1.1 集合的概念与表示（思维导图+3大知识点+7大题型）（讲义）-2025-2026学年高一数学新教材同步配套培优讲义与精练（苏教版201

1．1 集合的概念与表示 目录 01 学习目标 2 02 题型归纳目录 2 03 思维导图 3 04 知识梳理 4 知识点一：集合的有关概念 4 知识点二：集合的表示方法 4 知识点三：集合的分类 5 05 题型归纳，典型例题 6 题型一：集合的含义 6 题型二：元素与集合的关系 7 题型三：集合中元素的特性及应用 9 题型四：用列举法表示集合 10 题型五：用描述法表示集合 12 题型六：集合表示法的综合应用 13 题型七：集合的创新定义 15 1、了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系，记住常用数集的表示符号并会应用． 2、理解集合中元素的基本属性． 3、初步掌握集合的两种表示方法——列举法、描述法，会用集合的两种表示方法表示一些简单集合． 4、理解集合相等、有限集、无限集、空集等概念． 知识点一：集合的有关概念 1、一般地，研究对象统称为元素，一些元素组成的总体叫集合． 知识点诠释： （1）对于集合一定要从整体的角度来看待它．例如由“我们班的同学”组成的一个集合A，则它是一个整体，也就是一个班集体． （2）要注意组成集合的“对象”的广泛性：一方面，任何一个确定的对象都可以组成一个集合，如人、动物、数、方程、不等式等都可以作为组成集合的对象；另一方面，就是集合本身也可以作为集合的对象，如上面所提到的集合A，可以作为以“我们高一年级各班”组成的集合的元素． 2、关于集合的元素的特征 （1）确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则x或者是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立． （2）互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素． （3）无序性：集合中的元素的次序无先后之分．如：由1，2，3组成的集合，也可以写成由1，3，2组成一个集合，它们都表示同一个集合． 3、元素与集合的关系： （1）如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作aA （2）如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作 4、常用数集及其表示 名称 非负整数集(或自然数集) 正整数集 整数集 有理数集 实数集 记法 N N*或N+ Z Q R 知识点二：集合的表示方法 1、列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内．如：{1，2，3，4，5}，{x2，3x+2，5y3-x，x2+y2}，…． 2、描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号{}内．具体方法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征． 知识点三：集合的分类 一般地，含有有限个元素的集合称为有限集，含有无限个元素的集合称为无限集．我们把不含任何元素的集合称为空集，记作．例如，集合就是空集． 题型一：集合的含义 【例1】（2025·高一·四川绵阳·开学考试）下列说法正确的是（    ） A．我校很喜欢足球的同学能组成一个集合 B．联合国安理会常任理事国能组成一个集合 C．数组成的集合中有7个元素 D．由不大于4的自然数组成的集合的所有元素为 【解题总结】 （1）判断一组对象能构成集合的条件是能找到一个明确的标准，使得对于任何一个对象，都能确定它是不是给定集合的元素． （2）判断元素和集合关系的两种方法 ①直接法：集合中的元素是直接给出的． ②推理法：判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可． 【变式1-1】下列各组对象能构成集合的是（    ） A．中国著名的数学家 B．高一（2）班个子比较高的学生 C．不大于5的自然数 D．约等于3的实数 【变式1-2】下列说法中正确的是（   ） A．