专题07 抛体运动与圆周运动（复习）-【暑假自学课】2025年新高二物理暑假提升精品讲义（人教版2019）

专题07 抛体运动与圆周运动 内容导航 考点聚焦：核心考点+高考考点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 难点强化：难点内容标注与讲解，能力提升 复习提升：真题感知+提升专练，全面突破 核心考点聚焦 1. 平抛运动的特点与基本规律 2.平抛运动与斜面曲面相结合的问题 3.斜抛运动的特点与基本规律 4.水平面内的圆周运动 5. 竖直面内的圆周运动 高考考点聚焦 常考考点 真题举例 平抛运动的特点与基本规律 2024·海南卷 平抛运动与斜面曲面相结合的问题 2022·广东卷 斜抛运动的特点与基本规律力 2024·江西卷 水平面内的圆周运动 2024·江苏卷 竖直面内的圆周运动 2023·湖南卷 知识点一：平抛运动的特点与基本规律 1．四个基本规律 飞行时间 由t＝ 知，时间取决于下落高度h，与初速度v0无关 水平射程 x＝v0，即水平射程由初速度v0和下落高度h共同决定，与其他因素无关 落地速度 v＝＝，落地速度也只与初速度v0和下落高度h有关 速度改变量 任意相等时间间隔Δt内的速度改变量Δv＝gΔt相同，方向恒为竖直向下，如图所示 2．两个重要推论 (1)做平抛(或类平抛)运动的物体在任意时刻任一位置处，设其速度方向与水平方向的夹角为α，位移方向与水平方向的夹角为θ，则tan α＝2tan θ。 (2)做平抛(或类平抛)运动的物体任一时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点，如图中A点为OB的中点。 知识点二：平抛运动与斜面曲面相结合的问题 1.与斜面相关的几种的平抛运动 图示 方法 基本规律 运动时间 分解速度，构建速度的矢量三角形 水平vx＝v0 竖直vy＝gt 合速度v＝ 由tan θ＝＝得 t＝ 分解位移，构建位移的矢量三角形 水平x＝v0t 竖直y＝gt2 合位移x合＝ 由tan θ＝＝得 t＝ 在运动起点同时分解v0、g 由0＝v1－a1t,0－v12＝－2a1d得 t＝，d＝ 分解平行于斜面的速度v 由vy＝gt得t＝ 2.与斜面相关平抛运动的处理方法 (1)分解速度：平抛运动可以分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动,设平抛运动的初速度为v0,在空中运动时间为t,则平抛运动在水平方向的速度为vx=v0,在竖直方向的速度为vy=gt,合速度为v=,合速度与水平方向的夹角满足tan θ=。 (2)分解位移：平抛运动在水平方向的位移为x=v0t,在竖直方向的位移为y=gt2,对抛出点的位移(合位移)为s=,合位移与水平方向夹角满足tan φ=。 (3)分解加速度：平抛运动也不是一定要分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动,在有些问题中,过抛出点建立适当的直角坐标系,把重力加速度g正交分解为gx、gy,把初速度v0正交分解为vx、vy,然后分别在x、y方向列方程求解,可以简化解题过程,化难为易。 3.平抛运动与圆面相结合三种常见情景： （1）如图甲所示，小球从半圆弧左边沿平抛，落到半圆内的不同位置。由半径和几何关系制约时间t：h＝gt2，R±＝v0t，联立两方程可求t。 （2）如图乙所示，小球恰好沿B点的切线方向进入圆轨道，此时半径OB垂直于速度方向，圆心角α与速度的偏向角相等。 (3)如图丙所示，小球恰好从圆柱体Q点沿切线飞过，此时半径OQ垂直于速度方向，圆心角θ与速度的偏向角相等。 知识点三：斜抛运动的特点与基本规律 处理方法 水平竖直正交分解 化曲为直 最高点一分为二变平抛运动 逆向处理 将初速度和重力加速度 沿斜面和垂直斜面分解 基本规律 水平速度： 竖直速度： 最高点： 最高点：速度水平 垂直斜面： 沿着斜面： 最高点： 知识点四：水平面内圆周运动 1．向心力的来源 向心力可以是重力、弹力、摩擦力等各种力，也可以是几个力的合力或某个力的分力，因此在受力分析中要避免再另外添加一个向心力。 2．运动模型 运动模型 向心力的来源示意图 运动模型 向心力的来源示意图 飞机水平转弯 飞车走壁 圆锥摆 火车转弯 汽车在水平路面转弯 水平转台(光滑) 3.水平面内的圆盘模型 ①口诀：“谁远谁先飞”； ②a或b发生相对圆盘滑动的各自临界角速度： ； ①口诀：“谁远谁先飞”； ②轻绳出现拉力，先达到B的临界角速度：； ③AB一起相对圆盘滑动时，临界条件： 隔离A：T=μmAg；隔离B：T+μmBg=mBω22rB 整体：μmAg+μmBg=mBω22rB AB相对圆盘滑动的临界条件： ①口诀：“谁远谁先飞”； ②轻绳出现拉力，先达到B的临界角速度：； ③同侧背离圆心，fAmax和fBmax指向圆心，一起相对圆盘滑动时， 临界条件： 隔离A：μmAg-T=mAω22rA；隔离B：T+μmBg=mBω22rB 整体：μmAg+μmBg=mAω22rA+mBω22rB AB相对圆盘滑动的临界条 ①口诀：“谁远谁先飞”（rB>rA）； ②轻绳出现拉力临界条件：； 此时B与面达到最大静摩擦力，A与面未达到最大静摩擦力。 此时隔离A：fA+T=mAω2rA；隔离B：T+μmBg=mBω2rB 消掉T：fA=μmBg-(mBrB-mArA)ω2 ③当mBrB=mArA时，fA=μmBg，AB永不滑动，除非绳断； ④AB一起相对圆盘滑动时，临界条件： 1）当mBrB>mArA时，fA↓=μmBg-(mBrB-mArA)ω2↑→fA=0→反向→fA达到最大→从B侧飞出； 2）当mBrB<mArA时，fA↑=μmBg+(mArA-mBrB)ω2↑→fA达到最大→ω↑→T↑→fB↓→fB=0→反向→fB达到最大→从A侧飞出； AB相对圆盘滑动的临界条 临界条件： ①，； ②， 临界条件： ① ② 知识点五：竖直面内的圆周运动 1．运动特点 (1)竖直面内的圆周运动一般是变速圆周运动。 (2)只有重力做功的竖直面内的变速圆周运动机械能守恒。 (3)竖直面内的圆周运动问题，涉及知识面比较广，既有临界问题，又有能量守恒的问题，要注意物体运动到圆周的最高点的速度。 (4)一般情况下，竖直面内的圆周运动问题只涉及最高点和最低点的两种情形。 2．常见模型 轻绳模型 轻杆模型 情景图示 弹力特征 弹力可能向下，也可能等于零 弹力可能向下，可能向上，也可能等于零 受力示意图 力学方程 mg＋FT＝m mg±FN＝m 临界特征 FT＝0，即mg＝m，得v＝ v＝0，即F向＝0，此时FN＝mg 模型关键 (1)“绳”只能对小球施加向下的力(2)小球通过最高点的速度至少为 (1)“杆”对小球的作用力可以是拉力，也可以是支持力 (2)小球通过最高点的速度最小可以为0 一、平抛运动的特点与基本规律 1．如图所示，x轴在水平地面内，y轴沿竖直方向，图中画出了从y轴上沿x轴正向抛出的三个小球a、b和c的运动轨迹，其中b和c是从同一点抛出的，不计空气阻力，则（　　） A．a的飞行时间比b的长 B．a的初速度可能比c的小 C．b的飞行时间比c的长 D．b与c的飞行时间相同 【答案】D 【详解】ACD．根据，得平抛运动的时间，b、c的高度相同，大于a的高度，可知a的飞行时间小于b、c的时间，b、c的运动时间相同，故AC错误，D正确； B．a、c相比较，因为a的飞行时间短，但是水平位移大，根据知，a的水平初速度大于c的水平初速度，故B错误。 故选D。 2．如图所示，所有阶梯状台阶的高度为，宽度均为，取，有一小球在台阶上面平台上以一定的水平初速度水平飞出，小球直接落到第几级台阶上，正确的是（　　） A．第一级 B．第二级 C．第三级 D．第四级 【答案】B 【详解】根据， 解得 若小球恰能落到第一级的最右端，则x=2m，h=1.5m，则得v0=3.65m/s； 若小球恰能落到第二级的最右端，则x=4m，h=3m，则得v0=5.16m/s； 因小球的初速度为5m/s，可知小球落在第二级台阶上。 故选B。 3．如图1所示的“风车”也叫“谷扇”，是农民常用来精选谷物的农具。在同一风力作用下，精谷和瘪谷（空壳）谷粒从洞口水平飞出，但精谷和瘪谷落地点不同，自然分开，简化为图2所示。若谷粒从洞口飞出后不计空气阻力且不受风力的影响，下列分析正确的是（    ） A．瘪谷和精谷落地时速度相同 B．精谷从飞出洞口到落地的时间比瘪谷短 C．精谷从飞出洞口到落地的时间比瘪谷长 D．精谷和瘪谷飞出洞口后都做匀变速曲线运动 【答案】D 【详解】瘪谷和精谷飞出洞口后均做平抛运动，即做匀变速曲线运动，则竖直方向 可知瘪谷和精谷落地时运动时间相等，根据x=v0t 瘪谷水平位移较大，可知初速度较大，根据 可知瘪谷和精谷落地时速度不相同。 故选D。 4．如图，将A和B两小球从同一水平直线上的两位置沿水平方向分别抛出，运动轨迹如图所示，不计空气阻力。以下说法正确的是（    ） A．若要两球相遇，需先抛出A球 B．若要两球相遇，先抛出B球 C．若要两球相遇，同时抛出两球 D．无论先抛出哪个小球，一定能够相遇 【答案】C 【详解】因AB的初始位置与相遇点的竖直高度相等，根据 则时间相等，即若要两球相遇，只需两球同时抛出。 故选C。 二、平抛运动与斜面曲面相结合的问题 5．某游乐场有一项游乐项目，游戏选手从离地面高的发射平台把小球水平抛出，球垂直砸在表面为弹性材料的斜面A上，若能等速率反弹并沿原路回到发射平台即为游戏成功。如图所示，抛出点正下方是斜面A的最低点，忽略空气阻力，小球可视为质点，已知斜面与水平面夹角，重力加速度g取，。要想游戏成功，小球的抛出速度应为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题可知，小球垂直射到斜面上，则有 又因为小球从离地面高处抛出，根据几何关系可知 其中， 联立解得， 故选B。 6．如图所示，一足够长的斜面与水平面的倾角为，在斜面顶端P处将甲、乙两个小球（均可视为质点）以不同大小的初速度水平抛出，抛出速度分别为、，且。不计空气阻力，下列说法正确的是（　　） A．甲、乙落到斜面上时运动的位移比为 B．甲、乙落到斜面上时速度方向与水平面夹角的正切比为 C．甲、乙在空中运动的加速度比为 D．甲、乙落到斜面时速度比为 【答案】D 【详解】A．设小球平抛运动的初速度为，运动时间为t，水平位移 竖直位移 因为小球落在斜面上，所以 可得 位移 代入可得 化简后s与成正比。已知 则位移比 故A错误。 B．设小球落到斜面上时速度方向与水平面夹角为，则 又 由 可得 所以 即甲、乙落到斜面上时速度方向与水平面夹角的正切值只与斜面倾角有关，与初速度无关，所以甲、乙落到斜面上时速度方向与水平面夹角的正切比为1:1，故B错误。 C．甲、乙两球在空中做平抛运动，只受重力，根据牛顿第二定律 可得加速度 所以甲、乙在空中运动的加速度比为1:1， 故C错误。 D．落到斜面上时的速度 由前面分析 则 v与成正比，已知 所以甲、乙落到斜面时速度比为，故D正确。 故选D。 7．主题口号为“冰雪同行”的2025年亚冬会圆满落幕。跳台滑雪比赛在哈尔滨举行，如图，跳台滑雪赛道由助滑道AB、着陆坡CD、停止区DE三部分组成。