专题9 四边形与尺规作图—备战2025年浙江中考数学高频热点专题突破

专题9 四边形与尺规作图 【热点1多边形内角与外角】 1．（2025•宁波模拟）正十边形一个外角的度数是 　 　 ． 2．（2025•新昌县二模）已知一个正多边形的一个内角是120°，则这个多边形的边数是　 　 ． 3．（2025•定海区模拟）直线l与正六边形ABCDEF的边AB，EF分别相交于点M，N，如图所示，则α+β＝（　　） A．115° B．120° C．135° D．144° 【热点2平行四边形的性质与判定】 1．（2025•宁波一模）如图，四边形BCDF是平行四边形，已知∠A＝40°，∠ABF＝30°，则∠CDE＝ 　 　 ． 2．（2025•上虞区二模）如图，在平行四边形ABCD中，点E在对角线AC上，若AD＝AE＝BE，∠D＝105°，则∠ACB＝（　　） A．40° B．50° C．55° D．60° 3．（2025•浙江模拟）如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AC⊥BC．若BD＝8，AO＝2，则AB的长为（　　） A． B．2 C． D．2 4．（2025•拱墅区模拟）如图，在▱ABCD中，AC，BD相交于点O，AB＝2，BC＝2，记AC的长为x，BD的长为y，则下列各式正确的是（　　） A．x2+y2＝16 B．x2+y2＝48 C．x2+y2＝32 D．y2﹣x2＝32 5．（2025•台州一模）如图，在▱ABCD中，AC，BD交于点O，点E为CD中点，连接OE． （1）求证：； （2）若∠BAC＝90°，，AB＝2，求OE的长． 6．（2025•西湖区一模）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点E，F分别为AO，CO的中点，连接EB，BF，FD，DE． （1）求证：四边形BFDE是平行四边形． （2）若∠ABD＝90°，AB＝2BO＝4，求线段BE的长． 7．（2025•嘉善县一模）如图，BD是△ABC的中线，点E是线段BD的中点，连结CE并延长至点F，使得EF＝CE，连结FB，FD．求证： （1）BF∥CD； （2）AB与FD互相平分． 【热点3菱形的性质与判定】 1．（2025•嘉兴模拟）如图，AC，BD是菱形ABCD的对角线，则下列结论错误的是（　　） A．AB＝AD B．AC⊥BD C．AC＝BD D．∠BAC＝∠DAC 2．（2025•杭州模拟）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O，过点D作DE⊥AB于点E，连接OE，若AB＝10，OE＝6，则菱形ABCD的面积为（　　） A．48 B．60 C．96 D．192 3．（2025•台州一模）如图，在▱ABCD中，AC，BD为两条对角线．添加下列一个条件，仍不能判定▱ABCD是菱形，这个条件是（　　） A．AC⊥BD B．AB⊥BC C．AB＝BC D．∠BAC＝∠DAC 4．（2025•富阳区一模）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，菱形EFGH的三个顶点E，F，H分别在矩形ABCD的边AB，BC，AD上，BE＝1．得到如下两个结论：①△AEH面积的最大值为，②点G到BC的距离为3．则（　　） A．①②都对 B．①②都错 C．①对②错 D．①错②对 5．（2025•洞头区模拟）如图，在菱形ABCD中，∠C＝60°，AD＝2，连接BD，O是BD的中点，E是DA延长线上的一点，连接OE，作∠EOF＝120°，交AB的延长线于点F，记BF＝x，AE＝y，当x，y的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（　　） A．x+y B．x﹣y C．xy D． 6．（2025•新昌县一模）已知，如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BD是△ABC的中线，F是BD的中点，连接CF并延长到E，使FE＝CF，连接BE、AE． （1）求证：四边形AEBD是菱形； （2）若BC＝8，BE＝5，求菱形AEBD的面积． 【热点4矩形的性质与判定】 1．（2025•宁波一模）如图，AC，BD为矩形ABCD的对角线，DE⊥AC于点E，∠BDE＝20°，则∠ACB的度数为　 　 ． 2．（2025•路桥区二模）如图，四边形ABCD是矩形，对角线AC和BD相交于点O，已知AC＝4，则OB的长为（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 3．（2025•定海区一模）如图，矩形ABCD周长为8，且BC＞CD．连结BD，作点C关于BD的对称点E，连结DE，连结BE交AD于点P，作PG⊥BD交BC于点G，下列说法中正确的有（　　）个． ①2＜BC＜4； ②三角形ABP的周长为定值4； ③当BC变大时，四边形PABG的面积先变大后变小； ④当BC变大时，AP反而变小． A．1 B．2 C．3 D．4 4．（2025•嘉兴模拟）如图，AC，BD是矩形ABCD的对角线，BC＝8，． （1）求AC的长． （2）求tan∠ABD的值． 5．（2025•杭州二模）如图，已知四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，O是BD的中点，E，F是BD上的点，且BE＝DF，AF∥CE． （1）求证：△OEC≌△OFA； （2）若OA＝OB，求证：四边形ABCD是矩形． 【热点5正方形的性质】 1．（2025•滨江区一模）如图，在正方形ABCD中，A（﹣1，﹣1），B（﹣3，0）．现将该正方形先向右平移，使点B与原点O重合，再将所得正方形绕原点O按逆时针方向旋转90°得到四边形A′B′C′D′，则点A的对应点A′的坐标是（　　） A．（﹣1，﹣2） B．（1，2） C．（2，﹣1） D．（2，1） 2．（2025•浙江一模）如图，在边长为6的正方形ABCD中，E是边CD的中点，F在BC边上，且∠EAF＝45°，连接EF，则BF的长为（　　） A．2 B． C．3 D． 3．（2025•东阳市二模）如图是由4个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形．