联合国所有常任理事国（共5个）组成一个集合 B．朝阳中学年龄较小的学生组成一个集合 C．与是不同的集合 D．由1，0，5，1，2，5组成的集合有六个元素 【变式1-3】下列命题中正确的（    ） A．与表示同一个集合； B．方程的所有解的集合可表示为； C．由3，4，5组成的集合可表示为或； D．很小的实数可以构成集合． 题型二：元素与集合的关系 【例2】（2025·高一·湖南怀化·期中）下列关系中正确的个数是（    ） ①，②，③，④ A．1 B．2 C．3 D．4 【解题总结】 判断元素与集合关系的两种方法 （1）直接法：如果集合中的元素是直接给出，只要判断该元素在已知集合中是否出现即可． （2）推理法：对于一些没有直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可，此时应首先明确已知集合中的元素具有什么特征． 【变式2-1】下列关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2025·高一·内蒙古包头·期中）已知集合，若，则（   ） A． B． C． D．不属于M，Q，P中的任意一个 【变式2-3】（2025·高一·天津南开·期中）给出下列关系：①；②；③；④；⑤．其中错误的个数是（   ） A． B． C． D． 题型三：集合中元素的特性及应用 【例3】由实数及所组成的集合，最少含有 个元素，最多含有 个元素． 【解题总结】 利用集合中元素的确定性、互异性求参数的策略及注意点 （1）策略：根据集合中元素的确定性，可以解出参数的所有可能值，再根据集合中元素的互异性对求得的参数值进行检验． （2）注意点：利用集合中元素的互异性解题时，要注意分类讨论思想的应用． 【变式3-1】若，的值为 ． 【变式3-2】由数集中的元素不能取的值所构成的集合是 ． 【变式3-3】已知集合各元素之和等于3，则实数 题型四：用列举法表示集合 【例4】（2025·高一·天津宁河·期中）用列举法表示下列集合：大于1且小于6的整数． ． 【解题总结】 用列举法表示集合的三个步骤 （1）求出集合的元素； （2）把元素一一列举出来，且相同元素只能列举一次； （3）用花括号括起来． 【变式4-1】用适当的方法表示下列集合： (1)一年中有31天的月份的全体； (2)大于小于12．8的整数的全体； (3)梯形的全体构成的集合； (4)所有能被3整除的数的集合； 【变式4-2】（2025·高一·辽宁大连·期中）求下列方程（方程组）的解集： (1)； (2)． 【变式4-3】对正整数，记． (1)用列举法表示集合； (2)求集合中元素的个数； 题型五：用描述法表示集合 【例5】用描述法表示下列集合： (1)不等式的解集； (2)平面直角坐标系中第二象限的点组成的集合； (3)二次函数图象上的点组成的集合． (4)平面直角坐标系中第四象限内的点组成的集合； (5)集合． (6)所有被3整除的整数组成的集合； (7)方程的所有实数解组成的集合． 【解题总结】 利用描述法表示集合的注意点 ①写清楚该集合代表元素的符号． ②所有描述的内容都要写在花括号内． 【变式5-1】已知集合，则中的元素个数为 ． 【变式5-2】用描述法表示下列集合： (1)所有被3整除的整数组成的集合； (2)不等式的解集； (3)方程的所有实数解组成的集合； (4)抛物线上所有点组成的集合； (5)集合． 【变式5-3】说明下列各集合表示的含义． (1)； (2) ； (3)； (4) ． 题型六：集合表示法的综合应用 【例6】设集合， （1）验证5和6是否属于集合M． （2）关于集合M，还能得出什么结论吗？ 【解题总结】 集合表示法中元素与集合的关系 （1）若已知集合是用描述法表示的，理解集合的代表元素和集合属性是关键； （2）若已知集合是用列举法表示的，把握元素的共同特征是关键； 【变式6-1】已知集合． (1)若集合中只有一个元素，求实数的值； (2)若集合中至多有一个元素，求实数的取值范围； (3)若集合中有两个元素，求实数的取值范围． 【变式6-2】求证： (1)集合中都是合数； (2)集合中存在无穷多合数． 【变式6-3】（1）是否存在实数，，使得等式成立？若存在，写出所有实数对的集合；若不存在，请说明理由； （2）计算：． 