比赛中，甲、乙两运动员先后以速度v1、v2从C点正上方B处沿水平方向飞出，分别落在了着陆坡的P、D两点，运动员可看成质点，不计空气阻力，着陆坡的倾角为θ，重力加速度为g，若P为DC中点，BC高度恰为C离地面高度h的一半，则（　　） A． B．甲、乙运动员在空中飞行时间之比为2∶3 C．甲、乙运动员落到着陆坡时竖直方向的分速度之比为 D．甲、乙运动员落到着陆坡时的速度方向相同 【答案】C 【详解】B．由题意可知BC=h，则落到P点时竖直高度为h；落到D点时的竖直高度为1.5h，根据 可知甲、乙运动员在空中飞行时间之比为，选项B错误； A．甲乙的水平位移之比为1:2，根据 可得 选项A错误； C．根据 可知甲、乙运动员落到着陆坡时竖直方向的分速度之比为 选项C正确； D．落到斜坡时速度方向与水平方向夹角 可知 可知甲、乙运动员落到着陆坡时的速度方向不相同，选项D错误。 故选C。 8．如图所示，一个倾角为的面与圆弧对接，斜面高度与圆弧半径相等，斜面的底端在圆心O的正下方。从斜面顶点以一定的初速度向右水平抛出一小球，则下列说法正确的是（　　） A．小球初速度不同，则运动时间一定不同 B．小球落到斜面和圆弧等高位置时，速度大小一定相等 C．小球落到斜面上时，其速度方向一定相同 D．小球落到圆弧面上时，其速度方向可能与该处圆的切线垂直 【答案】C 【详解】A．小球在空中做平抛运动，满足 故当小球落在斜面和圆弧等高位置时，运动时间相同，初速度不同，故A错误； B．小球落到斜面和圆弧等高位置时，由平抛运动规律 可知，小球落到斜面和圆弧等高位置时，竖直方向分速度大小相等，水平方向速度大小不相等，故合速度大小不相等，故B错误； C．小球落到斜面上时，位移与水平方向夹角为，由平抛规律可知，速度与水平方向夹角满足 故小球落到斜面上时，其速度方向与水平方向夹角为定值，故C正确； D．小球落到圆弧面上时，其速度方向若与该处圆的切线垂直，则速度的反向延长线一定过圆心，又因为平抛运动中速度的反向延长线过水平位移的中点，则水平位移为2R，竖直位移为零，与平抛运动性质不符，故D错误。故选C。 3、 斜抛运动的特点与基本规律 9．如图所示，在某次军事演习中A、B两火炮以相同的速率从不同方向对位于与炮口处于同一水平高度的目标W发射炮弹，要求同时击中目标，炮弹运动轨迹如图所示，不计空气阻力，则下列说法正确的是（　　） A．A、B两火炮需同时发射 B．两炮弹击中目标时速度相同 C．A炮弹从发射到轨迹最高点的时间小于B炮弹 D．A炮弹在轨迹最高点的速度等于B炮弹 【答案】C 【详解】A．斜抛运动可视为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的竖直上抛运动的合运动。设竖直方向速度为，上升的最大高度为 由图可知，B炮弹上升的高度大于A炮弹上升的高度，可知 飞行时间 可知 即B炮弹比A先发射，故A错误； B．根据机械能守恒定律有 因、相等，故两炮弹击中目标时速度的大小相等，但两炮弹击中目标时速度方向不同，故B错误； C．由于B炮弹轨迹的最高点与W的竖直距离大于A炮弹轨迹的最高点与W的竖直距离，根据 可得 可知A炮弹运动到轨迹最高点的时间小于B炮弹，故C正确； D．两炮弹在轨迹最高点的速度为速度水平分量，因两炮弹射出时速度的大小相等，根据 又 所以 故D错误。 故选C。 10．某栋居民楼发生火灾，消防队前往救援。如图所示，消防水龙头的喷嘴位置O与着火点A的连线与水平面的夹角为30°。已知水离开喷嘴时的速度大小为，方向与水平面的夹角为60°，忽略空气阻力，重力加速度g取10m/s2。下列说法正确的是（　　） A．水柱运动到最高点时的速度为0 B．水柱从O点到着火点A的位移为51.2m C．水柱从O点到着火点A所经历的时间为3.1s D．水柱到达着火点A的竖直分速度大小为16m/s 【答案】B 【详解】A．水在空中做斜抛运动，水柱上升至最高点，速度为vx=v0cos60°=8m/s 故A错误。 BC．水在空中做斜抛运动，水柱从O运动到A过程有水平位移x=v0cos60°×t 竖直位移y=v0sin60°×t -gt2 由tan30°= 得t=3.2s 由xOA ==51.2m 故C错误，B正确； D．在竖直方向有vyA=v0sin60°-gt=-8m/s D错误。 故选B。 11．2023年11月上虞曹娥江“网红人行桥”正式开通，装在桥两侧的音乐喷泉吸粉无数。音乐喷泉喷出的水从江中抽取，喷头可沿一定方向旋转，水流速度大小也可调节，如图所示。某喷头将水以v的速度朝与水平成37°斜向上喷出，喷头出水口的截面积为S，离水面高度为h，不计一切阻力，水的密度为ρ，下列说法正确的是（　　） A．水柱的水平射程为 B．喷头单位时间内喷出水的质量为ρSv C．∆t时间内电机对水做功为ρS∆tv3 D．增大喷头与水平面的夹角，喷射的水平射程一定增大 【答案】B 【详解】A．将初速度正交分解，分别为 水滴在竖直方向做竖直上抛运动 水平射程为 联立可求出水平射程，显然A选项中时间代入不正确，A错误； B．喷头匀速喷水，单位时间内喷出水的质量为ρSv，B正确； C．∆t时间内水增加的动能为 在∆t时间内水从水面被抽出，同时也增加了重力势能，故∆t时间内电机对水做功大于ρS∆tv3，C错误 D．增大喷头与水平面的夹角，竖直分速度增大，空中运动时间变长，但是水平分速度减小，由 可知喷射的水平射程不一定增大，当取极限与水平方向的夹角为90°，此时水平射程为零，D错误。 故选B。 12．如图，一个可视为质点的小球以与水平方向成60°角的初速度从P点抛出，小球恰好能垂直打在竖直墙壁上的A点，保持小球抛出的方向不变，将初速度大小改为原来的两倍，结果小球能打在墙壁上的B点。已知P到墙壁的距离为d，不计空气阻力，A、B间的距离为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设第一次抛球速度为v0，则 解得 ， 第二次抛球，有 小球上升的高度为 解得 所以A、B间的距离为 故选B。 四、水平面内的圆周运动 13．当列车以某一恒定速率过半径为R的弯道时会在水平面内做圆周运动，截面如图所示，列车内有一小球用轻绳悬挂在车厢顶部，发现小球稳定时轻绳与竖直方向夹角为。已知弯道处的铁轨路面与水平面间夹角为（），弯道半径远大于轨道宽度，空气阻力不计，重力加速度为g。下列说法正确的是（    ） A．列车转弯时速度大小为，列车车轮挤压内侧铁轨 B．列车转弯时速度大小为，列车车轮挤压外侧铁轨 C．列车转弯时速度大小为，列车轮与铁轨无侧向挤压 D．列车转弯的半径大小为，列车轮与铁轨无侧向挤压 【答案】B 【详解】ABC．重物受到重力、绳子拉力的合力提供重物做圆周运动的向心力，则 解得列车在该弯道转弯时速度大小为 当列车轮与铁轨无侧向挤压时，铁轨对列车的支持力和列车重力的合力提供向心力，则 可得 由于，说明列车速度大于转弯理想速度值，列车会挤压外轨，B正确，AC错误； D．当列车以速度运行时，要想列车轮与铁轨无侧向挤压，根据牛顿第二定律 解得半径需要满足的条件 D错误。 故选B。 14．如图所示，质量均为的、两小球用不可伸长的等长轻质绳子悬挂起来，使小球在竖直平面内来回摆动，小球在水平面内做匀速圆周运动，连接小球的绳子与竖直方向的夹角和小球摆动时绳子偏离竖直方向的最大夹角都为，重力加速度为，则下列说法正确的是（　　） A．、两小球都是所受合外力充当向心力 B．、两小球圆周运动的半径之比为 C．小球受到的绳子拉力为 D．小球运动到最高点时受到的绳子拉力为 【答案】C 【详解】A．分析可知，a小球在最低点时由重力与绳子拉力的合力提供向心力，而在下落或上升过程中均由重力沿着与绳中拉力方向相反的分力和绳中拉力的合力提供向心力，而b小球运动过程中，向心力由重力与绳中拉力的合力提供，故A错误； B．将小球看成质点，则a小球做圆周运动的半径为绳长，b小球做圆周运动的半径为，则可得 故B错误； C．对b小球受力分析如图所示 由此可得 故C正确； D．对a小球在最高点受力分析如图所示 当小球运动至最高点时速度为零，沿着绳子的方向合力为零，此时有 故D错误。 故选C。 15．如图所示，质量相等的甲、乙两个物块（两物块均视为质点）随粗糙的水平圆盘一起做匀速圆周运动（两物块均未打滑），甲、乙与圆盘间的动摩擦因数的比值为a，甲、乙与盘心间的距离的比值为b。认为最大静摩擦力等于滑动摩擦力。下列说法正确的是（　　） A．甲、乙的向心力大小的比值为ab B．甲、乙与圆盘间的静摩擦力大小的比值为a C．若缓慢增大圆盘的转速，则甲、乙分别刚要滑动时所受的静摩擦力大小的比值为b D．若，，缓慢增大圆盘的转速，则乙比甲先滑动 【答案】D 【详解】A．根据可知，甲、乙的向心力大小的比值等于转动半径之比，即为b，选项A错误； B．因静摩擦力充当做圆周运动的向心力，可知甲、乙与圆盘间的静摩擦力大小的比值为b，选项B错误； C．若缓慢增大圆盘的转速，则甲、乙分别刚要滑动时所受的静摩擦力达到最大，根据，则大小的比值为a，选项C错误； D．滑块将要产生滑动时 解得 可知 则若缓慢增大圆盘的转速，则乙比甲先滑动，选项D正确。 故选D。 16．如图所示，两个可视为质点的、相同的木块和放在转盘上，两者用长为的细绳连接，木块与转盘的最大静摩擦力均为各自重力的倍，放在距离转轴处，整个装置能绕通过转盘中心的转轴转动，开始时，绳恰好伸直但无弹力，现让该装置从静止开始转动，使角速度缓慢增大，以下说法正确的是（　　） A．当摩擦力达到最大时，绳子才会出现拉力 B．当时，绳子不会有弹力 C．在范围内增大时，所受摩擦力变大 D．当时，、相对于转盘会滑动 【答案】D 【详解】AB．开始时根据 随角速度增大，因B转动半径较大，可知B先达到最大静摩擦力，当木块B达到最大静摩擦力时，绳子开始出现弹力，Kmg=m•2Lω2 解得 知时，绳子会具有弹力，故A B错误； CD．当木块A所受的摩擦力达到最大静摩擦力时，A、B相对于转盘会滑动，对A有 对B有 解得 即时，A、B相对于转盘会滑动；在范围内增大时，所受摩擦力不变，均为最大静摩擦力，选项C错误，D正确。 故选D。 五、竖直面内的圆周运动 17．如图甲所示，轻杆一端固定在O点，另一端固定一个小球，现让小球在竖直平面内做半径为R的圆周运动，小球运动到最高点时，杆与小球间弹力大小为F，小球在最高点的速度大小为v，其图像如图乙所示，则下列说法正确的是（　　） A．小球的质量为 B．当地的重力加速度大小为 C．时，小球对杆的弹力方向向下 D．时，小球对杆的弹力为2mg 【答案】B 【详解】AB．由图乙可知，当时，对小球在最高点由牛顿第二定律得 可得当地的重力加速度大小为 当时，在最高点有 可得小球的质量为 故A错误，B正确； C．当时，在最高点对小球由牛顿第二定律得 可得 可知杆对小球弹力方向向下，则小球对杆弹力方向向上，故C错误； D．当时，在最高点对小球由牛顿第二定律得 解得 可知小球对杆的弹力为，故D错误。 故选B。 18．如图，一个内壁光滑的弯管处于竖直平面内，其中管道半径为R。现有一个半径略小于弯管横截面半径的光滑小球在弯管内运动，当小球通过最高点时速率为v0，则下列说法正确的是（　　） A．若v0=0，则小球对管内壁无压力 B．若，则小球对管内上壁有压力 C．若，则小球对管内下壁没有压力 D．不论v0多大，小球对管内壁都有压力 【答案】C 【详解】A．设小球在最高点时管内下壁对小球有竖直向上的支持力，则有 若v0=0，可得小球所受的支持力 根据牛顿第三定律，可知小球对管内下壁有竖直向下的压力，故A错误； B．