专题12.9 定义、命题、证明压轴题综合测试卷-【新教材】2024-2025学年七年级数学下册举一反三系列（苏科版2024）

第12章 定义、命题、证明压轴题综合测试卷 【苏科版2024】 考试时间：120分钟；满分：120分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题，满分120分，限时120分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！ 第Ⅰ卷 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．(3分)（24-25七年级·江苏苏州·期中）若实数a，b，c（a，b，c均不为0）满足，且，则下列命题为假命题的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2．(3分)（24-25七年级·江苏南通·期中）石墨烯在材料学、微纳加工、能源、生物医学和药物传递等方面具有重要的应用前景．它的分子结构如图所示，所有多边形都是正多边形，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．(3分)（24-25七年级·河北邯郸·阶段练习）题目：“如图，在中，，将沿折叠得到，若与的边平行，求．”甲答：，乙答：，丙答：，则正确的是（　　）    A．只有甲答的对 B．甲、乙答案合在一起才完整 C．乙、丙答案合在一起才完整 D．三人答案合在一起才完整 4．(3分)（24-25七年级·福建南平·期末）一个多边形的内角和与它的一个外角的和为，则这个多边形的边数为（     ） A．5 B．6 C．7 D．8 5．(3分)（24-25七年级·山东烟台·期中）如图，正八边形的两条对角线相交形成，则的度数为（    ） A． B． C． D． 6．(3分)（24-25七年级·江苏苏州·期中）如图，在中，平分，于点．的角平分线所在直线与射线相交于点，若，且，则的度数为(　　) A． B． C． D． 7．(3分)（24-25七年级·重庆·期中）如图，在中，点为和的角平分线的交点，连接，作的一条角平分线．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 8．(3分)（24-25七年级·江苏泰州·期末）如图，七边形中，的延长线交于点O，若的外角和等于，则的度数为（    ） A． B． C． D． 9．(3分)（24-25七年级·四川宜宾·期末）如图，，，平分交于点，点是射线上任一点，连结、，若，，则的大小为（    ） A． B． C．或 D．或 10．(3分)（24-25七年级·江苏泰州·期末）在三角形纸片中，，点D为边上靠近点C处一定点，点E为边上一动点，沿折叠三角形纸片，点C落在点处．有以下四个结论： ①如图1，当点落在BC边上时，； ②如图2，当点落在△ABC内部时，； ③如图3，当点落在△ABC上方时，； ④当时，或，其中正确结论的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．(3分)（24-25七年级·江苏泰州·期末）下列语句中，属于定义的是 ．（填序号） 三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和； 只有符号不同的两个数称为互为相反数； 你的作业做完了吗？ 天空真蓝啊 如果两个角的度数之和等于，那么这两个角互为补角． 12．(3分)（24-25七年级·河北廊坊·阶段练习）可以用一个数的值说明命题“如果能被整除，那么它也能被整除”是假命题，这个数可以是 ． 13．(3分)（24-25七年级·江苏苏州·期中）小明在计算一个多边形内角和是，经检验发现少算一个角，则少算的这个角度数数为 ． 14．(3分)（24-25七年级·江苏南京·期末）如图，在四边形ABCD中，∠C+∠D=，E、F分别是AD、BC上的点，将四边形CDEF沿直线EF翻折，得到四边形，交AD于点G，若△EFG有两个相等的角，则∠EFG = ． 15．(3分)（24-25七年级·四川成都·期中）如图，在中，已知，点O为内一点，且，其中平分，平分，平分，平分平分，平分，…，以此类推，则 ， ． 16．(3分)（24-25七年级·四川甘孜·期中）如图，在中，．现将沿过点的一条直线折叠，使点落在线段的延长线上的点处，的角平分线与折痕交于点，连接，．若中一个内角的度数是另一个内角度数的倍，则的度数为 ． 第Ⅱ卷 三．解答题（共8小题，满分72分） 17．(6分)（24-25七年级·浙江金华·期中）你能否用方框（图示虚线框）在如图所示的月历中圈出9个数，使这9个数之和为171？