题型七：集合的创新定义 【例7】（2025·高一·广东深圳·期中）已知元有限集，若，则称集合为“元和谐集”． (1)写出一个“二元和谐集”(无需写计算过程)； (2)若正数集是“二元和谐集”，试证明：元素，中至少有一个大于2； (3)是否存在集合中元素均为正整数的“三元和谐集”？如果有，有几个？请说明理由． 【解题总结】 一看代表元素，是数集还是点集，二看元素满足什么条件即有什么公共特性． 【变式7-1】（2025·高一·广东广州·期中）非空有限集合由若干个正实数组成，集合的元素个数不少于个． 对于任意，，，若和中至少有一个属于，则称集合是“好集”；否则，称集合是“坏集”． (1)判断和是“好集”还是“坏集”，并简单说明理由； (2)题设的有限集合中，既有大于的元素，又有小于的元素，证明：集合是“坏集”； (3)非空有限集合由若干个正实数组成，集合的元素个数不少于个． 对于任意，，若和都属于，则称集合为“超级好集”，求出所有的“超级好集”． 【变式7-2】（2025·高一·北京平谷·期中）定义：给定整数，如果非空集合满足如下个条件：①；②；③，若，则．则称集合为“减集”问：是否为“减集”？是否为“减集”？ 【变式7-3】对于在平面直角坐标系第一象限内的两点作如下定义：若，则称点领先于点． (1)试判断点是否领先于点，并说明理由； (2)若点领先于点，试证明：点领先于点． (3)对，点领先于点，且点领先于点，求符合条件的正整数组成的集合中元素的个数． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1．1 集合的概念与表示 目录 01 学习目标 2 02 题型归纳目录 2 03 思维导图 3 04 知识梳理 4 知识点一：集合的有关概念 4 知识点二：集合的表示方法 4 知识点三：集合的分类 5 05 题型归纳，典型例题 6 题型一：集合的含义 6 题型二：元素与集合的关系 7 题型三：集合中元素的特性及应用 9 题型四：用列举法表示集合 10 题型五：用描述法表示集合 12 题型六：集合表示法的综合应用 13 题型七：集合的创新定义 15 1、了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系，记住常用数集的表示符号并会应用． 2、理解集合中元素的基本属性． 3、初步掌握集合的两种表示方法——列举法、描述法，会用集合的两种表示方法表示一些简单集合． 4、理解集合相等、有限集、无限集、空集等概念． 知识点一：集合的有关概念 1、一般地，研究对象统称为元素，一些元素组成的总体叫集合． 知识点诠释： （1）对于集合一定要从整体的角度来看待它．例如由“我们班的同学”组成的一个集合A，则它是一个整体，也就是一个班集体． （2）要注意组成集合的“对象”的广泛性：一方面，任何一个确定的对象都可以组成一个集合，如人、动物、数、方程、不等式等都可以作为组成集合的对象；另一方面，就是集合本身也可以作为集合的对象，如上面所提到的集合A，可以作为以“我们高一年级各班”组成的集合的元素． 2、关于集合的元素的特征 （1）确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则x或者是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立． （2）互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素． （3）无序性：集合中的元素的次序无先后之分．如：由1，2，3组成的集合，也可以写成由1，3，2组成一个集合，它们都表示同一个集合． 3、元素与集合的关系： （1）如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作aA （2）如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作 4、常用数集及其表示 名称 非负整数集(或自然数集) 正整数集 整数集 有理数集 实数集 记法 N N*或N+ Z Q R 知识点二：集合的表示方法 1、列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内．如：{1，2，3，4，5}，{x2，3x+2，5y3-x，x2+y2}，…． 