设小球在最高点时管内上壁对小球有竖直向下的压力，则有 若，可得小球所受的压力 负号说明管内下壁对小球有竖直向上的支持力，根据牛顿第三定律，可知小球对管内下壁有竖直向下的压力，故B错误； C．设小球在最高点时管内上壁对小球有竖直向下的压力，则有 若，可得小球所受的压力 即管内上壁对小球有竖直向下的压力，大小为，根据牛顿第三定律，可知小球对管内上壁有竖直向上的压力，小球对管内下壁没有压力，故C正确； D．设小球在最高点时管内壁对小球没有力的作用，则有 解得 此时小球对管内壁没有压力，故D错误。 故选C。 19．如图所示，桌面上放置一内壁光滑的固定竖直圆环轨道，质量为M，半径为R。可视为质点的小球在轨道内做圆周运动，其质量为m。小球在轨道最高点的速度大小为，重力加速度为g，不计空气阻力，则（　　） A．当时，轨道对小球无支持力 B．当时，轨道对桌面的压力为 C．小球运动到球心等高处，轨道对桌面的压力为 D．小球做圆周运动的过程中，合外力提供向心力， 【答案】B 【详解】A．当时，设轨道对小球的支持力为 对小球受力分析有 解得 A错误； B．根据牛顿第三定律，小球对轨道的作用力大小为 设桌面对轨道的支持力为，对轨道受力分析得 解得 根据牛顿第三定律，轨道对桌面的压力为 B正确； C．小球运动到球心等高处，小球与轨道相互作用力的方向沿水平方向，对轨道竖直方向受力分析可得轨道对桌面的压力为， C错误； D．小球做变速圆周运动，除最高点和最低点合外力提供向心力，其它位置都是合外力的分力提供向心力，D错误。 故选B。 20．如图所示，半径为的光滑圆管固定在竖直面内，为管的竖直直径，为管的水平直径，一个直径比管的内径略小的小球在管内运动，远大于管的内径，重力加速度为，则下列说法正确的是（    ） A．小球要能通过点，则在点的速度应满足 B．小球在点的速度越大，小球对管壁的压力越大 C．小球在点和点的加速度一定不同 D．若小球运动到点时对管壁的压力为其重力的5倍，则小球的速度大小一定为 【答案】D 【详解】A．对于小球在圆管内的圆周运动，在最高点C点，由于圆管能提供向上的支持力，所以小球通过C点的最小速度为0，故小球要能通过点，则在点的速度应满足，故A错误； B．在C点小球恰好只受重力，则有 解得 若小球过最高点速度速度，根据牛顿第二定律 可知v越大，管给球的支持力N越小，根据牛顿第三定律，可知小球对管壁的压力越小，故B错误； C．由于是光滑圆管，小球机械能守恒，可知小球过BD的速度大小相同，若在BD点速度恰好为0，则在BD点小球只受重力，则加速度为重力加速度g，可知过BD点小球加速度可能相同，故C错误； D．若小球运动到点时对管壁的压力为其重力的5倍，根据牛顿第二定律 解得故D正确。故选D。 一、单选题 1．如图所示，直径为的竖直圆筒绕中心轴线以恒定的转速匀速转动。一子弹以水平速度沿圆筒直径方向从左侧射入圆筒，从右侧射穿圆筒后发现两弹孔在同一竖直线上且相距为，重力加速度为，则（　　） A．子弹在圆筒中的水平速度为 B．子弹在圆筒中的水平速度为 C．圆筒转动的角速度可能为 D．圆筒转动的角速度可能为 【答案】A 【详解】AB．根据题意可知，子弹做平抛运动，竖直方向上有 解得 水平方向上有 解得 故A正确，B错误； CD．根据题意可知，由于两弹孔在同一竖直线上，则有 解得 圆筒转动的角速度 可知，当时， 时， 时， 故CD错误。 故选A。 2．如图所示，将小球由一倾角为α的固定斜面底端以与竖直方向夹角的速度斜向上抛出，小球恰好以水平速度经过斜面顶端。小球可视为质点，不考虑空气阻力，已知重力加速度为g。下列说法正确的是（　　） A．小球经过斜面顶端时的速度大小为 B．小球由斜面底端运动至顶端的时间为 C．斜面的高度为 D．斜面的倾角 【答案】B 【详解】A．小球恰好以水平速度经过斜面顶端，小球在水平方向做匀速直线运动，则小球经过斜面顶端时的速度 故A错误； BC．小球恰好以水平速度经过斜面顶端，可知斜面顶端是小球斜抛的最高点，则小球由斜面底端运动至顶端的时间 斜面的高度 故B正确，C错误； D．斜面的倾角满足 可得斜面的倾角α大于，故D错误。 故选B。 3．如图甲为2022年北京冬奥会的跳台滑雪场地“雪如意”，其主体建筑设计灵感来自于中国传统饰物“如意”。其部分赛道可简化为如图乙所示的轨道模型，斜坡可视为倾角为的斜面，质量为m的运动员可视为质点从跳台a处以速度v沿水平方向向左飞出，不计空气阻力，已知重力加速度为则运动员从飞出至落到斜坡上的过程中，下列说法正确的是（　　） A．若运动员飞出速度是原来2倍，则其位移大小是原来的4倍 B．若运动员飞出速度是原来2倍，则其速度变化量是原来的4倍 C．运动员运动的时间为 D．运动员落在斜坡上时的瞬时速度方向与水平方向的夹角为 【答案】A 【详解】C．根据平抛运动的规律可知， 解得 C错误； D．设运动员落在斜坡上的瞬时速度方向与水平方向的夹角为 则 D错误； AB．若运动员飞出的速度是原来的两倍，即 由A得 根据平抛运动规律，其速度变化量 可知速度变化量是原来的2倍；位移 故位移大小是原来的4倍，故B错误，A正确。 故选A。 4．甲乙两个小球同时从水平面上的O点斜向上抛出，其运动轨迹如图，甲球落地时，乙球刚好运动到轨迹的最高点。乙球的落点正好在甲球轨迹最高点的正下方，不计空气阻力，下列判断正确的是（　　） A．乙球初速度与水平方向的夹角的正切值是甲球的2倍 B．甲球的最小速度是乙球最小速度的2倍 C．从抛出到落地乙球速度的变化量是甲球的2倍 D．乙球离地面的最大高度是甲球的2倍 【答案】C 【详解】B．由题意可知甲的水平位移与乙水平位移的关系为 其中 可得甲球的最小速度与乙球最小速度的关系为 时间关系为 故B错误； A．在竖直方向，甲的竖直速度为 乙的竖直速度为， 可得 根据速度的分解与合成关系，对甲有， 对乙，有 联立解得 故A错误； C．从抛出到落地速度变化量 所以从抛出到落地甲、乙两球速度的变化量之比为 故C正确； D．根据球离地面的最大高度 甲球离地面的最大高度与乙球离地面的最大高度之比为 故D错误。 故选C。 5．某科研单位进行传感器的通讯测试，他们在相距25m的两栋楼的同一楼层的阳台将两个带传感器的小球同时抛出，初速度方向如图所示，其中A小球的初速度10m/s，B小球的初速度5m/s，不计空气阻力，重力加速度g取。下列说法中正确的是（　　） A．小球A相对小球B做匀变速运动 B．两个小球之间的最小距离为 C．小球抛出1.5s时，两个小球之间的距离为25m D．仅适当调整两个小球初速度的大小（不能为0），两个小球能够在空中相遇 【答案】B 【详解】A．由于小球A做竖直上抛运动、小球B做平抛运动，则小球A在水平方向相对于小球B做匀速直线运动，竖直方向也相对于小球B做匀速直线运动，故小球A相对小球B做匀速直线运动，故A错误； B．设经过时间t，两小球间的水平距离为 竖直距离为 所以两个小球之间的距离为 根据数学知识可知，当时，两个小球之间的距离有最小值，为，故B正确； C．根据选项B可知 解得或 故C错误； D．由前面选项分析，只有小球A相对于小球B的运动沿水平方向时，两个小球才能相碰，所以在两个小球初速度不为0的前提下，通过调整两个小球初速度大小不能使两个小球相碰，故D错误。 故选B。 6．如图所示，在竖直放置的半圆形容器的中心O点分别以水平初速度v1、v2抛出两个小球（可视为质点），最终它们分别落在圆弧上的A点和B点，已知OA与OB互相垂直，且OA与竖直方向成α角，则两小球初速度之比为（　　）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由几何关系可知，A的竖直位移为：hA=Rcosα，水平位移为：xA=Rsinα； B的竖直位移为：hB=Rcos（90°﹣α）=Rsinα，水平位移为：xB=Rsin（90°﹣α）=Rcosα 由平抛运动的规律可知：h=，x=v0t 解得：v0=x 则=•=tanα 7．如图所示，A、D分别是斜面的顶端、底端，B、C是斜面上的两个点，AB=BC=CD，E点在D点的正上方，与A等高。从E点以一定的水平速度抛出质量相等的两个小球，球1落在B点，球2落在C点，关于球1和球2从抛出到落在斜面上的运动过程（　　） A．球1和球2抛出时初速度之比为 B．球1和球2速度增加量之比为1：2 C．球1和球2运动的时间之比为2：1 D．球1和球2运动时的加速度之比为1：2 【答案】A 【详解】D．两球在空中均做平抛运动，加速度均为重力加速度g，故D错误； C．因为，所以的高度差是高度差的2倍，则球1和球2下落高度之比为 根据 可得 则球1和球2运动的时间之比为 故C错误； B．根据 可知球1和球2速度增加量之比为 故B错误； A．在水平方向上的分量是在水平方向分量的2倍，可知球1和球2的水平位移之比为 根据 可知球1和球2抛出时初速度之比为 故A正确。 故选A。 8．如图所示，在某次跳台滑雪比赛中，运动员以初速度从跳台顶端A水平飞出，经过一段时间后落在倾斜赛道上的B点，运动员运动到P点时离倾斜赛道最远，P点到赛道的垂直距离为PC，P点离赛道的竖直高度为PD，赛道的倾角为，重力加速度为g，空气阻力不计，运动员（包括滑雪板）视为质点。则C、D两点间的距离是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】对运动员在空中的运动沿平行斜面和垂直斜面方向分解可知，运动员从A运动到P点和从P点运动到B点所用时间相等，因此运动员沿平行斜面方向的分运动从A到C的时间与从C到B的时间相等，运动员沿平行斜面做加速度为的匀加速运动，设整个运动时间为t，则 由于从A到P的水平位移与从P到B的水平位移相等，因此 则 运动员做平抛运动有 ， 又 解得 则 故选A。 9．如图所示，一质量为0.3kg的小球B用轻绳AB和BC系着正在做匀速转动，竖直杆CA为转轴，，绳AB和转轴垂直，绳AB的拉力为2N，绳AB的长度为0.2m。，，那么小球做圆周运动的角速度为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】对小球受力分析可知，竖直方向 水平方向 联立解得 故选A。 10．如图所示，固定的锥形漏斗内壁是光滑的，内壁上有两个质量相等的小球A和B，在各自不同的水平面做匀速圆周运动，以下说法正确的是（　　） A．小球的线速度vA>vB B．小球的角速度ωA>ωB C．小球的加速度aA>aB D．小球对内壁的压力 NA>NB 【答案】A 【详解】D．对小球受力分析，如图所示 垂直内壁方向，有 则两小球所受内壁的支持力 根据牛顿第三定律可知小球对内壁的压力NA=NB 故D错误； ABC．小球在水平面上做匀速圆周运动，根据牛顿第二定律可得 联立，解得，， 由图可知rA>rB 可得aA=aB，vA>vB，ωA<ωB 故A正确；BC错误。 故选A。 11．如图所示，自行车运动员在倾角为θ的圆形赛道上骑行，已知重力加速度为g，当这位运动员以速度在赛道上骑行时既没有垂直于速度上滑趋势，也没有垂直于速度下滑趋势，则运动员的转弯半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意可知运动员受重力和垂直轨道斜向上的支持力，由牛顿第二定律可知 可得 故选C。 12．