如果能，请说明理由．如果不能，那么在下一个月的月历中能否圈出？为什么？ 18．(6分)（24-25七年级·陕西榆林·阶段练习）如图，已知直线、，连接，，点、分别在、上，连接．现有以下选项：①；②；③． (1)请你以①②为题设，③为结论，用“如果…那么…”的形式写出这个命题； (2)判断（1）中所写命题的真假，若为真命题，则说明理由；若为假命题，则举出反例． 19．(8分)（24-25七年级·吉林长春·期中）（1）填表： n（凸多边形的边数） 3 4 5 … m（凸多边形中角度等于135°的内角个数的最大值） 　　 　　 　　 　…　 （2）猜想给定一个正整数n，凸n边形最多有m个内角等于135°，则m与n之间有怎样的关系？ （3）取n＝7验证你的猜想是否成立？如果不成立，请给出凸n边形中最多有多少个内角等于135°？并说明理由． 20．(8分)（24-25七年级·四川遂宁·期中）（1）如图1的图形我们把它称为“8字形”，请说明； 【简单应用】 （2）如图2，、分别平分．，若，，求的度数； 【问题探究】 （3）如图3，直线平分的外角，平分的外角，若，，请猜想的度数，并说明理由． 21．(10分)（24-25七年级·四川绵阳·期中）（1）如图1，在中，已知，点E在线段的延长线上，和的角平分线交于点D，则 ； （2）如图2，，且，和的平分线交于点F，则等于多少（用α，β表示）？ （3）如图3，，且，和的平分线交于点F，则等于多少（用α，β表示）？ 22．（10分）（24-25七年级·吉林松原·期中）问题情境：如图①，，，，求度数．小明的思路是：过P作，通过平行线性质来求的度数． (1)按小明的思路，易求得的度数为______度； (2)问题迁移：如图②，，点P在射线上运动，记，． ①当点P在B、D两点之间运动时，请直接写出与α，β之间的数量关系； ②如果点P在B、D两点外侧运动时（点P与点O、B、D三点不重合），请直接写出与α，β之间的数量关系； (3)问题解决： 如图③是北斗七星的位置图，将其抽象成图④，其中北斗七星分别标为A、B、C、D、E、F、G，将A、B、C、D、E、F、A顺次连接，天文小组发现若AF恰好经过点G，且，，，那么与有什么关系？请说明． 23．(12分)（24-25七年级·湖北武汉·期末）在中，，的角平分线，交于点． (1)【问题呈现】如图1，若，求的度数； (2)【问题推广】如图2，将沿折叠，使得点与点重合，若，求的度数； (3)【问题拓展】若，分别是线段，上的点，设，．射线与的平分线所在的直线相交于点（不与点重合），直接写出与之间的数量关系（用含，的式子表示）． 24．(12分)（24-25七年级·浙江湖州·期末）【问题情境】在综合实践课上，老师组织同学开展了探究角与角数量关系的数学活动，如图1，，、是直线上的两点，连接、交于点 【探索发现】（1）判断，和之间的数量关系，并说明理由． 【深入探究】如图2，过点作，交的延长线于点，交于点，过点作分别交、于点，． （2）若平分，，求的度数． （3）如图3，在（2）的条件下，将绕着点以每秒的速度逆时针旋转，旋转时间为，当边与射线重合时停止，则在旋转过程中，当边与的某一边平行时，直接写出此时的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第12章 定义、命题、证明压轴题综合测试卷 【苏科版2024】 参考答案与试题解析 第Ⅰ卷 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．(3分)（24-25七年级·江苏苏州·期中）若实数a，b，c（a，b，c均不为0）满足，且，则下列命题为假命题的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】本题考查了代数式求值，不等式的性质，真、假命题．解题的关键在于对等式进行合理的等量代换．由，，可得，进而可判断A的真假；由，可得，，则，整理得，，进而可判断B的真假；由，且，，可得，整理得，，计算求解，可判断C的真假；由，整理得，，由，可得，进而可判断D的真假． 【详解】解：∵，， ∴，正确，A为真命题，故不符合要求； ∵， ∴，， ∴，整理得，，正确，B为真命题，故不符合要求； ∵，且，， ∴，整理得，，解得或，错误，C为假命题，故符合要求； ∵，且， ∴，整理得，， ∵， ∴，正确，D为真命题，故不符合要求； 故选：C． 2．(3分)（24-25七年级·江苏南通·期中）石墨烯在材料学、微纳加工、能源、生物医学和药物传递等方面具有重要的应用前景．它的分子结构如图所示，所有多边形都是正多边形，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了多边形内角和与外角和综合；根据题意求得正六边形的外角，进而即可求得的度数． 