2、描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号{}内．具体方法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征． 知识点三：集合的分类 一般地，含有有限个元素的集合称为有限集，含有无限个元素的集合称为无限集．我们把不含任何元素的集合称为空集，记作．例如，集合就是空集． 题型一：集合的含义 【例1】（2025·高一·四川绵阳·开学考试）下列说法正确的是（    ） A．我校很喜欢足球的同学能组成一个集合 B．联合国安理会常任理事国能组成一个集合 C．数组成的集合中有7个元素 D．由不大于4的自然数组成的集合的所有元素为 【答案】B 【解析】对于A，因为很喜欢足球的同学没有明确的标准，不符合集合的确定性， 所以不能组成一个集合，故A错误； 对于B，因为联合国安理会常任理事国有明确的标准，符合集合的确定性， 所以能组成一个集合，故B正确； 对于C，因为存在，所以组成的集合中不可能有7个元素，故C错误； 对于D，由不大于4的自然数组成的集合的所有元素为，故D错误； 故选：B 【解题总结】 （1）判断一组对象能构成集合的条件是能找到一个明确的标准，使得对于任何一个对象，都能确定它是不是给定集合的元素． （2）判断元素和集合关系的两种方法 ①直接法：集合中的元素是直接给出的． ②推理法：判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可． 【变式1-1】下列各组对象能构成集合的是（    ） A．中国著名的数学家 B．高一（2）班个子比较高的学生 C．不大于5的自然数 D．约等于3的实数 【答案】C 【解析】A：著名数学家的标准不明确，不能构成集合； B：个子比较高的标准不明确，不能构成集合； C：不大于5的自然数有，能构成集合； D：约等于3的实数的精度不明确，不能构成集合． 故选：C 【变式1-2】下列说法中正确的是（   ） A．联合国所有常任理事国（共5个）组成一个集合 B．朝阳中学年龄较小的学生组成一个集合 C．与是不同的集合 D．由1，0，5，1，2，5组成的集合有六个元素 【答案】A 【解析】对于A，联合国所有常任理事国共5个，即：中国，美国，俄国，英国，法国，可以组成集合，故A正确； 对于B，“年龄较小”的标准不明确，无法确定集合的元素，故B错误； 对于C，集合的元素满足无序性，与是相同集合，故C错误； 对于D，集合的元素满足互异性，由1，0，5，1，2，5可组成的集合，且有4个元素，故D错误． 故选：A 【变式1-3】下列命题中正确的（    ） A．与表示同一个集合； B．方程的所有解的集合可表示为； C．由3，4，5组成的集合可表示为或； D．很小的实数可以构成集合． 【答案】C 【解析】对于A，中有一个元素0，中无任何元素，故与不是同一个集合，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，根据集合的无序性，可得由3，4，5组成的集合可表示为或，故C正确； 对于D，由集合的确定性，很小的实数不能构成集合，故D错误． 故选：C． 题型二：元素与集合的关系 【例2】（2025·高一·湖南怀化·期中）下列关系中正确的个数是（    ） ①，②，③，④ A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【解析】对于①：为有理数，则成立，①正确； 对于②：为实数，则不成立，②错误； 对于③：不是正自然数，则不成立，③错误； 对于④：是无理数，不是整数，则不成立，④错误； 故正确的有1个． 故选：A． 【解题总结】 判断元素与集合关系的两种方法 （1）直接法：如果集合中的元素是直接给出，只要判断该元素在已知集合中是否出现即可． （2）推理法：对于一些没有直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可，此时应首先明确已知集合中的元素具有什么特征． 【变式2-1】下列关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】四个选项中的大写字母分别代表正整数集、整数集、有理数集、实数集， 显然不是正整数，不是整数，不是有理数，是实数， 故选：D 【变式2-2】（2025·高一·内蒙古包头·期中）已知集合，若，则（   ） A． B． C． D．