第01讲 有理数的引入 衔接讲义（7大知识点+10大典例+变式训练+过关检测）-（暑期衔接课堂）2025－2026学年六年级上册数学（沪教版2024）

第01讲 有理数的引入（7大知识点+10大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 正数和负数的定义 典型例题二 倒数 典型例题三 相反数的定义 典型例题四 有理数的定义 典型例题五 求一个数的绝对值 典型例题六 有理数大小比较 典型例题七 利用数轴比较有理数的大小 典型例题八 数轴上两点之间的距离 典型例题九 数轴上的动点问题 典型例题十 正负数的实际综合应用 知识点01 正数与负数 1. 负数的由来 为了能简明表示一些具有相反意义的量，引入了负数。 2. 正数和负数 正数就是我们小学学过的除零以外的所有数，即大于零的数叫做正数。根据需要有时候在正数前面加上“+”（正） 3. 0既不是正数也不是负数 4.非负数：0和正数统称为非负数；则非正数是指0和负数 知识点02 倒数 1）倒数的概念：乘积是的两个数互为倒数。 2）倒数的性质：（1）倒数是成对出现的，单独一个数不能称为倒数。（2）没有倒数。（3）互为倒数的两个数的乘积一定是，即，互为倒数，则；反之亦然． 3）求一个非零有理数的倒数，把它的分子和分母颠倒位置即可。 （1）非零整数可以看作分母为的分数后再求倒数；（2）带分数一定要先化成假分数之后再求倒数。 知识点03 有理数的相关概念 1）整数：正整数、、负整数统称为整数。 2）分数：正分数、负分数统称为分数。 正分数：像，0.24，等这样的数叫作正分数； 负分数：像，－3.56等这样的数叫作负分数； 有限小数和无限循环小数可以化为分数，所以它们也是分数。 3）有理数：可以写成分数形式的数称为有理数，即有理数都可以表示为（p、q均为整数，且p不为0）。 正有理数：可以写成正分数的形式的数为正有理数； 负有理数：可以写成负分数的形式的数为负有理数； 整数和分数统称为有理数。 4） 有理数的两种分类： 知识点04 数轴 1） 数轴定义：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。 原点、正方向和单位长度是数轴的三要素． 原点将数轴分为两部分，其中正方向一侧的部分叫数轴的正半轴，另一侧的部分叫数轴的负半轴。 2）数轴的画法 ①画一条水平的直线（一般画水平的数轴）； ②在这条直线上适当位置取一实心点作为原点； ③确定向右的方向为正方向，用箭头表示； ④选取适当的长度作单位长度，用细短线画出，并对应标注各数，同时要注意同一数轴的单位长度要一致。 3）有理数与数轴的关系 ①一切有理数都可以用数轴上的点表示出来。 ②数轴上的点并不全是有理数，如也可以在数轴上表示，但并不是有理数。 ③正有理数位于原点的右边，负有理数位于原点的左边。 ④与原点的距离是a（a>0），在数轴上可以是a（存在多解的情况）。 注：要确定在数轴上的具体位置，必须要距离+方向。 知识点05 相反数的意义 互为相反数的两个数在数轴上对应的点应分别位于原点两侧，且到原点的距离相等。 求任意一个数的相反数，只要在这个数的前面添上“”号即可（当然最后结果如果出现多重符号需要化简）。 知识点06 多重符号的化简 1、一个正数前面不管有多少个“”号，都可以全部去掉； 2、一个正数前面有偶数个“”号，也可以把“”号全部去掉； 3、一个正数前面有奇数个“”号，则化简后只保留一个“”号。 口诀“奇负偶正”，其中“奇偶”是指正数前面的“”号的个数，“负、正”是指化简的最后结果的符号。 注意：此判断方法是在没有其它运算的情况下适用，如出现其它运算，要视具体情况而论。 知识点07 绝对值 1、绝对值的概念：一般地，数轴上表示数的点与原点的距离叫做数的绝对值，记作。 2、绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是数轴上表示数的点与原点的距离。 3、绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；的绝对值是。 即：（1）如果，那么；（2）如果，那么；（3）如果，那么． 可整理为：，或，或。 4、绝对值具有非负性，取绝对值的结果总是正数或．即：。 【典型例题一 正数和负数的定义】 【例1】（23-24六年级上·上海青浦·期中）如图所示是某用户微信账单截图，其中“”表示的意思是（   ） A．购物支出11元 B．收到退款11元 C．抢到红包11元 D．经营收入11元 【例2】（24-25六年级上·上海嘉定·期中）在，，，0.3，0，3中，负数的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【例3】（24-25六年级上·上海宝山·阶段练习）《夏阳候算经》说：“满六以上，五在上方．六不积算，五不单张．”意思就是说，在用算筹计数时，1~5分别以纵横方式排列相应数目的算筹来表示，6~9则以上面的算筹再加下面相应的算筹来表示，我国是世界上最早使用负数的国家，在《九章算术》中，记载了我国古代在算筹上面斜着放一支算筹表示负数的方法． 如： “”表示+238，则“”表示． 那么，“”表示的数是 ． 【例4】（23-24六年级上·上海杨浦·阶段练习）将下列各数填入表示它所在集合的圈里． 5，，，，，，，．    1．（23-24六年级上·上海金山·阶段练习）下列四组数中，其中每组三个都不是负数的是（    ） ①2，，；②，，0；③，，；④，，0 A．①、② B．①、③ C．②、④ D．③、④ 2．（24-25六年级上·上海静安·阶段练习）已知一组数：，，，，0，把这些数分别填在下面对应的集合中：①负数集合： ；②整数集合： ；③非负数集合： ； 3．（2024·上海松江·模拟预测）课堂上，老师给出四个有理数，借助中的运算符号，引导学生们做如下练习： (1)计算：； (2)嘉嘉写下这样的式子：，请帮她补全“□”中的运算符号，使运算结果为实数中最小的非负数； (3)对于式子：，补全“□”中的运算符号，使运算结果为正整数．并写出运算过程． 4．（23-24六年级上·上海奉贤·期中）如图，在5×5的方格（每小格边长为1）内有1只甲虫A，它爬行规律总是先左右，再上下．规定：向右与向上为正，向左与向下为负．从A到B的爬行路线记为：A→B（+1，+4），从B到A的爬行路线为：B→A（﹣1，﹣4），其中第一个数表示左右爬行信息，第二个数表示上下爬行信息． （1）图中B→D（　 　，　 　），C→　 　（+1，　 　）； （2）若甲虫A的爬行路线为A→B→C→D，计算甲虫A爬行的路程？ （3）若甲虫A的爬行路线依次为（+2，+3），（﹣2，+1），（+3，﹣5），（﹣4，+2），最终到达点P处，请在图中标出甲虫A的爬行路线示意图及最终点P的位置． 【典型例题二 倒数】 【例1】（2025·上海虹口·模拟预测）的倒数是（  ） A． B． C． D． 【例2】（24-25六年级上·上海徐汇·期中）下列说法正确的是（   ） A．与的指数相同，底数不同 B．一定是负数 C．在数轴上，距离原点越远的点表示的数越大 D．减去一个数等于加上这个数的倒数 【例3】（24-25六年级上·上海宝山·期末）的相反数是 ，7绝对值数是 ，倒数是 ． 【例4】（2024六年级上·上海嘉定·专题练习）（倒数法）比较和的大小． 1．（24-25六年级上·上海静安·期末）有理数的倒数是（     ） A． B． C． D． 2．（23-24六年级上·上海松江·期中）若两个数的积为，我们称它们互为负倒数，则3的负倒数是 ． 3．（24-25六年级上·上海金山·期中）若互为相反数且都不为零，互为倒数，，求的值． 4．（24-25六年级上·上海静安·阶段练习）数学老师熊老师在课堂上布置了一道思考题“计算”，小雷同学仔细思考了一番，用了一种不同的方法解决了这个问题，小雷同学的解法： 原式的倒数为，所以． (1)根据倒数的定义我们知道，若，则________． (2)请你运用小雷同学的解法解答下面的问题： 计算：． 【典型例题三 相反数的定义】 【例1】（2025·上海宝山·模拟预测）的相反数为（   ） A．2 B． C． D． 【例2】（2025·上海崇明·模拟预测）如图，数轴上点P表示的数的相反数是（    ） A． B．0 C．1 D．2 【例3】（24-25六年级上·上海普陀·期中）下面各组数中：①和；②和；③和；④和；⑤和；⑥和．互为相反数的是 （填序号）． 【例4】（2024六年级上·上海金山·专题练习）（1）分别写出和的相反数； （2）a的相反数是2.4，写出a的值． 1．（2025·上海徐汇·模拟预测）如果表示零上20度，则零下20度表示（   ） A． B． C． D． 2．（2024六年级上·上海长宁·专题练习）用“”与“”表示一种法则：，，如，则 ． 3．（2024六年级上·上海静安·专题练习）数轴上点表示，B，C两点表示的数互为相反数，且点到点的距离是2，求点所表示的数． 4．（23-24六年级上·上海宝山·阶段练习）（1）若a、b互为相反数，，求的值． （2）已知，a、b互为相反数，求b的值． 【典型例题四 有理数的定义】 【例1】（24-25六年级上·上海静安·期中）在数2，0，，，4.8中，有理数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【例2】（24-25六年级上·上海徐汇·期末）身份证号码含有很多个人信息：前6位是地区代码；位是出生日期；位是顺序码；第17位奇数表示男性，偶数表示女性；第18位是校验码．下面是小明的爷爷、爸爸、妈妈以及小明四人的身份证号码（*为最后一位隐藏的校验码），你认为小明的妈妈的身份证号码应该是（  ） A． B． C． D． 【例3】（24-25六年级上·上海奉贤·期中）把下列各数填入相应的大括号中： 5，，1，，，，，325，0，，． 正数：{ …}； 负数：{ …}； 非负整数：{ …}； 负分数：{ …}． 【例4】（24-25六年级上·上海松江·期中）把下列各数对应的序号填在相应的括号里． ①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧，⑨，⑩（每两个之间多一个） 负有理数集合：________ …； 正分数集合：________ …； 自然数集合：________ …； 非正整数集合：________ …． 1．（2024七年级·上海青浦·模拟预测）已知都是整数，则和中（    ） A．必定都是整数 B．必定有两个是整数 C．必定有一个是整数 D．可能都不是整数 2．（2024六年级上·上海闵行·专题练习）在…（每两个1之间0的个数逐次增加1）中正数有m个，非负整数有n个，正分数有k个，则 ． 3．（24-25六年级上·上海松江·期中）把下列各数相应的数填入相应的横线内： ，，，，，，，． 正数有： ； 有理数有： ； 分数有： ； 非负整数有：   ． 4．（2024六年级上·上海徐汇·专题练习）黑板上有10个有理数，小明说“其中有6个正数”，小红说“其中有6个整数”，小华说“其中正分数的个数与负分数的个数相等”，小林说“负数的个数不超过3个”．请你根据四位同学的叙述判断这10个有理数中共有几个负整数． 【典型例题五 求一个数的绝对值】 【例1】（2025·上海松江·模拟预测）的绝对值是（   ） A．2 B． C． D． 【例2】（2025·上海普陀·模拟预测）下表记录了我国四个直辖市某年一月份的平均气温，其中气温最低的是（    ） 北京 上海 天津 重庆 A．北京 B．上海 C．天津 D．重庆 【例3】（2024六年级上·上海杨浦·专题练习）绝对值大于1且小于5的整数有 个，它们分别是 ． 【例4】（2024六年级上·上海静安·专题练习）（1）绝对值是的数有几个，各是什么？ （2）绝对值是的数有几个，各是什么？ （3）有没有绝对值是的数？为什么？ 1．（24-25六年级上·上海徐汇·期末）若，则m的值为（   ） A．或 B． C．2或 D． 2．