【详解】解：∵正六边形的外角和为， ∴每一个外角为， ∴的度数为， 故选：C． 3．(3分)（24-25七年级·河北邯郸·阶段练习）题目：“如图，在中，，将沿折叠得到，若与的边平行，求．”甲答：，乙答：，丙答：，则正确的是（　　）    A．只有甲答的对 B．甲、乙答案合在一起才完整 C．乙、丙答案合在一起才完整 D．三人答案合在一起才完整 【答案】B 【分析】与的边平行，画图有两种情况，和， 当时，， 当时，，结果有两个答案． 【详解】解：①如图，与的边平行    沿折叠得到， 又 ②如图，与的边平行，    沿折叠得到， 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形的折叠与平行的结合，几何图形折叠后对应角相等和两直线平行同位角内错角相等是解题的关键． 4．(3分)（24-25七年级·福建南平·期末）一个多边形的内角和与它的一个外角的和为，则这个多边形的边数为（     ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【分析】本题考查多边形的内角和与外角和、方程的思想．关键是记住内角和的公式与外角和的特征，还需要懂得挖掘此题隐含着边数为正整数这个条件．本题既可用整式方程求解，也可用不等式确定范围后求解． 【详解】解法1：设边数为n，这个外角为x度，则根据题意，得 解得：． ∵n为正整数， ∴必为180的倍数， 又∵， ∴． 解法2：∵． ∴，即． 又∵， ∴， 解之得． ∵边数n为正整数， ∴． 故选A． 5．(3分)（24-25七年级·山东烟台·期中）如图，正八边形的两条对角线相交形成，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正多边形的内角和问题以及内角问题，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识点，熟练掌握多边形的内角和公式是解题的关键． 先求出正八边形的内角的度数，再由，根据等边对等角以及三角形内角和定理求出的度数，最后由三角形的外角性质即可求解． 【详解】解：如图， 由题意得：，， ∴， ∴， 故选：D． 6．(3分)（24-25七年级·江苏苏州·期中）如图，在中，平分，于点．的角平分线所在直线与射线相交于点，若，且，则的度数为(　　) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形内角和定理，三角形外角的性质等知识，由题意平分，平分，推出，，设，设，，用含和的代数式表示和即可解决问题． 【详解】解：如图： 平分，平分， ，， 设，，， 由外角的性质得： ， ， ，解得， ， ．     故选：C． 7．(3分)（24-25七年级·重庆·期中）如图，在中，点为和的角平分线的交点，连接，作的一条角平分线．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查三角形的内角和定理，角平分线的定义等知识，根据角平分线定义可得，，从而可求出． 【详解】解：∵， ∴， ∵是的平分线，是的平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是和平分线， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴, 故选：A． 8．(3分)（24-25七年级·江苏泰州·期末）如图，七边形中，的延长线交于点O，若的外角和等于，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查多边形的内角和，利用内角和外角的关系求得的和是解题的关键．由外角和内角的关系可求得的和，由多边形的内角和公式求得五边形的内角和，即可求得． 【详解】解：∵的外角和等于， ， ， ∵五边形内角和， ， ， 故选：A． 9．(3分)（24-25七年级·四川宜宾·期末）如图，，，平分交于点，点是射线上任一点，连结、，若，，则的大小为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】分两种情况讨论：①当点F在线段上时，由平行线的性质和角平分线的定义可得，则可得，进而可得，再结合即可求出的度数．②当点F在线段的延长线上时，延长线段交于G点，由平行线的性质和角平分线的定义可得，再根据三角形内角和定理可得，，再结合即可求出的度数． 本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义以及三角形内角和定理，熟练掌握以上知识，并且分类讨论是解题的关键． 