专题06 万有引力与航天（复习）-【暑假自学课】2025年新高二物理暑假提升精品讲义（人教版2019）

专题06 万有引力与航天 内容导航 考点聚焦：核心考点+高考考点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 难点强化：难点内容标注与讲解，能力提升 复习提升：真题感知+提升专练，全面突破 核心考点聚焦 1.天体质量(密度)的估算 2.卫星及其运行参量 3.卫星变轨与追及相遇问题 4.双星问题 高考考点聚焦 常考考点 真题举例 天体质量(密度)的估算 2024·海南卷 卫星及其运行参量 2024·福建卷 卫星变轨与追及相遇问题 2023·湖北卷 双星问题 2023·福建卷 知识点一：天体质量(密度)的估算 1．重力加速度法 利用天体表面的重力加速度g和天体半径R求解。 (1)由G＝mg得天体质量M＝。 (2)天体密度ρ＝＝＝。 2．天体环绕法 利用卫星绕天体做匀速圆周运动的周期T和半径r求解。 (1)由G＝mr得天体的质量M＝。 (2)若已知天体的半径R，则天体的密度ρ＝＝＝。 (3)若卫星绕天体表面运行，可认为轨道半径r等于天体半径R，则天体密度ρ＝，可见，只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T，就可估算出中心天体的密度。 知识点二：卫星及其运行参量 1．宇宙速度与运动轨迹的关系 (1)v发＝7.9 km/s时，卫星绕地球做匀速圆周运动。 (2)7.9 km/s<v发<11．2 km/s，卫星绕地球运动的轨迹为椭圆。 (3)11．2 km/s≤v发<16.7 km/s，卫星绕太阳做椭圆运动。 (4)v发≥16.7 km/s，卫星将挣脱太阳引力的束缚，飞到太阳系以外的空间。 2．物理量随轨道半径变化的规律 3.静止同步卫星的6个“一定” 4．近地卫星、同步卫星及赤道上物体的比较 如图所示，a为近地卫星，半径为r1；b为地球同步卫星，半径为r2；c为赤道上随地球自转的物体，半径为r3。 比较项目 近地卫星 (r1、ω1、v1、a1) 同步卫星(r2、ω2、v2、a2) 赤道上随地球自转的物体(r3、ω3、v3、a3) 向心力 万有引力 万有引力 万有引力的一个分力 轨道半径 r2>r1＝r3 角速度 由G＝mω2r得ω＝，故ω1>ω2 同步卫星的角速度与地球自转角速度相同，故ω2＝ω3 ω1>ω2＝ω3 线速度 由G＝m得v＝，故v1>v2 由v＝rω得v2>v3 v1>v2>v3 向心加速度 由G＝ma得a＝，故a1>a2 由a＝ω2r得a2>a3 a1>a2>a3 5．重要条件 (1)地球的公转周期为1年，其自转周期为1天(24小时)，地球半径约为6.4×103 km，地球表面重力加速度g约为9.8 m/s2。 (2)人造地球卫星的运行半径最小为r＝6.4×103 km，运行周期最小为T＝84.8 min，运行速度最大 为v＝7.9 km/s。 知识点三：卫星变轨与追及相遇问题 1．变轨原理及过程 (1)为了节省能量，在赤道上顺着地球自转方向发射卫星到圆轨道Ⅰ上，如图所示。 (2)在A点(近地点)点火加速，由于速度变大，万有引力不足以提供卫星在轨道Ⅰ上做圆周运动的向心力，卫星做离心运动进入椭圆轨道Ⅱ。 (3)在B点(远地点)再次点火加速进入圆形轨道Ⅲ。 2．常见变轨过程“四分析” (1)速度：设卫星在圆轨道Ⅰ和Ⅲ上运行时的速率分别为v1、v3，在轨道Ⅱ上过A点和B点时速率分别为vA、vB。在A点加速，则vA>v1，在B点加速，则v3>vB，又因v1>v3，故有vA>v1>v3>vB。 (2)加速度：因为在A点，卫星只受到万有引力作用，故不论从轨道Ⅰ还是轨道Ⅱ上经过A点，卫星的加速度都相同，同理，经过B点时加速度也相同。 (3)周期：设卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道上的运行周期分别为T1、T2、T3，轨道半径分别为r1、r2(半长轴)、r3，由开普勒第三定律＝k可知T1<T2<T3。 (4)机械能：在一个确定的圆(椭圆)轨道上机械能守恒。若卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道的机械能分别为E1、E2、E3，则E1<E2<E3。 3.绕同一中心天体，在同一轨道平面内不同高度上同向运行的卫星，因运行周期的不同，两颗卫星有时相距最近，有时又相距最远，这就是天体中的“追及相遇”问题。 相距 最远 当两卫星位于和中心天体连线的半径上两侧时，两卫星相距最远，从运动关系上，两卫星运动关系应满足(ωA－ωB)t′＝(2n－1)π(n＝1,2,3，…) 相距 最近 两卫星的运转方向相同，且位于和中心天体连线的半径上同侧时，两卫星相距最近，从运动关系上，两卫星运动关系应满足(ωA－ωB)t＝2nπ(n＝1,2,3，…) 知识点四：双星问题 1.模型构建：绕公共圆心转动的两个星体组成的系统，我们称之为双星系统，如图所示。 2.特点： ①各自所需的向心力由彼此间的万有引力提供，即＝m1ω12r1，＝m2ω22r2 ②两颗星的周期及角速度都相同，即T1＝T2，ω1＝ω2。 ③两颗星的轨道半径与它们之间的距离关系为：r1＋r2＝L。 一、天体质量(密度)的估算 1．2025年中国航天将迎来更多突破，新一代载人飞船和月面着陆器将进入实质性测试阶段，我国第四批预备航天员不仅要执行空间站任务，未来也将执行载人登月任务。假设以同样大小的初速度分别在月面和地面竖直上抛小球（不计地面上的空气阻力），小球在月面上升的最大高度为在地面上的6倍。已知地球半径为月球半径的4倍，则地球和月球的平均密度之比为（　　） A．6∶1 B．1∶6 C．2∶3 D．3∶2 2．假设宇航员乘坐星际飞船着陆某星球后，在星球表面以初速度v0水平抛出一小球，测得小球下落的高度h与水平位移x的平方关系图像如图所示。已知引力常量为G，忽略星球表面空气阻力和星球的自转，下列说法正确的是（　　） A．星球表面的重力加速度为 B．可以求得该星球的第一宇宙速度 C．可以求得星球的质量 D．可以求得星球的密度 3．1789年英国物理学家卡文迪许测出引力常量G，因此卡文迪许被称为“能称出地球质量的人”。若已知引力常量为G，地球表面处的重力加速度为g，地球半径为R，地球上一个昼夜的时间为（地球自转周期），一年的时间为（地球公转周期），地球中心到月球中心的距离为，地球中心到太阳中心的距离为。下列说法不正确的是（    ） A．地球的质量 B．太阳的质量 C．月球的质量 D．由题中数据可求地球的密度 4．由于地球自转的影响，地球表面的重力加速度会随纬度的变化而有所不同。已知地球表面两极处的重力加速度大小为g0，在赤道处的重力加速度大小为g，地球自转的线速度为v，引力常量为G。假设地球可视为质量分布均匀的球体。下列说法正确的是（　　） A．质量为m的物体在地球北极受到的重力大小为mg B．质量为m的物体在地球赤道上受到的万有引力大小为mg C．地球的半径为 D．地球的密度为 二、卫星及其运行参量 5．某同学在观看飞船发射电视转播时，看到飞船控制中心的大屏幕上显示如图所示的曲线。由图形得知，飞船每飞行两周，地球自转。假设飞船绕地球做匀速圆周运动，已知地球质量为M，地球半径为R，地球自转周期为T，万有引力常量为G，则此飞船运行的轨道高度为（    ） A． B． C． D． 6．太阳系中，如图所示可以认为金星和火星均绕太阳做匀速圆周运动。已知金星的半径是火星半径的n倍，金星的质量为火星质量的K倍。若忽略行星的自转，说法正确的是（　　） A．金星绕太阳运动的周期比火星大 B．金星的第一宇宙速度是火星的倍 C．金星表面的重力加速度是火星的倍 D．金星绕太阳的向心加速度小于火星绕太阳的向心加速度 7．如图所示，a为放在赤道上相对地球静止的物体，随地球自转做匀速圆周运动，b为在地球表面附近做匀速圆周运动的人造卫星（轨道半径约等于地球半径），c为地球静止卫星。下列关于a、b、c的说法中正确的是（　　） A．b卫星的线速度大于7.9km/s B．c卫星的向心加速度最小 C．a、b做匀速圆周运动的周期相同 D．在b、c中，b的线速度大 8．如图所示，已知地球的一颗静止卫星信号最多覆盖地球赤道上的经度范围为2α。另一颗其他卫星信号最多覆盖的赤道经度范围为2β（图中未画出），若α>β，两颗卫星围绕地球转动的方向相同，不考虑两卫星间的影响。若某时刻另一颗卫星位于地球和静止卫星连线中间的某位置。下列说法正确的是（　　）    A．另一颗卫星的周期为12小时 B．静止卫星和另一颗卫星的线速度之比为 C．至少经过小时，另一颗卫星再次到达地球和静止卫星连线中间某位置 D．经过相同时间，静止卫星与另一颗卫星半径扫过的面积之比为 三、卫星变轨与追及相遇问题 9．我国于2018年12月成功发射“嫦娥四号”探测器，实现了人类首次月球背面着陆。假设“嫦娥四号”探测器的发射过程简化如下：探测器从地球表面发射后，进入地月转移轨道，经过M点时变轨进入距离月球表面100km的圆形轨道Ⅰ，在轨道Ⅰ上经过P点时再次变轨进入椭圆轨道Ⅱ，之后将在Q点着陆月球表面。下列说法正确的是（　　） A．“嫦娥四号”探测器的发射速度大于地球的第二宇宙速度 B．“嫦娥四号”在轨道Ⅰ上经过M点的速度小于在轨道Ⅱ上经过Q点的速度 C．“嫦娥四号”在轨道Ⅰ上经过P点的加速度小于在轨道Ⅱ上经过P点的加速度 D．“嫦娥四号”在M点需要加速才能实现从地月转移轨道转移到Ⅰ轨道 10．2025年2月11日，我国新型火箭长征八号改进型运载火箭首飞成功，将低轨02组9颗卫星送入距离地面高度约为的轨道，其发射过程简化如图所示：卫星从预定轨道I的点第一次变轨进入椭圆轨道II，到达椭圆轨道的远地点B时，再次变轨进入空间站的运行轨道III并做匀速圆周运动，与空间站实现对接。假设轨道I和III都近似为圆轨道，不计卫星质量的变化，地球半径为，地球表面的重力加速度为，下列说法正确的是（　　） A．卫星在圆轨道III经过点B的速度小于卫星在椭圆轨道II经过点A的速度 B．卫星在椭圆轨道II经过点A的速度可能大于 C．在轨道I上卫星与地心连线单位时间内扫过的面积等于在轨道II上卫星与地心连线单位时间内扫过的面积 D．卫星沿轨道III运行的周期为70分钟 11．2025年2月28日晚，天空中出现了罕见的“七星连珠”天象，“七星连珠”是指太阳系中的七颗行星运动到了太阳同一侧且恰好都与太阳排列在同一条直线上。地球绕太阳公转的平均轨道半径在天文学上被称作一个天文单位，已知火星绕太阳公转的轨道半径约为1.5个天文单位， 则发生地球、火星二星连珠间隔的时间最短为（　　） A．年 B．年 C．年 D．年 12．2024年4月25日20时59分，搭载神舟十八号载人飞船的长征二号F遥十八运载火箭在酒泉卫星发射中心点火发射，约10分钟后，神舟十八号载人飞船与火箭成功分离，进入预定轨道，航天员乘组状态良好，发射取得圆满成功。某时刻，质量为m的飞船恰好在空间站正下方与地心距离为r1的轨道上以周期T1做匀速圆周运动，如图所示，已知空间站所处的轨道与地心距离为r2，周期为T2，地球质量为M，引力常量为G。卫星与地心间距离为r时，取无穷远处为势能零点，引力势能可以表示为。则（　　） A．飞船再次到达空间站正下方需要的最短时间为 B．飞船在该轨道运行时，动能为 C．飞船在该轨道运行时，机械能为 D．若飞船从该轨道合适的位置开始跃升，直至与空间站完成对接，则过程中飞船至少需要消耗的能量为 4、 双星问题 13．人类首次发现的引力波来源于距地球之外13亿光年的两个黑洞互相绕转最后合并的过程。设两个黑洞A、B绕其连线上的O点做匀速圆周运动，如图所示，黑洞A的轨道半径大于黑洞B的轨道半径，两个黑洞的总质量为M，两个黑洞中心间的距离为L，则（　　） A．黑洞A的质量一定小于黑洞B的质量 B．黑洞A的线速度一定小于黑洞B的线速度 C．黑洞A的向心力一定小于黑洞B的向心力 D．两个黑洞的总质量M一定，L越大，角速度越大 14．如图所示的双星系统，甲、乙两颗恒星绕连线上的O点做匀速圆周运动，间距L保持不变，已知一段时间t内乙转过的角度为θ，万有引力常量为G，下列说法正确的是（　　） A．甲、乙圆周运动的半径与两恒星质量成反比 B．甲、乙的线速度大小与两恒星质量成正比 C．甲的周期大于 D．甲、乙的总质量为 15．如图所示，宇宙中有相距较近、质量相差不大的两个星球，它们离其他星球都较远，其他星球对它们的万有引力可以忽略不计。在这种情况下，它们将围绕其连线上的某一固定点做匀速圆周运动，通常，我们把这样的两个星球称为“双星”。如图所示，两星球的质量分别为m1和m2，两星球到定点O的距离分别为r1和r2，两星球的间距为L，运行周期为T，下列说法正确的是（　　） A．两星球的运行线速度相等 B．两星球的向心加速度相等 C．两星球的运行周期满足 D．两星球的运行周期满足 16．“食双星”是一种双星系统、两颗恒星互相绕行的轨道几乎在视线方向，这两颗恒星会交互挡住对方，造成双星系统的光度发生周期性的变化，双星的光变周期就是它们的绕转周期。如大熊座UX星，光变周期为4小时43分，该双星由A星和B星组成，A星为2.3个太阳质量，B星为0.98个太阳质量，A星的表面物质开始受B星的引力离开A星表面流向B星表面，短时间内可认为两星之间距离不发生变化，双星系统的质量和也不发生变化，关于该短时间过程描述正确的是（　　） A．双星之间的万有引力将减小 B．A星做圆周运动的半径变小 C．B星的线速度将增大 D．光变周期不变 一、单选题 1．节气是指二十四个时节和气候，是中国古代订立的一种用来指导农事的补充历法，早在《淮南子》中就有记载。现行二十四节气划分是以地球和太阳的连线每扫过定为一个节气，如图所示为北半球二十四个节气时地球在公转轨道上位置的示意图，其中冬至时地球在近日点附近。根据下图，下列说法正确的是（    ） A．地球受太阳的引力“芒种”时比“小满”时大 B．“芒种”到“小暑”的时间间隔比“大雪”到“小寒”的短 C．“立春”时地球公转的加速度大于“立秋”时地球公转的加速度 D．地球自转周期的平方与轨道半长轴三次方的比值是一个仅与太阳质量有关的常数 2．我国航天科学家在进行深空探索的过程中发现有颗星球具有和地球一样的自转特征。如图所示，假设该星球绕AB轴自转，CD所在的赤道平面将星球分为南北半球，OE连线与赤道平面的夹角为30°，经测定，A位置的重力加速度为g，D位置的重力加速度为g，则E位置的向心加速度为（　　） A． B． C． D． 3．2024年6月25日，嫦娥六号返回器准确着陆于内蒙古四子王旗预定区域，工作正常，实现世界首次月球背面采样返回。据中国探月工程总设计师吴伟仁院士介绍：我国航天员有望在十年内登上月球。如果将来宇航员在月球（视为质量分布均匀的球体）表面以大小为的初速度竖直上抛一物体（视为质点），经时间返回手中。已知引力常量为，月球的半径为，则（　　） A．月球表面的重力加速度为 B．月球的质量为 C．在月球上发射卫星的最小发射速度为 D．月球卫星的最小环绕速度为 4．2024年10月30日，“神舟十九号”航天员乘组顺利进驻中国空间站。假设“神舟十九号”飞船升空后先进入停泊轨道（即近地圆轨道），而后进入转移轨道，最后在中国空间站轨道与空间站组合体对接。各个轨道的示意图如图所示，已知地球的半径为R，地球表面的重力加速度为g，飞船在停泊轨道的运行周期为T，中国空间站轨道可视为圆形轨道且距地面高度为h，引力常量为G，则下列说法正确的是（　　） A．飞船在P点从停泊轨道进入转移轨道时需要减速 B．空间站组合体的向心加速度大小为 C．可估得地球的平均密度为 D．飞船在转移轨道上从P点运行至Q点所需的时间为 5．自从2021年成功登陆火星以来，祝融号已经传回了大量的探测数据，极大地增进了我们对火星的了解，引人注目的是，近日又一个消息传来，科学家根据祝融号传回的探测数据，发现了火星存在过古代海洋的铁证，可谓是火星大发现．假设未来某一天人类登上的火星，手握拉力传感器用长为l的轻绳牵引质量为m的小球在竖直平面内做圆周运动，测得拉力传感器的最大值和最小值分别为和。已知该火星的半径为R，可视为质量均匀分布的球体，不计一切阻力和火星的自转影响，万有引力常量为G，则下列说法中错误的是（　　） A．该行星的密度为 B．该行星表面的重力加速度为 C．该行星的第一宇宙速度为 D．若该行星有一颗近地环绕卫星，则近地环绕卫星的周期为 6．月球是人类开展地外空间探索的理想基地。某宇航员在月球表面将一物体从距水平月面高度为h处以大小为的速度水平抛出，物体在水平月面上的落点到抛出点的水平距离为x。若月球的半径为R，不计月球的自转，则月球的第一宇宙速度为（　　） A． B． C． D． 7．北斗卫星导航系统是我国自行研制的全球卫星导航系统，由55颗卫星组成。如图所示，人造地球卫星A、B均做匀速圆周运动，卫星B为地球静止卫星，C是静止在赤道上的物体。若某时刻A、B、C与地心O在同一平面内，且，下列说法正确的是（　　） A．卫星A的周期大于卫星B的周期 B．卫星A的角速度大于卫星B的角速度 C．卫星B的线速度小于物体C的线速度 D．物体C的向心加速度大于卫星A的向心加速度 8．如图所示，Ⅰ为北斗卫星导航系统中的静止轨道卫星，其对地张角为；Ⅱ为地球的近地卫星。已知地球的自转周期为，万有引力常量为G，根据题中条件，可求出（　　） A．地球的平均密度为 B．卫星Ⅰ和卫星Ⅱ的加速度之比为 C．卫星Ⅱ的周期为 D．卫星Ⅱ运动的线速度为 9．2024年10月30日，神舟十九号由长征二号F遥十九运载火箭送入近地点约为200km，远地点约为362km的预定椭圆轨道。约6.5小时后，神舟十九号成功对接空间站天和核心舱前向端口，如图所示。下列说法正确的是（　　） A．飞船从近地点沿椭圆轨道到达远地点的过程中机械能增加 B．飞船在椭圆轨道的远地点与变轨到圆轨道后相比，加速度大小不变 C．空间站组合体中的人和物体均处于超重状态 D．对接后空间站组合体质量增大，在原来的圆轨道上运行的速度变大 10．地月系统可认为是月球绕地球做匀速圆周运动如图（a）所示，月球绕地球运动的周期为；也可认为地月系统是一个双星系统如图（b）所示，在相互之间的万有引力作用下，绕连线上的O点做匀速圆周运动，月球绕O点运动的周期为。若地球、月球质量分别为M、m，两球心相距为r，万有引力常量为G，下列说法正确的是（　　） A．图（a）月球绕地球运动的周期等于图（b）中月球绕地球O点运动的周期 B．图（a）中， 地球密度为 C．地月双星轨道中O点到地心距离为 D．图（a）中，若把部分月壤运回到地球，最终月球绕地球做圆周运动轨道半径将变小 二、多选题 11．航天员登上某半径为的球形未知天体，在该天体表面将一质量为的小球以初速度竖直上抛，上升的最大高度为，引力常量为，则（　　） A．该位置天体表面中的加速度大小为 B．该位置天体表面中的加速度大小为 C．该未知天体质量为 D．该未知天体质量为 12．中国将全面推进探月工程四期，规划包括嫦娥六号、嫦娥七号和嫦娥八号任务。“嫦娥五号”探测器是中国首个实施无人月面取样的航天器，其发射的简化过程如图。先将探测器送入近地圆轨道Ⅰ，在近地点多次变轨后依次进入椭圆轨道Ⅱ和地月转移轨道。被月球捕获后，再多次变轨进入近月圆轨道Ⅲ。已知探测器在轨道Ⅰ和轨道Ⅲ运行的周期之比为，不计空气阻力，下列判断正确的是（　　） A．探测器在轨道Ⅰ、Ⅱ上运行时的机械能相等 B．探测器在椭圆轨道Ⅱ上运行过程中机械能守恒 C．地球和月球的平均密度之比为1：a D．地球和月球的平均密度之比为 13．如图所示，观察“神舟十号”在圆轨道上的运动，发现每经过时间t通过的弧长为l，该弧长对应的圆心角为θ（弧度），已知引力常量为G，则（　　） A．神舟十号的线速度为 B．由此可推导出地球的质量为 C．由此可推出地球的质量为 D．若地球质量变大，神舟十号轨道不变，则运行周期变短 14．月球的自转周期和公转周期十分接近，因此月球始终以同一面朝向地球。一月球探测器分别在月球极地和赤道用弹簧秤称量一质量为m的物体，弹簧秤示数分别为和。已知月球的自转周期为T，引力常量为G，将月球视为质量分布均匀的球，已知球的体积公式为，下列说法中正确的是（　　） A．月球的质量为 B．月球的质量为 C．月球的密度为 D．月球的密度为 15．甲、乙两颗卫星在不同轨道上绕地球运动，甲卫星的轨道是圆，半径为R，乙卫星的轨道是椭圆，其中P点为近地点，到地心的距离为a，Q为远地点，到地心的距离为b。已知，则下列说法正确的是（　　） A．卫星乙运动到P点时的速度可能小于卫星甲的速度 B．卫星乙运动到Q点时的速度一定小于卫星甲的速度 C．若，卫星甲运行的周期一定大于卫星乙运行的周期 D．卫星乙从P点运动到Q点的过程中机械能减少 16．图甲是“天梯”项目海基平台效果图，该项目是在赤道上建造垂直于水平面的“太空电梯”，航天员乘坐太空舱通过“太空电梯”直通地球空间站。图乙中r为航天员到地心的距离，R为地球半径。曲线A为地球引力对航天员产生的加速度大小与r的关系；直线B为航天员由于地球自转而产生的向心加速度大小与r的关系。关于质量为m，相对地面静止，在“太空电梯”不同高度的航天员，下列说法正确的是（　　） A．随着r的增大，航天员的线速度逐渐增大 B．图乙中为地球同步卫星的轨道半径 C．航天员随地球自转的周期为 D．离地高度为2R时（轨道半径小于），航天员对座椅的压力大小为 17．我国航天局宣布国家已批准通过了行星探测工程，计划在未来的1015年间展开并完成对小行星、火星、木星等行星的取样返回的研究。若从地球上直接发射一个探测器，探测器被小行星捕获，需由高轨道适当位置启动发动机进入椭圆转移轨道，再由椭圆轨道适当位置变速进入环绕小行星表面运动的轨道，这个过程简化示意图如图所示，已知圆轨道Ⅰ、Ⅲ共面，椭圆轨道平面与Ⅰ轨道平面的夹角为，则下列说法正确的是（　　） A．探测器从Ⅰ轨道上经过点的加速度等于Ⅱ轨道上经过点的加速度 B．探测器从Ⅰ轨道进入Ⅱ轨道需要在点向前喷气 C．探测器在地球上的发射速度大于 D．探测器在Ⅱ轨道上从点运动到点的过程中机械能增大 18．中国“FAST”球面射电望远镜发现一个脉冲双星系统。科学家通过脉冲星计时观测得知该双星系统由一颗脉冲星与一颗白矮星组成。如图所示，假设在太空中有两颗恒星A、B组成的双星系统绕O点做逆时针匀速圆周运动，它们的轨道半径分别为、，运动周期为；C是恒星B的卫星，绕B做逆时针匀速圆周运动，周期为，且。已知A与B之间的引力远大于B与C之间的引力，万有引力常量为G，则（　　） A．恒星A的质量小于恒星B的质量 B．恒星A的质量为 C．如果已知C的轨道半径为r，恒星B的质量为 D．三星A、B、C相邻两次共线的时间间隔为 19．如图中的、、、、所示，人们称为拉格朗日点。其中位于、、点上的飞行器，在太阳与地球共同引力作用下，可以几乎不消耗燃料与地球保持同步绕太阳做圆周运动。若发射一颗卫星定位于拉格朗日点，下列说法正确的是（　　） A．该卫星绕太阳运动的周期和地球自转周期相等 B．该卫星在点处于非平衡状态 C．该卫星绕太阳运动的向心加速度大于地球绕太阳运动的向心加速度 D．该卫星在处所受太阳和地球引力的合力比其在处小 20．宇宙空间存在一些离其他恒星较远的三星系统，其中有一种三星系统如图所示，三颗质量均为m的星体位于等边三角形的三个顶点，三角形边长为L。忽略其他星体对它们的引力作用，三星在同一平面内绕三角形中心O做匀速圆周运动，引力常量为G。下列说法正确的是（　　） A．每颗星做圆周运动的线速度为 B．每颗星做圆周运动的加速度 C．若距离L和每颗星的质量m都变为原来的2倍，则线速度变为原来的2倍 D．若距离L和每颗星的质量m都变为原来的2倍，则周期变为原来的2倍 三、计算题 21．如图所示，宇航员站在某质量分布均匀的星球表面的一个斜坡上点，沿水平方向以初速度抛出一个小球，测得小球经时间落到斜坡上另一点，测得斜坡的倾角为，已知该星球的半径为，引力常量为，求： (1)该星球表面的重力加速度； (2)该星球的密度； (3)该星球的第一宇宙速度。 22．2020年12月1日，“嫦娥五号”探测器成功在月球正面预选着陆区实现软着陆。如图甲所示，探测器在月球表面着陆前反推发动机向下喷气以获得向上的反作用力，探测器减速阶段可看作竖直方向的匀变速直线运动。若探测器获得的反作用力大小为，经历时间，速度由减速到0、月球半径为、引力常量为，探测器质量为。求： (1)月球表面的第一宇宙速度； (2)月球的质量和密度； (3)若将来的某天，中国航天员在月球表面做了如图乙所示的实验，将一根长为的细线的一端固定在点、另一端固定一小球，使小球在竖直平面内恰好做完整的圆周运动，小球可视为质点，则小球在最高点的速度大小是多少。 23．有a、b两颗人造地球卫星，如图所示，a在赤道上空绕地球做匀速圆周运动，对地张角，b为贴地飞行的超低空轨道卫星（图中未画出）。地球（视为质量分布均匀的球体）的半径为R，地球的密度为，地球自转的周期为，引力常量为G，球的体积公式为，其中r为球的半径。 (1)求a运行的周期以及b运行的周期； (2)若a、b的运行方向相同，求二者不能直接通信的连续时间t。 24．地球和火星绕太阳的运动均可视为匀速圆周运动，已知地球公转轨道半径与火星公转轨道的半径之比为，地球质量约为火星质量的10倍，地球半径约为火星半径的2倍，地球表面的重力加速度大小为，忽略火星大气阻力，忽略火星的自转。质量为的“天问一号”着陆器在着陆火星前，会在火星表面附近经历一个时长为、速度由减速到零的过程，若该减速过程可视为一个竖直向下的匀减速直线运动，求：（结果用题中所给物理量符号表示，可带根号） (1)地球与火星绕太阳运动的线速度大小之比； (2)火星表面的重力加速度大小； (3)着陆器由减速到零的过程中受到的制动力大小。 25．已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为0。地球可以看作是质量分布均匀的球体，其半径为，质量为（万有引力常量为）。 (1)若“天宫”空间站的运行周期为，求其距地面的高度。 (2)天下第一天坑是重庆奉节的小寨天坑，若天坑深度为，求坑底的重力加速与地球表面的重力加速度的比值。 / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 万有引力与航天 内容导航 考点聚焦：核心考点+高考考点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 难点强化：难点内容标注与讲解，能力提升 复习提升：真题感知+提升专练，全面突破 核心考点聚焦 1.天体质量(密度)的估算 2.卫星及其运行参量 3.