（24-25六年级上·上海嘉定·阶段练习）下列说法：①若，则x为负数；②若不是负数，则a为非正数；③；④若，，则．其中正确的结论有 ．（填序号） 3．（24-25六年级上·上海宝山·期中）［核心素养］阅读材料：当时，有，即时，的绝对值是它本身；当时，，即0的绝对值是0；当时，有，即时，的绝对值是它的相反数．综合上述讨论可得：当时，；当时，．这种分析方法体现了数学中常用的分类讨论思想．请根据材料解答下列问题： (1)比较大小：（填“”“”或“”）； (2)请仿照上述分类讨论的方法，分析与的大小关系． 4．（24-25六年级上·上海杨浦·期中）【课本再现】 材料一：苏科版（）数学教材六年级上册这一节中，介绍了：一般地，数轴上表示一个数的点到原点的距离叫作这个数的绝对值，数的绝对值记为，读作“的绝对值”． （1）若数轴上的点，，表示的数分别为、、，则表示________之间的距离，表示________之间的距离． （2）若，，则________． 【迁移尝试】 材料二：在综合实践课上，王老师和鹿鸣学堂“数学趣味推理”社团的同学们一起进一步研究了绝对值，发现： ，，， （3）观察上面的数量关系，可以归纳得到：当，满足________时，；当，满足________时，． 【拓展应用】 （4）若，，则的值为多少？（友情提示：①无过程不得分；②用超出已学知识解答不得分） （5）当、、满足什么条件时，．（请直接写出结果，不需过程） 【典型例题六 有理数大小比较】 【例1】（2025·上海虹口·模拟预测）下列四个数中，比小的数是（　　） A．0 B． C． D． 【例2】（2025·上海宝山·模拟预测）锦州是闻名遐迩的苹果之乡，锦州苹果以果型端正、色泽鲜艳、汁多爽口而著称．若每筐锦州苹果的标准质量是10千克，超过的千克数记为正数，不足的千克数记为负数，则下列4筐锦州苹果中，最接近标准质量的是（　　） A． B． C． D． 【例3】（24-25六年级上·上海嘉定·期中）比较大小：（1） ，（2） ；（3） （填“”、“”或“”）． 【例4】（24-25六年级上·上海青浦·期中）解答下列问题． (1)如图所示，下面两个图分别表示负数集合和分数集合，请你把下列各数填入相应的集合． 3.5，，0，，，3， (2)在（1）图中两个集合的重叠部分表示______数的集合． (3)写出（1）图中两个集合的重叠部分中的最大的数和最小的数． 1．（24-25六年级上·上海黄浦·阶段练习）下列各组数中，大小关系正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25六年级上·上海浦东新区·期末）A，B是数轴上位于原点O异侧的两点（点A在点B的右侧），若点A，B分别对应的有理数为a，b．且，则a，b，，中最大的数是（    ） A．a B． C．b D． 3．（2025·上海杨浦·模拟预测）分数的整数部分是 ． 4．（24-25六年级上·上海奉贤·期中）在数轴上表示以下各数：，，，，，，，， 并将它们的相反数用“”符号连接起来． 【典型例题七 利用数轴比较有理数的大小】 【例1】（2025·上海金山·模拟预测）如图，数轴上的数，，，中，小于的是（     ） A．a B．b C．c D．d 【例2】（2025·上海静安·模拟预测）若将下面的四个有理数表示在数轴上，则位于最左边的是（    ） A． B． C． D．3 【例3】（24-25六年级上·上海徐汇·期中）已知a，b在数轴上的位置如图所示，则 （用“>”或“<”填空）． 【例4】（24-25六年级上·上海青浦·期中）在数轴上表示下列各数，并用“”把这些数连接起来． ，，，，． 1．（2024六年级上·上海普陀·模拟预测），在数轴上的位置如图．则在，，，中负数的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（24-25六年级上·上海奉贤·期末）如果，，，那么，，，的大小顺序为 ． 3．（24-25六年级上·上海闵行·阶段练习）把下列各数在数轴上表示出来，并按从小到大的顺序用“”连接起来．，，，，，， 4．（24-25六年级上·上海闵行·期中）如图，数轴上的点表示的数是． (1)在数轴上标出原点，并指出点所表示的数是 ； (2)在数轴上有一点，它与点的距离为个单位长度，那么点表示的数是 ； (3)在数轴上表示下列各数，并用“”号把这些数按从小到大连接起来． 【典型例题八 数轴上两点之间的距离 】 【例1】（23-24六年级上·上海嘉定·期中）在数轴上到原点距离等于5的点所表示的数为（  ） A． B． C．5 D．不能确定 【例2】（24-25六年级上·上海杨浦·期中）如图，将刻度尺放在数轴上，让和刻度线分别与数轴上表示2和4的两点重合对齐，则数轴上与刻度线对齐的点表示的数为（   ）    A． B．0 C．1 D．2 【例3】（24-25六年级上·上海崇明·阶段练习）如图，在数轴上点表示的数是3，点被墨水遮住了，已知，则点表示的数为 ． 【例4】（24-25六年级上·上海青浦·阶段练习）数轴上不重合的三个点，若其中一点到另外两点的距离的比值为，则称这个点是另外两点的n阶伴侣点．如图，O是点A、B的1阶伴侣点；O是点A、C的2阶伴侣点；O也是点B、C的2阶伴侣点． (1)如图，C是点A、B的______阶伴侣点； (2)若数轴上两点M、N分别表示和4，则M、N的阶伴侣点所表示的数是多少？ 1．（24-25六年级上·上海长宁·阶段练习）点为数轴上表示的点，则距点个单位长度的点所表示的数为（    ） A． B． C．或 D．不同于以上答案 2．（24-25六年级上·上海虹口·阶段练习）如图，一条数轴上有三个不同的点A，B，C，其中点A，B表示的数分别是，8，现以点C为折点，将数轴向右对折，若对折后的点A到点B的距离为4，求点C表示的数．甲答：点C表示的数为；乙答：点C表示的数为；丙答：点C表示的数为0．则下列说法正确的是（    ） A．只有甲答的对 B．甲、乙的答案合在一起才完整 C．乙、丙的答案合在一起才完整 D．三人的答案合在一起才完整 3．（2024六年级上·上海宝山·专题练习）a与b互为相反数，a在b的右边，且表示a的点到表示b的点的距离为9，则 ． 4．（24-25六年级上·上海杨浦·期中）如图1，点，，是数轴上从左到右排列的三个点，分别对应的数为，，．某同学将刻度尺按如图2所示的方式放置，使刻度尺上的数字对齐数轴上的点，发现点对齐刻度，点对齐刻度． (1)在图1的数轴上，_____个单位长度，点所对应的数为_____；数轴上的一个单位长度对应刻度尺上的． (2)若是数轴上一点，且满足，通过计算，求点所对应的数． 【典型例题九 数轴上的动点问题】 【例1】（24-25六年级上·上海长宁·期中）在数轴上点如图所示，将点在数轴上右移7个单位到达点，则点所表示的数为（   ） A．7 B．2 C． D． 【例2】（24-25六年级上·上海静安·期中）把笔尖放在数轴的原点，沿数轴先向左（负方向）移动6个单位长度，再向右移动3个单位长度，用算式表示上述过程与结果，正确的是（   ） A． B． C． D． 【例3】（24-25六年级上·上海徐汇·期中）如图，数轴上的一个点，从原点出发沿着数轴先向右移动3个单位长度，再向左移动5个单位长度，到达原点左边2个单位长度处．请用算式表示图中的运算过程 【例4】（24-25六年级上·上海宝山·阶段练习），分别是数轴上两个不同点，所表示的有理数，且，，，两点在数轴上的位置如图所示： (1)试确定数，； (2)若点在数轴上，点到点的距离是点到点距离的，求点表示的数； (3)点从点出发，先向左移动一个单位长度，再向右移动个单位长度，再向左移动个单位长度，再向右移动个单位长度，依次操作次后，求点表示的数． 1．（24-25六年级上·上海闵行·期中）数轴上一点A向左移动5个单位后到达点B，如果点B到原点的距离为1，则点A表示的数是（    ） A．1 B．1或 C．5或 D．4或6 2．（24-25六年级上·上海徐汇·期中）小莲学完数轴后，对数轴的应用进行了探究：她将长为的铅笔放在画好的数轴上，发现铅笔两端刚好对应了数轴上的一对相反数，现在她将该铅笔往左平移3个单位，此时铅笔左边端点对应的有理数是 ； 3．（24-25六年级上·上海静安·期中）如图，在数轴上有A，B，C三个点，请回答下列问题： (1)将点A向左平移5个单位长度，这时的点表示的数是______； (2)怎样移动A，B，C中的两个点，才能使三个点表示相同的数？ 4．（24-25六年级上·上海宝山·期中）如图，在数轴上有三个点A、B、C，请回答问题： (1)将A点向左移动5个单位长度，这是的点表示的数是___________； (2)怎样移动A、B、C的其中个点，才能使点C恰好是线段的中点？请写出三种移动的方法． 方法一（移动A点）：___________， 方法二（移动B点）：___________， 方法三（移动C点）：___________． 【典型例题十 正负数的实际综合应用】 【例1】（2025·上海闵行·模拟预测）某同学去商场购买一种体育用品，他看到该体育用品的商标如图所示．若这位同学任意买一只该种体育用品，则这个体育用品最大质量可能是（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25六年级上·上海静安·期中）如图，以为分界点，向东为正，向西为负，图上格表示实际距离米．明明从出发先向东走米，再向西走米，此时明明距离芳芳米，若丽丽从“”出发走了米，则此时丽丽与芳芳距离 米． 【例3】（2025六年级上·上海金山·专题练习）星星矿泉水标注的容量是550毫升，在抽检中测得实际容量超出了2毫升，记作毫升，毫升表示什么？你知道矿泉水瓶上标注的“550毫升（毫升）”是什么意思吗？ 【例4】（24-25六年级上·上海徐汇·期中）在活动课上，有6名学生用橡皮泥做了6个实心球，直径可以有毫米的误差，超过规定直径的毫米数记作正数，不足的记作负数，检查结果如表： 做实心球的同学 李明 张兵 王敏 余佳 赵平 蔡伟 检测结果 (1)请你指出哪些同学做的实心球是合乎要求的？ (2)哪个同学做的质量最接近标准质量？ 1．（24-25六年级上·上海松江·期中）如图是一种转盘型密码，每次开锁时需要先把表示“”的刻度线与固定盘上的标记线对齐、再按顺时针或逆时针方向旋转带有刻度的转盘三次，例如，按逆时针方向旋转个小格记为“”，此时标记线对准的数是．再顺时针旋转个小格记为“”，再逆时针旋转个小格记为“”，锁可以打开，那么开锁密码就可以记为“，，．此时标记线对准的数是．如果一组开锁密码为“，，”要想打开锁，按上述规定方式旋转锁盘，锁打开时标记线对准的刻度线表示哪个数？（    ） A． B． C． D． 2．（24-25六年级上·上海闵行·期中）武汉冬季某一天的最高气温为零上，记作，那么这天的最低气温零下可以记作 ． 3．（24-25六年级上·上海奉贤·期中）某体育用品店用400元购进了8套运动服，准备以一定价格出售．如果该店卖出每套运动服的价格以65元为标准，超出部分记做正数，不足部分记做负数，记录如下（单位：元）：，，，，，，0，． (1)你能求出销售后的总额吗？ (2)该店卖出这8套运动服后是盈利还是亏损？赢利（亏损）多少？ 4．（24-25六年级上·上海长宁·阶段练习）如图，检测10个排球，其中超过标准重量的克数记为正数，不足的克数记为负数，国际排联规定：一个排球的标准重量为克，若设被检测的排球的一个排球的标准重量为265克． (1)这10个排球中最接近标准重量的这个排球重 克． (2)这10个排球中，最轻的是 克． (3)求这10个排球的总重量是多少克？ 1．（2025·上海松江·模拟预测）在，，，四个数中，其中最小的数是（　　） A． B．3 C． D．0 2．（2025·上海杨浦·模拟预测）在数轴上，表示下列各数的点到原点距离最近的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25六年级上·上海崇明·期末）我国是最早使用负数的国家，东汉初我国著名的数学著作《九章算术》明确提出了“正负术”．