【详解】解：①如图，当点F在线段上时， ， ， ∵平分 ， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得； ②如图，当点F在线段的延长线上时，延长线段交于G点， ， ， 又，， ， ∵平分， ， ， ， ， 中，， 中，， 又， 解得． 故选：C． 10．(3分)（24-25七年级·江苏泰州·期末）在三角形纸片中，，点D为边上靠近点C处一定点，点E为边上一动点，沿折叠三角形纸片，点C落在点处．有以下四个结论： ①如图1，当点落在BC边上时，； ②如图2，当点落在△ABC内部时，； ③如图3，当点落在△ABC上方时，； ④当时，或，其中正确结论的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查了折叠的性质，三角形外角的性质，三角形内角和及平行线的性质，掌握折叠的性质是解题的关键．由折叠的性质及三角形外角的性质、三角形内角和可判断①②③；分点落在△ABC上方与下方两种情况，由平行线的性质、折叠的性质、三角形外角的性质与三角形内角和即可判断④． 【详解】解：当点落在BC边上时， 由折叠性质得：， 则， ， 故①正确； 当点落在△ABC内部时， 由折叠性质得：， 又， ， ， ； 故②正确； 当点落在△ABC上方时， 由折叠性质得：， 又， ， ， ； 即； 故③正确； 当时， 若点在下方，如图， ， ； 由折叠性质得：， 即； 而， ， ， 即； 若点在上方，如图， ， ； 由折叠性质得：， ， 综上，或； 故④正确． 故选：D． 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．(3分)（24-25七年级·江苏泰州·期末）下列语句中，属于定义的是 ．（填序号） 三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和； 只有符号不同的两个数称为互为相反数； 你的作业做完了吗？ 天空真蓝啊 如果两个角的度数之和等于，那么这两个角互为补角． 【答案】 【分析】此题考查了定义，根据相反数、补角的定义和对顶角、邻补角、三角形的外角性质判断. 【详解】解：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，不属于定义； 只有符号不同的两个数称为互为相反数，属于定义； 你的作业做完了吗？，不属于定义； 天空真蓝啊，不属于定义； 如果两个角的度数之和等于，那么这两个角互为补角，属于定义． 故答案为：. 12．(3分)（24-25七年级·河北廊坊·阶段练习）可以用一个数的值说明命题“如果能被整除，那么它也能被整除”是假命题，这个数可以是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了命题与定理、真命题与假命题；正确判断真命题与假命题是解决问题的关键．由整除的性质得出是假命题，即可得出结论． 【详解】解：可以用一个的值说明命题“如果能被整除，那么它也能被整除”是假命题， 这个值可以是， 故答案为：（答案不唯一）． 13．(3分)（24-25七年级·江苏苏州·期中）小明在计算一个多边形内角和是，经检验发现少算一个角，则少算的这个角度数数为 ． 【答案】/100度 【分析】本题主要考查了多边形的内角和定理，正确确定多边形的边数是解题的关键． 边形的内角和是，少计算了一个内角，结果得．则内角和是与的差一定小于180度，并且大于0度．因而可以解不等式，多边形的边数一定是最小的整数值，从而求出多边形的边数，内角和，进而求出少计算的内角． 【详解】解：设多边形的边数是． 依题意有， 解得：， 则多边形的边数； 多边形的内角和是度； 则未计算的内角的大小为． 故答案为：． 14．(3分)（24-25七年级·江苏南京·期末）如图，在四边形ABCD中，∠C+∠D=，E、F分别是AD、BC上的点，将四边形CDEF沿直线EF翻折，得到四边形，交AD于点G，若△EFG有两个相等的角，则∠EFG = ． 【答案】或 【分析】根据题意△EFG有两个角相等，于是有三种情况，分别令不同的两个角相等，利用折叠的性质和四边形的内角和列方程，最后综合得出答案． 【详解】解：分三种情况： （1）当∠FGE＝∠FEG时， 设∠EFG＝x，则∠EFC＝x，∠FGE＝∠FEG＝， 在四边形GFCD中，由内角和为得： ， ∵∠C+∠D＝， ∴， 解得：； （2）当∠GFE＝∠FEG时， 在四边形GFCD中，由内角和为得：， 得，显然不成立， 即此种情况不存在； （3）当∠FGE＝∠GFE时， 同理有：， ∵∠C+∠D＝， ∴， 解得：， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了图形的翻折，三角形和四边形的内角和，有一定难度，熟悉三角形和四边形的内角和定理以及正确的分情况讨论是解题关键． 