模块3专题03函数的奇偶性和周期性（讲义）- 四川省2026年对口招生一轮复习《数学知识点清单》（原卷版+解析版）

编写说明：四川省2026年对口招生一轮复习《数学知识点清单》，依据《中等职业学校数学课程标准》（2020年版）及历年对口高考真题进行编写。本资料将高考必备知识进行科学划分，系统总结归纳知识点，全面梳理高考题型。整套资料共包含9个模块共40个专题，每个专题均配备配套讲义、课件及练习题。 本专题是四川省2026年对口招生一轮复习《数学知识点清单》的模块3函数的第1个专题：函数的奇偶性和周期性。本专题涵盖奇函数、偶函数的定义及判定、奇函数、偶函数的图像与性质、函数周期性的定义等知识点，每个知识点后均配有真题及模拟题，供学生进行知识检测。 四川省2026年对口招生 一轮复习 《数学知识点清单》 专题03 函数的奇偶性和周期性（讲义） 知识点1 函数的奇偶性 1. 奇函数、偶函数的概念 一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数． 一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数． 2. 判断函数的奇偶性 判断函数的奇偶性，一般都按照定义严格进行，一般步骤是： (1) 考查定义域是否关于原点对称． (2) 根据定义域考查表达式f(－x)是否等于f(x)或－f(x)． 若f(－x)＝－f(x)，则f(x)为奇函数． 若f(－x)＝f(x)，则f(x)为偶函数． 若f(－x)＝f(x)且f(－x)＝－f(x)，则f(x)既是奇函数又是偶函数． 若存在x使f(－x)≠－f(x)且f(－x)≠f(x)，则f(x)既不是奇函数又不是偶函数，即非奇非偶函数． 3. 函数的图象与性质 （1）奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称． (2)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反(填“相同”、“相反”)． (3)在公共定义域内 ①两个奇函数的和函数是奇函数，两个奇函数的积函数是偶函数． ②两个偶函数的和函数、积函数是偶函数． ③一个奇函数，一个偶函数的积函数是奇函数． (4)若函数f(x)是奇函数且在x＝0处有定义，则f(0)＝0. 4. 函数奇偶性和单调性的相关关系 (1) 注意函数y＝f(x)与y＝kf(x)的单调性与k(k≠0)有关． (2) 注意函数y＝f(x)与y＝的单调性之间的关系． (3) 奇函数在[a，b]和[－b，－a]上有相同的单调性． (4) 偶函数在[a，b]和[－b，－a]上有相反的单调性． 一、单选题 1．（23-24高三下·四川·对口/高职单招）函数在区间上的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的奇偶性及处的函数值判断. 【详解】令，定义域为， ∵， ∴是奇函数，即是奇函数，图象关于原点对称，故BD错误； 当时，，故排除C； 故选：A. 2．（24-25高三下·四川自贡·模拟预测）已知是定义在上的奇函数，且满足，当时，，则（    ） A．0 B．1 C． D． 【答案】C 【分析】由为，得，再根据函数的奇偶性结合已知条件即可求解. 【详解】因为，所以， 又因为函数是定义在上的奇函数，所以 当时，，则， 所以. 故选：C. 3．（24-25高三下·四川·三模）已知定义在上的函数是偶函数且满足，当时，函数的解析式为．令函数，则函数与的图像的交点个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】由题中条件可得，函数是偶函数，图像关于对称，周期为，分别作出函数的图像，数形结合可得答案. 【详解】∵函数是偶函数，∴， ∵，∴函数的图像关于对称， ∵，∴的周期为， 分别作出函数的图像，如图， 由图可知，两个函数的图像有3个不同的交点. 故选：C. 4．（22-23高三·四川·模拟预测）已知函数的定义域为R，，函数为偶函数，且对任意的，都有成立，则下列选项一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，结合偶函数和增函数的定义，即可判断求解. 【详解】因为函数的定义域为R，且对任意的，都有成立， 所以函数在区间上是增函数， 又函数为偶函数， 所以函数的图像关于对称， 所以，故选项A错误； 所以，故选项B正确； 所以，故选项C错误； 因为与0的大小关系无法判断，故选项D错误； 故选：B. 二、填空题 5．（23-24高三下·四川··模拟预测）已知函数是偶函数，其中，则 . 【答案】2 【分析】利用对数函数的定义域结合函数奇偶性求出即可. 【详解】函数是偶函数， 则，， 则，或，； 当时，，此时定义域不关于原点对称，不符合偶函数， 若，则，则有或，无解，不符合题意； 若，则，则或， 因为偶函数定义域关于原点对称，则，则； 则解析式为 则，即， 即， 则，即，解得； 则； 故答案为：2. 一、单选题 1．若在上是奇函数，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据奇函数的性质求解. 【详解】因为在上是奇函数，所以，， 又因为，所以，即，故A正确； 与、与、与的大小关系不能确定，故BCD错误. 故选：A. 2．若，都是奇函数，且在上有最小值，则在上有（    ） A．最大值3 B．最小值3 C．最大值1 D．最大值2 【答案】C 【分析】根据奇函数的性质求解即可. 【详解】由，都是奇函数，得也是奇函数， 其图像关于点对称，则关于点对称； 因为在上有最小值，则在上有最大值， 由中点坐标公式得，则，所以在上有最大值1． 故选：C. 3．下列函数中在其定义域内既是奇函数又是单调递增函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据常见函数的性质即可求解. 【详解】对于A，函数的定义域为，令， ，则不是奇函数，故A不正确； 对于B，函数的定义域为R，令， ，则函数为奇函数， 在单调递增，在单调递减， 不在定义域内单调递增，故B不正确； 对于C，函数的定义域为R，令， ，则函数不是奇函数，故C不正确； 对于D，的定义域为R，令， ，则为奇函数， 是幂函数，在定义域R上为单调递增函数，D正确， 故选：D 4．已知定义域为的函数满足：对于任意的，都有，且，则下列结论错误的是（    ） A． B．为偶函数 C．为奇函数 D． 【答案】C 【分析】采用赋值法和函数的奇偶性的概念逐个分析即可. 【详解】已知对于任意的，都有， 且，令，得， 即，解得或， 若，且令，则， 得，即，与矛盾， 所以，故A正确， 若，则不是奇函数，故C错误， 令，则， 则，即， 所以为偶函数，故B正确， 令时，， 则，得，故D正确， 所以结论错误的是C， 故选：C. 5．若函数，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的解析式得出函数为奇函数，再由函数的单调性解不等式即可. 【详解】因为函数定义域为，关于原点对称， 又. 所以函数是奇函数，则. 因为在R上均为增函数，所以在R上是增函数. 则不等式等价于. 所以，解得，即不等式的解集为. 故选：A. 6．函数的图像可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数的奇偶性和函数平移即可判断出是关于原点对称的奇函数的图象向上平移一个单位的图象. 【详解】令，则， 即的图象就是将的图象向上平移一个单位得到， 因为，即为奇函数图象关于原点对称， 所以的图象关于对称. 故选：C. 7．函数的图像的对称轴为（    ） A．y轴 B．直线 C．坐标原点 D．直线 【答案】C 【分析】首先对函数的奇偶性进行判定，再根据奇偶函数的图像特征即可得出结论. 【详解】已知函数， 则函数定义域为关于原点对称， 又有， 所以函数为奇函数，图像关于原点对称. 故选：C. 8．已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】当时，，代入已知式子，结合函数的奇偶性可得． 【详解】当时，， 设，则，则， 函数是上的奇函数，则当时，， 又， ． 故选：B． 9．函数为实数集上的奇函数，当时，，则（    ） A． B．2 C． D．6 【答案】C 【分析】由奇函数的性质得出，根据题意求出即可得解. 【详解】函数为实数集上的奇函数， 当时，，则， 故选：. 10．已知为奇函数，那么（    ） A．1 B．2 C． D．9 【答案】A 【分析】由奇函数的定义，列式求解a，b，c的值，即可求解. 【详解】因为为奇函数，所以， 即， 整理得， 所以，即，解得. 所以. 故选：A. 知识点2 函数的周期性 1.周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期． 2.最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期． 一、单选题 1．（24-25高三下·四川·模拟预测）已知函数是定义在上的奇函数，且，当时，，则等于（   ） A． B． C．1 D．0 【答案】C 【分析】根据确定函数的周期，得再由奇函数的定义求值即可. 【详解】由，即， 得，所以函数的周期为3， 且当时，， 则． 故选：C. 2．（22-23高三·四川·模拟预测）已知函数的定义域为R，，函数为偶函数，且对任意的，都有成立，则下列选项一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，结合偶函数和增函数的定义，即可判断求解. 【详解】因为函数的定义域为R，且对任意的，都有成立， 所以函数在区间上是增函数， 又函数为偶函数， 所以函数的图像关于对称， 所以，故选项A错误； 所以，故选项B正确； 所以，故选项C错误； 因为与0的大小关系无法判断，故选项D错误； 故选：B. 3．（22-23高三·四川·三模）已知函数是定义在上的奇函数，满足，当时，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据已知条件求出函数的周期，结合函数的周期性及奇函数的性质即可得解. 【详解】已知，令换，则， 所以函数的周期为， 则， 因为， 故选：. 4．（24-25高三上·四川·一模）已知定义在上的函数满足，且函数是偶函数，若当时，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据偶函数的定义，结合题意可证得函数是周期为4的周期函数，根据函数解析式，结合周期函数的性质，代入即可求解． 【详解】解法一：∵定义在上的函数满足，且函数是偶函数， ∴，且， ∴，即， 即①，②， 得，， 故函数是周期为4的周期函数， ∴. 解法二：∵定义在上的函数满足， ∴， 又∵函数是偶函数， ∴，得， ∴，即， ∴， ∴， 故函数是周期为4的周期函数， ∴. 故选：A． 5．（24-25高三上·四川德阳·一模）已知定义在上的奇函数满足，且在区间上是增函数，则（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由，得到函数的周期是8，然后利用函数的奇偶性和单调性之间的关系进行大小判断． 