6.3.1空间图形基本位置关系的认识、6.3.2刻画空间点、线、面位置关系的公理同步练习-2024-2025学年高一下学期数学北师大版（2019）必修第二册

第六章　3.1空间图形基本位置关系的认识 3.2刻画空间点、线、面位置关系的公理 一、选择题 1．如图所示，下列符号表示错误的是(　　) A．l∈α　　　 B．P∉l C．l⊂α　　　 D．P∈α 2．下面四个说法(其中A、B表示点，a表示直线，α表示平面)： ①∵A⊂α，B⊂α，∴AB⊂α； ②∵A∈α，B∉α，∴AB∉α； ③∵A∉a，a⊂α，∴A∉α； ④∵A∈a，a⊂α，∴A∈α. 其中表述方式和推理都正确的结论的序号是(　　) A．①④ B．②③ C．④ D．③ 3．空间不共线的四点，可以确定平面的个数可能是(　　) A．1 B．2 C．4 D．1或4 4．如图所示，平面α∩β＝l，A、B∈α，C∈β且C∉l，AB∩l＝R，设过A、B、C三点的平面为γ，则β∩γ等于(　　) A．直线AC B．直线BC C．直线CR D．以上都不对 5．如果空间四点A，B，C，D不共面，那么下列判断中正确的是(　　) A．A，B，C，D四点中必有三点共线 B．A，B，C，D四点中不存在三点共线 C．直线AB与CD相交 D．直线AB与CD平行 6．下列各图均是正六棱柱，P、Q、R、S分别是所在棱的中点，这四个点不共面的图形是(　　) 7．空间中四点可确定的平面有(　　) A．1个 B．3个 C．4个 D．1个或4个或无数个 8．经过同一直线上的3个点的平面(　　) A．有且只有1个 B．有且只有3个 C．有无数个 D．只有0个 9．(多选)下列叙述错误的是(　　) A．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，平面AB1D1与平面ABCD只有一个公共点 B．一个平面里有三个不同的点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行 C．若直线l不平行于平面α，且l⊄α，则α内的所有直线与l都不平行 D．若直线c和d平行，直线a，b与c，d都相交，则a，b一定平行 10．(多选)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为DB的中点，直线A1C交平面C1BD于点M，则下列结论正确的是(　　) A．C1，M，O三点共线 B．C1，M，O，C四点共面 C．C1，O，A，M四点共面 D．D1，D，O，M四点共面 二、填空题 11．平面α，β的公共点多于两个则 ①α，β平行； ②α，β至少有一条公共直线； ③α，β至少有三个公共点； ④α，β至多有一条公共直线． 以上四个判断中成立的是__________. 12．看图填空： (1)AC∩BD＝__________； (2)平面AB1∩平面A1C1＝__________； (3)平面A1C1CA∩平面AC＝__________； (4)平面A1C1CA∩平面D1B1BD＝__________. 13．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下列说法正确的是__________(填序号)． (1)直线AC1在平面CC1B1B内． (2)设正方形ABCD与A1B1C1D1的中心分别为O，O1，则平面AA1C1C与平面BB1D1D的交线为OO1. (3)由A，C1，B1确定的平面是ADC1B1. (4)由A，C1，B1确定的平面与由A，C1，D确定的平面是同一个平面． 14．若直线l与平面α相交于点O，A、B∈l，C、D∈α，且AC∥BD，则O、C、D三点的位置关系是__________. 15．给出以下结论：①和一条直线都相交的两条直线在同一平面内；②三条两两相交的直线在同一平面内；③有三个不同公共点的两个平面重合；④两两平行的三条直线确定三个平面．其中正确结论的个数是__________. 三、解答题 16．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是CC1和AA1的中点，画出平面BED1F与平面ABCD的交线并说明理由． 17．如图所示，在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是AA1，D1C1的中点，过D，M，N三点的平面与正方体的下底面相交于直线l. (1)画出直线l的位置； (2)设l∩A1B1＝P，求线段PB1的长． 18．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为AB的中点，F为AA1的中点，求证： (1)E，C，D1，F四点共面； (2)CE，D1F，DA三线共点． 第六章　3.1空间图形基本位置关系的认识 3.2刻画空间点、线、面位置关系的公理 一、选择题 1．【答案】　A 【解析】　观察图知：P∉l，P∈α，l⊂α，则l∈α是错误的． 2．【答案】　C 【解析】　①错，应写为A∈α，B∈α；②错，应写为AB⊄α；③错，推理错误，有可能A∈α；④推理与表述都正确． 3．【答案】　D 【解析】　若有三点共线，则由直线与直线外一点确定一个平面，得不共线的四点，可以确定平面的个数为1个；若任意三点均不共线，则空间不共线的四点，可以确定平面的个数是1或4.故空间不共线的四点，可以确定平面的个数是1或4个．故选D. 4．【答案】　C 【解析】　由C，R是平面β和γ的两个公共点，可知β∩γ＝CR. 5．【答案】　B 【解析】　两条平行直线、两条相交直线、直线及直线外一点都分别确定一个平面． 6．【答案】　D 【解析】　在选项A、B、C中，由棱柱、正六边形、中位线的性质，知均有PS∥QR，即在此三个图形中P、Q、R、S共面，故选D. 7．【答案】　D 【解析】　当四个点在同一条直线上时，经过这四个点的平面有无数个；当这四个点为三棱锥的四个顶点时，可确定四个平面；当这四个点为平面四边形的四个顶点时，确定一个平面；当其中三点共线于l，另一点不在直线l上时，也确定一个平面，故选D. 8．【答案】　C 【解析】　因3个点在同一条直线，所以经过该直线的平面都满足条件，故选C． 9．【答案】　ABD 【解析】　两个平面相交时，有无穷多个交点，且它们共线，故A错误；对于B，两平面也可能相交，故B错误；对于C，易知直线l与α相交α内的所有直线与l都不平行，故C正确；若c，d异面，a，b与c，d都相交，则a，b可能异面也可能相交，故D错误．故选ABD. 10．【答案】　ABC 【解析】　连接A1C1，AC，则AC∩BD＝O，A1C∩平面C1BD＝M，所以三点C1，M，O在平面C1BD与平面ACC1A 1的交线上，即C1，M，O三点共线，所以选项A，B，C均正确，D不正确． 二、填空题 11．【答案】　②③ 【解析】　由条件知，当平面α，β的公共点多于两个时，若所有公共点共线，则α，β相交；若公共点不共线，则α，β重合．故①一定不成立；②成立；③成立；④不成立． 12．【答案】　(1)O　(2)A1B1　(3)AC　(4)OO1 13．【答案】　(2)(3)(4) 【解析】　(1)错误．如图所示，点A∉平面CC1B1B，所以直线AC1⊄平面CC1B1B. (2)正确．如图所示． 因为O∈直线AC⊂平面AA1C1C，O∈直线BD⊂平面BB1D1D，O1∈直线A1C1⊂平面AA1C1C，O1∈直线B1D1⊂平面BB1D1D，所以平面AA1C1C与平面BB1D1D的交线为OO1. (3)(4)都正确，因为AD∥B1C1且AD＝B1C1， 所以四边形AB1C1D是平行四边形， 所以A，B1，C1，D共面． 14．【答案】　共线 【解析】　∵AC∥BD，∴AC与BD确定一个平面，记作平面β，则α∩β＝直线CD.∵l∩α＝O，∴O∈α.又∵O∈AB⊂β，∴O∈直线CD，∴O、C、D三点共线． 15．【答案】　0 【解析】　如题图所示，在正方体ABCD－A′B′C′D′中，AD与A′B′都与直线AA′相交，但是直线AD与A′B′不在同一平面内，故①错误；在正方体ABCD－A′B′C′D′中，直线AB，AD，AA′两两相交，但是这三条直线不在同一平面内，故②错误；当两个平面相交时，两个平面可有无数个公共点，只有当两个平面有三个不共线的公共点时，两个平面才重合，故③错误；两两平行的三条直线也可能在同一平面内，故④错误．综上可知，正确结论的个数是0. 三、解答题 16．【解析】　如图，在平面AA1D1D内，延长D1F， 因为D1F与DA不平行， 因此D1F与DA必相交于一点，设为P，则P∈FD1，P∈AD. 又因为D1F⊂平面BED1F，DA⊂平面ACD， 所以P∈平面BED1F，P∈平面ABCD. 所以P∈(平面BED1F∩平面ABCD)， 即P为平面BED1F与平面ABCD的公共点． 又B为平面ABCD与平面BED1F的公共点， 所以连接PB，PB即为平面ABCD与平面BED1F的交线． 17．【解析】　(1)延长DM交D1A1的延长线于E，连接NE，则NE即为直线l的位置． (2)∵M为AA1的中点，AD∥ED1， ∴AD＝A1E＝A1D1＝a. ∵A1P∥D1N，且D1N＝a，∴A1P＝D1N＝a， 于是PB1＝A1B1－A1P＝a－a＝a. 18．【解析】　(1)分别连接EF，A1B，D1C， ∵E，F分别是AB和AA1的中点， ∴EF∥A1B且EF＝A1B. 又∵A1D1綊B1C1綊BC， ∴四边形A1D1CB是平行四边形， ∴A1B∥CD1，从而EF∥CD1. EF与CD1确定一个平面． ∴E，F，D1，C四点共面． (2)∵EF綊CD1， ∴直线D1F和CE必相交．设D1F∩CE＝P， ∵D1F⊂平面AA1D1D，P∈D1F，∴P∈平面AA1D1D. 又CE⊂平面ABCD，P∈EC，∴P∈平面ABCD， 即P是平面ABCD与平面AA1D1D的公共点． 而平面ABCD∩平面AA1D1D＝直线AD， ∴P∈直线AD(公理3)，∴直线CE，D1F，DA三线共点． 学科网（北京）股份有限公司 $$