15．(3分)（24-25七年级·四川成都·期中）如图，在中，已知，点O为内一点，且，其中平分，平分，平分，平分平分，平分，…，以此类推，则 ， ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的定义、三角形的内角和定理，正确归纳类推出一般规律是解题关键． 先根据三角形的内角和定理可得的度数，再根据角平分线的定义、三角形内角和定理即可求出的度数，同样的方法求出的度数，然后归纳类推出一般规律，由此即可得出答案． 【详解】解：， ， ， ， ， 平分，平分， ，， ， ， ， ， ， ， 同理可得：， ， ， ， ， ， ， 归纳类推得：，其中为正整数， ∴， 故答案为：；． 16．(3分)（24-25七年级·四川甘孜·期中）如图，在中，．现将沿过点的一条直线折叠，使点落在线段的延长线上的点处，的角平分线与折痕交于点，连接，．若中一个内角的度数是另一个内角度数的倍，则的度数为 ． 【答案】或或． 【分析】本题考查三角形的知识，解题的关键是掌握三角形内心的性质，三角形内角和，三角形的外角，分类讨论：当；当；当；当；当时，当情况，即可． 【详解】解：∵沿过点的一条直线折叠，使点落在线段的延长线上的点处， ∴， ∴是的角平分线， ∵是的角平分线， ∴点是的内心， ∴是的角平分线， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵中一个内角的度数是另一个内角度数的倍， ∴当， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴； 当， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，不符合题意， ∴不存在； 当， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴， ∴， ∴； ∴ ∴； 当， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 当时， ∴， ∵， ∵， ∴， ∴， ∴，不符合题意， ∴不存在； 当， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，不符合题意； ∴不存在； 综上所述：；；． 故答案为：或或． 第Ⅱ卷 三．解答题（共8小题，满分72分） 17．(6分)（24-25七年级·浙江金华·期中）你能否用方框（图示虚线框）在如图所示的月历中圈出9个数，使这9个数之和为171？如果能，请说明理由．如果不能，那么在下一个月的月历中能否圈出？为什么？ 【答案】不能，下一个月的月历中能圈出，理由见解析 【分析】此题考查反证法及一元一次方程的应用，反证法是一种论证方式，它首先假设某命题不成立（即在原命题的题设下，结论不成立），然后推理出明显矛盾的结果，从而下结论说假设不成立，原命题得证．根据反证法的步骤解答． 【详解】解：不能圈出，理由如下： 假设能圈出，设中间一个数为，则其余8个数字为：， 根据题意，得，即． 解得． 则其余8个数字为：， 与如图所示日历比较，19位于该月月历的最后一列，与题设矛盾，因此不能圈出； 如图下一个月的月历中能圈出， 因为下个月的月历1号是星期四， 所以19位于下一个月的月历的第4行第2列． 18．(6分)（24-25七年级·陕西榆林·阶段练习）如图，已知直线、，连接，，点、分别在、上，连接．现有以下选项：①；②；③． (1)请你以①②为题设，③为结论，用“如果…那么…”的形式写出这个命题； (2)判断（1）中所写命题的真假，若为真命题，则说明理由；若为假命题，则举出反例． 【答案】(1)如果，，那么 (2)真命题，见解析 【分析】（1）根据命题书写格式，按照“如果…那么…”的形式写出即可； （2）利用平行线的判定定理证明即可． 本题考查了命题的书写格式，平行线的判定和性质，熟练掌握判定定理是解题的关键． 【详解】（1）解：根据题意，①；②为条件，③是结论， 故命题写作：如果，，那么． （2）证明：该命题为真命题，理由如下： ， ， ， ， ， ． 19．(8分)（24-25七年级·吉林长春·期中）（1）填表： n（凸多边形的边数） 3 4 5 … m（凸多边形中角度等于135°的内角个数的最大值） 　　 　　 　　 　…　 （2）猜想给定一个正整数n，凸n边形最多有m个内角等于135°，则m与n之间有怎样的关系？ （3）取n＝7验证你的猜想是否成立？如果不成立，请给出凸n边形中最多有多少个内角等于135°？并说明理由． 【答案】（1）1，2，3；（2）m＝n﹣2；（3）不成立，当3≤n≤5时，凸n边形最多有n﹣2个内角等于135°；当6≤n≤7时，凸n边形最多有n﹣1个内角等于135°；当n＝8时，凸n边形最多有8个内角等于135°；当n＞8时，凸n边形最多有7个内角等于135°，理由见解析 【分析】（1）根据三角形、四边形、五边形的内角和，可求得答案； （2）根据（1）可猜想凸n边形中角度等于135°的内角个数的最大值为：n﹣2； （3）设凸n边形最多有m个内角等于135°，则每个135°内角的外角都等于45°，由凸n边形的n个外角和为360°，分类讨论，可确定凸n边形中最多有多少个内角等于135°． 【详解】解：（1）∵三角形中只有一个钝角， ∴三边形中角度等于135°的内角个数的最大值为1； ∵四边形的内角和为360°， ∴四边形中角度等于135°的内角个数的最大值为2； ∵五边形的内角和为540°， ∴五边形中角度等于135°的内角个数的最大值为3； 答案：1，2，3； （2）由（1）得：凸n边形中角度等于135°的内角个数的最大值为：n﹣2． 即m＝n﹣2； （3）取n＝7时，m＝6，验证猜想不成立； 设凸n边形最多有m个内角等于135°，则每个135°内角的外角都等于45°， ∵凸n边形的n个外角和为360°， ∴k≤＝8，只有当n＝8时，m才有最大值8， 讨论n≠8时的情况： （1）当时n＞8，m的值是7； （2）当n＝3，4，5时，m的值分别为1，2，3； （3）当n＝6，7时，m的值分别为5，6； 综上所述，当3≤n≤5时，凸n边形最多有n﹣2个内角等于135°；当6≤n≤7时，凸n边形最多有n﹣1个内角等于135°；当n＝8时，凸n边形最多有8个内角等于135°；当n＞8时，凸n边形最多有7个内角等于135°． 【点睛】此题考查了多边形的内角和与外角和的知识．此题难度较大，注意掌握分类讨论思想的应用是解此题的关键． 20．(8分)（24-25七年级·四川遂宁·期中）（1）如图1的图形我们把它称为“8字形”，请说明； 【简单应用】 （2）如图2，、分别平分．，若，，求的度数； 【问题探究】 （3）如图3，直线平分的外角，平分的外角，若，，请猜想的度数，并说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【分析】本题考查三角形内角和，三角形的外角的性质，解题的关键是学会用方程组的思想思考问题． （1）根据三角形内角和定理即可证明； （2）如图2，根据角平分线的性质得到，，列方程组即可得到结论； （3）由平分的外角，平分的外角，推出，，推出，，由，，推出，即可解决问题. 【详解】（1）证明：在中，， 在中，， ， ； （2）解：如图2， 、分别平分，， ，， 由（1）的结论得： ， ①②，得， ； （3）解：如图3， 平分的外角，平分的外角， ，， ，， ， ， ， ． 21．(10分)（24-25七年级·四川绵阳·期中）（1）如图1，在中，已知，点E在线段的延长线上，和的角平分线交于点D，则 ； （2）如图2，，且，和的平分线交于点F，则等于多少（用α，β表示）？ （3）如图3，，且，和的平分线交于点F，则等于多少（用α，β表示）？ 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）根据角平分线的定义可得，结合三角形外角的性质可得，即可求解； （2）由三角形外角的性质可得，然后根据角平分线的定义可得，再由四边形内角和定理，即可求解； （3）由三角形外角的性质可得，再由对顶角相等可得，然后由角平分线的定义可得，从而得到，即可求解． 【详解】解：（1）如图1， ∵分别平分和， ∴． ∵是的一个外角， ∴． ∵是的一个外角， ∴． ∴． 故答案为：． （2）由题意，如图2， ∵是的一个外角， ∴． 又∵分别平分和， ∴． ∴． 又∵， ∴． 又∵， ∴． （3）由题意，如图3， ∵是的一个外角， ∴． 又∵， ∴． 又∵分别平分和， ∴． ∴． 又∵， ∴ 又∵， ∴． 【点睛】本题主要考查三角形内角和定理，三角形外角的性质，多边形的内角和定理，角平分线的定义等知识的综合，掌握多边形内角和定理，三角形外角的性质是解题的关键． 22．（10分）（24-25七年级·吉林松原·期中）问题情境：如图①，，，，求度数．小明的思路是：过P作，通过平行线性质来求的度数． (1)按小明的思路，易求得的度数为______度； (2)问题迁移：如图②，，点P在射线上运动，记，． ①当点P在B、D两点之间运动时，请直接写出与α，β之间的数量关系； ②如果点P在B、D两点外侧运动时（点P与点O、B、D三点不重合），请直接写出与α，β之间的数量关系； (3)问题解决： 如图③是北斗七星的位置图，将其抽象成图④，其中北斗七星分别标为A、B、C、D、E、F、G，将A、B、C、D、E、F、A顺次连接，天文小组发现若AF恰好经过点G，且，，，那么与有什么关系？请说明． 【答案】(1) (2)①．②或 (3)与的关系是：，理由见解析 【分析】（1）过点P作，利用平行线的性质分别求出，，再求出它们的和即可得； （2）①过点P作交于E，推出，根据平行线的性质得出，，即可得出答案； ②分两种情况：当P在的延长线上时；当点P在线段上时，分别画出图形，根据平行线的性质得出，，即可得出答案； （3）根据（2）的结论得，即可得出结论． 【详解】（1）解：过点P作， ∵， ∴， ∴， ， ∴， 故答案为：； （2）． 理由：如图，过点P作交于E， ∵， ∴， ∴，， ∴； ②如图，当点P在的延长线上时，， 过点P作交于E， ∵， ∴， ∴，， ∴； 如图，当点P在线段上时，， 过点P作交于E， ∵， ∴， ∴，， ∴． （3）∵，， 由（2）得：， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了平行线的性质和判定，平行公理推论的应用，根据平行线的性质探究角的关系，求角的和差，解题关键是通过作辅助线构造平行线． 23．(12分)（24-25七年级·湖北武汉·期末）在中，，的角平分线，交于点． (1)【问题呈现】如图1，若，求的度数； (2)【问题推广】如图2，将沿折叠，使得点与点重合，若，求的度数； (3)【问题拓展】若，分别是线段，上的点，设，．射线与的平分线所在的直线相交于点（不与点重合），直接写出与之间的数量关系（用含，的式子表示）． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查角平分线的定义，三角形的内角和定理，折叠的性质，熟知相关知识是解题的关键． （1）根据三角形内角和定理和角平分线的定义求解即可； （2）先由折叠的性质和平角的定义得到，进而求出，同（1）即可得到答案； （3）当两种情况画图，讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 又∵，分别平分， ∴，， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， 由折叠可得：，， ∴ ∴， ∴， 又∵，分别平分， ∴，， ∴， ∴； （3）解：如图，设与相交于点G， ∴， 又∵平分， ∴， ∵，分别是和的平分线， ∴，， ∴，， ∴， ， ∴； 如图，设直线交于点G， ， 又∵平分， ∴， ∴， ∵，是和的平分线， ∴，， ∴， ∴， ， ∴； 综上所述，与之间的数量关系为或． 24．(12分)（24-25七年级·浙江湖州·期末）【问题情境】在综合实践课上，老师组织同学开展了探究角与角数量关系的数学活动，如图1，，、是直线上的两点，连接、交于点 【探索发现】（1）判断，和之间的数量关系，并说明理由． 【深入探究】如图2，过点作，交的延长线于点，交于点，过点作分别交、于点，． （2）若平分，，求的度数． （3）如图3，在（2）的条件下，将绕着点以每秒的速度逆时针旋转，旋转时间为，当边与射线重合时停止，则在旋转过程中，当边与的某一边平行时，直接写出此时的值． 【答案】（1），见解析；（2）；（3），， 【分析】（1）根据平行线的性质可得出，根据三角形的外角的性质可得，等量代换，即可求解； （2）根据平行线的性质得出，根据角平分线的定义，以及，得出，则，进而根据平行线的性质以及角平分线的定义得出，根据三角形的外角的性质，即可求解； （3）设旋转后的三角形为，的对应点为，分三种情况讨论，根据平行线的性质即可求解． 【详解】解：（1），理由如下： ， ， 是 的外角， ， ， （2） ， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ， ， 平分， ， ， ， 是 的外角， ； （3）由（2）可得，， 设旋转后的三角形为，的对应点为 ①当时，延长交于点， 如图所示， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ②当时，如图所示， ∴ ∴ ∴ ∴ ③当时，如图所示， ∴ ∴ ∴ ∴ 综上所述，，， 【点睛】本题考查了三角形的外角的性质，三角形内角和定理，平行线的性质，角平分线的定义，旋转的性质，熟练掌握以上知识，分类讨论是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$