如图所示，在匀速转动的水平圆盘上，沿直径方向放着用轻绳相连可视为质点的物体和的质量为的质量为。它们分居圆心两侧，到圆心的距离分别为与盘间的动摩擦因数都为，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。、与圆盘一起绕中轴线匀速转动的最大角速度为；若只将的质量增加为与圆盘一起绕中轴线匀速转动的最大角速度为。转动过程中轻绳未断，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】AC．AB与圆盘一起绕中轴线匀速转动的最大角速度为，对A则有 对B则有 联立解得 AC错误； BD ．AB与圆盘一起绕中轴线匀速转动的最大角速度为，对A则有 对B则有 解得 B正确，D错误。 故选B。 13．如图所示，小球在竖直放置的光滑圆形管道内做圆周运动，内侧壁半径为R，小球半径为r，圆管的半径略大于小球的半径，重力加速度为g。则下列说法正确的是（　　） A．小球通过最高点时的最小速度vmin＝ B．小球通过最高点时的最小速度vmin＝0 C．小球在水平线ab以下的管道中运动时，外侧管壁对小球一定无作用力 D．小球在水平线ab以上的管道中运动时，内侧管壁对小球一定有作用力 【答案】B 【详解】AB．小球在竖直放置的光滑圆形管道内的圆周运动属于轻杆模型，小球通过最高点时的最小速度为0，故A错误，B正确； C．小球在水平线ab以下管道运动，由于沿半径方向的合力提供做圆周运动的向心力，所以外侧管壁对小球一定有作用力，而内侧管壁对小球一定无作用力，故C错误； D．小球在水平线ab以上管道运动，由于沿半径方向的合力提供做圆周运动的向心力，当速度非常大时，内侧管壁没有作用力，此时外侧管壁有作用力，当速度比较小时，内侧管壁有作用力，故D错误。 故选B。 14．如图所示，质量为m的小球穿在半径为R的光滑圆环上，圆环可绕竖直方向的轴以角速度匀速转动，相对于圆环静止（未在圆环最低点）的小球和圆心的连线与转轴的夹角为（大小未知），重力加速度大小为g．下列说法正确的是（    ） A． B． C．只要圆环转动的角速度足够大，可能为 D．当时，小球仍能在圆环上除最低点外的某位置相对于圆环静止 【答案】B 【详解】AB．对小球受力分析可知 解得 A错误，B正确； C．当时，弹力方向水平，重力方向沿竖直方向，竖直方向无法平衡，无论如何小球无法做圆周运动，C错误； D．当时，可知圆环静止（未在圆环最低点）的小球和圆心的连线与转轴的夹角为 显然是不可能的，D错误。 故选B。 15．如图所示，我国男子体操运动员张成龙用一只手抓住单杠，伸展身体，以单杠为轴做圆周运动。如图甲所示，张成龙运动到最高点时，用力传感器测得张成龙与单杠间弹力大小为F，用速度传感器记录他在最高点的速度大小为v，得到图像如图乙所示。g取，则下列说法中错误的是（　　） A．张成龙的质量为65kg B．张成龙的重心到单杠的距离为0.9m C．当张成龙在最高点的速度为4m/s时，张成龙受单杠的弹力方向向上 D．当张成龙在最高点的速度为4m/s时，张成龙受单杠的弹力方向向下 【答案】C 【详解】A．由图乙可知，当时，有 可得张成龙的质量为 故A正确； B．由图乙可知，当时，，则有 可得张成龙的重心到单杠的距离为 故B正确； CD．当张成龙在最高点的速度为4m/s时，设张成龙受单杠的弹力方向向下，根据牛顿第二定律可得 解得 可知张成龙受单杠的弹力方向向下，故C错误，D正确。 本题选错误的，故选C。 二、多选题 16．如图所示，倾角的斜面固定在水平地面上，小球从斜面底端A的正上方某处以大小的初速度正对斜面顶点B水平抛出。重力加速度g取，，，下列说法正确的是（　　） A．若小球击中斜面中点，则小球的运动时间为0.4s B．若小球垂直击中斜面，则击中斜面时的速度大小为5m/s C．若小球以最小位移击中斜面，则小球的位移大小为4m D．无论小球怎样到达斜面，其位移方向与水平方向夹角的正切值一定是速度方向与水平方向夹角的正切值的2倍 【答案】BC 【详解】A．若小球击中斜面中点，水平位移大小 竖直位移大小 根据几何关系有 解得 A错误； B．若小球垂直击中斜面，有 解得 则小球的竖直分速度大小 则小球击中斜面的速度大小 B正确； C．若小球以最小位移击中斜面，有 解得 则水平位移大小 竖直位移大小 则小球的位移大小 C正确； D．根据， 即无论小球怎样到达斜面，其速度方向与水平方向夹角的正切值一定是位移方向与水平方向夹角正切值的2倍，D错误。 故选BC。 17．如图所示，、两小球分别从半圆轨道顶端和斜面顶端以大小相等的初速度同时水平抛出，已知半圆轨道的半径与斜面竖直高度相等，斜面底边长是其竖直高度的2倍，若小球能落到半圆轨道上，小球能落到斜面上，则下列说法正确的是（    ） A．球可能先落在半圆轨道上 B．球一定先落在斜面上 C．两球可能同时落在半圆轨道上和斜面上 D．球可能垂直落在半圆轨道上 【答案】AC 【详解】ABC．将圆轨道和斜面轨道重合在一起，如图所示 交点为A，若初速度合适，小球做平抛运动落在A点，则运动的时间相等，即同时落在半圆轨道和斜面上；若初速度不适中，由图可知，可能小球先落在斜面上，也可能先落在圆轨道上，故AC正确，B错误； D．若球垂直落在半圆轨道上，根据几何关系知，速度方向与水平方向的夹角是位移与水平方向的夹角的2倍，而在平抛运动中，某时刻速度方向与水平方向夹角的正切值是位移与水平方向夹角正切值的2倍，两者相互矛盾，所以球不可能垂直落在半圆轨道上，故D错误。 故选AC。 18．如图所示，从同一位置沿垂直墙面方向水平抛出小球。小球最后都击中竖直墙壁，小球击中墙面时的速度方向与墙面的夹角分别为，不计空气阻力，小球均可视为质点。下列说法正确的是（　　） A．小球被抛出时的初速度大小之比为 B．小球被抛出时的初速度大小之比为 C．小球击中墙面时的速度大小之比为 D．小球击中墙面时的速度大小之比为 【答案】AC 【详解】AB．根据平抛运动水平方向的运动规律有 根据速度的分解有 解得 将30°与60°代入可知小球被抛出时的初速度大小之比为 故A正确，B错误； CD．根据速度的分解可知 代入数据解得 故C正确，D错误； 故选AC。 19．如图所示，坐标系的x轴水平向右，质量为的小球从坐标原点O处，以初速度斜向右上方抛出，同时受到斜向右上方恒定的风力的作用，风力与的夹角为30°，风力与x轴正方向的夹角也为30°，重力加速度g取。下列说法正确的是（　　） A．小球的速度先减小后增大 B．小球的加速度方向保持不变 C．小球的加速度与初速度的夹角为60° D．小球的加速度大小为 【答案】BD 【详解】由题意可知，风力与重力的夹角为120°，由于 即风力与重力大小相等，根据矢量合成规律，可知合力与重力等大，如图 则小球的加速度大小为 方向与初速度垂直，所以小球做类平抛运动，速度一直增加。 故选BD。 20．如图甲所示为一城墙的入城通道，通道宽度，一跑酷爱好者从左墙根由静止开始正对右墙加速运动，加速到M点时斜向上跃起，到达右墙壁P点时，竖直方向的速度恰好为零，P点距离地面高，然后立即蹬右墙壁，使水平方向的速度变为等大反向，并获得一竖直方向速度，恰好能跃到左墙壁上的Q点，P点与Q点等高，飞跃过程中人距地面的最大高度为，重力加速度g取，整个过程中人的姿态可认为保持不变，如图乙所示，则下列说法中正确的是（　　） A．人助跑的距离为3.6m B．人助跑的距离为3m C．人刚离开墙壁时的速度大小为 D．人刚离开P点时的速度方向与竖直方向夹角的正切值为 【答案】BCD 【详解】AB．人到达右墙壁P点时，竖直方向的速度恰好为零，根据逆向思维，可知从M点到P点的逆过程为平抛运动，则得 从P点到最高点的过程 从P点到Q点的过程 解得s， 人助跑的距离为m 故A错误，B正确； CD．人刚离开墙壁时竖直方向的速度大小为 人刚离开墙壁时的速度大小为 刚离开P点时的速度方向与竖直方向夹角的正切值为 故CD正确。 故选BCD。 21．如图所示，工程队向峡谷对岸平台抛射重物，初速度v0大小为20m/s，与水平方向的夹角为30°，抛出点P和落点Q的连线与水平方向夹角为30°，重力加速度大小取10m/s2，忽略空气阻力。重物在此运动过程中，下列说法正确的是（　　） A．运动时间为4s B．落地速度与水平方向夹角为45° C．轨迹最高点与落点的高度差为45m D．重物离PQ连线的最远距离为10m 【答案】AC 【详解】AD．初速度沿PQ方向的分速度为 初速度沿垂直于PQ方向的分速度为 重力速度沿PQ方向的分加速度为 重力速度沿垂直于PQ方向的分加速度为 重物运动时间为 重物离PQ连线的最远距离为 A正确，D错误； B．重物落地时竖直分速度为 重物落地时水平分速度为 重物落地时与水平方向夹角的正切值为 解得 ，B错误； 或者根据 可知落地速度与水平方向夹角不是45°，B错误； C．上升时间为 下落时间为 轨迹最高点与落点的高度差为 C正确； 故选AC。 22．如图甲所示，一艘正在进行顺时针急转弯训练的航母，运动轨迹可视作半径为R的水平圆周。航母在圆周运动中，船身发生了向外侧倾斜，甲板法线与竖直方向夹角为θ，船体简图如图乙所示。一质量为m的小物块放在甲板上，恰能与甲板保持相对静止，两者之间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g。设最大静摩擦力等于滑动摩擦力。下列说法正确的是（　　） A．小物块受的摩擦力大于 B．小物块受的支持力大于 C．航母的航速为 D．航母的航速为 【答案】AD 【详解】AB．根据题意可知，小物块做圆周运动，一定受到重力、支持力、摩擦力，通过正交分析法如图所示 水平方向竖直方向联立解得故A正确，B错误； CD．当最大静摩擦力等于滑动摩擦力时，小物块放在甲板上恰能与甲板保持相对静止，满足 结合联立解得故C错误，D正确。故选AD。 23．如图所示，一根轻质细线一端系一小球（可视为质点），另一端固定在一光滑圆锥顶端，当圆锥绕中间轴匀速转动带动小球在水平面内做匀速圆周运动，细线长，小球的质量为2kg，当小球与圆锥转动的角速度时，小球脱离圆锥。已知，重力加速度g取。当小球与圆锥转动的角速度时，下列说法正确的是（　　） A．圆锥面与中间轴夹角 B．小球做圆周运动所需向心力的大小为16N C．细线对小球的拉力为 D．小球对锥面的压力为 【答案】AC 【详解】A．当小球刚好脱离圆锥时，圆锥面对小球的支持力，此时小球只受重力mg和细线拉力，它们的合力提供向心力。根据牛顿第二定律 （其中为临界角速度，化简可得 代入可得 所以 故A正确； BCD．当时，对小球进行受力分析小球受重力 mg、细线拉力、圆锥面对小球的支持力，将力沿水平和竖直方向分解，水平方向： 竖直方向： 代入数据可得：，， 故C正确，BD错误。 故选AC。 24．如图所示，在水平转台上放一可视为质点的木块，细绳的一端系在木块上，另一端穿过固定在转台圆心O处的光滑圆筒后悬挂一轻质砂桶，OM段细绳水平，木块与O点间距离r=0.1m。初始时砂桶装有质量为m=1.28kg砂子，木块和转台一起做匀速圆周运动的角速度为ω，木块和转台恰好不相对滑动。砂桶缓慢漏砂，当砂子漏完时，木块和转台也恰好不相对滑动。已知木块和转台间的动摩擦因数为μ=0.16，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，不计砂桶的质量，重力加速度g取10m/s2，下列说法正确的是（　　） A．转台转动的角速度ω=4rad/s B．木块的质量为2kg C．漏砂的过程中，木块所需向心力减小 D．漏砂的过程中，木块所受摩擦力先减小后增大 【答案】AD 【详解】A．沙子漏完时，木块和转台一起做匀速圆周运动且木块和转台恰好不相对滑动，说明最大静摩擦力来提供向心力，设木块的质量为M，则有 解得，故A正确； B．初始时，木块与转台之间的摩擦力方向背离转轴且恰好不相对滑动，所以沙桶的重力和最大静摩擦力的合力来提供向心力，即 解得，故B错误； C．在漏沙过程中沙桶始终随转台做匀速圆周运动，所以向心力不变，故C错误； D．根据分析开始时 可知匀速圆周运动角速度不变，随着砂桶质量的减小，所以木块与转盘之间的摩擦力也逐渐减小，当摩擦力减小到零时，此时沙桶的重力来提供向心力即 沙桶的质量继续减小，木块与转台之间的摩擦力指向转轴，即 可知随着沙桶质量的减小，摩擦力又逐渐增大，当沙桶的质量减为零时，摩擦力达到最大静摩擦力。总之在漏沙过程中摩擦力先减小后增大，故D正确。 故选AD。 25．如图所示，一个圆盘在水平面内匀速转动，盘面上距圆盘中心为的位置有一个质量为的小物块，其上方放着质量为的小物块，圆盘的角速度为。物块与圆盘之间摩擦因数均为两物块之间摩擦因数为，重力加速度为，下列说法中正确的是（    ） A．当时，物块将从物块上滑离 B．当时，物块将从物块上滑离 C．无论多大，物块与物块都不会相对滑动 D．当物块、随圆盘一起匀速转动时，物块对物块的摩擦力方向沿半径方向向外 【答案】CD 【详解】ABC．当物块a所受的静摩擦力达到最大时，对物块 a、b整体，由牛顿第二定律 解得此时圆盘的角 当物块b所受的静摩擦力达到最大时，对物块b，由牛顿第二定律 此时圆盘的角速度大小 由于 则 即物块a所受的静摩擦力达到最大时，物块b所受的静摩擦力未达到最大，则无论多大，物块a与物块b都不会相对滑动，故AB错误，C正确； D．当物块a、b随圆盘一起匀速转动时，物块a对物块 b的静摩擦力提供物块b做圆周运动所需的向心力，则物块a对物块b的静摩擦力方向沿半径向里，由牛顿第三定律知，物块b对物块a的摩擦力方向沿半径方向向外，故D正确。 故选CD。 26．如图所示，一长为4L的轻杆绕O点在竖直平面内转动，光滑水平转轴穿过杆上的O点。已知杆两端固定有质量分别为3m、2m的球A和球B，OA距离为L，OB距离为3L。球B运动到最高点时，杆对球B有向下的拉力，大小为2mg。忽略空气阻力，重力加速度为g，则当球B在最高点时（　　） A．球B的速度大小为 B．球A的速度大小为 C．轻杆对A的作用力大小为 D．水平转轴对杆的作用力大小是3mg 【答案】AD 【详解】AB．根据物体所受合力提供向心力有：B分析   得 AB角速度相同。线速度与半径成正比，可得 选项A正确，B错误； CD．对A分析：   解得F=5mg 水平转轴对杆的作用力大小∆F=5mg-2mg=3mg 所以D正确，C错误。 故选AD。 27．如图所示，质量为的小球置于方形的光滑盒子中，盒子的边长略大于小球的直径。某同学拿着该盒子在竖直平面内以点为圆心做半径为的匀速圆周运动已知重力加速度为，空气阻力不计。下列说法正确的是（　　） A．若要使盒子运动到最高点时与小球之间恰好无作用力，则盒子运动的周期为 B．若要使盒子运动到最高点时与小球之间恰好无作用力，则盒子运动的周期为 C．若盒子运动的周期为，当盒子运动到与点位于同一水平面上时，小球受盒子右侧面的作用力为 D．若盒子运动的周期为，当盒子运动到与点位于同一水平面上时，小球受盒子的作用力为4mg 【答案】AC 【详解】AB．若要使盒子运动到最高点时与小球之间恰好无作用力，即在最高点 解得 则盒子运动的周期为 故A正确，B错误； CD．若盒子运动的周期为，当盒子运动到与点位于同一水平面上时，小球受盒子右侧面的作用力为 而小盒子还需要给小球一个竖直向上的支持力，大小为 故小球受到小盒子的作用力为 故C正确，D错误； 故选AC。 28．如图甲所示为一小孩在固定的圆形水泥管道内踢球，她用合适的力度踢一下静止在圆筒最底端的小足球，使小足球在竖直面内先由最低点沿管道向上滚动，该过程可简化为如图乙所示，水泥管道半径为，球质量为，不计一切阻力，g取，则（　　） A．球沿管道做匀速圆周运动 B．要使球能沿管道做圆周运动，小孩踢球做功至少 C．球经过最低点与最高点时，球对管道的压力差为 D．控制踢球力度，球有可能脱离管道后落入小朋友背后打开的书包中 【答案】BD 【详解】A．球沿管道运动的速度大小改变，球不做匀速圆周运动，故A错误； B．要使球能沿管道做圆周运动，最高点有 根据动能定理有 解得J 故B正确； C．球在最高点时有 最低点有 根据动能定理有 解得N 故C错误； D．若球获得的速度不足以维持圆周运动，会在管道某处脱离并落向背后的书包中，故D正确。 故选BD。 29．资料显示，质量为的某型号小汽车，其轮胎的最大承重为，超过该值将会爆胎。某次汽车正以30m/s的速度匀速通过一段凸凹不平的路面，将这段路面简化为弧形，其最高点和最低点分别为A、B，对应圆弧的半径r均为150m，两圆弧的圆心连线与竖直方向间的夹角为37°，取，，，则汽车（　　） A．从A点到B点的过程中重力势能减少了 B．通过最高点A时对路面的压力为6000N C．通过最低点B时不会爆胎 D．若以40m/s的速度匀速通过该路段时，不会脱离路面 【答案】BC 【详解】A．根据做功的公式可知重力做功为 故A错误； B．根据牛顿第二定律有 解得 根据牛顿第三定律可知，通过最高点A时对路面的压力为6000N，故B正确； C．在最低点，根据牛顿第二定律有 解得 根据牛顿第三定律可知，通过B时对路面的压力为，不会爆胎，故C正确； D．脱离路面的最小速度满足 解得 所以若以40m/s的速度匀速通过该路段时，会脱离路面，故D错误； 故选BC。 30．如图所示，质量为M、半径为、内壁光滑的圆管轨道（带框架）竖直放置在水平地面上，轨道圆心为点，与圆心等高。一质量为的小球沿着圆管轨道顺时针运动且恰能完成完整的圆周运动，整个运动过程中轨道始终保持静止状态。已知重力加速度为，不计空气阻力，下列说法正确的是（　　） A．小球运动过程中，地面对轨道的摩擦力方向依次：向右、向左 B．小球运动过程中，地面对轨道的摩擦力方向依次：向右、向左、向右、向左 C．小球运动的过程中有2处位置，使得轨道对地面的压力为 D．小球运动的过程中有4处位置，使得轨道对地面的压力为 【答案】BD 【详解】 AB．如图所示，设圆管轨道最高点为，设小球在段运动时在A点处对轨道没有压力，与竖直方向的夹角为。小球恰能完成完整的圆周运动，则在最高点速度为零，设A点速度大小为，从A到B由动能定理得 又根据 综合解得 由对称性可知，设小球在段运动时在C点处对轨道没有压力，与竖直方向的夹角也为。小球在段运动时，小球受到外轨道指向圆心方向的弹力，小球斜向左上挤压外轨道，地面对轨道的摩擦力方向向右。小球在段运动时，小球受到内轨道背离圆心方向的弹力，小球斜向右下挤压外轨道，地面对轨道的摩擦力方向向左。小球在段运动时，小球受到内轨道背离圆心方向的弹力，小球斜向左下挤压外轨道，地面对轨道的摩擦力方向向右。小球在段运动时，小球受到外轨道指向圆心方向的弹力，小球斜向右上挤压外轨道，地面对轨道的摩擦力方向向左。故小球运动过程中，地面对轨道的摩擦力方向依次：向右、向左、向右、向左，故A错误，B正确； CD．小球在AC两点对轨道没有作用力，轨道对地面的压力等于轨道自身重力大小；小球在PQ两点对轨道竖直方向没有作用力，轨道对地面的压力等于轨道自身重力大小，故轨道小球运动的过程中有4处位置，使得轨道对地面的压力为，故C错误，D正确。 故选BD。 三、计算题 31．某同学在水平空地上练习网球发球技巧，将网球竖直向上抛出，网球运动到最高点A时恰好被球拍水平拍出。如图所示，A点离地面高，A点与落地点B的水平距离，忽略空气阻力，重力加速度大小。求： (1)网球从A点运动到B点所用的时间t； (2)网球被拍出时瞬间速度的大小； (3)网球运动到B点时的速度。 【答案】(1) (2) (3)，速度与水平方向的夹角为 【详解】（1）网球做平抛运动，在竖直方向上有 解得 （2）网球在水平方向上有 解得 （3）竖直方向上，根据速度公式， 根据速度的合成有 ，速度与水平方向的夹角为。 32．消防队正在进行消防演练。如图所示，消防车出弹口O与高楼着火处P的连线与水平面的夹角θ=30°，O、P间的高度差为h。重力加速度大小为g，不计空气阻力，将从出弹口O射出的灭火弹（图中未画出）视为质点。 (1)若灭火弹恰好垂直击中P处，求灭火弹从出弹口O射出时的速度大小v1； (2)若灭火弹击中P处时的速度方向恰好垂直OP向下，求： ①灭火弹从出弹口O射出时的速度大小v2及其方向与OP的夹角α的正切值； ②灭火弹在空中运动的过程中到OP的最大距离d。 【答案】(1) (2)①，；② 【详解】（1）根据逆向思维可知，灭火弹从P到O的运动为平抛运动，设灭火弹在空中运动的时间为t，有 灭火弹从出弹口O射出时的竖直分速度大小 灭火弹从出弹口O射出时的水平分速度大小 又 解得 （2）①将灭火弹从O到P的运动分解为沿OP方向的匀减速直线运动和垂直OP方向的类竖直上抛运动，设灭火弹在空中运动的时间为t'，灭火弹从出弹口O射出时，在垂直OP方向的分速度大小 根据逆向思维可知，沿OP方向有 灭火弹从出弹口O射出时，在OP方向的分速度大小 又 解得 经分析可知 解得 ②由（2）①可得 当灭火弹在垂直OP方向上的分速度为零时，灭火弹到OP的距离最大，有 解得 33．某离心测速器的工作原理简化如图所示。光滑细杆的一端固定在竖直转轴上的O点，并可随轴一起转动。杆上套有一轻质弹簧，弹簧一端固定于O点，另一端与套在杆上的圆环相连。当测速器稳定工作时，圆环将相对细杆静止、在水平面内做匀速圆周运动，通过圆环的位置可以确定细杆匀速转动的角速度。已知细杆长度，杆与竖直转轴的夹角始终为，弹簧原长，圆环质量，测速器不转时圆环静止，此时弹簧形变量为。弹簧始终在弹性限度内，重力加速度g取，，，摩擦力可忽略不计。结果可保留根式。 (1)求弹簧的劲度系数 (2)求弹簧处于原长时，细杆匀速转动的角速度大小； (3)若细杆粗糙，且圆环与细杆的动摩擦因数，要使圆环不脱离细杆，求细杆匀速转动的角速度最大值。（设最大静摩擦力等于滑动摩擦力） 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）当细杆和圆环处于平衡状态，对圆环受力分析得 由胡克定律得 由题意弹簧静止时应处于压缩状态， 解得 （2）若弹簧处于原长，则圆环仅受重力和支持力，其合力使得圆环沿水平方向做匀速圆周运动。 根据牛顿第二定律得 由几何关系得圆环此时转动的半径为 联立解得 （3）圆环处于细杆末端P时，最大，圆环受重力mg，支持力，摩擦力f，弹簧弹力T作用，摩擦力沿杆向下，如图所示 ， 根据胡克定律得 对圆环受力分析并正交分解，竖直方向受力平衡，水平方向合力提供向心力，则有，， 由几何关系得 联立解得 34．如图所示是某游乐场“空中飞椅”的游乐设施，其基本装置是将绳子上端固定在半径为r的水平转盘上，绳子下端连接座椅，人坐在飞椅上随转盘在空中绕竖直转轴转动。设绳子长，水平转盘半径，水平转盘离地面高度，人与座椅的总质量。转盘慢慢加速运动，经过一段时间后转速保持稳定，此时绳与竖直方向的夹角且保持不变。不计空气阻力，绳子不可伸长。 （取，，） (1)转盘转动到稳定状态时，求绳上的拉力多大？ (2)转盘转动到稳定状态时，角速度大小是多少？ (3)若转盘稳定转动后，一位游客随身携带的手机突然滑落，手机因惯性水平飞出直接落到地面。为了保证安全，管理员应该让地面上的游客至少离中心轴多远？ 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）根据力的分解可知竖直方向有 （2）设转盘稳定转动后角速度为，则 根据牛顿第二定律有 解得 （3）手机滑落后沿圆周的切线方向做平抛运动，设手机从抛出至落地的水平距离为x，则 竖直方向有 解得 根据线速度与角速度公式有 水平方向有 游客距中心轴的距离为s，所以 35．如图所示，半径为的光滑轨道固定于竖直面内，点为轨道的最低点，为水平直径。一质量的小球以速度从点开始沿轨道运动，当小球运动至点时，速度。经过点后，小球继续上升，当速度减小至时，小球恰好脱离轨道，重力加速度为。求： (1)小球在最低点时对轨道的压力大小； (2)小球运动至点时，轨道对小球的弹力大小； (3)小球脱离轨道时距点的高度。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）在A点，对小球受力分析，根据牛顿第二定律，有 根据牛顿第三定律得，小球对轨道的压力 联立解得 （2）在C点，对小球受力分析，根据牛顿第二定律，有 解得，轨道对小球的弹力 （3）设小球恰好脱离轨道时，小球与圆心的连线与竖直方向的夹角为，如图所示 此时小球只受重力作用，有 解得 则有，小球脱离轨道时距A点的高度 / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 抛体运动与圆周运动 内容导航 考点聚焦：核心考点+高考考点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 难点强化：难点内容标注与讲解，能力提升 复习提升：真题感知+提升专练，全面突破 核心考点聚焦 1. 平抛运动的特点与基本规律 2.平抛运动与斜面曲面相结合的问题 3.斜抛运动的特点与基本规律 4.水平面内的圆周运动 5. 竖直面内的圆周运动 高考考点聚焦 常考考点 真题举例 平抛运动的特点与基本规律 2024·海南卷 平抛运动与斜面曲面相结合的问题 2022·广东卷 斜抛运动的特点与基本规律力 2024·江西卷 水平面内的圆周运动 2024·江苏卷 竖直面内的圆周运动 2023·湖南卷 知识点一：平抛运动的特点与基本规律 1．四个基本规律 飞行时间 由t＝ 知，时间取决于下落高度h，与初速度v0无关 水平射程 x＝v0，即水平射程由初速度v0和下落高度h共同决定，与其他因素无关 落地速度 v＝＝，落地速度也只与初速度v0和下落高度h有关 速度改变量 任意相等时间间隔Δt内的速度改变量Δv＝gΔt相同，方向恒为竖直向下，如图所示 2．两个重要推论 (1)做平抛(或类平抛)运动的物体在任意时刻任一位置处，设其速度方向与水平方向的夹角为α，位移方向与水平方向的夹角为θ，则tan α＝2tan θ。 (2)做平抛(或类平抛)运动的物体任一时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点，如图中A点为OB的中点。 知识点二：平抛运动与斜面曲面相结合的问题 1.与斜面相关的几种的平抛运动 图示 方法 基本规律 运动时间 分解速度，构建速度的矢量三角形 水平vx＝v0 竖直vy＝gt 合速度v＝ 由tan θ＝＝得 t＝ 分解位移，构建位移的矢量三角形 水平x＝v0t 竖直y＝gt2 合位移x合＝ 由tan θ＝＝得 t＝ 在运动起点同时分解v0、g 由0＝v1－a1t,0－v12＝－2a1d得 t＝，d＝ 分解平行于斜面的速度v 由vy＝gt得t＝ 2.与斜面相关平抛运动的处理方法 (1)分解速度：平抛运动可以分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动,设平抛运动的初速度为v0,在空中运动时间为t,则平抛运动在水平方向的速度为vx=v0,在竖直方向的速度为vy=gt,合速度为v=,合速度与水平方向的夹角满足tan θ=。 (2)分解位移：平抛运动在水平方向的位移为x=v0t,在竖直方向的位移为y=gt2,对抛出点的位移(合位移)为s=,合位移与水平方向夹角满足tan φ=。 (3)分解加速度：平抛运动也不是一定要分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动,在有些问题中,过抛出点建立适当的直角坐标系,把重力加速度g正交分解为gx、gy,把初速度v0正交分解为vx、vy,然后分别在x、y方向列方程求解,可以简化解题过程,化难为易。 3.平抛运动与圆面相结合三种常见情景： （1）如图甲所示，小球从半圆弧左边沿平抛，落到半圆内的不同位置。由半径和几何关系制约时间t：h＝gt2，R±＝v0t，联立两方程可求t。 （2）如图乙所示，小球恰好沿B点的切线方向进入圆轨道，此时半径OB垂直于速度方向，圆心角α与速度的偏向角相等。 (3)如图丙所示，小球恰好从圆柱体Q点沿切线飞过，此时半径OQ垂直于速度方向，圆心角θ与速度的偏向角相等。 知识点三：斜抛运动的特点与基本规律 处理方法 水平竖直正交分解 化曲为直 最高点一分为二变平抛运动 逆向处理 将初速度和重力加速度 沿斜面和垂直斜面分解 基本规律 水平速度： 竖直速度： 最高点： 最高点：速度水平 垂直斜面： 沿着斜面： 最高点： 知识点四：水平面内圆周运动 1．向心力的来源 向心力可以是重力、弹力、摩擦力等各种力，也可以是几个力的合力或某个力的分力，因此在受力分析中要避免再另外添加一个向心力。 2．运动模型 运动模型 向心力的来源示意图 运动模型 向心力的来源示意图 飞机水平转弯 飞车走壁 圆锥摆 火车转弯 汽车在水平路面转弯 水平转台(光滑) 3.水平面内的圆盘模型 ①口诀：“谁远谁先飞”； ②a或b发生相对圆盘滑动的各自临界角速度： ； ①口诀：“谁远谁先飞”； ②轻绳出现拉力，先达到B的临界角速度：； ③AB一起相对圆盘滑动时，临界条件： 隔离A：T=μmAg；隔离B：T+μmBg=mBω22rB 整体：μmAg+μmBg=mBω22rB AB相对圆盘滑动的临界条件： ①口诀：“谁远谁先飞”； ②轻绳出现拉力，先达到B的临界角速度：； ③同侧背离圆心，fAmax和fBmax指向圆心，一起相对圆盘滑动时， 临界条件： 隔离A：μmAg-T=mAω22rA；隔离B：T+μmBg=mBω22rB 整体：μmAg+μmBg=mAω22rA+mBω22rB AB相对圆盘滑动的临界条 ①口诀：“谁远谁先飞”（rB>rA）； ②轻绳出现拉力临界条件：； 此时B与面达到最大静摩擦力，A与面未达到最大静摩擦力。 此时隔离A：fA+T=mAω2rA；隔离B：T+μmBg=mBω2rB 消掉T：fA=μmBg-(mBrB-mArA)ω2 ③当mBrB=mArA时，fA=μmBg，AB永不滑动，除非绳断； ④AB一起相对圆盘滑动时，临界条件： 1）当mBrB>mArA时，fA↓=μmBg-(mBrB-mArA)ω2↑→fA=0→反向→fA达到最大→从B侧飞出； 2）当mBrB<mArA时，fA↑=μmBg+(mArA-mBrB)ω2↑→fA达到最大→ω↑→T↑→fB↓→fB=0→反向→fB达到最大→从A侧飞出； AB相对圆盘滑动的临界条 临界条件： ①，； ②， 临界条件： ① ② 知识点五：竖直面内的圆周运动 1．运动特点 (1)竖直面内的圆周运动一般是变速圆周运动。 (2)只有重力做功的竖直面内的变速圆周运动机械能守恒。 (3)竖直面内的圆周运动问题，涉及知识面比较广，既有临界问题，又有能量守恒的问题，要注意物体运动到圆周的最高点的速度。 (4)一般情况下，竖直面内的圆周运动问题只涉及最高点和最低点的两种情形。 2．常见模型 轻绳模型 轻杆模型 情景图示 弹力特征 弹力可能向下，也可能等于零 弹力可能向下，可能向上，也可能等于零 受力示意图 力学方程 mg＋FT＝m mg±FN＝m 临界特征 FT＝0，即mg＝m，得v＝ v＝0，即F向＝0，此时FN＝mg 模型关键 (1)“绳”只能对小球施加向下的力(2)小球通过最高点的速度至少为 (1)“杆”对小球的作用力可以是拉力，也可以是支持力 (2)小球通过最高点的速度最小可以为0 一、平抛运动的特点与基本规律 1．如图所示，x轴在水平地面内，y轴沿竖直方向，图中画出了从y轴上沿x轴正向抛出的三个小球a、b和c的运动轨迹，其中b和c是从同一点抛出的，不计空气阻力，则（　　） A．a的飞行时间比b的长 B．a的初速度可能比c的小 C．b的飞行时间比c的长 D．b与c的飞行时间相同 2．如图所示，所有阶梯状台阶的高度为，宽度均为，取，有一小球在台阶上面平台上以一定的水平初速度水平飞出，小球直接落到第几级台阶上，正确的是（　　） A．第一级 B．第二级 C．第三级 D．第四级 3．如图1所示的“风车”也叫“谷扇”，是农民常用来精选谷物的农具。在同一风力作用下，精谷和瘪谷（空壳）谷粒从洞口水平飞出，但精谷和瘪谷落地点不同，自然分开，简化为图2所示。若谷粒从洞口飞出后不计空气阻力且不受风力的影响，下列分析正确的是（    ） A．瘪谷和精谷落地时速度相同 B．精谷从飞出洞口到落地的时间比瘪谷短 C．精谷从飞出洞口到落地的时间比瘪谷长 D．精谷和瘪谷飞出洞口后都做匀变速曲线运动 4．如图，将A和B两小球从同一水平直线上的两位置沿水平方向分别抛出，运动轨迹如图所示，不计空气阻力。以下说法正确的是（    ） A．若要两球相遇，需先抛出A球 B．若要两球相遇，先抛出B球 C．若要两球相遇，同时抛出两球 D．无论先抛出哪个小球，一定能够相遇 二、平抛运动与斜面曲面相结合的问题 5．某游乐场有一项游乐项目，游戏选手从离地面高的发射平台把小球水平抛出，球垂直砸在表面为弹性材料的斜面A上，若能等速率反弹并沿原路回到发射平台即为游戏成功。如图所示，抛出点正下方是斜面A的最低点，忽略空气阻力，小球可视为质点，已知斜面与水平面夹角，重力加速度g取，。要想游戏成功，小球的抛出速度应为（　　） A． B． C． D． 6．如图所示，一足够长的斜面与水平面的倾角为，在斜面顶端P处将甲、乙两个小球（均可视为质点）以不同大小的初速度水平抛出，抛出速度分别为、，且。不计空气阻力，下列说法正确的是（　　） A．甲、乙落到斜面上时运动的位移比为 B．甲、乙落到斜面上时速度方向与水平面夹角的正切比为 C．甲、乙在空中运动的加速度比为 D．甲、乙落到斜面时速度比为 7．主题口号为“冰雪同行”的2025年亚冬会圆满落幕。跳台滑雪比赛在哈尔滨举行，如图，跳台滑雪赛道由助滑道AB、着陆坡CD、停止区DE三部分组成。比赛中，甲、乙两运动员先后以速度v1、v2从C点正上方B处沿水平方向飞出，分别落在了着陆坡的P、D两点，运动员可看成质点，不计空气阻力，着陆坡的倾角为θ，重力加速度为g，若P为DC中点，BC高度恰为C离地面高度h的一半，则（　　） A． B．甲、乙运动员在空中飞行时间之比为2∶3 C．甲、乙运动员落到着陆坡时竖直方向的分速度之比为 D．甲、乙运动员落到着陆坡时的速度方向相同 8．