精品解析：黑龙江省哈尔滨市第六中学校2024-2025学年高一下学期期中考试数学试题

哈尔滨市第六中学2024级高一下学期期中考试 数学试题 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一、单选题（本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 若为实数，是纯虚数，则复数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的概念得出的值即可. 【详解】为实数，则， 是纯虚数，则， 则 故选：D 2. 如图，在复平面内，复数，对应的向量分别是，，则对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数的向量表示求出，、，再利用复数除法求解判断. 【详解】根据复数的几何意义可得，，， 所以对应的复数分别为：，， 所以, 所以对应的点为，该点位于第二象限. 故选：B. 3. 如图，在正方体中，，，分别是，，的中点，有下列四个结论： ①与是异面直线；②，，相交于一点；③； ④平面． 其中所有正确结论的编号是（ ） A. ①④ B. ②④ C. ②③ D. ②③④ 【答案】B 【解析】 【分析】本题利用线线间的关系，以及线线平行和线面平行的条件求解． 【详解】解：因为，，所以与是相交直线， 又面面， 所以，，相交于一点，则①不正确，②正确． ③令，因为，分别是，的中点， 所以，，则为平行四边形， 所以，因为平面，平面， 所以平面，③不正确，④正确． 综上所述，②④正确， 故选：． 【点睛】本题考查了空间中点、线、面的位置关系，需要学生有较强的空间想象能力，逻辑分析能力，属于中档题． 4. 已知向量，则向量在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用向量模长得出向量，的数量积，再根据投影向量的定义计算可得结果. 【详解】由，得， 由，得， 则， 因此在上的投影向量为． 故选：A． 5. 已知圆台上､下底面的半径分别为1和2，表面积为，则这个圆台的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据圆台的上下底面积可计算出其上下底面的半径与周长，根据周长之比计算出展开图的扇形半径之比，根据扇环的面积求出母线l的长度，由两个半径、高、母线构成的直角梯形中求出圆台的高，带入圆台的体积公式即可得出答案． 【详解】依题意知圆台上底面半径为 ，下底面半径为 如图所示圆台展开为一个圆环的一部分即ABCD，其小扇形弧长，大扇形弧长， 由知道，上底面的面积为，下底面的面积为， 则圆台的侧面积， 解得，所以高， 圆台的体积， 故选：C. 6. 将正三角形ABC，按“斜二测”画法在水平放置的平面上画出为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据斜二测画法得出相应边的长度和角的大小；再利用余弦定理分别求出和，进而可求出 【详解】设正三角形的边长为， 则. 根据斜二测画法可得：；；；. 在中，由余弦定理可得：； 在中，由余弦定理可得：； 在中，由余弦定理可得： ； 故选：A 7. 在矩形中，，，点为的中点，点在线段上.若，且点在直线上，则（ ） A. B. C. D. -3 【答案】B 【解析】 【分析】以为原点建立平面直角坐标系，设，可根据平面向量的坐标运算表示出；由可构造方程求得，从而得到点坐标；根据平面向量数量积的坐标运算可求得结果. 【详解】以为原点，可建立如下图所示的平面直角坐标系 设，则，，， ， ，解得： ， 又 故选： 【点睛】本题考查平面向量数量积的求解问题，涉及到向量平行的坐标表示；关键是能够通过建立平面直角坐标系的方式，利用平面向量的坐标运算来进行求解. 8. 在等腰中，，若点M为的垂心，且满足，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】合理作图，建立平面直角坐标系，利用垂心的性质得到之间的关系，进而求出，再利用二倍角公式求出，最后求出即可. 【详解】 如图，在等腰中，找底边的中点， 作，，交点即为垂心， 以为原点建立平面直角坐标系， 设，，故，，， 故，，， 故， 设，故，则， 故， 又，故，而，则，解得， 故，故，解得，可得， 易得，，可得，可得，解得， 由三线合一性质得平分，故，而， 由二倍角公式得，故，故C正确. 故选：C 【点睛】关键点点睛：本题考查平面向量，解题关键是建立平面直角坐标系，然后表利用垂心的性质结合二倍角公式求出，最后得到即可． 二、多选题（本题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题所给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，且，则的形状为（ ） A. 等边三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形 【答案】CD 【解析】 【分析】由已知及余弦定理可得，又，可解得，又，由正弦定理，余弦定理解得，整理解得，可得的形状. 【详解】 由余弦定理可得： ，. 又， 由正弦定理可得：， 根据余弦定理， 整理可得：，即有， 结合，从而可知三角形为钝角等腰三角形. 故选：CD. 10. 下列命题正确的是（ ） A. 若直线a与直线b分别在两个相交平面内，则a与b可能平行、相交或异面 B. 若直线l与平面平行，则平面内有无数条直线与l平行 C. 若直线a与直线b平行，则a平行于经过b的任何平面 D. 若直线l上有无数个点不在平面内，则 【答案】AB 【解析】 【分析】对于A，在两个相交平面内，把空间两条直线所有的位置关系都考虑到即可判断；对于B，根据线面平行的性质定理即可判断；对于C，考虑到a可能与b在同一平面内即可判断；对于D，考虑到直线与平面平行或相交即可判断. 【详解】对于A，若直线a与直线b分别在两个相交平面内， 则a与b的位置关系可能平行、相交或异面，故A正确； 对于B，若直线l与平面平行，则由线面平行的性质定理可知， l平行于过直线l的平面与平面的交线， 所以平面内，所有与交线平行的直线都与l平行， 所以平面内有无数条直线与l平行，故B正确； 对于C，若直线a与直线b平行，则a可能与b在同一平面内， a也可能平行于不经过直线a，但是经过b的平面，故C错误； 对于D，若直线l上有无数个点不在平面内， 则直线与平面平行或相交，故D错误. 故选：AB 11. 在中，点分别满足与相交于点，则下列说法中正确的是（ ） A. B. 若，则 C. D. 若外接圆的半径为2，且，则的取值范围为 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A，设，以向量为基底表示向量，根据共线求出即可判断A正确；对于B，由得，再利用数量积求模即可判断B不正确；对于C，由知分点的位置求出即可判断C正确；对于D，由题意利用正弦定理求得得或，当时，由此判断D不正确. 【详解】对于A，设，因为则， ， 由共线，得解得，所以，故A正确； 对于B，由得， 所以 所以，故B不正确； 对于C，由知是的中点，所以，，又，所以，所以，，故C正确； 对于D，设的三边分别为，依题意得，由外接圆的半径为2，根据正弦定理得，所以，由，得或，当时， ，故D不正确. 故选：AC. 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题（本题共3个小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中横线上） 12. 球面上三点A、B、C，AB＝18，BC＝24，AC＝30，球心到平面ABC的距离为球半径的一半，则球半径为______． 【答案】 【解析】 【分析】由题意可知：，为直角三角形，外接圆圆心为斜边的中点，结合条件，利用勾股定理即可求解. 【详解】因为，，，所以， 所以为直角三角形，则为球小圆的直径，设球半径为， 如图： 由题意可知：，解得：， 故答案为：. 13. 陀螺起源于我国，最早出土的石制陀螺是在山西夏县发现的新石器时代遗址.如图所示的是一个陀螺立体结构图.已知，底面圆的直径，圆柱体部分的高，圆锥体部分的高，则这个陀螺的表面积是______. 【答案】 【解析】 【分析】求出圆锥部分的母线，利用圆锥以及圆柱的侧面积公式，即可求得答案. 【详解】由题意可知圆锥的母线长为， 故陀螺的表面积为， 故答案为： 14. 如图，测量河对岸的塔高，可以选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与，现测得，，，在点测得塔顶A的仰角为，则塔的总高度为_____米． 【答案】 【解析】 【分析】在中，利用正弦定理求得长，在中利用三角函数的定义即可求得长. 【详解】如图，在中，， 由正弦定理，， 则， 在中，. 故答案为：. 四、解答题（本题共5道题，共77分.解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.) 15. 已知长方体中，平面截去长方体的一个角后得到如图所示的几何体. （1）若，，求几何体的表面积； （2）若，几何体外接球的表面积为，其体积为20，求棱的长. 【答案】（1） （2）4 【解析】 【分析】（1）截去长方体的一个角后得到一个七面体，把各个面得面积计算出即可； （2）设，，，表面积为，可得，体积为20，可得，再联立可解. 【小问1详解】 因为，， 所以，， ，， ，，， 在中由余弦定理， 则， 所以， 所以. 【小问2详解】 设，，，又（R为长方体外接球半径）， 又外接球的表面积为，即，所以， ①； 又， ② . 由①②解得或（舍去）， 棱长为4. 16. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. （1）求； （2）若，求面积的最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理边化角，结合两角和差正余弦公式可化简已知条件，即可得解； （2）结合（1）中的结论和余弦定理可得，由均值不等式可得，进而求得面积的最大值. 【小问1详解】 因为，所以， 则，即， 又，故， 所以，在中，，则. 【小问2详解】 在中，，由余弦定理，，， 所以，当且仅当时等号成立， 由，得， 所以的面积. 17. 如图已知四棱锥，底面为梯形，，，，P、Q为侧棱上的点，且，点为上的点，且． （1）求证：平面； （2）求证：平面平面； （3）平面与侧棱相交于点，求的值． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3）2 【解析】 【分析】（1）连接，证明四边形为平行四边形，即得，再由线线平行证明线面平行即可； （2）由（1）得，证得平面，再证，即可证平面，最后由线面平行推出面面平行； （3）由（1）已得，可证平面，又因面，由线面平行的性质可推得，继而得到，利用平行线分线段成比例定理即可求得的值. 【小问1详解】 连接， 在中，，，且， 又，，且， 四边形为平行四边形，， 又平面，平面， 所以平面. 【小问2详解】 由（1）得，又平面，平面， 平面， 在中，，， 又平面，平面，平面， 又因且均在平面中， 平面平面. 【小问3详解】 由（1）知，又面，面，平面， 又平面，面面， ，又，，． 18. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （1）求角A的大小； （2）若，，点D是边BC上的一点，且．求AD的长； （3）若是锐角三角形，，点E为AB的中点，求CE的取值范围． 【答案】（1） （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用余弦定理求解. （2）由已知求出，再在中由余弦定理列式求出. （3）由已知结合正切函数的性质求出的范围，再用正弦定理求出的范围，进而用含的表达式表示并求出范围. 【小问1详解】 在中，由，得， 由余弦定理得，而， 所以. 【小问2详解】 由（1）得， 由点D是边BC上的一点，且，得， 在中，由余弦定理得， 即，所以. 【小问3详解】 在锐角中，，则，， 由正弦定理得， 在中，点E为AB的中点，， 由余弦定理得， 所以CE的取值范围是. 19. 如图，设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，为边上的中线，已知． （1）求的面积； （2）点为上一点，，过点的直线与边（不含端点）分别交于．若，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）法一、由正弦定理得，由AD为中线得，结合三角形面积公式可得，从而由正弦的和角公式得，求面积即可； 法二、由正弦定理得，在和中，由正弦定理作商得的正余弦值，从而由正弦的和角公式得，求面积即可； 法三、设，利用平面向量的数量积公式可求得，解方程求得的余弦值，继而可得. （2）设，利用向量共线的充要条件可得结合得，，从而可得两个三角形面积之比. 【小问1详解】 法一：由及正弦定理得： 又∵是边上的中线，， 即 易知为锐角，， ； （法二）由及正弦定理得： ， 在中，由正弦定理得 ①， 在中，设，由正弦定理得②， ①②得， 易知为锐角，， ； （法三）：由及正弦定理得：， 设，∵AD为边上的中线，∴， 则， ， ， ∴， 整理得，即， ∴ 或 ， 经检验，符合题意， ∴， ∴． 【小问2详解】 设 ∵D为BC的中点，， ， 又E、G、F三点共线，所以，即③ 又， ， 由（1）知，， 化简得④， 由③④，得，， ∴. 【点睛】思路点睛：第二问以为基底，设利用向量共线充要条件即：若三点共线，则平面中任一点，有，有，故得出的一个关系式，再结合得出的另一个关系式，解方程组求出，再计算面积比值即可. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 哈尔滨市第六中学2024级高一下学期期中考试 数学试题 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一、单选题（本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 若为实数，是纯虚数，则复数为（ ） A. B. C. D. 2. 如图，在复平面内，复数，对应的向量分别是，，则对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 如图，在正方体中，，，分别是，，的中点，有下列四个结论： ①与是异面直线；②，，相交于一点；③； ④平面． 其中所有正确结论的编号是（ ） A. ①④ B. ②④ C. ②③ D. ②③④ 4. 已知向量，则向量在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 5. 已知圆台上､下底面的半径分别为1和2，表面积为，则这个圆台的体积为（ ） A. B. C. D. 6. 将正三角形ABC，按“斜二测”画法在水平放置的平面上画出为，则（ ） A. B. C. D. 7. 在矩形中，，，点为的中点，点在线段上.若，且点在直线上，则（ ） A. B. C. D. -3 8. 在等腰中，，若点M为的垂心，且满足，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题所给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，且，则的形状为（ ） A. 等边三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形 10. 下列命题正确的是（ ） A. 若直线a与直线b分别在两个相交平面内，则a与b可能平行、相交或异面 B. 若直线l与平面平行，则平面内有无数条直线与l平行 C. 若直线a与直线b平行，则a平行于经过b的任何平面 D. 若直线l上有无数个点不在平面内，则 11. 在中，点分别满足与相交于点，则下列说法中正确的是（ ） A. B. 若，则 C. D. 若外接圆的半径为2，且，则的取值范围为 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题（本题共3个小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中横线上） 12. 球面上三点A、B、C，AB＝18，BC＝24，AC＝30，球心到平面ABC的距离为球半径的一半，则球半径为______． 13. 陀螺起源于我国，最早出土的石制陀螺是在山西夏县发现的新石器时代遗址.如图所示的是一个陀螺立体结构图.已知，底面圆的直径，圆柱体部分的高，圆锥体部分的高，则这个陀螺的表面积是______. 14. 如图，测量河对岸的塔高，可以选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与，现测得，，，在点测得塔顶A的仰角为，则塔的总高度为_____米． 四、解答题（本题共5道题，共77分.解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.) 15. 已知长方体中，平面截去长方体的一个角后得到如图所示的几何体. （1）若，，求几何体的表面积； （2）若，几何体外接球的表面积为，其体积为20，求棱的长. 16. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. （1）求； （2）若，求面积的最大值. 17. 如图已知四棱锥，底面为梯形，，，，P、Q为侧棱上的点，且，点为上的点，且． （1）求证：平面； （2）求证：平面平面； （3）平面与侧棱相交于点，求的值． 18. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （1）求角A的大小； （2）若，，点D是边BC上的一点，且．求AD的长； （3）若是锐角三角形，，点E为AB的中点，求CE的取值范围． 19. 如图，设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，为边上的中线，已知． （1）求的面积； （2）点为上一点，，过点的直线与边（不含端点）分别交于．若，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $