第03讲 有理数的乘法与除法（2大知识点+8大典例+变式训练+过关检测）-（暑期衔接课堂）2025－2026学年六年级上册数学衔接讲义（沪教版2024）

第03讲 有理数的乘法与除法（2大知识点+8大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 两个有理数的乘法运算 典型例题二 多个有理数的乘法运算 典型例题三 有理数乘法运算律 典型例题四 有理数的除法运算 典型例题五 有理数乘除混合运算 典型例题六 有理数四则混合运算 典型例题七 根据点在数轴的位置判断式子的正负 典型例题八 有理数四则混合运算的实际应用 知识点01 有理数的乘法 有理数乘法法则：（下列法则中a、b为正有理数，c为任意有理数） 两数相乘，同号得正，异号得负，积的绝对值两乘数的绝对值的积。任何数同0相乘，都得0。 即：=ab；=ab；=-ab；；=-ab；；。 有理数乘法的运算步骤：先确定积的符号，再确定积的绝对值。 多个有理数相乘：几个不是0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积为正数；负因数的个数是奇数时，积为负数，即“奇负偶正”。几个数相乘，如果其中有因数为0，那么积等于0。 多个有理数相乘的运算步骤：先用上面的方法确定符号，再将各乘数的绝对值相乘作为积的绝对值。 2.有理数乘法运算律 乘法交换律：一般地，有理数乘法中，两个数相乘，交换乘数的位置，积不变。即：。 乘法结合律：一般地，有理数乘法中，三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变。 即：。 乘法分配律：一般地，有理数乘法中，一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别与这两个数相乘，再把积相加。即：。 知识点02 有理数的除法 1）有理数除法法则1：除以一个不等于的数，等于乘这个数的倒数。即：，()。 有理数除法法则2：两数相除，同号得正，异号得负，且商的绝对值等于被除数的绝对值除以除数的绝对值的商。除以任何一个不等于的数，都得。 2）有理数除法的运算步骤：先将除法换成乘法，然后确定积的符号，最后求出结果。 有理数的乘除混合运算：先将除法换成乘法，然后确定积的符号，最后求出结果。 【典型例题一 两个有理数的乘法运算】 【例1】（2025·上海嘉定·模拟预测）计算：（    ） A．12 B．3 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的乘法，根据有理数的乘法运算法则计算即可． 【详解】解：， 故选：D． 【例2】（2025·上海闵行·模拟预测）定义运算：，如．则：（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算．根据已知条件中的新定义进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ， 故选：B． 【例3】（24-25六年级上·上海青浦·期中）按照如图所示的操作步骤，若输入的值为，则输出的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的运算，根据运算程序将的值程序框图中计算即可，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：已知开始输入的值为，则， 故输入，则， ∴输出的结果：， 故答案为：． 【例4】（2025·上海普陀·模拟预测）现定义一种新运算：对于任意有理数x、y，都有．例如：，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了新定义，涉及有理数的混合运算，理解新定义，掌握运算法则是解题的关键． 由新定义得到，再进行计算即可． 【详解】解：由题意得，， 故答案为：． 【例5】（24-25六年级上·上海虹口·期中）十二进制是一种逢12进1的计数制，采用数字和字母A，B共12个计数符号，这些符号与十进制的数字的对应关系如表： 十二进制 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B 十进制 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 (1)将十二进制数24转化为十进制数，写出转化过程； (2)用十二进制数表示的结果． 【答案】(1)； (2)92． 【分析】本题考查有理数的混合运算；理解十二进制的含义是关键； （1）读懂题意计算； （2）根据题意列式，再把结果化成十二进制数． 【详解】（1）解：； （2）， 余数为2， 用十二进制数表示的结果为：92． 1．（24-25六年级上·上海宝山·期末）现规定一种运算：．则计算结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了新定义运算，有理数加减法和乘法的混合运算，正确理解新定义运算的含义是解题的关键．根据，选择的情况计算即可． 【详解】解：， ． 故选：B． 2．（24-25六年级上·上海静安·期中）计算机中常用的十六进制是一种逢16进1的计数制，采用数字和字母共16个计数符号，这些符号与十进制的数字的对应关系如下表：例如，用十六进制表示，用十进制表示也就是，则用十六进制表示（   ） 十六进制 0 1 2 3 4 5 6 7 十进制 0 1 2 3 4 5 6 7 十六进制 8 9 A B C D E F 十进制 8 9 10 11 12 13 14 15 A． B．7 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查有理数的运算，先求出的值，再转化为十六进制，进行判断即可． 【详解】解：由题意，， ∴； 故选A． 3．（24-25六年级上·上海杨浦·阶段练习）定义关于有理数a，b的新运算：．例如：若，则．若，则的结果 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的运算，根据已知可得，再根据即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴； 故答案为：． 4．（24-25六年级上·上海长宁·期中）对于有理数，定义运算“@”：． (1)求的值； (2)分别求与的值，并判断运算“@”是否满足结合律． 【答案】(1) (2)，，不满足结合律 【分析】（1）利用新定义得到，然后进行有理数的混合运算； （2）利用新定义计算出，，则可判定运算“@”不满足结合律． 本题考查了有理数混合运算：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化． 【详解】（1）解： ； （2）解：，，即； 而，，即， 所以，所以运算“@”不满足结合律． 5．（24-25六年级上·上海徐汇·期末）阅读计算：． 解：原式⋯⋯第一步 ⋯⋯第二步 ．……第三步 (1)开始出现错误的是第________步； (2)请写出这个计算题的正确解题步骤． 【答案】(1)一 (2) 【分析】（）运用有理数的加减运算，括号里算得的结果是，由此可得第一步出错； （）根据有理数的混合运算法则，先计算括号的数，再运用有理数的混合运算即可求解； 本题主要考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则和运算顺序是解题的关键． 【详解】（1）解：括号内的运算结果为 ， ∴开始出现错误的是第一步， 故答案为：一； （2）解：原式 ． 【典型例题二 多个有理数的乘法运算】 【例1】（24-25六年级上·上海松江·期末）有2025个有理数相乘，结果为0，那么这2025个数（   ） A．都为0 B．只有一个0 C．有两个数互为相反数 D．至少有一个0 【答案】D 【分析】本题考查有理数的乘法，根据任意有理数乘以0，都得0，得到乘积为0，则乘数中必有一个数为0，即可得出结果． 【详解】解：∵2025个有理数相乘，结果为0， ∴这2025个数至少有一个0； 故选D． 【例2】（24-25六年级上·上海奉贤·阶段练习）若“！”是一种数学运算符号，并且，，，，……，则的值是为（  ） A． B．99！ C．9900 D．2！ 【答案】C 【分析】本题考查学生分析数据，总结、归纳数据规律的能力，关键是找出规律，要求学生要有一定的解题技巧，关键是要理解“！”的运算规律．根据“！”的运算规律计算​即可得出本题的答案． 【详解】解：根据题目的运算规则可得：， 故选：C． 【例3】（24-25六年级上·上海杨浦·期末）用、、填空． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，根据乘法运算法则，奇数个负数相乘结果为负，即可求解． 【详解】解： 故答案为：． 【例4】（24-25六年级上·上海崇明·阶段练习）若定义一种新的运算“*”，规定有理数，如．求： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了新定义运算，有理数混合运算；理解新定义，正确进行运算是解题的关键． （1）根据新定义得，进行有理数混合运算，即可求解； （2）根据新定义进行分步运算，即可求解； 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【例5】（2025六年级上·上海长宁·专题练习）3个非零有理数相乘，在什么情况下积一定是负数？4个非零有理数相乘，在什么情况下积一定是负数？5个非零有理数相乘呢？你找出什么规律了吗？ 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了有理数乘法计算，根据两个数相乘，同号为正，异号为负可知，多个非零有理数相乘时，负数的个数为奇数个时，计算的结果为负数，负数的个数为偶数个时，计算的结果为正数，据此求解即可． 【详解】解：3个非零有理数相乘，当其中有1个或3个是负数时，结果为负数； 4个非零有理数相乘，当其中有1个或3个是负数时，结果为负数； 5个非零有理数相乘，当其中有1个或3个或5个是负数时，结果为负数． 规律：几个非零有理数相乘，积的符号由负因数的个数决定．当负因数的个数为奇数时，则积为负数；当负因数的个数为偶数时，则积为正数． 1．（24-25六年级上·上海宝山·期末）已知，，，，观察并找规律，计算的结果是（　　） A．42 B．120 C．210 D．840 【答案】C 【分析】此题考查了有理数的乘法运算，根据已知等式找出规律，利用规律列出乘法算式，即可求解． 【详解】解：由已知得， 故选C． 2．（2024·上海嘉定·模拟预测）如果三个连续整数n、、的和等于它们的积，那么我们把这三个整数称为“和谐数组”，下列n的值不满足“和谐数组”条件的是（    ） A． B． C．1 D．3 【答案】D 【分析】根据题意，逐个判断出所给的值，是否满足三个连续整数的和等于它们的积，进而判断出哪个的值不满足“和谐数组”条件即可． 此题主要考查了数字规律类“和谐数组”，解答此题的关键是判断出所给的值，是否满足三个连续整数的和等于它们的积． 【详解】解：A、当时， ， ， ∵ ， ∴满足“和谐数组”条件，故选项不符合题意； B、当时， ， ， ∵ ， ∴满足“和谐数组”条件，故选项不符合题意； C、当时， ， ， ∵ ， ∴满足“和谐数组”条件，故选项不符合题意； D、当时， ， ， ∵， ∴不满足“和谐数组”条件，故选项符合题意． 故选：D． 3．（24-25六年级上·上海宝山·期中）如图，小天有5张写着不同数的卡片，从中抽出2张卡片，使卡片上的数相除，所得到的商最小，最小的商是 ，从中抽出3张卡片，使卡片上的数相乘，所得到的积最大，最大的积是 ． 【答案】 / 105 【分析】本题主要考查了有理数除法计算，要使两张卡片上的数字的商最小，在保证两个数的为一正一负数的情况下要保证这两个数的绝对值是5个数中除0外最大和最小的；要使3张卡片的积最大，要保证抽到两个负数和较大的正数． 【详解】解：抽到和2时，商最小，最小的商为：， 抽到，和时，积最大，最大的积为：， 故答案为：；105． 4．（2025六年级上·上海松江·专题练习）计算． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查有理数的乘除混合运算．掌握各运算法则是解题关键． （1）任何数与0相乘都等于0，所以结果为0． （2）利用乘法交换律先算与的积，再乘． （3）将带分数化为假分数后与相乘并约分计算． （4）把带分数化为假分数，将除法变乘法后从左到右依次计算． 【详解】（1）原式 （2）原式 （3）原式 （4）原式 5．（24-25六年级上·上海黄浦·期中）【观察思考】观察下列等式 ， 将以上三个等式两边分别相加得： ． 【探索规律】 （1）猜想并写出：______． （2）直接写出下列各式的计算结果： ______； 【迁移运用】 （3）． 【答案】（1）  （2）   （3） 【分析】本题主要考查有理数的乘法运算及加减运算，熟练掌握有理数的运算是解题的关键． （1）根据题干所给方法求解即可； （2）根据题干所给方法及（1）中的结论可进行求解； （3）根据（1）中所给结论可进行求解． 【详解】（1）解：∵， ∴． 故答案为：． （2）解：∵ ； （3）解： ． 【典型例题三 有理数乘法运算律】 【例1】（2025·上海闵行·模拟预测）下列计算结果最小的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查有理数乘法运算．根据有理数运算法则分别计算并比较大小即可． 【详解】解：A、； B、； C、； D、； ∵， ∴得数最小的是D选项， 故选：D． 【例2】（24-25六年级上·上海徐汇·期中）如下是嘉淇对一道题的解题过程： ……第①步 ……第②步 ．……第③步 下列判断正确的是（    ） A．第①步运用了乘法交换律 B．第②步运用了乘法对加法的分配律，但结果错误 C．第②步的运算结果正确 D．第③步的结果是本题的正确结果 【答案】B 【分析】本题考查利用有理数乘法分配律进行简便运算，熟练掌握乘法分配律进行研究正确的计算是解的关键．将化成，再运算乘法分配律计算，根据计算过程逐项判定即可． 【详解】A、①将化成，故说法错误，不符合题意； B、第②步运用了乘法对加法的分配律，但结果错误，②的结果应为，故说法正确，符合题意； C、第②步的运算结果为，故说法错误，不符合题意； D、从②步就开始开始出错，故第③步的结果是错误的，故说法错误，不符合题意； 故选：B． 【例3】（24-25六年级上·上海闵行·课后作业）在算式每一步的后面填上该步运用的运算律： ． 【答案】 乘法交换律 乘法结合律 乘法分配律 【分析】本题考查了乘法交换律、结合律以及分配律，熟练掌握乘法的运算法则及运算规律是解决本题的关键．根据乘法的运算规律求解即可． 【详解】解： （乘法交换律） （乘法结合律） （乘法分配律）． 故答案为：乘法交换律；乘法结合律；乘法分配律． 【例4】（24-25六年级上·上海宝山·期中）小阳在做一道计算题：■时，不小心一滴墨水滴在了本子上，盖住了其中一个数字，导致他无法计算，在求助老师时老师告诉他：“被盖住的数字是4，7，10，11其中的一个，并且这道题直接用乘法结合律来计算会非常简便”，则被盖住的数字可能是 ． 【答案】7 【分析】本题主要考查有理数的乘法运算，根据直接用乘法结合律来计算会非常简便来确定即可． 【详解】解：被盖住的数字是4，7，10，11其中的一个， 并且直接用乘法结合律来计算会非常简便， 观察■，只有数字7可以直接用乘法结合律来计算． 故答案为：7． 【例5】（24-25六年级上·上海静安·期中）我们知道分配律，反过来可得，这叫分配律的逆用．请利用它计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)74 【分析】本题考查乘法运算律，解题的关键是准确识别式子中相同的因数，然后逆用乘法分配律进行简便计算． （1）找出式子的相同因数，逆用乘法分配律进行计算． （2）找出式子的相同因数，逆用乘法分配律进行计算． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 1．（24-25六年级上·上海金山·阶段练习）下面各图中，不能说明与相等的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】该题主要考查了乘法分配律，解题的关键是读懂题意． 根据四个选项中的图只列出能用式子“”或“”表示即可，根据乘法分配律，． 【详解】解：A、6厘米厘米厘米总长度，不能用“”或“”表示．即不能说明“”与“”相等． B、总价是元，根据乘法分配律就是元．可以用“”或“”表示，即能说明“”与“”相等． C、总面积为平方厘米，根据乘法分配律就是平方厘米．能说明“”与“”相等． D、两种颜色的珠子一共有珠子个，根据乘法分配律就是个．即能说明“”与“”相等． 故选：A． 2．（24-25六年级上·上海松江·期中）已知4个数，，，它们两两之和为5，8，9，11，12，15，则四个数的乘积的所有可能值为（    ） A．214和304 B．234和314 C．224和324 D．234和334 【答案】C 【分析】不妨设，根据，，，之间的大小关系，得出方程组，得出它们的解，再进行验证求解． 【详解】解：设 则，，， 解得：，，，，或者，，，， 当，，，时，， 当，，，时，． 故选：C． 【点睛】本题考查了有理数的乘法，合情推理是解题的关键． 3．（24-25六年级上·上海普陀·阶段练习）甲、乙、丙三个数的平均数是，甲与乙的比是，乙与丙的比是，乙是 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数乘法的应用，根据题意可得甲乙丙，进而列出算式即可求解，根据题意求出甲、乙、丙之间的比是解题的关键． 【详解】解：∵甲与乙的比是，乙与丙的比是， ∴甲乙丙， ， ， ∴乙是， 故答案为：． 4．（24-25六年级上·上海松江·期末）阅读与应用 计算时，若把与分别各看成一个整体，再利用分配律进行运算，可以大大简化难度．过程如下： 解：设为，为， 则原式．请用上面方法计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，乘法分配律的应用； （1）根据例题的方法设为，为，进而根据分配律进行计算即可求解； （2）根据发现的规律将所求式子变形，同（1）的方法，利用分配律进行运算，即可求解． 【详解】（1）设为，为， 原式 ； （2）设为，为， 原式 . 5．（24-25六年级上·上海青浦·期中）算筹是我国古代一种常用的数学工具，古人通常用算筹记数和进行数的简单运算．如图1，用算筹表示数字有两种方式：纵式和横式．我们可以使用纵横交替的十进制记数法表示数字．具体而言，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，依此类推．数字0要空位，在个位数上划上斜线以表示负数． 如“”表示38，“”表示1983． 【观察思考】 （1）请写出图2，图3中算筹表示的数为______，______． （2）利用算筹可以进行简单的加法运算，请同学们观察的计算步骤，并在第5步中填入正确的算筹摆放方式． 【迁移运用】 《孙子算经》对算筹乘法有详细阐述．将被乘数放在上排（上位），乘数放在下排（下位），乘数的个位对齐被乘数的最高位．上下排之间，留空几排，作中间积存放处．下图即为计算的演示步骤： （3）试用算式解释“利用算筹进行乘法运算”的原理； 【总结提升】 （4）观察以上计算过程，对比我们现在所使用的竖式计算，你有什么发现，请写出你的发现． 【答案】（1）266；；（2）见解析；（3）见解析；（4）算筹进行乘法运算的原理是乘法分配律 【分析】本题主要考查了对于算筹的理解和数的表示，正确理解题意是解题的关键． （1）根据算筹的表示方法即可得到答案； （2）根据题意可知十位数字因为进位变成0，百位数字因为进位变为6，据此画图即可； （3）就是把38分成30和8，把76分成70和6，再根据乘法分配律求解即可； （4）根据题意可得算筹进行乘法运算的原理是乘法分配律． 【详解】解：（1）由题意得，图2表示的数为266，图3表示的数为； （2）如图所示，即为所求； （3）就是把38分成30和8，把76分成70和6， ； （4）观察以上计算过程，对比我们现在所使用的竖式计算可知，算筹进行乘法运算的原理是乘法分配律． 【典型例题四 有理数的除法运算】 【例1】（2025·上海嘉定·模拟预测）要使算式的运算结果为正数，则“”内应填入的运算符号为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的四则运算，根据有理数加减乘除法则和有理数大小比较法则，即可得到答案． 【详解】解：，，， ∵， ∴要使算式的运算结果为正数，则“□”内应填入的运算符号为：， 故选：B． 【例2】（24-25六年级上·上海徐汇·期中）如表中和两个量成反比例关系，则“△”处应填（   ） 5 △ 7 14 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查反比例关系的定义．抓住乘积相等是解题的关键． 若两个量乘积一定，则它们成反比例关系，据此列式解答即可． 【详解】解：由题意可得，解得， 故选：B． 【例3】（24-25六年级上·上海闵行·期末）对非零有理数，定义一种运算，其规则是：，则 ． 【答案】 【分析】此题考查了有理数的除法运算，根据新定义得到，进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为： 【例4】（24-25六年级上·上海松江·期末）如图，天平的两个盘内分别盛有和的糖，问应从盘A中拿出 糖放到盘B中，才能使两者所盛糖的质量相等？ 【答案】3 【分析】先计算盛糖的相等质量为，再计算解答即可． 本题考查了有理数的除法，有理数的减法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得盛糖的相等质量为， 又． 故从盘A中拿出糖放到盘B中，才能使两者所盛糖的质量相等． 故答案为：3． 【例5】（24-25六年级上·上海奉贤·期中）【阅读材料】 当有理数不等于0时， 把2个相同的有理数的除法运算记作； 把3个相同的有理数的除法运算记作； 把4个相同的有理数的除法运算记作； … 特别地，规定． 【解决问题】 (1)若，则______； (2)求； (3)计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（）根据运算的定义即可得到答案； （）根据运算的定义计算即可得到答案； （）根据运算的定义和有理数的运算法则进行计算即可求解； 本题考查了有理数的除法新运算，有理数的乘除混合运算，理解新运算是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， 故答案为：； （2）解：； 故答案为：； （3）解：原式 ， ． 1．（24-25六年级上·上海普陀·期中）若，且，，，……，，这个数中有个正数，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查有理数的除法运算，绝对值的意义，根据个数中有个正数，则有个负数，进而推出中，有个1，个，进行计算即可． 【详解】解：由题意，得：个数中有个负数， ∴中，有个1，个， ∴； 故选：D． 2．（24-25六年级上·上海长宁·单元测试）实数，，，满足，，，，，则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要有理数的除法计算，乘法计算，加法计算，先根据有理数乘法计算法则得到与异号，且都不为0，再根据除法法则得到与同号，且不为0，；与同号，且不为0，，进而推出与异号，再根据，分当，时，当，时，两种情况讨论求解即可． 【详解】解：， 与异号，且都不为0， ，， 与同号，且不为0，；与同号，且不为0，， 与同号，与异号， ， 不为0， ，，，均不为0， ， 当，时，，，即； 当，时，，，则，不符合题意． 故选A． 3．（24-25六年级上·上海虹口·期中）如果a、b、c是非零有理数, 那么所有可能的值为 ． 【答案】3或或1或 【分析】此题考查了分类讨论与有理数绝对值的性质应用能力，有理数加减混合运算，分类讨论：①a、b、c中有一个负数时，②a、b、c中有两个负数时，③a、b、c中有三个负数时，④a、b、c都是正数时，即可求解． 【详解】解：∵当时，此时；当时，此时； ∴①a、b、c中有一个负数时，所以，原式； ②a、b、c中有两个负数时，所以，原式； ③a、b、c中有三个负数时，所以，原式； ④a、b、c都是正数时，所以，原式； 故答案为：3或或1或． 4．（24-25六年级上·上海金山·阶段练习）计算： (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12) 【分析】本题考查有理数混合运算，涉及绝对值、有理数加减乘除运算、有理数加法运算律等知识，熟练掌握有理数相关运算法则及运算律是解决问题的关键． （1）由有理数的加法运算法则求解即可得到答案； （2）由有理数的加法运算法则求解即可得到答案； （3）先将减法转化为加法，再由有理数的加法运算法则求解即可得到答案； （4）先将减法转化为加法，再由有理数的加法运算法则求解即可得到答案； （5）先计算绝对值，再将除法转化为乘法，最后由有理数乘法运算法则求解即可得到答案； （6）先计算绝对值，再由有理数乘法运算法则求解即可得到答案； （7）结合加法运算律，由有理数的加法运算法则求解即可得到答案； （8）结合加法运算律，由有理数的加法运算法则求解即可得到答案； （9）先将减法转化为加法，再结合加法运算律由有理数的加法运算法则求解即可得到答案； （10）先将减法转化为加法，再由有理数的加法运算法则求解即可得到答案； （11）先将减法转化为加法，再结合加法运算律由有理数的加法运算法则求解即可得到答案； （12）先将减法转化为加法，再由有理数的加法运算法则求解即可得到答案． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ； （6）解： ； （7）解： ； （8）解： ； （9）解： ； （10）解： ； （11）解： ； （12）解： ． 5．（24-25六年级上·上海松江·期中）阅读下列材料并解决有关问题：我们知道，所以当时，；当时，，现在我们可以用这个结论来解决下面问题： (1)已知，是有理数，当时，求的值 (2)已知，，是有理数，当，求的值 (3)已知，，是有理数，，，求的值． 【答案】(1)或 (2)或 (3) 【分析】本题主要考查了绝对值的意义，有理数的乘、除法法则； （1）根据，得出，同号或，异号，然后根据绝对值的意义化简绝对值即可； （2）根据，得出，，或，，或，，两负一正或，，两正一负，然后根据绝对值的意义化简绝对值即可； （3）根据，得出，，，求出，根据，，得出、、中一负两正，再化简绝对值即可． 【详解】（1）解：已知，是有理数，当时， ，， ，， ，异号，． 故的值为或． （2）已知，，是有理数，当时， ，，， ，，， ，，两负一正， ，，两正一负，． 故的值为或 （3）已知，，是有理数，，， 所以，，，，，两正一负， 所以 ． 【典型例题五 有理数乘除混合运算】 【例1】（24-25六年级上·上海宝山·期中）计算的结果等于（    ） A．10 B． C．5 D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的乘除运算，先把除法转化为乘法，然后根据有理数的乘法法则计算即可． 【详解】解∶ ， 故选∶C． 【例2】（24-25六年级上·上海静安·阶段练习）有一间客厅，用面积是36平方分米的方砖铺地，需要96块．如果改用边长是80厘米的方砖铺地，需要（    ）块 A．24 B．34 C．44 D．54 【答案】D 【分析】本题主要考查了有理数乘除法计算的应用，先求出房间的面积，再用房间的面积除以边长为80厘米的方砖面积即可得到答案． 【详解】解：， 所以需要54块， 故选：D． 【例3】（24-25六年级上·上海长宁·期末）如图，按程序框图中的顺序计算，当输入的初始值x为32时，则输出的最后结果为 ． 【答案】128 【分析】本题考查程序流程图与有理数的运算，把32代入流程图，列出算式进行计算，直至最后结果，即可． 【详解】解：， ，输出； 故答案为：128． 【例4】（24-25六年级上·上海崇明·期中）在一个遥远的魔法世界里，有一个神秘的圆环，它被称为“五二○圆环”．圆环被九条线段均匀分成了的九个部分，每个部分里会隐藏着一个数字，如果你找出了全部的数字，那么你将被授予“五二○大王”的称号．如图所示，这九个数字中相邻的连续三个数之积均为520，则x的值为 ． 【答案】1 【分析】本题考查了有理数乘除混合运算的应用，熟练掌握有理数的乘除法运算是解本题的关键．先求出20与26之间的数，再求出26与x之间的数，进而可求x的值． 【详解】解：∵相邻的连续三个数之积均为520， ∴20与26之间的数为：， ∴26与x之间的数为：， ∴， ∴x的值为 1． 故答案为：1． 【例5】（24-25六年级上·上海杨浦·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)22 (2) (3) (4)1 【分析】本题考查有理数的四则混合运算，解题的关键是熟练掌握有理数的运算法则，包括去括号法则，乘除运算法则，乘法分配律以及运算顺序（先乘方，再乘除，最后加减；有括号先算括号内）． （1）按照有理数加减法法则计算； （2）依据有理数乘除法法则计算； （3）运用乘法分配律计算； （4）根据先乘方，再乘除，最后加减；有括号先算括号内． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 1．（24-25六年级上·上海虹口·期中）a是不为2的有理数，我们把称为a的“伴随数”，如3的“伴随数”是的“伴随数”是，已知是的“伴随数”是的“伴随数”，是的“伴随数”，…，以此类推，则等于（   ） A． B． C． D．4 【答案】C 【分析】本题主要考查了数字变化的规律，有理数的运算等知识点，根据所给“伴随数”的定义，依次求出，，…，发现规律即可解决问题，能通过计算发现从开始，这列数按4，，，重复出现是解题的关键． 【详解】由题意知， ∵， ∴，，，，…， 由此可知，从开始，这列数按4，，，重复出现， ∵， ∴， 故选：C． 2．（24-25六年级上·上海闵行·阶段练习）如图，阶梯图的每个台阶上都标有一个数，数列呈现一定的符号变化规律和绝对值的变化规律，请计算（   ）    A．1013 B．1011 C．0 D．以上都不对 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的混合运算，正确理解题意是解题的关键．将化为，找出共有个即可求解． 【详解】解： ， 故选：A． 3．（24-25六年级上·上海宝山·阶段练习）已知a是有理数，表示不超过a的最大整数，如等，那么 ． 【答案】 【分析】根据的意义得出，，，然后代入计算即可． 【详解】解：由题意得：，，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了新定义，有理数的乘除运算，正确理解的意义是解题的关键． 4．（2024六年级上·上海徐汇·模拟预测）中考新趋势·新定义若规定：，例如：，试求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了新定义运算，解题的关键是熟练掌握有理数混合运算法则，准确计算． 根据题干中提供的信息，列出算式进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴． 5．（24-25六年级上·上海静安·阶段练习）阅读材料：我们知道有限小数可以化为分数，那么无限循环小数是如何化为分数的呢？观察下面将一个无限循环小数化为分数的过程．…是一个以47为循环节的无限循环小数，将它扩大到100倍，把第一个循环节移到小数点之前，得到：…，发现小数点后仍然是循环节为47的无限循环小数，即小数点后仍是原数，即：．由此可知，所以．根据以上阅读材料，回答下列问题： (1)是以______为循环节的无限循环小数，将化为分数结果为______； (2)将化为分数形式，并写出推导过程； (3)将化为分数结果为______（注：以189为循环节的无限循环小数）． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题主要考查了把无限循环小数化成分数，正确理解题意是解题的关键． （1）根据材料中方法即可解答； （2）根据材料中方法即可解答； （3）根据材料中方法即可解答． 【详解】（1）解：是以为循环节的无限循环小数， ∵，， ∴； （2）解：∵，， ∴； （3）解：∵，， ∴． 【典型例题六 有理数四则混合运算】 【例1】（24-25六年级上·上海松江·期末）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了有理数的运算，要熟练掌握，注意明确有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．根据有理数的加减乘除运算法则计算即可． 【详解】解：A、，故本选项计算错误，不符合题意； B、，故本选项计算错误，不符合题意； C、，故本选项计算正确，符合题意； D、，故本选项计算错误，不符合题意； 故选：C． 【例2】（2025·上海闵行·模拟预测）定义一种新运算：  ． 如：  ，则  的值为(   ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了新运算的运算法则以及有理数的四则混合运算，难度较小，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 依题意，根据该新运算的运算法则，代入数值即可列式作答． 【详解】解：依题意， 那么  ， 故选：C． 【例3】（24-25六年级上·上海杨浦·期中）定义新运算：，计算 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，根据列式计算即可得解，理解题意，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 【例4】（24-25六年级上·上海嘉定·期中）我们知道，每个自然数都有因数，对于一个自然数，我们把小于的正的因数叫做的真因数．如10的正因数有1，2，5，10，其中1，2，5是10的真因数，把一个自然数的所有真因数的和除以，所得的商叫做的“完美指标”，如10的完美指标是，一个自然数的“完美指标”越接近1，我们就说这个数越“完美”．那么28的“完美指标”是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了因数定义，新定义运算．解题的关键在于正确的计算．由题意知28的正因数有：1，2，4，7，14，28；其中真因数为1，2，4，7，14，计算求解即可． 【详解】解：∵28的正因数有：1，2，4，7，14，28；其中真因数为1，2，4，7，14， ∴28的“完美指标”为． 故答案为：． 【例5】（24-25六年级上·上海长宁·期中）下面是乐乐同学进行有理数运算的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解： 第一步 第二步 第三步 ．第四步 任务： (1)填空： ①以上运算步骤中，第一步依据的运算律是　　； ②第　　步开始出现错误，错误的原因是　　． (2)请直接写出正确的计算结果． 【答案】(1)①乘法分配律；②二，计算时符号出现错误 (2) 【分析】本题考查有理数的乘法、乘法分配律，利用乘法分配律简便运算是解答的关键． （1）①利用乘法分配律可得答案；②根据有理数的乘法运算法则判断即可； （2）根据乘法分配律和有理数的乘法和加减运算法则求解即可． 【详解】（1）解：①在所给运算步骤中，第一步依据的运算律是乘法分配律； ②第二步开始出现错误，错误的原因是计算时符号出现错误， 故答案为：①乘法分配律；②二，计算时符号出现错误； （2）解： ． 1．（2025·上海虹口·模拟预测）数学里，通常把式子叫做二阶行列式，并规定它的运算法则为，如，那么计算的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的混合运算，根据新定义运算法则计算即可求解，理解新定义运算法则是解题的关键． 