第02讲 乘法公式（2大知识点+8大典例+变式训练+过关检测）-（暑期衔接课堂）2025－2026学年七年级上册数学衔接讲义（沪教版2024）

第02讲 乘法公式（2大知识点+8大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 根据平方差公式进行运算 典型例题二 根据完全平方公式进行运算 典型例题三 通过对完全平方公式变形求值 典型例题四 求完全平方式中的字母系数 典型例题五 整式的混合运算 典型例题六 平方差公式与几何图形 典型例题七 完全平方公式在几何图形中的应用 典型例题八 完全平方式在几何图形中的应用 知识点01 两数和乘以这两数的差(a + b)(a - b) = a² - b² 公式结构：这个公式的结构特征非常鲜明，它由两个因子组成，第一个因子是两数之和(a + b)，第二个因子是这两数之差(a - b)。这种结构使得公式在数学计算中非常方便。 几何意义：这个公式可以通过几何图形的面积推导出来，比如，可以视为一个大正方形的面积减去一个小正方形的面积。通过几何解释，学生不仅能加深对公式的理解，还能感受数形结合的思想。 知识点02两数和（差）的平方 (a ± b)² = a² ± 2ab + b² 公式展开：这个公式用于计算两数和或差的平方。具体展开形式为 (a + b)² = a² + 2ab + b²，而 (a - b)² = a² - 2ab + b²。 记忆方法：由于仅中间项的符号有区别，可以通过记忆“和平方中位+，差平方中位-”来快速应用。 【典型例题一 根据平方差公式进行运算】 【例1】（24-25七年级上·上海闵行·期末）下列各式不能使用平方差公式的是（　　） A． B． C． D． 【例2】（2025·上海宝山·模拟预测）若，则代数式的值为（    ） A．2 B． C．4 D． 【例3】（24-25七年级上·上海松江·期中）若，，则的值为 ． 【例4】（24-25七年级上·上海嘉定·阶段练习）利用平方差公式计算： ． 【例5】（24-25七年级上·上海宝山·期中）计算： (1)； (2) 1．（2025·上海嘉定·模拟预测）发现：……依据上述规律，通过计算判断的结果的个位数字是（    ） A．7 B．9 C．3 D．1 2．（2025·上海静安·模拟预测）如果一个数等于两个连续偶数的平方差，那么我们称这个数为“和谐数”．例如：因为，所以12是“和谐数”．下列各数为“和谐数”的是(   ) A．48 B．50 C．52 D．54 3．（24-25七年级上·上海闵行·期中）数学计算中给出如下定义：．若，，则的值为 ． 4．（2025七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)． 5．（24-25七年级上·全国·单元测试）观察下表： 1      3      5      7           你发现了什么规律？用整式乘法的相关知识说明你发现的规律． 【典型例题二 根据完全平方公式进行运算】 【例1】（2025·上海嘉定·模拟预测）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级上·上海崇明·期中）若代数式，，则的值（   ） A．一定是负数 B．一定是正数 C．一定不是负数 D．一定不是正数 【例3】（2025·上海宝山·模拟预测）计算： ． 【例4】（24-25七年级上·上海奉贤·期中）将中的“b”换成“”得到．类似的，已知，则 ． 【例5】（24-25七年级上·上海普陀·期中）下面是小奇和小思两位同学化简的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 小奇的方法：解：原式……① ……② ．③ 小思的方法： 解：原式 任务： (1)小奇的方法中，第①步运算的依据用字母表示为_________，第②步出现的错误具体是______；（写出一处错误即可） (2)按小思的方法，运算的结果为_________． 1．（24-25七年级上·上海虹口·期中）若，，则M，N的大小关系是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·上海长宁·期中）我国古代数学的许多发现都位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例，如下表所示，它揭示了（为非负整数）展开式的各项系数的规律． 1        1   1       1   2   1 1   3   3   1 …… …… 有如下几个结论： ①展开式有项，系数和为； ②的结果是； ③当代数式的值是1时，有理数的值是； ④如果今天是星期一，那么天后是星期二 其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（24-25七年级上·上海奉贤·期中）利用可求某些整式的最值．例如，，由知，当时，多项式有最小值．对于多项式，当 时，有最小值是 ． 4．（24-25七年级上·上海静安·期中）定义，如． (1)若，求的值； (2)若的值与无关，求值． 5．（24-25七年级上·上海闵行·期中）在化简的过程中，小明有以下两种方法： 解法一：原式=（第一步） ；（第二步） 解法二：原式=（第一步） （第二步） ．（第三步） 小明发现两种解法的结果不同，请你帮小明判断上述解法是否正确，如果错误，请指出小明是从哪一步开始出现错误的．若两种解法都错误，请你再写出正确的解答过程． 【典型例题三 通过对完全平方公式变形求值】 【例1】（2025·上海杨浦·模拟预测）已知，，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【例2】（24-25七年级上·上海闵行·期中）若，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【例3】（24-25七年级上·上海青浦·期中）若，则的值是 ． 【例4】（2025·上海宝山·模拟预测）《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部数学巨著，他在第二卷“几何与代数”中，阐述了数与形是一家，即通过“以数解形”和“以形助数”，可以把代数公式与几何图形相互转化．如图可以得到，基于此，若，，则的值为 ． 【例5】（24-25七年级上·上海松江·期中）阅读理解：若满足，求的值， 解：设，，则有： ，， 所以 请仿照上例解决下面的问题： 问题发现：（1）若满足，求的值； 类比探究：（2）若满足，求的值； 拓展延伸：（3）若，求的值 1．（24-25七年级上·上海青浦·期中）“幻方”最早记载于春秋时期的《大戴礼记》中，如图所示的“小熊幻圆”中，使得每个大圆圈上的四个数字的和都等于，若每个大圆圈上的四个数字的平方和分别记，且，则的值为（　　） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·上海松江·期中）已知两块边长都为的大正方形，两块边长都为的小正方形和五块长、宽分别是，的小长方形，按如图所示的方式正好不重叠地拼成一个大长方形．已知拼成的大长方形周长为，图中阴影部分四个正方形的面积之和为，则图中每个小长方形的面积为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级上·上海徐汇·期中）观察下列多项式的乘法计算： （1）     （2） （3） （4） 根据你发现的规律，若，则的值为 ． 4．（24-25七年级上·上海静安·期中）完全平方公式：经过适当的变形，可以解决很多数学问题，请你解决下列问题： (1)若，，则_____． (2)若，则_____． (3)已知，求的值． 5．（24-25七年级上·上海闵行·期中）阅读下列材料：关于x的方程两边同时乘以得：，即 可得：， 所以：． 根据以上材料，解答下列问题： (1)初步尝试 已知，，分别计算和的值； (2)拓展应用 ， ． 请利用上述结论，结合阅读材料解答下题． 已知，，求的值． 【典型例题四 求完全平方式中的字母系数】 【例1】（24-25七年级上·上海徐汇·期中）下列式子是完全平方式的是（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级上·上海奉贤·期中）已知关于的代数式“”是完全平方式，则应该是（   ） A．或 B． C． D． 【例3】（24-25七年级上·上海青浦·阶段练习）若关于x的多项式是一个完全平方式，且m为正数，那么 ． 【例4】（24-25七年级上·上海宝山·阶段练习）我们把形如的式子称为完全平方式，已知是一个完全平方式，若，则的值为 ． 【例5】（24-25七年级上·全国·单元测试）小明在做作业时，不慎把墨水滴在纸上，使一个三项式前后两项看不清楚了： 三项式：（   ） 请帮他把前后两项补充完整，使三项式成为完全平方式．有几种方案？（至少写出三种不同的方案） 1．（24-25七年级上·上海闵行·期末）如果能写成一个完全平方的形式，则（   ） A． B．12 C． D． 2．（24-25七年级上·上海松江·期中）规定三角“  ”表示，方框“  ”表示．例如：  ÷  ．若代数式  为完全平方式，则的值是（    ） A． B． C．2 D． 3．（24-25七年级上·上海徐汇·期中）已知，． （1）若是完全平方式，则 ； （2）的最小值是 ． 4．（24-25七年级上·上海嘉定·期末）在对某些代数式进行化简或计算时，通常可以根据各项特征，将某个常数项拆分成多个常数项，与其它项组合成完全平方式，从而方便化简或计算． (1)已知，求的值； (2)已知（k为常数）可以化简成（a、m、n均为常数）的形式，求的值． 5．（24-25七年级上·上海闵行·期末）【问题提出】 当多项式是某一个多项式的平方时，实数a，b 【问题探究】 当，，时，，发现：； 当，，时，，发现：； … 【问题解决】 （1）当时，猜想a，b，c之间的数量关系； 【拓展运用】 （2）若多项式加上一个含字母y的单项式就是某个多项式的平方，求出所有满足条件的单项式； （3）若多项式是某一个多项式的平方，求出n的值 【典型例题五 整式的混合运算】 【例1】（2025·上海徐汇·模拟预测）计算的结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级上·上海闵行·阶段练习）若定义“*”运算“”若：，则等于（   ） A． B． C． D． 【例3】（2025·上海青浦·模拟预测）化简： ． 【例4】（24-25七年级上·上海静安·阶段练习）观察下列算式：①；②；③；………，结合你观察到的规律判断的计算结果的末位数字为 ． 【例5】（24-25七年级上·上海奉贤·期中）探究应用 (1)计算： ①； ②； (2)通过观察上述两例，总结归纳规律，写出一个新的乘法公式：__________；（用含a，b的等式表示） (3)直接应用公式进行计算：． 1．（24-25七年级上·上海宝山·阶段练习）观察下列几个算式： ③； ④， ．．．．．．，结合你观察到的规律判断 的计算结果为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·上海青浦·期中）图为“”型钢材的截面，要计算其截面面积，下列给出的算式中，错误的是（　　） A． B． C． D． 3．（24-25七年级上·上海普陀·期末）若边长分别为a，b（）的两个正方形按如图所示摆放，则图中阴影部分的面积为 ．（用含a，b的式子表示）．    4．（24-25七年级上·上海松江·阶段练习）计算 (1) (2) (3)先化简，再求值，其中． 5．（24-25七年级上·全国·期末）[新考法]对于任意有理数a，b，c，d，定义一种新运算：． (1)对于有理数x，y，若是一个完全平方式，则__________； (2)对于有理数x，y，若． ①求的值； ②将长方形和长方形按照如图方式进行放置，其中点E在边上，连接，．若，图中阴影部分的面积为，求n的值． 【典型例题六 平方差公式与几何图形】 【例1】（24-25七年级上·上海静安·阶段练习）如图是某小区的一块长方形区域，该区域的一边长为，另一边长为，中间是半径为的圆形喷泉池，社区计划将喷泉池以外的部分设计为花池，则花池的面积可表示为（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级上·上海嘉定·期中）如图，点、、在同一直线上，大正方形与小正方形的面积之差是24，点、、在同一直线上，阴影部分的面积为，则（   ） A．24 B．18 C．12 D．32 【例3】（24-25七年级上·上海宝山·阶段练习）若正方形的边长增加1，其面积增加7，则原正方形的边长是 ． 【例4】（24-25七年级上·上海徐汇·期末）从边长为a的正方形中减掉一个边长为b的正方形（如图1）．然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2），上述操作能验证的整式乘法公式是 ． 【例5】（24-25七年级上·上海宝山·阶段练习）如图1，在边长为a的大正方形中减去一个边长为b的小正方形，然后将剩余部分剪拼成如图2所示的长方形． (1)比较图1和图2中空白部分的面积，可以得到等式：_________； (2)请用上面得到的公式计算下面各题： ①已知，，则_________； ②计算：； ③计算：． 1．（24-25七年级上·全国·单元测试）如图，边长为的正方形纸片剪出一个边长为的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个长方形，若拼成的长方形一边长为m，则拼成长方形的面积是（    ）    A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·全国·期中）在学习乘法公式时，课本上通过计算图形面积来验证公式的正确性．下列图形中，不能借助图形面积验证乘法公式的是（　　） A． B． C． D． 3．（24-25七年级上·全国·期末）如图，在边长为的正方形上裁去边长为的正方形． （1）图，阴影面积是 ； （2）图是将图中的阴影部分裁开，重新拼成梯形，根据图形可以得到乘法公式 ； （3）运用得到的公式，计算： ． 4．（24-25七年级上·上海普陀·阶段练习）【理解】 （1）如图是一块边长为的正方形草坪，东西方向需要加长，南北方向缩短．改造后的草坪面积与原来相等吗？若不相等，其面积发生的什么变化？ 【应用】 （2）用长为的篱笆围成一个长方形用于种植草坪．可种植草坪的最大面积是多少平方米？为什么？ 5．（24-25七年级上·上海杨浦·期末）某班数学兴趣小组的同学在学习整式乘法公式后，构造了以下图形验证乘法公式．请你利用数形结合的思想，通过等积法解决以下数学问题．从边长为的正方形中减掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． (1)比较两图中阴影部分面积，可以验证的等式是_____________；（请选择正确的选项） A．    B． (2)若，，求的值； (3)计算：． 【典型例题七 完全平方公式在几何图形中的应用】 【例1】（24-25七年级上·上海青浦·期中）如图，小亮在一次创新性实验课上，用张类正方形卡片，张类正方形卡片和张类长方形卡片，拼成了一个大正方形，则拼成的大正方形的边长是（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级上·上海松江·期末）有A，B两个正方形，现将A的一边与B的一边重叠，（l，m过正方形A所在边的直线），又将正方形A，B的一边如图2所示部分重叠重新放置在大正方形中，若图1和图2中阴影部分面积分别为5和38．则正方形A，B的面积之和为（　　） A．43 B．33 C．38 D．48 【例3】（24-25七年级上·徐汇·期中）一个长方形的周长为12，以这个长方形的长和宽分别向外作四个正方形，若这四个正方形的面积之和为48，则这个长方形的面积为 ． 【例4】（2025·上海闵行·模拟预测）现有如图所示的三种纸片若干张．淇淇要用这三种纸片紧密拼接成一个没有缝隙的大正方形，她选取纸片4张，再取纸片1张，还需要取纸片 张． 【例5】（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，一条宽为的道路中，有一部分因损坏需进行维修．已知图中阴影部分为损坏部分，可看作平行四边形，且．若每平方米维修费是150元，求该道路损坏部分的维修费． 1．（24-25七年级上·上海普陀·期中）如图，由四个相同的长为a，宽为b的长方形（）拼成如图所示的图形，大正方形的边长为m，小正方形的边长为n，则①；②；③；④中，正确的是（    ） A．④ B．②④ C．①③ D．①②③④ 2．（24-25七年级上·上海长宁·期末）如图，小敏同学在计算机软件上设计一个图案，画一个正方形覆盖在正方形的右下方，使其重叠部分是长方形，面积记为，两个较浅颜色的四边形都是正方形，面积分别记为，．已知，，且，则为（    ） A．15 B．22 C．28 D．30 3．（2025七年级上·全国·专题练习）利用图形中面积的等量关系可以得到某些数学公式．根据图1，可以得到两数和的平方公式： ；根据图2，可以得到两数差的平方公式： ． 4．（24-25七年级上·上海崇明·期中）对于一个图形，利用两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个等式．例如，由图1可以得到等式． (1)如图2，由几个面积不等的小正方形和几个小长方形拼成一个边长为的大正方形，从中得到等式：____________________； (2)利用（1）中的结论解决以下问题：已知，，求的值； 5．（24-25七年级上·上海青浦·期中）如图1，正方形A、B、C的边长分别为m、n、p，且． (1)将一个A种和一个B种正方形组合成图2的图形，外边框可以围成一个大正方形，用两种不同的方法表示这个大正方形的面积，从而可以得到一个乘法公式为 ． (2)如图3，将正方形A、B、C拼接在一起，沿着外边框可以围成一个大正方形，类比（1）的思路进行思考，直接写出所得到的等式 ． (3)利用用正方形A、B、C画出恰当的图形，说明 【典型例题八 完全平方式在几何图形中的应用】 【例1】（24-25七年级上·上海闵行·期末）如图，一块直径为的圆形钢板，从中挖去直径分别为与的两个小圆．则剩下的钢板（阴影部分）的面积为（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级上·上海虹口·期末）如图，从边长为的正方形纸片中剪去一个边长为的正方形，剩余部分沿虚线剪下，拼成一个长方形（不重叠无缝隙），则此长方形的面积为（    ）    A． B． C． D． 【例3】（24-25七年级上·上海杨浦·期中）长方形的周长为14，一组邻边的长、满足，则这个长方形的面积为 ． 【例4】（24-25七年级上·上海青浦·期中）4张长为a、宽为b（）的长方形纸片，按如图的方式拼成一个边长为（）的正方形，图中空白部分的面积为，阴影部分的面积为． （1）若，，则 ． （2）若，求a与b满足关系： ． 【例5】（24-25七年级上·上海静安·期末）如图1，有甲、乙、丙三种纸片，其中甲是边长为a的正方形，乙是长为a，宽为b的长方形，丙是边长为b的正方形（a＞b）． (1)如图2，用甲、丙纸片各1张，乙纸片2张，可以紧密拼接成一个大正方形，请根据图形的面积写出一个乘法公式　 　； (2)若要用这三种纸片紧密拼接成一个边长为（2a+b）大正方形，则需要取甲、乙、丙纸片各多少张． 1．（24-25七年级上·上海闵行·期中）用四个全等的矩形和一个小正方形拼成如图所示的大正方形，已知大正方形的面积是169，小正方形的面积是9，若用x，y表示矩形的长和宽（），则下列关系式中不正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·上海松江·期中）如图，为了美化校园，某校要在面积为120平方米的长方形空地ABCD中划出长方形EBKR和长方形QFSD，若两者的重合部分GFHR恰好是一个边长为3米的正方形，现将图中阴影部分区域作为花圃，若长方形空地ABCD的长和宽分别为m和n，，花圃区域AEGQ和HKCS总周长为32米，则的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．（24-25七年级上·上海静安·期中）某中学开展“筑梦冰雪，相约冬奥”的学科活动，设计几何图形作品表达对冬奥会的祝福．小冬以长方形ABCD的四条边为边向外作四个正方形，设计出“中”字图案，如图所示．若四个正方形的周长之和为32，面积之和为12，则长方形ABCD的面积为 ． 4．（24-25七年级上·上海松江·期末）如图1是一个长为4b、宽为a的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2）． （1）观察图2请你写出（a+b）2、（a﹣b）2、ab之间的等量关系是 ． （2）根据（1）中的结论，若x+y＝5，xy＝，求x﹣y的值． （3）变式应用：若（2019﹣m）2+（m﹣2021）2＝20，求（2019﹣m）（m﹣2021）的值． 5．（24-25七年级上·上海宝山·阶段练习）阅读与思考 仔细阅读下列材料并完成相应任务． 利用因式分解解决代数式的最值问题 我们把形如的式子称为完全平方式，除了利用完全平方式进行多项式的因式分解外，也可以将一个多项式进行局部因式分解从而解决代数式的最值问题． 例如：． ∵，∴，∴， ∴当时，取得最小值，最小值为2． 任务： (1)代数式的最小值为 ． (2)求代数式的最大值，并写出相应的x的值． (3)小明的爸爸计划用一段长为8米的篱笆围成一个长方形的小型宠物围栏，请你帮助小明的爸爸规划一下怎样围面积才最大，最大面积为多少？ 1．（2025·上海闵行·模拟预测）下列运算中，正确的是（  ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·上海松江·期中）在多项式中添加一个单项式，使其成为一个多项式的完全平方，则添加的单项式正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级上·上海奉贤·单元测试）乐乐计算一个二项整式的平方时，得到正确结果，但中间一项不慎被污染了，这一项应该是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级上·上海宝山·期末）如图：把长和宽分别为和的四个完全相同的小长方形拼成的一个“回形”正方形，图中的阴影部分的面积正好可以验证下面等式的正确性的是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级上·上海嘉定·阶段练习）已知2024个数，每个数只能取或两个值之一，那么它们的两两之积的和的最小正值为（    ） A． B． C．44 D．46 6．（24-25七年级上·上海金山·阶段练习）新定义：，例如，则 ． 7．（24-25七年级上·上海静安·阶段练习）已知，m、n为正整数，则的值为 ．若，则 ． 8．（24-25七年级上·上海普陀·期末）有一道数学题，部分内容被墨水污染了：先化简，再求值，其中“ ”，小明翻开答案看到这题的结果是7．那么的值是多少？ 9．（24-25七年级上·上海·期中）如图，正方形与正方形的面积之差是6，则阴影部分的面积是 ． 10．（2024七年级上·上海松江·专题练习）如图，把三张边长相等的小正方形甲、乙、丙纸片按先后顺序放在一个大正方形内，丙纸片最后放在最上面．已知小正方形的边长为，如果斜线阴影部分的面积之和为，空白部分的面积和为4，那么的值为 ． 11．（24-25七年级上·上海宝山·期中）先化简，再求值： (1)，其中． (2)已知，求的值． 12．（24-25七年级上·上海徐汇·阶段练习）完全平方公式经过适当的变形，可以解决很多数学问题． 例如：若，，求的值． 解：因为，，所以，即，所以． 根据上面的解题思路与方法解决下列问题： (1)若，，则______； (2)若，，求的值； (3)已知，求的值． 13．（24-25七年级上·上海宝山·期中）借助表格进行多项式乘多项式运算，可以方便合并同类项得出结果． 例题： 解：如表1所示，． (1)如表2所示，直接写出表格所表示的等式； (2)如表3，表3为残缺表，若其结果中不含有一次项，根据以上获得的经验，确定表示△、○表示的代数式． 14．（24-25七年级上·上海静安·期末）综合与实践 从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图）． (1)上述操作可以得到一个公式：__________； (2)利用你得到的公式，计算：； (3)计算：． 15．（24-25七年级上·上海奉贤·期中）如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数为“奇特数”．例如：，，；则8、16、24这三个数都是奇特数． (1)32这个数是奇特数吗？若是，表示成两个连续奇数的平方差形式． (2)设两个连续奇数是和（其中n取正整数），由这两个连续奇数构造的奇特数是8的倍数吗？为什么？ (3)如图所示，拼叠的正方形边长是从1开始的连续奇数…，按此规律拼叠到正方形ABCD，其边长为39，求阴影部分的面积． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲 乘法公式（2大知识点+8大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 根据平方差公式进行运算 典型例题二 根据完全平方公式进行运算 典型例题三 通过对完全平方公式变形求值 典型例题四 求完全平方式中的字母系数 典型例题五 整式的混合运算 典型例题六 平方差公式与几何图形 典型例题七 完全平方公式在几何图形中的应用 典型例题八 完全平方式在几何图形中的应用 知识点01 两数和乘以这两数的差(a + b)(a - b) = a² - b² 公式结构：这个公式的结构特征非常鲜明，它由两个因子组成，第一个因子是两数之和(a + b)，第二个因子是这两数之差(a - b)。这种结构使得公式在数学计算中非常方便。 几何意义：这个公式可以通过几何图形的面积推导出来，比如，可以视为一个大正方形的面积减去一个小正方形的面积。通过几何解释，学生不仅能加深对公式的理解，还能感受数形结合的思想。 知识点02两数和（差）的平方 (a ± b)² = a² ± 2ab + b² 公式展开：这个公式用于计算两数和或差的平方。具体展开形式为 (a + b)² = a² + 2ab + b²，而 (a - b)² = a² - 2ab + b²。 记忆方法：由于仅中间项的符号有区别，可以通过记忆“和平方中位+，差平方中位-”来快速应用。 【典型例题一 根据平方差公式进行运算】 【例1】（24-25七年级上·上海闵行·期末）下列各式不能使用平方差公式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平方差公式对各选项分别进行判断．本题考查了平方差公式．运用平方差公式计算时，关键要找相同项和相反项，其结果是相同项的平方减去相反项的平方． 【详解】解：A、存在相同的项与互为相反数的项，能用平方差公式计算，故本选项不符合题意； B、存在相同的项，没有相反项，不能用平方差公式计算．故本选项符合题意； C、中存在相同的项与互为相反数的项，能用平方差公式计算，故本选项不符合题意； D、中存在相同的项与互为相反数的项，能用平方差公式计算，故本选项不符合题意； 故选：B． 【例2】（2025·上海宝山·模拟预测）若，则代数式的值为（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】A 【分析】本题考查的是整式的混合运算，整体代入求值．先化简代数式，利用整体代入求值即可得到答案． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴原式， 故选：A． 【例3】（24-25七年级上·上海松江·期中）若，，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了因式分解的应用．利用平方差公式将原式分解为两个因式的积再代入求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ， 故答案为：． 【例4】（24-25七年级上·上海嘉定·阶段练习）利用平方差公式计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式的结构特征是解题的关键．添加构造成平方差公式的形式，再根据平方差公式即可求解； 【详解】解：原式 故答案为：． 【例5】（24-25七年级上·上海宝山·期中）计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了幂的乘方、同底数幂相乘，平方差公式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先运用幂的乘方，再运算同底数幂相乘，最后合并同类项，即可作答． （2）整理原式，再运用平方差公式进行简便运算，即可作答． 【详解】（1）解： （2）解： 1．（2025·上海嘉定·模拟预测）发现：……依据上述规律，通过计算判断的结果的个位数字是（    ） A．7 B．9 C．3 D．1 【答案】D 【分析】本题考查了平方差公式和尾数特征．观察时注意7的指数的奇偶性与个位数字的关系，利用平方差公式进行计算，然后利用观察的规律解答．解题的关键是熟练掌握平方差公式的运用． 【详解】解：， ， ， ， ， 根据题中规律可得从到，结果的个位数字四个一循环，分别为， ， 的结果的个位数字为， 故答案为：D． 2．（2025·上海静安·模拟预测）如果一个数等于两个连续偶数的平方差，那么我们称这个数为“和谐数”．例如：因为，所以12是“和谐数”．下列各数为“和谐数”的是(   ) A．48 B．50 C．52 D．54 【答案】C 【分析】本题考查了平方差公式的应用，解决本题的关键是求出两个偶数的平方差的代数式是多少．设连续两个偶数为、为整数，这两个数的平方差是，根据选项，可得、、、，求出选择符合题意的的值． 【详解】解：设连续两个偶数为、为整数， ， A，，，不符合题意； B，，，不符合题意； C，，，，，，符合题意； D，，，不符合题意． 故选：C． 3．（24-25七年级上·上海闵行·期中）数学计算中给出如下定义：．若，，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了整式的化简求值，理解新定义的规定是解题的关键． 先根据新定义变形，再化简可得，把的值代入计算即可． 【详解】解：， 由题意得：， 整理得， ∵， ∴，即， 解得， 故答案为：． 4．（2025七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的混合运算，平方差公式的运用． （1）先计算乘方，再算乘法即可； （2）首先利用平方差公式和单项式与多项式的乘法计算，然后去括号、合并同类项即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 5．（24-25七年级上·全国·单元测试）观察下表： 1      3      5      7           你发现了什么规律？用整式乘法的相关知识说明你发现的规律． 【答案】见解析 【分析】本题考查了数字变化规律，根据第一列的数字从上到下是连续的正奇数，第二列的等式的右边是相邻的两个自然数的平方差，据此可得到规律，然后再根据整式的运算法则证明即可． 【详解】解：规律：所有奇数都可以表示为两个自然数的平方差， 即（为正整数）， 说明过程如下：等式左边为：， 则等式左边等于等式右边． 【典型例题二 根据完全平方公式进行运算】 【例1】（2025·上海嘉定·模拟预测）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查合并同类项，同底数幂的乘法，积的乘方，完全平方公式，根据运算法则逐一进行计算即可得出答案． 【详解】解：A、，原式错误，故本选项不符合题意； B、，原式错误，故本选项不符合题意； C、，原式正确，故本选项符合题意； D、，原式错误，故本选项不符合题意． 故选：C． 【例2】（24-25七年级上·上海崇明·期中）若代数式，，则的值（   ） A．一定是负数 B．一定是正数 C．一定不是负数 D．一定不是正数 【答案】B 【分析】本题考查了整式的运算和配方法，做题的关键是配方法的灵活应用．依题意，求解，配方成完全平方公式求解即可． 【详解】解：依题意可得： ， ， ， 的值一定是正数， 故选：B． 【例3】（2025·上海宝山·模拟预测）计算： ． 【答案】/ 【分析】本题考查了整式的混合运算，解题关键是熟记整式运算法则，准确进行计算． 根据整式运算法则计算即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 【例4】（24-25七年级上·上海奉贤·期中）将中的“b”换成“”得到．类似的，已知，则 ． 【答案】 【分析】此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键； 依据，将b换作，即可得到计算结果． 【详解】解： ． 故答案为：． 【例5】（24-25七年级上·上海普陀·期中）下面是小奇和小思两位同学化简的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 小奇的方法：解：原式……① ……② ．③ 小思的方法： 解：原式 任务： (1)小奇的方法中，第①步运算的依据用字母表示为_________，第②步出现的错误具体是______；（写出一处错误即可） (2)按小思的方法，运算的结果为_________． 【答案】(1)（为正整数）；的结果应为（或的结果应为）， (2) 【分析】本题考查了完全平方公式，平方差公式，熟记公式是解题的关键． （1）利用积的乘方法则，完全平方公式进行计算，即可解答； （2）先利用平方差公式，再利用完全平方公式进行计算，即可解答． 【详解】（1）小奇的方法中，第①步运算的依据用字母表示为，第②步出现的错误具体是的结果应为，的结果应为， 故答案为：（为正整数）；的结果应为（或的结果应为）； （2）按小思的方法，原式 ， 故答案为：． 1．（24-25七年级上·上海虹口·期中）若，，则M，N的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了因式分解，利用作差法，将计算的结果进行因式分解，即可解答，熟练进行因式分解是解题的关键． 【详解】解：， ， 故选：B． 2．（24-25七年级上·上海长宁·期中）我国古代数学的许多发现都位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例，如下表所示，它揭示了（为非负整数）展开式的各项系数的规律． 1        1   1       1   2   1 1   3   3   1 …… …… 有如下几个结论： ①展开式有项，系数和为； ②的结果是； ③当代数式的值是1时，有理数的值是； ④如果今天是星期一，那么天后是星期二 其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查了多项式乘法中的规律性问题，完全平方公式、幂的乘方，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先研究已有的过程得展开式共有项，系数的和为：，再把②③④结合“杨辉三角”的规律，进行整理化简，即可作答． 【详解】解：∵，系数的和为：， ，系数的和为：， ，系数的和为：， ，系数的和为：， ∴，系数的和为：， …… 以此类推，展开式共有项，系数的和为：， 故①不符合题意； 结合“杨辉三角”，则， ∴， 即的结果是； 故②符合题意； 结合“杨辉三角”，则， 即， ∵当代数式的值是1， ∴， ∴， 解得或 故③不符合题意； 则 ， ， ∴ ∵的每一项都含有7的倍数， 故都能被7整除， 即能被7整除， ∴如果今天是星期一，那么天后是星期天 故④不符合题意； 故选：A． 3．（24-25七年级上·上海奉贤·期中）利用可求某些整式的最值．例如，，由知，当时，多项式有最小值．对于多项式，当 时，有最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，平方的非负性，掌握完全平方公式的结构特征是解题关键．将多项式变形成，再结合求解即可． 【详解】解：， 由知，当时，多项式有最小值， 故答案为：；． 4．（24-25七年级上·上海静安·期中）定义，如． (1)若，求的值； (2)若的值与无关，求值． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查新定义运算，涉及解方程及方程组、整式运算、多项式无关项问题等知识，读懂题意，掌握新定义运算，灵活转化为解方程及解方程组问题是解决问题的关键． （1）根据定义将化为，解方程即可得到答案； （2）根据定义得到，再由的值与无关，得到方程组求解即可得到答案． 【详解】（1）解：， ，即， 解得； （2）解：， ， 的值与无关， ， 解得， ． 5．（24-25七年级上·上海闵行·期中）在化简的过程中，小明有以下两种方法： 解法一：原式=（第一步） ；（第二步） 解法二：原式=（第一步） （第二步） ．（第三步） 小明发现两种解法的结果不同，请你帮小明判断上述解法是否正确，如果错误，请指出小明是从哪一步开始出现错误的．若两种解法都错误，请你再写出正确的解答过程． 【答案】详见解析 【分析】本题主要考查整式的乘法，按照整式乘法的运算法则求解即可． 【详解】解：解法一错误，从第一步开始出错； 解法二错误，也是从第一步开始出错． 正确的解答过程：原式． 【典型例题三 通过对完全平方公式变形求值】 【例1】（2025·上海杨浦·模拟预测）已知，，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了利用完全平方公式进行计算、求代数式的值，根据完全平方公式变形，计算即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴， 故选：B ． 【例2】（24-25七年级上·上海闵行·期中）若，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 根据完全平方公式展开，两式相加，即可求解． 【详解】解：，， ， ， ， 故选：B． 【例3】（24-25七年级上·上海青浦·期中）若，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查完全平方公式：，熟练掌握并灵活运用完全平方公式是解题关键．由可得，把两边同时平方得，两边再同时平方即可得答案． 【详解】解：∵， ∴， 两边同时平方得：，即， 把两边同时平方得：． 故答案为： 【例4】（2025·上海宝山·模拟预测）《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部数学巨著，他在第二卷“几何与代数”中，阐述了数与形是一家，即通过“以数解形”和“以形助数”，可以把代数公式与几何图形相互转化．如图可以得到，基于此，若，，则的值为 ． 【答案】13 【分析】本题考查利用完全平方公式变形计算，直接利用完全平方公式变形计算即可．熟练掌握完全平方公式，是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∴； 故答案为：13． 【例5】（24-25七年级上·上海松江·期中）阅读理解：若满足，求的值， 解：设，，则有： ，， 所以 请仿照上例解决下面的问题： 问题发现：（1）若满足，求的值； 类比探究：（2）若满足，求的值； 拓展延伸：（3）若，求的值 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查了完全平方公式变形应用； （1）设，由完全平方公式将化为，即可求解； （2）设，，将化为，即可求解； （3）设，，可求出，，将化为，即可求解； 掌握、、、、之间的关系，并能熟练利用其进行运算是解题的关键． 【详解】解：（1）设，则： ，， ； （2）设，，则有： ，， ， ； （3）设，， ， ，， ，， ， ， ． 1．（24-25七年级上·上海青浦·期中）“幻方”最早记载于春秋时期的《大戴礼记》中，如图所示的“小熊幻圆”中，使得每个大圆圈上的四个数字的和都等于，若每个大圆圈上的四个数字的平方和分别记，且，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用，根据题意可得，则，，所以，再结合，求出，然后对，即，最后代入求值即可，掌握完全平方公式的变形是解题的关键． 【详解】解：∵每个大圆圈上的四个数字的和都等于， ∴， ∴，， 设上面大圆圈四个数字的平方和记为，下面大圆圈四个数字的平方和记为， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：． 2．（24-25七年级上·上海松江·期中）已知两块边长都为的大正方形，两块边长都为的小正方形和五块长、宽分别是，的小长方形，按如图所示的方式正好不重叠地拼成一个大长方形．已知拼成的大长方形周长为，图中阴影部分四个正方形的面积之和为，则图中每个小长方形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了完全平方公式的变形求值，掌握是解题的关键． 根据拼成的大长方形周长为，四个正方形的面积之和为，得到，，根据完全平方公式求出的值即可． 【详解】解：大长方形周长为， ， ， 四个正方形的面积之和为， ， ， ， ， ， 故选：B． 3．（24-25七年级上·上海徐汇·期中）观察下列多项式的乘法计算： （1）     （2） （3） （4） 根据你发现的规律，若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查完全平方公式变形求值，整式的乘法，观察等式发现规律是解题的关键． 通过观察多项式的乘法计算得出，的值，将其代入中即可． 【详解】由题意知，，， ∴， 故答案为：． 4．（24-25七年级上·上海静安·期中）完全平方公式：经过适当的变形，可以解决很多数学问题，请你解决下列问题： (1)若，，则_____． (2)若，则_____． (3)已知，求的值． 【答案】(1)4 (2)14 (3)14 【分析】本题考查了完全平方公式，掌握完全平方公式的结构特征是解决问题的前提． （1）根据完全平方公式的变式，进行运算，即可求解； （2）根据完全平方公式的变式，进行运算，即可求解； （3）根据完全平方公式的变式，进行运算，即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ， ， 解得：． （2）解：∵， ， ． （3）解：∵， ， ． 5．（24-25七年级上·上海闵行·期中）阅读下列材料：关于x的方程两边同时乘以得：，即 可得：， 所以：． 根据以上材料，解答下列问题： (1)初步尝试 已知，，分别计算和的值； (2)拓展应用 ， ． 请利用上述结论，结合阅读材料解答下题． 已知，，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了完全平方公式、求代数式，掌握完全平方公式是关键． （1）根据例题方程两边同时除以x，即可求得的值，然后平方即可求得的值； （2）根据题意给出的公式即可求出答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ； （2）解：∵， ∴ ∴， ∴． 【典型例题四 求完全平方式中的字母系数】 【例1】（24-25七年级上·上海徐汇·期中）下列式子是完全平方式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查完全平方式，记住完全平方式的特征是解题的关键，形如这样的式子是完全平方式，属于中考常考题型．根据定义逐项分析即可． 【详解】解：A． ，中间项不是首位积的2倍，故不是完全平方式； B． ，是完全平方式； C． ，无2个平方项，故不是完全平方式； D． ，平方项的符号不一致，故不是完全平方式； 故选B． 【例2】（24-25七年级上·上海奉贤·期中）已知关于的代数式“”是完全平方式，则应该是（   ） A．或 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查完全平方公式，根据完全平方公式即可求出答案． 【详解】解：∵，， ∴或， 故答案为：A． 【例3】（24-25七年级上·上海青浦·阶段练习）若关于x的多项式是一个完全平方式，且m为正数，那么 ． 【答案】12 【分析】本题考查求完全平方式中的字母的值，根据完全平方式的特点，进行求解即可． 【详解】解：∵是一个完全平方式，且m为正数， ∴， ∴； 故答案为：12． 【例4】（24-25七年级上·上海宝山·阶段练习）我们把形如的式子称为完全平方式，已知是一个完全平方式，若，则的值为 ． 【答案】或或 【分析】本题考查了完全平方公式的变形计算，掌握完全平方公式是解题的关键． 