如图所示，一个倾角为的面与圆弧对接，斜面高度与圆弧半径相等，斜面的底端在圆心O的正下方。从斜面顶点以一定的初速度向右水平抛出一小球，则下列说法正确的是（　　） A．小球初速度不同，则运动时间一定不同 B．小球落到斜面和圆弧等高位置时，速度大小一定相等 C．小球落到斜面上时，其速度方向一定相同 D．小球落到圆弧面上时，其速度方向可能与该处圆的切线垂直 3、 斜抛运动的特点与基本规律 9．如图所示，在某次军事演习中A、B两火炮以相同的速率从不同方向对位于与炮口处于同一水平高度的目标W发射炮弹，要求同时击中目标，炮弹运动轨迹如图所示，不计空气阻力，则下列说法正确的是（　　） A．A、B两火炮需同时发射 B．两炮弹击中目标时速度相同 C．A炮弹从发射到轨迹最高点的时间小于B炮弹 D．A炮弹在轨迹最高点的速度等于B炮弹 10．某栋居民楼发生火灾，消防队前往救援。如图所示，消防水龙头的喷嘴位置O与着火点A的连线与水平面的夹角为30°。已知水离开喷嘴时的速度大小为，方向与水平面的夹角为60°，忽略空气阻力，重力加速度g取10m/s2。下列说法正确的是（　　） A．水柱运动到最高点时的速度为0 B．水柱从O点到着火点A的位移为51.2m C．水柱从O点到着火点A所经历的时间为3.1s D．水柱到达着火点A的竖直分速度大小为16m/s 11．2023年11月上虞曹娥江“网红人行桥”正式开通，装在桥两侧的音乐喷泉吸粉无数。音乐喷泉喷出的水从江中抽取，喷头可沿一定方向旋转，水流速度大小也可调节，如图所示。某喷头将水以v的速度朝与水平成37°斜向上喷出，喷头出水口的截面积为S，离水面高度为h，不计一切阻力，水的密度为ρ，下列说法正确的是（　　） A．水柱的水平射程为 B．喷头单位时间内喷出水的质量为ρSv C．∆t时间内电机对水做功为ρS∆tv3 D．增大喷头与水平面的夹角，喷射的水平射程一定增大 12．如图，一个可视为质点的小球以与水平方向成60°角的初速度从P点抛出，小球恰好能垂直打在竖直墙壁上的A点，保持小球抛出的方向不变，将初速度大小改为原来的两倍，结果小球能打在墙壁上的B点。已知P到墙壁的距离为d，不计空气阻力，A、B间的距离为（　　） A． B． C． D． 四、水平面内的圆周运动 13．当列车以某一恒定速率过半径为R的弯道时会在水平面内做圆周运动，截面如图所示，列车内有一小球用轻绳悬挂在车厢顶部，发现小球稳定时轻绳与竖直方向夹角为。已知弯道处的铁轨路面与水平面间夹角为（），弯道半径远大于轨道宽度，空气阻力不计，重力加速度为g。下列说法正确的是（    ） A．列车转弯时速度大小为，列车车轮挤压内侧铁轨 B．列车转弯时速度大小为，列车车轮挤压外侧铁轨 C．列车转弯时速度大小为，列车轮与铁轨无侧向挤压 D．列车转弯的半径大小为，列车轮与铁轨无侧向挤压 14．如图所示，质量均为的、两小球用不可伸长的等长轻质绳子悬挂起来，使小球在竖直平面内来回摆动，小球在水平面内做匀速圆周运动，连接小球的绳子与竖直方向的夹角和小球摆动时绳子偏离竖直方向的最大夹角都为，重力加速度为，则下列说法正确的是（　　） A．、两小球都是所受合外力充当向心力 B．、两小球圆周运动的半径之比为 C．小球受到的绳子拉力为 D．小球运动到最高点时受到的绳子拉力为 15．如图所示，质量相等的甲、乙两个物块（两物块均视为质点）随粗糙的水平圆盘一起做匀速圆周运动（两物块均未打滑），甲、乙与圆盘间的动摩擦因数的比值为a，甲、乙与盘心间的距离的比值为b。认为最大静摩擦力等于滑动摩擦力。下列说法正确的是（　　） A．甲、乙的向心力大小的比值为ab B．甲、乙与圆盘间的静摩擦力大小的比值为a C．若缓慢增大圆盘的转速，则甲、乙分别刚要滑动时所受的静摩擦力大小的比值为b D．若，，缓慢增大圆盘的转速，则乙比甲先滑动 16．如图所示，两个可视为质点的、相同的木块和放在转盘上，两者用长为的细绳连接，木块与转盘的最大静摩擦力均为各自重力的倍，放在距离转轴处，整个装置能绕通过转盘中心的转轴转动，开始时，绳恰好伸直但无弹力，现让该装置从静止开始转动，使角速度缓慢增大，以下说法正确的是（　　） A．当摩擦力达到最大时，绳子才会出现拉力 B．当时，绳子不会有弹力 C．在范围内增大时，所受摩擦力变大 D．当时，、相对于转盘会滑动 五、竖直面内的圆周运动 17．如图甲所示，轻杆一端固定在O点，另一端固定一个小球，现让小球在竖直平面内做半径为R的圆周运动，小球运动到最高点时，杆与小球间弹力大小为F，小球在最高点的速度大小为v，其图像如图乙所示，则下列说法正确的是（　　） A．小球的质量为 B．当地的重力加速度大小为 C．时，小球对杆的弹力方向向下 D．时，小球对杆的弹力为2mg 18．如图，一个内壁光滑的弯管处于竖直平面内，其中管道半径为R。现有一个半径略小于弯管横截面半径的光滑小球在弯管内运动，当小球通过最高点时速率为v0，则下列说法正确的是（　　） A．若v0=0，则小球对管内壁无压力 B．若，则小球对管内上壁有压力 C．若，则小球对管内下壁没有压力 D．不论v0多大，小球对管内壁都有压力 19．如图所示，桌面上放置一内壁光滑的固定竖直圆环轨道，质量为M，半径为R。可视为质点的小球在轨道内做圆周运动，其质量为m。小球在轨道最高点的速度大小为，重力加速度为g，不计空气阻力，则（　　） A．当时，轨道对小球无支持力 B．当时，轨道对桌面的压力为 C．小球运动到球心等高处，轨道对桌面的压力为 D．小球做圆周运动的过程中，合外力提供向心力， 20．如图所示，半径为的光滑圆管固定在竖直面内，为管的竖直直径，为管的水平直径，一个直径比管的内径略小的小球在管内运动，远大于管的内径，重力加速度为，则下列说法正确的是（    ） A．小球要能通过点，则在点的速度应满足 B．小球在点的速度越大，小球对管壁的压力越大 C．小球在点和点的加速度一定不同 D．若小球运动到点时对管壁的压力为其重力的5倍，则小球的速度大小一定为 一、单选题 1．如图所示，直径为的竖直圆筒绕中心轴线以恒定的转速匀速转动。一子弹以水平速度沿圆筒直径方向从左侧射入圆筒，从右侧射穿圆筒后发现两弹孔在同一竖直线上且相距为，重力加速度为，则（　　） A．子弹在圆筒中的水平速度为 B．子弹在圆筒中的水平速度为 C．圆筒转动的角速度可能为 D．圆筒转动的角速度可能为 2．如图所示，将小球由一倾角为α的固定斜面底端以与竖直方向夹角的速度斜向上抛出，小球恰好以水平速度经过斜面顶端。小球可视为质点，不考虑空气阻力，已知重力加速度为g。下列说法正确的是（　　） A．小球经过斜面顶端时的速度大小为 B．小球由斜面底端运动至顶端的时间为 C．斜面的高度为 D．斜面的倾角 3．如图甲为2022年北京冬奥会的跳台滑雪场地“雪如意”，其主体建筑设计灵感来自于中国传统饰物“如意”。其部分赛道可简化为如图乙所示的轨道模型，斜坡可视为倾角为的斜面，质量为m的运动员可视为质点从跳台a处以速度v沿水平方向向左飞出，不计空气阻力，已知重力加速度为则运动员从飞出至落到斜坡上的过程中，下列说法正确的是（　　） A．若运动员飞出速度是原来2倍，则其位移大小是原来的4倍 B．若运动员飞出速度是原来2倍，则其速度变化量是原来的4倍 C．运动员运动的时间为 D．运动员落在斜坡上时的瞬时速度方向与水平方向的夹角为 4．甲乙两个小球同时从水平面上的O点斜向上抛出，其运动轨迹如图，甲球落地时，乙球刚好运动到轨迹的最高点。乙球的落点正好在甲球轨迹最高点的正下方，不计空气阻力，下列判断正确的是（　　） A．乙球初速度与水平方向的夹角的正切值是甲球的2倍 B．甲球的最小速度是乙球最小速度的2倍 C．从抛出到落地乙球速度的变化量是甲球的2倍 D．乙球离地面的最大高度是甲球的2倍 5．某科研单位进行传感器的通讯测试，他们在相距25m的两栋楼的同一楼层的阳台将两个带传感器的小球同时抛出，初速度方向如图所示，其中A小球的初速度10m/s，B小球的初速度5m/s，不计空气阻力，重力加速度g取。下列说法中正确的是（　　） A．小球A相对小球B做匀变速运动 B．两个小球之间的最小距离为 C．小球抛出1.5s时，两个小球之间的距离为25m D．仅适当调整两个小球初速度的大小（不能为0），两个小球能够在空中相遇 6．如图所示，在竖直放置的半圆形容器的中心O点分别以水平初速度v1、v2抛出两个小球（可视为质点），最终它们分别落在圆弧上的A点和B点，已知OA与OB互相垂直，且OA与竖直方向成α角，则两小球初速度之比为（　　）    A． B． C． D． 7．如图所示，A、D分别是斜面的顶端、底端，B、C是斜面上的两个点，AB=BC=CD，E点在D点的正上方，与A等高。从E点以一定的水平速度抛出质量相等的两个小球，球1落在B点，球2落在C点，关于球1和球2从抛出到落在斜面上的运动过程（　　） A．球1和球2抛出时初速度之比为 B．球1和球2速度增加量之比为1：2 C．球1和球2运动的时间之比为2：1 D．球1和球2运动时的加速度之比为1：2 8．如图所示，在某次跳台滑雪比赛中，运动员以初速度从跳台顶端A水平飞出，经过一段时间后落在倾斜赛道上的B点，运动员运动到P点时离倾斜赛道最远，P点到赛道的垂直距离为PC，P点离赛道的竖直高度为PD，赛道的倾角为，重力加速度为g，空气阻力不计，运动员（包括滑雪板）视为质点。则C、D两点间的距离是（　　） A． B． C． D． 9．如图所示，一质量为0.3kg的小球B用轻绳AB和BC系着正在做匀速转动，竖直杆CA为转轴，，绳AB和转轴垂直，绳AB的拉力为2N，绳AB的长度为0.2m。，，那么小球做圆周运动的角速度为（　　） A． B． C． D． 10．如图所示，固定的锥形漏斗内壁是光滑的，内壁上有两个质量相等的小球A和B，在各自不同的水平面做匀速圆周运动，以下说法正确的是（　　） A．小球的线速度vA>vB B．小球的角速度ωA>ωB C．小球的加速度aA>aB D．小球对内壁的压力 NA>NB 11．如图所示，自行车运动员在倾角为θ的圆形赛道上骑行，已知重力加速度为g，当这位运动员以速度在赛道上骑行时既没有垂直于速度上滑趋势，也没有垂直于速度下滑趋势，则运动员的转弯半径为（    ） A． B． C． D． 12．如图所示，在匀速转动的水平圆盘上，沿直径方向放着用轻绳相连可视为质点的物体和的质量为的质量为。它们分居圆心两侧，到圆心的距离分别为与盘间的动摩擦因数都为，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。、与圆盘一起绕中轴线匀速转动的最大角速度为；若只将的质量增加为与圆盘一起绕中轴线匀速转动的最大角速度为。转动过程中轻绳未断，则（　　） A． B． C． D． 13．如图所示，小球在竖直放置的光滑圆形管道内做圆周运动，内侧壁半径为R，小球半径为r，圆管的半径略大于小球的半径，重力加速度为g。则下列说法正确的是（　　） A．小球通过最高点时的最小速度vmin＝ B．小球通过最高点时的最小速度vmin＝0 C．小球在水平线ab以下的管道中运动时，外侧管壁对小球一定无作用力 D．小球在水平线ab以上的管道中运动时，内侧管壁对小球一定有作用力 14．如图所示，质量为m的小球穿在半径为R的光滑圆环上，圆环可绕竖直方向的轴以角速度匀速转动，相对于圆环静止（未在圆环最低点）的小球和圆心的连线与转轴的夹角为（大小未知），重力加速度大小为g．下列说法正确的是（    ） A． B． C．只要圆环转动的角速度足够大，可能为 D．当时，小球仍能在圆环上除最低点外的某位置相对于圆环静止 15．如图所示，我国男子体操运动员张成龙用一只手抓住单杠，伸展身体，以单杠为轴做圆周运动。如图甲所示，张成龙运动到最高点时，用力传感器测得张成龙与单杠间弹力大小为F，用速度传感器记录他在最高点的速度大小为v，得到图像如图乙所示。g取，则下列说法中错误的是（　　） A．张成龙的质量为65kg B．张成龙的重心到单杠的距离为0.9m C．当张成龙在最高点的速度为4m/s时，张成龙受单杠的弹力方向向上 D．当张成龙在最高点的速度为4m/s时，张成龙受单杠的弹力方向向下 二、多选题 16．如图所示，倾角的斜面固定在水平地面上，小球从斜面底端A的正上方某处以大小的初速度正对斜面顶点B水平抛出。重力加速度g取，，，下列说法正确的是（　　） A．若小球击中斜面中点，则小球的运动时间为0.4s B．若小球垂直击中斜面，则击中斜面时的速度大小为5m/s C．若小球以最小位移击中斜面，则小球的位移大小为4m D．无论小球怎样到达斜面，其位移方向与水平方向夹角的正切值一定是速度方向与水平方向夹角的正切值的2倍 17．如图所示，、两小球分别从半圆轨道顶端和斜面顶端以大小相等的初速度同时水平抛出，已知半圆轨道的半径与斜面竖直高度相等，斜面底边长是其竖直高度的2倍，若小球能落到半圆轨道上，小球能落到斜面上，则下列说法正确的是（    ） A．球可能先落在半圆轨道上 B．球一定先落在斜面上 C．两球可能同时落在半圆轨道上和斜面上 D．球可能垂直落在半圆轨道上 18．如图所示，从同一位置沿垂直墙面方向水平抛出小球。小球最后都击中竖直墙壁，小球击中墙面时的速度方向与墙面的夹角分别为，不计空气阻力，小球均可视为质点。下列说法正确的是（　　） A．小球被抛出时的初速度大小之比为 B．小球被抛出时的初速度大小之比为 C．小球击中墙面时的速度大小之比为 D．小球击中墙面时的速度大小之比为 19．如图所示，坐标系的x轴水平向右，质量为的小球从坐标原点O处，以初速度斜向右上方抛出，同时受到斜向右上方恒定的风力的作用，风力与的夹角为30°，风力与x轴正方向的夹角也为30°，重力加速度g取。下列说法正确的是（　　） A．小球的速度先减小后增大 B．小球的加速度方向保持不变 C．小球的加速度与初速度的夹角为60° D．小球的加速度大小为 20．如图甲所示为一城墙的入城通道，通道宽度，一跑酷爱好者从左墙根由静止开始正对右墙加速运动，加速到M点时斜向上跃起，到达右墙壁P点时，竖直方向的速度恰好为零，P点距离地面高，然后立即蹬右墙壁，使水平方向的速度变为等大反向，并获得一竖直方向速度，恰好能跃到左墙壁上的Q点，P点与Q点等高，飞跃过程中人距地面的最大高度为，重力加速度g取，整个过程中人的姿态可认为保持不变，如图乙所示，则下列说法中正确的是（　　） A．人助跑的距离为3.6m B．人助跑的距离为3m C．人刚离开墙壁时的速度大小为 D．人刚离开P点时的速度方向与竖直方向夹角的正切值为 21．如图所示，工程队向峡谷对岸平台抛射重物，初速度v0大小为20m/s，与水平方向的夹角为30°，抛出点P和落点Q的连线与水平方向夹角为30°，重力加速度大小取10m/s2，忽略空气阻力。重物在此运动过程中，下列说法正确的是（　　） A．运动时间为4s B．落地速度与水平方向夹角为45° C．轨迹最高点与落点的高度差为45m D．重物离PQ连线的最远距离为10m 22．如图甲所示，一艘正在进行顺时针急转弯训练的航母，运动轨迹可视作半径为R的水平圆周。航母在圆周运动中，船身发生了向外侧倾斜，甲板法线与竖直方向夹角为θ，船体简图如图乙所示。一质量为m的小物块放在甲板上，恰能与甲板保持相对静止，两者之间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g。设最大静摩擦力等于滑动摩擦力。下列说法正确的是（　　） A．小物块受的摩擦力大于 B．小物块受的支持力大于 C．航母的航速为 D．航母的航速为 23．如图所示，一根轻质细线一端系一小球（可视为质点），另一端固定在一光滑圆锥顶端，当圆锥绕中间轴匀速转动带动小球在水平面内做匀速圆周运动，细线长，小球的质量为2kg，当小球与圆锥转动的角速度时，小球脱离圆锥。已知，重力加速度g取。当小球与圆锥转动的角速度时，下列说法正确的是（　　） A．圆锥面与中间轴夹角 B．小球做圆周运动所需向心力的大小为16N C．细线对小球的拉力为 D．小球对锥面的压力为 24．如图所示，在水平转台上放一可视为质点的木块，细绳的一端系在木块上，另一端穿过固定在转台圆心O处的光滑圆筒后悬挂一轻质砂桶，OM段细绳水平，木块与O点间距离r=0.1m。初始时砂桶装有质量为m=1.28kg砂子，木块和转台一起做匀速圆周运动的角速度为ω，木块和转台恰好不相对滑动。砂桶缓慢漏砂，当砂子漏完时，木块和转台也恰好不相对滑动。已知木块和转台间的动摩擦因数为μ=0.16，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，不计砂桶的质量，重力加速度g取10m/s2，下列说法正确的是（　　） A．转台转动的角速度ω=4rad/s B．木块的质量为2kg C．漏砂的过程中，木块所需向心力减小 D．漏砂的过程中，木块所受摩擦力先减小后增大 25．如图所示，一个圆盘在水平面内匀速转动，盘面上距圆盘中心为的位置有一个质量为的小物块，其上方放着质量为的小物块，圆盘的角速度为。物块与圆盘之间摩擦因数均为两物块之间摩擦因数为，重力加速度为，下列说法中正确的是（    ） A．当时，物块将从物块上滑离 B．当时，物块将从物块上滑离 C．无论多大，物块与物块都不会相对滑动 D．当物块、随圆盘一起匀速转动时，物块对物块的摩擦力方向沿半径方向向外 26．如图所示，一长为4L的轻杆绕O点在竖直平面内转动，光滑水平转轴穿过杆上的O点。已知杆两端固定有质量分别为3m、2m的球A和球B，OA距离为L，OB距离为3L。球B运动到最高点时，杆对球B有向下的拉力，大小为2mg。忽略空气阻力，重力加速度为g，则当球B在最高点时（　　） A．球B的速度大小为 B．球A的速度大小为 C．轻杆对A的作用力大小为 D．水平转轴对杆的作用力大小是3mg 27．如图所示，质量为的小球置于方形的光滑盒子中，盒子的边长略大于小球的直径。某同学拿着该盒子在竖直平面内以点为圆心做半径为的匀速圆周运动已知重力加速度为，空气阻力不计。下列说法正确的是（　　） A．若要使盒子运动到最高点时与小球之间恰好无作用力，则盒子运动的周期为 B．若要使盒子运动到最高点时与小球之间恰好无作用力，则盒子运动的周期为 C．若盒子运动的周期为，当盒子运动到与点位于同一水平面上时，小球受盒子右侧面的作用力为 D．若盒子运动的周期为，当盒子运动到与点位于同一水平面上时，小球受盒子的作用力为4mg 28．如图甲所示为一小孩在固定的圆形水泥管道内踢球，她用合适的力度踢一下静止在圆筒最底端的小足球，使小足球在竖直面内先由最低点沿管道向上滚动，该过程可简化为如图乙所示，水泥管道半径为，球质量为，不计一切阻力，g取，则（　　） A．球沿管道做匀速圆周运动 B．要使球能沿管道做圆周运动，小孩踢球做功至少 C．球经过最低点与最高点时，球对管道的压力差为 D．控制踢球力度，球有可能脱离管道后落入小朋友背后打开的书包中 29．资料显示，质量为的某型号小汽车，其轮胎的最大承重为，超过该值将会爆胎。某次汽车正以30m/s的速度匀速通过一段凸凹不平的路面，将这段路面简化为弧形，其最高点和最低点分别为A、B，对应圆弧的半径r均为150m，两圆弧的圆心连线与竖直方向间的夹角为37°，取，，，则汽车（　　） A．从A点到B点的过程中重力势能减少了 B．通过最高点A时对路面的压力为6000N C．通过最低点B时不会爆胎 D．若以40m/s的速度匀速通过该路段时，不会脱离路面 30．如图所示，质量为M、半径为、内壁光滑的圆管轨道（带框架）竖直放置在水平地面上，轨道圆心为点，与圆心等高。一质量为的小球沿着圆管轨道顺时针运动且恰能完成完整的圆周运动，整个运动过程中轨道始终保持静止状态。已知重力加速度为，不计空气阻力，下列说法正确的是（　　） A．小球运动过程中，地面对轨道的摩擦力方向依次：向右、向左 B．小球运动过程中，地面对轨道的摩擦力方向依次：向右、向左、向右、向左 C．小球运动的过程中有2处位置，使得轨道对地面的压力为 D．小球运动的过程中有4处位置，使得轨道对地面的压力为 三、计算题 31．某同学在水平空地上练习网球发球技巧，将网球竖直向上抛出，网球运动到最高点A时恰好被球拍水平拍出。如图所示，A点离地面高，A点与落地点B的水平距离，忽略空气阻力，重力加速度大小。求： (1)网球从A点运动到B点所用的时间t； (2)网球被拍出时瞬间速度的大小； (3)网球运动到B点时的速度。 32．消防队正在进行消防演练。如图所示，消防车出弹口O与高楼着火处P的连线与水平面的夹角θ=30°，O、P间的高度差为h。重力加速度大小为g，不计空气阻力，将从出弹口O射出的灭火弹（图中未画出）视为质点。 (1)若灭火弹恰好垂直击中P处，求灭火弹从出弹口O射出时的速度大小v1； (2)若灭火弹击中P处时的速度方向恰好垂直OP向下，求： ①灭火弹从出弹口O射出时的速度大小v2及其方向与OP的夹角α的正切值； ②灭火弹在空中运动的过程中到OP的最大距离d。 33．某离心测速器的工作原理简化如图所示。光滑细杆的一端固定在竖直转轴上的O点，并可随轴一起转动。杆上套有一轻质弹簧，弹簧一端固定于O点，另一端与套在杆上的圆环相连。当测速器稳定工作时，圆环将相对细杆静止、在水平面内做匀速圆周运动，通过圆环的位置可以确定细杆匀速转动的角速度。已知细杆长度，杆与竖直转轴的夹角始终为，弹簧原长，圆环质量，测速器不转时圆环静止，此时弹簧形变量为。弹簧始终在弹性限度内，重力加速度g取，，，摩擦力可忽略不计。结果可保留根式。 (1)求弹簧的劲度系数 (2)求弹簧处于原长时，细杆匀速转动的角速度大小； (3)若细杆粗糙，且圆环与细杆的动摩擦因数，要使圆环不脱离细杆，求细杆匀速转动的角速度最大值。（设最大静摩擦力等于滑动摩擦力） 34．如图所示是某游乐场“空中飞椅”的游乐设施，其基本装置是将绳子上端固定在半径为r的水平转盘上，绳子下端连接座椅，人坐在飞椅上随转盘在空中绕竖直转轴转动。设绳子长，水平转盘半径，水平转盘离地面高度，人与座椅的总质量。转盘慢慢加速运动，经过一段时间后转速保持稳定，此时绳与竖直方向的夹角且保持不变。不计空气阻力，绳子不可伸长。 （取，，） (1)转盘转动到稳定状态时，求绳上的拉力多大？ (2)转盘转动到稳定状态时，角速度大小是多少？ (3)若转盘稳定转动后，一位游客随身携带的手机突然滑落，手机因惯性水平飞出直接落到地面。为了保证安全，管理员应该让地面上的游客至少离中心轴多远？ 35．如图所示，半径为的光滑轨道固定于竖直面内，点为轨道的最低点，为水平直径。一质量的小球以速度从点开始沿轨道运动，当小球运动至点时，速度。经过点后，小球继续上升，当速度减小至时，小球恰好脱离轨道，重力加速度为。求： (1)小球在最低点时对轨道的压力大小； (2)小球运动至点时，轨道对小球的弹力大小； (3)小球脱离轨道时距点的高度。 / 学科网（北京）股份有限公司 $$