【详解】解：由题意得，，， ∴， 故选：． 2．（24-25六年级上·上海普陀·期中）数学符号是数学学科中用来表示数量关系和空间形式的符号系统，它们具有高度的抽象性和简洁性．在数学中，记．，，，…，．则的值为（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】B 【分析】本题考查有理数的混合运算，根据新定义，列出算式进行计算即可，熟练掌握新定义，是解题的关键． 【详解】解： ； 故选B． 3．（24-25六年级上·上海奉贤·期中）有两组数，第一组：，，，，；第二组：，，，．从第一组数中任取一个数与第二组数中任取一个数相乘，则所有乘积的总和是 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，根据题意列出算式，再逆运用乘法分配律进行计算即可得解． 【详解】解：第一组所有数的和为， 第二组所有数的和为， 第一组数中取与第二组数中任取一个数相乘，所有乘积的总和是， 同理可得从第一组数中任取一个数与第二组数中任取一个数相乘，则所有乘积的总和是， 故答案为：． 4．（24-25六年级上·上海长宁·期中）观察下列各式： ，，， (1)根据以上式子的特点完成下列各题： ①___________；②___________（n是正整数）． (2)计算： (3)探究并计算： ． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，解题的关键是根据已知等式得出连续整数乘积的倒数等于各自倒数的差． （1）根据连续整数乘积的倒数等于各自倒数的差可得； （2）将原式利用（1）中所得规律裂项求和可得． （3）先利用乘方分配律每一项提出一个，再将式子利用（1）中所得规律裂项求和可得． 【详解】（1）解：根据题意知，①；② 故答案为；． （2）解：＋＋＋ ． （3）解： ． 5．（2025·上海宝山·模拟预测）如图，容器中装有5个小球，小球上分别标有数字：，0，5，2，．现从容器中随机摸出四个小球，对小球上的数字进行运算． (1)①若摸出的四个小球上分别标有2，，0，，计算：； ②若摸出的四个数字的积不为0，求这四个数字的和； (2)将摸出的四个小球上的数字按一定顺序填入“”中的“□”内，计算所得算式的结果，直接写出计算结果的最小值． 【答案】(1)①，② (2) 【分析】此题考查了有理数的混合运算，根据题意正确列式是关键． （1）①利用有理数的四则混合运算法则计算即可；②根据题意得到摸出的四个数字为，5，2，．再求和即可； （3）根据题意列式计算即可． 【详解】（1）解：① ②∵摸出的四个数字的积不为0， ∴摸出的四个数字为，5，2，． （2）当摸出的四个小球上的数字为，0，5，2时，计算结果最小， 即，即计算结果的最小值为． 【典型例题七 根据点在数轴的位置判断式子的正负】 【例1】（2025·上海长宁·模拟预测）实数在数轴上的对应点的位置如图所示，实数满足条件，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了有理数加法法则的应用，利用有理数加法法则逐项判断即可． 【详解】解：A、由图得，若，则，∴选项A不正确． B、若，则m、n异号，且，∴，∴故选项B正确． C、若，则m、n同号，则，∴选项C不正确． D、若，则,则m、n同号，则，∴选项D不正确． 故选：B． 【例2】（24-25六年级上·上海松江·期中）有理数a，b，c，d在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列选项中：①如果，则一定会有；②如果，则一定会有；③如果，则一定会有；④如果，则一定会有．正确的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查了数轴上的点表示有理数，有理数的乘法， 先根据数轴可知，再根据“两数相乘同号得正，异号得负”分情况讨论，并逐个判断即可. 【详解】解：根据题意，得， 如果，当或时，可知，所以（1）正确； 如果，当（舍去）或时，可知，所以（2）正确； 如果，当或时，不能确定的正负性，所以（3）不正确； 如果，当（舍去）或时，可知，所以（4）不正确. 正确的有2个. 故选：B. 【例3】（24-25六年级上·上海闵行·阶段练习）有理数a、b在数轴上的位置如图所示，请用“”连接a、b、、为 ． 【答案】 【分析】本题考查有理数比较大小，解题的关键在于掌握数轴上数的大小特点，利用数轴找出、所在位置，再根据数轴上的数从左到右依次增大，即可解题． 【详解】解：由数轴得，， 找出、的位置如图： ∴， 故答案为：． 【例4】（24-25六年级上·上海徐汇·课后作业）已知a，b，c三个数在数轴上的对应点如图所示，用“”或“”号填空． （1）a 0；    （2）c 0； （3）a b；    （4）ac bc； （5） ； （6） ． 【答案】 【分析】本题考查利用数轴，有理数的乘法运算，有理数的大小比较，熟练掌握数轴上的数右边比左边大以及不等式的性质是解题的关键．本题观察数轴得出，进一步运用有理数的乘法运算法则逐空进行分析即可． 【详解】解：观察数轴得出， （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）． 故答案为：． 【例5】（24-25六年级上·上海普陀·阶段练习）有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，且． (1)填空： 0； 0．（“＜”或“＞”或“＝”填空） (2)化简代数式：． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查了利用数轴判断式子的正负和化简绝对值，解题关键是得到式子的正负，两数相乘，同号得正异号得负，绝对值不相等的异号两数相加，和取绝对值较大的加数的符号． （1）根据和即可判断正负； （2）先判断绝对值内式子的正负，再去掉绝对值进行化简即可． 【详解】（1）解：∵，且， ∴； 故答案分别为：；； （2）解：∵且， ∴，， ∴． 1．（24-25六年级上·上海静安·期末）已知是有理数，且，下列结论：①；②；③；④若，是有理数，且满足，则．其中正确的是（   ） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 【答案】A 【分析】本题主要考查了化简绝对值，有理数乘除法计算，有理数加减法计算，灵活运用所学知识是解题的关键．根据两数相乘同号为正，异号为负可知，再由，可得，即可判断①，②；由，，化简绝对值即可判断③；根据，，推出，再由，得到或，即可判断④． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴，，故①②正确； ∵， ∴， ∴，故③正确； ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴或， ∴或， ∴或， ∴或，故④错误； ∴正确的有①②③， 故选：A． 2．（24-25六年级上·上海黄浦·阶段练习）如图，数轴上，两点所表示的数分别为，，且，，则原点的位置在（    ） A．点的右边 B．点的左边 C．，两点之间，且靠近点 D．，两点之间，且靠近点 【答案】C 【分析】此题考查了有理数的加法和除法，以及数轴，熟练掌握运算法则是解本题的关键．利用有理数的加法法则和除法法则判断即可． 【详解】解：∵根据题意，数轴上的，且，， ∴与异号且绝对值大，即，，， 则原点的位置在两点之间，且靠近点， 故选：C． 3．（24-25六年级上·上海静安·课后作业）有理数，在数轴上的位置如图所示，用不等号填空． （1） ；（2） ；（3） ； （4） ；（5） ． 【答案】 【分析】由数轴得到，据此判断各式的大小． 【详解】解：由数轴可得， （1）两个负数相加，和仍为负数，故； （2）相当于两个异号的数相加，符号由绝对值大的数决定，故； （3）两个负数的积是正数，故； （4）绝对值大的负数的平方也大，故； （5）由绝对值的意义可得； 故答案为：，，，，． 【点睛】本题考查了根据点在数轴的位置判断式子的正负，有理数的加减法、乘法，乘方，绝对值，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 4．（24-25六年级上·上海普陀·阶段练习）有理数a、b、c在数轴上的位置如图： (1)用“”或“”填空：a_____0，_____0，_____0，_____． (2)化简： 【答案】(1)；；； (2) 【分析】本题主要考查了有理数与数轴，有理数的四则混合计算，化简绝对值： （1）根据数轴可得，据此根据有理数的加减计算法则求解即可； （2）由（1）可知，，据此化简绝对值，然后根据有理数的四则混合计算法则求解即可． 【详解】（1）解：由数轴可知，， ∴， 故答案为：；；；； （2）解：由（1）可知，， ∴ ． 5．（24-25六年级上·上海嘉定·期中）有理数a，b，c在数轴上的对应点的位置如下图所示： (1)在横线上填入“”或“”：______ 0，______ 0，______ 0 (2)在数轴上找出表示的点； (3)用“”将连接起来． 【答案】(1)，， (2)见解析 (3) 【分析】本题考查有理数与数轴，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键： （1）根据点在数轴上的位置，判断数的大小关系，进而确定式子的符号即可； （2）根据互为相反数的两个数在数轴上原点的两侧，且到原点的距离相等，找出表示的点即可； （3）根据数轴上的数右边的比左边的大，进行比较即可． 【详解】（1）解：由图可知：， ∴； 故答案为：，，； （2）表示的点，如图所示： （3）由图可知：． 【典型例题八 有理数四则混合运算的实际应用】 【例1】（24-25六年级上·上海宝山·期中）一台电视机的原价是3200元，先提价，再打九折销售，这台电视机现在的价格是（   ）元． A．3520 B．3168 C．3210 D．3028 【答案】B 【分析】本题考查有理数的混合运算的应用．先计算提价后的价格，再计算打九折后的价格，据此求解即可． 【详解】解：（元）， （元）， 这台电视机现在的价格是3168元， 故选：B． 【例2】（2025·上海松江·模拟预测）据我国古代《易经》记载，远古时期人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳记数”．如图，一位老者在从右到左依次排列的绳子上打结，满五进一（例如：图中第2根上的一个绳结表示5个，第3根上的一个绳结表示个），用来记录采集到的野果的个数．若他一共采集到了47个野果，则在第2根绳子上的绳结数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】根据题意，得第二根绳上共有个，结合一个结表示5个，故有(个)，解答即可． 本题考查了计算方法，正确理解数位的内涵是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得第二根绳上共有个， 由一个结表示5个， 故有(个)， 故选：C． 【例3】（24-25六年级上·上海嘉定·期末）毛利率的计算公式为：毛利率，若商品每千克进价为元，售价为元，则商品每千克的毛利率为 ． 【答案】 【分析】本题考查有理数的混合运算，结合已知条件列得正确的算式是解题的关键． 根据题意列式计算即可． 【详解】解： ， 即商品每千克的毛利率为， 故答案为：． 【例4】（2025·上海闵行·模拟预测）记里鼓车，又称记里车、大章车，是我国古代用来记录车辆行过距离的马车，构造与指南车相似，如图，车有上下两层，每层各有木制机械人，手执木槌，下层木人打鼓，车每行一里路，敲鼓一下，上层机械人敲打铃铛，车每行十里，敲打铃铛一次，设一古人从城驾车到城，铃铛和鼓一共恰好响了次，则，两城的距离是 里． 【答案】 【分析】本题考查有理数的混合运算，根据题意可得铃铛响了2次，进而可得鼓响了次，根据车每行一里路，敲鼓一下，即可求解． 【详解】解：， ∴铃铛响了2次， ， ∴鼓响了次， ∴，两城的距离是里， 故答案为：． 【例5】（2025六年级上·上海宝山·专题练习）目前，我市居民用电的电价是元/千瓦•时．安装分时电表的居民实行分段电价，收费标准见下表： 时段 峰时（） 谷时（次日） 电价（元/千瓦•时） 赵敏家两个月用电千瓦•时，谷时用电量是用电总量的．安装分时电表前，赵敏家两个月的电费是多少元？安装分时电表后，她家两个月的电费是多少元？ 【答案】安装分时电表前，赵敏家两个月的电费是元；安装分时电表后，她家两个月的电费是元 【分析】本题考查了有理数乘法、分数乘法运算以及四则运算的知识点．解题关键是理解题意正确计算． 依据不同电价收费标准，先算出安装分时电表前总电费，然后计算谷时、峰时电量，再根据电价计算求和即可． 【详解】（元） （千瓦•时） （千瓦•时） （元） 答：安装分时电表前，赵敏家两个月的电费是62.4元；安装分时电表后，她家两个月的电费是50元． 1．（24-25六年级上·上海徐·阶段练习）李老师逛超市时看中一套碗，她将碗叠成一列（如图），测量后发现：用2个碗叠放时总高度为，用4个碗叠放时总高度为．若将8个碗叠成一列能放入消毒柜，则这个消毒柜的内置高度至少有（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数四则混合计算的实际应用，用2个碗叠放时总高度为，用4个碗叠放时总高度为，据此可求出每增加一个碗，高度的增加量，再在4个碗的基础上加上增加的4个碗的高度即可得到答案． 【详解】解：， ∴这个消毒柜的内置高度至少有， 故选：C． 2．（2025·上海松江·模拟预测）干支纪年法是中国历法上的传统文化，干支是天干和地支的总称干支纪年法的组合方式是天干在前，地支在后，以十天干和十二地支循环配合（如对照表），60年为一个循环．我们把天干、地支按顺序排列，且给它们编上序号，天干的计算方法是：年份减3．除以10所得的余数对应天干栏中的汉字即为天干：地支的计算方法是年份减3．除以12所得的余数对应地支栏中的汉字即为地支：属相的计算方法与地支一致．依据上述规律推断，2037年为（   ） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 … 天干 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸 … 地支 子 丑 寅 卯 辰 巳 午 未 申 酉 戌 亥 … 属相 鼠 牛 虎 兔 龙 蛇 马 羊 猴 鸡 狗 猪 … A．戊酉鸡 B．丁巳蛇 C．丙申猴 D．己辰龙 【答案】B 【分析】根据有理数加减乘除的混合运算，计算判定即可． 本题考查了有理数加减乘除的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得， 故天干为丁； 根据题意，得， 故地支为巳； 属相为蛇， 故为丁巳蛇， 故选：B． 3．（2025·上海杨浦·模拟预测）某生态农场有三项任务需要完成，如下表： 任务 每轮任务耗时（小时） 需完成轮数 每轮需要工人数 A．有机肥料运输 2 3 B．智能系统调试 2 1 1 C．温室环境监测 3 2 不同类型任务切换需0.2小时准备时间，相同任务的不同轮次可以同时进行，且每轮任务一旦开始不能中途停止．农场现有3名工人，请回答下列问题： （1）若需要先完成A任务，再完成剩余的两项任务，请判断：这3名工人 （填“能”或“不能”）在小时内完成全部三项任务； （2）为了加快完成任务，现增加2名工人，则这5名工人完成全部三项任务的最短用时为 小时． 【答案】 不能 4 【分析】本题考查工程问题中的任务规划与时间计算，涉及到对任务轮次、耗时、所需人力的综合分析．解题关键在于合理规划任务安排，准确计算任务执行时间和任务切换准备时间，通过比较不同任务的耗时情况来确定整体最短耗时或判断能否在规定时间内完成任务． （1）本题围绕生态农场的三项任务展开，根据各项任务每轮耗时、需完成轮数和每轮所需工人数，同时考虑不同任务切换的准备时间，以及工人数量，通过计算任务总耗时与给定时间比较或规划任务安排来求解． （2）根据各项任务每轮耗时、需完成轮数和每轮所需工人数，同时考虑不同任务切换的准备时间，以及工人数量，通过计算任务总耗时与给定时间比较或规划任务安排来求解． 【详解】解：（1）A任务每轮耗时小时，需完成轮，且名工人刚好满足每轮需求， ∴A任务总耗时为小时． 完成A任务后切换到其他任务，有两次任务切换，每次准备时间小时， ∴准备时间共小时． B任务每轮耗时小时，需轮，名工人即可；C任务每轮耗时小时，需轮，每轮名工人． ∴名工人可同时进行B和C任务（人做B，人做C ），C任务轮共小时，B任务小时，以耗时较长的C任务为准，B和C任务同时进行最短耗时小时． 三项任务总耗时为小时，， ∴名工人不能在小时内完成全部三项任务． 故答案为：不能； （2）增加名工人后共名工人．可安排人同时进行C任务的轮，耗时小时；人进行B任务，耗时小时；同时安排人进行A任务的轮，耗时小时． ∵， ∴在A任务进行到第小时时，B和C任务完成，此时剩下A任务还需小时，A任务这小时不需要额外准备时间（前面任务进行时已包含准备时间 ）． 总耗时为小时． 故答案为：4． 4．（24-25六年级上·上海·阶段练习）一间教室长米、宽米、高米，门窗面积平方米．要粉刷教室墙壁和顶面，如果每平方米用涂料千克，一共需要涂料多少千克？ 【答案】千克 【分析】本题考查了长方体表面积的实际应用，求出粉刷面积是解答本题的关键． 求出粉刷面积再乘即可． 【详解】解：粉刷面积为：（平方米）， 一共需要涂料：（千克）， 答：一共需要涂料千克． 5．（24-25六年级上·上海青浦·期中）如图，小明家在点，学校在点，中间有道路相连，线段上的点，代表十字路口（十字路口处道路的长度忽略不计）．已知：，，；，两个路口都有红绿灯，对于方向的车辆和行人，每天早上、、、的时间段内，两个路口都是绿灯，其它时间段都是红灯；小明每天早上准时从家出发，不晚于到达学校；为确保安全，他的骑行速度不超过，并且只在绿灯时通过路口（如果到达路口时恰好遇到红灯变绿灯或绿灯变红灯，也可以立即通过路口）． (1)若小明的骑行速度保持为，他将在_____（填时刻）到达学校； (2)若小明骑行过程中不遇到红灯，并且骑行速度始终不变，那么他的骑行速度最大可以是_____，最小可以是_____． 【答案】(1) (2)225，150 【分析】本题主要考查有理数运算的应用，正确理解题意是解答本题的关键． （1）分别求出在段用时，段用时以及段用时，再加上等红灯的时间即可得出从出发到学校的总用时； （2）分别求出骑行完所用最长时间和最短时间，根据速度=路程÷时间即可得解． 【详解】（1）解：（分）， （分）， （分） （分）， 所以，从到所用总时间为（分）， （分）， 即小明的骑行速度保持为，他将在到达学校， 故答案为：； （2）解：因为小明骑行过程中不遇到红灯，并且骑行速度始终不变， 所以，他最少用时为（分）； 最多用时为（分）； 所以，他的骑行速度最大为； 骑行速度最小为； 故答案为：150；225． 1．（24-25六年级上·上海松江·阶段练习）下列式子中，积的符号为负的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查有理数的乘法运算，根据有理数乘法的运算法则，积的符号由因数中负号的个数决定，奇负偶正，进行判断即可． 【详解】解：A、有2个负号，积的符号为正，不符合题意； B、有4个负号，积的符号为正，不符合题意； C、积为0，不符合题意； D、有3个负号，积的符号为负，符合题意； 故选D． 2．（24-25六年级上·上海普陀·阶段练习）将下列运算符号填入算式的“”中，使运算结果最小的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，熟练掌握有理数混合运算顺序和运算法则是解题的关键．分别计算出四种运算下的结果即可得． 【详解】解： 使运算结果最小的是 故选：D． 3．（24-25六年级上·上海闵行·期中）表示小于或等于该数的正整数的积，例如：，则为（   ） A．9989 B．9900 C．9910 D．9920 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的乘法和乘法运算律，理解的定义是解题关键．根据题意可得，，再代入计算即可． 【详解】解：， ，， ，， 故选：B． 4．（24-25六年级上·上海静安·期中）若在正方形的四个顶点处依次标上“我”“爱”“数”“学”四个字，且将正方形放置在数轴上，其中“我”“爱”对应的数分别为和，如图，现将正方形绕着顶点按顺时针方向在数轴上向右无滑动地翻滚．例如，第一次翻滚后“数”所对应的数为0，则连续翻滚后数轴上数2024对应的字是（   ） A．我 B．爱 C．数 D．学 【答案】C 【分析】本题考查了数轴及翻转的性质，有理数的除法运算，根据翻转变化规律确定每4次翻转为一次循环组是解题的关键． 根据规律可知，“我”字是数字除以4余2的，“爱”是除以4余3的，“数”是能被4整除的，“学”是除以4余1的，由此可以推出连续翻滚后数轴上数2024对应的字． 【详解】由题意得，“我”字是数字除以4余2的，“爱”是除以4余3的，“数”是能被4整除的，“学”是除以4余1的， ， 所以数字对应“数”， 故选：C． 5．（2025·上海松江·模拟预测）某省公布的居民用电阶梯电价方案如下： 第一档电量 第二档电量 第三档电量 月用电量210度以下，每度价格元 月用电量210度至350度，每度比第一档提价元 月用电量350度以上，每度比第一档提价元 例：若某户月用电量400度，则需交电费为（元）以此方案请你回答：若小华家某月的电费为元，下列说法正确的是（   ） （1）当时，小华家的用电量在第一档； （2）当时，小华家的用电量在第二档； （3）当时，小华家的用电量在第三档， A．（1） B．（1）（2） C．（1）（3） D．（1）（2）（3） 【答案】D 【分析】本题主要考查了有理数四则混合计算的实际应用，分别计算出用电量为210度和用电量为350度时的电费即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴当时，小华家的用电量在第一档，故（1）正确； ∵， ∴当时，小华家的用电量在第二档，故（2）正确； ∴当时，小华家的用电量在第三档，故（3）正确； 故选：D． 6．（24-25六年级上·上海闵行·期中）比较大小 0（“”，“”或“”）． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的乘法运算和有理数的大小比较，先进行有理数的乘法运算，再与0比较大小即可得解，熟练掌握有理数的乘法运算法则并能灵活运用是解决此题的关键． 【详解】解： ， ， ， 故答案为： ． 7．（24-25六年级上·上海普陀·期末）生活中常用的十进制是用0∼9这十个数字来表示数，满十进一，例如：；计算机也用八进制来表示字符代码，它是用0∼7这八个数字来表示数，满八进一，例如：八进制数12对应十进制的数为，八进制数235对应十进制的数为，那么八进制数365对应十进制的数为 ． 【答案】245 【分析】本题考查有理数的混合运算，根据题意列式计算即可．结合已知条件列得正确的算式是解题的关键． 【详解】解： ， 故答案为：245． 8．（24-25六年级上·上海静安·阶段练习）小刚遇到这样一道题：，觉得直接计算括号内通分较为复杂，经过思考后他采用先计算：的方法．小刚之所以这样计算是发现它们的结果的数量关系是 ，计算的结果是 ． 【答案】 互为倒数 / 【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．根据题意可知，与互为倒数，然后计算出的结果，即可求得的结果． 【详解】解：与互为倒数， ， 的结果是， 故答案为：互为倒数；． 9．（24-25六年级上·上海青浦·期中）在数轴上，有理数，的位置如图，将a与b的对应点间的距离六等分，这五个等分点所对应的数依次为，，，，，且，．下列结论： ；；；． 其中所有正确结论的序号是 ． 【答案】①④/④① 【分析】本题考查数轴，绝对值的定义．根据数轴表示数以及绝对值的定义逐项进行判断即可． 【详解】解：，， ，且距离原点比较远，，且距离原点比较近， 中点所表示的数在原点的左侧， ， ①正确； 由数轴所表示的数可知，可能大于0，也可能小于0， 符号不确定， ②不正确； 可能大于0，也可能小于0， 与不一定相等， ③不正确； 在原点的左侧，而在原点右侧， 表示数的点到表示数的点距离为， 到的距离为， 即： ④正确； 故答案为：①④． 10．（24-25六年级上·上海奉贤·阶段练习）如图，在长方形中，，，，已知涂色部分甲的面积=涂色部分乙的面积，则 ． 【答案】 【分析】此题考查了长方形和三角形的面积．根据题意求出长方形的面积，根据涂色部分甲的面积=涂色部分乙的面积得到三角形的面积和长方形面积相等，即可求出的长，即可得到答案． 【详解】解：由题意可得，， 长方形的面积为：， ∵涂色部分甲的面积=涂色部分乙的面积， ∴三角形面积等于长方形的面积， 三角形的高为：， 的长为：， 即， 故答案为： 11．（24-25六年级上·上海金山·期中）计算 (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)5 (2)34 (3) (4) 【分析】本题主要考查了有理数混合运算，解题的关键是熟练掌握有理数混合运算法则，“先算乘方，再算乘除，最后算加减，有小括号的先算小括号里面的”． （1）根据有理数加减混合运算法则进行计算即可； （2）根据有理数四则混合运算法则进行计算即可； （3）根据有理数乘除混合运算法则进行计算即可； （4）根据乘法分配律进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 12．（24-25六年级上·上海青浦·期末）若定义一种新运算“*”，规定：有理数，如：． (1)求的值． (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数的乘法运算，掌握新定义的运算法则是解题关键． （1）根据新定义的运算法则结合有理数的乘法运算法则计算即可； （2）根据新定义的运算法则结合有理数的乘法运算法则计算即可． 【详解】（1）解：． （2）解： ． 13．（2025·上海闵行·模拟预测）已知在纸面上有一数轴（如图），折叠纸面． (1)若2表示的点与表示的点重合，则表示的点与哪个数表示的点重合； (2)若表示的点与2表示的点重合，回答以下问题： ①1表示的点与哪个数表示的点重合； ②若数轴上、两点之间的距离为5（在的左侧），且、两点经折叠后重合，求、两点表示的数是多少？ 【答案】(1)3 (2)①，②、两点表示的数分别是、． 【分析】 本题考查了数轴，主要利用了数轴的对称性，读懂题目信息，分别求出对称中心是解题的关键． （1）先根据数轴判断出对称中心，然后解答即可； （2）先根据数轴判断出对称中心，①根据对称中心列式求解即可； ②求出的一半，再根据对称中心分别列式计算即可得解． 【详解】（1） 解：（1）表示的点与表示的点重合， 对称中心为0， 表示的点与数3表示的点重合； （2）表示的点与2表示的点重合， 对称中心为， ①， 表示的点与数表示的点重合； ②，两点之间的距离为5， 的一半为， 在的左侧， 点表示， 点表示． 、两点表示的数分别是、． 14．（24-25六年级上·上海静安·期中）小丽同学做一道计算题的解题过程如下： 解：原式    …………第一步     …………第二步         …………第三步         …………第四步 根据小丽的计算过程，回答下列问题： (1)小丽在进行第一步时，运用了乘法的______律； (2)她在计算中出现了错误，其中你认为在第______步开始出错了； (3)请你给出正确的解答过程． 【答案】(1)分配； (2)二； (3)见解析． 【分析】本题考查了有理数的混合运算，有理数混合运算顺序：“先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化”． （1）根据乘法分配律可得答案； （2）除法没有分配律，据此可得答案； （3）先利用乘法分配律展开，然后计算括号内的减法，再计算乘除，最后计算加减即可． 【详解】（1）解：小丽在进行计算第一步时运用了乘法分配律， 故答案为：分配； （2）解：她在第二步出错了，因为除法没有分配律， 故答案为：二； （3）解： ． 15．（24-25六年级上·上海普陀·阶段练习）阅读材料后，请解答下面的问题，并把答案以及解答过程写在答题纸上： (1)材料1：2018年9月7日，财政部、国家税务总局发布《关于2018年第四季度个人所得税减除费用和税率适用问题的通知》明确纳税人在2018年10月1日后实际取得的工资薪金所得，个税起征点由每月3500元提高至每月5000元． 级数 原来（每月）工资薪金 现行（每月）工资薪金 税率 0 3500元 5000元 免税 1 不超过1500元的部分 不超过3000元的部分 2 超过1500元到4500元的部分 超过3000元到12000元的部分 3 超过4500元到9000元的部分 超过12000元到25000元的部分 4 超过9000元到35000元的部分 超过25000元到35000元的部分 … … 根据材料1，完成下列表格填空： 公民 工资薪金（元） 原应纳个税（元） 现应纳个税（元） 小王 9500 645 小张 1290 (2)材料2：2019年1月1日起正式实施《中华人民共和国个人所得税法》．根据新修订的个税法，今后计算个税应纳税所得额（计税金额），在5000元免税的基础上，还可享受多个专项附加扣除免税，简略描述如下表． 子女教育 赡养两位老人 住房贷款 继续教育 租房租金 大病医疗 每个子女每月扣除1000元 每月扣除2000元 每月扣除1000元 每月扣除400元或300元 每月扣除1200、1000或800元 每年扣除60000元限额（据实） 根据材料2，小宋与丈夫都是独生子女，需要赡养四位老人和养育两个小孩，小孩在读小学和中学．小宋每月工资薪金为10000元（申报赡养两位老人），丈夫每月工资薪金为16000元（申报赡养两位老人）．那么请问“养育两个孩子的教育费用”扣除额可以计算在小宋一方，也可以计算在丈夫一方，两种不同方案的家庭个税差额是______元． 【答案】(1)见解析 (2)140 【分析】本题主要考查了百分数的应用，正确理解题意是解答本题的关键． （1）根据税费计算方法求解即可； （2）分别计算了两种不同方案的家庭个税额，再相减即可． 【详解】（1）小王现应纳个税为：（元） 因为（元）， （元）， 且小张现现应纳个税1290元， 所以小张的工资薪金在3级， 则小张超过12000元到25000元的部分所纳税： （元） 所以，小张工资薪金为（元） 小张原应纳税为：（元） 故填表为： 公民 工资薪金（元） 原应纳个税（元） 现应纳个税（元） 小王 9500 645 240 小张 18500 2745 1290 （2）方案一：假设子女教育和赡养老人专项附加扣除都在小宋一方扣除， 小宋应纳税所得额（元）， 纳税（元）， 丈夫应纳税所得额（元）， 不超过3000元部分纳税（元）， 超过3000元到12000元部分纳税（元）， 丈夫纳税（元）， 所以，家庭总纳税（元）； 方案二：假设子女教育和赡养老人专项附加扣除在丈夫一方扣除， 小宋应纳税所得额（元）， 小宋纳税（元）， 丈夫应纳税所得额（元）。 不超过3000元部分纳税（元）， 超过3000元到12000元部分为（元）， 这部分纳税（元）， 丈夫纳税元， 家庭总纳税（元）， 两种方案家庭个税差额（元） 故答案为：140． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲 有理数的乘法与除法（2大知识点+8大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 两个有理数的乘法运算 典型例题二 多个有理数的乘法运算 典型例题三 有理数乘法运算律 典型例题四 有理数的除法运算 典型例题五 有理数乘除混合运算 典型例题六 有理数四则混合运算 典型例题七 根据点在数轴的位置判断式子的正负 典型例题八 有理数四则混合运算的实际应用 知识点01 有理数的乘法 有理数乘法法则：（下列法则中a、b为正有理数，c为任意有理数） 两数相乘，同号得正，异号得负，积的绝对值两乘数的绝对值的积。任何数同0相乘，都得0。 即：=ab；=ab；=-ab；；=-ab；；。 有理数乘法的运算步骤：先确定积的符号，再确定积的绝对值。 多个有理数相乘：几个不是0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积为正数；负因数的个数是奇数时，积为负数，即“奇负偶正”。几个数相乘，如果其中有因数为0，那么积等于0。 多个有理数相乘的运算步骤：先用上面的方法确定符号，再将各乘数的绝对值相乘作为积的绝对值。 2.有理数乘法运算律 乘法交换律：一般地，有理数乘法中，两个数相乘，交换乘数的位置，积不变。即：。 乘法结合律：一般地，有理数乘法中，三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变。 即：。 乘法分配律：一般地，有理数乘法中，一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别与这两个数相乘，再把积相加。即：。 知识点02 有理数的除法 1）有理数除法法则1：除以一个不等于的数，等于乘这个数的倒数。即：，()。 有理数除法法则2：两数相除，同号得正，异号得负，且商的绝对值等于被除数的绝对值除以除数的绝对值的商。除以任何一个不等于的数，都得。 2）有理数除法的运算步骤：先将除法换成乘法，然后确定积的符号，最后求出结果。 有理数的乘除混合运算：先将除法换成乘法，然后确定积的符号，最后求出结果。 【典型例题一 两个有理数的乘法运算】 【例1】（2025·上海嘉定·模拟预测）计算：（    ） A．12 B．3 C． D． 【例2】（2025·上海闵行·模拟预测）定义运算：，如．则：（    ） A．1 B． C．2 D． 【例3】（24-25六年级上·上海青浦·期中）按照如图所示的操作步骤，若输入的值为，则输出的值为 ． 【例4】（2025·上海普陀·模拟预测）现定义一种新运算：对于任意有理数x、y，都有．例如：，则 ． 【例5】（24-25六年级上·上海虹口·期中）十二进制是一种逢12进1的计数制，采用数字和字母A，B共12个计数符号，这些符号与十进制的数字的对应关系如表： 十二进制 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B 十进制 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 (1)将十二进制数24转化为十进制数，写出转化过程； (2)用十二进制数表示的结果． 1．（24-25六年级上·上海宝山·期末）现规定一种运算：．则计算结果是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25六年级上·上海静安·期中）计算机中常用的十六进制是一种逢16进1的计数制，采用数字和字母共16个计数符号，这些符号与十进制的数字的对应关系如下表：例如，用十六进制表示，用十进制表示也就是，则用十六进制表示（   ） 十六进制 0 1 2 3 4 5 6 7 十进制 0 1 2 3 4 5 6 7 十六进制 8 9 A B C D E F 十进制 8 9 10 11 12 13 14 15 A． B．7 C． D． 3．（24-25六年级上·上海杨浦·阶段练习）定义关于有理数a，b的新运算：．例如：若，则．若，则的结果 ． 4．（24-25六年级上·上海长宁·期中）对于有理数，定义运算“@”：． (1)求的值； (2)分别求与的值，并判断运算“@”是否满足结合律． 5．（24-25六年级上·上海徐汇·期末）阅读计算：． 解：原式⋯⋯第一步 ⋯⋯第二步 ．……第三步 (1)开始出现错误的是第________步； (2)请写出这个计算题的正确解题步骤． 【典型例题二 多个有理数的乘法运算】 【例1】（24-25六年级上·上海松江·期末）有2025个有理数相乘，结果为0，那么这2025个数（   ） A．都为0 B．只有一个0 C．有两个数互为相反数 D．至少有一个0 【例2】（24-25六年级上·上海奉贤·阶段练习）若“！”