点为、. 故选项图象错误，选项图象正确. 故选：B. 5．已知二次函数在区间上是单调递增函数，则实数满足（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题目条件可列不等式，令对称轴即可求得的范围. 【详解】因为，图象开口向上， 由二次函数的图象与性质可知，对称轴右边单调递增， 又区间上是单调递增函数， 可得对称轴，解得． 故选：D. 6．设曲线与x轴在内有且仅有一个交点，则常数k的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数的图像与x轴在的交点个数分类讨论即可； 【详解】当时，此时曲线为与x轴相交于点，满足题意； 当时，曲线为二次函数，令， 因为曲线与x轴在内有且仅有一个交点， 又因为， 所以当，即时，， 此时与轴交于点，满足题意； 当，即时，，即，解得； 综上可知，常数k的取值范围为. 故选：C 7．二次函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次函数的单调性即可确定值域. 【详解】已知二次函数， 对称轴为， 其中二次项系数，图像开口向上， 所以当时，为减函数， 当时，为增函数， 则当时，， 当时，， 所以二次函数的值域是. 故选：A. 二、填空题 8．已知二次函数满足，且的最大值是8，则二次函数的解析式是 ． 【答案】 【分析】先根据已知求出函数的对称轴，再设出二次函数的解析式，由计算即可. 【详解】 图象的对称轴为直线． 又的最大值为 可设二次函数的解析式为 ，， 解得 ． 故答案为： 9．若函数顶点的横坐标为，则函数最小值为 . 【答案】 【分析】根据二次函数的图像和性质即可求解. 【详解】函数顶点的横坐标为， 则， 则函数解析式为， 函数图像开口向上，顶点处取最小值， ， 故答案为： 10．若函数值域为．则实数a的取值范围为 ． 【答案】 【分析】分析二次函数的大致图象，再数形结合即可得解. 【详解】因为的对称轴为， 所以在上单调递减，在上单调递增， 又，， 令，得，解得或， 所以的大致图象如图， 结合图象可知，，则实数a的取值范围为. 故答案为：. 三、解答题 11．已知二次函数满足条件，， (1)写出函数的解析式； (2)解不等式. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据二次函数特殊点的值及性质，即可求解. （2）解一元二次不等式，即可求解. 【详解】（1）设二次函数的解析式为 由题意知，， 则，化简得， 解得、、 所以. （2）由（1）知， 所以，化简得， 解得. 12．已知函数为偶函数，且． (1)求函数的解析式； (2)若，求m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据其为偶函数得到，再根据则得到其解析式； （2）根据其对称性和单调性则得到不等式，解出即可. 【详解】（1）因为函数为偶函数， 所以， 又因为，解得， 所以. （2）因为函数是开口向上的抛物线，对称轴为， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 又因为， 则，所以， 解得. 所以m的取值范围为. 13．某工厂生产某种产品的固定成本为万元，且每生产一吨该产品成本增加万元.若该产品一次性出售，其销售价格（单位：万元/吨）与销售量（单位：吨）的函数关系为：. (1)求该产品的利润（利润＝销售收入－总成本）与的函数解析式； (2)当为多少时利润最大，并求出最大利润. 【答案】(1)， (2)当为50时，利润最大，最大利润160万元 【分析】（1）由题可知，销售收入为万元，总成本为万元，据此可求解； （2）根据二次函数的性质可求最值. 【详解】（1）由题意可得， ，其中； （2）由（1）可得 ， 所以，当时，. 即当为50时，利润最大，最大利润160万元. 14．已知函数是二次函数，且满足①；②方程有两个相等的实根. (1)求的解析式； (2)解不等式. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）由，以及方程的判别式求解a的值即可求解解析式. （2）由对数函数的性质分析取值范围即可. 【详解】（1）因为，所以，即， 因为有两个相等的实根， 所以满足， 所以，解得， 所以. （2）因为， 又因为函数在上为增函数， 可得，， 由，可得，解得或， 由，可得，解得， 所以不等式的解集为或. 15．已知函数的图象过原点，且 (1)求解析式; (2)若对于任意，不等式恒成立，求m取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意列出方程组，进而求解即可. （2）利用二次函数在给定区间的最值求解即可. 【详解】（1）因为函数的图像过原点，且 即函数的对称轴 . 所以解得. 所以. （2）由可得. 令函数，则函数图像开口向下，对称轴为. 又因为 所以当时，函数取得最小值. 所以. 所以m的取值范围为. 16．某企业生产电子元件的产量为劳动力人数与设备台数乘积的倍.该企业计划投入万元聘用劳动力和购买设备，设聘用一个劳动力需要万元，购买一台设备需要万元. (1)求该企业生产电子元件的产量与聘用劳动力人数的函数表达式； (2)该企业应聘用多少个劳动力及购买几台设备，使得产量达到最大，并求产量最大值. 【答案】(1)， (2)该企业应聘用个劳动力，购买台设备，产量达到最大值，最大值为万元. 【分析】（1）由已知该企业产量与劳动力人数及所购买设备函数关系列等式求解. （2）由（1）得函数关系化顶点式即可求. 【详解】（1）设该企业生产电子元件产量为，聘用劳动力人数，购买设备台数为，由题意知，所以， 故， 由及可得：， 即该企业生产电子元件产量与聘用劳动力人数的函数表达式为： ,. （2）由（1）知，. 故当时，， 即该企业应聘用200个劳动力，购买120台设备，产量达到最大值，最大值为480000万元. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！34 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$