1.2 直线的方程（9大题型）（精练）-2025-2026学年高二数学新教材同步配套培优讲义与精练（苏教版2019选择性必修第一册）

1.2 直线的方程 目录 01 基础题型归纳 2 题型一：点斜式方程 2 题型二：斜截式方程 2 题型三：两点式求方程 3 题型四：截距式方程 3 题型五：一般式方程 3 题型六：已知线段两端点坐标，求其中点坐标 3 题型七：分析含参数的直线方程，确定其恒过的定点 4 题型八：直线的一般式方程化为其他形式的方程 4 题型九：直线一般式方程的应用 4 题型十：直线方程的灵活应用 5 题型十一：综合运用直线方程的性质解决实际问题 6 02 重难点拓展 7 题型一：点斜式方程 1．（2025·高二·湖南长沙·期末）过点，倾斜角为的直线方程为（    ） A． B． C． D． 2．（2025·高二·广东河源·期中）过点，倾斜角为的直线方程为（    ） A． B． C． D． 3．（2025·高二·甘肃酒泉·期中）已知直线l的一个方向向量为，若l过点，则直线l的方程为（） A． B． C． D． 题型二：斜截式方程 4．根据条件写出下列直线的斜截式方程： (1)写出斜率为，在y轴上截距为的直线的斜截式方程； (2)求过点，斜率为的直线的斜截式方程； (3)已知直线方程为，求直线的斜率，在y轴上的截距，以及与y轴交点的坐标． 5．已知直线l的斜率为，且和两坐标轴围成面积为3的三角形，求l的斜截式方程． 题型三：两点式求方程 6．经过两点，的直线方程是 . 7．若直线l经过点，则直线l的方程为 ． 8．经过点和点的直线方程是 . 题型四：截距式方程 9．直线的截距式方程为 . 10．过点且在坐标轴上的截距相等的直线的斜率是 . 11．求符合下列条件的直线方程． (1)直线过点，且斜率为； (2)斜率为，且与两坐标轴围成的面积为6； (3)直线过点，且横截距为纵截距的两倍． 题型五：一般式方程 12．（2025·高二·江西赣州·期末）对于直线，下列选项正确的是（   ） A．直线倾斜角为 B．直线经过第四象限 C．直线在轴上的截距为 D．直线的一个方向向量为 13．已知直线的倾斜角为，则（    ） A．3 B． C． D． 题型六：已知线段两端点坐标，求其中点坐标 14．直线l经过点P（1，2），且与x轴、y轴分别交于A，B两点，若P是线段AB的中点，则直线l的一般式方程为 ． 15．直线经过连接，的线段的中点，则实数＝ . 16．（2025·高二·江苏徐州·期中）直线分别交x轴和轴于A、两点，若是线段的中点，则直线的方程为 . 题型七：分析含参数的直线方程，确定其恒过的定点 17．（2025·高二·山西晋城·期中）已知直线：（）恒过定点，则该定点为（   ） A． B． C． D． 18．（2025·高二·江苏扬州·期中）对于任意的实数，直线恒过定点（   ） A． B． C． D． 19．（2025·高二·福建福州·期中）已知向量，，且．若点的轨迹过定点，则这个定点的坐标是（    ） A． B． C． D． 题型八：直线的一般式方程化为其他形式的方程 20．已知直线过点，且与轴，轴分别交于点． (1)当时，求的方程； (2)若，求当取最小值时，的方程． 21．已知，在中， (1)求边的方程； (2)求边上的中线所在直线的方程． 22．（2025·高二·安徽淮北·期中）根据条件写出下列直线的方程，并化成一般式： (1)直线的斜率为，在轴上的截距是； (2)直线的倾斜角是直线的倾斜角的一半，且过点． 题型九：直线一般式方程的应用 23．已知直线：. （1）求证：无论为何值，直线必经过第一象限. （2）若直线不经过第二象限，求实数的取值范围. 24．（2025·高一·山东滨州·期末）设直线的方程为. (1)若在两坐标轴上的截距相等,求的方程; (2)若不经过第二象限,求实数的取值范围; (3)若与轴正半轴的交点为,与轴负半轴的交点为,求(为坐标原点)面积的最小值. 25．（2025·高一·江西宜春·期末）设直线的方程为． （1）若在两坐标轴上的截距相等，求的方程； （2）若不经过第二象限，求实数的取值范围． 题型十：直线方程的灵活应用 26．