如果盈利元记作元，那么亏损元记作（　　） A．元 B．元 C．元 D．元 4．（24-25六年级上·上海青浦·期中）数轴上的三个有理数a，b，c的大致位置如图所示，则下列选项中，值最小的是（   ） A．a B． C． D． 5．（24-25六年级上·上海虹口·期中）下面的五个时钟显示了同一时刻国外四个城市时间和北京时间，根据表中给出的国外四个城市与北京的时差，请你判断城市 代表北京（在A、B、C、D、E五个里面选一个填在横线上） 城市 时差/h 纽约 悉尼 伦敦 罗马 6．（24-25六年级上·上海闵行·阶段练习）向东走18米记作米，那么向西走米记作 米． 7．（24-25六年级上·上海闵行·阶段练习）如图，点A在数轴上所表示的数是 ． 8．（24-25六年级上·上海长宁·阶段练习）下列各数中：，，0，，，，，（每相邻两个2之间0的个数逐次加1），其中正有理数有 个． 9．（24-25六年级上·上海宝山·期中）同学们都知道表示5与之差的绝对值，也可理解为5与两数在数轴上所对的两点之间的距离，则对于任何有理数x，取最小值时，相应的x的值是 ． 10．（24-25六年级上·上海闵行·期中）对于数轴上的两点P，Q给出如下定义：P，Q两点到原点O的距离之差的绝对值称为P，Q两点的绝对距离，记为例如：，两点表示的数如图1所示，则| （1），两点表示的数如图2所示． ①，两点的绝对距离等于 ； ②若为数轴上一点（不与点重合），且|则点C表示的数是 ； （2），为数轴上的两点（点在点左边），且，若，则点M表示的数是 ． 11．（24-25六年级上·上海嘉定·期中）把下列各数填写在相应的集合中． ，7， ，，，，，0 ， (1)整数集合：； (2)分数集合：； (3)正数集合：； (4)非负数集合：． 12．（24-25六年级上·上海徐汇·期中）有理数在数轴上的位置如图： (1)______，______，______0；填（“”或“”） (2)如果互为相反数，则______； (3)计算：． 13．（24-25六年级上·上海闵行·期中）观察下列几组数在数轴上体现的距离，并回答问题： （1）探究： 你能发现：3与5在数轴上的对应点间的距离可以表示为：；4与在数轴上的对应点间的距离可以表示为：；根据以上规律填空． ①数轴上表示6和3的两点之间的距离是 ． ②数轴上表示和的两点之间的距离是 ． ③数轴上表示和2的两点之间的距离是 ． （2）归纳： 一般的，数轴上表示数a和数b的两点之间的距离等于． （3）应用： ①如果数m和4两点之间的距离是6，则可记为：，求m的值． ②若数轴上表示数m的点位于与4之间，求的值． ③当m取何值时，的值最小，最小值是多少？请说明理由． 14．（24-25六年级上·上海普陀·期中）如图1，点Z将线段分成和两部分．若或，则称点Z是线段的“分”点． 【理解定义】                                             （1）若线段，Z是线段的“分”点，且，则 ； 【解决问题】 如图2，有一张半径为个单位长度的圆形纸片，将该纸片边上的某点与数轴上表示1的点重合，并把该纸片沿数轴向右无滑动地滚动1周，使该点到达点D的位置． （2）若不重合的两点M、N均为线段的“分”点，求线段的长度； （3）在图2中，点P从点O出发，以3个单位长度/秒的速度沿数轴向右运动；同时，点Q从点D出发，以1个单位长度/秒的速度沿数轴向右运动，运动时间为t秒．在点P、D、Q三个点中，当点D和P分别为其余两点所构成线段的“分”点时，直接写出t的值． 15．（23-24六年级上·上海奉贤·阶段练习）近几年，全球的新能源汽车发展迅猛，尤其对于我国来说，新能源汽车产销量都大幅度增加．小明家新换了一辆新能源纯电汽车，他连续7天记录了每天行驶的路程（如表）．以为标准，多于的记为“＋”，不足的记为“－”，刚好的记为“0”． 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 路程（km） (1)请求出小明家的新能源汽车这7天一共行驶了多少千米？ (2)已知汽油车每行驶需用汽油升，汽油价为元/升，而新能源汽车每行驶耗电量为15度，每度电为元，小明家换成新能源汽车后这7天的行驶费用比原来节省多少钱？ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01讲 有理数的引入（7大知识点+10大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 正数和负数的定义 典型例题二 倒数 典型例题三 相反数的定义 典型例题四 有理数的定义 典型例题五 求一个数的绝对值 典型例题六 有理数大小比较 典型例题七 利用数轴比较有理数的大小 典型例题八 数轴上两点之间的距离 典型例题九 数轴上的动点问题 典型例题十 正负数的实际综合应用 知识点01 正数与负数 1. 负数的由来 为了能简明表示一些具有相反意义的量，引入了负数。 2. 正数和负数 正数就是我们小学学过的除零以外的所有数，即大于零的数叫做正数。根据需要有时候在正数前面加上“+”（正） 3. 0既不是正数也不是负数 4.非负数：0和正数统称为非负数；则非正数是指0和负数 知识点02 倒数 1）倒数的概念：乘积是的两个数互为倒数。 2）倒数的性质：（1）倒数是成对出现的，单独一个数不能称为倒数。（2）没有倒数。（3）互为倒数的两个数的乘积一定是，即，互为倒数，则；反之亦然． 3）求一个非零有理数的倒数，把它的分子和分母颠倒位置即可。 （1）非零整数可以看作分母为的分数后再求倒数；（2）带分数一定要先化成假分数之后再求倒数。 知识点03 有理数的相关概念 1）整数：正整数、、负整数统称为整数。 2）分数：正分数、负分数统称为分数。 正分数：像，0.24，等这样的数叫作正分数； 负分数：像，－3.56等这样的数叫作负分数； 有限小数和无限循环小数可以化为分数，所以它们也是分数。 3）有理数：可以写成分数形式的数称为有理数，即有理数都可以表示为（p、q均为整数，且p不为0）。 正有理数：可以写成正分数的形式的数为正有理数； 负有理数：可以写成负分数的形式的数为负有理数； 整数和分数统称为有理数。 4） 有理数的两种分类： 知识点04 数轴 1） 数轴定义：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。 原点、正方向和单位长度是数轴的三要素． 原点将数轴分为两部分，其中正方向一侧的部分叫数轴的正半轴，另一侧的部分叫数轴的负半轴。 2）数轴的画法 ①画一条水平的直线（一般画水平的数轴）； ②在这条直线上适当位置取一实心点作为原点； ③确定向右的方向为正方向，用箭头表示； ④选取适当的长度作单位长度，用细短线画出，并对应标注各数，同时要注意同一数轴的单位长度要一致。 3）有理数与数轴的关系 ①一切有理数都可以用数轴上的点表示出来。 ②数轴上的点并不全是有理数，如也可以在数轴上表示，但并不是有理数。 ③正有理数位于原点的右边，负有理数位于原点的左边。 ④与原点的距离是a（a>0），在数轴上可以是a（存在多解的情况）。 注：要确定在数轴上的具体位置，必须要距离+方向。 知识点05 相反数的意义 互为相反数的两个数在数轴上对应的点应分别位于原点两侧，且到原点的距离相等。 求任意一个数的相反数，只要在这个数的前面添上“”号即可（当然最后结果如果出现多重符号需要化简）。 知识点06 多重符号的化简 1、一个正数前面不管有多少个“”号，都可以全部去掉； 2、一个正数前面有偶数个“”号，也可以把“”号全部去掉； 3、一个正数前面有奇数个“”号，则化简后只保留一个“”号。 口诀“奇负偶正”，其中“奇偶”是指正数前面的“”号的个数，“负、正”是指化简的最后结果的符号。 注意：此判断方法是在没有其它运算的情况下适用，如出现其它运算，要视具体情况而论。 知识点07 绝对值 1、绝对值的概念：一般地，数轴上表示数的点与原点的距离叫做数的绝对值，记作。 2、绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是数轴上表示数的点与原点的距离。 3、绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；的绝对值是。 即：（1）如果，那么；（2）如果，那么；（3）如果，那么． 可整理为：，或，或。 4、绝对值具有非负性，取绝对值的结果总是正数或．即：。 【典型例题一 正数和负数的定义】 【例1】（23-24六年级上·上海青浦·期中）如图所示是某用户微信账单截图，其中“”表示的意思是（   ） A．购物支出11元 B．收到退款11元 C．抢到红包11元 D．经营收入11元 【答案】A 【分析】本题主要考查用正负数表示相反意义的量，根据相反意义的量可以用正负数来表示，正数表示收到，则负数表示支出，据此解答即可． 【详解】解：由题意可知，表示的意思是购物支出11元． 故选：A． 【例2】（24-25六年级上·上海嘉定·期中）在，，，0.3，0，3中，负数的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了正数与负数，负数就是小于0的数，依据定义即可求解． 【详解】解：，是负数； ，是正数； ，是负数； ，是正数； 0，既不是正数，也不是负数； ，是正数； 所以，负数是，共2个， 故选：B． 【例3】（24-25六年级上·上海宝山·阶段练习）《夏阳候算经》说：“满六以上，五在上方．六不积算，五不单张．”意思就是说，在用算筹计数时，1~5分别以纵横方式排列相应数目的算筹来表示，6~9则以上面的算筹再加下面相应的算筹来表示，我国是世界上最早使用负数的国家，在《九章算术》中，记载了我国古代在算筹上面斜着放一支算筹表示负数的方法． 如： “”表示+238，则“”表示． 那么，“”表示的数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了负数的定义，解题关键是通过阅读材料理解和掌握我国古代用算筹记数的规定．根据题中规定解答即可． 【详解】 解：根据题意得：“”表示的数是， 故答案为：． 【例4】（23-24六年级上·上海杨浦·阶段练习）将下列各数填入表示它所在集合的圈里． 5，，，，，，，．    【答案】见解析 【分析】根据整数、正数、负数、分数的定义进行分析，即可作答． 【详解】解：整数集合：，，， 正数集合：，，， 既是整数集合也是正数集合：，， 负数集合：，，， 分数集合：，，，， 既是负数集合也是分数集合：，，，    【点睛】本题考查了整数、正数、负数、分数的定义；大于0的数为正数，小于0的数为负数；正确掌握相关性质内容是解题的关键． 1．（23-24六年级上·上海金山·阶段练习）下列四组数中，其中每组三个都不是负数的是（    ） ①2，，；②，，0；③，，；④，，0 A．①、② B．①、③ C．②、④ D．③、④ 【答案】B 【分析】根据负数的意义，前面有“”号，小于0的数是负数，据此解答即可． 【详解】解：下列几组数： ①2，，； ②，，0； ③，，； ④，，0； 每组三个都不是负数的是：①③； 故选：B． 【点睛】此题考查的知识点是正数和负数，关键是掌握小于0的数是负数，0既不是正数0不是负数． 2．（24-25六年级上·上海静安·阶段练习）已知一组数：，，，，0，把这些数分别填在下面对应的集合中：①负数集合： ；②整数集合： ；③非负数集合： ； 【答案】 ，0 ，，，0 【分析】本题考查了有理数的分类、正负数的定义等知识点，熟练掌握有理数的分类是解此题的关键． 根据有理数的分类及正负数的定义解答即可． 【详解】解：负数集合：；整数集合：，0；非负数集合：，，，0． 故答案为：；，0；，，，0． 3．（2024·上海松江·模拟预测）课堂上，老师给出四个有理数，借助中的运算符号，引导学生们做如下练习： (1)计算：； (2)嘉嘉写下这样的式子：，请帮她补全“□”中的运算符号，使运算结果为实数中最小的非负数； (3)对于式子：，补全“□”中的运算符号，使运算结果为正整数．并写出运算过程． 【答案】(1)6 (2)“□”中的运算符号为：“×” (3)“□”中的运算符号为：“−”，过程见详解． 【分析】（1）根据有理数的混合运算法则计算即可求解； （2）先找出实数中最小的非负数，根据有理数的混合运算法则，再结合运算结果计算即可求解； （3）根据有理数的混合运算法则，再结合运算结果为正整数计算即可求解． 【详解】（1）原式 ； （2）∵实数中最小的非负数为0， 又∵ ， ∴“□”中的运算符号为：“×”； （3）“□”中的运算符号为：“−”， ∵ ∴运算结果为正整数，符合题意，即“□”中的运算符号为：“−” ． 【点睛】本体考查有理数的混合运算，涉及到非负数、正整数的定义，解题的关键是熟练掌握有理数的混合运算法则． 4．（23-24六年级上·上海奉贤·期中）如图，在5×5的方格（每小格边长为1）内有1只甲虫A，它爬行规律总是先左右，再上下．规定：向右与向上为正，向左与向下为负．从A到B的爬行路线记为：A→B（+1，+4），从B到A的爬行路线为：B→A（﹣1，﹣4），其中第一个数表示左右爬行信息，第二个数表示上下爬行信息． （1）图中B→D（　 　，　 　），C→　 　（+1，　 　）； （2）若甲虫A的爬行路线为A→B→C→D，计算甲虫A爬行的路程？ （3）若甲虫A的爬行路线依次为（+2，+3），（﹣2，+1），（+3，﹣5），（﹣4，+2），最终到达点P处，请在图中标出甲虫A的爬行路线示意图及最终点P的位置． 【答案】（1）+3，﹣2，D，﹣1；（2）路程为10；（3）如图见解析. 【分析】（1）B到D向右走3个格，向下走2个格；C到D向右走1个格，向下走1个格； （2）先确定A到B，B到C，C到D的行走路线，再将所有路线长度相加即可； （3）根据爬行路线，画出路线图即可． 【详解】（1）根据题意，B到D的路线为（+3，﹣2），C到D的路线（+1，﹣1）， 故答案为+3，﹣2，D，﹣1； （2）由A到B路线为（+1，+4），由B到C路线为（+2，﹣1），由C到D路线为（+1，﹣1）， ∴路程为1+4+2+1+1+1＝10； （3）如图： 【点睛】本题考查正数与负数；理解正数与负数在实际问题中的意义是解题的关键． 【典型例题二 倒数】 【例1】（2025·上海虹口·模拟预测）的倒数是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了倒数，熟练掌握倒数的定义是解题的关键． 根据倒数的定义解答即可． 【详解】解：， 的倒数是， 故选：B． 【例2】（24-25六年级上·上海徐汇·期中）下列说法正确的是（   ） A．与的指数相同，底数不同 B．一定是负数 C．在数轴上，距离原点越远的点表示的数越大 D．减去一个数等于加上这个数的倒数 【答案】A 【分析】本题考查了指数的定义，负数，数轴及有理数的减法有关知识，根据相关定义一一判断即可得到答案． 【详解】解：A、与的指数相同，底数不同，正确，故此选项符合题意； B、当时，，所以不一定是负数，故此选项错误，不符合题意； C、在数轴上与原点距离越远的点表示的数的绝对值越大，故此选项错误，不符合题意； D、减去一个数等于加上这个数的相反数，故此选项错误，不符合题意． 故选：A． 【例3】（24-25六年级上·上海宝山·期末）的相反数是 ，7绝对值数是 ，倒数是 ． 【答案】 3 7 【分析】本题考查相反数，倒数和绝对值，根据只有符号不同的两个数互为相反数，正数的绝对值是它本身，积为1的两个数互为倒数，进行求解即可． 【详解】解：的相反数是3，7绝对值数是7，倒数是； 故答案为：3，7，． 【例4】（2024六年级上·上海嘉定·专题练习）（倒数法）比较和的大小． 【答案】 【详解】本题考查了有理数的大小比较的应用，用了倒数法比较两个数的大小． 先分别求出两个数的倒数，再比较倒数的大小，即可得出答案． 【分析】解：，， ， ． 1．（24-25六年级上·上海静安·期末）有理数的倒数是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了倒数的定义，根据倒数的定义即可求解，掌握倒数的定义是解题的关键． 【详解】解：的倒数为， 故选：A． 2．（23-24六年级上·上海松江·期中）若两个数的积为，我们称它们互为负倒数，则3的负倒数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了求一个数的负倒数的方法，正确理解互为负倒数的定义是解题的关键； 根据互为负倒数的定义可知，用，即可得到3的负倒数； 【详解】解：由题可知， ， 故答案为：． 3．（24-25六年级上·上海金山·期中）若互为相反数且都不为零，互为倒数，，求的值． 【答案】1 【分析】此题考查了代数式求值．利用相反数，倒数以及绝对值的代数意义求出，以及的值，代入原式计算即可得到结果． 【详解】解：∵a、b互为相反数，c，d互为倒数，， ∴，，， ∴． 4．（24-25六年级上·上海静安·阶段练习）数学老师熊老师在课堂上布置了一道思考题“计算”，小雷同学仔细思考了一番，用了一种不同的方法解决了这个问题，小雷同学的解法： 原式的倒数为，所以． (1)根据倒数的定义我们知道，若，则________． (2)请你运用小雷同学的解法解答下面的问题： 计算：． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了倒数，有理数加减运算，有理数乘法运算律，熟练掌握运算法则是解题的关键． （）根据题意即可求解； （）根据题意利用小雷解法先取原式的倒数，再转化为乘法，计算后再取倒数即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 故答案为：； （2）解：原式的倒数为 ， ∴． 【典型例题三 相反数的定义】 【例1】（2025·上海宝山·模拟预测）的相反数为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】考查了相反数，绝对值的概念及性质．相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0；求出，再利用相反数定义是解决问题的关键．利用相反数，绝对值的概念及性质进行解题即可． 【详解】解：，的相反数为， 故选：B． 【例2】（2025·上海崇明·模拟预测）如图，数轴上点P表示的数的相反数是（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【分析】本题考查求一个数的相反数，有理数和数轴，根据数轴得到点表示的数为1，根据只有符号不同的两个数互为相反数，进行求解即可． 【详解】解：由图可知：点表示的数为1 ∴数轴上点P表示的数的相反数是； 故选A． 【例3】（24-25六年级上·上海普陀·期中）下面各组数中：①和；②和；③和；④和；⑤和；⑥和．互为相反数的是 （填序号）． 【答案】①②⑤⑥ 【分析】本题主要考查了相反数和多重符号化简，根据一个数的相反数就是在这个数前面添上“”号，化简各项数字后再判断求解即可．正确使用相反数的意义对每个数字进行化简是解题的关键． 【详解】解：①和互为相反数； ②，，和互为相反数，和互为相反数； ③，，和不是互为相反数，和相等，不是互为相反数； ④，，和不是互为相反数，和相等，不是互为相反数； ⑤，和互为相反数，和互为相反数； ⑥，和互为相反数，和互为相反数． 互为相反数的是①②⑤⑥． 故答案为：①②⑤⑥． 【例4】（2024六年级上·上海金山·专题练习）（1）分别写出和的相反数； （2）a的相反数是2.4，写出a的值． 【答案】（1）7，；（2） 【分析】本题考查了相反数，解题关键是明确只有符号不同的两个数互为相反数． （1）根据相反数的意义求解即可； （2）根据相反数的意义求解即可． 【详解】解：（1）的相反数是7，的相反数是； （2）因为2.4与互为相反数， 所以a的值是． 1．（2025·上海徐汇·模拟预测）如果表示零上20度，则零下20度表示（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了正负数的意义，正负数是一对具有相反意义的量，若零上的温度用“”表示，那么零下的温度就用“”表示，据此求解即可． 【详解】解：如果表示零上20度，则零下20度表示， 故选：D． 2．（2024六年级上·上海长宁·专题练习）用“”与“”表示一种法则：，，如，则 ． 【答案】2018 【分析】根据新定义可得，，再计算即可． 【详解】解：由题意得：，， ∴， 故答案为：； 【点睛】本题是一种新定义问题，间接考查了相反数的概念，一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0．解题的关键是根据题意掌握规律． 3．（2024六年级上·上海静安·专题练习）数轴上点表示，B，C两点表示的数互为相反数，且点到点的距离是2，求点所表示的数． 【答案】1或5 【分析】本题主要考查了数轴上两点之间的距离，相反数的定义， 根据数轴上两点之间的距离可得出点表示的数为或，再根据相反数的定义可得出点所表示的数为1或5． 【详解】解：因为点到点的距离是2，点表示， 所以点表示的数为或． 因为B，C两点表示的数互为相反数， 所以点所表示的数为1或5． 4．（23-24六年级上·上海宝山·阶段练习）（1）若a、b互为相反数，，求的值． （2）已知，a、b互为相反数，求b的值． 【答案】（1）；（2）-2 【分析】（1）根据相反数的性质得出，整体代入求值即可； （2）根据可得的值，然后根据a、b互为相反数得出的值． 【详解】解：（1） a、b互为相反数，， ， ； （2）， ， a、b互为相反数， ． 【点睛】本题考查了相反数的性质以及定义，绝对值的意义等知识，熟练掌握基础知识是解本题的关键． 【典型例题四 有理数的定义】 【例1】（24-25六年级上·上海静安·期中）在数2，0，，，4.8中，有理数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题主要考查了有理数的定义．根据有理数的定义进行判断即可． 【详解】解：在数2，0，，，4.8中，有理数有2，0，，4.8，共4个． 故选：D． 【例2】（24-25六年级上·上海徐汇·期末）身份证号码含有很多个人信息：前6位是地区代码；位是出生日期；位是顺序码；第17位奇数表示男性，偶数表示女性；第18位是校验码．下面是小明的爷爷、爸爸、妈妈以及小明四人的身份证号码（*为最后一位隐藏的校验码），你认为小明的妈妈的身份证号码应该是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数，理解身份证号码位数的含义是解题关键．根据身份证号码的组成，第17位奇数表示男性，偶数表示女性，据此解答即可得． 【详解】解：因为小明的妈妈是一位女性， 所以小明的妈妈的身份证号码的第17位数字是偶数， 观察四个选项可知，只有选项C符合， 故选：C． 【例3】（24-25六年级上·上海奉贤·期中）把下列各数填入相应的大括号中： 5，，1，，，，，325，0，，． 正数：{ …}； 负数：{ …}； 非负整数：{ …}； 负分数：{ …}． 【答案】 5，，1，，325， ，， ，， 5，1，325，0 ，，， 【分析】本题考查有理数的意义及有理数的分类，理解有理数的意义和分类方法是正确判断的前提．根据正数、负数、非负整数、负分数的意义逐个进行判断即可． 【详解】解：正数：{5，，1，，325，…}； 负数：{，， ，，…}； 非负整数：{5，1，325，0…}； 负分数：{，，，…}． 故答案为：5，，1，，325，；，， ，，；5，1，325，0；，，， 【例4】（24-25六年级上·上海松江·期中）把下列各数对应的序号填在相应的括号里． ①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧，⑨，⑩（每两个之间多一个） 负有理数集合：________ …； 正分数集合：________ …； 自然数集合：________ …； 非正整数集合：________ …． 【答案】①③⑥⑧；④⑦；⑤⑨；①③⑨ 【分析】本题考查有理数的分类．根据有理数的分类方法，逐一进行作答即可．熟练掌握有理数的分类方法，是解题的关键． 【详解】①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧，⑨，⑩（每两个之间多一个）中， 负有理数集合：； 正分数集合：； 自然数集合：； 非正整数集合：． 故答案为：①③⑥⑧；④⑦；⑤⑨；①③⑨ 1．（2024七年级·上海青浦·模拟预测）已知都是整数，则和中（    ） A．必定都是整数 B．必定有两个是整数 C．必定有一个是整数 D．可能都不是整数 【答案】C 【分析】本题考查了有理数分类中整数的奇偶性问题，分三种情况讨论：①假设都是偶数或都是奇数，②假设其中有两个是偶数，一个是奇数，③假设有两个奇数，一个偶数，即可得出答案． 【详解】解：假设都是偶数或都是奇数，则和都是偶数，那么和都是整数， 假设其中有两个是偶数，一个是奇数，那么和有一个是整数， 假设有两个奇数，一个偶数，那么和有一个是整数， 综上所述：和必定有一个是整数， 故选：C． 2．（2024六年级上·上海闵行·专题练习）在…（每两个1之间0的个数逐次增加1）中正数有m个，非负整数有n个，正分数有k个，则 ． 【答案】0 【分析】本题考查了有理数的分类，注意不要漏写或写错．注意整数和正数的区别，注意0是整数，但不是正数．根据实数的分类：实数是有理数和无理数的统称，整数包括正整数、0和负整数，有理数是正有理数、0和负有理数的统称，即可得出答案． 【详解】解：在（每两个1之间的个数逐次增加中， 正数有（每两个1之间的0个数逐次增加，有5个，则； 非负整数有0，21，有2个，则； 正分数有，有3个，则； 则． 故答案为：0． 3．（24-25六年级上·上海松江·期中）把下列各数相应的数填入相应的横线内： ，，，，，，，． 正数有： ； 有理数有： ； 分数有： ； 非负整数有：   ． 【答案】，，，，；，，，，，，；，，，；， 【分析】本题考查了有理数的分类，根据正数、有理数、分数和非负整数的定义解答即可，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：正数有：，，，，； 有理数有：，，，，，，； 分数有：，，，； 非负整数有：，； 故答案为：，，，，；，，，，，，；，，，；，． 4．（2024六年级上·上海徐汇·专题练习）黑板上有10个有理数，小明说“其中有6个正数”，小红说“其中有6个整数”，小华说“其中正分数的个数与负分数的个数相等”，小林说“负数的个数不超过3个”．请你根据四位同学的叙述判断这10个有理数中共有几个负整数． 【答案】1 【详解】本题考查有理数的定义，分类，正确区分整数，分数以及熟记正分数和负分数的定义是解题的关键．根据正数、负数，以及正整数和负整数的定义可以解答本题． 【解答】解：因为10个有理数中有6个整数， 所以分数个， 因为正分数的个数与负分数的个数相等， 所以有2个负分数，2个正分数，因为负数的个数不超过3个，所以负数共 3个，还有一个是0， ∴负整数共1个． 【典型例题五 求一个数的绝对值】 【例1】（2025·上海松江·模拟预测）的绝对值是（   ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了绝对值，根据负数的绝对值是其相反数求解即可． 【详解】解：的绝对值是2， 故选：A． 【例2】（2025·上海普陀·模拟预测）下表记录了我国四个直辖市某年一月份的平均气温，其中气温最低的是（    ） 北京 上海 天津 重庆 A．北京 B．上海 C．天津 D．重庆 【答案】A 【分析】本题主要考查了有理数比较大小的实际应用．根据正数大于，大于负数，两个负数比较大小，绝对值越大，其值越小比较出四个城市气温的大小即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴四个城市中北京的气温最低， 故选：A． 【例3】（2024六年级上·上海杨浦·专题练习）绝对值大于1且小于5的整数有 个，它们分别是 ． 【答案】 6 ，， 【分析】本题考查了绝对值的意义，根据绝对值大于1且小于5的整数，得出它们分别是，，，即可作答． 【详解】解：∵绝对值大于1且小于5， ∴符合这个要求的整数分别是，，，共有6个， 故答案为：6；，， 【例4】（2024六年级上·上海静安·专题练习）（1）绝对值是的数有几个，各是什么？ （2）绝对值是的数有几个，各是什么？ （3）有没有绝对值是的数？为什么？ 【答案】个，和； （2）个，； 没有，理由见解析． 【分析】本题主要考查了绝对值．绝对值是数轴上表示一个数的点到原点的距离，正数的绝对值是它本身；的绝对值是；负数的绝对值是它的相反数．本题主要是根据绝对值的定义进行解答． 【详解】解：， 绝对值是的数有个， 这个数分别是和； ， 绝对值是的数有个， 这个数是； 绝对值是数轴上表示一个数的点与原点之间的距离， 任何一个有理数的绝对值都是非负数， 没有绝对值是－3的数． 1．（24-25六年级上·上海徐汇·期末）若，则m的值为（   ） A．或 B． C．2或 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了绝对值的意义，掌握绝对值的意义成为解题的关键． 根据绝对值的意义即可解答． 【详解】解：∵， ∴，即m的值为或． 故选A． 2．（24-25六年级上·上海嘉定·阶段练习）下列说法：①若，则x为负数；②若不是负数，则a为非正数；③；④若，，则．其中正确的结论有 ．（填序号） 【答案】②③④ 【分析】本题考查绝对值的性质；理解绝对值的性质是解题的关键． 依据题意，根据绝对值的性质逐个分析判断可以得解． 【详解】解：若， ∴， ∴， ∴①的说法错误； 若不是负数， ∴． ∴，即a为非正数； ∴②的说法正确； ∵，， ∴， ∴③的说法正确； 若，， ∴． ∴． ∴④的说法正确． 综上所述：正确的结论有②③④． 3．（24-25六年级上·上海宝山·期中）［核心素养］阅读材料：当时，有，即时，的绝对值是它本身；当时，，即0的绝对值是0；当时，有，即时，的绝对值是它的相反数．综合上述讨论可得：当时，；当时，．这种分析方法体现了数学中常用的分类讨论思想．请根据材料解答下列问题： (1)比较大小：（填“”“”或“”）； (2)请仿照上述分类讨论的方法，分析与的大小关系． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了求一个数的绝对值，化简绝对值，有理数的大小比较等知识．熟练掌握求一个数的绝对值，化简绝对值，有理数的大小比较是解题的关键． （1）由题意知，，，然后作答即可； （2）分当，，时，化简绝对值，然后比大小即可． 【详解】（1）解：由题意知，，， 故答案为：； （2）解：由题意知，当时，； 当时，； 当时，． 4．（24-25六年级上·上海杨浦·期中）【课本再现】 材料一：苏科版（）数学教材六年级上册这一节中，介绍了：一般地，数轴上表示一个数的点到原点的距离叫作这个数的绝对值，数的绝对值记为，读作“的绝对值”． （1）若数轴上的点，，表示的数分别为、、，则表示________之间的距离，表示________之间的距离． （2）若，，则________． 【迁移尝试】 材料二：在综合实践课上，王老师和鹿鸣学堂“数学趣味推理”社团的同学们一起进一步研究了绝对值，发现： ，，， （3）观察上面的数量关系，可以归纳得到：当，满足________时，；当，满足________时，． 【拓展应用】 （4）若，，则的值为多少？（友情提示：①无过程不得分；②用超出已学知识解答不得分） （5）当、、满足什么条件时，．（请直接写出结果，不需过程） 【答案】（1）、，、；（2）；（3）同号或者，中有一个为；异号；（4）的值为或；（5）、、满足两负一正或两正一负或其中一个数为，另外两个数为异号 【分析】本题考查了绝对值的性质，解题的关键是掌握绝对值的性质和读懂材料． （1）根据绝对值的定义求解即可； （2）分当，时，和当，时，两种情况求出，即可求解； （3）根据材料即可求解； （4）根据题意可得、异号，分情况讨论：当，时，当，时，结合绝对值的性质即可求解； （5）结合材料即可求解． 【详解】解：（1）表示、之间的距离，表示、之间的距离， 故答案为：、，、； （2），且， 当或时，，， 当或时，，， 当，时， ， ， ， ； 当，时， ， ， ， ， ； 综上所述，， 故答案为：； （3）根据题意可得：当，满足同号或者，中有一个为时，； 当，满足异号时，； 故答案为：同号或者，中有一个为；异号； （4），，即， 、异号， 当，时，，或， 或， 解得：或， 当，时，，或， 或， 解得：或， 综上所述，的值为或； （5）当、、满足两负一正或两正一负或其中一个数为，另外两个数为异号时，． 【典型例题六 有理数大小比较】 【例1】（2025·上海虹口·模拟预测）下列四个数中，比小的数是（　　） A．0 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的大小比较，熟练掌握有理数的大小比较是解题的关键；因此此题可根据“正数大于0和负数，两个负数比较，绝对值大的反而小”进行求解即可 【详解】解：∵， ∴比小的数是； 故选：D 【例2】（2025·上海宝山·模拟预测）锦州是闻名遐迩的苹果之乡，锦州苹果以果型端正、色泽鲜艳、汁多爽口而著称．若每筐锦州苹果的标准质量是10千克，超过的千克数记为正数，不足的千克数记为负数，则下列4筐锦州苹果中，最接近标准质量的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查绝对值的意义，熟练掌握绝对值的意义是解题的关键，比较绝对值的大小，然后问题可求解． 【详解】解：∵，，，， ， ∴最接近标准质量的是B， 故选：B． 【例3】（24-25六年级上·上海嘉定·期中）比较大小：（1） ，（2） ；（3） （填“”、“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的大小比较，解题的关键是： （1）根据正数大于负数即可判断； （2）根据两个负数比较，绝对值大的反而小即可判断； （3）先化简，然后根据正数大于负数即可判断． 【详解】解：（1）， 故答案为： （2）∵，，， ∴>， 故答案为：； （3）∵，，， ∴ 故答案为：． 【例4】（24-25六年级上·上海青浦·期中）解答下列问题． (1)如图所示，下面两个图分别表示负数集合和分数集合，请你把下列各数填入相应的集合． 3.5，，0，，，3， (2)在（1）图中两个集合的重叠部分表示______数的集合． (3)写出（1）图中两个集合的重叠部分中的最大的数和最小的数． 【答案】(1)见解析 (2)负分 (3)最大的数为，最小的数为 【分析】本题考查有理数的分类，有理数的大小比较，熟练掌握有理数的分类，以及大小比较的方法是解题的关键． （1）根据负数和分数的定义分类即可； （2）两个圈重叠的部分表示负分数集合； （3）根据负数绝对值大的反而小，即可判断． 【详解】（1）解：负数有，分数有， 填图如图： （2）解：既是负数又是分数则为负分数，故（1）图中两个集合的重叠部分表示负分数的集合， 故答案为：负分； （3）解：（1）图中两个集合的重叠部分中数有， ，，， ∴， ∴， ∴最大的数为，最小的数为． 1．（24-25六年级上·上海黄浦·阶段练习）下列各组数中，大小关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了负数的大小比较方法，根据负数比较大小时绝对值大的数反而小的方法即可求解，解题的关键是正确理解负数相比较，绝对值大的数反而小． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， 故选：． 2．（24-25六年级上·上海浦东新区·期末）A，B是数轴上位于原点O异侧的两点（点A在点B的右侧），若点A，B分别对应的有理数为a，b．且，则a，b，，中最大的数是（    ） A．a B． C．b D． 【答案】D 【分析】本题考查了绝对值的几何意义，利用数轴比较大小，熟练掌握数轴上的点的表示方法是解题的关键． 首先 确定点A在原点右侧，点B在原点左侧， 从而得到，又根据 ，得到， 即，即可得出最大的数． 【详解】A，B是数轴上位于原点O异侧的两点（点A在点B的右侧）， ∴点A在原点左侧，点B在原点右侧， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ， ∴， ∵，所以， ∴； 故选：B． 3．（2025·上海杨浦·模拟预测）分数的整数部分是 ． 【答案】 【分析】此题考查了有理数的比较大小，根据题意，先求出分母的取值范围，再根据分数的性质，求出分数的取值范围，即可求出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴分数的整数部分是， 故答案为：. 4．（24-25六年级上·上海奉贤·期中）在数轴上表示以下各数：，，，，，，，， 并将它们的相反数用“”符号连接起来． 【答案】数轴见解析， 【分析】本题主要考查了在数轴上表示有理数，利用数轴比较有理数的大小，将题目中的数据标在数轴上，根据数轴左边的数总是小于右边的数将各数用大于号连接起来，正确表示出各数是解题的关键． 【详解】解：，， 在数轴上表示如下： 各数的相反数分别为：5，，，，，0.5，，， 它们的相反数用“”符号连接起来为：． 【典型例题七 利用数轴比较有理数的大小】 【例1】（2025·上海金山·模拟预测）如图，数轴上的数，，，中，小于的是（     ） A．a B．b C．c D．d 【答案】A 【分析】本题考查了根据数轴比较有理数的大小，根据右边的数比坐标的大，即可求解． 【详解】解：根据数轴可得， ∴小于的是， 故选：A． 【例2】（2025·上海静安·模拟预测）若将下面的四个有理数表示在数轴上，则位于最左边的是（    ） A． B． C． D．3 【答案】B 【分析】本题考查用数轴比较有理数的大小，根据用数轴上的点表示有理数，左边的点表示的数小于右边的点表示的数，据此即可解答． 【详解】解：∵， ∴位于最左边的是． 故选：B． 【例3】（24-25六年级上·上海徐汇·期中）已知a，b在数轴上的位置如图所示，则 （用“>”或“<”填空）． 【答案】< 【分析】先比较出的大小，然后在进行移项可得到问题的答案．此题考查了数轴以及有理数的大小比较，弄清题意是解本题的关键． 【详解】解：根据题意得：且， 如图所示： ． 故答案为：． 【例4】（24-25六年级上·上海青浦·期中）在数轴上表示下列各数，并用“”把这些数连接起来． ，，，，． 【答案】见解析； 【分析】本题主要考查了用数轴上点表示有理数，根据数轴比较有理数的大小，解题的关键是熟练掌握数轴上点的特点．根据数轴上点特点把各数表示在数轴上，并用“”连接即可． 【详解】解：把各数表示在数轴上，如图所示： 用“”连接为：． 1．（2024六年级上·上海普陀·模拟预测），在数轴上的位置如图．则在，，，中负数的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查了数轴，绝对值，有理数的大小比较等知识点，根据题中所给的数轴得：，，，可得，，，，进而即可得解，熟练掌握其性质并能灵活运用是解决此题的关键． 【详解】解：由图可知，，，， ∴，，，， ∴和是负数，共两个， 故选：B． 2．（24-25六年级上·上海奉贤·期末）如果，，，那么，，，的大小顺序为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了用数轴判断式子的大小，能够由题意判断出，在数轴上的大致位置是解题的关键． 根据题意将，表示在数轴上即可得到结果． 【详解】解：由题意可知，将，，，在数轴上表示， 根据数轴特点可得：， 故答案为：． 3．（24-25六年级上·上海闵行·阶段练习）把下列各数在数轴上表示出来，并按从小到大的顺序用“”连接起来．，，，，，， 【答案】数轴表示见解析， 【分析】本题主要考查了用数轴上的点表示有理数、有理数的大小比较，首先把各数在数轴上表示出来，再根据数轴上左边的点表示的数小于右边的点表示的数，按从小到大的顺序用“”连接起来． 【详解】解：，， 把各数表示在数轴上，如下图所示， 按从小到大的顺序用“”连接起来可得：． 4．（24-25六年级上·上海闵行·期中）如图，数轴上的点表示的数是． (1)在数轴上标出原点，并指出点所表示的数是 ； (2)在数轴上有一点，它与点的距离为个单位长度，那么点表示的数是 ； (3)在数轴上表示下列各数，并用“”号把这些数按从小到大连接起来． 【答案】(1)原点位置见解析，点所表示的数是 (2)或 (3)数轴表示见解析， 【分析】（）根据点坐标可找到原点，进而可得点所表示的数； （）根据两点间距离公式即可求解； （）先化简有理数，再把有理数在数轴上表示出来，最后根据数轴比较出各数的大小即可； 本题考查了有理数与数轴，两点间距离，根据点坐标可找到原点位置是解题的关键． 【详解】（1）解：如图，点为原点，点所表示的数是， 故答案为：； （2）解：点表示的数为或， 故答案为：或； （3）解：，， 各数在数轴上表示如下： 由数轴可得，． 【典型例题八 数轴上两点之间的距离 】 【例1】（23-24六年级上·上海嘉定·期中）在数轴上到原点距离等于5的点所表示的数为（  ） A． B． C．5 D．不能确定 【答案】A 【分析】本题考查了绝对值的几何意义，数轴，熟练掌握知识点是解题的关键． 根据绝对值的几何意义即可求解． 【详解】解：根据绝对值的几何意义可知，在数轴上到原点的距离5个单位长度的点表示的数为， 故选：A． 【例2】（24-25六年级上·上海杨浦·期中）如图，将刻度尺放在数轴上，让和刻度线分别与数轴上表示2和4的两点重合对齐，则数轴上与刻度线对齐的点表示的数为（   ）    A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【分析】本题考查数轴的概念，关键是掌握数轴的三要素．由数轴的概念即可求解． 【详解】解：∵和刻度分别与数轴上表示和的两点对齐， ∴数轴的单位长度是， ∴原点对应的刻度， ∴数轴上与刻度线对齐的点表示的数是， 故选：A． 【例3】（24-25六年级上·上海崇明·阶段练习）如图，在数轴上点表示的数是3，点被墨水遮住了，已知，则点表示的数为 ． 【答案】 【分析】本题主要查了数轴上两点间的距离．根据数轴上两点间的距离解答即可． 【详解】解：根据题意得：点表示的数是3，， ∴点B表示的数是， 故答案为： 【例4】（24-25六年级上·上海青浦·阶段练习）数轴上不重合的三个点，若其中一点到另外两点的距离的比值为，则称这个点是另外两点的n阶伴侣点．如图，O是点A、B的1阶伴侣点；O是点A、C的2阶伴侣点；O也是点B、C的2阶伴侣点． (1)如图，C是点A、B的______阶伴侣点； (2)若数轴上两点M、N分别表示和4，则M、N的阶伴侣点所表示的数是多少？ 【答案】(1)3 (2)，，， 【分析】本题主要考查了数轴上两点之间的距离， 对于（1），根据“伴侣点”的定义即可求解； 对于（2），分三种情况讨论可求M、N的阶伴侣点所表示的数. 【详解】（1）解：， ∴. 则点C是点A，B的3阶伴侣点. 故答案为：3. （2）解：， M、N的阶伴侣点在的左边时，所表示的数为； M、N的阶伴侣点在和4中间时，所表示的数为或；M、N的阶伴侣点在4的右边时，所表示的数为. 综上所述，M、N的阶伴侣点所表示的数为，，，. 1．（24-25六年级上·上海长宁·阶段练习）点为数轴上表示的点，则距点个单位长度的点所表示的数为（    ） A． B． C．或 D．不同于以上答案 【答案】C 【分析】本题考查了有理数与数轴，根据两点间距离公式计算即可求解，掌握两点间距离公式是解题的关键． 【详解】解：∵点为数轴上表示的点， ∴距点个单位长度的点所表示的数为或， 故选：． 2．（24-25六年级上·上海虹口·阶段练习）如图，一条数轴上有三个不同的点A，B，C，其中点A，B表示的数分别是，8，现以点C为折点，将数轴向右对折，若对折后的点A到点B的距离为4，求点C表示的数．甲答：点C表示的数为；乙答：点C表示的数为；丙答：点C表示的数为0．则下列说法正确的是（    ） A．只有甲答的对 B．甲、乙的答案合在一起才完整 C．乙、丙的答案合在一起才完整 D．三人的答案合在一起才完整 【答案】C 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，了解对折的含义是解题的关键． 设对折后点A的对应点为，因为对折后的点到点B的距离为4，分点在点B的左边和点在点B的右边，两种情况分别求解即可． 【详解】解：设对折后点A的对应点为，因为对折后的点到点B的距离为4，分两种情况： ①点在点B的左边，到点B的距离为4，此时点表示的数为4， 所以点C表示的数为； ②点在点B的右边，到点B的距离为4，此时点表示的数为12， 所以C表示的数为0． 所以乙、丙的答案合在一起才完整， 故选C． 3．（2024六年级上·上海宝山·专题练习）a与b互为相反数，a在b的右边，且表示a的点到表示b的点的距离为9，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数与数轴，相反数的定义，根据相反数的定义可得表示a的数与表示b的数到原点的距离相等，再由表示a的数与表示b的数的距离为9且点b在点a左侧即可得到答案． 【详解】解：∵与互为相反数，在的右边，且表示的点到表示的点的距离为9， ∴表b的点距离原点的距离为，且在原点左侧， ∴， 故答案为：． 4．（24-25六年级上·上海杨浦·期中）如图1，点，，是数轴上从左到右排列的三个点，分别对应的数为，，．某同学将刻度尺按如图2所示的方式放置，使刻度尺上的数字对齐数轴上的点，发现点对齐刻度，点对齐刻度． (1)在图1的数轴上，_____个单位长度，点所对应的数为_____；数轴上的一个单位长度对应刻度尺上的． (2)若是数轴上一点，且满足，通过计算，求点所对应的数． 【答案】(1)，； (2)或 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离公式，解题的关键是掌握两点间的距离公式． （1）根据数轴上两点间的距离公式可求有几个单位长度，在图2中，，则数轴上的一个单位长度对应刻度尺上的，由图2 知 ，，可求出，在数轴上的距离为个单位长度，最后根据两点间的距离公式求出； （2）根据，，可得，结合点所表示的数为，利用两点间的距离公式，即可求解． 【详解】（1）解：点，分别表示，， 在图1上，个单位长度， 在图2中，， 数轴上的一个单位长度对应刻度尺上的， 由图2 知 ，， ，在数轴上的距离为个单位长度， 点所对应的数， 故答案为：，；； （2），， ， 点所表示的数为， 设点表示的数为， 则， 解得：或， 点表示的数为或． 【典型例题九 数轴上的动点问题】 【例1】（24-25六年级上·上海长宁·期中）在数轴上点如图所示，将点在数轴上右移7个单位到达点，则点所表示的数为（   ） A．7 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查数轴上点的平移，以及利用数轴表示有理数，根据图像得到点表示的数，再结合题意得到点所表示的数，即可解题． 【详解】解：由图知点表示的数为， 将点在数轴上右移7个单位到达点，则点所表示的数为， 故选：B． 【例2】（24-25六年级上·上海静安·期中）把笔尖放在数轴的原点，沿数轴先向左（负方向）移动6个单位长度，再向右移动3个单位长度，用算式表示上述过程与结果，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了用数轴上的点表示有理数， 数轴上点的平移，有理数的加减混合运算等知识点，熟练掌握数轴上“左减右加”的平移规律是解题的关键． 