第04讲 有理数的乘方与混合运算（2知识点+8大典例+变式训练+过关检测）-（暑期衔接课堂）2025－2026学年六年级上册数学衔接讲义（沪教版2024）

第04讲 有理数的乘方与混合运算（2大知识点+8大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 有理数幂的概念理解 典型例题二 有理数的乘方运算 典型例题三 乘方运算的符号规律 典型例题四 含乘方的有理数混合运算 典型例题五 程序流程图与有理数计算 典型例题六 算“24”点 典型例题七 乘方的应用 典型例题八 有理数乘方的新定义运算 知识点01 有理数的乘方 1.乘方的概念：一般地，n个相同的因数a相乘，记作，读作a的n次方。 求n个相同因数的积的运算，叫做乘方。 2.乘方的结果叫做幂（power）；在中，a叫做底数（base number），n叫做指数（exponent）。 知识点02 有理数的混合运算 1.有理数混合运算法则：①先算乘方,再算乘除,最后算加减。 ②如果有括号,先算括号里面的。 2.混合运算顺序：· 先算乘方，再乘除，后加减； · 同级运算，从左到右进行； · 如有括号，先算括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行。 【典型例题一 有理数幂的概念理解】 【例1】（2025·上海松江·模拟预测）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【例2】（2025·上海青浦·模拟预测）若为整数，则表示的是（   ） A．3个相乘 B．2个相加 C．3个相加 D．5个相乘 【例3】（24-25六年级上·上海闵行·期中）的底数为 ． 【例4】（24-25六年级上·上海静安·期中）同学们我们在信息课上利用计算机软件“Xmind”整理了“有理数及其运算”的思维导图，如图所示，则你认为A表示 ；B表示 ． 【例5】（24-25六年级上·上海嘉定·假期作业）把下列各式写成乘方的形式，并指出底数和指数各是什么． (1)； (2) 1．（2024六年级上·上海奉贤·专题练习）已知，则值是（   ） A． B．6 C． D．9 ab 2．（24-25六年级上·上海虹口·期中）定义新运算：用“”连接个相同非零有理数a所构成的运算叫做除方，记作．比如读作“2的圈3次方”，，读作“的圈4次方”．下面说法不正确的是（    ） A．任意非零数的圈3次方都等于它的倒数． B．圈n次方等于它本身的数是1或（n为任意正整数）． C．互为相反数的两个数的圈n次方不一定互为相反数． D．互为倒数的两个数的圈n次方互为倒数． 3．（24-25六年级上·上海长宁·阶段练习）下列说法：①若，则；②若x为有理数，且，则；③若，且，则；④若，则；⑤（a为正整数）．其中说法正确的是 ．（填序号） 4．（24-25六年级上·上海虹口·期中）（1）计算下面两组算式： ①(3×5)2与32×52 ； ②[(－2)×3]2与(－2)2×32 ； （2）根据以上计算结果猜想： (ab)3＝ (直接写出结果) （3）猜想与验证：当n为正整数时，(ab)n等于什么?请你利用乘方的意义说明理由． 5．（24-25六年级上·上海宝山·期中）阅读材料，解决问题： 我们学习了乘方的定义和意义，根据乘方和乘法两种运算之间的转化了解到： ;观察上述算式: 可以得到： 类比上述式子，你能够得到： (1) ， ； (2)利用由特殊到一般的思想，可以得到： （m、n都是正整数）；我们把类似于和这样的式子叫同底数幂；因此可以得到“同底数幂的乘法”法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加． (3)知识运用： ， ； (4)已知 求的值． 【典型例题二 有理数的乘方运算】 【例1】（24-25六年级上·上海松江·期末）下列运算中，正确的是（    ）． A． B． C． D． 【例2】（2025·上海宝山·模拟预测）音乐中的八度是指相邻的音组中相同音名的两个音（包括变化音级），从某一音级到它上方或下方第一个同名音级之间的音高距离，就是八度．如到、到．以频率来表示，相邻一个八度的两个同名音高的声波振动频率高低之比为．观察下面的钢琴键盘示意图，可以得出的振动频率是的（    ） A．倍 B．倍 C．倍 D．倍 【例3】（24-25六年级上·上海·阶段练习）计算： ．（用2的乘方表示） 【例4】（24-25六年级上·上海长宁·期中）在计算机中，所采用的计数法是二进制，即“逢二进一”．因此，二进制中只用两个数字0和1．二进制的计数单位分别是1、、、、……，二进制数也可以写作展开式的形式，例如100110在二进制中表示为：．根据以上原则将转化为十进制， ．将十进位制数化成与其相等的二进制数，用十进制的数除以2，然后将商继续除以2，直至商为0，将所得的余数按照倒序从高位到低位排序即可，如右图的算法：则．根据以上原则，将23转换为二进制数表示，则 ． 【例5】（24-25六年级上·上海金山·期中）阅读下面的材料，并解决后面的问题 材料：我们知道，n个相同的因数a相乘记为an，如，此时，3叫做以2为底8的对数，记为．一般地若（且，），，则n叫做以a为底b的对数，记为，如，则4叫做以3为底81的对数，记为． (1)计算以下各对数的值：___________，_________，____________． (2)通过观察，4、16、64之间满足怎样的关系？、、之间又满足怎样的关系式？ (3)由（2）的猜想，归纳一个一般性的结论：____________（且，，）． 1．（24-25六年级上·上海闵行·阶段练习）下列各组数中，相等的一组是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 2．（2024六年级上·上海宝山·专题练习）如图，某图书馆把密码做成了数学题．小明在图书馆看书时，思索了一会儿，输入密码，顺利地连接到了“图书馆”的网络，那么他输入的密码是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25六年级上·上海嘉定·期中）数学兴趣小组在合作学习过程中，获得知识的同时，也提出新的问题．例如：根据，知道和的值，可以求的值，如果知道和的值，可以求的值吗？他们为此进行了研究，并规定：若，那么．例如：，则．根据他们的研究结果，完成下列各题： （1）填空： ； （2）若，，则 ． 4．（24-25六年级上·上海松江·期中）【提出问题】怎样比较与的大小？ 【分析问题】为了解决这个问题，我们先写出它的一般形式，即比较与的大小（n是正整数），然后我们从分析……中发现规律，经归纳、猜想，得出结论． 【探究过程】 （1）从简单的开始，比较下列各组中两数的大小（在横线上填写“”“”或“”）： ①_______；②_______；③_______；…… （2）根据上面的结果，经过归纳，猜想与有怎样的大小关系？ 【解决问题】 （3）根据以上探究，我们可得结论（在横线上填写“”“”或“”）：_______． 5．（24-25六年级上·上海·期末）国际数学教育大会是全球数学教育界水平最高、规模最大的学术盛会，每四年一届．于2021年在上海举办，这是国际数学教育大会第一次在中国举办．大会标识（图1）中蕴含着很多数学文化元素，以中国传统文化中“洛书”与“河图”为原本，并将其与我国古老的八卦进行了融合，体现了我国传统文化的博大精深．其中八卦符号（图2）可以用于记数．提示：八卦中称为阳爻，对应数字1，称为阴爻，对应数字0，这是二进制记数法，每卦均由三个阳爻或阴爻组成．如图2，从左起第一个符号表示的二进制数为．． (1)从左起第四个符号与第一个符号表示的二进制数的差是多少？ (2)若一个k进制的两位数，从左起第一位、第二位分别为a，b，则记这个k进制的两位数为．已知是的n倍（n为正整数，k是正整数且），其中a为大会标识中从左起的第四个八卦符号所表示的二进制数转换得到的十进制数，请你探求k的值． 【典型例题三 乘方运算的符号规律】 【例1】（24-25六年级上·上海松江·阶段练习）若 ，则一定有（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25六年级上·上海杨浦·期末）当时，下列各式成立的有（　　） ①；②；③；④． A．①② B．①③ C．①②④ D．②③④ 【例3】（24-25六年级上·上海青浦·期中）已知的最大值为 ． 【例4】（24-25六年级上·上海普陀·期中）观察下图三行数： ，4，，16，，64，...；① 0，6，，18，，66，...；② ，2，，8，，32，...；③ 取每行数的第9个数，这三个数的和为 ； 【例5】（2024六年级上·上海虹口·专题练习）判断下列各式计算结果的正负： (1)； (2)； (3)； (4)． 1．（24-25六年级上·上海闵行·阶段练习）若，则a，，由小到大排列正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25六年级上·上海静安·期末）观察下列三组数的运算：，；，；，．联系这些具体数的乘方，可以发现规律．下列用字母表示的式子：①当时，；②当时，．其中表示的规律正确的是（    ） A．① B．② C．①、②都正确 D．①、②都不正确 3．（24-25六年级上·上海徐汇课后作业）【问题解决】 例如：观察下面式子，根据规律填空： （1），，，，…， ， ． （2），，，，…， ． 4．（24-25六年级上·上海松江·期中）在计算1＋2＋22＋23＋…＋299＋2100时，可以先设S＝1＋2＋22＋23＋…＋299＋2100，然后在等式两边同乘以2，则有2S＝2＋22＋23＋…＋299＋2100＋2101，最后两式相减可得：2S－S＝(2＋22＋23＋…＋299＋2100＋2101)－(1＋2＋22＋23＋…＋299＋2100)＝2101－1，即得S＝2101－1．即1＋2＋22＋23＋…＋299＋2100＝2101－1． 根据以上方法，计算：1＋()＋()2＋()3＋…＋()2019＋()2020． 5．（24-25六年级上·湖上海宝山·阶段练习）观察下面三行数： 2、、8、、32、……① 1、、4、、16、……② 0、6、、18、、66……③ 取每一行的第n个数，依次记为a，b，c． 例如上图中，当时，，，， (1)当时，________，________，________； (2)写出第①行的第n个数________；第②行的第n个数________； (3)是否存在某一列的三个数a，b，c使得？若存在，求出n的值；若不存在，请说明理由． 【典型例题四 含乘方的有理数混合运算】 【例1】（24-25六年级上·上海崇明·期末）请把二进制数转换成十进制数（  ） A． B． C． D． 【例2】（24-25六年级上·上海普陀·阶段练习）为了大力促进人工智能与教育教学深度融合，本学期学校开设了人工智能课程．已知利用如图1的二维码可以进行身份识别，小王同学建立了一个身份识别系统．图2是某个学生的识别图案，黑色小正方形表示1，白色小正方形表示0，将第一行数字从左到右依次记为a，b，c，d，那么可以转换为学生所在班级序号，其序号为．如图2第一行数字从左到右依次为0，1，0，1，序号为，表示该生为5班学生，表示6班学生的识别图案是（   ）    A．   B．   C．   D．   【例3】（2025·上海杨浦·模拟预测）定义如下运算：，，根据定义计算的值为 ． 【例4】（2025·上海长宁·模拟预测）我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳记数”．如图，一位妇女在从右到左依次排列的绳子上打结，满六进一，用来记录采集到的野果数量，由图可知，她一共采集到的野果数量为 个 【例5】（24-25六年级上·上海青浦·阶段练习）直接写出得数． (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) 1．（24-25六年级上·上海嘉定·阶段练习）计算的结果是 （    ） A． B． C． D． 2．（24-25六年级上·上海奉贤·期末）正所谓：“人有人言，灯有灯语”．灯语（灯光通信）是船只之间通信的一种通用化语言，在国际上的使用十分广泛．利用灯光，以二进制的原理传递信息，可以帮助船员在较远的目视距离相互沟通．例如：“○”表示亮红灯．”“●”表示亮绿灯．两只远洋航行的船只用亮红灯和亮绿灯来进行交流，并在启航前作如图所示的约定： 根据约定的规则，下列说法正确的有（   ） ①“●○○○”表示字母H： ②若要表示26个英文字母，需要6盏灯； ③某船先后发出“●○○●●”、“●●●●”、“●○○●●”表示它遇到了危险，在求救． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 3．（24-25六年级上·上海·期中）计算： 4．（24-25六年级上·上海嘉定·阶段练习）新定义运算：．例． 求 (1)的值为； (2)的值为． 5．（24-25六年级上·上海宝山·期中）【概念学习】规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的商的运算叫做除方，比如等，类比有理数的乘方，我们把写作，读作“2的圈3次方”，写作，读作“的圈4次方”，一般地，把写作，读作“a的圈n次方”． 【初步探究】（1）直接写出计算结果： ； 【深入思考】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ （2）试一试：仿照上面的算式，把除方运算写成幂的形式： ，（） ． （3）算一算：． 【典型例题五 程序流程图与有理数计算】 【例1】（24-25六年级上·上海闵行·期中）按下面的程序计算：当输入时，输出结果是419；当输入时，输出结果是626；如果输入x的值是正整数，输出结果是311，那么满足条件的x的值最多有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【例2】（24-25六年级上·上海宝山·期末）如图所示是某计算程序，若输入数字2，则最后输出的结果是（   ） A．22 B．24 C．26 D．28 【例3】（24-25六年级上·上海长宁·期中）按照下图所示的操作步骤，若输如x的值为2，则y为 ． 【例4】（24-25六年级上·上海·期中）如图所示，若输入的分数是，则输出的分数是 ． 【例5】（24-25六年级上·上海徐汇·期末）如图，是一个数值转换机的示意图． (1)若输入x的值是3，则输出y的值等于______； (2)若输出y的值是3，求输入x的值． 1．（24-25六年级上·上海宝山·期末）定义一种对正整数的“运算”：①当为奇数时，结果为；②当为偶数时，结果为（其中是使为奇数的正整数）并且运算重复进行，例如：时，其“运算”如下： 若，则第次“运算”的结果是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25六年级上·上海闵行·期末）对任意正整数n，若n为偶数则除以2，若n为奇数则乘3再加1，在这样一次变化下，我们得到一个新的自然数，在1937年LotharCollatz提出了一个问题：如此反复这种变换，是否对于所有的正整数，最终都能变换到1呢？这就是数学中著名的“考拉兹猜想”．如果某个正整数通过上述变换能变成1，我们就把第一次变成1时所经过的变换次数称为它的路径长，例如5经过5次变成1，则路径长．下列说法： ①无论输入的正整数n是奇数还是偶数，当路径长时，总能得到连续四次变换的结果依次是，，，； ②若输入正整数n，变换次数m，当时，n的所有可能值只有4个； ③若输入正整数n，变换次数m，当时，n的所有可能值中最大是512，最小是13． 其中正确的个数是（   ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 3．（24-25六年级上·上海静安·期末）按如图所示的程序计算，当输入有理数m，n，满足时，y的值为 ． 4．（24-25六年级上·上海徐汇·期中）仔细观察下图的操作步骤，然后回答问题．（写出计算过程） 求当输入的数分别是和4时，输出的数分别是多少？ 5．（24-25六年级上·上海宝山·期末）根据如图所示的程序回答问题： (1)当小红输入和这两个数时，请计算说明：她的输出的结果是多少？ (2)当小王输入和这两个数时．输出的结果是4，试求被墨水污染的数． 【典型例题六 算“24”点】 【例1】（24-25六年级上·上海闵行·阶段练习）“算24点”的游戏规则是：用“，，，”…四种运算符号把给出的4个数字连接起来进行计算，要求最终算出的结果是24，例如，给出2，2，2，8这四个数， 可以列式．以下的4个数用“，，，”四种运算符号不能算出结果为24的是（  ） A．1，6，8，7 B．1，2，3，4 C．4，4，10，10 D．6，3，3，8 【例2】（24-25六年级上·上海松江·期中）“24点”游戏规则如下：将四个数用“加、减、乘、除”进行混合运算，（每个数必须且只用一次，可以添加括号），使其运算结果等于24．如3，8，8，9进行“24点”游戏的算式是或．现有，3，4，10，则列出一个求“24点”的算式是 （写出一种即可）． 【例3】（24-25六年级上·上海长宁山·期末）游戏“点”规则如下：从一副扑克牌（去掉大王、小王）中任意抽取张，根据牌面上的数字进行混合运算（每张牌必须用一次且只能用一次），使得运算结果为，其中红色（方块、红桃）扑克牌代表负数，黑色（梅花、黑桃）扑克牌代表正数．请用如图抽取出的张牌，写出一个符合规则的算式： ． 【例4】（24-25六年级上·上海嘉定·期中）小明有5张写着不同数字的卡片，请你按要求选择卡片，完成下列各问题： (1)从中选择两张卡片，使这两张卡片上数字的乘积最大．这两张卡片上的数字分别是 ； (2)从中选择两张卡片，使这两张卡片上数字相除的商最小．则这个最小的商为 ； (3)从中选择4张卡片，每张卡片上的数字只能用一次，选择加、减、乘、除中的适当运算（可加括号），使其运算结果为24，写出运算式子及运算过程．（写出一种即可） 【例5】（24-25六年级上·上海奉贤·期中）“24点”游戏是同学们熟知的数学游戏，游戏规则是利用加、减、乘、除（可加括号），将这四个数列式进行运算（四个数都要用到且都只能使用1次），使其结果为24． 例如：①2、3、4、8：；②2、4、、：． (1)请用一个算式完成下列两组数据的“24点”运算． ①1、2、3、6；②、、4、4． (2)若“24点”游戏规则在原有四则运算基础上加入乘方计算，即四个数中的一个数可以用做指数，例如2、3、4、4可以这样计算：也可以这样计算：．请利用上述运算规则列式完成2、、、5的“24点”计算，要求用2种方法． 1．（24-25六年级上·上海普陀·期末）“24点”游戏规则是：从一副牌中（去掉大、小王）任意抽取4张牌，用上面的数字进行混合运算，使结果为24或—24.其中红色代表负数，黑色代表正数，A，J，Q，K分别代表1，11，12，13，例如张毅同学抽取的4张牌分别为红桃4、红桃3、梅花6、黑桃2，于是张毅同学列出的算式为（－4）×（－3－6÷2）＝24，现在张毅同学想挑战“36点”，将这四张牌中的任意一张换成其它牌，使结果为36或—36，下列方法可行的有几种：①将红桃4换成黑桃6；②将红桃3换成红桃6；③将梅花6换成黑桃Q；④将黑桃2换成黑桃A（    ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 2．（24-25六年级上·上海虹口·期末）幻方历史悠久，趣味无穷．如图1，将9个连续正整数填入九宫格，使各行、各列、各对角线上的3个数之和都相等，可得到一个幻方．如图2，将另外9个连续正整数填入九宫格，其各行、各列、各对角线上的3个数之和都是2019，那么这9个数中最小的一个是 ． 3．（24-25六年级上·上海松江·期中）小明有5张写着以下数字的卡片，,从中取出除0以外的4张卡片，将这4个数字进行加、减、乘、除或乘方等混合运算，使结果为24，（注：每个数字只能用一次，请写出一种符合要求的运算式子 ． 4．（24-25六年级上·上海闵行·期中）有一种“二十四点”游戏，其游戏规则是这样的：任意取4个之间的自然数，将这4个数（每一个数只能用一次）进行加、减、乘、除四则运算（可以使用括号），使其结果等于24．比如，自然数，可以这样运算得到，等等． (1)有4个有理数，分别为：，根据上述规则，请你写出3种列式方法，使其结果等于24； 方法1：_______； 方法2：_______； 方法3：_______； (2)如果换成另外的4个有理数：，请你写出1个运算式子，使其结果等于24．列式：______________． 5．（24-25六年级上·上海金山·期中）思维训练： (1)有一种“二十四点”的游戏，将四个有理数进行加、减、乘、除、乘方运算，使其结果等于24．现有四个有理数，4，，6，请写出三种不同方法的运算，使其结果等于24． (2)如表，在3×3的幻方中，当空格中填上适当的数后，每行、每列以及对角线上的数的和是相等的，求k的值； k 11 121 (3)在图1中，一笔画出4条线段连接着9个点，并且不重复任何一条线段；在图2中，用三条线，把相同数字连起来，不交叉，不超出边框，不在框线上走． 【典型例题七 乘方的应用】 【例1】（24-25六年级上·上海徐汇·期末）已知，，，，，，那么的个位上的数字是（   ） A．6 B．4 C．2 D．0 【例2】（24-25六年级上·上海松江·期末）如图是一张长、宽的长方形纸片，第一次裁去一半，第2次裁去剩下部分的一半，…，按照此方式裁剪下去，第6次裁剪后剩下的长方形的面积是（   ）      A． B． C． D． 【例3】（2025六年级上·上海宝山·专题练习）已知一张纸的厚度为，假设连续对折始终是可能的．小明将该纸片连续对折6次，则纸的厚度为 ． 【例4】（24-25六年级上·上海杨浦·期中）细菌是靠分裂进行生殖的，也就是1个细菌分裂成2个细菌，分裂完的细菌长大以后又能进行分裂．例如，图中所示为某种细菌分裂的电镜照片，显示这种细菌每20分钟就能分裂一次．1个这种细菌经过5个小时可以分裂成 个细菌． 【例5】（24-25六年级上·上海嘉定·期中）阅读计算： 阅读下列各式：，，… 回答下列三个问题： (1)验证： ， ； (2)通过上述验证，归纳得出： ； (3)请应用上述性质计算：． 1．（24-25六年级上·上海奉贤·假期作业）若，为有理数，下列判断正确的个数是（　　） （1）的最小值是；（2）的最小值是；（3）的最大值为；（4）的最大值是． A． B． C． D． 2．（24-25六年级上·上海闵行·期中）利用如图所示的图形，可求的值是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25六年级上·上海普陀·期末）数都可以表示成各个数位上的数字与该进制下基数的幂的乘积之和的形式．“十进制记数法”是目前应用最广泛的记数系统，十进制的基数是10，其特征是逢十进一，如3721表示成基数的幂的乘积之和为：（规定当时，）．“二进制记数法”是计算机使用的记数系统，二进制的基数是2，其特征是逢二进一，如二进制数表示成基数的幂的乘积之和为：．根据以上介绍，回答下列问题： ①二进制数表示成基数的幂的乘积之和为： ； ②若某二进制数与之和是一个8位的二进制数，则a的最小值是 ． 4．（24-25六年级上·上海青浦·期中）在一次数学兴趣小组活动中，老师和几个同学在一起探讨：在中，，，三者的关系，如果已知，的值，可以求的值吗?他们对此进行了研究，规定；若，则，例如；若，则． (1)______； (2)请你计算： 5．（24-25六年级上·上海虹口·期中）如何计算？小明和小亮给出了不同的做法： 一、小明的做法： 如图，画一个边长为1的正方形，并将它的面积不断做二等分． 第1次分割：把正方形的面积二等分，其中阴影部分的面积为； 第2次分割：将上次分割图中的空白部分的面积继续二等分，阴影部分的面积为； 第3次分割：将上次分割图中的空白部分的面积继续二等分，阴影部分的面积为； … 第2024次分割：将上次分割图中的空白部分的面积继续二等分，阴影部分的面积为． 根据图形可得，． 二、小亮的做法： 设， 则，因为，所以． (1)请仿照小明的做法求出的值（画出最后一次分割的图形，在图上标注阴影部分面积，并写出结果）； (2)请仿照小亮的做法验证（1）的结论； (3)在上面的两种做法中任选一种计算的值． 【典型例题八 有理数乘方的新定义运算】 【例1】（24-25六年级上·上海徐汇·阶段练习）定义新运算“&”，对任意有理数a、b，规定：，则的值为（    ） A．2023 B．2022 C． D． 【例2】（24-25六年级上·上海宝山·阶段练习）用“☆”定义一种新运算：对于任何不为零的整数a和b，规定，如，则的值为（        ） A． B．8 C． D． 【例3】（24-25六年级上·上海松江·课后作业）新考法  定义一种新的运算，如果，那么 ． 【例4】（24-25六年级上·上海虹口·期中）用“”定义新运算：对于任意有理数，都有，那么 ． 【例5】（24-25六年级上·上海杨浦·期末）若与互为相反数． (1)求，的值； (2)规定一种新运算：，如 ，求的值． 1．（24-25六年级上·上海崇明·期末）定义：如果（，且），那么x叫做以a为底N的对数，记作．例如：因为，所以；因为，所以．则下列说法正确的序号有（    ） ①；②；③若，则；④ A．①③ B．②③ C．①②③ D．②③④ 2．（24-25七年级·上海青浦·假期作业）定义一种关于整数的“”运算： （1）当是奇数时，结果为； （2）当是偶数时，结果是（其中是使是奇数的正整数），并且运算重复进行． 例如：取，第一次经运算是29，第二次经运算是92，第三次经运算是23，第四次经运算是；若，则第2017次运算结果是（    ） A．1 B．2 C．7 D．8 3．（24-25六年级上·上海宝山·期中）定义运算：，则 ． 4．（24-25六年级上·上海青浦·阶段练习）定义新运算∶，如，计算下列各式． (1) (2) 5．（24-25六年级上·上海奉贤·期中）阅读理解： (1)定义一种新运算：． ①那么 ， ； ②当时，求的结果； (2)定义表示不超过a的最大整数，如，，计算 ； (3)根据乘方的意义，可得：，类似还有：，请用以上知识完成以下空格．（注：中的“.”号表示乘号“×”） ① （直接写出结果）； ②归纳、概括： ； ③如果，，运用以上的结论计算的值． 1．（2025·上海长宁·模拟预测）在式子中，“”应填入的符号为（   ） A． B． C． D．以上都不对 2．（24-25六年级上·上海松江·期中）对乘积记法正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·上海青浦·模拟预测）下列各式x、x2、、x2+2、|x+2|中，值一定是正数的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（24-25六年级上·上海闵行·期中）小明的文档中有一个如图1的实验中学，他想在这个文档中用1000个这种，设计出一幅如图2样式的图案．他使用“复制粘贴”（用鼠标选中，右键点击“复制”，然后在本文档中“粘贴” 的方式完成，则他需要使用“复制粘贴”的次数至少为（　　） A．9次 B．10次 C．11次 D．12次 5．（24-25六年级上·上海松江·期末）新定义运算：如图，在的正方形网格中，黑色格子表示0，白色格子表示1，每一行都按进行运算，其中x代表第几行，a表示每一行的第一个格子，b表示每一行的第二个格子，c表示每一行的第三个格子．例如：，那么的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．（24-25六年级上·上海宝山·期末）填空，那么括号内应该填的数是 ． 7．（24-25六年级上·上海闵行·期中）将 写成幂的形式 ． 8．（24-25六年级上·上海普陀·期末）下图是⼀个计算机的运算程序，若开始输⼊的时，输出结果为 ． 9．（24-25六年级上·上海嘉定·期中）如图，有4张写着数字的卡片：，将这4个数字进行加、减、乘、除、乘方混合运算，结果为24（要求每个数字只能用一次，例如：），请写出另一个符合条件的算式： ． 10．（2024六年级上·上海闵行·专题练习）我国著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔离分家万事非”．如图，将一个边长为1的正方形纸片依次分割为若干部分，部分①的面积是，部分②的面积是，部分③的面积是，以此类推，第部分的面积是（是大于1的整数）．请你用“数形结合”的思想计算 ． 11．（24-25六年级上·上海杨浦·期中）完成下列计算 (1) (2) (3) (4) 12．（24-25六年级上·上海金山·课后作业）已知m，n是正整数，若．化简： （1）；       （2）． 13．（24-25六年级上·上海嘉定·阶段练习）善于反思的小聪在学习了有理数及其运算后，进行了如下总结与反思．请你仔细阅读并补全小聪的探究过程． [典例再现]，；，； [总结归纳] （1）观察上述例题，发现结论： ①互为相反数的两个数的绝对值______； ②互为相反数的两个数的______； [知识应用] （2）已知，，则______，______，若，则______，______． 14．（24-25六年级上·上海普陀·期中）24点游戏是一种使用扑克牌来进行的益智类游戏，游戏内容是：从一副扑克牌（去掉大王、小王剩下52张）中任意抽取4张牌，把牌面上的数字进行混合运算，使得运算结果为24．每张牌必须用一次且只能用一次，可以加括号．其中♥，♦表示正，♣，♠表示负，分别代表1，11，12，13． （1）在玩“24点”游戏时，小明抽到图1的4张牌，请你帮他写出2个运算结果为24的算式：______，______； （2）在玩“24点”游戏时，小刚抽到图2的4张牌，请你帮他写出1个运算结果为24的算式：______． 15．（24-25六年级上·上海虹口·期中）阅读材料： 求值：． 解：设，将等式两边同时乘，得， 将下式减去上式，得， 即． 请你仿照此法计算： (1)； (2)．（其中为正整数） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第04讲 有理数的乘方与混合运算（2大知识点+8大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 有理数幂的概念理解 典型例题二 有理数的乘方运算 典型例题三 乘方运算的符号规律 典型例题四 含乘方的有理数混合运算 典型例题五 程序流程图与有理数计算 典型例题六 算“24”点 典型例题七 乘方的应用 典型例题八 有理数乘方的新定义运算 知识点01 有理数的乘方 1.乘方的概念：一般地，n个相同的因数a相乘，记作，读作a的n次方。 求n个相同因数的积的运算，叫做乘方。 2.乘方的结果叫做幂（power）；在中，a叫做底数（base number），n叫做指数（exponent）。 知识点02 有理数的混合运算 1.有理数混合运算法则：①先算乘方,再算乘除,最后算加减。 ②如果有括号,先算括号里面的。 2.混合运算顺序：· 先算乘方，再乘除，后加减； · 同级运算，从左到右进行； · 如有括号，先算括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行。 【典型例题一 有理数幂的概念理解】 【例1】（2025·上海松江·模拟预测）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了幂的定义，幂的乘方的运算，根据幂的定义化简即可，熟练计算是解题的关键． 【详解】解：根据可得个相加，为， 可得个相乘，为， 计算的结果为， 故选：A． 【例2】（2025·上海青浦·模拟预测）若为整数，则表示的是（   ） A．3个相乘 B．2个相加 C．3个相加 D．5个相乘 【答案】A 【分析】本题考查幂的乘方运算，熟练掌握并理解幂的乘方等于底数不变，指数相乘是解题的关键．根据幂的乘方法则：，即幂的乘方等于底数不变，指数相乘，进行分析即可． 【详解】解：表示3个相乘或者表示6个相乘． 故选：A． 【例3】（24-25六年级上·上海闵行·期中）的底数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的乘方，根据乘方的定义即可求解，掌握有理数乘方的定义是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴底数为， 故答案为：． 【例4】（24-25六年级上·上海静安·期中）同学们我们在信息课上利用计算机软件“Xmind”整理了“有理数及其运算”的思维导图，如图所示，则你认为A表示 ；B表示 ． 【答案】 数轴 乘方 【分析】本题考查了“有理数”整章的知识结构、数轴和乘方的定义，熟记定义是解题关键．根据“有理数”这章的知识点，以及数轴、乘方的定义即可得． 【详解】解：由数轴的定义“规定了原点、正方向和单位长度的直线叫数轴，所有的有理数都可以用数轴上的点来表示”可得，A表示数轴， 由乘方“求个相同因数乘积的运算”与乘法的关系可得，B表示乘方， 故答案为：数轴，乘方． 【例5】（24-25六年级上·上海嘉定·假期作业）把下列各式写成乘方的形式，并指出底数和指数各是什么． (1)； (2) 【答案】(1)，底数为，指数为5 (2)，底数为，指数为6 【分析】本题考查乘方定义，乘方是一种特殊的乘法运算，幂是乘方的结果，当底数是负数或分数时，要先用括号将底数括起来再写指数．首先化成幂的形式，再指出底数和指数，熟记乘方定义是解决问题的关键． 【详解】（1）解：， 底数为，指数为5； （2）解：， 底数为，指数为6． 1．（2024六年级上·上海奉贤·专题练习）已知，则值是（   ） A． B．6 C． D．9 【答案】D 【分析】本题主要考查的是非负数的性质，先依据非负数的性质求得a、b的值，然后再代入求解即可． 【详解】解：∵， ∴，， 解得，， ∴． 故选：D． 2．（24-25六年级上·上海虹口·期中）定义新运算：用“”连接个相同非零有理数a所构成的运算叫做除方，记作．比如读作“2的圈3次方”，，读作“的圈4次方”．下面说法不正确的是（    ） A．任意非零数的圈3次方都等于它的倒数． B．圈n次方等于它本身的数是1或（n为任意正整数）． C．互为相反数的两个数的圈n次方不一定互为相反数． D．互为倒数的两个数的圈n次方互为倒数． 【答案】B 【分析】本题是新定义运算，出现在乘方一节，能够类比乘方的运算，理解并运用除方的运算规则，准确的计算和推理是本题的关键． 根据新运算‘除方’的定义，即为个相除，进行计算．运算时注意指数运算、相反数的性质、倒数的概念的应用即可． 【详解】A.，即任意非零数的圈3次方都等于它的倒数，故选项不符合题意． B.当为偶数时，，，即圈n次方等于它本身的数是1（n为任意正偶数）； 当为奇数时，，，即圈n次方等于它本身的数是1或（n为任意正奇数）． 故选项符合题意． C.设这两个互为相反数的数为与． 当为偶数时，，，此时结果相等； 当为奇数时，，，此时结果互为相反数，即互为相反数的两个数的圈n次方不一定互为相反数，故选项不符合题意． D.设互为倒数的两个数为与． 则，，即互为倒数的两个数的圈n次方互为倒数，故选项不符合题意． 故选：B． 3．（24-25六年级上·上海长宁·阶段练习）下列说法：①若，则；②若x为有理数，且，则；③若，且，则；④若，则；⑤（a为正整数）．其中说法正确的是 ．（填序号） 【答案】③⑤ 【分析】此题考查了有理数的乘方，绝对值，倒数，以及有理数的加法，各式利用绝对值，倒数的定义，乘方的意义，以及加法法则判断即可． 【详解】解：若，即，则；故①错误； 若x为有理数，且，则或或，故②错误； 若，且，则，故③正确； 若，则，故④错误； ，故⑤正确． 故答案为：③⑤． 4．（24-25六年级上·上海虹口·期中）（1）计算下面两组算式： ①(3×5)2与32×52 ； ②[(－2)×3]2与(－2)2×32 ； （2）根据以上计算结果猜想： (ab)3＝ (直接写出结果) （3）猜想与验证：当n为正整数时，(ab)n等于什么?请你利用乘方的意义说明理由． 【答案】（1）①225，225；②36，36；（2）a³b³；（3）(ab)n＝，理由见解析 【分析】（1）①②根据有理数的乘方运算分别计算即可； （2）（3）根据乘方的意义以及乘法交换律计算即可； 【详解】(1)计算下面两组算式： ①(3×5)2与32×52；       解：(3×5)2＝15²＝225 32×52＝9×25＝225 ②[(－2)×3]2与(－2)2×32； [(－2)×3]2＝(－6)²＝36 (－2)2×32＝4×9＝36 (2) (ab)3＝ 故答案为： (3) (ab)n＝． 理由如下： (ab)n＝＝＝ 【点睛】本题考查了有理数的乘方的计算，理解乘方的意义是解题的关键． 5．（24-25六年级上·上海宝山·期中）阅读材料，解决问题： 我们学习了乘方的定义和意义，根据乘方和乘法两种运算之间的转化了解到： ;观察上述算式: 可以得到： 类比上述式子，你能够得到： (1) ， ； (2)利用由特殊到一般的思想，可以得到： （m、n都是正整数）；我们把类似于和这样的式子叫同底数幂；因此可以得到“同底数幂的乘法”法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加． (3)知识运用： ， ； (4)已知 求的值． 【答案】(1)， (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了乘方的定义和意义，得到同底数幂的运算法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，是解题的关键． （1）根据题目中给出的信息进行运算即可； （2）总结题目信息得出同底数幂的运算法则； （3）根据同底数幂的运算法则进行运算即可； （4）逆用同底数的乘法公式进行运算即可． 【详解】（1）解：，， 故答案为，； （2）（m、n都是正整数）， 故答案为； （3），， 故答案为，； （4）∵， ∴． 【典型例题二 有理数的乘方运算】 【例1】（24-25六年级上·上海松江·期末）下列运算中，正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查有理数的乘方，熟练掌握有理数的乘方的定义是解题的关键． 根据有理数的乘方的定义和运算法则计算，逐项判断即可得到答案． 【详解】解：A．，此选项错误； B．，此选项错误； C．，此选项错误； D．，此选项正确； 故选：D． 【例2】（2025·上海宝山·模拟预测）音乐中的八度是指相邻的音组中相同音名的两个音（包括变化音级），从某一音级到它上方或下方第一个同名音级之间的音高距离，就是八度．如到、到．以频率来表示，相邻一个八度的两个同名音高的声波振动频率高低之比为．观察下面的钢琴键盘示意图，可以得出的振动频率是的（    ） A．倍 B．倍 C．倍 D．倍 【答案】B 【分析】本题考查了音乐中的八度的理解，有理数的乘方，根据所给定义即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：根据钢琴键盘示意图可知，从到音高依次经过， ∴跨越了个八度， ∵相邻一个八度的两个同名音高的声波振动频率高低之比为 ∴的振动频率是的， 故选：． 【例3】（24-25六年级上·上海·阶段练习）计算： ．（用2的乘方表示） 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的乘方计算，把原式变形为，据此计算求解即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 【例4】（24-25六年级上·上海长宁·期中）在计算机中，所采用的计数法是二进制，即“逢二进一”．因此，二进制中只用两个数字0和1．二进制的计数单位分别是1、、、、……，二进制数也可以写作展开式的形式，例如100110在二进制中表示为：．根据以上原则将转化为十进制， ．将十进位制数化成与其相等的二进制数，用十进制的数除以2，然后将商继续除以2，直至商为0，将所得的余数按照倒序从高位到低位排序即可，如右图的算法：则．根据以上原则，将23转换为二进制数表示，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，理解二进制和十进制的互换规则是解题关键．根据二进制和十进制的互换规则即可解答． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ∴， 故答案为：13；． 【例5】（24-25六年级上·上海金山·期中）阅读下面的材料，并解决后面的问题 材料：我们知道，n个相同的因数a相乘记为an，如，此时，3叫做以2为底8的对数，记为．一般地若（且，），，则n叫做以a为底b的对数，记为，如，则4叫做以3为底81的对数，记为． (1)计算以下各对数的值：___________，_________，____________． (2)通过观察，4、16、64之间满足怎样的关系？、、之间又满足怎样的关系式？ (3)由（2）的猜想，归纳一个一般性的结论：____________（且，，）． 【答案】(1)2、4、6 (2)， (3) 【分析】本题考查学生对指数的理解和掌握；要求学生不但能灵活、准确的应用其运算法则，还要会类比、归纳，推测出对数应有的性质． （1）根据对数的定义求解； （2）认真观察，不难找到规律：，； （3）由特殊到一般，得出结论：． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，，， 故答案为：2、4、6； （2）解：， 由题意可得：，，， ∴； （3）解：由（2）知， 故答案为：． 1．（24-25六年级上·上海闵行·阶段练习）下列各组数中，相等的一组是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的乘方，根据有理数的乘方法则逐项计算判断即可．熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：A、，，，故此选项不符合题意； B、，，，故此选项不符合题意； C、，，所以，故此选项符合题意； D、，，，故此选项不符合题意； 故选：C． 2．（2024六年级上·上海宝山·专题练习）如图，某图书馆把密码做成了数学题．小明在图书馆看书时，思索了一会儿，输入密码，顺利地连接到了“图书馆”的网络，那么他输入的密码是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了数字的变化知识，乘方运算，熟练掌握有理数的混合运算是解题的关键； 观察第一个式子，可以发现，，然后，接着，然后依次摆放得：．再按照此规律计算即可． 【详解】观察第一个式子，可以发现：①，②，③：得，④， 然后依次摆放得：．后面两个式子，规律也一样， 则①，②，③，④， 故密码是． 故选：B 3．（24-25六年级上·上海嘉定·期中）数学兴趣小组在合作学习过程中，获得知识的同时，也提出新的问题．例如：根据，知道和的值，可以求的值，如果知道和的值，可以求的值吗？他们为此进行了研究，并规定：若，那么．例如：，则．根据他们的研究结果，完成下列各题： （1）填空： ； （2）若，，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的乘方运算，熟记有理数乘方运算法则是解题的关键． （）结合有理数的乘方，根据新定义运算即可； （）结合有理数的乘方，根据新定义运算先求出，的值然后解题即可． 【详解】解：（）∵， ∴， 故答案为： （）∵，， ∴（负值舍去），， ∴， 故答案为：． 4．（24-25六年级上·上海松江·期中）【提出问题】怎样比较与的大小？ 【分析问题】为了解决这个问题，我们先写出它的一般形式，即比较与的大小（n是正整数），然后我们从分析……中发现规律，经归纳、猜想，得出结论． 【探究过程】 （1）从简单的开始，比较下列各组中两数的大小（在横线上填写“”“”或“”）： ①_______；②_______；③_______；…… （2）根据上面的结果，经过归纳，猜想与有怎样的大小关系？ 【解决问题】 （3）根据以上探究，我们可得结论（在横线上填写“”“”或“”）：_______． 【答案】（1）①；②；③；（2）当时，；当时，；（3） 【分析】本题考查了有理数的乘方、有理数的大小比较，熟练掌握有理数的乘方运算法则是解题关键． （1）先计算有理数的乘方，再比较有理数的大小即可得； （2）根据（1）的结果，进行归纳即可得； （3）根据（2）的结果，取即可得． 【详解】解：（1）①∵，，， ∴； ②∵，，， ∴； ③∵，，， ∴； 故答案为：①；②；③． （2）根据（1）的结果，经过归纳得：当时，；当时，． （3）∵， ∴，即， 故答案为：． 5．（24-25六年级上·上海·期末）国际数学教育大会是全球数学教育界水平最高、规模最大的学术盛会，每四年一届．于2021年在上海举办，这是国际数学教育大会第一次在中国举办．大会标识（图1）中蕴含着很多数学文化元素，以中国传统文化中“洛书”与“河图”为原本，并将其与我国古老的八卦进行了融合，体现了我国传统文化的博大精深．其中八卦符号（图2）可以用于记数．提示：八卦中称为阳爻，对应数字1，称为阴爻，对应数字0，这是二进制记数法，每卦均由三个阳爻或阴爻组成．如图2，从左起第一个符号表示的二进制数为．． (1)从左起第四个符号与第一个符号表示的二进制数的差是多少？ (2)若一个k进制的两位数，从左起第一位、第二位分别为a，b，则记这个k进制的两位数为．已知是的n倍（n为正整数，k是正整数且），其中a为大会标识中从左起的第四个八卦符号所表示的二进制数转换得到的十进制数，请你探求k的值． 【答案】(1)2 (2) 【分析】本题考查了进位制的转换，读懂题意，正确进行进位制转换计算是解题的关键． （1）分别求出从左起第四个符号与第一个符号表示的二进制数，再求出差即可； （2）从左起的第四个八卦符号表示的二进制数转换得到的十进制数,再表示出和的数，根据是 的n倍进行探究即可得出k的值． 【详解】（1）解：第一个符号表示的二进制数为，其对应的十进制数为； 第四个符号表示的二进制数为，其对应的十进制数为； 所以，从左起第四个符号与第一个符号表示的二进制数的差是； （2）解：∵第四个符号表示的二进制数转换得到的十进制数是5， ∴， ；， ∵是 的n倍，（n为正整数，k是正整数且） ∴是整数， 即， ∴． 【典型例题三 乘方运算的符号规律】 【例1】（24-25六年级上·上海松江·阶段练习）若 ，则一定有（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是乘方运算的符号规律，分别根据，，进行探究即可得到答案． 【详解】解：当，则， 当，则， 当，则，则， ∴当，则， 故选：C 【例2】（24-25六年级上·上海杨浦·期末）当时，下列各式成立的有（　　） ①；②；③；④． A．①② B．①③ C．①②④ D．②③④ 【答案】A 【分析】本题考查乘方的运算，掌握乘方的运算法则是解题的关键． 根据乘方的意义进行判断即可． 【详解】解：当时， ①，正确． ②，正确． ③，故错误． ④，则，故错误． 故选：A． 【例3】（24-25六年级上·上海青浦·期中）已知的最大值为 ． 【答案】 【分析】本题考查乘方的非负性．熟练乘方的非负性是解题的关键． 根据乘方的非负性，确定最大值即可． 【详解】解：∵， ∴ ∴， ∴的最大值为：； 故答案为：． 【例4】（24-25六年级上·上海普陀·期中）观察下图三行数： ，4，，16，，64，...；① 0，6，，18，，66，...；② ，2，，8，，32，...；③ 取每行数的第9个数，这三个数的和为 ； 【答案】 【分析】本题考查数字的变化类，根据题目中的数据，可以发现第一行数字的变化特点，从而可以写出第n个数的式子，同理可以发现第二行的数字就是第一行对应的数字加上2，第三行数字的特点就是第一行对应的数字除以2，然后即可得到每行的第9个数字，再作和即可解答本题． 【详解】解：由题目中的数据可得， 第一行数据的第n个数是， 第二行数据的第n个数是， 第三行数据的第n个数是， 故第一行的第9个数是，第二行数据的第9个数是，第三行数据的第9个数是， ， 故答案为：． 【例5】（2024六年级上·上海虹口·专题练习）判断下列各式计算结果的正负： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)正 (2)负 (3)负 (4)负 【分析】根据有理数乘方的符号规律解答即可． 【详解】（1）解： ∵的指数是12，为偶数，负数的偶次幂是正数， ∴的结果为正； （2）解：∵的指数是9，为奇数，负数的奇次幂是负数， ∴的结果为负； （3）解：∵表示的是的相反数，正数的任何次幂都是正数， 的结果为正，所以的结果为负； （4）解：∵的指数是11，为奇数，负数的奇次幂是负数， ∴的结果为负． 【点睛】本题主要考查了有理数乘方的符号规律，掌握负数的偶次幂为正、奇次幂为负成为解答本题的关键． 1．（24-25六年级上·上海闵行·阶段练习）若，则a，，由小到大排列正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据倒数、平方等性质，求解即可． 【详解】解：∵ ∴， ∴，即 故选：C 【点睛】此题考查了平方和倒数的性质，解题的关键是熟练掌握相关基本性质． 2．（24-25六年级上·上海静安·期末）观察下列三组数的运算：，；，；，．联系这些具体数的乘方，可以发现规律．下列用字母表示的式子：①当时，；②当时，．其中表示的规律正确的是（    ） A．① B．② C．①、②都正确 D．①、②都不正确 【答案】B 【分析】根据三组数的运算的规律逐个判断即可得． 【详解】解：由三组数的运算得：， ， ， 归纳类推得：当时，，式子①错误； 由三组数的运算得：， ， ， 归纳类推得：当时，，式子②正确； 故选：B． 【点睛】本题考查了有理数乘方的应用，正确归纳类推出一般规律是解题关键． 3．（24-25六年级上·上海徐汇课后作业）【问题解决】 例如：观察下面式子，根据规律填空： （1），，，，…， ， ． （2），，，，…， ． 【答案】 444444888889 【分析】（1）计算末位是5的两位整数的平方，将十位上的数乘比它大1的数，所得结果后面添上25即可； （2）结果中4的个数比底数中6的个数多1，8的个数等于底数中的6的个数﹐最末位数字都是9． 【详解】（1）计算末位是5的两位整数的平方，将十位上的数乘比它大1的数，所得结果后面添上25， 如：，即； ：，即； ：，即； （2）结果中4的个数比底数中6的个数多1，8的个数等于底数中的6的个数﹐最末位数字都是9． ∴． 故答案为：；；． 【点睛】本题主要考查有理数乘方规律应用，找到题中数字规律是解题的关键． 4．（24-25六年级上·上海松江·期中）在计算1＋2＋22＋23＋…＋299＋2100时，可以先设S＝1＋2＋22＋23＋…＋299＋2100，然后在等式两边同乘以2，则有2S＝2＋22＋23＋…＋299＋2100＋2101，最后两式相减可得：2S－S＝(2＋22＋23＋…＋299＋2100＋2101)－(1＋2＋22＋23＋…＋299＋2100)＝2101－1，即得S＝2101－1．即1＋2＋22＋23＋…＋299＋2100＝2101－1． 根据以上方法，计算：1＋()＋()2＋()3＋…＋()2019＋()2020． 【答案】 【分析】依据题例的方法乘2后，错位相减即可． 【详解】解：设, 则， 两式相减得： 即 【点睛】本题属于新定义运算，考查有理数的混合运算，读懂材料内容，理解题中错位相减的方法是解题关键． 5．（24-25六年级上·湖上海宝山·阶段练习）观察下面三行数： 2、、8、、32、……① 1、、4、、16、……② 0、6、、18、、66……③ 取每一行的第n个数，依次记为a，b，c． 例如上图中，当时，，，， (1)当时，________，________，________； (2)写出第①行的第n个数________；第②行的第n个数________； (3)是否存在某一列的三个数a，b，c使得？若存在，求出n的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)128，64， (2)， (3)存在， 【分析】此题考查数字的变化规律，有理数的乘方运算，找出数字的变化规律，得出行之间的运算方法解决问题． （1）根据题干中的数字规律求解即可； （2）利用（1）中的数据找到规律即可； （3）首先得到第③行的第n个数为，然后根据得到，进而求解即可． 【详解】（1）解：∵2、、8、、32、……① ∴，，，，… ∴当时，； ∵1、、4、、16、……② ∴，，，，， ∴当时，； ∵0、6、、18、、66……③ ∴，，，，， ∴； （2）解：由（1）可得，第①行的第n个数为； 第②行的第n个数； （3）解：由（1）可得，第③行的第n个数为， ∵ ∴ ∴． 【典型例题四 含乘方的有理数混合运算】 【例1】（24-25六年级上·上海崇明·期末）请把二进制数转换成十进制数（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的混合运算，二进制数与十进制数的转换，解题的关键是熟练掌握二进制数与十进制数的转换方法．利用二进制数与十进制数的转换方法得，求解即可． 【详解】解：二进制数转换成十进制数为， 故选：D． 【例2】（24-25六年级上·上海普陀·阶段练习）为了大力促进人工智能与教育教学深度融合，本学期学校开设了人工智能课程．已知利用如图1的二维码可以进行身份识别，小王同学建立了一个身份识别系统．图2是某个学生的识别图案，黑色小正方形表示1，白色小正方形表示0，将第一行数字从左到右依次记为a，b，c，d，那么可以转换为学生所在班级序号，其序号为．如图2第一行数字从左到右依次为0，1，0，1，序号为，表示该生为5班学生，表示6班学生的识别图案是（   ）    A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】本题考查了有理数的混合运算．根据班级序号的计算方法一一进行计算即可． 【详解】解：A、第一行数字从左到右依次为1，0，1，0，序号为，表示该生为10班学生； B、第一行数字从左到右依次为0，1，1，0，序号为，表示该生为6班学生； C、第一行数字从左到右依次为1，0，0，1，序号为，表示该生为9班学生； D、第一行数字从左到右依次为0，1，1，1，序号为，表示该生为7班学生． 故选：B． 【例3】（2025·上海杨浦·模拟预测）定义如下运算：，，根据定义计算的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，理解新运算是解题的关键；根据新定义的运算分别求出，再把两个值加减即可． 【详解】解：，， 则； 故答案为：． 【例4】（2025·上海长宁·模拟预测）我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳记数”．如图，一位妇女在从右到左依次排列的绳子上打结，满六进一，用来记录采集到的野果数量，由图可知，她一共采集到的野果数量为 个 【答案】52 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算．根据题意“满6进1”可知，从右到左第一根绳子上一个结代表一个1，第二根绳子上一个结代表6，第三根绳子一个结代表，再进行计算即可． 【详解】解：， 故答案为：52． 【例5】（24-25六年级上·上海青浦·阶段练习）直接写出得数． (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) 【答案】(1)20 (2) (3)0.2 (4)5 (5)78.5 (6)2 (7)2 (8)10 【分析】本题考查分数的加、减、乘、除运算，掌握运算法则是解题的关键． （1）利用分式的乘法计算解答； （2）利用分数的除法计算解答； （3）利用分式的乘法计算解答； （4）分式的乘除法混合运算法则计算解答； （5）先运算乘方，然后运算分式的乘法解题； （6）运算分数的乘法解答； （7）先统一单位，然后求比值解即可； （8）先运算括号内的减法，然后运算分数的除法解题． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：； （5）解：； （6）解：； （7）解：； （8）解：． 1．（24-25六年级上·上海嘉定·阶段练习）计算的结果是 （    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的乘方，有理数的加法，熟练掌握其运算规则是解题的关键．根据个相加的和为，个相乘是，即可得到答案． 【详解】解：个相加的和为，个相乘是，那么原式 故选：A． 2．（24-25六年级上·上海奉贤·期末）正所谓：“人有人言，灯有灯语”．灯语（灯光通信）是船只之间通信的一种通用化语言，在国际上的使用十分广泛．利用灯光，以二进制的原理传递信息，可以帮助船员在较远的目视距离相互沟通．例如：“○”表示亮红灯．”“●”表示亮绿灯．两只远洋航行的船只用亮红灯和亮绿灯来进行交流，并在启航前作如图所示的约定： 根据约定的规则，下列说法正确的有（   ） ①“●○○○”表示字母H： ②若要表示26个英文字母，需要6盏灯； ③某船先后发出“●○○●●”、“●●●●”、“●○○●●”表示它遇到了危险，在求救． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数混合运算的应用，根据提供提供的信息，先得出●表示二进制中的1，○表示二进制中的0，然后根据二进制转化为十进制的方法，十进制转化为二进制的方法，逐项进行判断即可． 【详解】解：∵●表示字母A，●○表示字母B， ∴●表示二进制中的1，○表示二进制中的0， ∴“●○○○”表示二进制的数为“1000”， ∴“●○○○”表示十进制中的数为： ， ∵字母表中第8个字母为H， ∴“●○○○”表示字母H，故①正确； ∵， ， ， ， ， ∴26用二进制表示为， ∴要表示26个英文字母，需要5盏灯，故②错误； “●○○●●”表示二进制数为10011， 二进制数10011表示为十进制数为： ， 第19个字母为S， ∴“●○○●●”表示字母S， “●●●●”表示二进制数为1111， 二进制数1111表示为十进制数为： ， 第15个字母为O， ∴“●●●●”表示字母O； ∴某船先后发出“●○○●●”、“●●●●”、“●○○●●”表示“”， ∵“”表示求救信号， ∴某船先后发出“●○○●●”、“●●●●”、“●○○●●”表示它遇到了危险，在求救，故③正确； 综上分析可知：正确的有2个， 故选：C． 3．（24-25六年级上·上海·期中）计算： 【答案】 【分析】本题主要考查了数字变化的规律及有理数的混合运算，能找出分子及分母的公因数是解题的关键． 将分子和分母分别提取和，再进行计算即可． 【详解】解：由题知，原式 ． 故答案为：． 4．（24-25六年级上·上海嘉定·阶段练习）新定义运算：．例． 求 (1)的值为； (2)的值为． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了新定义运算，有理数的乘方运算，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据新定义运算求解即可； （2）根据新定义，先计算得到，再计算即可， 【详解】（1）解：根据题意可得：； （2）解：根据题意可得： ． 5．（24-25六年级上·上海宝山·期中）【概念学习】规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的商的运算叫做除方，比如等，类比有理数的乘方，我们把写作，读作“2的圈3次方”，写作，读作“的圈4次方”，一般地，把写作，读作“a的圈n次方”． 【初步探究】（1）直接写出计算结果： ； 【深入思考】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ （2）试一试：仿照上面的算式，把除方运算写成幂的形式： ，（） ． （3）算一算：． 【答案】（1）；（2）；；（3） 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解决本题的关键是根据除方运算的计算法则计算． （1）根据即可解答； （2）根据即可解答；根据定义即可解答． （3）按照除方的计算法则计算即可． 【详解】解：（1）， 故答案为：． （2）； ． （3） ． 【典型例题五 程序流程图与有理数计算】 【例1】（24-25六年级上·上海闵行·期中）按下面的程序计算：当输入时，输出结果是419；当输入时，输出结果是626；如果输入x的值是正整数，输出结果是311，那么满足条件的x的值最多有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了有理数与程序图的运算，根据程序图的运算顺序，分别算出第一个数、第二个数、第三个数，第四个数，再结合输入x的值是正整数，进行作答即可． 【详解】解：第一个数就是直接输出其结果的：， 解得：， 第二个数是 解得：； 第三个数是：， 解得：， 第四个数是， 解得：，不是正整数（舍去）； 故满足条件所有x的值是104、35或12． 故选：C． 【例2】（24-25六年级上·上海宝山·期末）如图所示是某计算程序，若输入数字2，则最后输出的结果是（   ） A．22 B．24 C．26 D．28 【答案】A 【分析】本题考查了有理数乘法与减法的应用，读懂计算程序图是解题的关键．将代入程序图，根据有理数的乘法与减法法则进行计算，直到计算结果大于10即可得． 【详解】解：输入时，输出的结果为， 输入时，输出的结果为， 则最后输出的结果是， 故选：A． 【例3】（24-25六年级上·上海长宁·期中）按照下图所示的操作步骤，若输如x的值为2，则y为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了与流程图有关的有理数混合计算，根据题意可得算式，据此计算求解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【例4】（24-25六年级上·上海·期中）如图所示，若输入的分数是，则输出的分数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的运算．按照程序把3代入进行计算，若小于或等于，再代入计算即可求解． 【详解】解：当输入的数值为时，输出结果为： ． 故答案为：． 【例5】（24-25六年级上·上海徐汇·期末）如图，是一个数值转换机的示意图． (1)若输入x的值是3，则输出y的值等于______； (2)若输出y的值是3，求输入x的值． 【答案】(1)8 (2) 【分析】本题考查有理数混合运算，正确理解程序框图是解题的关键． （1）将代入，即可求解； （2）输出y的值是3，则，即可求解． 【详解】（1）解：输入x的值是3，则， 故答案为：8； （2）解：输出y的值是3，则， ， 解得：． 1．（24-25六年级上·上海宝山·期末）定义一种对正整数的“运算”：①当为奇数时，结果为；②当为偶数时，结果为（其中是使为奇数的正整数）并且运算重复进行，例如：时，其“运算”如下： 若，则第次“运算”的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了程序流程图与有理数计算，根据运算法则可得从第五次开始，奇数次输出的结果为，偶数次输出的结果为，据此即可求解，找到变化规律是解题的关键． 【详解】解：由题意可得，当时， 第一次输出的结果为， 第二次输出的结果为， 第三次输出的结果为， 第四次输出的结果为， 第五次输出的结果为， 第六次输出的结果为， 第七次输出的结果为， 第八次输出的结果为， ， ∴从第五次开始，奇数次输出的结果为，偶数次输出的结果为， ∴第次“运算”的结果是， 故选：． 2．（24-25六年级上·上海闵行·期末）对任意正整数n，若n为偶数则除以2，若n为奇数则乘3再加1，在这样一次变化下，我们得到一个新的自然数，在1937年LotharCollatz提出了一个问题：如此反复这种变换，是否对于所有的正整数，最终都能变换到1呢？这就是数学中著名的“考拉兹猜想”．如果某个正整数通过上述变换能变成1，我们就把第一次变成1时所经过的变换次数称为它的路径长，例如5经过5次变成1，则路径长．下列说法： ①无论输入的正整数n是奇数还是偶数，当路径长时，总能得到连续四次变换的结果依次是，，，； ②若输入正整数n，变换次数m，当时，n的所有可能值只有4个； ③若输入正整数n，变换次数m，当时，n的所有可能值中最大是512，最小是13． 其中正确的个数是（   ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】B 【分析】本题主要考查有理数的运算，归纳推理的应用，利用变换规则，逆向推理计算求出所有可能的取值，再判断结果即可． 【详解】解：∵对任意正整数n，若n为偶数则除以2，若n为奇数则乘3再加1，在这样一次变化下，我们得到一个新的自然数， ∴由新自然数求原来的数计算方法为：新自然数乘以，或新自然数减去1的差再除以3（取整数）， 若输入正整数n，则最后一次计算过程为：，上一步结果为； 倒数第二次计算过程为：，上一步结果为； 倒数第三次计算过程为：，上一步结果为； 倒数第四次计算过程为：，上一步结果为； 倒数第五次计算过程为：，或，上一步结果为或； 倒数第六计算过程为：，或，上一步结果为或； 倒数第七次计算过程为：，或，或，或，上一步结果为或或或； 倒数第八次计算过程为：，或，或，或，上一步结果为或或或； 倒数第九次计算过程为：，或，或，或，或，或，上一步结果为或或或或或； ∴①无论输入的正整数n是奇数还是偶数，当路径长时，总能得到连续四次变换的结果依次是，，，，说法正确； ②若输入正整数n，变换次数m，当时，n的所有可能值为或或或，只有4个，说法正确； ③若输入正整数n，变换次数m，当时，n的所有可能值为或或或或或，其中最大是512，最小是12，说法错误； ∴正确的个数是2个， 故选：B． 3．（24-25六年级上·上海静安·期末）按如图所示的程序计算，当输入有理数m，n，满足时，y的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查有理数的混合运算，代数式求值，绝对值的非负性，根据绝对值的非负性求得，的值，然后列得算式并计算即可．理解题意并列得正确的算式是解题的关键． 【详解】解：， ，， 解得：，， ， ， 故答案为：． 4．（24-25六年级上·上海徐汇·期中）仔细观察下图的操作步骤，然后回答问题．（写出计算过程） 求当输入的数分别是和4时，输出的数分别是多少？ 【答案】； 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，根据题意列出相应的算式，计算即可． 【详解】解：当输入的数是时，，相反数是， ； 当输入的数是时， ， ． 5．（24-25六年级上·上海宝山·期末）根据如图所示的程序回答问题： (1)当小红输入和这两个数时，请计算说明：她的输出的结果是多少？ (2)当小王输入和这两个数时．输出的结果是4，试求被墨水污染的数． 【答案】(1) (2)或11 【分析】本题考查程序流程图与有理数的计算： （1）根据流程图，列出算式进行计算即可； （2）分2种情况进行求解即可． 【详解】（1）解：， 是正数，输出； 故输出的结果为； （2）当计算结果为时：； 当计算结果为4时：； 综上：被墨水污染的数为或11． 【典型例题六 算“24”点】 【例1】（24-25六年级上·上海闵行·阶段练习）“算24点”的游戏规则是：用“，，，”…四种运算符号把给出的4个数字连接起来进行计算，要求最终算出的结果是24，例如，给出2，2，2，8这四个数， 可以列式．以下的4个数用“，，，”四种运算符号不能算出结果为24的是（  ） A．1，6，8，7 B．1，2，3，4 C．4，4，10，10 D．6，3，3，8 【答案】A 【分析】根据题意，逐项组合计算，即可作答． 【详解】A项，1，6，8，7，不能算出结果为24，故符合题意； B项，，能算出结果为24，故不符合题意； C项，，能算出结果为24，故不符合题意； D项，，能算出结果为24，故不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题主要考查了数之间的混合运算，根据已有的数据灵活组合举例，是解答本题的关键． 【例2】（24-25六年级上·上海松江·期中）“24点”游戏规则如下：将四个数用“加、减、乘、除”进行混合运算，（每个数必须且只用一次，可以添加括号），使其运算结果等于24．如3，8，8，9进行“24点”游戏的算式是或．现有，3，4，10，则列出一个求“24点”的算式是 （写出一种即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了有理数的加减乘除法，熟练掌握运算法则是解题关键．根据、利用有理数的加法与乘法列出算式即可得． 【详解】解：可列出算式是， 故答案为：． 【例3】（24-25六年级上·上海长宁山·期末）游戏“点”规则如下：从一副扑克牌（去掉大王、小王）中任意抽取张，根据牌面上的数字进行混合运算（每张牌必须用一次且只能用一次），使得运算结果为，其中红色（方块、红桃）扑克牌代表负数，黑色（梅花、黑桃）扑克牌代表正数．请用如图抽取出的张牌，写出一个符合规则的算式： ． 【答案】或或（答案不唯一，任选一个） 【分析】本题考查了有理数的混合运算，根据有理数的运算法则列式即可，掌握有理数的运算法则是解题的关键． 【详解】解：符合规则的算式为或或， 故答案为：或或． 【例4】（24-25六年级上·上海嘉定·期中）小明有5张写着不同数字的卡片，请你按要求选择卡片，完成下列各问题： (1)从中选择两张卡片，使这两张卡片上数字的乘积最大．这两张卡片上的数字分别是 ； (2)从中选择两张卡片，使这两张卡片上数字相除的商最小．则这个最小的商为 ； (3)从中选择4张卡片，每张卡片上的数字只能用一次，选择加、减、乘、除中的适当运算（可加括号），使其运算结果为24，写出运算式子及运算过程．（写出一种即可） 【答案】(1) (2) (3)（答案不唯一），运算过程见解析． 【分析】（1）找出两个数字，要使其积最大，必须是同号相乘，即可作答； （2）找出两个数字，要使其商最小，必须是异号，即可作答； （3）利用24点游戏规则判断即可． 此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【详解】（1）解：根据题意得：，， ∵ ∴这两张卡片上的数字分别是，此时积最大； 故答案为：，； （2）解：根据题意得：，， ∵， ∴这个最小的商为； 故答案为：； （3）解：由题意得： ． 【例5】（24-25六年级上·上海奉贤·期中）“24点”游戏是同学们熟知的数学游戏，游戏规则是利用加、减、乘、除（可加括号），将这四个数列式进行运算（四个数都要用到且都只能使用1次），使其结果为24． 例如：①2、3、4、8：；②2、4、、：． (1)请用一个算式完成下列两组数据的“24点”运算． ①1、2、3、6；②、、4、4． (2)若“24点”游戏规则在原有四则运算基础上加入乘方计算，即四个数中的一个数可以用做指数，例如2、3、4、4可以这样计算：也可以这样计算：．请利用上述运算规则列式完成2、、、5的“24点”计算，要求用2种方法． 【答案】(1)①；②； (2)，，，等（答案不唯一，符号条件即可） 【分析】本题主要考查了有理数混合运算的应用，解题的关键是熟练掌握有理数混合运算法则． （1）根据有理数四则混合运算法则，写出结果即可； （2）根据题干要求，利用有理数四则混合运算法则和含乘方的有理数混合运算法则，进行解答即可． 【详解】（1）解：①；②． （2）解：； ，，． 1．（24-25六年级上·上海普陀·期末）“24点”游戏规则是：从一副牌中（去掉大、小王）任意抽取4张牌，用上面的数字进行混合运算，使结果为24或—24.其中红色代表负数，黑色代表正数，A，J，Q，K分别代表1，11，12，13，例如张毅同学抽取的4张牌分别为红桃4、红桃3、梅花6、黑桃2，于是张毅同学列出的算式为（－4）×（－3－6÷2）＝24，现在张毅同学想挑战“36点”，将这四张牌中的任意一张换成其它牌，使结果为36或—36，下列方法可行的有几种：①将红桃4换成黑桃6；②将红桃3换成红桃6；③将梅花6换成黑桃Q；④将黑桃2换成黑桃A（    ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 【答案】D 【分析】根据有理数的四则混合计算法则求解即可． 【详解】解：①这四个数分别为6、-3、6、2， ∵， ∴①符合题意； ②这四个数分别为-4、-6、6、2， ∵， ∴②符合题意； ③这四个数分别为-4、-3、12、2， ∵， ∴③符合题意； ④这四个数分别为-4、-3、6、1， ∵， ∴④符合题意； 故选D． 【点睛】本题主要考查了有理数的四则混合运算，熟知相关计算法则是解题的关键． 2．（24-25六年级上·上海虹口·期末）幻方历史悠久，趣味无穷．如图1，将9个连续正整数填入九宫格，使各行、各列、各对角线上的3个数之和都相等，可得到一个幻方．如图2，将另外9个连续正整数填入九宫格，其各行、各列、各对角线上的3个数之和都是2019，那么这9个数中最小的一个是 ． 【答案】669 【分析】先根据图1得到各行、各列、各对角线上的3个数之和都是15，中间的数为5，最小的为1，再根据图2的各行、各列、各对角线上的3个数之和都是2019，求出中间的数，故可求出最小的数． 【详解】∵图1得到各行、各列、各对角线上的3个数之和都是9+5+1=15，中间的数为15÷3=5，最小的为1，图2的各行、各列、各对角线上的3个数之和都是2019， ∴图2中间的数为2019÷3=673 ∴最小的一个是673-4=669 故答案为：669． 【点睛】此题主要考查有理数运算的应用，解题的关键是熟知幻方的特点． 3．（24-25六年级上·上海松江·期中）小明有5张写着以下数字的卡片，,从中取出除0以外的4张卡片，将这4个数字进行加、减、乘、除或乘方等混合运算，使结果为24，（注：每个数字只能用一次，请写出一种符合要求的运算式子 ． 【答案】（﹣2）3×[﹣（2+1）]=24 【分析】利用“24点”游戏规则写出符合要求的式子即可． 【详解】解：由题意可得，符合要求的运算式子为：（﹣2）3×[﹣（2+1）]=24， 故答案为（﹣2）3×[﹣（2+1）]=24. 【点睛】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 4．（24-25六年级上·上海闵行·期中）有一种“二十四点”游戏，其游戏规则是这样的：任意取4个之间的自然数，将这4个数（每一个数只能用一次）进行加、减、乘、除四则运算（可以使用括号），使其结果等于24．比如，自然数，可以这样运算得到，等等． (1)有4个有理数，分别为：，根据上述规则，请你写出3种列式方法，使其结果等于24； 方法1：_______； 方法2：_______； 方法3：_______； (2)如果换成另外的4个有理数：，请你写出1个运算式子，使其结果等于24．列式：______________． 【答案】(1)，，（答案不唯一）； (2)（答案不唯一）． 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，利用“二十四点”游戏规则写出相应算式即可，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【详解】（1）根据“二十四点”游戏规则得， 方法1：； 方法2：； 方法3：； 故答案为：，，（答案不唯一）； （2）； 故答案为：（答案不唯一）． 5．（24-25六年级上·上海金山·期中）思维训练： (1)有一种“二十四点”的游戏，将四个有理数进行加、减、乘、除、乘方运算，使其结果等于24．现有四个有理数，4，，6，请写出三种不同方法的运算，使其结果等于24． (2)如表，在3×3的幻方中，当空格中填上适当的数后，每行、每列以及对角线上的数的和是相等的，求k的值； k 11 121 (3)在图1中，一笔画出4条线段连接着9个点，并且不重复任何一条线段；在图2中，用三条线，把相同数字连起来，不交叉，不超出边框，不在框线上走． 【答案】(1)，， (2)的值为231 (3)见解析 【分析】题目考查了逻辑思维能力和空间想象能力，可以帮助提高思维的灵活性和解决问题的能力． （1）根据24点游戏规则，灵活应用有理数的加、减、乘、除、乘方的法则以及去（添）括号法则、相关的运算律进行列式，拓展思维，思考24可以通过那些加减乘除的方式得到，多尝试探索不同的组合，寻找可能的解； （2）根据幻方的规则，设未知数，利用方程组求的值； （3）连线问题，需要将相同数字用三条线连接起来，且不交叉，不超出边框，不在框线上走，1，2两个数字比较容易，先连起来，再通过观察，再图中缝隙尝试连接两个3． 【详解】（1）解：根据题意得：， ， ； （2）解：如下图，设未知数， 由题意知：每行、每列以及对角线上的数的和是相等的， 故可列方程组， ， 由②得  ③， 将③代入①得， ， 故的值为231； （3）解：如图所示： 答案不唯一． 【典型例题七 乘方的应用】 【例1】（24-25六年级上·上海徐汇·期末）已知，，，，，，那么的个位上的数字是（   ） A．6 B．4 C．2 D．0 【答案】A 【分析】本题考查有理数乘方，解题的关键是根据已知条件，找出规律； 根据已知得出2的n次幂的个位数字以2，4，8，6四个数字循环，据此求解即可． 【详解】解：∵，，，，，， ∴2的整数次幂的个位数字是2，4，6，8，每4个数字为一个循环组依次循环， ∵， ∴的个位数字是， 故选：A． 【例2】（24-25六年级上·上海松江·期末）如图是一张长、宽的长方形纸片，第一次裁去一半，第2次裁去剩下部分的一半，…，按照此方式裁剪下去，第6次裁剪后剩下的长方形的面积是（   ）      A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的乘方，分别求出第1次和第2次裁剪后剩下的图形的面积是解题的关键． 先求出第1次和第2次裁剪后剩下的图形的面积，总结出一般变化规律，即可解答． 【详解】解：长方形的面积为：， 第1次裁剪后剩下的长方形的面积， 第2次裁剪后剩下的长方形的面积， …… 第6次裁剪后剩下的长方形的面积． 故选：A． 【例3】（2025六年级上·上海宝山·专题练习）已知一张纸的厚度为，假设连续对折始终是可能的．小明将该纸片连续对折6次，则纸的厚度为 ． 【答案】5.76 【分析】本题考查了有理数的乘方，理解对折后厚度变为原来的2倍是解题的关键． 根据对折后纸的厚度变为原来的2倍，计算即可得解． 【详解】解：对折6次后的厚度为， 故答案为：5.76． 【例4】（24-25六年级上·上海杨浦·期中）细菌是靠分裂进行生殖的，也就是1个细菌分裂成2个细菌，分裂完的细菌长大以后又能进行分裂．例如，图中所示为某种细菌分裂的电镜照片，显示这种细菌每20分钟就能分裂一次．1个这种细菌经过5个小时可以分裂成 个细菌． 【答案】 【分析】本题考查乘方的应用．先根据题意求出分裂的次数，再根据有理数的乘方进行计算即可． 【详解】解：分裂次数为：（次）， 1个这种细菌经过5个小时可以分裂成的细胞为：个， 故答案为：． 【例5】（24-25六年级上·上海嘉定·期中）阅读计算： 阅读下列各式：，，… 回答下列三个问题： (1)验证： ， ； (2)通过上述验证，归纳得出： ； (3)请应用上述性质计算：． 【答案】(1)1，1 (2) (3) 【分析】（1）分别计算和即可验证； （2）根据上面的验证计算即可； （3）根据上面的公式计算即可． 【详解】（1）解：， ； 故答案为：1，1； （2）解：， 故答案为：； （3）解： ． 【点睛】本题考查了乘方运算，理解题意是解题的关键． 1．（24-25六年级上·上海奉贤·假期作业）若，为有理数，下列判断正确的个数是（　　） （1）的最小值是；（2）的最小值是；（3）的最大值为；（4）的最大值是． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查绝对值的性质，偶次方的性质，最大值及最小值的确定．根据绝对值，偶次方的非负性进行判断即可． 【详解】解：， ，即的最小值是，故（1）正确； ，， 当，即时，，故的最小值不是； 当时，则，即，即，故最小值不是；故（2）不正确； 的最小值为，故（3）错误； 的最大值是，故（4）正确；． 故选：B． 2．（24-25六年级上·上海闵行·期中）利用如图所示的图形，可求的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】该题主要考查了有理数乘方的应用，解题的关键是读懂图象． 根据图象得出即为的面积，再计算的面积即可． 【详解】解：假设正方形的面积为1， 根据图象可得即为的面积， ∵的面积， 故的面积为， 故选：C． 3．（24-25六年级上·上海普陀·期末）数都可以表示成各个数位上的数字与该进制下基数的幂的乘积之和的形式．“十进制记数法”是目前应用最广泛的记数系统，十进制的基数是10，其特征是逢十进一，如3721表示成基数的幂的乘积之和为：（规定当时，）．“二进制记数法”是计算机使用的记数系统，二进制的基数是2，其特征是逢二进一，如二进制数表示成基数的幂的乘积之和为：．根据以上介绍，回答下列问题： ①二进制数表示成基数的幂的乘积之和为： ； ②若某二进制数与之和是一个8位的二进制数，则a的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了单位进制的转化运算，含乘方的有理数混合运算； ①根据题干二进制数转换为十进制数的方法列式即可． ②根据二进制的基数是2，其特征是逢二进一，8位的最小二进制数是求解即可． 【详解】解：①二进制数表示成基数的幂的乘积之和为：；， 故答案为：； ②∵二进制的基数是2，其特征是逢二进一，8位的最小二进制数是，而， ∴若某二进制数与之和是一个8位的二进制数，的最小值是． 故答案为：． 4．（24-25六年级上·上海青浦·期中）在一次数学兴趣小组活动中，老师和几个同学在一起探讨：在中，，，三者的关系，如果已知，的值，可以求的值吗?他们对此进行了研究，规定；若，则，例如；若，则． (1)______； (2)请你计算： 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了有理数的乘方运算，熟记有理数乘方运算法则是解答本题的关键． （1）结合有理数的乘方，根据新定义运算即可； （2）结合有理数的乘方，根据新定义运算即可． 【详解】（1）解：， ， 故答案为：； （2），， ． 5．（24-25六年级上·上海虹口·期中）如何计算？小明和小亮给出了不同的做法： 一、小明的做法： 如图，画一个边长为1的正方形，并将它的面积不断做二等分． 第1次分割：把正方形的面积二等分，其中阴影部分的面积为； 第2次分割：将上次分割图中的空白部分的面积继续二等分，阴影部分的面积为； 第3次分割：将上次分割图中的空白部分的面积继续二等分，阴影部分的面积为； … 第2024次分割：将上次分割图中的空白部分的面积继续二等分，阴影部分的面积为． 根据图形可得，． 二、小亮的做法： 设， 则，因为，所以． (1)请仿照小明的做法求出的值（画出最后一次分割的图形，在图上标注阴影部分面积，并写出结果）； (2)请仿照小亮的做法验证（1）的结论； (3)在上面的两种做法中任选一种计算的值． 【答案】(1)，见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了有理数乘方的应用，理解乘方的意义是解题关键． （1）仿照小明的做法画出图形求解即可； （2）仿照小亮的做法验证即可； （3）仿照小亮的做法求解即可； 【详解】（1）解：， （2）解：设， 则， 因为，所以． （3）解：设， 则， 因为， 所以． 【典型例题八 有理数乘方的新定义运算】 【例1】（24-25六年级上·上海徐汇·阶段练习）定义新运算“&”，对任意有理数a、b，规定：，则的值为（    ） A．2023 B．2022 C． D． 【答案】A 【分析】考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法． 【详解】解：， 故选A． 【例2】（24-25六年级上·上海宝山·阶段练习）用“☆”定义一种新运算：对于任何不为零的整数a和b，规定，如，则的值为（        ） A． B．8 C． D． 【答案】B 【分析】原式利用题中的新定义计算即可求出值． 【详解】根据题中的新定义得：． 故选：B． 【点睛】此题考查了有理数的混合运算，弄清题中的新定义是解本题的关键． 【例3】（24-25六年级上·上海松江·课后作业）新考法  定义一种新的运算，如果，那么 ． 【答案】1 【分析】本题考查了新定义，有理数的乘方，根据新定义转化为有理数的乘方计算即可． 【详解】解：． 故答案为：1． 【例4】（24-25六年级上·上海虹口·期中）用“”定义新运算：对于任意有理数，都有，那么 ． 【答案】4 【分析】根据新定义，代入求值即可求解． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查有理数的新定义运算及乘方运算，解答本题的关键是明确新定义运算概念，转化为乘方运算，进而求解． 