卫星变轨与追及相遇问题 4.双星问题 高考考点聚焦 常考考点 真题举例 天体质量(密度)的估算 2024·海南卷 卫星及其运行参量 2024·福建卷 卫星变轨与追及相遇问题 2023·湖北卷 双星问题 2023·福建卷 知识点一：天体质量(密度)的估算 1．重力加速度法 利用天体表面的重力加速度g和天体半径R求解。 (1)由G＝mg得天体质量M＝。 (2)天体密度ρ＝＝＝。 2．天体环绕法 利用卫星绕天体做匀速圆周运动的周期T和半径r求解。 (1)由G＝mr得天体的质量M＝。 (2)若已知天体的半径R，则天体的密度ρ＝＝＝。 (3)若卫星绕天体表面运行，可认为轨道半径r等于天体半径R，则天体密度ρ＝，可见，只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T，就可估算出中心天体的密度。 知识点二：卫星及其运行参量 1．宇宙速度与运动轨迹的关系 (1)v发＝7.9 km/s时，卫星绕地球做匀速圆周运动。 (2)7.9 km/s<v发<11．2 km/s，卫星绕地球运动的轨迹为椭圆。 (3)11．2 km/s≤v发<16.7 km/s，卫星绕太阳做椭圆运动。 (4)v发≥16.7 km/s，卫星将挣脱太阳引力的束缚，飞到太阳系以外的空间。 2．物理量随轨道半径变化的规律 3.静止同步卫星的6个“一定” 4．近地卫星、同步卫星及赤道上物体的比较 如图所示，a为近地卫星，半径为r1；b为地球同步卫星，半径为r2；c为赤道上随地球自转的物体，半径为r3。 比较项目 近地卫星 (r1、ω1、v1、a1) 同步卫星(r2、ω2、v2、a2) 赤道上随地球自转的物体(r3、ω3、v3、a3) 向心力 万有引力 万有引力 万有引力的一个分力 轨道半径 r2>r1＝r3 角速度 由G＝mω2r得ω＝，故ω1>ω2 同步卫星的角速度与地球自转角速度相同，故ω2＝ω3 ω1>ω2＝ω3 线速度 由G＝m得v＝，故v1>v2 由v＝rω得v2>v3 v1>v2>v3 向心加速度 由G＝ma得a＝，故a1>a2 由a＝ω2r得a2>a3 a1>a2>a3 5．重要条件 (1)地球的公转周期为1年，其自转周期为1天(24小时)，地球半径约为6.4×103 km，地球表面重力加速度g约为9.8 m/s2。 (2)人造地球卫星的运行半径最小为r＝6.4×103 km，运行周期最小为T＝84.8 min，运行速度最大 为v＝7.9 km/s。 知识点三：卫星变轨与追及相遇问题 1．变轨原理及过程 (1)为了节省能量，在赤道上顺着地球自转方向发射卫星到圆轨道Ⅰ上，如图所示。 (2)在A点(近地点)点火加速，由于速度变大，万有引力不足以提供卫星在轨道Ⅰ上做圆周运动的向心力，卫星做离心运动进入椭圆轨道Ⅱ。 (3)在B点(远地点)再次点火加速进入圆形轨道Ⅲ。 2．常见变轨过程“四分析” (1)速度：设卫星在圆轨道Ⅰ和Ⅲ上运行时的速率分别为v1、v3，在轨道Ⅱ上过A点和B点时速率分别为vA、vB。在A点加速，则vA>v1，在B点加速，则v3>vB，又因v1>v3，故有vA>v1>v3>vB。 (2)加速度：因为在A点，卫星只受到万有引力作用，故不论从轨道Ⅰ还是轨道Ⅱ上经过A点，卫星的加速度都相同，同理，经过B点时加速度也相同。 (3)周期：设卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道上的运行周期分别为T1、T2、T3，轨道半径分别为r1、r2(半长轴)、r3，由开普勒第三定律＝k可知T1<T2<T3。 (4)机械能：在一个确定的圆(椭圆)轨道上机械能守恒。若卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道的机械能分别为E1、E2、E3，则E1<E2<E3。 3.绕同一中心天体，在同一轨道平面内不同高度上同向运行的卫星，因运行周期的不同，两颗卫星有时相距最近，有时又相距最远，这就是天体中的“追及相遇”问题。 相距 最远 当两卫星位于和中心天体连线的半径上两侧时，两卫星相距最远，从运动关系上，两卫星运动关系应满足(ωA－ωB)t′＝(2n－1)π(n＝1,2,3，…) 相距 最近 两卫星的运转方向相同，且位于和中心天体连线的半径上同侧时，两卫星相距最近，从运动关系上，两卫星运动关系应满足(ωA－ωB)t＝2nπ(n＝1,2,3，…) 知识点四：双星问题 1.模型构建：绕公共圆心转动的两个星体组成的系统，我们称之为双星系统，如图所示。 2.特点： ①各自所需的向心力由彼此间的万有引力提供，即＝m1ω12r1，＝m2ω22r2 ②两颗星的周期及角速度都相同，即T1＝T2，ω1＝ω2。 ③两颗星的轨道半径与它们之间的距离关系为：r1＋r2＝L。 一、天体质量(密度)的估算 1．2025年中国航天将迎来更多突破，新一代载人飞船和月面着陆器将进入实质性测试阶段，我国第四批预备航天员不仅要执行空间站任务，未来也将执行载人登月任务。假设以同样大小的初速度分别在月面和地面竖直上抛小球（不计地面上的空气阻力），小球在月面上升的最大高度为在地面上的6倍。已知地球半径为月球半径的4倍，则地球和月球的平均密度之比为（　　） A．6∶1 B．1∶6 C．2∶3 D．3∶2 【答案】D 【详解】根据 可得 根据， 可得 故选D。 2．假设宇航员乘坐星际飞船着陆某星球后，在星球表面以初速度v0水平抛出一小球，测得小球下落的高度h与水平位移x的平方关系图像如图所示。已知引力常量为G，忽略星球表面空气阻力和星球的自转，下列说法正确的是（　　） A．星球表面的重力加速度为 B．可以求得该星球的第一宇宙速度 C．可以求得星球的质量 D．可以求得星球的密度 【答案】A 【详解】A．根据平抛运动得 ，， 解得 ，根据图像得，解得，A正确； B．根据 ，解得 ，星球半径未知，不能求得该星球的第一宇宙速度，B错误； C．根据，解得 ，星球半径未知，不能求得星球的质量M，C错误； D．根据 和，解得 ，星球质量未知，不能求得星球的密度，D错误。 故选A。 3．1789年英国物理学家卡文迪许测出引力常量G，因此卡文迪许被称为“能称出地球质量的人”。若已知引力常量为G，地球表面处的重力加速度为g，地球半径为R，地球上一个昼夜的时间为（地球自转周期），一年的时间为（地球公转周期），地球中心到月球中心的距离为，地球中心到太阳中心的距离为。下列说法不正确的是（    ） A．地球的质量 B．太阳的质量 C．月球的质量 D．由题中数据可求地球的密度 【答案】C 【详解】AD．在地球表面，物体受到的重力与万有引力相等，则有 解得 则地球的密度为 AD正确，不符题意； B．万有引力提供地球圆周运动的向心力，根据牛顿第二定律可得 解得 B正确，不符题意； C．根据万有引力定律和圆周运动规律可知，只可求出中心天体的质量，而无法求出卫星的质量，由于月球绕地球运动，而月球的有关卫星的数据题目没有给出，故无法求出月球的质量，C错误，符合题意。 故选C。 4．由于地球自转的影响，地球表面的重力加速度会随纬度的变化而有所不同。已知地球表面两极处的重力加速度大小为g0，在赤道处的重力加速度大小为g，地球自转的线速度为v，引力常量为G。假设地球可视为质量分布均匀的球体。下列说法正确的是（　　） A．质量为m的物体在地球北极受到的重力大小为mg B．质量为m的物体在地球赤道上受到的万有引力大小为mg C．地球的半径为 D．地球的密度为 【答案】C 【详解】A．因地球表面两极处的重力加速度大小为g0，则质量为m的物体在地球北极受到的重力大小为mg0，故A错误； B．因在地球的两极，重力与万有引力相等，有 则质量为m的物体在地球赤道上受到的万有引力大小为 故B错误； C．在赤道上，根据向心力公式 解得 故C正确； D．地球的密度为 故D错误。 故C。 二、卫星及其运行参量 5．某同学在观看飞船发射电视转播时，看到飞船控制中心的大屏幕上显示如图所示的曲线。由图形得知，飞船每飞行两周，地球自转。假设飞船绕地球做匀速圆周运动，已知地球质量为M，地球半径为R，地球自转周期为T，万有引力常量为G，则此飞船运行的轨道高度为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】飞船两周时间为地球自转周期的，所以飞船周期为，有由万有引力提供向心力可知 解得 故选C。 6．太阳系中，如图所示可以认为金星和火星均绕太阳做匀速圆周运动。已知金星的半径是火星半径的n倍，金星的质量为火星质量的K倍。若忽略行星的自转，说法正确的是（　　） A．金星绕太阳运动的周期比火星大 B．金星的第一宇宙速度是火星的倍 C．金星表面的重力加速度是火星的倍 D．金星绕太阳的向心加速度小于火星绕太阳的向心加速度 【答案】B 【详解】A．根据开普勒第三定律可知，轨道半径越大，则周期越长，所以金星绕太阳运动的周期比火星小，故A错误； B．根据万有引力提供向心力 可得 由于金星的半径是火星半径的n倍，金星的质量为火星质量的K倍，则金星的第一宇宙速度是火星的倍，故B正确； C．根据万有引力与重力的关系可得 所以 所以金星表面的重力加速度是火星的倍，故C错误； D．根据万有引力提供向心力可得 所以 由于金星的轨道半径较小，所以金星绕太阳的向心加速度大于火星绕太阳的向心加速度，故D错误。 故选B。 7．如图所示，a为放在赤道上相对地球静止的物体，随地球自转做匀速圆周运动，b为在地球表面附近做匀速圆周运动的人造卫星（轨道半径约等于地球半径），c为地球静止卫星。下列关于a、b、c的说法中正确的是（　　） A．b卫星的线速度大于7.9km/s B．c卫星的向心加速度最小 C．a、b做匀速圆周运动的周期相同 D．在b、c中，b的线速度大 【答案】D 【详解】A．由 解得 故b卫星转动线速度等于7.9km/s，故A错误； B．对a、c由 其中， 可得 对b、c由万有引力提供向心力 解得 因为，所以 故a卫星的向心加速度最小，故B错误； C．由万有引力提供向心力 因c的半径更大，可知 故 故C错误； D．对b、c由万有引力提供向心力 可得 因为，所以 故在b、c中，b的线速度大，故D正确。 故选D。 8．如图所示，已知地球的一颗静止卫星信号最多覆盖地球赤道上的经度范围为2α。另一颗其他卫星信号最多覆盖的赤道经度范围为2β（图中未画出），若α>β，两颗卫星围绕地球转动的方向相同，不考虑两卫星间的影响。若某时刻另一颗卫星位于地球和静止卫星连线中间的某位置。下列说法正确的是（　　）    A．另一颗卫星的周期为12小时 B．静止卫星和另一颗卫星的线速度之比为 C．至少经过小时，另一颗卫星再次到达地球和静止卫星连线中间某位置 D．经过相同时间，静止卫星与另一颗卫星半径扫过的面积之比为 【答案】D 【详解】A．设地球的半径为R，根据几何关系知，当同步通讯卫星信号最多覆盖地球赤道上的经度范围为2α时，卫星的轨道半径 同理得，当地球同步通讯卫星信号最多覆盖的赤道经度范围为2β时，卫星的轨道半径 根据 得 由于轨道半径之比为cosβ：cosα，则周期之比为 所以另一颗卫星的周期为24小时。故A错误； B．根据 可得 由于静止卫星和另一颗卫星的轨道半径之比为cosβ：cosα，则静止卫星和另一颗卫星的线速度之比为 故B错误； C．设再经过t时间，另一颗卫星再次到达地球和静止卫星连线中间某一位置，则有 得 故C错误； D．卫星在t时间内扫过的面积 则相同时间内，静止卫星与另颗卫星半径扫过的面积之比为 故D正确。故选D。 三、卫星变轨与追及相遇问题 9．我国于2018年12月成功发射“嫦娥四号”探测器，实现了人类首次月球背面着陆。假设“嫦娥四号”探测器的发射过程简化如下：探测器从地球表面发射后，进入地月转移轨道，经过M点时变轨进入距离月球表面100km的圆形轨道Ⅰ，在轨道Ⅰ上经过P点时再次变轨进入椭圆轨道Ⅱ，之后将在Q点着陆月球表面。下列说法正确的是（　　） A．“嫦娥四号”探测器的发射速度大于地球的第二宇宙速度 B．“嫦娥四号”在轨道Ⅰ上经过M点的速度小于在轨道Ⅱ上经过Q点的速度 C．“嫦娥四号”在轨道Ⅰ上经过P点的加速度小于在轨道Ⅱ上经过P点的加速度 D．“嫦娥四号”在M点需要加速才能实现从地月转移轨道转移到Ⅰ轨道 【答案】B 【详解】A．“嫦娥四号”探测器绕月球运行时，并没有脱离地球引力的约束，所以发射速度大于地球的第一宇宙速度，小于地球的第二宇宙速度，故A错误； B．卫星绕月球做匀速圆周运动时，由万有引力提供向心力得 可得 可知“嫦娥四号”在过Q点圆轨道的运行速度大于在轨道Ⅰ上经过M点的速度，而“嫦娥四号”在过Q点圆轨道需要点火加速变轨到椭圆轨道Ⅱ，所以“嫦娥四号”在轨道Ⅰ上经过M点的速度小于在轨道Ⅱ上经过Q点的速度，故B正确； C．根据牛顿第二定律可得 可得 可知“嫦娥四号”在轨道Ⅰ上经过P点的加速度等于在轨道Ⅱ上经过P点的加速度，故C错误； D．卫星从高轨道变轨到低轨道，需要在变轨处点火减速，所以“嫦娥四号”在M点需要减速才能实现从地月转移轨道转移到Ⅰ轨道，故D错误。 故选B。 10．2025年2月11日，我国新型火箭长征八号改进型运载火箭首飞成功，将低轨02组9颗卫星送入距离地面高度约为的轨道，其发射过程简化如图所示：卫星从预定轨道I的点第一次变轨进入椭圆轨道II，到达椭圆轨道的远地点B时，再次变轨进入空间站的运行轨道III并做匀速圆周运动，与空间站实现对接。假设轨道I和III都近似为圆轨道，不计卫星质量的变化，地球半径为，地球表面的重力加速度为，下列说法正确的是（　　） A．卫星在圆轨道III经过点B的速度小于卫星在椭圆轨道II经过点A的速度 B．卫星在椭圆轨道II经过点A的速度可能大于 C．在轨道I上卫星与地心连线单位时间内扫过的面积等于在轨道II上卫星与地心连线单位时间内扫过的面积 D．卫星沿轨道III运行的周期为70分钟 【答案】A 【详解】A．由于卫星在椭圆轨道 II 近地点（A点）处的速度大于同半径圆轨道的速度，而最终圆轨道 III 的半径更大，根据 得 可知线速度更小，故卫星在圆轨道 III 经过 B点的速度必然小于其在椭圆 II 经过A点的速度，故A正确。 B．若卫星在椭圆轨道 II 经过近地点时的速度超过11.2km/s，便会脱离地球成为逃逸轨道，不再是绕地球运动的椭圆轨道，故B错误。 C．开普勒第二定律描述的是同一卫星在同一轨道与中心天体连线在相同时间内扫过的面积相等，卫星在不同的轨道上运行时，相等的时间内与中心天体连线扫过的面积不一定相等，故C错误。 D．近地卫星绕地球运动一周所需时间为，， 求得 根据 得 可知由于轨道Ⅲ的半径大于地球的半径，故卫星在轨道Ⅲ上的运行周期应大于70分钟，故D错误。 故选A。 11．2025年2月28日晚，天空中出现了罕见的“七星连珠”天象，“七星连珠”是指太阳系中的七颗行星运动到了太阳同一侧且恰好都与太阳排列在同一条直线上。地球绕太阳公转的平均轨道半径在天文学上被称作一个天文单位，已知火星绕太阳公转的轨道半径约为1.5个天文单位， 则发生地球、火星二星连珠间隔的时间最短为（　　） A．年 B．年 C．年 D．年 【答案】A 【详解】地球绕太阳运行的周期年 ，设地球绕太阳公转的平均轨道半径为， 则火星的轨道半径为， 由开普勒第三定律 解得火星周期年 设每隔年会发生一次连珠现象，则有 可得年 故选A。 12．2024年4月25日20时59分，搭载神舟十八号载人飞船的长征二号F遥十八运载火箭在酒泉卫星发射中心点火发射，约10分钟后，神舟十八号载人飞船与火箭成功分离，进入预定轨道，航天员乘组状态良好，发射取得圆满成功。某时刻，质量为m的飞船恰好在空间站正下方与地心距离为r1的轨道上以周期T1做匀速圆周运动，如图所示，已知空间站所处的轨道与地心距离为r2，周期为T2，地球质量为M，引力常量为G。卫星与地心间距离为r时，取无穷远处为势能零点，引力势能可以表示为。则（　　） A．飞船再次到达空间站正下方需要的最短时间为 B．飞船在该轨道运行时，动能为 C．飞船在该轨道运行时，机械能为 D．若飞船从该轨道合适的位置开始跃升，直至与空间站完成对接，则过程中飞船至少需要消耗的能量为 【答案】C 【详解】A．设飞船再次到达空间站正下方所需要的时间为t，则 解得 故A错误； B．飞船在该轨道运行时，动能为 根据万有引力提供向心力有 联立可得 故B错误； C．飞船在该轨道运行时，机械能为 故C正确； D．若飞船从该轨道合适的位置开始跃升，直至与空间站完成对接，则过程中飞船至少需要消耗的能量等于飞船机械能的增加量，即 故D错误。故选C。 4、 双星问题 13．人类首次发现的引力波来源于距地球之外13亿光年的两个黑洞互相绕转最后合并的过程。设两个黑洞A、B绕其连线上的O点做匀速圆周运动，如图所示，黑洞A的轨道半径大于黑洞B的轨道半径，两个黑洞的总质量为M，两个黑洞中心间的距离为L，则（　　） A．黑洞A的质量一定小于黑洞B的质量 B．黑洞A的线速度一定小于黑洞B的线速度 C．黑洞A的向心力一定小于黑洞B的向心力 D．两个黑洞的总质量M一定，L越大，角速度越大 【答案】A 【详解】BC．两个黑洞A、B组成双星系统，两者的角速度相同，由相互作用的万有引力提供向心力，则黑洞A和B的向心力大小相等，根据，且黑洞A的轨道半径大于黑洞B的轨道半径，可知黑洞A的线速度一定大于黑洞B的线速度，故BC错误； AD．设黑洞A、B的轨道半径分别为、，由牛顿第二定律得 又 联立解得， 由于黑洞A的轨道半径大于黑洞B的轨道半径，可知黑洞A的质量一定小于黑洞B的质量；两个黑洞的总质量M一定，L越大，角速度越小，故A正确，D错误。 故选A。 14．如图所示的双星系统，甲、乙两颗恒星绕连线上的O点做匀速圆周运动，间距L保持不变，已知一段时间t内乙转过的角度为θ，万有引力常量为G，下列说法正确的是（　　） A．甲、乙圆周运动的半径与两恒星质量成反比 B．