【详解】由，得，即函数的周期是8， 因为是奇函数，所以， 即函数关于对称，同时关于对称， 所以，，， 因为奇函数在区间上是增函数，所以函数在上为增函数， 所以，即． 故选：D． 一、单选题 1．设是定义在上的奇函数，满足，当时，，则（    ） A．1 B． C．3 D．0 【答案】D 【分析】由是奇函数，且，可得函数为周期函数，求出函数的最小正周期为，然后利用函数的周期性和奇偶性之间的关系可知，由题意求出其值. 【详解】∵是定义在上的奇函数，∴， ∵，∴，即， ∴，即， ∴函数的最小正周期为， ∴， ∵是定义在上的奇函数，∴， ∵当时，， ∴. 故选：D. 2．设函数是周期为4的奇函数，已知，则（     ） A．3 B．1 C．-3 D．-1 【答案】A 【分析】根据函数的周期性及奇偶性直接求解即可. 【详解】因为函数是奇函数，所以， 又因为函数是周期为4的函数， 所以， 所以，因此选项A正确. 故选：A. 3．定义在上的奇函数满足，且当时，，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】由题意结合奇函数的性质可得函数的周期，再进行转化即可得解. 【详解】因为函数为奇函数，且， 所以，， 也即，4为函数的一个周期， 所以. 故选：A. 4．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由周期函数转换然后代入表达式求解即可. 【详解】由题意当时，，此时是以4为周期的周期函数， 所以. 故选：C. 5．已知函数是定义在上的奇函数，且，当时，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，求出函数的周期，再结合函数的奇偶性求值即得. 【详解】定义在上的奇函数，由，得， 则函数是以4为周期的周期函数，又当时，， 所以. 故选：D 6．已知是以2为周期的函数，且，，则等于（    ） A．1 B．或1 C． D．7 【答案】A 【分析】利用周期函数的定义找到在范围内与相等的函数值求解即可. 【详解】∵是周期为2的周期函数，∴， ∴． 故选：A. 7．已知为区间上的偶函数，以4为周期，且当时，，那么的值为（    ） A． B．0.5 C．3.5 D．4 【答案】B 【分析】由函数为偶函数，可得，再由函数周期性求解即可. 【详解】因为为区间上的偶函数，所以， 又因为以4为周期，所以， 所以. 故选：B. 8．已知函数的图象关于原点对称，且周期为4，若，则（      ） A．2 B．0 C． D． 【答案】C 【分析】结合为奇函数且周期为4，可得，即可求解. 【详解】因为函数的图象关于原点对称， 所以为奇函数， 又因为周期为4， 所以. 故选:C. 9．已知函数是定义在上的奇函数,且对任意的都有,当时,,则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由奇函数的定义，函数的周期性即可得解. 【详解】因为是定义在上的奇函数，所以. 因为当时，. 则时，. 因为，所以的周期为. 所以. 解得. 所以. 所以. 所以. 故选:. 10．已知定义在上的奇函数满足，且在区间上是增函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由，得到函数的周期是8，然后利用函数的奇偶性和单调性之间的关系进行大小判断． 【详解】由，得，即函数的周期是8， 因为是奇函数，所以， 即函数关于对称，同时关于对称， 所以，，， 因为奇函数在区间上是增函数，所以函数在上为增函数， 所以，即． 故选：D． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！34 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 编写说明：四川省2026年对口招生一轮复习《数学知识点清单》，依据《中等职业学校数学课程标准》（2020年版）及历年对口高考真题进行编写。本资料将高考必备知识进行科学划分，系统总结归纳知识点，全面梳理高考题型。整套资料共包含9个模块共40个专题，每个专题均配备配套讲义、课件及练习题。 本专题是四川省2026年对口招生一轮复习《数学知识点清单》的模块3函数的第1个专题：函数的奇偶性和周期性。本专题涵盖奇函数、偶函数的定义及判定、奇函数、偶函数的图像与性质、函数周期性的定义等知识点，每个知识点后均配有真题及模拟题，供学生进行知识检测。 四川省2026年对口招生 一轮复习 《数学知识点清单》 专题03 函数的奇偶性和周期性（讲义） 知识点1 函数的奇偶性 1. 奇函数、偶函数的概念 一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数． 一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数． 2. 判断函数的奇偶性 判断函数的奇偶性，一般都按照定义严格进行，一般步骤是： (1) 考查定义域是否关于原点对称． (2) 根据定义域考查表达式f(－x)是否等于f(x)或－f(x)． 若f(－x)＝－f(x)，则f(x)为奇函数． 若f(－x)＝f(x)，则f(x)为偶函数． 若f(－x)＝f(x)且f(－x)＝－f(x)，则f(x)既是奇函数又是偶函数． 若存在x使f(－x)≠－f(x)且f(－x)≠f(x)，则f(x)既不是奇函数又不是偶函数，即非奇非偶函数． 