根据“左减右加”的平移规律可知上述过程为，再利用有理数的加减混合运算法则即可求解． 【详解】解：根据题意，得：， 故选：C． 【例3】（24-25六年级上·上海徐汇·期中）如图，数轴上的一个点，从原点出发沿着数轴先向右移动3个单位长度，再向左移动5个单位长度，到达原点左边2个单位长度处．请用算式表示图中的运算过程 【答案】 【分析】本题考查了点在数轴上的平移，有理数的加减，由点在数轴上的平移得，即可求解；掌握点在数轴上的平移规律是解题的关键． 【详解】解：由题意得 ； 故答案为：． 【例4】（24-25六年级上·上海宝山·阶段练习），分别是数轴上两个不同点，所表示的有理数，且，，，两点在数轴上的位置如图所示： (1)试确定数，； (2)若点在数轴上，点到点的距离是点到点距离的，求点表示的数； (3)点从点出发，先向左移动一个单位长度，再向右移动个单位长度，再向左移动个单位长度，再向右移动个单位长度，依次操作次后，求点表示的数． 【答案】(1)，； (2)点表示的数为或 (3) 【分析】本题主要考查数轴上两点间的距离公式及点的平移性质，根据题意运用分类讨论的思想是解题的关键． （1）根据绝对值的定义结合由数轴得出a，b的符号即可得； （2）分以下两种情况：点C在A，B之间、点C在点B右侧，利用两点间距离公式列方程求解； （3）根据平移的性质可知，P点表示的数为，计算即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵由数轴可知，， ∴；. （2）解：①若C点在B点的右侧，则， ∴， ∴点C表示的数为：， ②若C点在A，B点之间，则， ∴， ∴点C表示的数为：． 综上，C点表示的数为或； （3）解： ． 表示的数为． 1．（24-25六年级上·上海闵行·期中）数轴上一点A向左移动5个单位后到达点B，如果点B到原点的距离为1，则点A表示的数是（    ） A．1 B．1或 C．5或 D．4或6 【答案】D 【分析】本题考查了用数轴表示有理数，数轴上两点之间的距离，先得出点B表示的数，再得出点A表示的数即可． 【详解】解：由条件可知：点B表示的数是：和1， ∵点A向左移动5个单位后到达点B， ∴点A表示的数是4或6， 故选：D． 2．（24-25六年级上·上海徐汇·期中）小莲学完数轴后，对数轴的应用进行了探究：她将长为的铅笔放在画好的数轴上，发现铅笔两端刚好对应了数轴上的一对相反数，现在她将该铅笔往左平移3个单位，此时铅笔左边端点对应的有理数是 ； 【答案】 【分析】本题考查了数轴，有理数，相反数，解题的关键是掌握数轴知识，有理数的运算法则，相反数的定义． 利用数轴知识，相反数的定义，有理数的运算解答． 【详解】解：由题意可知，铅笔的左边端点移动之前对应的数是，， 所以移动后铅笔左边端点对应的有理数是． 故答案为：． 3．（24-25六年级上·上海静安·期中）如图，在数轴上有A，B，C三个点，请回答下列问题： (1)将点A向左平移5个单位长度，这时的点表示的数是______； (2)怎样移动A，B，C中的两个点，才能使三个点表示相同的数？ 【答案】(1) (2)当点B，C移动到点A的位置时，点B向右移动个单位长度，点C向右移动个单位长度； 当点A，C移动到点B的位置时，点A向左移动个单位长度，点C向右移动个单位长度； 当点A，B移动到点C的位置时，点A向左移动个单位长度，点B向左移动个单位长度． 【分析】本题主要考查用数轴表示有理数、数轴上的动点问题等知识点，熟练掌握数形结合的思想是解题的关键． （1）根据数轴上的点的移动规则“左移减，右移加”列式计算即可； （2）根据点在数轴上的位置，写出一种移动方法即可． 【详解】（1）解：∵点A表示的数是4， ∴将点A向左平移5个单位长度，这时的点表示的数是． 故答案为：． （2）解：∵点A表示的数是4，点B表示的数是0，点C表示的数是， ∴当点B，C移动到点A的位置时，点B向右移动个单位长度，点C向右移动个单位长度； 当点A，C移动到点B的位置时，点A向左移动个单位长度，点C向右移动个单位长度； 当点A，B移动到点C的位置时，点A向左移动个单位长度，点B向左移动个单位长度． 4．（24-25六年级上·上海宝山·期中）如图，在数轴上有三个点A、B、C，请回答问题： (1)将A点向左移动5个单位长度，这是的点表示的数是___________； (2)怎样移动A、B、C的其中个点，才能使点C恰好是线段的中点？请写出三种移动的方法． 方法一（移动A点）：___________， 方法二（移动B点）：___________， 方法三（移动C点）：___________． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题主要考查了用数轴上点表示有理数、数轴上两点之间、数轴上点的平移是距离等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键． （1）根据平移特点列式计算即可； （2）根据三种方法，分别运用平移法则解答即可． 【详解】（1）解：∵点A表示的数为4， ∴将点A向左移动5个单位长度，这时的点表示的数是． 故答案为：． （2）解：当点A移动时，此时只需将A向左移动8个单位即可． 当点B移动时，此时只需将B向左移动8个单位即可． 当点C移动时，此时只需要将C向右移动4个单位即可． 【典型例题十 正负数的实际综合应用】 【例1】（2025·上海闵行·模拟预测）某同学去商场购买一种体育用品，他看到该体育用品的商标如图所示．若这位同学任意买一只该种体育用品，则这个体育用品最大质量可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查正、负数的应用，熟练掌握正、负数的意义是解题的关键．利用正、负数的意义得出这种体育用品的质量范围是大于等于，小于等于，即可求解． 【详解】解：∵体育用品的质量为， ∴这种体育用品的质量范围是大于等于，小于等于， ∴这位同学任意买一只该种体育用品，则这个体育用品最大质量可能是， 故选：A． 【例2】（24-25六年级上·上海静安·期中）如图，以为分界点，向东为正，向西为负，图上格表示实际距离米．明明从出发先向东走米，再向西走米，此时明明距离芳芳米，若丽丽从“”出发走了米，则此时丽丽与芳芳距离 米． 【答案】或 【分析】本题考查了正负数的意义，根据题意画出图形即可求解，掌握正负数的意义是解题的关键． 【详解】解：如图，当芳芳在小明东边时，此时丽丽与芳芳距离米， 如图，当芳芳在小明西边时，此时丽丽与芳芳距离米， 故答案为：或． 【例3】（2025六年级上·上海金山·专题练习）星星矿泉水标注的容量是550毫升，在抽检中测得实际容量超出了2毫升，记作毫升，毫升表示什么？你知道矿泉水瓶上标注的“550毫升（毫升）”是什么意思吗？ 【答案】毫升表示实际容量比标注容量少了2毫升，550毫升（毫升）表示合理的误差范围 【分析】本题考查了正负数的意义，此题首先要知道以谁为标准，规定超出标准的为正，低于标准的为负，由此用正负数解答问题．此题主要用正负数来表示具有意义相反的两种量：选550毫升为标准记为0，超过实际容量部分为正，不足实际容量的部分为负，直接得出结论即可． 【详解】解：毫升表示实际容量比标注容量少了2毫升.550毫升（毫升）表示合理的误差范围，也就是最多不超过555（毫升），最少不少于（毫升）， 【例4】（24-25六年级上·上海徐汇·期中）在活动课上，有6名学生用橡皮泥做了6个实心球，直径可以有毫米的误差，超过规定直径的毫米数记作正数，不足的记作负数，检查结果如表： 做实心球的同学 李明 张兵 王敏 余佳 赵平 蔡伟 检测结果 (1)请你指出哪些同学做的实心球是合乎要求的？ (2)哪个同学做的质量最接近标准质量？ 【答案】(1)张兵和蔡伟同学做的实心球是合乎要求的 (2)蔡伟同学做的质量最接近标准质量 【分析】本题主要考查了绝对值的意义、正负数的意义等知识点，正确掌握正负数的实际意义是解题的关键． （1）比较各个数据的绝对值，绝对值小于0.02是实心球是合乎要求，据此即可解答； （2）比较各个数据的绝对值，绝对值最小的实心球的质量最接近标准质量，据此即可解答． 【详解】（1）解：∵，． ∴张兵和蔡伟同学做的实心球是合乎要求的． （2）解：，， ∵， ∴蔡伟同学做的质量最接近标准质量． 1．（24-25六年级上·上海松江·期中）如图是一种转盘型密码，每次开锁时需要先把表示“”的刻度线与固定盘上的标记线对齐、再按顺时针或逆时针方向旋转带有刻度的转盘三次，例如，按逆时针方向旋转个小格记为“”，此时标记线对准的数是．再顺时针旋转个小格记为“”，再逆时针旋转个小格记为“”，锁可以打开，那么开锁密码就可以记为“，，．此时标记线对准的数是．如果一组开锁密码为“，，”要想打开锁，按上述规定方式旋转锁盘，锁打开时标记线对准的刻度线表示哪个数？（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正负数的意义，根据开锁密码的意义即可得解，根据实际问题理解表示具有相反意义的量是解题的关键． 【详解】解：∵按逆时针方向旋转个小格记为“”，此时标记线对准的数是．再顺时针旋转个小格记为“”，再逆时针旋转个小格记为“”，锁可以打开，那么开锁密码就可以记为“，，，此时标记线对准的数是， ∴开锁密码为“，，”，表示先按顺时针方向转格，再按逆时针方向转格，再按顺时针方向转格， 所以标记线按顺时针转了格， 则锁打开时标记线对准的刻度线表示为， 故选：． 2．（24-25六年级上·上海闵行·期中）武汉冬季某一天的最高气温为零上，记作，那么这天的最低气温零下可以记作 ． 【答案】 【分析】考查的是有关正数、负数在生活中应用，熟练掌握考查的是有关正数、负数在生活中应用的知识是解题的关键； 根据正数、负数在生活中应用即可求解； 【详解】解：某一天的最高气温为零上，记作， 最低气温零下可以记作， 故答案为： 3．（24-25六年级上·上海奉贤·期中）某体育用品店用400元购进了8套运动服，准备以一定价格出售．如果该店卖出每套运动服的价格以65元为标准，超出部分记做正数，不足部分记做负数，记录如下（单位：元）：，，，，，，0，． (1)你能求出销售后的总额吗？ (2)该店卖出这8套运动服后是盈利还是亏损？赢利（亏损）多少？ 【答案】(1)元 (2)盈利，元 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，正数和负数的实际应用，结合已知条件列出正确的算式是解题的关键． （1）根据正数和负数的实际意义列算式即可； （2）结合（1）中所求列式计算即可． 【详解】（1）解： （元）； 即销售后的总额为元； （2）解：， 该店卖出这8套运动服后是盈利， 盈利元． 4．（24-25六年级上·上海长宁·阶段练习）如图，检测10个排球，其中超过标准重量的克数记为正数，不足的克数记为负数，国际排联规定：一个排球的标准重量为克，若设被检测的排球的一个排球的标准重量为265克． (1)这10个排球中最接近标准重量的这个排球重 克． (2)这10个排球中，最轻的是 克． (3)求这10个排球的总重量是多少克？ 【答案】(1)264.4 (2)261.5 (3)2658.4克 【分析】本题主要考查正负数在实际生活中的应用及绝对值的意义，所以学生在学这一部分时一定要联系实际，要活学活用． （1）根据绝对值最小的是最接近标准的，可得答案； （2）根据最小的数是最轻的，可得答案； （3）根据有理数的加法运算，可得总重量． 【详解】（1）解： （克）， 所以这10个排球中最接近标准重量的这个排球重264.4克， 故答案为：264.4； （2）解：， （克）， 所以这10个排球中，最轻的是261.5克， 故答案为：261.5； （3）解：（克， 所以这10个排球的总重量是2658.4克． 1．（2025·上海松江·模拟预测）在，，，四个数中，其中最小的数是（　　） A． B．3 C． D．