甲、乙的线速度大小与两恒星质量成正比 C．甲的周期大于 D．甲、乙的总质量为 【答案】A 【详解】C．对双星系统在相等的时间内转过的角度相等，周期相等，由角速度的定义式 可得甲的周期 故C错误； A．对双星系统由相互作用的万有引力充当向心力 可得 即 故甲、乙圆周运动的半径与两恒星质量成反比，故A正确； B．由匀速圆周运动的规律可得， 可得 故甲、乙的线速度大小与两恒星质量成反比，故B错误； D．由， 解得 其中 综合可得甲、乙的总质量为 故D错误。 故选A。 15．如图所示，宇宙中有相距较近、质量相差不大的两个星球，它们离其他星球都较远，其他星球对它们的万有引力可以忽略不计。在这种情况下，它们将围绕其连线上的某一固定点做匀速圆周运动，通常，我们把这样的两个星球称为“双星”。如图所示，两星球的质量分别为m1和m2，两星球到定点O的距离分别为r1和r2，两星球的间距为L，运行周期为T，下列说法正确的是（　　） A．两星球的运行线速度相等 B．两星球的向心加速度相等 C．两星球的运行周期满足 D．两星球的运行周期满足 【答案】D 【详解】AB．两星球具有相等的角速度，相等的周期，根据，可知，两星球的轨道半径不相等，所以线速度、向心加速度不相等，故AB错误； CD．根据万有引力提供向心力有， 联立解得 故C错误，D正确。 故选D。 16．“食双星”是一种双星系统、两颗恒星互相绕行的轨道几乎在视线方向，这两颗恒星会交互挡住对方，造成双星系统的光度发生周期性的变化，双星的光变周期就是它们的绕转周期。如大熊座UX星，光变周期为4小时43分，该双星由A星和B星组成，A星为2.3个太阳质量，B星为0.98个太阳质量，A星的表面物质开始受B星的引力离开A星表面流向B星表面，短时间内可认为两星之间距离不发生变化，双星系统的质量和也不发生变化，关于该短时间过程描述正确的是（　　） A．双星之间的万有引力将减小 B．A星做圆周运动的半径变小 C．B星的线速度将增大 D．光变周期不变 【答案】D 【详解】A．双星之间的引力 因mA+mB一定，根据数学知识可知，两数和一定，两数相等时乘积最大，则当A星的表面物质受B星的引力离开A星表面流向B星表面时，mAmB乘积变大，则万有引力将变大，故A错误； D．根据 即 则角速度不变，则周期不变，即光变周期不变，故D正确； BC．根据 可得 因mA减小，mB变大，可知rA变大，rB减小，因角速度不变，根据 可知，A星的线速度变大，B星的线速度将减小，故BC错误。 故选D。 一、单选题 1．节气是指二十四个时节和气候，是中国古代订立的一种用来指导农事的补充历法，早在《淮南子》中就有记载。现行二十四节气划分是以地球和太阳的连线每扫过定为一个节气，如图所示为北半球二十四个节气时地球在公转轨道上位置的示意图，其中冬至时地球在近日点附近。根据下图，下列说法正确的是（    ） A．地球受太阳的引力“芒种”时比“小满”时大 B．“芒种”到“小暑”的时间间隔比“大雪”到“小寒”的短 C．“立春”时地球公转的加速度大于“立秋”时地球公转的加速度 D．地球自转周期的平方与轨道半长轴三次方的比值是一个仅与太阳质量有关的常数 【答案】C 【详解】A．根据万有引力定律，芒种时地球离太阳距离比小满时离太阳距离大，故受太阳引力小，故A错误； B．芒种到小暑地球到太阳平均距离大于大雪到小寒的平均距离，由面积定律可知，平均速率小，时间长，故B错误； C．根据万有引力定律提供向心力有，立春时地球离太阳距离小于立秋时地球离太阳距离，故加速度大，故C正确； D．根据开普勒第三定律，地球公转周期与轨道半长轴三次方比是常数，故D错误。 故选C。 2．我国航天科学家在进行深空探索的过程中发现有颗星球具有和地球一样的自转特征。如图所示，假设该星球绕AB轴自转，CD所在的赤道平面将星球分为南北半球，OE连线与赤道平面的夹角为30°，经测定，A位置的重力加速度为g，D位置的重力加速度为g，则E位置的向心加速度为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】A位置的重力加速度为g，在A位置，根据万有引力等于重力，得 在D位置，物体受到的地球的万有引力等于物体的重力与向心力的合力，则得 E位置的向心加速度为 解得 故选B。 3．2024年6月25日，嫦娥六号返回器准确着陆于内蒙古四子王旗预定区域，工作正常，实现世界首次月球背面采样返回。据中国探月工程总设计师吴伟仁院士介绍：我国航天员有望在十年内登上月球。如果将来宇航员在月球（视为质量分布均匀的球体）表面以大小为的初速度竖直上抛一物体（视为质点），经时间返回手中。已知引力常量为，月球的半径为，则（　　） A．月球表面的重力加速度为 B．月球的质量为 C．在月球上发射卫星的最小发射速度为 D．月球卫星的最小环绕速度为 【答案】C 【详解】A．根据题意可知，设月球表面的重力加速度为，由运动学规律有 可得，月球表面的重力加速度为 故A错误； B．由万有引力等于重力有 解得 故B错误； CD．由万有引力提供向心力有 解得 即在月球上发射卫星的最小发射速度、最大环绕速度为，故C正确，D错误。 故选C。 4．2024年10月30日，“神舟十九号”航天员乘组顺利进驻中国空间站。假设“神舟十九号”飞船升空后先进入停泊轨道（即近地圆轨道），而后进入转移轨道，最后在中国空间站轨道与空间站组合体对接。各个轨道的示意图如图所示，已知地球的半径为R，地球表面的重力加速度为g，飞船在停泊轨道的运行周期为T，中国空间站轨道可视为圆形轨道且距地面高度为h，引力常量为G，则下列说法正确的是（　　） A．飞船在P点从停泊轨道进入转移轨道时需要减速 B．空间站组合体的向心加速度大小为 C．可估得地球的平均密度为 D．飞船在转移轨道上从P点运行至Q点所需的时间为 【答案】C 【详解】A．飞船从低轨道（停泊轨道）进入高轨道（转移轨道），需要做离心运动。根据离心运动条件，需要加速使所需向心力大于万有引力，而不是减速，故A错误； B．空间站组合体的向心加速度大小 因为 联立解得 故B错误； C．在停泊轨道有 解得地球质量 地球密度 联立解得 故C正确； D．根据开普勒第三定律有 飞船在转移轨道上从P点运行至Q点所需的时间为 联立解得 故D错误。 故选C。 5．自从2021年成功登陆火星以来，祝融号已经传回了大量的探测数据，极大地增进了我们对火星的了解，引人注目的是，近日又一个消息传来，科学家根据祝融号传回的探测数据，发现了火星存在过古代海洋的铁证，可谓是火星大发现．假设未来某一天人类登上的火星，手握拉力传感器用长为l的轻绳牵引质量为m的小球在竖直平面内做圆周运动，测得拉力传感器的最大值和最小值分别为和。已知该火星的半径为R，可视为质量均匀分布的球体，不计一切阻力和火星的自转影响，万有引力常量为G，则下列说法中错误的是（　　） A．该行星的密度为 B．该行星表面的重力加速度为 C．该行星的第一宇宙速度为 D．若该行星有一颗近地环绕卫星，则近地环绕卫星的周期为 【答案】A 【详解】AB．设小球在最低点和最高点的速度大小分别为、，该行星表面的重力加速度为g，在最低点，由牛顿第二定律有 最高点有 小球由最低点到最高点过程，由机械能守恒定律 联立解得,该行星表面的重力加速度为 在行星表面 该行星的质量 解得该行星的密度 A错误,符合题意，B正确，不符题意； C．在该星球表面 解得该行星的第一宇宙速度 C正确，不符题意； D．设近地环绕卫星的周期为T，根据牛顿第二定律则有 解得 D正确，不符题意。 故选A。 6．月球是人类开展地外空间探索的理想基地。某宇航员在月球表面将一物体从距水平月面高度为h处以大小为的速度水平抛出，物体在水平月面上的落点到抛出点的水平距离为x。若月球的半径为R，不计月球的自转，则月球的第一宇宙速度为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设物体在空中运动的时间为t，月球表面的重力加速度大小为，则有， 由第一宇宙速度的物理意义为 则月球的第一宇宙速度 联立解得 故选D。 7．北斗卫星导航系统是我国自行研制的全球卫星导航系统，由55颗卫星组成。如图所示，人造地球卫星A、B均做匀速圆周运动，卫星B为地球静止卫星，C是静止在赤道上的物体。若某时刻A、B、C与地心O在同一平面内，且，下列说法正确的是（　　） A．卫星A的周期大于卫星B的周期 B．卫星A的角速度大于卫星B的角速度 C．卫星B的线速度小于物体C的线速度 D．物体C的向心加速度大于卫星A的向心加速度 【答案】B 【详解】AB．卫星绕地球做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力得 可得，， 由于卫星A的轨道半径小于卫星B的轨道半径，则卫星A的周期小于卫星B的周期，卫星A的角速度大于卫星B的角速度，卫星A的向心加速度大于卫星B的向心加速度，故A错误、B正确； CD．卫星B为地球静止卫星，C是静止在赤道上的物体，可知B、C的角速度相等，根据， 可知卫星B的线速度大于物体C的线速度，卫星B的向心加速度大于物体C的向心加速度，则卫星A的向心加速度大于物体C的向心加速度，故CD错误。 故选B。 8．如图所示，Ⅰ为北斗卫星导航系统中的静止轨道卫星，其对地张角为；Ⅱ为地球的近地卫星。已知地球的自转周期为，万有引力常量为G，根据题中条件，可求出（　　） A．地球的平均密度为 B．卫星Ⅰ和卫星Ⅱ的加速度之比为 C．卫星Ⅱ的周期为 D．卫星Ⅱ运动的线速度为 【答案】C 【详解】BC．静止轨道卫星的周期等于地球的自转周期，设静止轨道卫星的轨道半径为，地球半径为，根据图中几何关系可得 卫星绕地球做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力得 可得， 可得卫星Ⅰ和卫星Ⅱ的加速度之比为 卫星Ⅱ的周期为 故B错误，C正确； A．对于卫星Ⅱ，由万有引力提供向心力得 又 联立可得地球的平均密度为 故A错误； D．卫星Ⅱ运动的线速度为 故D错误。 故选C。 9．2024年10月30日，神舟十九号由长征二号F遥十九运载火箭送入近地点约为200km，远地点约为362km的预定椭圆轨道。约6.5小时后，神舟十九号成功对接空间站天和核心舱前向端口，如图所示。下列说法正确的是（　　） A．飞船从近地点沿椭圆轨道到达远地点的过程中机械能增加 B．飞船在椭圆轨道的远地点与变轨到圆轨道后相比，加速度大小不变 C．空间站组合体中的人和物体均处于超重状态 D．对接后空间站组合体质量增大，在原来的圆轨道上运行的速度变大 【答案】B 【详解】A．飞船从近地点沿椭圆轨道到达远地点的过程中，只受到地球引力，只有地球引力做功，所以机械能守恒，故A错误； B．根据牛顿第二定律 可得 飞船在椭圆轨道的远地点与变轨到圆轨道后相比，到地球的距离相等，所以加速度大小不变，故B正确； C．空间站组合体中的人和物体受到的万有引力全部用来提供向心力，所以空间站组合体中的人和物体处于失重状态，故C错误； D．根据牛顿第二定律 解得 可知，在圆轨道上运动的线速度大小与物体质量无关，所以对接后空间站组合体质量增大，在原来的圆轨道上运行的速度大小不变，故D错误。 故选B。 10．地月系统可认为是月球绕地球做匀速圆周运动如图（a）所示，月球绕地球运动的周期为；也可认为地月系统是一个双星系统如图（b）所示，在相互之间的万有引力作用下，绕连线上的O点做匀速圆周运动，月球绕O点运动的周期为。若地球、月球质量分别为M、m，两球心相距为r，万有引力常量为G，下列说法正确的是（　　） A．图（a）月球绕地球运动的周期等于图（b）中月球绕地球O点运动的周期 B．图（a）中， 地球密度为 C．地月双星轨道中O点到地心距离为 D．图（a）中，若把部分月壤运回到地球，最终月球绕地球做圆周运动轨道半径将变小 【答案】D 【详解】AC．根据万有引力提供向心力 解得图（a）月球绕地球运动的周期为 地月系统是一个双星系统，设地月双星轨道中O点到地心距离为，地月双星轨道中O点到月球圆心距离为，则 可得 且 解得 ，， 可知图（a）月球绕地球运动的周期大于图（b）中月球绕O点运动的周期，故AC错误； B．根据万有引力提供向心力 设地球的半径为，地球的体积为 图（a）中，地球密度为 故B错误； D．图（a）中，若把部分月壤运回到地球，设部分月壤质量为，则 即此时月球做圆周运动所需的向心力小于月球与地球间的万有引力，月球做向心运动，月球绕地球做圆周运动轨道半径将变小，故D正确。 故选D。 二、多选题 11．航天员登上某半径为的球形未知天体，在该天体表面将一质量为的小球以初速度竖直上抛，上升的最大高度为，引力常量为，则（　　） A．该位置天体表面中的加速度大小为 B．该位置天体表面中的加速度大小为 C．该未知天体质量为 D．该未知天体质量为 【答案】AC 【详解】AB．根据 可知该未知天体表面的重力加速度大小 A正确，B错误； CD．根据 可得 C正确，D错误。 故选AC。 12．中国将全面推进探月工程四期，规划包括嫦娥六号、嫦娥七号和嫦娥八号任务。“嫦娥五号”探测器是中国首个实施无人月面取样的航天器，其发射的简化过程如图。先将探测器送入近地圆轨道Ⅰ，在近地点多次变轨后依次进入椭圆轨道Ⅱ和地月转移轨道。被月球捕获后，再多次变轨进入近月圆轨道Ⅲ。已知探测器在轨道Ⅰ和轨道Ⅲ运行的周期之比为，不计空气阻力，下列判断正确的是（　　） A．探测器在轨道Ⅰ、Ⅱ上运行时的机械能相等 B．探测器在椭圆轨道Ⅱ上运行过程中机械能守恒 C．地球和月球的平均密度之比为1：a D．地球和月球的平均密度之比为 【答案】BD 【详解】A．探测器在轨道Ⅰ上经加速后进入轨道Ⅱ运行，加速后瞬间引力势能不变，动能增大，则机械能增大，所以探测器在轨道Ⅰ的机械能小于在轨道Ⅱ的机械能，故A错误； B．探测器在椭圆轨道Ⅱ上运行过程中，只有引力做功，动能和势能相互转化，机械能守恒，故B正确； CD．根据万有引力提供向心力，对近地轨道运动的物体有 地球的平均密度为 联立解得 根据万有引力提供向心力，对近月轨道运动的物体有 月球的平均密度为 联立解得 地球和月球的平均密度之比为 故C错误，D正确。 故选BD。 13．如图所示，观察“神舟十号”在圆轨道上的运动，发现每经过时间t通过的弧长为l，该弧长对应的圆心角为θ（弧度），已知引力常量为G，则（　　） A．神舟十号的线速度为 B．由此可推导出地球的质量为 C．由此可推出地球的质量为 D．若地球质量变大，神舟十号轨道不变，则运行周期变短 【答案】ABD 【详解】A．根据线速度的定义可知 故A正确； BC．根据线速度和角速度的关系可知 解得轨道半径为 万有引力提供向心力 解得 故B正确，C错误； D．万有引力提供向心力 解得 可知若地球质量变大，神舟十号轨道不变，则运行周期变短，故D正确。 故选ABD。 14．月球的自转周期和公转周期十分接近，因此月球始终以同一面朝向地球。一月球探测器分别在月球极地和赤道用弹簧秤称量一质量为m的物体，弹簧秤示数分别为和。已知月球的自转周期为T，引力常量为G，将月球视为质量分布均匀的球，已知球的体积公式为，下列说法中正确的是（　　） A．月球的质量为 B．月球的质量为 C．月球的密度为 D．月球的密度为 【答案】AC 【详解】在月球两极有 在月球赤道上有 联立可得 则月球的密度为 故选AC。 15．甲、乙两颗卫星在不同轨道上绕地球运动，甲卫星的轨道是圆，半径为R，乙卫星的轨道是椭圆，其中P点为近地点，到地心的距离为a，Q为远地点，到地心的距离为b。已知，则下列说法正确的是（　　） A．卫星乙运动到P点时的速度可能小于卫星甲的速度 B．卫星乙运动到Q点时的速度一定小于卫星甲的速度 C．若，卫星甲运行的周期一定大于卫星乙运行的周期 D．卫星乙从P点运动到Q点的过程中机械能减少 【答案】BC 【详解】A．如果卫星乙以P点到地心的距离做匀速圆周运动时的线速度为，由公式 得 可知， 由于卫星乙从以P点到地心的距离的圆轨道在P点加速做离心运动才能进入椭圆轨道，则卫星乙在P点的速度大于，所以卫星乙在P点的速度一定大于卫星甲的速度，故C错误； B．如果卫星乙以Q点到地心的距离做匀速圆周运动时的线速度为，由公式 得 可知， 由于卫星乙从以Q点到地心的距离的圆轨道在Q点减速做近心运动才能进入椭圆轨道，则卫星乙在Q点的速度小于，所以卫星乙在Q点的速度一定小于于卫星甲在C点的速度，故B正确； C．由题意可知，卫星甲的轨道半径大于卫星乙做椭圆运动的半长轴，由开普勒第三定律可知，卫星甲的周期大于卫星乙的周期，故C正确； D．卫星乙从P点运动到Q点的过程中，仅万有引力做功，卫星乙动能转化成引力势能，机械能总和不变，故D错误。 故选BC。 16．图甲是“天梯”项目海基平台效果图，该项目是在赤道上建造垂直于水平面的“太空电梯”，航天员乘坐太空舱通过“太空电梯”直通地球空间站。图乙中r为航天员到地心的距离，R为地球半径。曲线A为地球引力对航天员产生的加速度大小与r的关系；直线B为航天员由于地球自转而产生的向心加速度大小与r的关系。关于质量为m，相对地面静止，在“太空电梯”不同高度的航天员，下列说法正确的是（　　） A．随着r的增大，航天员的线速度逐渐增大 B．图乙中为地球同步卫星的轨道半径 C．航天员随地球自转的周期为 D．离地高度为2R时（轨道半径小于），航天员对座椅的压力大小为 【答案】ABD 【详解】A．航天员的角速度与地球自转角速度相等，半径越大线速度越大，故A正确； B．当时，万有引力刚好提供向心力，故B正确； C.当时，万有引力提供向心力 航天员随地球自转的周期，故C错误； D．根据牛顿第二定律 又在地球表面 得 根据牛顿第三定律，航天员对座椅的压力大小，故D正确。 故选D。 17．我国航天局宣布国家已批准通过了行星探测工程，计划在未来的1015年间展开并完成对小行星、火星、木星等行星的取样返回的研究。若从地球上直接发射一个探测器，探测器被小行星捕获，需由高轨道适当位置启动发动机进入椭圆转移轨道，再由椭圆轨道适当位置变速进入环绕小行星表面运动的轨道，这个过程简化示意图如图所示，已知圆轨道Ⅰ、Ⅲ共面，椭圆轨道平面与Ⅰ轨道平面的夹角为，则下列说法正确的是（　　） A．探测器从Ⅰ轨道上经过点的加速度等于Ⅱ轨道上经过点的加速度 B．探测器从Ⅰ轨道进入Ⅱ轨道需要在点向前喷气 C．探测器在地球上的发射速度大于 D．探测器在Ⅱ轨道上从点运动到点的过程中机械能增大 【答案】ABC 【详解】A．根据牛顿第二定律有 解得 可知，探测器从Ⅰ轨道上经过点的加速度等于Ⅱ轨道上经过点的加速度，故A正确； B．Ⅰ轨道相对于Ⅱ轨道是高轨道，由高轨道变轨到低轨道，需要在切点位置减速，即探测器从Ⅰ轨道进入Ⅱ轨道需要在点向前喷气，故B正确； C．根据题意可知，探测器脱离了地球的束缚，可知，探测器在地球上的发射速度大于第二宇宙速度，即探测器在地球上的发射速度大于，故C正确； D．探测器在Ⅱ轨道上从点运动到点的过程中，只有万有引力做功，则探测器的机械能不变，故D错误。 故选ABC。 18．中国“FAST”球面射电望远镜发现一个脉冲双星系统。科学家通过脉冲星计时观测得知该双星系统由一颗脉冲星与一颗白矮星组成。如图所示，假设在太空中有两颗恒星A、B组成的双星系统绕O点做逆时针匀速圆周运动，它们的轨道半径分别为、，运动周期为；C是恒星B的卫星，绕B做逆时针匀速圆周运动，周期为，且。已知A与B之间的引力远大于B与C之间的引力，万有引力常量为G，则（　　） A．恒星A的质量小于恒星B的质量 B．恒星A的质量为 C．如果已知C的轨道半径为r，恒星B的质量为 D．三星A、B、C相邻两次共线的时间间隔为 【答案】CD 【详解】A．因为双星系统的角速度相同，故对A、B可得 即 即恒星A的质量大于恒星B的质量，故A错误； B．对恒星B，根据万有引力提供向心力 解得恒星A的质量为 故B错误； C．对卫星C，根据万有引力提供向心力 可得恒星B的质量为 故C正确； D．由题可知，A、B、C三星由图示位置到再次共线所用时间满足 解得 故D正确。 故选CD。 19．如图中的、、、、所示，人们称为拉格朗日点。其中位于、、点上的飞行器，在太阳与地球共同引力作用下，可以几乎不消耗燃料与地球保持同步绕太阳做圆周运动。若发射一颗卫星定位于拉格朗日点，下列说法正确的是（　　） A．该卫星绕太阳运动的周期和地球自转周期相等 B．该卫星在点处于非平衡状态 C．该卫星绕太阳运动的向心加速度大于地球绕太阳运动的向心加速度 D．该卫星在处所受太阳和地球引力的合力比其在处小 【答案】BD 【详解】A．因该卫星与地球保持同步绕太阳做圆周运动，所以该卫星绕太阳运动的周期和地球公转周期相等，故A错误； B．该卫星在点做匀速圆周运动，所受合外力提供向心力，处于非平衡状态，故B正确； C．根据向心加速度公式 由于角速度相等，该卫星的轨道半径小于地球的轨道半径，则该卫星绕太阳运动的向心加速度小于地球绕太阳运动的向心加速度，故C错误； D．卫星所受太阳和地球引力的合力提供向心力，根据 由于角速度相等，该卫星在处的轨道半径小于在处的轨道半径，可知该卫星在处所受太阳和地球引力的合力比在处小，故D正确。 故选BD。 20．宇宙空间存在一些离其他恒星较远的三星系统，其中有一种三星系统如图所示，三颗质量均为m的星体位于等边三角形的三个顶点，三角形边长为L。忽略其他星体对它们的引力作用，三星在同一平面内绕三角形中心O做匀速圆周运动，引力常量为G。下列说法正确的是（　　） A．每颗星做圆周运动的线速度为 B．每颗星做圆周运动的加速度 C．若距离L和每颗星的质量m都变为原来的2倍，则线速度变为原来的2倍 D．若距离L和每颗星的质量m都变为原来的2倍，则周期变为原来的2倍 【答案】BD 【详解】AB．任意两颗星之间的万有引力大小为 每颗星受到的合力为 由几何关系可得，每颗星做圆周运动的轨道半径为 由合力提供向心力可得 联立解得 ， 故A错误，B正确； C．若距离L和每颗星的质量m都变为原来的2倍，根据 可知线速度大小不变，故C错误； D．根据合力提供向心力可得 解得 若距离L和每颗星的质量m都变为原来的2倍，则周期变为原来的2倍，故D正确。 故选BD。 三、计算题 21．如图所示，宇航员站在某质量分布均匀的星球表面的一个斜坡上点，沿水平方向以初速度抛出一个小球，测得小球经时间落到斜坡上另一点，测得斜坡的倾角为，已知该星球的半径为，引力常量为，求： (1)该星球表面的重力加速度； (2)该星球的密度； (3)该星球的第一宇宙速度。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）小球做平抛运动 水平方向匀速运动 竖直方向自由落体运动 由几何知识得 联立解得 （2）对于星球表面质量为的物体 由万有引力与重力的关系知 星球体积 故得星球密度 （3）该星球的第一宇宙速度v等于它近地卫星的运行速度 由万有引力提供向心力得 又 联立解得 22．2020年12月1日，“嫦娥五号”探测器成功在月球正面预选着陆区实现软着陆。如图甲所示，探测器在月球表面着陆前反推发动机向下喷气以获得向上的反作用力，探测器减速阶段可看作竖直方向的匀变速直线运动。若探测器获得的反作用力大小为，经历时间，速度由减速到0、月球半径为、引力常量为，探测器质量为。求： (1)月球表面的第一宇宙速度； (2)月球的质量和密度； (3)若将来的某天，中国航天员在月球表面做了如图乙所示的实验，将一根长为的细线的一端固定在点、另一端固定一小球，使小球在竖直平面内恰好做完整的圆周运动，小球可视为质点，则小球在最高点的速度大小是多少。 【答案】(1) (2)， (3) 【详解】（1）探测器做减速运动的加速度大小为 由牛顿第二定律得 解得月球表面的重力加速度大小为 由探测器在月球表面匀速圆周运动时 解得月球表面的第一宇宙速度 （2）由万有引力等于重力得 解得月球质量为 月球的密度为 解得 （3）小球在竖直平面内恰好做完整的圆周运动，由牛顿第二定律得 解得小球在最高点的速度大小是 23．有a、b两颗人造地球卫星，如图所示，a在赤道上空绕地球做匀速圆周运动，对地张角，b为贴地飞行的超低空轨道卫星（图中未画出）。地球（视为质量分布均匀的球体）的半径为R，地球的密度为，地球自转的周期为，引力常量为G，球的体积公式为，其中r为球的半径。 (1)求a运行的周期以及b运行的周期； (2)若a、b的运行方向相同，求二者不能直接通信的连续时间t。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设地球的质量为M，a的质量为m1，根据几何关系可知，a的轨道半径为，有 地球的体积 又 解得 设b的质量为m2，对b有 解得 （2）在时间t内，a、b转过的角度分别为、 经分析可知 解得 24．地球和火星绕太阳的运动均可视为匀速圆周运动，已知地球公转轨道半径与火星公转轨道的半径之比为，地球质量约为火星质量的10倍，地球半径约为火星半径的2倍，地球表面的重力加速度大小为，忽略火星大气阻力，忽略火星的自转。质量为的“天问一号”着陆器在着陆火星前，会在火星表面附近经历一个时长为、速度由减速到零的过程，若该减速过程可视为一个竖直向下的匀减速直线运动，求：（结果用题中所给物理量符号表示，可带根号） (1)地球与火星绕太阳运动的线速度大小之比； (2)火星表面的重力加速度大小； (3)着陆器由减速到零的过程中受到的制动力大小。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）根据 可得 因地球公转轨道半径与火星公转轨道的半径之比为，可得地球与火星绕太阳运动的线速度大小之比 （2）根据 可得 可得 可知火星表面的重力加速度大小。 （3）着陆器的加速度 由牛顿第二定律 解得 25．已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为0。地球可以看作是质量分布均匀的球体，其半径为，质量为（万有引力常量为）。 (1)若“天宫”空间站的运行周期为，求其距地面的高度。 (2)天下第一天坑是重庆奉节的小寨天坑，若天坑深度为，求坑底的重力加速与地球表面的重力加速度的比值。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）根据万有引力提供向心力，则有 解得 （2）令地球的密度为，对地球表面的物体有 又 解得 质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，故在深度为d的地球内部，受到地球的万有引力即为半径等于的球体在其表面产生的万有引力，则有 又 解得坑底的重力加速度 故坑底的重力加速与地球表面的重力加速度的比值 / 学科网（北京）股份有限公司 $$