的三个顶点分别为、、． （1）求边和所在直线的方程； （2）求的平分线所在的直线的方程． 27．（2025·高二·湖南长沙·期中）已知的三个顶点分别为，，. (1)求边和所在直线的方程； (2)求边上的中线所在直线与坐标轴围成的三角形的面积. 28．已知的三个顶点为.求边上的中线所在直线的方程. 题型十一：综合运用直线方程的性质解决实际问题 29．（2025·高二·北京·期中）已知三角形的三个顶点． (1)求边所在直线的方程; (2)求的面积． 30．直线过点，且在两坐标轴上的截距之和为12． (1)求直线的方程 (2)求直线与两条坐标轴所围成三角形的面积． 31．在平面直角坐标系中，过的直线与坐标轴交于两点，的面积记为． (1)当直线在轴上截距为4时，求的值； (2)当时，求直线在轴上的截距． 1．设，若直线与线段AB有交点，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．直线，点，，若与线段AB相交，则的范围为（    ） A． B． C． D． 3．（2025·高二·四川眉山·期中）已知直线在轴上的截距是轴上截距的倍，则的值为（    ） A． B． C． D． 4．（2025·高二·黑龙江哈尔滨·期中）直线l过点，且纵截距为横截距的两倍，则直线l的方程是（   ） A． B． C．或 D．或 5．（2025·高二·江苏连云港·期中）已知直线过点，且在轴与轴上的截距互为相反数，则直线的方程为（   ） A． B． C．或 D．或 6．（2025·高二·安徽黄山·期中）已知点是直线上一点，且是直线的一个方向向量，若角的终边落在直线上，则（    ） A． B． C． D． 7．（2025·高二·广东·期中）已知点，直线，若位于直线的两侧，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．（2025·高二·湖北武汉·期中）已知直线绕点逆时针旋转，得到直线，则不过第（   ）象限． A．四 B．三 C．二 D．一 9．（2025·高二·广东广州·期中）已知直线，若直线与连接、两点的线段总有公共点，则直线的斜率的范围为（    ） A． B． C． D． 10．（2025·高二·天津南开·期中）已知两点直线与线段AB相交，则直线的斜率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 11．（多选题）下列说法不正确的有（ ） A．直线的倾斜角越大，斜率越大 B．若直线l经过点，.则直线l的倾斜角是 C．直线的倾斜角的取值范围是 D．直线在轴上的截距是3 12．（多选题）（2025·高二·浙江杭州·期末）下列说法正确的有（   ） A．直线倾斜角越大，斜率越大 B．过点的直线方程是 C．经过点且在x轴和y轴上截距相等的直线有2条 D．直线在y轴上的截距是 13．（多选题）（2025·高二·内蒙古赤峰·期末）下列说法正确的是（    ） A．直线恒过定点 B．如果，那么直线不经过第四象限 C．已知直线过点，且在轴上截距相等，则直线的方程为 D．若直线沿轴向左平移3个单位长度，再沿轴向上平移2个单位长度后，回到原来的位置，则该直线的斜率为 14．在平面直角坐标系中过点作直线，分别与轴的正半轴、y轴的正半轴交于点.当直线的斜率为 时，的面积最小，最小面积是 . 15．（2025·高二·吉林长春·期末）已知直线的斜率小于，且经过点，并与坐标轴交于两点，，当的面积取得最小值时，直线的斜率为 . 16．已知点分别在直线上移动.若为原点，，则直线斜率的取值范围是 . 17．（2025·高二·安徽·期中）过点引直线，分别交，轴的负半轴于、两点，则面积的最小值是 ，此时直线的方程是 . 18．（2025·高二·江苏苏州·期中）在平面直角坐标系xOy中，且过点的直线l与坐标轴交于A、B两点，的面积记为S. (1)当直线l在y轴上的截距为2，求S的值； (2)当，求直线l在x轴上的截距. 19．（2025·高二·宁夏吴忠·期中）已知直线． (1)求直线所过定点； (2)若直线不经过第四象限，求实数的取值范围； (3)若直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求的方程． 20．已知直线与两坐标轴围成的三角形的面积为3，若直线过定点，求直线的方程. 21．的三个顶点分别为，，求这个三角形的三边及边上的中线所在直线的方程． 2 / 2 https://shop.xkw.com/650087 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.2 直线的方程 目录 01 基础题型归纳 2 题型一：点斜式方程 2 题型二：斜截式方程 3 题型三：两点式求方程 3 题型四：截距式方程 4 题型五：一般式方程 5 题型六：已知线段两端点坐标，求其中点坐标 6 题型七：分析含参数的直线方程，确定其恒过的定点 7 题型八：直线的一般式方程化为其他形式的方程 8 题型九：直线一般式方程的应用 9 题型十：直线方程的灵活应用 11 题型十一：综合运用直线方程的性质解决实际问题 12 02 重难点拓展 15 题型一：点斜式方程 1．（2025·高二·湖南长沙·期末）过点，倾斜角为的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为倾斜角为，所以， 由直线的点斜式方程得. 故选：B. 2．（2025·高二·广东河源·期中）过点，倾斜角为的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】直线倾斜角为，斜率，直线点斜式方程为． 故选：D 3．（2025·高二·甘肃酒泉·期中）已知直线l的一个方向向量为，若l过点，则直线l的方程为（） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据直线的方向向量可得直线的斜率为，又因为直线过点， 所以直线的方程为, 故选：A. 题型二：斜截式方程 4．根据条件写出下列直线的斜截式方程： (1)写出斜率为，在y轴上截距为的直线的斜截式方程； (2)求过点，斜率为的直线的斜截式方程； (3)已知直线方程为，求直线的斜率，在y轴上的截距，以及与y轴交点的坐标． 【解析】（1）直线的斜率，纵截距， 所以该直线的斜截式方程为. （2）过点，斜率为的直线的点斜式方程为， 所以该直线的斜截式方程为. （3）直线方程化为， 所以该直线的斜率为，在y轴上的截距为1，直线与y轴交点的坐标为． 5．已知直线l的斜率为，且和两坐标轴围成面积为3的三角形，求l的斜截式方程． 【解析】设直线方程为，则时，时，. 由已知可得， 即，∴. 故所求直线方程为或 题型三：两点式求方程 6．经过两点，的直线方程是 . 【答案】 【解析】根据直线的两点式方程得，整理得. 故答案为： 7．若直线l经过点，则直线l的方程为 ． 【答案】 【解析】由于点A与点B的横坐标相等，所以直线l的斜率不存在， 所求的直线方程为． 故答案为： 8．经过点和点的直线方程是 . 【答案】 【解析】经过点和点的直线方程是：， 整理得. 故答案为： 题型四：截距式方程 9．直线的截距式方程为 . 【答案】 【解析】直线的截距式方程为：. 故答案为： 10．过点且在坐标轴上的截距相等的直线的斜率是 . 【答案】或 【解析】当直线过原点时，在坐标轴上的截距都为0， 此时直线的斜率为：； 当直线不过原点时，设直线的方程为， 则，即， 则直线的方程为，斜率为. 故答案为：或. 11．求符合下列条件的直线方程． (1)直线过点，且斜率为； (2)斜率为，且与两坐标轴围成的面积为6； (3)直线过点，且横截距为纵截距的两倍． 【解析】（1）所求直线过点 ，且斜率为， 直线方程为， 即． （2）设直线方程为， 令，得， 令，得， ，解得， 直线方程为， 即． （3）当横截距与纵截距都为0时，可设直线方程为， 又直线过点， ，解得， 直线方程为，即； 当横截距与纵截距都不为0时，可设直线方程为， 由题意可得解得 直线方程为，即； 综上，所求直线方程为或． 题型五：一般式方程 12．（2025·高二·江西赣州·期末）对于直线，下列选项正确的是（   ） A．直线倾斜角为 B．直线经过第四象限 C．直线在轴上的截距为 D．直线的一个方向向量为 【答案】D 【解析】设直线的倾斜角为，， 对于A，直线的斜率为，所以，则，故A错误； 对于B，当时，，即直线过点，且倾斜角为， 所以直线经过第一、二、三象限，不经过第四象限，故B错误； 对于C，由B知，直线在轴上的截距为，故C错误； 对于D，当时，，即直线过点， 则，所以直线的一个方向向量为，故D正确. 故选：D. 13．已知直线的倾斜角为，则（    ） A．3 B． C． D． 【答案】A 【解析】由题可知直线的斜率为，所以. 故选：A. 题型六：已知线段两端点坐标，求其中点坐标 14．直线l经过点P（1，2），且与x轴、y轴分别交于A，B两点，若P是线段AB的中点，则直线l的一般式方程为 ． 【答案】 【解析】设由中点坐标公式得：，解得：， 则直线过点， ∴直线的方程为：， 即． 故答案为：. 15．直线经过连接，的线段的中点，则实数＝ . 【答案】2 【解析】连接，由中点的坐标公式，可得其中点的， 将点代入直线的方程可得，解得. 故答案为：2. 16．（2025·高二·江苏徐州·期中）直线分别交x轴和轴于A、两点，若是线段的中点，则直线的方程为 . 【答案】 【解析】因A、两点在x轴和轴上，设， 因是线段的中点，则， 故直线的截距式方程为：. 故答案为：. 题型七：分析含参数的直线方程，确定其恒过的定点 17．（2025·高二·山西晋城·期中）已知直线：（）恒过定点，则该定点为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】直线的方程可整理为，令时，，则恒过定点， 故选：. 18．（2025·高二·江苏扬州·期中）对于任意的实数，直线恒过定点（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】直线， 即， 令，解得， 即直线恒过定点， 故选：B. 19．（2025·高二·福建福州·期中）已知向量，，且．若点的轨迹过定点，则这个定点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】， ， 即， 所以点的轨迹方程为， 显然不论取何值，总有满足方程， 即点的轨迹过定点， 故选：A 题型八：直线的一般式方程化为其他形式的方程 20．已知直线过点，且与轴，轴分别交于点． (1)当时，求的方程； (2)若，求当取最小值时，的方程． 【解析】（1）若，则，即过点， 且直线过点，则的方程为，即； 若，则，设的方程为，即， 将代入方程，得，解得， 所以的方程为，即； 综上所述：直线的方程为或． （2）设直线的方程为，且， 由直线经过点得， 则， 当且仅当，即时取得等号， 所以的方程为，即． 21．已知，在中， (1)求边的方程； (2)求边上的中线所在直线的方程． 【解析】（1）边过两点 由两点式，得，即， 故边的方程是． （2）设的中点为， 则，， 所以， 又边的中线过点， 所以，即， 所以边上的中线所在直线的方程为． 22．（2025·高二·安徽淮北·期中）根据条件写出下列直线的方程，并化成一般式： (1)直线的斜率为，在轴上的截距是； (2)直线的倾斜角是直线的倾斜角的一半，且过点． 【解析】（1）因为直线斜率为，在轴上的截距是， 所以由斜截式可得直线方程为，整理得. （2）因为直线的斜率为， 所以直线的倾斜角为， 所以由题意得所求直线的倾斜角为，则斜率， 设所求直线为，将代入可得，解得， 所以所求直线方程为，整理得． 题型九：直线一般式方程的应用 23．已知直线：. （1）求证：无论为何值，直线必经过第一象限. （2）若直线不经过第二象限，求实数的取值范围. 【解析】（1）由，故直线过定点，且该点在第一象限， ∴无论为何值，直线必经过第一象限. （2）由（1）知：要使直线不经过第二象限，则，而， ∴，即的取值范围. 24．（2025·高一·山东滨州·期末）设直线的方程为. (1)若在两坐标轴上的截距相等,求的方程; (2)若不经过第二象限,求实数的取值范围; (3)若与轴正半轴的交点为,与轴负半轴的交点为,求(为坐标原点)面积的最小值. 【解析】(1)若,解得,化为. 若,解得,可得直线的方程为:. 