0 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的大小比较．根据正数大于，负数小于，正数大于一切负数，两个负数比较大小，绝对值大的反而小比较即可． 【详解】解：，，， ． 即在，，，，四个数中，最小的数是． 故选：A． 2．（2025·上海杨浦·模拟预测）在数轴上，表示下列各数的点到原点距离最近的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了数轴，根据到原点距离最近的点就是绝对值最小的数，对每个数作出判断，即可求出答案． 【详解】解：∵到原点的距离是1个单位长度， 到原点的距离是2个单位长度， 到原点的距离是3个单位长度， 到原点的距离是4个单位长度， ∴到原点的距离最近的数是． 故选：A． 3．（24-25六年级上·上海崇明·期末）我国是最早使用负数的国家，东汉初我国著名的数学著作《九章算术》明确提出了“正负术”．如果盈利元记作元，那么亏损元记作（　　） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】A 【分析】本题考查正负数的意义，理解正负数可以表示相反意义的量是解答本题的关键． 根据正负数的意义解答即可． 【详解】解：如果盈利元记作元，那么亏损元记作元， 故选：A． 4．（24-25六年级上·上海青浦·期中）数轴上的三个有理数a，b，c的大致位置如图所示，则下列选项中，值最小的是（   ） A．a B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了有理数，绝对值和数轴，根据数轴上点的位置得：，，结合数轴和绝对值依次判断即可得解，理解数轴上点的特点，结合有理数、绝对值的运算性质解题是关键． 【详解】解：根据数轴上点的位置得：，， ∴，，，， ∴结合数轴得， ∴ ， 故答案为：A ． 5．（24-25六年级上·上海虹口·期中）下面的五个时钟显示了同一时刻国外四个城市时间和北京时间，根据表中给出的国外四个城市与北京的时差，请你判断城市 代表北京（在A、B、C、D、E五个里面选一个填在横线上） 城市 时差/h 纽约 悉尼 伦敦 罗马 【答案】C 【分析】本题考查正数与负数，根据纽约、悉尼、伦敦、罗马，与北京的时差，结合钟表确定出对应的城市即可． 【详解】解：若以24小时制计时间， 第一个表的时间为8点或20点， 第二个表的时间为9点或21点， 第三个表的时间为4点或16点， 第四个表的时间为3点或15点， 第五个表的时间为6点或18点， 因为悉尼时间比北京时间多2个小时， 所以北京的时间只可能是4点或16点，此时E是悉尼，A是伦敦，B是罗马，D是纽约． 故答案为：C． 6．（24-25六年级上·上海闵行·阶段练习）向东走18米记作米，那么向西走米记作 米． 【答案】 【分析】本题考查了正数和负数，根据向东为正，那么就是向西为负即可解答，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量． 【详解】解：∵向东走18米记作米， ∴向西走米记作米， 故答案为：． 7．（24-25六年级上·上海闵行·阶段练习）如图，点A在数轴上所表示的数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了了数轴表示数，根据所给数轴，得出一个单位长度为小格，据此可得出答案，能根据题意得出一个单位长度为小格是解题的关键． 【详解】解：由所给数轴可知，一个单位长度为小格， ∴点与相距个单位长度，且在的左边， ∴点表示的数为， 故答案为：． 8．（24-25六年级上·上海长宁·阶段练习）下列各数中：，，0，，，，，（每相邻两个2之间0的个数逐次加1），其中正有理数有 个． 【答案】3 【分析】本题考查了有理数的定义和分类，熟练掌握有理数的定义是解题的关键； 有理数是整数（正整数、、负整数）和分数的统称，正有理数是大于的有理数，据此解答即可． 【详解】解：：是正分数，属于正有理数； ：是负整数，小于，不是正有理数； ：既不是正数也不是负数，不是正有理数； ：是负数，不是正有理数； ，是正整数，属于正有理数； ：是无限不循环小数，不是正有理数； ：是有限小数，可化为分数，且大于，属于正有理数； （每相邻两个之间的个数逐次加）：是无限不循环小数，不是正有理数； 综上，正有理数有，和，共3个． 故答案为：3． 9．（24-25六年级上·上海宝山·期中）同学们都知道表示5与之差的绝对值，也可理解为5与两数在数轴上所对的两点之间的距离，则对于任何有理数x，取最小值时，相应的x的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查数轴和绝对值，解题的关键是掌握绝对值的几何意义．根据绝对值的几何意义求解； 【详解】， 由表示的含义可得： 当时，有最小值，最小值为， ， 当时，的最小值为， 当时，有最小值为， 故答案为：； 10．（24-25六年级上·上海闵行·期中）对于数轴上的两点P，Q给出如下定义：P，Q两点到原点O的距离之差的绝对值称为P，Q两点的绝对距离，记为例如：，两点表示的数如图1所示，则| （1），两点表示的数如图2所示． ①，两点的绝对距离等于 ； ②若为数轴上一点（不与点重合），且|则点C表示的数是 ； （2），为数轴上的两点（点在点左边），且，若，则点M表示的数是 ． 【答案】 或 或 【分析】本题考查了数轴，解题关键是要读懂题目的意思，理解两点的绝对距离的定义． （1）①根据两点的绝对距离的定义即可求解； ②先根据得到，再根据两点的绝对距离的定义即可求解； （2）根据两点间的距离公式，以及，即可写出点M表示的数． 【详解】解：（1）①，两点的绝对距离为； ②∵，， ∴，即， ∴， ∴点表示的数为或； 故答案为：①，②或； （2）∵，，点在点左边， ∴点在点，N之间，，， ∴，； ∴点M表示的数为或 故答案为：或 11．（24-25六年级上·上海嘉定·期中）把下列各数填写在相应的集合中． ，7， ，，，，，0 ， (1)整数集合：； (2)分数集合：； (3)正数集合：； (4)非负数集合：． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【分析】本题考查了有理数的分类，正确把握相关定义是解题关键． （1）根据整数的定义即可得出答案； （2）根据分数的定义即可得出答案； （3）根据正数的定义即可得出答案； （4）根据非负数的定义即可得出答案； 【详解】（1）解：整数集合：， 故答案为：； （2）解：分数集合：， 故答案为：； （3）解：正数集合：， 故答案为：； （4）解：非负数集合：， 故答案为：． 12．（24-25六年级上·上海徐汇·期中）有理数在数轴上的位置如图： (1)______，______，______0；填（“”或“”） (2)如果互为相反数，则______； (3)计算：． 【答案】(1)，，； (2)； (3)． 【分析】（1）根据、、在数轴上的位置即可求解； （）根据相反数的定义即可求解； （）结合数轴，根据绝对值性质去绝对值符号，再合并即可求解； 本题考查了数轴，绝对值的性质，相反数的定义，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）解：由数轴可知：，， ∴，，， 故答案为：，，； （2）解：∵互为相反数， ∴，即， ∴， 故答案为：； （3）解：由数轴可知：， ∴ ． 13．（24-25六年级上·上海闵行·期中）观察下列几组数在数轴上体现的距离，并回答问题： （1）探究： 你能发现：3与5在数轴上的对应点间的距离可以表示为：；4与在数轴上的对应点间的距离可以表示为：；根据以上规律填空． ①数轴上表示6和3的两点之间的距离是 ． ②数轴上表示和的两点之间的距离是 ． ③数轴上表示和2的两点之间的距离是 ． （2）归纳： 一般的，数轴上表示数a和数b的两点之间的距离等于． （3）应用： ①如果数m和4两点之间的距离是6，则可记为：，求m的值． ②若数轴上表示数m的点位于与4之间，求的值． ③当m取何值时，的值最小，最小值是多少？请说明理由． 【答案】（1）①；②；③；（3）①；②；③当时，的值最小，最小值为． 【分析】本题考查了绝对值，数轴上两点间的距离，掌握相关知识是解题的关键． （1）①根据两点间的距离公式即可求解； ②根据两点间的距离公式即可求解； ③根据两点间的距离公式即可求解； （3）①根据两点间的距离公式和绝对值的意义即可求解； ②根据两点间的距离公式和绝对值的意义即可求解； ③根据线段上的点到线段两端点的距离和最小即可求解． 【详解】解：（1）①数轴上表示6和3的两点之间的距离是， 故答案为：； ②数轴上表示和的两点之间的距离是， 故答案为：； ③数轴上表示和2的两点之间的距离是， 故答案为：； （3）①， 解得：； ②∵数轴上表示数m的点位于与4之间， ∴， ∴ ； ③，表示点到三点的距离和， ∴当时，点到三点的距离和最小，即的值最小， ∴， ∴当时，的值最小，最小值为． 14．（24-25六年级上·上海普陀·期中）如图1，点Z将线段分成和两部分．若或，则称点Z是线段的“分”点． 【理解定义】                                             （1）若线段，Z是线段的“分”点，且，则 ； 【解决问题】 如图2，有一张半径为个单位长度的圆形纸片，将该纸片边上的某点与数轴上表示1的点重合，并把该纸片沿数轴向右无滑动地滚动1周，使该点到达点D的位置． （2）若不重合的两点M、N均为线段的“分”点，求线段的长度； （3）在图2中，点P从点O出发，以3个单位长度/秒的速度沿数轴向右运动；同时，点Q从点D出发，以1个单位长度/秒的速度沿数轴向右运动，运动时间为t秒．在点P、D、Q三个点中，当点D和P分别为其余两点所构成线段的“分”点时，直接写出t的值． 【答案】（1）4；（2）；（3）， ，， 【分析】本题主要考查了数轴上的动点问题，数轴上两点之间的距离，解一元一次方程， 对于（1），先设，则，根据题意得出方程，求出解即可； 对于（2），先求出点D表示的数，可得，再根据新定义得，，最后根据得出答案； 对于（3），设当运动时间为t秒时，点P表示的数是，点Q表示的数是， 再分两种情况：当点D是线段的“分”点时，当点P是线段的“分”点时，列出方程，求出解即可. 【详解】解：（1）设，则，根据题意，得 ， 解得， ∴； 故答案为：4； （2）∵点D表示的数是， ∴. ∵不重合的两点M，N均为线段的“分”点，假设点M在点N的左边， ∴，， ∴； （3）当运动时间为t秒时，点P表示的数是，点Q表示的数是， 当点D是线段的“分”点时， 或， 解得或； 当点P是线段的“分”点时， 或， 解得或. 所以，t的值为或或得或. 15．（23-24六年级上·上海奉贤·阶段练习）近几年，全球的新能源汽车发展迅猛，尤其对于我国来说，新能源汽车产销量都大幅度增加．小明家新换了一辆新能源纯电汽车，他连续7天记录了每天行驶的路程（如表）．以为标准，多于的记为“＋”，不足的记为“－”，刚好的记为“0”． 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 路程（km） (1)请求出小明家的新能源汽车这7天一共行驶了多少千米？ (2)已知汽油车每行驶需用汽油升，汽油价为元/升，而新能源汽车每行驶耗电量为15度，每度电为元，小明家换成新能源汽车后这7天的行驶费用比原来节省多少钱？ 【答案】(1)小明家的新能源汽车这7天一共行驶了300千米 (2)小明家换成新能源汽车后这7天的行驶费用比原来节省110.1元 【分析】本题主要考查正负数的实际应用及有理数的混合运算， （1）计算出表格中的和再加上7天每天求出总路程即可； （2）利用（1）中的总路程计算总费用即可． 【详解】（1）解：（千米）， 答：小明家的新能源汽车这7天一共行驶了300千米． （2）解：（元）， （元）， （元）， 答：小明家换成新能源汽车后这7天的行驶费用比原来节省元． 学科网（北京）股份有限公司 $$