若AE+BE＝8，AB＝6，则直角△ABE的面积为（　　） A．7 B．7.2 C．7.5 D．8 4．（2025•温州一模）如图，BD是正方形ABCD的对角线，E为边BC上的动点（不与端点重合），点F在BC的延长线上，且CF＝BE，过点F作FG⊥BD于点G，连结AE，EG．则下列比值为定值的是（　　） A． B． C． D． 5．（2025•上城区一模）如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在边AD、DC上，且DE＝DF，点B关于直线EG的对称点B′在线段BC的延长线上，B′E与BF交于点H． （1）若点A与点H关于直线BE对称，则tan∠EBA＝ 　 　 ； （2）若，则＝ 　 　 ． 6．（2025•衢州一模）如图，正方形ABCD由四个全等的直角三角形（△ABE，△BCF，△CDG，△DAH）和中间一个小正方形EFGH组成，连接并延长DF，交EH，AB于点N，M．若FM＝MB， （1）比较线段大小：DF 　 　 DC．（填写“＞”“＝”“＜”） （2）的值等于 　 　 ． 7．（2025•临安区一模）如图，在边长为4的正方形ABCD中，E，F分别为边BC，DC上的点，且BE＝DF，过F点作AE的垂线交AB于H． （1）求证：AE＝HF． （2）请写出AH与BE之间的数量关系并证明． 8．（2025•钱塘区二模）如图，点E，F分别在正方形ABCD的边BC，CD上，且BE＝CF，AE与BF交于点G． （1）求证：△ABE≌△BCF． （2）连结AF，若点E是BC的中点，求tan∠AFG的值． 【热点6尺规作图】 1．（2025•上城区二模）如图，在△ABC中，以点A为圆心，适当长度为半径作弧，与AB，AC交于点D，E，分别以点D，E为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点F，作射线AF交BC于点G．以点C为圆心，AC长为半径作弧，与AB交于点H，连结CH，交AG于点M，若∠B＝34°，∠ACB＝78°，则∠AMH的度数为（　　） A．88° B．78° C．68° D．58° 2．（2025•富阳区一模）如图，在矩形ABCD中，按以下步骤作图：①分别以点A和C为圆心，以大于AC的长为半径作弧，两弧相交于点M和N；②作直线MN交CD于点E．若DE＝4，CE＝5，则矩形的对角线AC的长为　 　 ． 3．（2025•义乌市二模）尺规作图问题： 如图1，已知点D是∠ABC的其中一边BA上一点，用尺规作图方法作DE∥BC，DB＝DF． （1）连结BF，根据作图痕迹，请说明BF平分∠ABC． （2）如图2，以B为圆心，BD长为半径作弧，交BC于点G，连结FG．求证：四边形BGFD是菱形． 4．（2025•拱墅区模拟）如图，已知在△ABC中，∠A＝90° （1）请用圆规和直尺作出⊙P，使圆心P在AC边上，且⊙P与AB，BC两边都相切；（保留作图痕迹，不写作法和证明） （2）若AB＝3，BC＝6，⊙P切BC于点D，求劣弧的长． 5．（2025•诸暨市二模）△ABC的顶点都在正方形网格格点（图中网格线的交点）上，每个小正方形边长为1．请借助网格和无刻度直尺按要求作图． （1）在图①中，作出△ABC的中线CD； （2）在图②中，作出△ABC的重心，记为点O． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题9 四边形与尺规作图 【热点1多边形内角与外角】 1．（2025•宁波模拟）正十边形一个外角的度数是 　36°　 ． 【思路点拨】根据多边形的外角和等于360°进行解题即可． 【解析】解：由题可知， 360°÷10＝36°． 故答案为：36°． 【点睛】本题考查多边形内角与外角，掌握多边形的外角和等于360°是解题的关键． 2．（2025•新昌县二模）已知一个正多边形的一个内角是120°，则这个多边形的边数是　6　 ． 【思路点拨】一个正多边形的每个内角都相等，根据内角与外角互为邻补角，因而就可以求出外角的度数．根据任何多边形的外角和都是360度，利用360除以外角的度数就可以求出外角和中外角的个数，即多边形的边数． 【解析】解：外角是180﹣120＝60度， 360÷60＝6， 则这个多边形的边数是6． 故答案为：6． 【点睛】考查了多边形内角与外角，根据外角和的大小与多边形的边数无关，由外角和求正多边形的边数，是常见的题目，需要熟练掌握． 3．（2025•定海区模拟）直线l与正六边形ABCDEF的边AB，EF分别相交于点M，N，如图所示，则α+β＝（　　） A．115° B．120° C．135° D．144° 【思路点拨】先求出正六边形的每个内角为120°，再根据六边形MBCDEN的内角和为720°即可求解∠ENM+∠NMB的度数，最后根据邻补角的意义即可求解． 【解析】解：正六边形每个内角为：， 而六边形MBCDEN的内角和也为（6﹣2）×180°＝720°， ∴∠B+∠C+∠D+∠E+∠ENM+∠NMB＝720°， ∴∠ENM+∠NMB＝720°﹣4×120°＝240°， ∵β+∠ENM+α+∠NMB＝180°×2＝360°， ∴α+β＝360°﹣240°＝120°， 故选：B． 【点睛】本题考查了多边形的内角和，正多边形的每个内角，邻补角，熟练掌握知识点是解决本题的关键． 【热点2平行四边形的性质与判定】 1．（2025•宁波一模）如图，四边形BCDF是平行四边形，已知∠A＝40°，∠ABF＝30°，则∠CDE＝ 　70°　 ． 【思路点拨】先利用三角形的外角性质求得∠BFD的度数，再根据平行四边形的性质推出FB∥CD，利用平行线的性质，即可求出答案． 【解析】解：∵∠A＝40°，∠ABF＝30°， ∴∠BFD＝∠A+∠ABF＝70°， ∵四边形BCDF是平行四边形， ∴FB∥CD， ∴∠CDE＝∠BFD＝70°， 故答案为：70°． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的对边平行的性质，难度不大． 2．（2025•上虞区二模）如图，在平行四边形ABCD中，点E在对角线AC上，若AD＝AE＝BE，∠D＝105°，则∠ACB＝（　　） A．40° B．50° C．55° D．