是一种数学运算符号，并且，，，，……，则的值是为（  ） A． B．99！ C．9900 D．2！ 【例3】（24-25六年级上·上海杨浦·期末）用、、填空． 【例4】（24-25六年级上·上海崇明·阶段练习）若定义一种新的运算“*”，规定有理数，如．求： (1)； (2)． 【例5】（2025六年级上·上海长宁·专题练习）3个非零有理数相乘，在什么情况下积一定是负数？4个非零有理数相乘，在什么情况下积一定是负数？5个非零有理数相乘呢？你找出什么规律了吗？ 1．（24-25六年级上·上海宝山·期末）已知，，，，观察并找规律，计算的结果是（　　） A．42 B．120 C．210 D．840 2．（2024·上海嘉定·模拟预测）如果三个连续整数n、、的和等于它们的积，那么我们把这三个整数称为“和谐数组”，下列n的值不满足“和谐数组”条件的是（    ） A． B． C．1 D．3 3．（24-25六年级上·上海宝山·期中）如图，小天有5张写着不同数的卡片，从中抽出2张卡片，使卡片上的数相除，所得到的商最小，最小的商是 ，从中抽出3张卡片，使卡片上的数相乘，所得到的积最大，最大的积是 ． 4．（2025六年级上·上海松江·专题练习）计算． (1)； (2)； (3)； (4)． 5．（24-25六年级上·上海黄浦·期中）【观察思考】观察下列等式 ， 将以上三个等式两边分别相加得： ． 【探索规律】 （1）猜想并写出：______． （2）直接写出下列各式的计算结果： ______； 【迁移运用】 （3）． 【典型例题三 有理数乘法运算律】 【例1】（2025·上海闵行·模拟预测）下列计算结果最小的是（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25六年级上·上海徐汇·期中）如下是嘉淇对一道题的解题过程： ……第①步 ……第②步 ．……第③步 下列判断正确的是（    ） A．第①步运用了乘法交换律 B．第②步运用了乘法对加法的分配律，但结果错误 C．第②步的运算结果正确 D．第③步的结果是本题的正确结果 【例3】（24-25六年级上·上海闵行·课后作业）在算式每一步的后面填上该步运用的运算律： ． 【例4】（24-25六年级上·上海宝山·期中）小阳在做一道计算题：■时，不小心一滴墨水滴在了本子上，盖住了其中一个数字，导致他无法计算，在求助老师时老师告诉他：“被盖住的数字是4，7，10，11其中的一个，并且这道题直接用乘法结合律来计算会非常简便”，则被盖住的数字可能是 ． 【例5】（24-25六年级上·上海静安·期中）我们知道分配律，反过来可得，这叫分配律的逆用．请利用它计算： (1)； (2)． 1．（24-25六年级上·上海金山·阶段练习）下面各图中，不能说明与相等的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25六年级上·上海松江·期中）已知4个数，，，它们两两之和为5，8，9，11，12，15，则四个数的乘积的所有可能值为（    ） A．214和304 B．234和314 C．224和324 D．234和334 3．（24-25六年级上·上海普陀·阶段练习）甲、乙、丙三个数的平均数是，甲与乙的比是，乙与丙的比是，乙是 ． 4．（24-25六年级上·上海松江·期末）阅读与应用 计算时，若把与分别各看成一个整体，再利用分配律进行运算，可以大大简化难度．过程如下： 解：设为，为， 则原式．请用上面方法计算： (1)； (2)． 5．（24-25六年级上·上海青浦·期中）算筹是我国古代一种常用的数学工具，古人通常用算筹记数和进行数的简单运算．如图1，用算筹表示数字有两种方式：纵式和横式．我们可以使用纵横交替的十进制记数法表示数字．具体而言，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，依此类推．数字0要空位，在个位数上划上斜线以表示负数． 如“”表示38，“”表示1983． 【观察思考】 （1）请写出图2，图3中算筹表示的数为______，______． （2）利用算筹可以进行简单的加法运算，请同学们观察的计算步骤，并在第5步中填入正确的算筹摆放方式． 【迁移运用】 《孙子算经》对算筹乘法有详细阐述．将被乘数放在上排（上位），乘数放在下排（下位），乘数的个位对齐被乘数的最高位．上下排之间，留空几排，作中间积存放处．下图即为计算的演示步骤： （3）试用算式解释“利用算筹进行乘法运算”的原理； 【总结提升】 （4）观察以上计算过程，对比我们现在所使用的竖式计算，你有什么发现，请写出你的发现． 【典型例题四 有理数的除法运算】 【例1】（2025·上海嘉定·模拟预测）要使算式的运算结果为正数，则“”内应填入的运算符号为（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25六年级上·上海徐汇·期中）如表中和两个量成反比例关系，则“△”处应填（   ） 5 △ 7 14 A． B． C． D． 【例3】（24-25六年级上·上海闵行·期末）对非零有理数，定义一种运算，其规则是：，则 ． 【例4】（24-25六年级上·上海松江·期末）如图，天平的两个盘内分别盛有和的糖，问应从盘A中拿出 糖放到盘B中，才能使两者所盛糖的质量相等？ 【例5】（24-25六年级上·上海奉贤·期中）【阅读材料】 当有理数不等于0时， 把2个相同的有理数的除法运算记作； 把3个相同的有理数的除法运算记作； 把4个相同的有理数的除法运算记作； … 特别地，规定． 【解决问题】 (1)若，则______； (2)求； (3)计算：． 1．（24-25六年级上·上海普陀·期中）若，且，，，……，，这个数中有个正数，则的值为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25六年级上·上海长宁·单元测试）实数，，，满足，，，，，则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 3．（24-25六年级上·上海虹口·期中）如果a、b、c是非零有理数, 那么所有可能的值为 ． 4．（24-25六年级上·上海金山·阶段练习）计算： (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12) 5．（24-25六年级上·上海松江·期中）阅读下列材料并解决有关问题：我们知道，所以当时，；当时，，现在我们可以用这个结论来解决下面问题： (1)已知，是有理数，当时，求的值 (2)已知，，是有理数，当，求的值 (3)已知，，是有理数，，，求的值． 【典型例题五 有理数乘除混合运算】 【例1】（24-25六年级上·上海宝山·期中）计算的结果等于（    ） A．10 B． C．5 D． 【例2】（24-25六年级上·上海静安·阶段练习）有一间客厅，用面积是36平方分米的方砖铺地，需要96块．如果改用边长是80厘米的方砖铺地，需要（    ）块 A．24 B．34 C．44 D．54 【例3】（24-25六年级上·上海长宁·期末）如图，按程序框图中的顺序计算，当输入的初始值x为32时，则输出的最后结果为 ． 【例4】（24-25六年级上·上海崇明·期中）在一个遥远的魔法世界里，有一个神秘的圆环，它被称为“五二○圆环”．圆环被九条线段均匀分成了的九个部分，每个部分里会隐藏着一个数字，如果你找出了全部的数字，那么你将被授予“五二○大王”的称号．如图所示，这九个数字中相邻的连续三个数之积均为520，则x的值为 ． 【例5】（24-25六年级上·上海杨浦·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 1．（24-25六年级上·上海虹口·期中）a是不为2的有理数，我们把称为a的“伴随数”，如3的“伴随数”是的“伴随数”是，已知是的“伴随数”是的“伴随数”，是的“伴随数”，…，以此类推，则等于（   ） A． B． C． D．4 2．（24-25六年级上·上海闵行·阶段练习）如图，阶梯图的每个台阶上都标有一个数，数列呈现一定的符号变化规律和绝对值的变化规律，请计算（   ）    A．1013 B．1011 C．0 D．以上都不对 3．（24-25六年级上·上海宝山·阶段练习）已知a是有理数，表示不超过a的最大整数，如等，那么 ． 4．（2024六年级上·上海徐汇·模拟预测）中考新趋势·新定义若规定：，例如：，试求的值． 5．（24-25六年级上·上海静安·阶段练习）阅读材料：我们知道有限小数可以化为分数，那么无限循环小数是如何化为分数的呢？观察下面将一个无限循环小数化为分数的过程．…是一个以47为循环节的无限循环小数，将它扩大到100倍，把第一个循环节移到小数点之前，得到：…，发现小数点后仍然是循环节为47的无限循环小数，即小数点后仍是原数，即：．由此可知，所以．根据以上阅读材料，回答下列问题： (1)是以______为循环节的无限循环小数，将化为分数结果为______； (2)将化为分数形式，并写出推导过程； (3)将化为分数结果为______（注：以189为循环节的无限循环小数）． 【典型例题六 有理数四则混合运算】 【例1】（24-25六年级上·上海松江·期末）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【例2】（2025·上海闵行·模拟预测）定义一种新运算：  ． 如：  ，则  的值为(   ) A． B． C． D． 【例3】（24-25六年级上·上海杨浦·期中）定义新运算：，计算 ． 【例4】（24-25六年级上·上海嘉定·期中）我们知道，每个自然数都有因数，对于一个自然数，我们把小于的正的因数叫做的真因数．如10的正因数有1，2，5，10，其中1，2，5是10的真因数，把一个自然数的所有真因数的和除以，所得的商叫做的“完美指标”，如10的完美指标是，一个自然数的“完美指标”越接近1，我们就说这个数越“完美”．那么28的“完美指标”是 ． 【例5】（24-25六年级上·上海长宁·期中）下面是乐乐同学进行有理数运算的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解： 第一步 第二步 第三步 ．第四步 任务： (1)填空： ①以上运算步骤中，第一步依据的运算律是　　； ②第　　步开始出现错误，错误的原因是　　． (2)请直接写出正确的计算结果． 1．（2025·上海虹口·模拟预测）数学里，通常把式子叫做二阶行列式，并规定它的运算法则为，如，那么计算的结果为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25六年级上·上海普陀·期中）数学符号是数学学科中用来表示数量关系和空间形式的符号系统，它们具有高度的抽象性和简洁性．在数学中，记．，，，…，．则的值为（    ） A． B．0 C．1 D．2 3．（24-25六年级上·上海奉贤·期中）有两组数，第一组：，，，，；第二组：，，，．从第一组数中任取一个数与第二组数中任取一个数相乘，则所有乘积的总和是 ． 4．（24-25六年级上·上海长宁·期中）观察下列各式： ，，， (1)根据以上式子的特点完成下列各题： ①___________；②___________（n是正整数）． (2)计算： (3)探究并计算： ． 5．（2025·上海宝山·模拟预测）如图，容器中装有5个小球，小球上分别标有数字：，0，5，2，．现从容器中随机摸出四个小球，对小球上的数字进行运算． (1)①若摸出的四个小球上分别标有2，，0，，计算：； ②若摸出的四个数字的积不为0，求这四个数字的和； (2)将摸出的四个小球上的数字按一定顺序填入“”中的“□”内，计算所得算式的结果，直接写出计算结果的最小值． 【典型例题七 根据点在数轴的位置判断式子的正负】 【例1】（2025·上海长宁·模拟预测）实数在数轴上的对应点的位置如图所示，实数满足条件，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25六年级上·上海松江·期中）有理数a，b，c，d在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列选项中：①如果，则一定会有；②如果，则一定会有；③如果，则一定会有；④如果，则一定会有．正确的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【例3】（24-25六年级上·上海闵行·阶段练习）有理数a、b在数轴上的位置如图所示，请用“”连接a、b、、为 ． 【例4】（24-25六年级上·上海徐汇·课后作业）已知a，b，c三个数在数轴上的对应点如图所示，用“”或“”号填空． （1）a 0；    （2）c 0； （3）a b；    （4）ac bc； （5） ； （6） ． 【例5】（24-25六年级上·上海普陀·阶段练习）有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，且． (1)填空： 0； 0．（“＜”或“＞”或“＝”填空） (2)化简代数式：． 1．（24-25六年级上·上海静安·期末）已知是有理数，且，下列结论：①；②；③；④若，是有理数，且满足，则．其中正确的是（   ） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 2．（24-25六年级上·上海黄浦·阶段练习）如图，数轴上，两点所表示的数分别为，，且，，则原点的位置在（    ） A．点的右边 B．点的左边 C．，两点之间，且靠近点 D．，两点之间，且靠近点 3．（24-25六年级上·上海静安·课后作业）有理数，在数轴上的位置如图所示，用不等号填空． （1） ；（2） ；（3） ； （4） ；（5） ． 4．（24-25六年级上·上海普陀·阶段练习）有理数a、b、c在数轴上的位置如图： (1)用“”或“”填空：a_____0，_____0，_____0，_____． (2)化简： 5．（24-25六年级上·上海嘉定·期中）有理数a，b，c在数轴上的对应点的位置如下图所示： (1)在横线上填入“”或“”：______ 0，______ 0，______ 0 (2)在数轴上找出表示的点； (3)用“”将连接起来． 【典型例题八 有理数四则混合运算的实际应用】 【例1】（24-25六年级上·上海宝山·期中）一台电视机的原价是3200元，先提价，再打九折销售，这台电视机现在的价格是（   ）元． A．3520 B．3168 C．3210 D．3028 【例2】（2025·上海松江·模拟预测）据我国古代《易经》记载，远古时期人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳记数”．如图，一位老者在从右到左依次排列的绳子上打结，满五进一（例如：图中第2根上的一个绳结表示5个，第3根上的一个绳结表示个），用来记录采集到的野果的个数．若他一共采集到了47个野果，则在第2根绳子上的绳结数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【例3】（24-25六年级上·上海嘉定·期末）毛利率的计算公式为：毛利率，若商品每千克进价为元，售价为元，则商品每千克的毛利率为 ． 【例4】（2025·上海闵行·模拟预测）记里鼓车，又称记里车、大章车，是我国古代用来记录车辆行过距离的马车，构造与指南车相似，如图，车有上下两层，每层各有木制机械人，手执木槌，下层木人打鼓，车每行一里路，敲鼓一下，上层机械人敲打铃铛，车每行十里，敲打铃铛一次，设一古人从城驾车到城，铃铛和鼓一共恰好响了次，则，两城的距离是 里． 【例5】（2025六年级上·上海宝山·专题练习）目前，我市居民用电的电价是元/千瓦•时．安装分时电表的居民实行分段电价，收费标准见下表： 时段 峰时（） 谷时（次日） 电价（元/千瓦•时） 赵敏家两个月用电千瓦•时，谷时用电量是用电总量的．安装分时电表前，赵敏家两个月的电费是多少元？安装分时电表后，她家两个月的电费是多少元？ 1．（24-25六年级上·上海徐·阶段练习）李老师逛超市时看中一套碗，她将碗叠成一列（如图），测量后发现：用2个碗叠放时总高度为，用4个碗叠放时总高度为．若将8个碗叠成一列能放入消毒柜，则这个消毒柜的内置高度至少有（    ） A． B． C． D． 2．（2025·上海松江·模拟预测）干支纪年法是中国历法上的传统文化，干支是天干和地支的总称干支纪年法的组合方式是天干在前，地支在后，以十天干和十二地支循环配合（如对照表），60年为一个循环．我们把天干、地支按顺序排列，且给它们编上序号，天干的计算方法是：年份减3．除以10所得的余数对应天干栏中的汉字即为天干：地支的计算方法是年份减3．除以12所得的余数对应地支栏中的汉字即为地支：属相的计算方法与地支一致．依据上述规律推断，2037年为（   ） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 … 天干 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸 … 地支 子 丑 寅 卯 辰 巳 午 未 申 酉 戌 亥 … 属相 鼠 牛 虎 兔 龙 蛇 马 羊 猴 鸡 狗 猪 … A．戊酉鸡 B．丁巳蛇 C．丙申猴 D．己辰龙 3．（2025·上海杨浦·模拟预测）某生态农场有三项任务需要完成，如下表： 任务 每轮任务耗时（小时） 需完成轮数 每轮需要工人数 A．有机肥料运输 2 3 B．智能系统调试 2 1 1 C．温室环境监测 3 2 不同类型任务切换需0.2小时准备时间，相同任务的不同轮次可以同时进行，且每轮任务一旦开始不能中途停止．农场现有3名工人，请回答下列问题： （1）若需要先完成A任务，再完成剩余的两项任务，请判断：这3名工人 （填“能”或“不能”）在小时内完成全部三项任务； （2）为了加快完成任务，现增加2名工人，则这5名工人完成全部三项任务的最短用时为 小时． 4．（24-25六年级上·上海·阶段练习）一间教室长米、宽米、高米，门窗面积平方米．要粉刷教室墙壁和顶面，如果每平方米用涂料千克，一共需要涂料多少千克？ 5．（24-25六年级上·上海青浦·期中）如图，小明家在点，学校在点，中间有道路相连，线段上的点，代表十字路口（十字路口处道路的长度忽略不计）．已知：，，；，两个路口都有红绿灯，对于方向的车辆和行人，每天早上、、、的时间段内，两个路口都是绿灯，其它时间段都是红灯；小明每天早上准时从家出发，不晚于到达学校；为确保安全，他的骑行速度不超过，并且只在绿灯时通过路口（如果到达路口时恰好遇到红灯变绿灯或绿灯变红灯，也可以立即通过路口）． (1)若小明的骑行速度保持为，他将在_____（填时刻）到达学校； (2)若小明骑行过程中不遇到红灯，并且骑行速度始终不变，那么他的骑行速度最大可以是_____，最小可以是_____． ÷ 1．（24-25六年级上·上海松江·阶段练习）下列式子中，积的符号为负的是（     ） A． B． C． D． 2．（24-25六年级上·上海普陀·阶段练习）将下列运算符号填入算式的“”中，使运算结果最小的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25六年级上·上海闵行·期中）表示小于或等于该数的正整数的积，例如：，则为（   ） A．9989 B．9900 C．9910 D．9920 4．（24-25六年级上·上海静安·期中）若在正方形的四个顶点处依次标上“我”“爱”“数”“学”四个字，且将正方形放置在数轴上，其中“我”“爱”对应的数分别为和，如图，现将正方形绕着顶点按顺时针方向在数轴上向右无滑动地翻滚．例如，第一次翻滚后“数”所对应的数为0，则连续翻滚后数轴上数2024对应的字是（   ） A．我 B．爱 C．数 D．学 5．（2025·上海松江·模拟预测）某省公布的居民用电阶梯电价方案如下： 第一档电量 第二档电量 第三档电量 月用电量210度以下，每度价格元 月用电量210度至350度，每度比第一档提价元 月用电量350度以上，每度比第一档提价元 例：若某户月用电量400度，则需交电费为（元）以此方案请你回答：若小华家某月的电费为元，下列说法正确的是（   ） （1）当时，小华家的用电量在第一档； （2）当时，小华家的用电量在第二档； （3）当时，小华家的用电量在第三档， A．（1） B．（1）（2） C．（1）（3） D．（1）（2）（3） 6．（24-25六年级上·上海闵行·期中）比较大小 0（“”，“”或“”）． 7．（24-25六年级上·上海普陀·期末）生活中常用的十进制是用0∼9这十个数字来表示数，满十进一，例如：；计算机也用八进制来表示字符代码，它是用0∼7这八个数字来表示数，满八进一，例如：八进制数12对应十进制的数为，八进制数235对应十进制的数为，那么八进制数365对应十进制的数为 ． 8．（24-25六年级上·上海静安·阶段练习）小刚遇到这样一道题：，觉得直接计算括号内通分较为复杂，经过思考后他采用先计算：的方法．小刚之所以这样计算是发现它们的结果的数量关系是 ，计算的结果是 ． 9．（24-25六年级上·上海青浦·期中）在数轴上，有理数，的位置如图，将a与b的对应点间的距离六等分，这五个等分点所对应的数依次为，，，，，且，．下列结论： ；；；． 其中所有正确结论的序号是 ． 10．（24-25六年级上·上海奉贤·阶段练习）如图，在长方形中，，，，已知涂色部分甲的面积=涂色部分乙的面积，则 ． 11．（24-25六年级上·上海金山·期中）计算 (1)； (2)； (3)； (4)． 12．（24-25六年级上·上海青浦·期末）若定义一种新运算“*”，规定：有理数，如：． (1)求的值． (2)求的值． 13．（2025·上海闵行·模拟预测）已知在纸面上有一数轴（如图），折叠纸面． (1)若2表示的点与表示的点重合，则表示的点与哪个数表示的点重合； (2)若表示的点与2表示的点重合，回答以下问题： ①1表示的点与哪个数表示的点重合； ②若数轴上、两点之间的距离为5（在的左侧），且、两点经折叠后重合，求、两点表示的数是多少？ 14．（24-25六年级上·上海静安·期中）小丽同学做一道计算题的解题过程如下： 解：原式    …………第一步     …………第二步         …………第三步         …………第四步 根据小丽的计算过程，回答下列问题： (1)小丽在进行第一步时，运用了乘法的______律； (2)她在计算中出现了错误，其中你认为在第______步开始出错了； (3)请你给出正确的解答过程． 15．（24-25六年级上·上海普陀·阶段练习）阅读材料后，请解答下面的问题，并把答案以及解答过程写在答题纸上： (1)材料1：2018年9月7日，财政部、国家税务总局发布《关于2018年第四季度个人所得税减除费用和税率适用问题的通知》明确纳税人在2018年10月1日后实际取得的工资薪金所得，个税起征点由每月3500元提高至每月5000元． 级数 原来（每月）工资薪金 现行（每月）工资薪金 税率 0 3500元 5000元 免税 1 不超过1500元的部分 不超过3000元的部分 2 超过1500元到4500元的部分 超过3000元到12000元的部分 3 超过4500元到9000元的部分 超过12000元到25000元的部分 4 超过9000元到35000元的部分 超过25000元到35000元的部分 … … 根据材料1，完成下列表格填空： 公民 工资薪金（元） 原应纳个税（元） 现应纳个税（元） 小王 9500 645 小张 1290 (2)材料2：2019年1月1日起正式实施《中华人民共和国个人所得税法》．根据新修订的个税法，今后计算个税应纳税所得额（计税金额），在5000元免税的基础上，还可享受多个专项附加扣除免税，简略描述如下表． 子女教育 赡养两位老人 住房贷款 继续教育 租房租金 大病医疗 每个子女每月扣除1000元 每月扣除2000元 每月扣除1000元 每月扣除400元或300元 每月扣除1200、1000或800元 每年扣除60000元限额（据实） 根据材料2，小宋与丈夫都是独生子女，需要赡养四位老人和养育两个小孩，小孩在读小学和中学．小宋每月工资薪金为10000元（申报赡养两位老人），丈夫每月工资薪金为16000元（申报赡养两位老人）．那么请问“养育两个孩子的教育费用”扣除额可以计算在小宋一方，也可以计算在丈夫一方，两种不同方案的家庭个税差额是______元． 学科网（北京）股份有限公司 $$