根据完全平方公式的变形计算即可求解． 【详解】解：∵是一个完全平方式，即， ∴， 解得，， 第一种情况，当时，， ∴当时，，符合题意； 当，即时，则，符合题意； 当，即时，则，不符合题意； 第二种情况，当时，， 当时，，符合题意； 当，即时，，符合题意； 当，即时，，不符合题意； 综上所述，的值为或或， 故答案为：或或 ． 【例5】（24-25七年级上·全国·单元测试）小明在做作业时，不慎把墨水滴在纸上，使一个三项式前后两项看不清楚了： 三项式：（   ） 请帮他把前后两项补充完整，使三项式成为完全平方式．有几种方案？（至少写出三种不同的方案） 【答案】见解析 【分析】此题考查了完全平方式，利用完全平方公式的结构特征解答即可． 【详解】解：方案一：； 方案二：； 方案三：．（答案不唯一） 1．（24-25七年级上·上海闵行·期末）如果能写成一个完全平方的形式，则（   ） A． B．12 C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用，掌握两数的平方和、再加上或减去它们积的2倍就构成了一个完全平方式成为解题的关键． 将原式化为，再根据完全平方公式解答即可． 【详解】解：∵是一个完全平方式， ∴，即． 故选D． 2．（24-25七年级上·上海松江·期中）规定三角“  ”表示，方框“  ”表示．例如：  ÷  ．若代数式  为完全平方式，则的值是（    ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】先依据题目的给出的运算规律将其简化为，再根据是完全平方式，将其配方为，展开后通过比较同类项系数即可求出k值． 【详解】解：依据题意，有： 原式=； ∵代数式为完全平方式， ∴原式=， ∴将展开，比较等号两边同类项系数可得， 解得． 故选：B． 【点睛】本题考查了完全平方式的知识，依据题目给出的运算法则将所求代数式准确转化为常见的代数式形式是解答本题的关键． 3．（24-25七年级上·上海徐汇·期中）已知，． （1）若是完全平方式，则 ； （2）的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是完全平方公式，完全平方式的定义； （1）根据完全平方式的定义求解即可； （2）先求出，再配方计算即可． 【详解】（1）∵是完全平方式，是完全平方式， ∴， ∴， 故答案为：； （2）∵，， ∴ ， ∴当，时，有最小值，最小值是， 故答案为：． 4．（24-25七年级上·上海嘉定·期末）在对某些代数式进行化简或计算时，通常可以根据各项特征，将某个常数项拆分成多个常数项，与其它项组合成完全平方式，从而方便化简或计算． (1)已知，求的值； (2)已知（k为常数）可以化简成（a、m、n均为常数）的形式，求的值． 【答案】(1)1 (2)45 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用； （1）原式利用完全平方公式变形，然后根据非负数的性质求出x，y的值即可； （2）根据完全平方公式确定出常数项，然后得出a、m、n、k的值，再进一步计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，， 解得：，， ∴； （2）由题意得：， ∴，，，， ∴． 5．（24-25七年级上·上海闵行·期末）【问题提出】 当多项式是某一个多项式的平方时，实数a，b 【问题探究】 当，，时，，发现：； 当，，时，，发现：； … 【问题解决】 （1）当时，猜想a，b，c之间的数量关系； 【拓展运用】 （2）若多项式加上一个含字母y的单项式就是某个多项式的平方，求出所有满足条件的单项式； （3）若多项式是某一个多项式的平方，求出n的值 【答案】（1），见解析；（2）、或；（3）3 【分析】本题考查规律探索问题，完全平方公式，结合已知条件总结出规律是解题的关键． （1）由题干中的例子总结规律，然后进行证明即可； （2）由题意，分单项式的次数为1或单项式的次数为4两种情况分类讨论，再根据得到的规律求得对应的单项式即可； （3）根据总结的规律列得方程，解方程即可． 【详解】解：（1）a，b，c之间的关系为，证明如下： ∵， ∴，，， ∴，， ∴； （2）分以下两种情况： ①当单项式的次数为1时，此时，， 则， 解得：或， 此时单项式为或； ②当单项式的次数为4时，此时，， 则， 解得：， 此时单项式为； 综上所述，满足条件的单项式有、或； （3）已知多项式是某一个多项式的平方， 则，，， 那么， 解得：． 【典型例题五 整式的混合运算】 【例1】（2025·上海徐汇·模拟预测）计算的结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了整式的混合运算．利用单项式乘以多项式和平方差公式展开，再合并同类项即可． 【详解】解： 故选：D 【例2】（24-25七年级上·上海闵行·阶段练习）若定义“*”运算“”若：，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了整式的混合运算，解一元一次方程，理解定义的新运算是解题的关键．按照定义的新运算进行计算，即可解答． 【详解】解： 故选：D． 【例3】（2025·上海青浦·模拟预测）化简： ． 【答案】1 【分析】本题主要考查乘法公式，原式根据完全平方公式和单项式乘以多项式运算法则将括号展开后再合并即可． 【详解】解： ， 故答案为：1． 【例4】（24-25七年级上·上海静安·阶段练习）观察下列算式：①；②；③；………，结合你观察到的规律判断的计算结果的末位数字为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了整式的混合运算和求值的运用，熟练掌握多项式的乘法运算和数字的变化规律是解题关键． 根据已知式子的特点得出规律，求出式子的结果，再求出的个位数字，最后即可得出答案． 【详解】解：∵①， ②， ③， …， ， ． ，，，，，，的乘方运算，其末位数字分别为，，，，每个为一组，依次循环． ， 的末位数字为， 的末位数字为， 即的计算结果的末位数字为． 故答案为：． 【例5】（24-25七年级上·上海奉贤·期中）探究应用 (1)计算： ①； ②； (2)通过观察上述两例，总结归纳规律，写出一个新的乘法公式：__________；（用含a，b的等式表示） (3)直接应用公式进行计算：． 【答案】(1)①；② (2) (3) 【分析】该题考查了多项式与多项式乘法，整式规律探究，解题的关键是总结题中规律． （1）根据多项式与多项式相乘的法则计算即可得到答案； （2）观察（1）中的计算结果与各项的关系，由此总结规律，即可解答此题； （3）直接根据（2）中得到的公式计算即可． 【详解】（1）解：①原式 ． ②原式 ． （2）解：根据（1）中规律可总结归纳规律为：； （3）解：原式 ． 1．（24-25七年级上·上海宝山·阶段练习）观察下列几个算式： ③； ④， ．．．．．．，结合你观察到的规律判断 的计算结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了数字规律、整式的混合运算等知识点，找出计算规律是解题的关键． 根据已知的几个算式发现规律，然后运用规律解答即可． 【详解】解：； ②； ③； ④， ．．． 则． 故选B． 2．（24-25七年级上·上海青浦·期中）图为“”型钢材的截面，要计算其截面面积，下列给出的算式中，错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查代数式表示，整式的混合运算，根据图形中的字母，可以表示出“”型钢材的截面的面积，本题得以解决．解答本题的关键是明确整式混合运算的计算方法，利用数形结合的思想解答． 【详解】解：由图可得， “”型钢材的截面的面积为：，故选项B正确； 由图可得， “”型钢材的截面的面积为：，故选项C正确； 由图可得， ， “”型钢材的截面的面积为：，故选项D正确，选项A错误， 故选：A． 3．（24-25七年级上·上海普陀·期末）若边长分别为a，b（）的两个正方形按如图所示摆放，则图中阴影部分的面积为 ．（用含a，b的式子表示）．    【答案】/ 【分析】本题考查了列代数式，根据图形补成一个长方形，将去三个三角形即可求出阴影部分的面积，观察图形所给条件并列式是解答本题的关键． 【详解】解析：如图补成一个长方形，    ． 4．（24-25七年级上·上海松江·阶段练习）计算 (1) (2) (3)先化简，再求值，其中． 【答案】(1) (2) (3)；6 【分析】本题主要考查了整式混合运算及代数式求值，熟练掌握完全平方公式、平方差公式及相关运算法则是解题关键． （1）根据积的乘方和单项式乘法法则计算即可； （2）根据多项式乘法法则计算即可； （3）先利用完全平方公式和平方差公式进行运算，再按照整式加减法则和整式除法法则完成化简，然后代入求值即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ， 当时，原式． 5．（24-25七年级上·全国·期末）[新考法]对于任意有理数a，b，c，d，定义一种新运算：． (1)对于有理数x，y，若是一个完全平方式，则__________； (2)对于有理数x，y，若． ①求的值； ②将长方形和长方形按照如图方式进行放置，其中点E在边上，连接，．若，图中阴影部分的面积为，求n的值． 【答案】(1) (2)①130；② 【分析】本题考查了新定义，完全平方公式的应用，解方程，图形的面积表示，熟练掌握新定义，完全平方公式，分割法求面积是解题的关键． （1）根据完全平方式有和差两种形式，解答即可； （2）①根据新定义，得，然后根据完全平方公式进行变形，最后整体代入计算即可； ②根据题意，得化简计算即可． 【详解】（1）解：根据，得， ∵是一个完全平方式， ∴， 解得， 故答案为：； （2）解：①． 因为， 所以， 即， 所以， 所以． ②由题图知， 所以， 化简，得． 因为， 所以． 因为由①知， 所以，解得． 【典型例题六 平方差公式与几何图形】 【例1】（24-25七年级上·上海静安·阶段练习）如图是某小区的一块长方形区域，该区域的一边长为，另一边长为，中间是半径为的圆形喷泉池，社区计划将喷泉池以外的部分设计为花池，则花池的面积可表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查整式运算的实际应用，用长方形的面积减去圆的面积，进行求解即可． 【详解】解：； 故选A． 【例2】（24-25七年级上·上海嘉定·期中）如图，点、、在同一直线上，大正方形与小正方形的面积之差是24，点、、在同一直线上，阴影部分的面积为，则（   ） A．24 B．18 C．12 D．32 【答案】C 【分析】本题主要考查了平方差公式的应用．设正方形的边长为a，正方形的边长为b，可得，，再由阴影部分的面积等于，即可求解． 【详解】解：设正方形的边长为a，正方形的边长为b，则，， ∴， ∵大正方形与小正方形的面积之差是24， ∴， ∴阴影部分的面积是 ． 故选：C． 【例3】（24-25七年级上·上海宝山·阶段练习）若正方形的边长增加1，其面积增加7，则原正方形的边长是 ． 【答案】3 【分析】本题考查用方程解应用题，涉及平方差公式、解一元一次方程，设该正方形的边长是，根据等量关系列方程求解即可得到答案，读懂题意，列方程求解是解决问题的关键． 