综上所述，直线的方程为或. (2), ∵不经过第二象限,∴,解得. ∴实数的取值范围是. (3)令,解得,解得; 令,解得,解得或. 因此,解得. ∴ , 当且仅当时取等号. ∴(为坐标原点)面积的最小值是6. 25．（2025·高一·江西宜春·期末）设直线的方程为． （1）若在两坐标轴上的截距相等，求的方程； （2）若不经过第二象限，求实数的取值范围． 【解析】（1）中，对分和两种情况分类讨论，即可求解直线的方程；（2）中利用直线不过第二象限，列出不等式组，即可求解实数的取值范围． 试题解析：将直线的方程化为斜截式为 （1）①当直线过原点时，该直线在x轴和y轴上的截距为零，当然相等． ∴当即时，满足条件，此时方程为． ②当斜率为-1，直线在两坐标轴上的截距也相等． ∴当即时，满足条件，此时方程为． 综上所述，若在两坐标轴上的截距相等，的方程为或． （2）不经过第二象限 ∴ ， 解得． ∴的取值范围为（－∞，1]． 题型十：直线方程的灵活应用 26．的三个顶点分别为、、． （1）求边和所在直线的方程； （2）求的平分线所在的直线的方程． 【解析】（1）∵，， ∴直线AC的截距式方程得：，化简得 ∵， ∴由直线的两点式方程，得AB方程为，即 综上所述，边AC所在直线的方程为，边AB所在直线的方程为. （2），. 由及内角平分线定理得. 设 ∴ ∴：. 27．（2025·高二·湖南长沙·期中）已知的三个顶点分别为，，. (1)求边和所在直线的方程； (2)求边上的中线所在直线与坐标轴围成的三角形的面积. 【解析】（1）由截距式，得边所在直线的方程为，即. 由两点式，得边所在直线的方程为，即. （2）由题意，得点的坐标为， 由两点式，得边所在直线的方程为， 即，所以. 所以直线与坐标轴围成的三角形的面积. 28．已知的三个顶点为.求边上的中线所在直线的方程. 【解析】如图， 因为，所以的中点为， 又因为，所以直线的斜率为， 所以直线的点斜式方程为， 化为一般式为. 题型十一：综合运用直线方程的性质解决实际问题 29．（2025·高二·北京·期中）已知三角形的三个顶点． (1)求边所在直线的方程; (2)求的面积． 【解析】（1）由题知,,根据两点式方程可得, 边所在直线的方程为, 化简可得直线方程为. （2）由题知,将,,三点标记到直角坐标系如图所示, 分别过,,向轴做垂线,垂足为,,, 则有 所以的面积为3. 30．直线过点，且在两坐标轴上的截距之和为12． (1)求直线的方程 (2)求直线与两条坐标轴所围成三角形的面积． 【解析】（1）由于直线在两坐标轴上的截距之和为12， 因此直线在两坐标轴上的截距都存在且不过原点， 故可设直线方程为：，且，① 又因为直线过点， 所以，② 由①②解得或， 所以直线的方程为：或， 即或. （2）由（1）可知，当直线的方程为时， ； 当直线的方程为时， ， 所以直线与两条坐标轴所围成三角形的面积为或. 31．在平面直角坐标系中，过的直线与坐标轴交于两点，的面积记为． (1)当直线在轴上截距为4时，求的值； (2)当时，求直线在轴上的截距． 【解析】（1）当直线在轴上截距为4时，直线过点，又直线过， 根据两点式，得，即. 令，得， 所以的面积. （2）由题知，截距一定不为，不妨设直线：. 则得或 所以直线在轴上的截距为. 1．设，若直线与线段AB有交点，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由得， 因此直线过定点，且斜率， 如图所示，当直线由直线按顺时针方向旋转到直线的位置时，符合题意． 易得，． 结合图形知或，解得或， 即的取值范围是． 故选：C 2．直线，点，，若与线段AB相交，则的范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题设，则，可得， 所以直线过定点，则，， 由图可知直线的斜率的取值范围为：或，又， 所以或，即或， 又时直线的方程为，仍与线段相交， 所以的取值范围为. 故选：C 3．（2025·高二·四川眉山·期中）已知直线在轴上的截距是轴上截距的倍，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】依题意可得， 当时，直线为，此时横纵截距都等于，满足题意； 当时，将直线的方程化为截距式方程可得， 直线在轴上的截距为，在轴上截距， 则，得或（舍去）. 综上所述，的值为或． 故选：C. 4．（2025·高二·黑龙江哈尔滨·期中）直线l过点，且纵截距为横截距的两倍，则直线l的方程是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【解析】当直线过原点时，直线斜率为，直线方程为，整理得. 当直线不过原点时，设直线方程为，代入得，，解得，直线方程为，整理得. 综上得，直线的方程为或. 故选：C. 5．（2025·高二·江苏连云港·期中）已知直线过点，且在轴与轴上的截距互为相反数，则直线的方程为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【解析】设所求直线的横截距为， 当时，可设直线为，将点代入，可得， 所以直线方程为， 当时，可设直线为，将点代入，可得， 所以直线方程为， 综上，直线的方程为或. 故选：C. 6．（2025·高二·安徽黄山·期中）已知点是直线上一点，且是直线的一个方向向量，若角的终边落在直线上，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为直线过点，且平行于向量，所以直线的方程为， 当时，取终边上的点，可得， 当时，取终边上的点，可得， 所以若角的终边落在直线上，则， 所以. 故选：A. 7．（2025·高二·广东·期中）已知点，直线，若位于直线的两侧，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由，可得， 所以直线恒过点， 则， 由题意，直线只需与线段相交（不包括端点）即可， 故的取值范围为. 故选：B 8．（2025·高二·湖北武汉·期中）已知直线绕点逆时针旋转，得到直线，则不过第（   ）象限． A．四 B．三 C．二 D．一 【答案】D 【解析】对于直线（为斜率），直线，其斜率，设其倾斜角为，根据，可得，又因为倾斜角，所以. 直线绕点逆时针旋转，则直线的倾斜角. 直线的斜率. 因为直线过点，根据直线的点斜式方程（为直线上一点，为斜率），可得直线的方程为，即. 直线的斜率为负，截距为负，所以直线不过第一象限. 故选：D. 9．（2025·高二·广东广州·期中）已知直线，若直线与连接、两点的线段总有公共点，则直线的斜率的范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】直线的方程化为，由，解得， 因此直线过定点，线的斜率， 直线的斜率， 如下图所示，由直线与线段总有公共点，得直线的斜率有或， 又直线的斜率， 所以直线的斜率的范围为. 故选：A 10．（2025·高二·天津南开·期中）已知两点直线与线段AB相交，则直线的斜率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】直线，即，令，可得直线经过定点， 又，． 直线与线段相交， 由图可得，则直线的斜率取值范围是． 故选：D． 11．（多选题）下列说法不正确的有（ ） A．直线的倾斜角越大，斜率越大 B．若直线l经过点，.则直线l的倾斜角是 C．直线的倾斜角的取值范围是 D．直线在轴上的截距是3 【答案】ABD 【解析】对于A，当倾斜角为时，斜率为，当倾斜角为时，斜率为，故A错误； 对于B，直线l的倾斜角满足，但不一定有，故B错误； 对于C，直线的倾斜角为，则， 因为，所以，故C正确； 对于D，直线，即，故直线直线在轴上的截距是，故D错误. 故选：ABD. 12．（多选题）（2025·高二·浙江杭州·期末）下列说法正确的有（   ） A．直线倾斜角越大，斜率越大 B．过点的直线方程是 C．经过点且在x轴和y轴上截距相等的直线有2条 D．直线在y轴上的截距是 【答案】CD 【解析】A.当直线倾斜角为钝角时，直线斜率，当直线倾斜角为锐角时，直线斜率，故A错误. B.当时，过点的直线方程是，故B错误. C.当直线过原点时，由直线过点可得直线斜率，故直线方程为. 当直线不过原点时，设直线方程为， 把点代入直线方程得，解得，故直线方程为， 综上得，经过点且在x轴和y轴上截距相等的直线有2条，故C正确. D.对于直线，令，得，故直线在y轴上的截距是，故D正确. 故选：CD. 13．（多选题）（2025·高二·内蒙古赤峰·期末）下列说法正确的是（    ） A．直线恒过定点 B．如果，那么直线不经过第四象限 C．已知直线过点，且在轴上截距相等，则直线的方程为 D．若直线沿轴向左平移3个单位长度，再沿轴向上平移2个单位长度后，回到原来的位置，则该直线的斜率为 【答案】ABD 【解析】A：由，显然直线恒过，对； B：由，则， 而直线可化为，所以直线不经过第四象限，对； C：若直线过原点时，直线为，即，错； D：令原直线为，根据平移有， 所以与为同一直线， 所以，对. 故选：ABD 14．在平面直角坐标系中过点作直线，分别与轴的正半轴、y轴的正半轴交于点.当直线的斜率为 时，的面积最小，最小面积是 . 【答案】 2 【解析】设，， 则，将代入得， 由基本不等式得， 当且仅当，即时，等号成立， ∴， ， 所以直线的斜率为，的面积最小值为. 故答案为：①；②. 15．（2025·高二·吉林长春·期末）已知直线的斜率小于，且经过点，并与坐标轴交于两点，，当的面积取得最小值时，直线的斜率为 . 【答案】 【解析】设直线l的方程为，令，得，令，得. 则和坐标轴的交点为，. 所以， 可得的面积为，当且仅当，即等号成立； 故答案为：. 16．已知点分别在直线上移动.若为原点，，则直线斜率的取值范围是 . 【答案】 【解析】因为点分别在直线上移动， 所以， 两式相减得 所以直线的斜率， 因为，所以，所以， 即直线斜率的取值范围是. 故答案为： 17．（2025·高二·安徽·期中）过点引直线，分别交，轴的负半轴于、两点，则面积的最小值是 ，此时直线的方程是 . 【答案】 48 【解析】设，，其中，，则直线的方程为. 在直线上，. 又，即，. 所以， 当且仅当时取等号，再结合解得，，， 所以面积的最小值为48， 此时直线的方程为， 即. 故答案为：. 18．（2025·高二·江苏苏州·期中）在平面直角坐标系xOy中，且过点的直线l与坐标轴交于A、B两点，的面积记为S. (1)当直线l在y轴上的截距为2，求S的值； (2)当，求直线l在x轴上的截距. 【解析】（1）直线l的斜率为， 故直线l的方程为，令得， 所以； （2）设直线l在x轴上的截距为， 当时，直线l与轴无交点，不合题意，舍去， 则直线l的斜率为，直线l的方程为， 中，令得， 故，解得 故直线l在x轴上的截距为. 19．（2025·高二·宁夏吴忠·期中）已知直线． (1)求直线所过定点； (2)若直线不经过第四象限，求实数的取值范围； (3)若直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求的方程． 【解析】（1）由，即， 则，解得，所以直线过定点. （2）因为直线不过第四象限，结合图形可知，直线的斜率存在，所以， 此时，直线的方程可化为，记点，则， 由图可得，解得，因此，实数的取值范围是. （3）已知直线，且由题意知， 令，得，得， 令，得，得， 则， 所以当时，取最小值， 此时直线的方程为，即. 20．已知直线与两坐标轴围成的三角形的面积为3，若直线过定点，求直线的方程. 【解析】由题意知，直线的斜率存在且不为0，设直线的方程是， 令，得；令，得； 则直线在轴、轴上的截距分别是，， 因为直线与两坐标轴围成的三角形的面积为3， ∴，即 当时，，即，，无实数解； 当时，，解得或， 时，直线的方程是，即； 时，直线的方程是，即； 所以直线的方程为或. 21．的三个顶点分别为，，求这个三角形的三边及边上的中线所在直线的方程． 【解析】直线过两点， 由两点式得， 整理得，这就是边所在直线的方程． 直线过两点，由两点式得， 整理得，这就是边所在直线的方程． 直线过两点， 斜率，由点斜式得， 整理得，这就是边所在直线的方程． 因为，所以边的中点的坐标为， 即，于是边上的中线所在直线的方程即为所在直线的方程． 由直线的两点式方程得，即， 所以，即． 2 / 2 https://shop.xkw.com/650087 学科网（北京）股份有限公司 $$