60° 【思路点拨】由平行四边形的性质推出BC＝AD，AD∥BC，得到BC＝AE＝BE，推出∠EAB＝∠EBA，∠BCE＝∠BEC，由三角形的外角性质得到∠BCE＝2∠BAE，由平行线的性质推出∠DAC＝∠BCE＝2∠BAE，∠D+∠DAB＝180°，得到∠DAB＝75°，即可求出∠BAE＝25°，得到∠ACB＝2∠BAE＝50°． 【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴BC＝AD，AD∥BC， ∵AD＝AE＝BE， ∴BC＝AE＝BE， ∴∠EAB＝∠EBA，∠BCE＝∠BEC， ∴∠BEC＝∠EAB+∠EBA＝2∠EAB， ∴∠BCE＝2∠BAE， ∵AD∥BC， ∴∠DAC＝∠BCE＝2∠BAE，∠D+∠DAB＝180°， ∵∠D＝105°， ∴∠DAB＝75°， ∴3∠BAE＝75°， ∴∠BAE＝25°， ∴∠ACB＝∠DAC＝2∠BAE＝50°． 故选：B． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，等腰三角形的性质，三角形的外角性质，关键是由等腰三角形的性质推出∠EAB＝∠EBA，∠BCE＝∠BEC． 3．（2025•浙江模拟）如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AC⊥BC．若BD＝8，AO＝2，则AB的长为（　　） A． B．2 C． D．2 【思路点拨】根据题意得到，则AC＝2OA＝4，由勾股定理得，，由此即可求解． 【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OB＝OD＝BD＝×8＝4，OA＝OC＝2，则AC＝2OA＝2×2＝4， ∵AC⊥BC， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理的运用，掌握平行四边形的性质是关键． 4．（2025•拱墅区模拟）如图，在▱ABCD中，AC，BD相交于点O，AB＝2，BC＝2，记AC的长为x，BD的长为y，则下列各式正确的是（　　） A．x2+y2＝16 B．x2+y2＝48 C．x2+y2＝32 D．y2﹣x2＝32 【思路点拨】作AM⊥BC于点M，DN⊥BC交BC的延长线于点N，由平行四边形的性质得AB∥DC，AB＝DC，则∠ABM＝∠DCN，可证明△ABM≌△DCN，得AM＝DN，BM＝CN，由BD2＝AM2+（BC+BM）2＝AM2+BC2+2BC•BM+BM2，AC2＝AM2+（BC﹣BM）2＝AM2+BC2﹣2BC•BM+BM2，得AC2+BD2＝2AB2+2BC2＝32，则x2+y2＝32，可判断A不符合题意，B不符合题意，C符合题意，D不符合题意，于是得到问题的答案． 【解析】解：作AM⊥BC于点M，DN⊥BC交BC的延长线于点N，则∠ABM＝∠N＝90°， ∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝2，BC＝2，AC＝x，BD＝y， ∴AB∥DC，AB＝DC， ∴∠ABM＝∠DCN， 在△ABM和△DCN中， ， ∴△ABM≌△DCN（AAS）， ∴AM＝DN，BM＝CN， ∴BD2＝DN2+BN2＝AM2+（BC+CN）2＝AM2+（BC+BM）2＝AM2+BC2+2BC•BM+BM2， ∵AC2＝AM2+CM2＝AM2+（BC﹣BM）2＝AM2+BC2﹣2BC•BM+BM2， ∴AC2+BD2＝2AM2+2BM2+2BC2＝2AB2+2BC2＝2×22+2×（2）2＝32， ∴x2+y2＝32， 故A不符合题意，B不符合题意，C符合题意； 假设y2﹣x2＝32成立，则x2+y2＝y2﹣x2， 求得x＝0，不符合题意， ∴y2﹣x2＝32不成立， 故D不符合题意， 故选：C． 【点睛】此题重点考查平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，正确地作出辅助线，并且推导出AC2+BD2＝2AB2+2BC2是解题的关键． 5．（2025•台州一模）如图，在▱ABCD中，AC，BD交于点O，点E为CD中点，连接OE． （1）求证：； （2）若∠BAC＝90°，，AB＝2，求OE的长． 【思路点拨】（1）根据平行四边形的性质得出OB＝OD，可推出OE是三角形DBC的中位线，即可得出结论； （2）根据，AB＝2，推出BC的长，再结合（1）的结论即可得出结果． 【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OB＝OD， 又∵点E是CD的中点， ∴OE是三角形DBC的中位线， ∴； （2）解：∵∠BAC＝90°，，AB＝2， ∴， ∴BC＝， ∴OE＝． 【点睛】本题考查了三角形中位线定理，平行四边形的性质，解直角三角形，熟记各性质定理是解题的关键． 6．（2025•西湖区一模）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点E，F分别为AO，CO的中点，连接EB，BF，FD，DE． （1）求证：四边形BFDE是平行四边形． （2）若∠ABD＝90°，AB＝2BO＝4，求线段BE的长． 【思路点拨】（1）由平行四边形的性质可求得OA＝OC、OB＝OD，再结合E、F为中点，可求得OE＝OF，则可证得四边形EBFD为平行四边形； （2）根据勾股定理求出AO＝2，再根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”求解即可． 【解析】（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴OA＝OC，OB＝OD， ∵E、F分别是AO、CO的中点， ∴OE＝OF， ∴四边形BFDE为平行四边形； （2）解：∵AB＝2BO＝4， ∴BO＝2， ∵∠ABD＝90°， ∴AO＝＝＝2， ∵点E为AO的中点， ∴BE＝AO＝． 【点睛】本题主要考查平行四边形的性质和判定，掌握平行四边形的对角线互相平分是解题的关键． 7．（2025•嘉善县一模）如图，BD是△ABC的中线，点E是线段BD的中点，连结CE并延长至点F，使得EF＝CE，连结FB，FD．求证： （1）BF∥CD； （2）AB与FD互相平分． 【思路点拨】（1）根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”推出四边形FBCD是平行四边形，再根据平行四边形的性质即可得证； （2）根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”推出四边形AFBD是平行四边形，再根据平行四边形的性质即可得证． 【解析】（1）证明：∵点E是线段BD的中点， ∴BE＝DE， 又∵EF＝CE， ∴四边形FBCD是平行四边形， ∴BF∥CD； （2）如图，连接AF， ∵四边形FBCD是平行四边形， ∴BD∥CD，BF＝CD， ∵BD是△ABC的中线， ∴AD＝CD＝BF， ∴四边形AFBD是平行四边形， ∴AB与FD互相平分． 【点睛】此题考查了平行四边形的判定与性质，熟记平行四边形的判定定理与性质定理是解题的关键． 【热点3菱形的性质与判定】 1．（2025•嘉兴模拟）如图，AC，BD是菱形ABCD的对角线，则下列结论错误的是（　　） A．AB＝AD B．AC⊥BD C．AC＝BD D．∠BAC＝∠DAC 【思路点拨】由菱形的性质可得AB＝AD，AC⊥BD，∠BAC＝∠DAC，即可求解． 【解析】解：∵AC，BD是菱形ABCD的对角线， ∴AB＝AD，AC⊥BD，∠BAC＝∠DAC， 故选：C． 【点睛】本题考查了菱形的性质，掌握菱形的性质是解题的关键． 2．（2025•杭州模拟）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O，过点D作DE⊥AB于点E，连接OE，若AB＝10，OE＝6，则菱形ABCD的面积为（　　） A．48 B．60 C．96 D．192 【思路点拨】利用菱形的性质，直角三角形的性质，可求解． 【解析】解：∵ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，OA＝OC，OD＝OB， ∵DE⊥AB， ∴OE＝OB＝OD＝6， ∵AO2＝AB2﹣OB2＝102﹣62， ∴AO＝8， ∴AC＝16， ∵BD＝12， ∴菱形ABCD的面积为： AC•BD＝×16×12＝96． 故选：C． 【点睛】本题考查菱形的性质，关键是掌握并灵活应用菱形的性质． 3．（2025•台州一模）如图，在▱ABCD中，AC，BD为两条对角线．添加下列一个条件，仍不能判定▱ABCD是菱形，这个条件是（　　） A．AC⊥BD B．AB⊥BC C．AB＝BC D．∠BAC＝∠DAC 【思路点拨】根据菱形的判定定理判断即可． 【解析】解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD， ∴▱ABCD是菱形，故不符合题意； B、∵四边形ABCD是平行四边形，AB⊥BC， ∴▱ABCD是矩形，故符合题意； C、∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝BC， ∴▱ABCD是菱形，故不符合题意； D、∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠DAC＝∠ACB， ∵∠BAC＝∠DAC， ∴∠BAC＝∠ACB， ∴AB＝BC， ∴▱ABCD是菱形，故不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了菱形的判定．熟练掌握菱形的判定定理是解题的关键． 4．（2025•富阳区一模）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，菱形EFGH的三个顶点E，F，H分别在矩形ABCD的边AB，BC，AD上，BE＝1．得到如下两个结论：①△AEH面积的最大值为，②点G到BC的距离为3．则（　　） A．①②都对 B．①②都错 C．①对②错 D．①错②对 【思路点拨】根据题意，首先判断△AEH面积的最大时，需EH最大，利用菱形性质，得到需EC最大，从而求出最大的面积，判断结论①正确，利用三角形全等，得到GM＝AE＝3，判断结论②正确． 【解析】解：如图1， ∵AB＝4，BE＝1， ∴AE＝3， ∵在Rt△AEH中，面积S＝AH•AE， 又AH＝， ∴当EH最大时，AH最大，则△AEH的面积最大， ∵四边形EFGH是菱形， ∴EH＝EF， ∴当EF最大时，△AEH的面积最大， ∵当点F在C点时，EF最大， ∴△AEH的面积最大时，菱形为EH'G'C， ∴EH′＝， ∴EH'＝， ∴AH′＝， ∴△AEH的面积最大值S＝AH′•AE＝×2×3＝3， 故结论①正确，符合题意； 如图2，过点G作GM⊥BC，交BC的延长线于M点， ∴GF＝EH，∠GMF＝∠A＝90°，∠GFM＝∠AHE， ∴△AEH△≌MGF， ∴GM＝AE＝3， ∴点G到BC的距离为3， 故结论②正确，符合题意， 综上所述，结论①②都正确， 故选：A． 【点睛】本题考查了矩形、菱形的性质，勾股定理的应用，熟练掌握相关定理是解题的关键． 5．（2025•洞头区模拟）如图，在菱形ABCD中，∠C＝60°，AD＝2，连接BD，O是BD的中点，E是DA延长线上的一点，连接OE，作∠EOF＝120°，交AB的延长线于点F，记BF＝x，AE＝y，当x，y的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（　　） A．x+y B．x﹣y C．xy D． 【思路点拨】过点O作OG∥AB，交AD于点G，利用菱形的性质，等边三角形的判定与性质和三角形的中位线的性质得到∠GOB＝120°，OG＝OB＝1，∠OBF＝∠OGE＝120°，利用全等三角形的判定与性质得到GE＝BF，则1+x＝y，结论可得． 【解析】解：过点O作OG∥AB，交AD于点G，如图， ∵四边形ABCD为菱形， ∴AB＝BC＝CD＝AD＝2，∠DAB＝∠C＝60°， ∴△ABD和△CBD为等边三角形， ∵O是BD的中点，OG∥AB， ∴OG＝AB＝1，DG＝AG＝AD＝1，∠GOD＝∠ABD＝60°，∠OGD＝∠DAB＝60°， ∴∠GOB＝120°，OG＝OB＝1，∠OBF＝∠OGE＝120°， ∵∠EOF＝120°， ∴∠GOE＝∠BOF． 在△GOE和△BOF中， ， ∴△GOE≌△BOF（ASA）， ∴GE＝BF， ∴GA+AE＝BF， ∴1+y＝x， ∴x﹣y＝1． ∴x﹣y的值不变． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，平行线的性质，三角形的中位线的性质，全等三角形的判定与性质，添加适当的辅助线构造全等三角形是解题的关键． 6．（2025•新昌县一模）已知，如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BD是△ABC的中线，F是BD的中点，连接CF并延长到E，使FE＝CF，连接BE、AE． （1）求证：四边形AEBD是菱形； （2）若BC＝8，BE＝5，求菱形AEBD的面积． 【思路点拨】（1）证明△CDF≌△EBF（SAS），等CD＝BE，∠FCD＝∠FEB，则BE∥CD，再证明四边形AEBD是平行四边形，然后由菱形的判定即可得出结论； （2）连接ED，证明四边形BCDE是平行四边形，得DE＝BC＝8，再求出AC＝2AD＝10，进而由勾股定理得AB＝6，然后由菱形面积公式列式计算即可． 【解析】（1）证明：∵F是BD的中点， ∴DF＝BF， ∵CF＝EF，∠CFD＝∠EFB， ∴△CDF≌△EBF（SAS）， ∴CD＝BE，∠FCD＝∠FEB， ∴BE∥CD， ∵∠ABC＝90°，BD是△ABC的中线， ∴BD＝BC＝AD＝CD， ∴BE＝CD＝AD， ∴四边形AEBD是平行四边形， ∵BD＝AD， ∴平行四边形AEBD是菱形； （2）解：如图，连接ED， ∵BE∥CD，CD＝BE， ∴四边形BCDE是平行四边形， ∴DE＝BC＝8， ∵AD＝BE＝5，BD是△ABC中线， ∴AC＝2AD＝10， ∵∠ABC＝90°，BC＝8， ∴AB＝＝＝6， ∴菱形AEBD的面积＝AB•DE＝×6×8＝24． 【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线性质，勾股定理等知识，熟悉掌握菱形的判定与性质是解题的关键． 【热点4矩形的性质与判定】 1．（2025•宁波一模）如图，AC，BD为矩形ABCD的对角线，DE⊥AC于点E，∠BDE＝20°，则∠ACB的度数为　35°　 ． 【思路点拨】由外角的性质可得∠BOC＝110°，由矩形的性质和等腰三角形的性质可求解． 【解析】解：如图，设AC与BD的交点为O， ∵DE⊥AC，∠BDE＝20°， ∴∠BOC＝110°， ∵四边形ABCD是矩形， ∴OB＝OC＝AO＝DO， ∴∠ACB＝∠OBC＝35°， 故答案为：35°． 【点睛】本题考查了矩形的性质，等腰三角形的性质，掌握矩形的性质是解题的关键． 2．（2025•路桥区二模）如图，四边形ABCD是矩形，对角线AC和BD相交于点O，已知AC＝4，则OB的长为（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【思路点拨】根据矩形的对角线相等可得AC＝BD，OA＝OC，OB＝OD，则可得出答案． 【解析】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AC＝BD，OA＝OC，OB＝OD， 又∵AC＝4， ∴OA＝OB＝2， 故选：C． 【点睛】本题考查了矩形的性质，掌握矩形的性质是解题的关键． 3．（2025•定海区一模）如图，矩形ABCD周长为8，且BC＞CD．连结BD，作点C关于BD的对称点E，连结DE，连结BE交AD于点P，作PG⊥BD交BC于点G，下列说法中正确的有（　　）个． ①2＜BC＜4； ②三角形ABP的周长为定值4； ③当BC变大时，四边形PABG的面积先变大后变小； ④当BC变大时，AP反而变小． A．1 B．2 C．3 D．4 【思路点拨】由矩形的性质及三角形三边关系可得出①正确；连接DG，令PG与BD交于点O，则△ABP的周长＝AB+AP+BP＝AB+AP+DP＝AB+AD＝BC+CD＝4，故②正确；证明△BOP≌△BOG（SAS），得出BP＝BG，则BG＝DP，则四边形PBGD是平行四边形，证明RtΔABP≌RtΔCDG（HL），得出S△AEP＝S△CDG，故③错误；当BC变大时，AP也变大，故④错误． 【解析】解：在矩形ABCD中，AB＝CD，BC＝AD，AD∥BC， ∵矩形ABCD周长为8， ∴CD+BC＝4，则CD＝4﹣BC，BC＜4， ∵BC＞CD， ∴BC＞4﹣BC，则BC＞2， ∴2＜BC＜4，故①正确； 连接DG，令PG与BD交于点O， 由折叠可知，∠CBD＝∠EBD， ∵AD∥BC， ∴∠CBD＝∠PDB，则∠EBD＝∠PDB， ∴BP＝DP， 则△ABP的周长＝AB+AP+BP＝AB+AP+DP＝AB+AD＝BC+CD＝4，故②正确； ∵PG⊥BD， ∴∠BOP＝∠BOG， 又∵BO＝BO， ∴△BOP≌△BOG（SAS）， ∴BP＝BG，则BG＝DP， ∴四边形PBGD是平行四边形， 又∵BP＝BG， ∴四边形PBGD是菱形，则BP＝DG，S△BPG＝S△DPG， ∴RtΔABP≌RtΔCDG（HL）， ∴S△AEP＝S△CDG， ∴四边形PABG的面积＝S矩形ABCD＝， 当2＜BC＜4时，四边形PABG的面积随着BC增大而减小，故③错误； ∵BP＝PD＝AD﹣AP＝BC﹣AP，AB＝CD＝4﹣BC， ∴在Rt△ABP中，AP2＝BP2﹣AB2＝（BC﹣AP）2﹣（4﹣BC）2， 整理得：， ∴当BC变大时，AP也变大， 故④错误， 综上，正确的有①②，共2个， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握矩形的性质． 4．（2025•嘉兴模拟）如图，AC，BD是矩形ABCD的对角线，BC＝8，． （1）求AC的长． （2）求tan∠ABD的值． 【思路点拨】（1）由锐角三角函数可求AC的长； （2）由矩形的性质可得BC＝AD＝8，AC＝BD＝10，由勾股定理可求AB的长，即可求解． 【解析】解：（1）∵BC＝8，＝， ∴AC＝10； （2）∵四边形ABCD是矩形， ∴BC＝AD＝8，AC＝BD＝10， ∴AB＝＝6， ∴tan∠ABD＝＝＝． 【点睛】本题考查了矩形的性质，锐角三角函数，勾股定理，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 5．（2025•杭州二模）如图，已知四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，O是BD的中点，E，F是BD上的点，且BE＝DF，AF∥CE． （1）求证：△OEC≌△OFA； （2）若OA＝OB，求证：四边形ABCD是矩形． 【思路点拨】（1）根据平行线的性质推出∠AFO＝∠CEO，∠FAO＝∠ECO，求出OE＝OF，即可证得结论； （2）根据全等得出OA＝OC，求出AC＝BD，再根据平行四边形和矩形的判定推出即可． 【解析】证明：（1）∵AF∥CE， ∴∠AFO＝∠CEO，∠FAO＝∠ECO， ∵O为BD的中点，即OB＝OD，BE＝DF， ∴OB﹣BE＝OD﹣DF，即OE＝OF， 在△OEC和△OFA中， ， ∴△OEC≌△OFA（AAS）； （2）∵△OEC≌△OFA， ∴OC＝OA， ∵OB＝OD， ∴四边形ABCD是平行四边形． ∵OA＝OD， ∴OA＝OB＝OC＝OD，即BD＝AC， ∴四边形ABCD为矩形． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质和判定，矩形的判定，全等三角形的性质和判定的应用，能综合运用定理进行推理是解此题的关键，注意：对角线相等的平行四边形是矩形． 【热点5正方形的性质】 1．（2025•滨江区一模）如图，在正方形ABCD中，A（﹣1，﹣1），B（﹣3，0）．现将该正方形先向右平移，使点B与原点O重合，再将所得正方形绕原点O按逆时针方向旋转90°得到四边形A′B′C′D′，则点A的对应点A′的坐标是（　　） A．（﹣1，﹣2） B．（1，2） C．（2，﹣1） D．（2，1） 【思路点拨】由B（﹣3，0），将正方形先向右平移，使点B与原点O重合，可得A（﹣1，﹣1）平移后的对应点E（2，﹣1），再将E（2，﹣1）绕原点O按逆时针方向旋转90°即可得A'（1，2）． 【解析】解：如图： ∵B（﹣3，0）， ∴将正方形先向右平移，使点B与原点O重合，即是将正方形ABCD向右平移3个单位， ∴A（﹣1，﹣1）平移后的对应点E（2，﹣1）， ∵将所得正方形EOGF绕原点O按逆时针方向旋转90°得到四边形A′B′C′D′， ∴旋转后E（2，﹣1）的对应点A'（1，2）； 故选：B． 【点睛】本题考查坐标与平移，旋转变换，解题的关键是掌握平移，旋转后点坐标的变化规律． 2．（2025•浙江一模）如图，在边长为6的正方形ABCD中，E是边CD的中点，F在BC边上，且∠EAF＝45°，连接EF，则BF的长为（　　） A．2 B． C．3 D． 【思路点拨】把△ABF绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合，首先证明△AFE≌△AGE，进而得到EF＝FG，问题即可解决． 【解析】证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝AD， ∴把△ABF绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合，如图： ∴∠BAF＝∠DAG， ∵∠BAD＝90°，∠EAF＝45°， ∴∠BAF+∠DAE＝45°， ∴∠EAF＝∠EAG， ∵∠ADG＝∠ADC＝∠B＝90°， ∴∠EDG＝180°，点E、D、G共线， 在△AFE和△AGE中， ， ∴△AFE≌△AGE（SAS）， ∴EF＝EG， 即：EF＝EG＝ED+DG， ∵E为CD的中点，边长为6的正方形ABCD， ∴CD＝BC＝6，DE＝CE＝3，∠C＝90°， ∴设BF＝x，则CF＝6﹣x，EF＝3+x， 在Rt△CFE中，由勾股定理得： EF2＝CE2+CF2， ∴（3+x）2＝32+（6﹣x）2， 解得：x＝2， 即BF＝2， 故选：A． 【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定及其性质的应用，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形． 3．（2025•东阳市二模）如图是由4个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形．若AE+BE＝8，AB＝6，则直角△ABE的面积为（　　） A．7 B．7.2 C．7.5 D．8 【思路点拨】设AE＝a，BE＝b，则a+b＝8，在Rt△ABE中，由勾股定理得a2+b2＝36，根据a+b＝8，得a2+b2+2ab＝64，进而得ab＝14，然后根据三角形的面积公式即可得出直角△ABE的面积． 【解析】解：设AE＝a，BE＝b， ∵AE+BE＝8， ∴a+b＝8， ∵△ABE是直角三角形，四边形ABCD和四边形EFGH是正方形， ∴△ABE是直角三角形，且∠AEB＝90°， 在Rt△ABE中，由勾股定理得：AE2+BE2＝AB2， ∵AB＝6， ∴a2+b2＝36， 由a+b＝8，得（a+b）2＝82， ∴a2+b2+2ab＝64， ∴36+2ab＝64， ∴ab＝14， ∴直角△ABE的面积为：AE•BE＝ab＝7． 故选：A． 【点睛】此题主要考查了正方形的性质，勾股定理等，理解正方形的性质，熟练掌握勾股定理，完全平方公式的结构特征，三角形的面积公式是解决问题的关键． 4．（2025•温州一模）如图，BD是正方形ABCD的对角线，E为边BC上的动点（不与端点重合），点F在BC的延长线上，且CF＝BE，过点F作FG⊥BD于点G，连结AE，EG．则下列比值为定值的是（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】连接AG，CG，证明△ABG和△CBG全等得AG＝CG，∠AGB＝∠CGB，再证明△GBF是等腰直角三角形得GF＝GB，∠F＝∠CBG＝45°，进而可证明△GCF和△GEB全等，则CG＝EB，∠CGF＝∠EGB，由此可得出△GAE是等腰直角三角形，再由勾股定理得AE＝EG，则＝，据此即可得出答案． 【解析】解：连接AG，CG，如图所示： ∵四边形ABCD是正方形，BD是对角线， ∴AB＝CB，∠ABG＝∠CBG＝45°， 在△ABG和△CBG中， ， ∴△ABG≌△CBG（SAS）， ∴AG＝CG，∠AGB＝∠CGB， ∵FG⊥BD， ∴∠BGF＝90°， 又∵∠CBG＝45°， ∴△GBF是等腰直角三角形， ∴GF＝GB，∠F＝∠CBG＝45°， 在△GCF和△GEB中， ， ∴△GCF≌△GEB（SAS）， ∴CG＝EB，∠CGF＝∠EGB， ∴AG＝EG， ∴△GAE是等腰三角形， ∵∠AGB＝∠CGB，∠CGF＝∠EGB， ∴∠AGE＝∠AGB+∠EGB＝∠CGB+∠CGF＝∠BGF＝90°， ∴△GAE是等腰直角三角形， 在Rt△GAE中，由勾股定理得：AE＝＝EG， ∴＝为定值． 故选：A． 【点睛】此题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握正方形的性质，全等三角形的判定与性质是解决问题的关键． 5．（2025•上城区一模）如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在边AD、DC上，且DE＝DF，点B关于直线EG的对称点B′在线段BC的延长线上，B′E与BF交于点H． （1）若点A与点H关于直线BE对称，则tan∠EBA＝ 　　 ； （2）若，则＝ 　　 ． 【思路点拨】（1）由轴对称可得到∠HEB＝∠EBB'＝∠EB'B＝60°，从而∠ABE＝30°，即可解答； （2）延长BA，B'E，交于点M，设B'E与CD交于点N，由△NFH∽△MBH得到，设FN＝a，MB＝12a．证明EM＝EB，根据“三线合一”得到，设DE＝DF＝x，则AE＝6a﹣x，DN＝a+x，NC＝5a﹣x，BG＝AE＝6a﹣x，CB'＝6a﹣2x．由△DEN∽△CB'N得到，即，求得x1＝2a即可解答． 【解析】解：（1）∵点A与点H关于直线BE对称， ∴∠AEB＝∠HEB， ∵点B与点B'关于EG对称， ∴∠EBB'＝∠EB'B， ∵在正方形ABCD中，AD∥BC， ∴∠AEB＝∠EBB'， ∴∠HEB＝∠EBB'＝∠EB'B， ∵∠HEB+∠EBB'+∠EB'B＝180°， ∴∠HEB＝∠EBB'＝∠EB'B＝60°， ∵在正方形ABCD中，∠ABC＝90°， ∴∠ABE＝∠ABC﹣∠EBB'＝30°， ∴， 故答案为：； （2）延长BA，B'E，交于点M，设B'E与CD交于点N， ∵在正方形ABCD中，AB∥DC， ∴△NFH∽△MBH，， ∴设FN＝a，MB＝12a， ∵由（1）有∠ABC＝90°，∠BB'E＝60°，∠ABE＝30°， ∴∠M＝180°﹣∠ABC﹣∠BB'E＝30°＝∠ABE， ∴EM＝EB， ∵在正方形ABCD中，DA⊥AB， ∴， ∴在正方形ABCD中，AD＝CD＝BC＝AB＝6a， 设DE＝DF＝x，则AE＝AD﹣DE＝6a﹣x，DN＝FN+DF＝a+x，NC＝CD﹣DN＝6a﹣（a+x）＝5a﹣x， ∵点B与点B'关于EG对称， ∴EG⊥BB'，BB'＝2BG， ∵在正方形ABCD中，∠DAB＝∠ABC＝90°， ∴四边形AEGB是矩形， ∴BG＝AE＝6a﹣x， ∴BB'＝2BG＝2（6a﹣x）＝12a﹣2x， ∴CB'＝BB'﹣BC＝（12a﹣2x）﹣6a＝6a﹣2x， ∵AD∥BC， ∴△DEN∽△CB'N， ∴，即， 解得x1＝2a，x2＝﹣3a（不合题意，舍去）， ∴CB'＝6a﹣2x＝6a﹣4a＝2a， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查正方形的性质，轴对称图形的性质，相似三角形的判定及性质，求锐角三角函数值，解一元二次方程等，综合运用相关知识是解题的关键． 6．（2025•衢州一模）如图，正方形ABCD由四个全等的直角三角形（△ABE，△BCF，△CDG，△DAH）和中间一个小正方形EFGH组成，连接并延长DF，交EH，AB于点N，M．若FM＝MB， （1）比较线段大小：DF 　＝　 DC．（填写“＞”“＝”“＜”） （2）的值等于 　　 ． 【思路点拨】（1）根据正方形ABCD由四个全等的直角三角形，得∠ABE＝∠BCF，∠EFC＝∠BCD＝90°，进而可以解决问题； （2）设AD＝AB＝DC＝a，MF＝MB＝x，则AM＝AB﹣MB＝a﹣x，DM＝DF+MF＝a+x，根据勾股定理求出a＝4x，进而可以解决问题． 【解析】解：（1）∵正方形ABCD由四个全等的直角三角形， ∴∠ABE＝∠BCF，∠EFC＝∠BCD＝90°， ∵FM＝MB， ∴∠ABE＝∠MFB， ∴∠MFB＝∠BCF， ∵∠EFD＝∠MFB， ∴∠MFD＝∠BCF， ∵∠EFC＝∠BCD＝90°， ∴∠DFC＝∠DCF， ∴DF＝DC， 故答案为：＝； （2）设AD＝AB＝DC＝a，MF＝MB＝x， 则AM＝AB﹣MB＝a﹣x，DM＝DF+MF＝a+x， 在Rt△ADM中，由勾股定理得：AD2+AM2＝DM2， a2+（a﹣x）2＝（a+x）2， 解得：a＝4x（a＝0舍去）， ∴AM＝AB﹣MB＝a﹣x＝3x， ∴＝＝， 故答案为：． 【点睛】本题考查正方形的性质，勾股定理，全等图形，一元二次方程，解决本题的关键是掌握正方形的性质． 7．（2025•临安区一模）如图，在边长为4的正方形ABCD中，E，F分别为边BC，DC上的点，且BE＝DF，过F点作AE的垂线交AB于H． （1）求证：AE＝HF． （2）请写出AH与BE之间的数量关系并证明． 【思路点拨】（1）过点F作FK⊥AB于点K，证明四边形ADFK是矩形得AD＝FK，DF＝AK，则AB＝FK，再证明△BAE和△KFH全等，然后根据全等三角形的性质即可得出结论； （2）根据△BAE和△KFH全等得BE＝KH，再根据BE＝DF，DF＝AK得AK＝BE，由此即可得出AH与BE之间的数量关系． 【解析】（1）证明：过点F作FK⊥AB于点K，如图所示： ∴∠FKH＝∠FKA＝90°， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝AD，∠B＝∠BAD＝∠D＝90°， ∴∠FKA＝∠BAD＝∠D＝90°，∠B＝∠FKH＝90°， ∴四边形ADFK是矩形， ∴AD＝FK，DF＝AK， ∴AB＝FK， ∵FH⊥AE，∠FKH＝90°， ∴∠BAE+∠AHF＝90°，∠KFH+∠AHF＝90°， ∴∠BAE＝∠KFH， 在△BAE和△KFH中， ， ∴△BAE≌△KFH（ASA）， ∴AE＝HF； （2）解：AH与BE之间的数量关系是，AH＝2BE，证明如下： ∵△BAE≌△KFH， ∴BE＝KH， 又∵BE＝DF，DF＝AK， ∴AK＝BE， ∴AH＝AK+KH＝BE+BE＝2BE． 【点睛】此题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握正方形的性质，全等三角形的判定和性质是解决问题的关键． 8．（2025•钱塘区二模）如图，点E，F分别在正方形ABCD的边BC，CD上，且BE＝CF，AE与BF交于点G． （1）求证：△ABE≌△BCF． （2）连结AF，若点E是BC的中点，求tan∠AFG的值． 【思路点拨】（1）先证明AB＝AD＝CD＝BC，∠ABE＝∠BCD＝90°，结合BE＝CF，可得结论； （2）设AB＝AD＝CD＝BC＝2m，求解，证明∠BAE＝∠CBF，求解DF＝2m﹣m＝m，，证明∠AGB＝90°＝∠AGF，再进一步求解即可． 【解析】（1）证明：在正方形ABCD中，AB＝AD＝CD＝BC，∠ABE＝∠BCD＝90°， ∵BE＝CF， ∴△BAE≌△CBF（SAS）． （2）解：在正方形ABCD中，设AB＝AD＝CD＝BC＝2m，∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝90°， ∵点E是BC的中点， ∴BE＝CE＝m， ∴， ∵△ABE≌△BCF，BE＝CF＝m， ∴∠BAE＝∠CBF，DF＝2m﹣m＝m， ∴∠BAE+∠ABF＝∠CBF+∠ABF＝∠ABC＝90°，， ∴∠AGB＝90°＝∠AGF， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，锐角三角函数的应用，熟练的利用正方形的性质解题是关键． 【热点6尺规作图】 1．（2025•上城区二模）如图，在△ABC中，以点A为圆心，适当长度为半径作弧，与AB，AC交于点D，E，分别以点D，E为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点F，作射线AF交BC于点G．以点C为圆心，AC长为半径作弧，与AB交于点H，连结CH，交AG于点M，若∠B＝34°，∠ACB＝78°，则∠AMH的度数为（　　） A．88° B．78° C．68° D．58° 【思路点拨】求出∠AHC，∠MAH，再利用三角形内角和定理求解． 【解析】解：∵∠B＝34°，∠ACB＝78°， ∴∠BAC＝180°﹣34°﹣78°＝68°， 由作图可知AC＝CH，AG平分∠BAC， ∴∠AHC＝∠CAB＝68°，∠MAH＝∠CAB＝34°， ∴∠AMH＝180°﹣∠AHM﹣∠MAH＝180°﹣68°﹣34°＝78°． 故选：B． 【点睛】本题考查作图﹣基本作图，角平分线的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 2．（2025•富阳区一模）如图，在矩形ABCD中，按以下步骤作图：①分别以点A和C为圆心，以大于AC的长为半径作弧，两弧相交于点M和N；②作直线MN交CD于点E．若DE＝4，CE＝5，则矩形的对角线AC的长为　3　 ． 【思路点拨】利用基本作图可判断MN垂直平分AC，则AE＝CE＝5，然后利用勾股定理先计算出AD，再计算出AC． 【解析】解：由作法得MN垂直平分AC， ∴AE＝CE＝5， 在Rt△ADE中，AD＝＝3， 在Rt△ADC中，AC＝＝3． 故答案为3． 【点睛】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了矩形的性质． 3．（2025•义乌市二模）尺规作图问题： 如图1，已知点D是∠ABC的其中一边BA上一点，用尺规作图方法作DE∥BC，DB＝DF． （1）连结BF，根据作图痕迹，请说明BF平分∠ABC． （2）如图2，以B为圆心，BD长为半径作弧，交BC于点G，连结FG．求证：四边形BGFD是菱形． 【思路点拨】（1）由等角对等边可得∠DBF＝∠DFB，由平行线的性质可得∠DFB＝∠FBC，从而可得∠DBF＝∠FBC，即可得解； （2）根据菱形的判定定理证明即可． 【解析】解：（1）∵DB＝DF， ∴∠DBF＝∠DFB， ∵DE∥BC， ∴∠DFB＝∠FBC， ∴∠DBF＝∠FBC， ∴BF平分∠ABC； （2）∵BD＝BG且DB＝DF， ∴DF＝BG， ∵DF∥BG， ∴四边形DBGF是平行四边形， 又∵BD＝BG， ∴四边形DBGF是菱形． 【点睛】本题考查了等边对等角、菱形的判定定理、角平分线的定义，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 4．（2025•拱墅区模拟）如图，已知在△ABC中，∠A＝90° （1）请用圆规和直尺作出⊙P，使圆心P在AC边上，且⊙P与AB，BC两边都相切；（保留作图痕迹，不写作法和证明） （2）若AB＝3，BC＝6，⊙P切BC于点D，求劣弧的长． 【思路点拨】（1）作∠ABC的平分线交AC于点P，作PD⊥BC于点D，根据角平分线的性质得PD＝PA，即可得⊙P与AB，BC两边都相切； （2）证明∠APD＝120°，求出半径AP，根据弧长公式即可解决问题． 【解析】解：（1）如图，⊙P即为所求； （2）∵∠BAC＝90°，AB＝3，BC＝6， ∴BC＝2AB， ∴∠C＝30°， ∴∠ABC＝60°， ∵⊙P切BC于点D， ∴∠PDB＝∠BAP＝90°， ∴∠APD＝120°， 由（1）作图可知：BP平分∠ABC， ∴∠ABP＝30°， ∴AP＝AB•tan30°＝3×＝， ∴劣弧的长＝＝． 【点睛】本题考查作图﹣复杂作图，切线的判定与性质，弧长的计算，解决本题的关键是掌握基本作图方法． 5．（2025•诸暨市二模）△ABC的顶点都在正方形网格格点（图中网格线的交点）上，每个小正方形边长为1．请借助网格和无刻度直尺按要求作图． （1）在图①中，作出△ABC的中线CD； （2）在图②中，作出△ABC的重心，记为点O． 【思路点拨】（1）取AB的中点D，连接CD即可． （2）作△ABC的三条中线，相交于点O，则点O即为所求． 【解析】解：（1）如图①，CD即为所求． （2）如图②，点O即为所求． 【点睛】本题考查作图—应用与设计作图、三角形的重心，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 学科网（北京）股份有限公司 $$