【详解】解：设该正方形的边长是，则 ，解得， 设该正方形的边长是， 故答案为：3． 【例4】（24-25七年级上·上海徐汇·期末）从边长为a的正方形中减掉一个边长为b的正方形（如图1）．然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2），上述操作能验证的整式乘法公式是 ． 【答案】 【分析】本题考查平方差公式的几何背景．用代数式分别表示图1中阴影部分以及图2的面积即可． 【详解】解：图1中阴影部分可以看作两个正方形的面积差，即， 图2是长为，宽为的长方形，因此面积为， 所以有， 故答案为：． 【例5】（24-25七年级上·上海宝山·阶段练习）如图1，在边长为a的大正方形中减去一个边长为b的小正方形，然后将剩余部分剪拼成如图2所示的长方形． (1)比较图1和图2中空白部分的面积，可以得到等式：_________； (2)请用上面得到的公式计算下面各题： ①已知，，则_________； ②计算：； ③计算：． 【答案】(1) (2)①8；②；③ 【分析】本题主要考查了平方差公式的几何背景及其应用与拓展，计算具有一定的难度，属于中档题． （1）分别求出两个图中空白部分面积，可得公式； （2）①根据平方差公式，，将代入即可求出答案； ②根据平方差公式求解即可； ③先利用平方差公式变形，再约分即可得到答案． 【详解】（1）解：如图1，大正方形面积，小正方形面积， 空白部分面积大正方形面积小正方形面积， 如图2，长方形的宽，长方形的长， 长方形的面积， 由拼接可知：空白部分面积相等，可以得到等式：； （2）①，， ∴ ∴； ② ； ③ ． 1．（24-25七年级上·全国·单元测试）如图，边长为的正方形纸片剪出一个边长为的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个长方形，若拼成的长方形一边长为m，则拼成长方形的面积是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查平方差公式的几何背景，根据题意，利用大正方形的面积减去小正方形的面积表示出长方形的面积，再化简整理即可． 【详解】解：根据题意，得： 故选：C． 2．（24-25七年级上·全国·期中）在学习乘法公式时，课本上通过计算图形面积来验证公式的正确性．下列图形中，不能借助图形面积验证乘法公式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平方差公式和完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式和平方差公式的结构特征是解题的关键，根据各图形中各个部分之间的关系，用代数式表示各自的面积即可得出结论． 【详解】A.图形的面积可以看作两个正方形的差，即，也可以看作两个长方形的面积和，即，因此，不符合题意，故该选项错误； B.图形的面积可以看作两个正方形的差，即，也可以看作三个梯形的面积和，即，因此，不符合题意，故该选项错误； C.图形的面积可以看作一个正方形的面积，即，也可以看作两个正方形和两个长方形的面积和，即，因此，符合题意，故该选项正确； D. 图形的面积可以看作两个正方形的差，即，也可以看作四个梯形的面积和，即 ，因此，不符合题意，故该选项错误， 故选：C． 3．（24-25七年级上·全国·期末）如图，在边长为的正方形上裁去边长为的正方形． （1）图，阴影面积是 ； （2）图是将图中的阴影部分裁开，重新拼成梯形，根据图形可以得到乘法公式 ； （3）运用得到的公式，计算： ． 【答案】 / 【分析】（）利用大正方形的面积减小正方形的面积即可求得； （）根据图阴影面积和图面积相等即可直接填空； （）根据平方差公式计算即可； 本题考查了平方差公式的证明和应用，理解平方差公式的结构特征是解题的关键． 【详解】解：（）阴影面积是， 故答案为：； （）图面积为：， ∴根据图形可以得到乘法公式， 故答案为：； （） ， 故答案为：． 4．（24-25七年级上·上海普陀·阶段练习）【理解】 （1）如图是一块边长为的正方形草坪，东西方向需要加长，南北方向缩短．改造后的草坪面积与原来相等吗？若不相等，其面积发生的什么变化？ 【应用】 （2）用长为的篱笆围成一个长方形用于种植草坪．可种植草坪的最大面积是多少平方米？为什么？ 【答案】（1）改造后的草坪面积与原来不相等，改造后面积减少了 （2），见解析 【分析】此题主要考查了平方差公式． （1）根据正方形和长方形的面积公式求出原来正方形草坪面积和改造后的长方形草坪面积，比较即得结论； （2）设种植草坪的一边长为，另一边长为，进而得种植草坪的面积为，即可得出结论． 【详解】解：（1）∵正方形草坪的边长为， ∴正方形草坪的面积； 将正方形草坪的东西方向需要加长，南北方向缩短，边长为，， ∴改造后的草坪面积， 故改造后的草坪面积与原来不相等，改造后面积减少了； （2）最大面积是，理由如下： 设种植草坪的一边长为，另一边长为， ∴种植草坪的面积， ∴，种植草坪的面积最大，最大面积为． 5．（24-25七年级上·上海杨浦·期末）某班数学兴趣小组的同学在学习整式乘法公式后，构造了以下图形验证乘法公式．请你利用数形结合的思想，通过等积法解决以下数学问题．从边长为的正方形中减掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． (1)比较两图中阴影部分面积，可以验证的等式是_____________；（请选择正确的选项） A．    B． (2)若，，求的值； (3)计算：． 【答案】(1)B (2)； (3) 【分析】本题考查平方差公式的几何背景，掌握平方差公式的结构特征是正确解答的关键． （1）分别用代数式表示图1、图2阴影部分的面积即可； （2）根据平方差公式进行计算即可； （3）将原式配上因式，连续利用平方差公式即可． 【详解】（1）解：图1阴影部分可以看作两个正方形的面积差，即， 拼成的图2是长为，宽为的长方形，因此面积为， 所以有， 故答案为：B； （2）解：∵，即，而， ∴； （3）解： ． 【典型例题七 完全平方公式在几何图形中的应用】 【例1】（24-25七年级上·上海青浦·期中）如图，小亮在一次创新性实验课上，用张类正方形卡片，张类正方形卡片和张类长方形卡片，拼成了一个大正方形，则拼成的大正方形的边长是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了对完全平方公式几何意义的理解，解题的关键是熟练掌握完全平方公式形式． 根据题意求出三类卡片的面积之和，根据完全平方公式进行整理即可求出答案． 【详解】解：根据题意，三类卡片的面积之和为：， ， ∴拼成的大正方形的边长为：． 故选：A． 【例2】（24-25七年级上·上海松江·期末）有A，B两个正方形，现将A的一边与B的一边重叠，（l，m过正方形A所在边的直线），又将正方形A，B的一边如图2所示部分重叠重新放置在大正方形中，若图1和图2中阴影部分面积分别为5和38．则正方形A，B的面积之和为（　　） A．43 B．33 C．38 D．48 【答案】A 【详解】此题主要考查了完全平方公式的几何应用．设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b，则正方形A，B的面积之和为，依题意得图1中阴影部分的面积，则，再根据图2中阴影部分的面积，得，进而得，由此即可得出答案． 【解答】解：设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b， ∴正方形A，B的面积之和为， 如图所示： 在正方形中，， ∴，， ∴图1中阴影部分的面积为：， ∵图1中阴影部分的面积为：5， ∴，即， 在正方形中，， ∴图2中阴影部分的面积为：， 又∵图2中阴影部分的面积为：38， ∴， ∴， ∴， ∴正方形A，B的面积之和为43． 故选：A． 【例3】（24-25七年级上·徐汇·期中）一个长方形的周长为12，以这个长方形的长和宽分别向外作四个正方形，若这四个正方形的面积之和为48，则这个长方形的面积为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了完全平方公式的实际应用，设长方形长为，宽为，根据题意得到，，再结合完全平方公式进而整理得到，求出，即可解题． 【详解】解：设长方形长为，宽为， 根据题意有，， 整理得， ， ， ， 则这个长方形的面积为6； 故答案为：6． 【例4】（2025·上海闵行·模拟预测）现有如图所示的三种纸片若干张．淇淇要用这三种纸片紧密拼接成一个没有缝隙的大正方形，她选取纸片4张，再取纸片1张，还需要取纸片 张． 【答案】4 【分析】本题主要考查完全平方公式，利用完全平方公式进行作答即可．熟练掌握完全平方公式的数形结合是解题的关键． 【详解】解：设取张纸片， 则可得大长方形的面积为， ， ，即需要取纸片张， 故答案为：． 【例5】（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，一条宽为的道路中，有一部分因损坏需进行维修．已知图中阴影部分为损坏部分，可看作平行四边形，且．若每平方米维修费是150元，求该道路损坏部分的维修费． 【答案】元 【分析】本题考查完全平方公式，平行四边形的面积计算，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 根据平行四边形的面积底高和每平方米造价是150元，可以计算出该平行四边形道路的造价． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，路宽， ∴该平行四边形的面积为：， ∵每平方米造价是150元， ∴该平行四边形道路的造价为：元． 1．（24-25七年级上·上海普陀·期中）如图，由四个相同的长为a，宽为b的长方形（）拼成如图所示的图形，大正方形的边长为m，小正方形的边长为n，则①；②；③；④中，正确的是（    ） A．④ B．②④ C．①③ D．①②③④ 【答案】D 【分析】本题考查了平方差公式及完全平方公式结合面积的变形运算，①由图即可判断；②由图可知，，即可得到，可判断；③即可进行判断；④，，即可对作出判断． 【详解】解：①由图得 ， 故①正确； ②由图得 ， ， ， ； 故②正确； ③由图得 ， ， ， 故③正确； ④由得， ， ， ， ， ； 故④正确； 故选：D． 2．（24-25七年级上·上海长宁·期末）如图，小敏同学在计算机软件上设计一个图案，画一个正方形覆盖在正方形的右下方，使其重叠部分是长方形，面积记为，两个较浅颜色的四边形都是正方形，面积分别记为，．已知，，且，则为（    ） A．15 B．22 C．28 D．30 【答案】C 【分析】本题考查完全平方公式与几何图形的面积，根据正方形的性质，得到，设，得到，进而得到，进而得到，利用完全平方公式变形计算即可． 【详解】∵正方形， ∴， ∴， ∴， 设，则：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即：， ∴． 3．（2025七年级上·全国·专题练习）利用图形中面积的等量关系可以得到某些数学公式．根据图1，可以得到两数和的平方公式： ；根据图2，可以得到两数差的平方公式： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了完全平方公式的几何背景问题，在图1中分别用两种不同的方法求正方形的面积即可得，在图2中分别用两种不同的方法求正方形的面积即可得， 熟练掌握其性质并能通过几何图形之间的数量关系对完全平方公式做出几何解释是解决此题的关键． 【详解】解：图1中大正方形的面积为， 也可以由一个边长为的小正方形，一个边长为的小正方形和两个长为a，宽为b的长方形的面积的和得到 ∴ 图2中左上角的正方形的面积为， 也可以由一个边长为的大正方形，一个边长为的小正方形，减去两个长为m，宽为n的长方形的面积得到， ∴， 故答案为：，． 4．（24-25七年级上·上海崇明·期中）对于一个图形，利用两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个等式．例如，由图1可以得到等式． (1)如图2，由几个面积不等的小正方形和几个小长方形拼成一个边长为的大正方形，从中得到等式：____________________； (2)利用（1）中的结论解决以下问题：已知，，求的值； 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了完全公式的几何意义，掌握完全公式的几何意义是解题的关键． （1）根据正方形面积的不同求解方法即可得出答案； （2）把，代入（1）中的等式计算即可． 【详解】（1）解：由题意可得，正方形的面积表示为， 也可以表示为：， ∴， 故答案为：； （2）解：∵，， ∴ ． 5．（24-25七年级上·上海青浦·期中）如图1，正方形A、B、C的边长分别为m、n、p，且． (1)将一个A种和一个B种正方形组合成图2的图形，外边框可以围成一个大正方形，用两种不同的方法表示这个大正方形的面积，从而可以得到一个乘法公式为 ． (2)如图3，将正方形A、B、C拼接在一起，沿着外边框可以围成一个大正方形，类比（1）的思路进行思考，直接写出所得到的等式 ． (3)利用用正方形A、B、C画出恰当的图形，说明 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】本题考查了完全平方公式与图形面积，熟练掌握完全平方公式是解题关键． （1）方法一：求出这个大正方形的边长，利用正方形的面积公式求解即可得；方法二：根据这个大正方形的面积等于两个小正方形的面积与两个小长方形的面积之和即可得；由此即可得出乘法公式； （2）利用两种方法求出大正方形的面积，由此即可得出等式； （3）利用正方形甲、乙、丙构造图形，根据图形中的面积关系即可得． 【详解】（1）解：方法一：这个大正方形的边长为， 则这个大正方形的面积为； 方法二：因为这个大正方形的面积等于两个小正方形的面积与两个小长方形的面积之和， 所以这个大正方形的面积为； 从而可以得到一个乘法公式为， 故答案为：； （2）解：方法一：这个大正方形的边长为， 则这个大正方形的面积为； 方法二：因为这个大正方形的面积等于3个小正方形的面积与6个小长方形的面积之和， 所以这个大正方形的面积为； 则所得到的等式为， 故答案为：； （3）解：构造图形如下：其中，图形是边长为的正方形， 则图形的面积为，阴影部分的面积为， 所以由图知． 【典型例题八 完全平方式在几何图形中的应用】 【例1】（24-25七年级上·上海闵行·期末）如图，一块直径为的圆形钢板，从中挖去直径分别为与的两个小圆．则剩下的钢板（阴影部分）的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由大圆面积减去两个小圆面积求出阴影部分面积即可． 【详解】解：根据题意得：． 故选：A． 【点睛】此题考查了整式的混合运算，弄清题意是解本题的关键． 【例2】（24-25七年级上·上海虹口·期末）如图，从边长为的正方形纸片中剪去一个边长为的正方形，剩余部分沿虚线剪下，拼成一个长方形（不重叠无缝隙），则此长方形的面积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据剩余部分面积等于长方形的面积即可求． 【详解】解：根据题意得剩余部分面积为： 则长方形的面积为． 故选：A． 【点睛】本题考查了图形剪拼问题中的列代数式，整式乘法的混合运算，完全平方公式，关键明确剩余部分面积等于长方形面积． 【例3】（24-25七年级上·上海杨浦·期中）长方形的周长为14，一组邻边的长、满足，则这个长方形的面积为 ． 【答案】12 【分析】本题主要考查了完全平方公式在几何图形中的应用，根据长方形周长公式得到，再由完全平方公式的变形得到，据此代值计算即可． 【详解】解：∵长方形的周长为14，x、y为该长方形的一组邻边长， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴这个长方形的面积为12， 故答案为：12． 【例4】（24-25七年级上·上海青浦·期中）4张长为a、宽为b（）的长方形纸片，按如图的方式拼成一个边长为（）的正方形，图中空白部分的面积为，阴影部分的面积为． （1）若，，则 ． （2）若，求a与b满足关系： ． 【答案】 【分析】（1）空白部分的面积为2个直角三角形（直角边为），2个直角三角形（直角边为）和中间正方形（边长为）的面积和，求解即可； （2）用含有的式子表示出，再根据求解a与b的关系． 【详解】解：（1）由题意可得：空白部分的面积为2个直角三角形（直角边为），2个直角三角形（直角边为）和中间正方形（边长为）的面积和 即 ∵， ∴ （2）由（1）得： 正方形的面积为 ∴ 又，，整理得： ∴ 故答案为， 【点睛】本题考查完全平方公式的计算与化简，解题关键是先求出和的面积． 【例5】（24-25七年级上·上海静安·期末）如图1，有甲、乙、丙三种纸片，其中甲是边长为a的正方形，乙是长为a，宽为b的长方形，丙是边长为b的正方形（a＞b）． (1)如图2，用甲、丙纸片各1张，乙纸片2张，可以紧密拼接成一个大正方形，请根据图形的面积写出一个乘法公式　 　； (2)若要用这三种纸片紧密拼接成一个边长为（2a+b）大正方形，则需要取甲、乙、丙纸片各多少张． 【答案】(1)（a+b）2=a2+2ab+b2 (2)需要取甲种纸片4张、乙种纸片4张、丙种纸片1张． 【分析】（1）根据两种计算图2面积的方法可得公式（a+b）2=a2+2ab+b2； （2）由计算（2a+b）2的结果可得此题结果． 【详解】（1）解：∵图2中正方形的面积可表示为：（a+b）2和a2+2ab+b2， ∴可得公式（a+b）2=a2+2ab+b2， 故答案为：（a+b）2=a2+2ab+b2； （2）解：由计算（2a+b）2=4a2+4ab+b2可得， 需要取甲种纸片4张、乙种纸片4张、丙种纸片1张． 【点睛】本题考查了完全平方公式几何背景的应用能力，关键是能准确地根据图形列出算式，和根据算式得到相应的图形． 1．（24-25七年级上·上海闵行·期中）用四个全等的矩形和一个小正方形拼成如图所示的大正方形，已知大正方形的面积是169，小正方形的面积是9，若用x，y表示矩形的长和宽（），则下列关系式中不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据图形和题目中的数据可以分别判断各个选项是否正确，从而可以解答本题． 【详解】解：由题意可得， 169−9＝4xy，得xy＝40，故选项C正确， （x＋y）2＝169，得x＋y＝13，故选项A正确， （x−y）2＝9，得x−y＝3，故选项B正确， ，故选项D错误， 故选：D． 【点睛】本题考查完全平方公式的几何背景，解题的关键是明确题意，巧妙变形，利用数形结合的思想判断各个选项是否正确． 2．（24-25七年级上·上海松江·期中）如图，为了美化校园，某校要在面积为120平方米的长方形空地ABCD中划出长方形EBKR和长方形QFSD，若两者的重合部分GFHR恰好是一个边长为3米的正方形，现将图中阴影部分区域作为花圃，若长方形空地ABCD的长和宽分别为m和n，，花圃区域AEGQ和HKCS总周长为32米，则的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】根据花圃区域AEGQ和HKCS总周长为32米，重合部分GFHR恰好是一个边长为3米的正方形，可得m+n=22，再根据长方形面积公式可得mn=120，再根据完全平方公式即可求解． 【详解】解：∵花圃区域AEGQ和HKCS总周长为32米，重合部分GFHR恰好是一个边长为3米的正方形， ∴2（m-3）+2（n-3）=32， ∴m+n=22， ∵mn=120， ∴（m+n）2=m2+n2+2mn=m2+n2+240=484， ∴m2+n2=244， ∴（m-n）2=m2+n2-2mn=244-240=4， ∵m＞n， ∴m-n=2． 故选：A． 【点睛】本题考查了完全平方公式的应用，解题的关键是灵活运用完全平方公式． 3．（24-25七年级上·上海静安·期中）某中学开展“筑梦冰雪，相约冬奥”的学科活动，设计几何图形作品表达对冬奥会的祝福．小冬以长方形ABCD的四条边为边向外作四个正方形，设计出“中”字图案，如图所示．若四个正方形的周长之和为32，面积之和为12，则长方形ABCD的面积为 ． 【答案】5 【分析】设，，由四个正方形的周长之和为24，面积之和为12列方程求解即可． 【详解】解：设，，由四个正方形的周长之和为32，面积之和为12可得， ，， 即①，②， 由①得，③， ③②得， 所以， 即长方形的面积为5， 故答案为：5． 【点睛】本题考查了完全平方公式与图形面积，用代数式表示两个正方形的周长和面积是解决问题的关键． 4．（24-25七年级上·上海松江·期末）如图1是一个长为4b、宽为a的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2）． （1）观察图2请你写出（a+b）2、（a﹣b）2、ab之间的等量关系是 ． （2）根据（1）中的结论，若x+y＝5，xy＝，求x﹣y的值． （3）变式应用：若（2019﹣m）2+（m﹣2021）2＝20，求（2019﹣m）（m﹣2021）的值． 【答案】（1）（a﹣b）2+4ab＝（a+b）2；（2）±4；（3）-8 【分析】（1）由观察图形可得，（a-b）2+4ab=（a+b）2； （2）由（1）题结论（a-b）2+4ab=（a+b）2可得，（a-b）2=（a+b）2-4ab，将x+y=5，xy=代入，可求得（x-y）2的值，最后就可求出结果； （3）由（a+b）2=a2+2ab+b2得，ab= (a+b)2−(a2+b2) 2 ，运用整体代入法可求出结果． 【详解】解：（1）由题意得图1中长方形面积为4ab，图2中阴影部分面积是（a﹣b）2，整体面积是（a+b）2， ∴（a﹣b）2+4ab＝（a+b）2， 故答案为：（a﹣b）2+4ab＝（a+b）2； （2）由（1）题结论（a﹣b）2+4ab＝（a+b）2可得，（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab， ∴（x﹣y）2＝（x+y）2﹣4xy， 当x+y＝5，xy＝时， ∴（x﹣y）2 ＝52﹣4×， ＝16， ∴x﹣y＝±＝±4， （3）由（a+b）2＝a2+2ab+b2得，ab＝， ∴（2019﹣m）（m﹣2021）， ＝{[（2019﹣m）+（m﹣2021）]2﹣[（2019﹣m）2+（m﹣2021）2]}， ＝ [（﹣2）2﹣20]， ＝×（﹣16）， ＝﹣8． 【点睛】本题主要考查了数形结合与完全平方公式的变形应用能力，解决本题的关键能将公式变形应用． 5．（24-25七年级上·上海宝山·阶段练习）阅读与思考 仔细阅读下列材料并完成相应任务． 利用因式分解解决代数式的最值问题 我们把形如的式子称为完全平方式，除了利用完全平方式进行多项式的因式分解外，也可以将一个多项式进行局部因式分解从而解决代数式的最值问题． 例如：． ∵，∴，∴， ∴当时，取得最小值，最小值为2． 任务： (1)代数式的最小值为 ． (2)求代数式的最大值，并写出相应的x的值． (3)小明的爸爸计划用一段长为8米的篱笆围成一个长方形的小型宠物围栏，请你帮助小明的爸爸规划一下怎样围面积才最大，最大面积为多少？ 【答案】(1) (2)代数式的最大值为，对应x的值为1 (3)小明的爸爸规划一个边长为2的正方形宠物围栏，面积才最大，最大面积为8平方米． 【分析】本题主要考查了非负数的性质、完全平方公式的应用等知识点，利用完全平方公式确定最值问题是解题的关键． （1）根据非负数的性质求解即可； （2）先把原式变形为，再根据非负数的性质即可解答； （3）设当小型宠物围栏的长为x，则宽为，然后列出小型宠物围栏的面积，然后运用配方法求最值即可． 【详解】（1）解：∵， ∴ ∴代数式的最小值为． 故答案为：． （2）解：∵，， ∴， ∴当时，代数式的最大值为． （3）解：设当小型宠物围栏的长为x米，则宽为米， 则小型宠物围栏的面积为， ∵， ∴， ∴当时，代数式的最大值为4． ∴小明的爸爸规划一个边长为2的正方形宠物围栏，面积才最大，最大面积为8平方米． 1．（2025·上海闵行·模拟预测）下列运算中，正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平方差公式，合并同类项，同底数幂乘法，积的乘方，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 利用平方差公式，合并同类项法则，同底数幂乘法法则，积的乘方法则逐项判断即可． 【详解】A、，则A不符合题意； B、，则B不符合题意； C、，则C符合题意； D、，则D不符合题意． 故选：C． 2．（24-25七年级上·上海松江·期中）在多项式中添加一个单项式，使其成为一个多项式的完全平方，则添加的单项式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了完全平方公式注意：完全平方公式有两个：，．根据完全平方公式逐个判断即可． 【详解】A． 不是一个多项式的完全平方，故不符合题意； B． 不是一个多项式的完全平方，故不符合题意； C． 是一个多项式的完全平方，故符合题意； D． 不是一个多项式的完全平方，故不符合题意； 故选：C． 3．（24-25七年级上·上海奉贤·单元测试）乐乐计算一个二项整式的平方时，得到正确结果，但中间一项不慎被污染了，这一项应该是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查完全平方公式的运用，熟练记住公式的灵活变形是解题的关键．完全平方公式是指：，只要根据定义即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴中间一项不慎被污染的一项应该是， 故选：D． 4．（24-25七年级上·上海宝山·期末）如图：把长和宽分别为和的四个完全相同的小长方形拼成的一个“回形”正方形，图中的阴影部分的面积正好可以验证下面等式的正确性的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景，整体看是一个边长为的正方形，中间的空白是一个边长为的正方形，利用阴影部分的面积等于两个正方形的面积差计算即可，熟练掌握平方公式是解题的关键． 【详解】阴影部分的面积是：； 个长方形的面积是：， ∴验证的等式是：， 故选：． 5．（24-25七年级上·上海嘉定·阶段练习）已知2024个数，每个数只能取或两个值之一，那么它们的两两之积的和的最小正值为（    ） A． B． C．44 D．46 【答案】D 【分析】本题主要考查数字的变化规律，记，将转化为，设，，，中有个，个，则，求出，结合为正整数，当时，有最小正值，即可解答． 【详解】解：记， ∴， ∵，每个数只能取或两个值之一， ∴， ∴， 设，，，中有个，个， ∴， ∴， 由题意可得两两之积都是整数， ∴是整数，是偶数， 要使为最小正值， ∴，即， ∵为正整数， ∴当时，有最小正值， ∴， 故选：D． 6．（24-25七年级上·上海金山·阶段练习）新定义：，例如，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了定义新运算，平方差公式，弄清运算法则是解题的关键； 根据新定义可得，再根据平方差公式得出答案． 【详解】解：根据题意可得． 故答案为：． 7．（24-25七年级上·上海静安·阶段练习）已知，m、n为正整数，则的值为 ．若，则 ． 【答案】 / 【分析】本题考查了同底数幂相乘，幂的乘方的逆运算，以及幂的乘方，完全平方公式，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先整理，则；根据，分别代入进行计算，即可作答． 【详解】解：∵， ∴ ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 8．（24-25七年级上·上海普陀·期末）有一道数学题，部分内容被墨水污染了：先化简，再求值，其中“ ”，小明翻开答案看到这题的结果是7．那么的值是多少？ 【答案】 【分析】先进行化简，令化简的代数式结果等于7，即可求出的值． 【详解】解： ． ，解得． 【点睛】本题考查了平方差公式，完全平方公式，整式的加减．熟练运用乘法公式化简构造一元一次方程是解题的关键． 9．（24-25七年级上·上海·期中）如图，正方形与正方形的面积之差是6，则阴影部分的面积是 ． 【答案】3 【分析】本题考查平方差公式在几何图形中的应用，解题的关键是用含、的代数式表示出阴影部分的面积．设正方形与正方形的边长分别为和，根据两者面积差为6，可得．利用含、的代数式表示出阴影部分的面积，将整体代入即可求解． 【详解】解：设正方形与正方形的边长分别为和， 由题意得：． 由图形可得： ． 故阴影部分的面积为3． 故答案为：． 10．（2024七年级上·上海松江·专题练习）如图，把三张边长相等的小正方形甲、乙、丙纸片按先后顺序放在一个大正方形内，丙纸片最后放在最上面．已知小正方形的边长为，如果斜线阴影部分的面积之和为，空白部分的面积和为4，那么的值为 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查完全平方式的几何背景，解题关键在于找出甲、乙、丙各自的边长长度．先将乙这个正方形平移至边，然后设大正方形边长为，从而表示出斜线阴影面积为和空白面积为，再代入计算即可． 【详解】解：将乙正方形平移至边，如图所示： 设， 乙的宽；甲的宽； 又斜线阴影部分的面积之和为， ， 空白部分的面积和为4， ， ， 即， ． 故答案为：2． 11．（24-25七年级上·上海宝山·期中）先化简，再求值： (1)，其中． (2)已知，求的值． 【答案】(1)， (2)，11 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，多项式乘多项式，单项式乘多项式，完全平方公式，平方差公式，解题的关键是熟练掌握以上运算法则． （1）先进行平方差公式和单项式乘多项式的运算，再合并同类项，最后代入求值即可； （2）先进行多项式乘多项式和完全平方差运算，再合并同类项，最后整体代入求值即可． 【详解】（1）解： 当时， 原式； （2）解： ． 当时，原式． 12．（24-25七年级上·上海徐汇·阶段练习）完全平方公式经过适当的变形，可以解决很多数学问题． 例如：若，，求的值． 解：因为，，所以，即，所以． 根据上面的解题思路与方法解决下列问题： (1)若，，则______； (2)若，，求的值； (3)已知，求的值． 【答案】(1)31 (2)15 (3)119 【分析】本题考查了完全平方公式变形求值，正确掌握完全平方公式是解题的关键． （1）根据完全平方公式变形即可求解； （2）由题意得到，根据完全平方公式得出，化简即可求解． （3）两边平方得，化简求出，然后两边平方即可求解． 【详解】（1）解：，， ，， ，即， ， 故答案为：31． （2），， ， ， ， ； （3）， ∴， ， ， ∴， ， ∴． 13．（24-25七年级上·上海宝山·期中）借助表格进行多项式乘多项式运算，可以方便合并同类项得出结果． 例题： 解：如表1所示，． (1)如表2所示，直接写出表格所表示的等式； (2)如表3，表3为残缺表，若其结果中不含有一次项，根据以上获得的经验，确定表示△、○表示的代数式． 【答案】(1) (2)△表示，○表示0或多项式（为任意数） 【分析】本题考查了整式的混合运算、完全平方公式，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）仿照已知表1中的计算方法计算即可得解； （2）根据表格并结合题意判断即可得解． 【详解】（1）解：由题意可得：表2所示的等式为：； （2）解：由表格并结合题意可得：△表示， ∴， ∵其结果中不含有一次项， ∴○表示0或多项式（为任意数）． 14．（24-25七年级上·上海静安·期末）综合与实践 从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图）． (1)上述操作可以得到一个公式：__________； (2)利用你得到的公式，计算：； (3)计算：． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】（）求出图、阴影部分面积即可求解； （）利用（）中公式即可求解； （）利用（）中公式即可求解； 本题考查了平方差公式几何背景的应用，熟练掌握是解题的关键． 【详解】（1）解：图阴影部分面积为，图阴影部分面积为， 则述操作可以得到一个公式：， 故答案为：； （2）解：由（）得： ； （3）解：原式 ． 15．（24-25七年级上·上海奉贤·期中）如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数为“奇特数”．例如：，，；则8、16、24这三个数都是奇特数． (1)32这个数是奇特数吗？若是，表示成两个连续奇数的平方差形式． (2)设两个连续奇数是和（其中n取正整数），由这两个连续奇数构造的奇特数是8的倍数吗？为什么？ (3)如图所示，拼叠的正方形边长是从1开始的连续奇数…，按此规律拼叠到正方形ABCD，其边长为39，求阴影部分的面积． 【答案】(1)是，； (2)是，理由见解析 (3) 【分析】（1）根据即可求解； （2）利用平方差公式进行计算，得到两个连续奇数构造的奇特数是8的倍数； （3）利用阴影部分面积为：，根据平方差公式进行计算即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴32是奇特数； （2）解：由这两个连续奇数构造的奇特数是8的倍数， 理由： ； ∴由这两个连续奇数构造的奇特数是8的倍数； （3）解： ． 【点睛】本题考查了平方差公式的应用，利用图形正确表示出阴影部分的面积是解题关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$