3. 函数的图象与性质 （1）奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称． (2)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反(填“相同”、“相反”)． (3)在公共定义域内 ①两个奇函数的和函数是奇函数，两个奇函数的积函数是偶函数． ②两个偶函数的和函数、积函数是偶函数． ③一个奇函数，一个偶函数的积函数是奇函数． (4)若函数f(x)是奇函数且在x＝0处有定义，则f(0)＝0. 4. 函数奇偶性和单调性的相关关系 (1) 注意函数y＝f(x)与y＝kf(x)的单调性与k(k≠0)有关． (2) 注意函数y＝f(x)与y＝的单调性之间的关系． (3) 奇函数在[a，b]和[－b，－a]上有相同的单调性． (4) 偶函数在[a，b]和[－b，－a]上有相反的单调性． 一、单选题 1．（23-24高三下·四川·对口/高职单招）函数在区间上的图象大致为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三下·四川自贡·模拟预测）已知是定义在上的奇函数，且满足，当时，，则（    ） A．0 B．1 C． D． 3．（24-25高三下·四川·三模）已知定义在上的函数是偶函数且满足，当时，函数的解析式为．令函数，则函数与的图像的交点个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（22-23高三·四川·模拟预测）已知函数的定义域为R，，函数为偶函数，且对任意的，都有成立，则下列选项一定成立的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 5．（23-24高三下·四川··模拟预测）已知函数是偶函数，其中，则 . 一、单选题 1．若在上是奇函数，且，则（    ） A． B． C． D． 2．若，都是奇函数，且在上有最小值，则在上有（    ） A．最大值3 B．最小值3 C．最大值1 D．最大值2 3．下列函数中在其定义域内既是奇函数又是单调递增函数的是（    ） A． B． C． D． 4．已知定义域为的函数满足：对于任意的，都有，且，则下列结论错误的是（    ） A． B．为偶函数 C．为奇函数 D． 5．若函数，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 6．函数的图像可能是（    ） A． B． C． D． 7．函数的图像的对称轴为（    ） A．y轴 B．直线 C．坐标原点 D．直线 8．已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 9．函数为实数集上的奇函数，当时，，则（    ） A． B．2 C． D．6 10．已知为奇函数，那么（    ） A．1 B．2 C． D．9 知识点2 函数的周期性 1.周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期． 2.最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期． 一、单选题 1．（24-25高三下·四川·模拟预测）已知函数是定义在上的奇函数，且，当时，，则等于（   ） A． B． C．1 D．0 2．（22-23高三·四川·模拟预测）已知函数的定义域为R，，函数为偶函数，且对任意的，都有成立，则下列选项一定成立的是（    ） A． B． C． D． 3．（22-23高三·四川·三模）已知函数是定义在上的奇函数，满足，当时，，则（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高三上·四川·一模）已知定义在上的函数满足，且函数是偶函数，若当时，，则（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高三上·四川德阳·一模）已知定义在上的奇函数满足，且在区间上是增函数，则（   ）． A． B． C． D． 一、单选题 1．设是定义在上的奇函数，满足，当时，，则（    ） A．1 B． C．3 D．0 2．设函数是周期为4的奇函数，已知，则（     ） A．3 B．1 C．-3 D．-1 3．定义在上的奇函数满足，且当时，，则（    ） A． B． C． D．1 4．若，则（    ） A． B． C． D． 5．已知函数是定义在上的奇函数，且，当时，，则（    ） A． B． C． D． 6．已知是以2为周期的函数，且，，则等于（    ） A．1 B．或1 C． D．7 7．已知为区间上的偶函数，以4为周期，且当时，，那么的值为（    ） A． B．0.5 C．3.5 D．4 8．已知函数的图象关于原点对称，且周期为4，若，则（      ） A．2 B．0 C． D． 9．已知函数是定义在上的奇函数,且对任意的都有,当时,,则（    ） A． B． C． D． 10．已知定义在上的奇函数满足，且在区间上是增函数，则（    ） A． B． C． D． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！34 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 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