【例5】（24-25六年级上·上海杨浦·期末）若与互为相反数． (1)求，的值； (2)规定一种新运算：，如 ，求的值． 【答案】(1)，； (2)． 【分析】本题主要考查了相反数的概念，绝对值和偶次幂的非负性，有理数的运算，掌握运算法则是解题的关键． （）根据相反数的概念和平方，绝对值的非负性即可得出，的值； （）根据新定义运算列式即可求解； 【详解】（1）解：∵与互为相反数， ∴， ∴，， ∴，； （2）解：由（）得：，， ∴ ． 1．（24-25六年级上·上海崇明·期末）定义：如果（，且），那么x叫做以a为底N的对数，记作．例如：因为，所以；因为，所以．则下列说法正确的序号有（    ） ①；②；③若，则；④ A．①③ B．②③ C．①②③ D．②③④ 【答案】D 【分析】根据定义公式分别计算再判断． 【详解】∵6=6，∴，故①错误； ∵，∴，故②正确； ∵， ∴，解得a=50，故③正确； ∵，∴， ∵，∴， ∴， ∴，故④正确； 故选：D． 【点睛】此题考查新定义计算，有理数的乘方计算，正确理解题中计算公式是解题的关键． 2．（24-25七年级·上海青浦·假期作业）定义一种关于整数的“”运算： （1）当是奇数时，结果为； （2）当是偶数时，结果是（其中是使是奇数的正整数），并且运算重复进行． 例如：取，第一次经运算是29，第二次经运算是92，第三次经运算是23，第四次经运算是；若，则第2017次运算结果是（    ） A．1 B．2 C．7 D．8 【答案】D 【分析】由题意所给的定义新运算可得当时，第一次经运算是32，第二次经运算是1，第三次经运算是8，第四次经运算是，由此规律可进行求解． 【详解】解：由题意时，第一次经运算是32，第二次经运算是1，第三次经运算是8，第四次经运算是； 以后出现1、8循环，奇数次是8，偶数次是1， 第2017次运算结果8， 故选：D． 【点睛】本题主要考查有理数混合运算的应用，关键是从题中所给新运算得出数字的一般规律，然后可进行求解． 3．（24-25六年级上·上海宝山·期中）定义运算：，则 ． 【答案】 【分析】根据新定义的运算法则，进行计算即可． 【详解】解： ； 故答案为：． 【点睛】本题考查定义新运算．理解并掌握新运算法则，是解题的关键． 4．（24-25六年级上·上海青浦·阶段练习）定义新运算∶，如，计算下列各式． (1) (2) 【答案】(1)1 (2)8 【分析】本题考查了新定义问题，有理数的乘方及加减运算，理解新定义运算是解题的关键； （1）根据新定义运算求解即可； （2）根据新定义先算，再算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：因为， 所以． 5．（24-25六年级上·上海奉贤·期中）阅读理解： (1)定义一种新运算：． ①那么 ， ； ②当时，求的结果； (2)定义表示不超过a的最大整数，如，，计算 ； (3)根据乘方的意义，可得：，类似还有：，请用以上知识完成以下空格．（注：中的“.”号表示乘号“×”） ① （直接写出结果）； ②归纳、概括： ； ③如果，，运用以上的结论计算的值． 【答案】(1)①15；4；②6 (2)4 (3)①②③36 【分析】本题考查用新定义解题,理解新定义，将新定义中的计算转化为常规运算是求解本题的基础． （1）根据新定义运算法则进行计算即可； （2）根据定义求出算式中每个数的最大整数，再进行加减运算即可； （3）根据乘方的意义进行解答即可． 【详解】（1）解：①∵， ∴； ∵， ∴； 故答案为：15；4； ②当时， ∴ （2）解：∵， ∴， 故答案为：4； （3）解：① 故答案为：； ②， 故答案为：； ③∵，， ∴ 1．（2025·上海长宁·模拟预测）在式子中，“”应填入的符号为（   ） A． B． C． D．以上都不对 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的乘方．根据有理数的乘方运算法则计算出结果，再比例即可得解． 【详解】解：∵，，， ∴， 故选：A． 2．（24-25六年级上·上海松江·期中）对乘积记法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了有理数的乘方，熟练掌握乘方的意义是解决本题的关键．求n个相同因数的积的运算叫作乘方，根据乘方的定义可解决此题． 【详解】解：， 故选：B． 3．（2024·上海青浦·模拟预测）下列各式x、x2、、x2+2、|x+2|中，值一定是正数的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据有理数的乘方、绝对值的性质进行解答即可． 【详解】解：x不一定是正数；x2不一定是正数； 一定是正数；x2+2一定是正数； |x+2|不一定是正数； 所以值一定是正数的有2个， 故选：B． 【点睛】本题考查了非负数，绝对值．掌握非负数的性质是解题的关键． 4．（24-25六年级上·上海闵行·期中）小明的文档中有一个如图1的实验中学，他想在这个文档中用1000个这种，设计出一幅如图2样式的图案．他使用“复制粘贴”（用鼠标选中，右键点击“复制”，然后在本文档中“粘贴” 的方式完成，则他需要使用“复制粘贴”的次数至少为（　　） A．9次 B．10次 C．11次 D．12次 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的乘方，理解题意是解题的关键．根据复制粘贴呈2倍的速度增加，所以求2的幂运算． 【详解】解：，， 故选：B 5．（24-25六年级上·上海松江·期末）新定义运算：如图，在的正方形网格中，黑色格子表示0，白色格子表示1，每一行都按进行运算，其中x代表第几行，a表示每一行的第一个格子，b表示每一行的第二个格子，c表示每一行的第三个格子．例如：，那么的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查了新定义，乘方的运算，理解新定义，利用公式求出即可． 【详解】解：根据题意，得， 故选：A． 6．（24-25六年级上·上海宝山·期末）填空，那么括号内应该填的数是 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查有理数的乘方，熟练掌握有理数的乘方运算法则是解题的关键．根据有理数的乘方，即可得出答案． 【详解】解：． 故答案为：2． 7．（24-25六年级上·上海闵行·期中）将 写成幂的形式 ． 【答案】 【分析】本题主要考查乘方，根据乘方的定义解答此题即可 【详解】解：根据乘方的定义，． 故答案为： 8．（24-25六年级上·上海普陀·期末）下图是⼀个计算机的运算程序，若开始输⼊的时，输出结果为 ． 【答案】 【分析】本题考查有理数的混合，解答本题的关键在于熟练掌握有理数混合运算法则，按照运算程序求解即可． 【详解】解：当时， ， 当时， ， 故答案为：． 9．（24-25六年级上·上海嘉定·期中）如图，有4张写着数字的卡片：，将这4个数字进行加、减、乘、除、乘方混合运算，结果为24（要求每个数字只能用一次，例如：），请写出另一个符合条件的算式： ． 【答案】 【分析】此题考查了含乘方的有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．利用“”，再写出符合要求的式子即可． 【详解】解：由题意可得，符合要求的运算式子为：， 故答案为：. 10．（2024六年级上·上海闵行·专题练习）我国著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔离分家万事非”．如图，将一个边长为1的正方形纸片依次分割为若干部分，部分①的面积是，部分②的面积是，部分③的面积是，以此类推，第部分的面积是（是大于1的整数）．请你用“数形结合”的思想计算 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的乘方的应用．观察图形可知：阴影的部分的面积为，那么所求的式子其实就是正方形的面积减去阴影部分的面积． 【详解】解：观察图形，可得阴影部分的面积=． 故答案为：． 11．（24-25六年级上·上海杨浦·期中）完成下列计算 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4)47 【分析】本题主要考查含乘方的有理数混合运算，熟练掌握有理数的混合运算是解题的关键； （1）根据有理数的乘法运算可进行求解； （2）先算除法，然后再进行有理数的加法运算； （3）根据有理数的乘除运算可进行求解； （4）先算乘方，然后再进行求解即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式； （4）解：原式． 12．（24-25六年级上·上海金山·课后作业）已知m，n是正整数，若．化简： （1）；       （2）． 【答案】（1）；（2）0 【分析】（1）根据有理数乘方的性质，判断出为偶数，然后求解即可； （2）根据有理数乘方的性质，判断出为偶数，为奇数，然后求解即可； 【详解】解：，则为偶数，为奇数 （1）， （2），， 【点睛】此题考查了有理数乘方的有关性质，解题的关键是根据题意判定出为偶数，为奇数． 13．（24-25六年级上·上海嘉定·阶段练习）善于反思的小聪在学习了有理数及其运算后，进行了如下总结与反思．请你仔细阅读并补全小聪的探究过程． [典例再现]，；，； [总结归纳] （1）观察上述例题，发现结论： ①互为相反数的两个数的绝对值______； ②互为相反数的两个数的______； [知识应用] （2）已知，，则______，______，若，则______，______． 【答案】（1）①相等；②平方相等；（2）；；；； 【分析】本题考查了绝对值、平方、相反数，解题的关键是读懂材料信息，利用分类讨论的思想进行求解． （1）①根据绝对值的运算性质即可判断；②根据平方运算的规律，观察得出相应结论； （2）根据（1）中的总结归纳及分类讨论的思想即可求解． 【详解】解：（1）∵，；，； ①互为相反数的两个数的绝对值相等； ②互为相反数的两个数的平方相等； （2），， ∴，， ∵， ∴，． 14．（24-25六年级上·上海普陀·期中）24点游戏是一种使用扑克牌来进行的益智类游戏，游戏内容是：从一副扑克牌（去掉大王、小王剩下52张）中任意抽取4张牌，把牌面上的数字进行混合运算，使得运算结果为24．每张牌必须用一次且只能用一次，可以加括号．其中♥，♦表示正，♣，♠表示负，分别代表1，11，12，13． （1）在玩“24点”游戏时，小明抽到图1的4张牌，请你帮他写出2个运算结果为24的算式：______，______； （2）在玩“24点”游戏时，小刚抽到图2的4张牌，请你帮他写出1个运算结果为24的算式：______． 【答案】（1），（答案不唯一）（2）（答案不唯一） 【分析】本题考查了有理数四则混合运算的应用，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）先根据题意可得图1中的4张牌分别代表，再根据和列出算式即可得； （2）先根据题意可得图2中的4张牌分别代表，再根据列出算式即可得． 【详解】解：（1）由题意得：图1中的4张牌分别代表， 则运算结果为24的算式：，， 故答案为：，（答案不唯一）． （2）由题意得：图2中的4张牌分别代表， 则运算结果为24的算式：， 故答案为：（答案不唯一）． 15．（24-25六年级上·上海虹口·期中）阅读材料： 求值：． 解：设，将等式两边同时乘，得， 将下式减去上式，得， 即． 请你仿照此法计算： (1)； (2)．（其中为正整数） 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查有理数的乘方，解决本题的关键是明确题意，运用题目中的解题方法,运用类比的数学思想解答问题． （1）根据题目中材料可以得到用类比的方法得到的值． （2）根据题目中材料可以得到用类比的方法得到的值． 【详解】（1）解：设， 则， ∴． ∴． ∴． （2）解：设， 则， ∴， 即，． ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $$