专题09 圆-【好题汇编】2025年中考数学一模试题分类汇编（辽宁专用）

专题09 圆 题型概览 题型01 垂径定理、圆周角 题型02 点、直线、圆的位置关系 题型03 正多边形和圆、弧长和扇形面积 ( 题型01 )垂径定理、圆周角 1．（2025·辽宁锦州·一模）如图，在中，，以边为直径的交边于点，则的长为（　　 ） A． B． C． D． 2．（2025·辽宁大连·一模）如图，在平面直角坐标系中，以点O为圆心，适当长为半径作弧，交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B；再分别以点O，B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点C，D，直线与相交于点E．若，则点E的坐标为（   ）    A． B． C． D． 3．（2025·辽宁·一模）如图，在外存在一点，过点作两条直线和交于、、、，点在上，满足，连接，，与交于点，若，，，则的长为（   ） A． B． C．2 D． 4．（2025·辽宁葫芦岛·一模）如图，为直径，弦交半径于点，连接，若，则的度数为 ． 5．（2025·辽宁辽阳·一模）如图，小明同学把一直角三角板的 角的顶点A 放在半径为4的圆形铁丝上，三角板的一条直角边及斜边分别与圆形铁丝交于点 B，C，则图中的长为 ．（结果保留） 6．（2025·辽宁·一模）如图，在△ABC中，，，，分别以、为圆心，大于的长为半径作弧，连接弧的两个交点；分别以、为圆心，大于的长为半径作弧，连接弧的两个交点，取所作两条直线的交点，以该交点为圆心，该交点到的距离为半径作弧交于，则弧的长为 ． 7．（2025·辽宁·一模）把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，，则球的半径为 ． 8．（2025·辽宁葫芦岛·一模）如图，，，射线从开始绕点逆时针旋转，旋转角为（且），点关于的对称点为，直线与交于点，连接，，则面积的最大值是 ． 9．（2025·辽宁葫芦岛·一模）如图，△ABC中，，，，，分别以点A，C为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点M，N，直线交于点，以点为圆心，为半径作弧，交于点，连接，则的长为 ． ( 题型02 )点、直线、圆的位置关系 1．（2025·辽宁大连·一模）如图，，是的直径，切线与延长线相交于点． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 2．（2025·辽宁沈阳·一模）如图，已知是的直径，点在上，且．点是线段延长线上一点，连接并延长交射线于点．点在线段的延长线上，的平分线交射线于点，，连接． (1)求证：； (2)求证：是的切线． 3．（2025·辽宁沈阳·一模）如图，△ABC内接于为的直径，点为上一点，，延长至，连接，使得． (1)求与的位置关系，并说明理由； (2)当，求的长． 4．（2025·辽宁大连·一模）如图1，是直径，点C在上，连接，过点A作的切线交延长线于点D，点E在上，连接，且，连接交线段于点F (1)求证：； (2)如图2，若，，求的半径． 5．（2025·辽宁抚顺·一模）如图，在△ABC中，，，经过，两点，交于点，的延长线交于点，交于点． (1)求证：为的切线； (2)若，，的半径． 6．（2025·辽宁大连·一模）如图，中，以为直径的交于点，交于点，，是的切线，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，若，，求半径的长． 7．（2025·辽宁·一模）如图，四边形内接于，为的直径，点C为的中点，过C作的切线，分别交的延长线于点E，F． (1)求证：； (2)若点G为上一点且位于下方，，，求的长． 8．（2025·辽宁·一模）如图，在中，，以为直径作交于点D，过圆心O作交于点E，连接． (1)如图1，求证：是的切线； (2)如图2，若，，求图中阴影部分的面积． 9．（2025·辽宁铁岭·一模）如图，内接于，是的直径，平分交于点E，交于点H，过点E作的切线，交的延长线于点F，连接． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 10．（2025·辽宁大连·一模）如图1，是的直径，交于点，直线分别交的延长线于点，交于点， (1)求证：是的切线； (2)如图2，连接并延长交的延长线于点，若求的半径长． 11．（2025·辽宁铁岭·一模）如图，是的直径，点在上，点在的延长线上，，平分交于点，连接． (1)求证：是的切线． (2)当，时，求的长． 12．（2025·辽宁大连·一模）如图，是的直径，点C在上，过点C作，点D是的中点，的延长线与相交于点 E， (1)如图1，连接，，求证：四边形是平行四边形． (2)如图2，与 相切于点C，与相交于点 F，连接并延长交于点G，若的半径是4，求的长． 13．（2025·辽宁葫芦岛·一模）如图，是的直径，点是半圆的中点，点是上一点，连接交于，点是延长线上一点，且． (1)求证：是的切线； (2)连接，，，若，，求的半径． 14．（2025·辽宁·一模）如图，在中，，点在上，以为直径的经过上的点，与交于点，且． (1)求证：是的切线． (2)若，，求的长． 15．（2025·辽宁营口·一模）如图，已知为的直径，为的半径，过点C作的切线，过点A作交于点E，交于点D，连接，，，． (1)若长为，求的半径； (2)求证：四边形为菱形． 16．（2025·辽宁锦州·一模）如图，的直径与弦相交于点，过点的切线垂直于射线，垂足为点，连接． (1)求证：； (2)若，求的半径． 17．（2025·辽宁抚顺·一模）如图，点在以为直径的上，点是的中点，点在的延长线上，连接，且． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 18．（2025·辽宁沈阳·一模）如图，在中，点O在边上，以点O为圆心，长为半径作，交线段于点D，点D不与点A重合，经过边上的点E，交边于点F，连接，且 (1)求证：是的切线； (2)若求扇形的面积． 19．（2025·辽宁阜新·一模）如图，四边形中，，，，连接，以点B为圆心，长为半径作，交于点E． (1)试判断与的位置关系，并说明理由； (2)若，，求图中阴影部分的面积． 20．（2025·辽宁本溪·一模）如图，在△ABC中，，为△ABC的外接圆，为的直径，连接、，过作交延长线于点． (1)求证：为的切线； (2)若，，求的长度． 21．（2025·辽宁丹东·一模）如图，是的直径，直线与相切于点A，点C是上的一点，连接，，的平分线交与点D，连接． (1)求证：； (2)若，，求的长． 22．（2025·辽宁盘锦·一模）已知：如图1，是的外接圆，是的直径，平分，交于点D，过点D作交的延长线于点E． (1)求证：是的切线； (2)如图2，若，，平分交于点F，求的长． 23．（2025·辽宁辽阳·一模）如图，是的切线，点A 为切点，连接交于点D，过点A作交于点B，连接并延长交于点C，连接． (1)求证：是的切线． (2)若，求线段的长． 24．（2025·辽宁·一模）在人教版九年级上册数学课本页的实验与探究提及到了圆与圆位置关系，其中内切是指一个圆在另一个圆的内部，且两圆有且只有一个公共点，且过该公共点关于两圆的切线为两个圆的公切线．如图，与内切于点，的半径为，的半径为，，为与的公切线，连接交与于、两点，连接． (1)求证：； (2)若，，求的长． 25．（2025·辽宁葫芦岛·一模）△ABC内接于，的延长线交于点，交于点，连接，平分，过点作，，垂足为点． (1)求证：为的切线； (2)若，，求的长度． 26．（2025·辽宁朝阳·一模）如图，为半圆的直径，点在半圆上，点在的延长线上，与半圆相切于点，与的延长线相交于点，与相交于点，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 27．（2025·辽宁朝阳·一模）如图，⊙是△ABC的外接圆，，点E为⊙外一点，连接并延长，交⊙于点D，交于点M，连接，若，． (1)如图1，求证：是⊙的切线； (2)如图2，若M为的中点，，求的长． ( 题型03 )正多边形和圆、弧长和扇形面积 1．（2025·辽宁锦州·一模）如图，在中，，以边为直径的交边于点，则的长为（　　） A． B． C． D． 2．（2025·辽宁鞍山·一模）如图，把圆分成等份，经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形叫做这个圆的外切正n边形．如图，的半径为R，则它的外切正n边形的边长是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·辽宁大连·一模）如图，扇形纸扇打开后，外侧两竹条夹角，，的长度为 （用含的式子表示）． 4．（2025·辽宁营口·一模）如图，圆锥侧面展开得到扇形，此扇形圆心角，圆锥的底面半径，则此圆锥的侧面积是 ． 5．（2025·辽宁辽阳·一模）如图，小明同学把一直角三角板的 角的顶点A 放在半径为4的圆形铁丝上，三角板的一条直角边及斜边分别与圆形铁丝交于点 B，C，则图中的长为 ．（结果保留） 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题09 圆 题型概览 题型01 垂径定理、圆周角 题型02 点、直线、圆的位置关系 题型03 正多边形和圆、弧长和扇形面积 ( 题型01 )垂径定理、圆周角 1．（2025·辽宁锦州·一模）如图，在中，，以边为直径的交边于点，则的长为（　　 ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】求弧长、圆周角定理、利用平行四边形的性质求解 【分析】本题考查了平行四边形的性质，圆周角定理，弧长，解题的关键是熟练掌握以上性质和定义；连接，根据平行四边形的性质可得，，再根据圆周角定理可得，再根据弧长公式即可得解． 【详解】解：连接， 四边形是平行四边形， ，， ，， ， 的长为， 故选：． 2．（2025·辽宁大连·一模）如图，在平面直角坐标系中，以点O为圆心，适当长为半径作弧，交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B；再分别以点O，B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点C，D，直线与相交于点E．若，则点E的坐标为（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】作垂线(尺规作图)、用勾股定理解三角形、圆的基本概念辨析、坐标与图形综合 【分析】本题主要考查了坐标与图形，勾股定理，线段垂直平分线的尺规作图及性质，连接，设交于，由作图方法可得垂直平分，则，，再利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，连接，设交于， 由作图方法可得垂直平分， ∴，， 又∵， ∴， ∴点E的坐标为， 故选：B．    3．（2025·辽宁·一模）如图，在外存在一点，过点作两条直线和交于、、、，点在上，满足，连接，，与交于点，若，，，则的长为（   ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【难度】0.4 【知识点】圆周角定理、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查圆周角定理，相似三角形的判定和性质，证明，得到，得到，结合，得到，进而得到，连接，证明，列出比例式进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 连接，则：， ∵， ∴， ∴， ∴，即：， ∴或（舍掉）； 故选：C． 4．（2025·辽宁葫芦岛·一模）如图，为直径，弦交半径于点，连接，若，则的度数为 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】半圆（直径）所对的圆周角是直角、同弧或等弧所对的圆周角相等 【分析】本题考查了圆周角定理，连接，可得，进而由可得，即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：连接， ∵为直径， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 5．（2025·辽宁辽阳·一模）如图，小明同学把一直角三角板的 角的顶点A 放在半径为4的圆形铁丝上，三角板的一条直角边及斜边分别与圆形铁丝交于点 B，C，则图中的长为 ．（结果保留） 【答案】 【难度】0.85 【知识点】圆周角定理、求弧长 【分析】本题考查了圆周角定理，弧长公式，先根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半得，再结合弧长公式列式计算，即可作答． 【详解】解：连接，如图所示： ∵， ∴， 则的长， 故答案为：． 6．（2025·辽宁·一模）如图，在△ABC中，，，，分别以、为圆心，大于的长为半径作弧，连接弧的两个交点；分别以、为圆心，大于的长为半径作弧，连接弧的两个交点，取所作两条直线的交点，以该交点为圆心，该交点到的距离为半径作弧交于，则弧的长为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求弧长、 三角形外接圆的概念辨析、圆周角定理 【分析】此题考查了圆周角定理、三角形的外接圆、弧长公式等知识，由作图可知点O为△ABC的外接圆圆心是解题的关键．由作图可知，点O为△ABC的外接圆圆心，连接，由圆周角定理求出，得到，利用弧长公式即可求出答案． 【详解】解：如图，由作图可知，点O为△ABC的外接圆圆心，连接， 在△ABC中，，， ∴， ∴， ∴， ∴弧的长为， 故答案为： 7．（2025·辽宁·一模）把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，，则球的半径为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】用勾股定理解三角形、根据矩形的性质与判定求线段长、利用垂径定理求值 【分析】本题考查了垂径定理，矩形的判定与性质，勾股定理，掌握知识点的应用是解题的关键． 过作，延长交于点，连接，，，则有四边形是矩形，故有，设球的半径为，则，然后通过勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，过作，延长交于点，连接， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴， 设球的半径为，则， 由勾股定理得：， ∴，解得：， 故答案为：． 8．（2025·辽宁葫芦岛·一模）如图，，，射线从开始绕点逆时针旋转，旋转角为（且），点关于的对称点为，直线与交于点，连接，，则面积的最大值是 ． 【答案】 【难度】0.4 【知识点】根据成轴对称图形的特征进行求解、圆周角定理、线段垂直平分线的性质 【分析】本题主要考查了圆周角定理、等腰直角三角形的性质、线段垂直平分线的性质，连接，根据点关于的对称点为，可知是的垂直平分线，根据垂直平分线的性质可知，，从而可知点、、在以点为圆心，为半径的圆上，根据圆周角定理可证是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可知，所以当最大时，的值最大，当旋转角时，点、、共线，线段为的直径，根据，可得圆的直径是，即可求出面积的最大值是． 【详解】解：如下图所示，连接， 点关于的对称点为， 是的垂直平分线， ，， 又， ， 点、、在以点为圆心，为半径的圆上， ， 优弧所对的圆心角是， ， ， 又， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 当最大时，的值最大， 当旋转角时，点、、共线，线段为的直径， 此时最大且， ， 则面积的最大值是． 故答案为：． 9．（2025·辽宁葫芦岛·一模）如图，△ABC中，，，，，分别以点A，C为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点M，N，直线交于点，以点为圆心，为半径作弧，交于点，连接，则的长为 ． 【答案】 【难度】0.4 【知识点】作垂线(尺规作图)、用勾股定理解三角形、同弧或等弧所对的圆周角相等、四点共圆 【分析】根据勾股定理求得，设直线交于点G，连接，，由由作图可得是的垂直平分线，从而证得，根据相似三角形的性质求出，根据作图有，根据等边对等角及三角形的内角和求得，得到，从而点A，C，F，D四点共圆，因此，则，在中，根据勾股定理即可解答． 【详解】解：∵，， ∴△ABC是等腰直角三角形， ∴ ∵，， ∴， ∵，， ∴． 设直线交于点G，连接，， ∵由作图可得是的垂直平分线， ∴，， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， 由作图可得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴点A，C，F，D四点共圆， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵在中，， ∴． 故答案为： 【点睛】本题考查尺规作图——作垂直平分线与作线段等于已知线段，勾股定理，相似三角形的判定及性质，等腰三角形的判定及性质，四点共圆等，正确作出辅助线，综合运用相关知识是解题的关键． ( 题型02 )点、直线、圆的位置关系 1．（2025·辽宁大连·一模）如图，，是的直径，切线与延长线相交于点． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)见解析；(2)5；【难度】0.85 【知识点】圆周角定理、切线的性质定理、用勾股定理解三角形、解直角三角形的相关计算 【分析】本题考查了切线的性质，圆周角定理，勾股定理，解直角三角形的相关性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先由切线的性质得，再结合是的直径，得，再结合等边对等角，即可作答． （2）由圆周角定理得，，，运用勾股定理以及角的余弦性质列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：是的切线， ， ， 是的直径， ， ， ， ． ． （2）解：连接， ， ． 是直径， ， 同理，， 在中，， ，， ， ， 由（1），， ， 在中，， ， 半径． 2．（2025·辽宁沈阳·一模）如图，已知是的直径，点在上，且．点是线段延长线上一点，连接并延长交射线于点．点在线段的延长线上，的平分线交射线于点，，连接． (1)求证：； (2)求证：是的切线． 【答案】(1)见解析；(2)见解析；【难度】0.65 【知识点】同弧或等弧所对的圆周角相等、证明某直线是圆的切线、三角形的外角的定义及性质、等边对等角 【分析】（1）由得到，然后结合得到，推出，即可得到； （2）由平分得到，然后结合三角形外角的性质得到，求出，即可证明是的切线． 【详解】（1）∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴； （2）∵平分 ∴ ∵， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∵是半径 ∴是的切线． 【点睛】本题考查切线的判定，同弧所对的圆周角相等，等边对等角，平行线的判定，三角形外角的性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 3．（2025·辽宁沈阳·一模）如图，△ABC内接于为的直径，点为上一点，，延长至，连接，使得． (1)求与的位置关系，并说明理由； (2)当，求的长． 【答案】(1)相切，理由见解析；(2) 【难度】0.65 【知识点】解直角三角形的相关计算、求弧长、相似三角形的判定与性质综合、证明某直线是圆的切线 【分析】（1）先证明出，由圆周角定理可得，继而等量代换得到，即可证明； （2）先证明，则，可证明得到，解得，，那么，可得半径，由，可得，故，再由弧长公式即可求解． 【详解】（1）解：相切，理由如下： 连接， ∵， ∴， ∵为的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是半径， ∴与相切； （2）解：如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴长为：． 【点睛】本题考查了圆周角定理，圆的切线的判定，等腰三角形的性质，弧长公式，相似三角形的判定与性质，解直角三角形的相关运算，涉及知识点较多，综合性较强，熟练掌握各知识点是解题的关键． 4．（2025·辽宁大连·一模）如图1，是直径，点C在上，连接，过点A作的切线交延长线于点D，点E在上，连接，且，连接交线段于点F (1)求证：； (2)如图2，若，，求的半径． 【答案】(1)见解析；(2)的半径为；【难度】0.65 【知识点】同弧或等弧所对的圆周角相等、用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合、切线的性质定理 【分析】（1）由是的切线可求是的切线，由是直径可求，由圆周角定理可证，从而可证； （2）先求出，在中，根据勾股定理求出，证明，利用相似三角形的性质求出，进而可求出半径的长． 【详解】（1）证明：∵是的切线， ∴， ∴， ∴， ∵是直径， ∴ ∴， ∵， ∴ ∴， ∴； （2）解：由（1）得，， ∵， ∴． ∵是直径， ∴ ∴ 在中，根据勾股定理得 ， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的半径为． 【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握圆的性质是解答本题的关键． 5．（2025·辽宁抚顺·一模）如图，在△ABC中，，，经过，两点，交于点，的延长线交于点，交于点． (1)求证：为的切线； (2)若，，的半径． 【答案】(1)见解析；(2) 【难度】0.65 【知识点】用勾股定理解三角形、等腰三角形的性质和判定、解直角三角形的相关计算、证明某直线是圆的切线 【分析】本题考查了切线的判定定理、解直角三角形、等腰直角三角形的判定与性质、圆周角定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． （1）连接．根据等腰直角三角形的性质可得，由圆周角定理得出，根据平行线的性质得出，即可得证； （2）过点作于点，根据正切的定义求出，根据勾股定理求出，最后再由正切的定义计算即可得解． 【详解】（1）证明：连接． ，， 为等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， ∵为的半径， 为的切线． （2）解：过点作于点， 为等腰直角三角形，，， ， 在中， ， ， 在中， ， ． 在中， ， 设半径为， ， ． 6．（2025·辽宁大连·一模）如图，中，以为直径的交于点，交于点，，是的切线，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，若，，求半径的长． 【答案】(1)见详解；(2) 【难度】0.65 【知识点】圆与三角形的综合(圆的综合问题)、根据菱形的性质与判定求线段长、切线的性质定理、用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查了圆的切线的性质定理，直角三角形的性质，菱形的判定与性质，勾股定理等知识点，解题的关键是构造辅助线，熟练掌握各性质． （1）构造辅助线，利用圆的切线的性质定理和直角三角形的性质，结合给出来的条件判定四边形是菱形，利用菱形的性质即可得出； （2）构造辅助线，利用勾股定理结合公共边相等，列出方程，即可求出线段的长度，进而求出半径即可． 【详解】（1）证明：如图，取边中点，连接． ∵是的切线， ∴， 中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形， ∴， ∴． （2）解： 如图，连接， 由（1）知， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵为的直径， ∴， 中，由勾股定理得，， 中，由勾股定理得，， ∴， ∴， 解得，， ∴半径的长为． 7．（2025·辽宁·一模）如图，四边形内接于，为的直径，点C为的中点，过C作的切线，分别交的延长线于点E，F． (1)求证：； (2)若点G为上一点且位于下方，，，求的长． 【答案】(1)见解析；(2)． 【难度】0.65 【知识点】切线的性质定理、解直角三角形的相关计算、等边对等角、圆周角定理 【分析】（1）连接，可得，然后根据等边对等角证明，再由切线的性质得到，再由平行线的性质即可求证； （2）先由圆周角定理得到，连接，则，解中，，则，证明，解中， 求得，再由即可求解． 【详解】（1）证明：连接， 点C是的中点， ， ， ， ， 切于C， ， ， ； （2）解：、都是所对的圆周角， 连接， 是直径， ， 在中，， ， ， ， 点C是的中点， 在中，， ， ． 【点睛】本题考查了圆的切线的性质，解直角三角形，圆周角定理，等腰三角形的性质等知识点，正确添加辅助线是解题的关键． 8．（2025·辽宁·一模）如图，在中，，以为直径作交于点D，过圆心O作交于点E，连接． (1)如图1，求证：是的切线； (2)如图2，若，，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)详见解析；(2) 【难度】0.65 【知识点】证明某直线是圆的切线、求其他不规则图形的面积、全等的性质和SAS综合（SAS）、圆周角定理 【分析】（1）连接，根据平行线的性质得到，求得，根据全等三角形的性质得到，根据切线的判定定理得到结论； （2）如图，连接，，根据圆周角定理得到，证出四边形为正方形，根据正方形的面积公式和扇形的面积公式即可得到结论． 【详解】（1）证明：如图，连接， ， ， ， ， ， 在与中， ， ， ， 是的半径， 与相切； （2）解：如图，连接， ， ，， ，， 四边形为正方形， ， ∴， ， ， ， 图中阴影部分的面积=四边形的面积-扇形的面积． 【点睛】本题考查了切线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正方形的判定和性质，圆周角定理，扇形面积的计算，熟练掌握切线的判定定理是解题的关键． 9．（2025·辽宁铁岭·一模）如图，内接于，是的直径，平分交于点E，交于点H，过点E作的切线，交的延长线于点F，连接． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)见解析；(2) 【难度】0.65 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、用勾股定理解三角形、切线的性质定理、圆周角定理 【分析】本题考查圆周角定理、圆的切线的性质、平行线的判定、相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握切线的判定和圆周角定理是解答的关键． （1）连接，利用圆周角定理推出，则，再利用切线的性质得到，进而利用平行线的判定可得结论； （2）连接，证明，得到，进而求得，在中，利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：连接， ∵是的直径， ∴， ∵平分， ∴， ∴，则， ∵与相切于点E， ∴， ∴； （2）解：连接， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在中，，， ∴，则， ∴，即的半径为． 10．（2025·辽宁大连·一模）如图1，是的直径，交于点，直线分别交的延长线于点，交于点， (1)求证：是的切线； (2)如图2，连接并延长交的延长线于点，若求的半径长． 【答案】(1)见详解；(2) 【难度】0.65 【知识点】圆周角定理、用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合、证明某直线是圆的切线 【分析】本题主要考查了切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等量代换，直径所对的圆周角是直角，勾股定理等知识点，解题的关键是熟练掌握各性质定理，并灵活应用． （1）根据圆周角的性质定理，直径所对的圆周角是直角，等量代换即可证明是的切线； （2）利用直径定理和切线定理得出，根据相似三角形的性质得出的长度，假设出半径，利用勾股定理列出方程，即可求出结果． 【详解】（1）证明： ． ． ， ． 为直径， ． ． ． ． 为直径， 是切线． （2）解：连接， 为直径， ． ． 由（1）得， ． ． ， ． ． ， ． ． 在中，， ． ． 设， ． 在中， ． ． ∴的半径长为． 11．（2025·辽宁铁岭·一模）如图，是的直径，点在上，点在的延长线上，，平分交于点，连接． (1)求证：是的切线． (2)当，时，求的长． 【答案】(1)见解析；(2) 【难度】0.65 【知识点】证明某直线是圆的切线、相似三角形的判定与性质综合、圆周角定理 【分析】本题考查了切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，直径对的圆周角是直角，熟练掌握切线的判定定理是解题的关键． （1）连接，根据直径所对的圆周角为直角得到．根据等腰三角形的性质得到，求得，根据切线的判定定理得到结论； （2）根据相似三角形的判定和性质定理得到．求得．连接，根据角平分线的定义得到，求得，得到，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵是的直径， ． ． ， ． ∵， ． ． ． 是的半径， 是的切线； （2）解：，， ． ． ∴． ． ． 如图，连接， 平分， ． ． ． 是的直径， ． ． ． 12．（2025·辽宁大连·一模）如图，是的直径，点C在上，过点C作，点D是的中点，的延长线与相交于点 E， (1)如图1，连接，，求证：四边形是平行四边形． (2)如图2，与 相切于点C，与相交于点 F，连接并延长交于点G，若的半径是4，求的长． 【答案】(1)证明见解析；(2) 【难度】0.65 【知识点】切线的性质定理、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、圆与三角形的综合(圆的综合问题)、解直角三角形的相关计算 【分析】本题考查了圆的性质，平行四边形的判定，全等三角形的判定与性质，勾股定理，解直角三角形．综合运用圆的性质，平行四边形的判定，全等三角形的判定与性质，勾股定理，解直角三角形等知识点是解题的关键． （1）利用“”证明后得到，再根据即可证明． （2）根据勾股定理在中求出，进而求出，利用求出，进而求出，最后根据求出后即可求解． 【详解】（1） 证明：∵     ∴，，     ∵点D是的中点，     ∴，     ∴，     ∴，     ∵，     ∴四边形是平行四边形． （2） 解：∵与相切     ∴， ∴， 又的半径是4， ∴，．    由（1）可知     ∴，，， 在中， ， ∴，． 在中，，     ∵是直径，     ∴．     在中，，     ∴，     ∴，     在中，，     ∴， ∴． 13．（2025·辽宁葫芦岛·一模）如图，是的直径，点是半圆的中点，点是上一点，连接交于，点是延长线上一点，且． (1)求证：是的切线； (2)连接，，，若，，求的半径． 【答案】(1)见解析；(2)的半径为6 【难度】0.65 【知识点】证明某直线是圆的切线、解直角三角形的相关计算、圆周角定理、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查圆的切线判定以及利用相似三角形和三角函数求解圆半径，解题关键是通过角的等量代换证明切线，利用圆周角定理、相似三角形性质和三角函数关系计算半径。 （1）连接，，利用得到角相等，结合圆的半径相等及点是半圆中点推出，通过角的等量代换得出，依据切线判定定理证明结论。 （2）利用同弧所对圆周角相等得，结合已知的值得到的值，由直径所对圆周角是直角构建直角三角形，通过角的等量关系证明，根据相似三角形对应边成比例及已知的值求出、，进而得出，得到圆的半径。 【详解】（1）证明：连接，，如图， ， ， ， ， ， 点是半圆的中点， ， ． ，即， ． 为的半径， 是的切线； （2）解：， ， ， 是的直径， ， 在中， ，                      ，， ， ， ， ， ， ，     ， ， ，                 的半径为6． 14．（2025·辽宁·一模）如图，在中，，点在上，以为直径的经过上的点，与交于点，且． (1)求证：是的切线． (2)若，，求的长． 【答案】(1)见详解；(2) 【难度】0.65 【知识点】证明某直线是圆的切线、求弧长、全等的性质和SSS综合（SSS）、解直角三角形的相关计算 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定以及性质，证明某直线是圆的切线，求弧长公式，解直角三角形的相关计算等知识． （1）连接，根据证明，由全等三角形的性质得出，进一步即可证明是的切线． （2）由正切的定义得出，，再由正弦的定义得出，由全等三角形的性质得出，最后根据弧长公式求解即可． 【详解】（1）证明：连接， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线． （2）解：由（1）知，， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中， ， ∴， ∵， ∴， ∴ 15．（2025·辽宁营口·一模）如图，已知为的直径，为的半径，过点C作的切线，过点A作交于点E，交于点D，连接，，，． (1)若长为，求的半径； (2)求证：四边形为菱形． 【答案】(1)3；(2)见解析 【难度】0.65 【知识点】证明四边形是菱形、切线的性质定理、圆周角定理、解直角三角形的相关计算 【分析】（1）连接．根据，得出，根据圆周角定理得出，．在中，解直角三角形即可求出，再根据求出半径． （2）根据切线的性质得出，圆周角定理结合（1）可知，根据，得出，求出，证明，根据圆周角定理得出，求出，证出，得出四边形为平行四边形，结合，即可证平行四边形为菱形． 【详解】（1）解：如图，连接． ， ， ， ， ∵为直径，点C在上， ． 在中，， ，，， ， ． （2）证明：∵为切线， ， ， 由（1）可知， ， ， ， 在中，， ， ， 由（1）可知， ， ， 即， ∵是直径， ， ， ， ， ， ， ∴四边形为平行四边形， ， ∴平行四边形为菱形． 【点睛】该题考查了圆周角定理，切线的性质，菱形的判定，平行四边形的性质和判定，解直角三角形等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． 16．（2025·辽宁锦州·一模）如图，的直径与弦相交于点，过点的切线垂直于射线，垂足为点，连接． (1)求证：； (2)若，求的半径． 【答案】(1)详见解析；(2)的半径为 【难度】0.65 【知识点】同弧或等弧所对的圆周角相等、解直角三角形的相关计算、半圆（直径）所对的圆周角是直角、切线的性质定理 【分析】本题考查的是切线的性质、圆周角定理及推论的应用、解直角三角形， （1）连接，先证明，进而证明，得出，即可证明结论； （2）先求出，再求出，证明是等边三角形即可求出结论． 【详解】（1）证明：如答图，连接． 是的切线， ． 是的直径， ． ． ， ． ． ． （2）解：， ． ． ， ， 在中，， ． ， 是等边三角形． ， 即的半径为 17．（2025·辽宁抚顺·一模）如图，点在以为直径的上，点是的中点，点在的延长线上，连接，且． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析；(2) 【难度】0.65 【知识点】证明某直线是圆的切线、根据特殊角三角函数值求角的度数、圆周角定理、求弧长 【分析】本题主要考查了圆周角定理、圆的切线的判定、特殊角的三角函数值、弧长公式等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键。 （1）根据圆周角定理可得即，再说明，进而求得，即可证明结论； （2）如图，连接，由特殊角的三角函数值可得，进而求得，然后说明，最后根据弧长公式求解即可。 【详解】（1）证明：是的直径， ， ， ， ， ， ，即， ， 是的直径， 是的切线。 （2）解：如图，连接， ， 点是的中点 ， ， ，   ， ， 的长为． 18．（2025·辽宁沈阳·一模）如图，在中，点O在边上，以点O为圆心，长为半径作，交线段于点D，点D不与点A重合，经过边上的点E，交边于点F，连接，且 (1)求证：是的切线； (2)若求扇形的面积． 【答案】(1)见解析；(2) 【难度】0.65 【知识点】证明某直线是圆的切线、利用相似三角形的性质求解、求扇形面积、解直角三角形的相关计算 【分析】（1）由相似三角形的性质得到，结合直径所对的圆周角为，从而得到，证得结论； （2）根据题意，结合已知条件，求得半径长为4，结合图形，得到，从而得到扇形面积． 【详解】（1）证明∶如图，连接， ∵, ∴, ∵， ∴， ∴， ∵是直径， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， 又∵是半径， ∴是的切线； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∵，， ∴， 在中， 且为锐角， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形∶ ∴， ∴扇形的面积为． 【点睛】本题考查了切线的判定，扇形面积公式的应用，相似三角形的性质，圆周角定理，解直角三角形的相关计算，等边三角形的判定和性质，扇形的面积，正确认识图形，熟练掌握切线的判定方法是解题的关键． 19．（2025·辽宁阜新·一模）如图，四边形中，，，，连接，以点B为圆心，长为半径作，交于点E． (1)试判断与的位置关系，并说明理由； (2)若，，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)与相切；理由见解析；(2) 【难度】0.65 【知识点】证明某直线是圆的切线、求其他不规则图形的面积、全等的性质和SAS综合（SAS）、解直角三角形的相关计算 【分析】（1）过点B作，证明，得到，即可证明与相切； （2）先证明是等边三角形，根据三线合一得到，求出，再利用，求出阴影部分面积． 【详解】（1）解：与相切，理由如下： 过点B作，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，又，， ∴， ∴， ∴点F在上， ∴与相切； （2）解：∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴阴影部分的面积 ． 【点睛】本题考查了切线的判定，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，扇形面积，三角函数的定义，题目的综合性较强，难度不小，解题的关键是正确做出辅助线． 20．（2025·辽宁本溪·一模）如图，在△ABC中，，为△ABC的外接圆，为的直径，连接、，过作交延长线于点． (1)求证：为的切线； (2)若，，求的长度． 【答案】(1)详见解析；(2) 【难度】0.65 【知识点】证明某直线是圆的切线、解直角三角形的相关计算、半圆（直径）所对的圆周角是直角、求弧长 【分析】（1）连接，并延长交于点，根据等腰三角形的性质证明是的垂直平分线，证明边形为矩形，得出，即可证明结论； （2）根据等腰三角形性质求出，求出，根据，求出，根据弧长公式求出结果即可． 【详解】（1）解：连接，并延长交于点， ， 是的垂直平分线， ， ， ， 为的直径， ， 四边形为矩形， ， 即， 是的半径， 为的切线； （2）解：，， ， ， ， ， ， ， 四边形为矩形，， ， 在中，， ， ， ， 的长度为． 【点睛】本题主要考查等腰三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，弧长公式，圆周角定理，切线的判定，解直角三角形的相关计算，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． 21．（2025·辽宁丹东·一模）如图，是的直径，直线与相切于点A，点C是上的一点，连接，，的平分线交与点D，连接． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析；(2) 【难度】0.65 【知识点】半圆（直径）所对的圆周角是直角、求弧长、圆周角定理、切线的性质定理 【分析】（1）先证明，可得，再证明，再进一步可得结论； （2）先证明可得，， 连接，，证明，再进一步利用弧长公式求解即可． 【详解】（1）解：直线与相切于点A， ， ， 是的直径， 在中，， 平分， ， ． （2）解：， ， ， ， ， 连接，， ， ， 半径， 的长度． 【点睛】本题考查的是切线的性质，圆周角定理的应用，三角形的内角和定理的应用，求解弧长，掌握以上基础知识是解本题的关键． 22．（2025·辽宁盘锦·一模）已知：如图1，是的外接圆，是的直径，平分，交于点D，过点D作交的延长线于点E． (1)求证：是的切线； (2)如图2，若，，平分交于点F，求的长． 【答案】(1)见详解；(2) 【难度】0.65 【知识点】证明某直线是圆的切线、解直角三角形的相关计算、含30度角的直角三角形、圆周角定理 【分析】（1）通过证明，结合平分可得，再根据可得，即可证明是的切线； （2）如图，作于点，连接，根据圆周角定理得出，根据平分，得出，即可得，推出根据，，得出，即可求出，根据圆周角定理得出，解直角三角形求出，即可求解． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； （2）解：如图，作于点，连接， ∵是的直径， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴ ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】该题以圆为载体，以考查切线的判定、勾股定理、圆周角定理、等腰三角形的性质、解直角三角形等重要几何知识点为核心构造而成；对综合的分析问题解决问题的能力提出了较高的要求． 23．（2025·辽宁辽阳·一模）如图，是的切线，点A 为切点，连接交于点D，过点A作交于点B，连接并延长交于点C，连接． (1)求证：是的切线． (2)若，求线段的长． 【答案】(1)见解析；(2) 【难度】0.65 【知识点】证明某直线是圆的切线、相似三角形的判定与性质综合、圆周角定理、解直角三角形的相关计算 【分析】（1）先由是的切线，得，结合平行线的性质得，，整理得，证明，得因为是的半径，故是的切线．即可作答． （2）过点D作于点N，运用圆周角定理得，根据得出，根据勾股定理得，证明，则，代入数值得 ，，证明，则，即可作答． 【详解】（1）解：连接，如图所示： ∵是的切线， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴ ∴， 又∵是的半径， ∴是的切线． （2）解：过点D作于点N， 则， ∵是的直径， ∴， ∵在中， ，， ∴， 由勾股定理得， ∴， ∴， ∵， ∴， 则， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴ ，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了切线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，解直角三角形，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 24．（2025·辽宁·一模）在人教版九年级上册数学课本页的实验与探究提及到了圆与圆位置关系，其中内切是指一个圆在另一个圆的内部，且两圆有且只有一个公共点，且过该公共点关于两圆的切线为两个圆的公切线．如图，与内切于点，的半径为，的半径为，，为与的公切线，连接交与于、两点，连接． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析；(2)． 【难度】0.4 【知识点】用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合、圆和圆的位置关系、圆与三角形的综合(圆的综合问题) 【分析】根据切线的性质和圆周角定理可证，，根据可证，从而可证； 由可知，又有，可证，根据相似三角形的性质可得，设，则，利用勾股定理可得，，设，则，利用勾股定理可得，，，再利用相似三角形的性质可得 ，从而可求． 【详解】（1）证明：如图，延长交于点，连接，连接， 为与的公切线，为的半径， ， ， ，与内切， 、、三点共线， 又为的直径， ， ，， ， ，， ， 又， ， ； （2）解：，， ， ，， ，， ， 设，则， 在中， ， 解得：， ， ， 设，则， 在中，， ， 解得：， ，， ， ，， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理、圆与圆的位置关系、相似三角形的判定与性质、勾股定理，本题的综合性较强，解决本题的关键需要熟练地掌握图形的性质，并综合运用这些性质． 25．（2025·辽宁葫芦岛·一模）△ABC内接于，的延长线交于点，交于点，连接，平分，过点作，，垂足为点． (1)求证：为的切线； (2)若，，求的长度． 【答案】(1)证明见解析；(2) 【难度】0.4 【知识点】证明某直线是圆的切线、相似三角形的判定与性质综合、根据正方形的性质与判定求线段长、半圆（直径）所对的圆周角是直角 【分析】（）连接，由圆周角定理得，进而由，即得，得到，进而得，由根据平行线的性质得，得，即得，即得到，即可求证； （）过点作于，过点作的延长线于，可得，由四边形是正方形得，即得 ，再由得，，进而由得，最后利用勾股定理解答即可求解． 【详解】（1）证明：连接， ∵是的直径， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， ∵是的半径， ∴为的切线； （2）解：如图，过点作于，过点作的延长线于， 则，， 由（）得，， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 即， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了切线的判定和性质，圆周角定理，弧弦圆心角的关系，等腰三角形的性质，勾股定理，正方形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等，正确作出辅助线是解题的关键． 26．（2025·辽宁朝阳·一模）如图，为半圆的直径，点在半圆上，点在的延长线上，与半圆相切于点，与的延长线相交于点，与相交于点，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析；(2) 【难度】0.4 【知识点】切线的性质定理、正切的概念辨析、根据等边对等角证明、用勾股定理解三角形 【分析】（）连接，由等腰三角形的性质得，进而由切线的性质得，再由对顶角和等腰三角形的性质可得，即得，即可求证； （）设，则，可得，，再在中，利用勾股定理得，即得，得到，，，再根据求出即可求解． 【详解】（1）证明：连接， ∵， ∴, ∵是切线， ∴， ∴， 即， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：设，则， ∴，， ∴， 在中，， ∴， 解得，(不合，舍去)， ∴，，， ∵， ∴， 解得， ∴． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，切线的性质，勾股定理，锐角三角函数等知识，灵活运用以上知识是解题的关键． 27．（2025·辽宁朝阳·一模）如图，⊙是△ABC的外接圆，，点E为⊙外一点，连接并延长，交⊙于点D，交于点M，连接，若，． (1)如图1，求证：是⊙的切线； (2)如图2，若M为的中点，，求的长． 【答案】(1)见解析；(2)的长13． 【难度】0.4 【知识点】等腰三角形的性质和判定、证明某直线是圆的切线、二次根式的混合运算、圆周角定理 【分析】（1）连接，由题意易得，，然后可得，，进而可得，则问题可求证； （2）连接，由题意可先证，则有，设，则，然后可根据勾股定理建立方程进行求解． 【详解】（1）证明：如图，连接， ， 中，． 又， ． ， ． ． ， ， ， ． 即：． 为的切线； （2）解：如图，连接， ， ． 又， ． ， ． ． ，为的直径． ． ． 设， 则． ． ， 即：， ． ． 在中， ． 【点睛】本题主要考查切线的性质与判定、圆周角定理、二次根式的混合运算及勾股定理等知识点，熟练掌握切线的性质与判定、圆周角定理及勾股定理是解题的关键． ( 题型03 )正多边形和圆、弧长和扇形面积 1．（2025·辽宁锦州·一模）如图，在中，，以边为直径的交边于点，则的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】利用平行四边形的性质求解、圆周角定理、求弧长 【分析】本题考查了平行四边形的性质，圆周角定理，弧长，解题的关键是熟练掌握以上性质和定义；连接，根据平行四边形的性质可得，，再根据圆周角定理可得，再根据弧长公式即可得解． 【详解】解：连接， 四边形是平行四边形， ，， ，， ， 的长为， 故选：． 2．（2025·辽宁鞍山·一模）如图，把圆分成等份，经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形叫做这个圆的外切正n边形．如图，的半径为R，则它的外切正n边形的边长是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】切线的性质定理、正多边形和圆的综合、互余两角三角函数的关系、解直角三角形的相关计算 【分析】本题考查正多边形和圆，掌握正多边形的性质，中心角的计算方法以及直角三角形的边角关系是正确解答的关键． 如图，设正n边形的边与内切圆相切于点M，连接，则，，根据求解即可． 【详解】解：如图，设正n边形的边与内切圆相切于点M，连接，则，， 由正多边形的性质可知，， ∴，， ∴， ∴ ． 故选：A． 3．（2025·辽宁大连·一模）如图，扇形纸扇打开后，外侧两竹条夹角，，的长度为 （用含的式子表示）． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】求弧长 【分析】本题考查弧长计算公式，根据外侧两竹条夹角和弧长计算公式可以得到弧的长． 【详解】解：∵，， ∴的长为：， 故答案为：． 4．（2025·辽宁营口·一模）如图，圆锥侧面展开得到扇形，此扇形圆心角，圆锥的底面半径，则此圆锥的侧面积是 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】求圆锥侧面积 【分析】题考查了扇形的弧长公式，圆锥的侧面展开图，先根据圆锥的侧面展开图，扇形的弧长等于该圆锥的底面圆的周长，即可得出结论． 【详解】解：由题意得，扇形的弧长， 圆锥的底面圆的周长， ∴，解得， ∴此圆锥的侧面积是， 故答案为：． 5．（2025·辽宁辽阳·一模）如图，小明同学把一直角三角板的 角的顶点A 放在半径为4的圆形铁丝上，三角板的一条直角边及斜边分别与圆形铁丝交于点 B，C，则图中的长为 ．（结果保留） 【答案】 【难度】0.85 【知识点】圆周角定理、求弧长 【分析】本题考查了圆周角定理，弧长公式，先根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半得，再结合弧长公式列式计算，即可作答． 【详解】解：连接，如图所示： ∵， ∴， 则的长， 故答案为：． 11 / 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