不属于M，Q，P中的任意一个 【答案】A 【解析】∵， ∴，， ∴， ∴． 故选：A． 【变式2-3】（2025·高一·天津南开·期中）给出下列关系：①；②；③；④；⑤．其中错误的个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于命题①，，所以命题①错误， 对于命题②，，所以命题②错误， 对于命题③，因为是无理数，，所以命题③错误， 对于命题④，因为，所以命题④正确， 对于命题⑤，因为是无限循环小数，是有理数，即，所以命题⑤正确， 故选：C． 题型三：集合中元素的特性及应用 【例3】由实数及所组成的集合，最少含有 个元素，最多含有 个元素． 【答案】 1 2 【解析】当时，各个式子都是； 当时，因为，，， 所以不论取何值，最多只能写成两种形式， 故集合中最少含有个元素，最多含有个元素． 故答案为：； 【解题总结】 利用集合中元素的确定性、互异性求参数的策略及注意点 （1）策略：根据集合中元素的确定性，可以解出参数的所有可能值，再根据集合中元素的互异性对求得的参数值进行检验． （2）注意点：利用集合中元素的互异性解题时，要注意分类讨论思想的应用． 【变式3-1】若，的值为 ． 【答案】2 【解析】因为， 所以或3或， 当时，，此时集合中元素有1，3，1，不满足集合中元素的互异性，舍去； 当时，，此时集合中元素为1，3，1，不满足集合中元素的互异性，舍去； 当时，解得或（舍去），此时集合中元素为1，3，4，符合题意． 故答案为：2 【变式3-2】由数集中的元素不能取的值所构成的集合是 ． 【答案】 【解析】由集合中的元素满足互异性可知， 解得且且且． 故答案为： 【变式3-3】已知集合各元素之和等于3，则实数 【答案】或 【解析】由方程，可得化为， 解得， 当时，此时，可得，不符合题意，舍去； 当时，即时，可得，此时，符合题意； 当且时，可得，解得，符合题意， 所以实数的值为或． 故答案为：或． 题型四：用列举法表示集合 【例4】（2025·高一·天津宁河·期中）用列举法表示下列集合：大于1且小于6的整数． ． 【答案】 【解析】因为大于1且小于6的整数包括2，3，4，5， 所以该集合为． 故答案为： 【解题总结】 用列举法表示集合的三个步骤 （1）求出集合的元素； （2）把元素一一列举出来，且相同元素只能列举一次； （3）用花括号括起来． 【变式4-1】用适当的方法表示下列集合： (1)一年中有31天的月份的全体； (2)大于小于12．8的整数的全体； (3)梯形的全体构成的集合； (4)所有能被3整除的数的集合； 【解析】（1）一年中有31天的月份的全体为：{1月，3月，5月，7月，8月，10月，12月}． （2）大于小于12．8的整数的全体为：． （3）梯形的全体构成的集合为：{a|a是梯形}或{梯形}． （4）所有能被3整除的数的集合为：． 【变式4-2】（2025·高一·辽宁大连·期中）求下列方程（方程组）的解集： (1)； (2)． 【解析】（1）由，可得， 所以或， 解得，，，， 所以方程的解集为． （2）由，消去整理得，解得，， 所以方程组的解为或， 所以方程组的解集为． 【变式4-3】对正整数，记． (1)用列举法表示集合； (2)求集合中元素的个数； 【解析】（1）已知，当时，． 对于，当，时，； 当，时，；当，时，． 当，时，；当，时，； 当，时，． 当，时，；当，时，； 当，时，． 综上，． （2）当时，，此时中有个元素，分别为． 当时，，此时又有个不同的元素， 因为（）与时的元素不同． 当时，同理，又得到个不同元素． 当时，，这里面有个数1，2，3与时中的数重复． 当时，，得到个不同元素，因为（）与前面的元素都不同． 当时，，得到个不同元素，因为（）与前面的元素都不同． 当时，，得到个不同元素，因为（）与前面的元素都不同． 计算中元素个数，总共种的组合，但是时与前面重复了个元素，所以中元素个数为． 题型五：用描述法表示集合 【例5】用描述法表示下列集合： (1)不等式的解集； (2)平面直角坐标系中第二象限的点组成的集合； (3)二次函数图象上的点组成的集合． (4)平面直角坐标系中第四象限内的点组成的集合； (5)集合． (6)所有被3整除的整数组成的集合； (7)方程的所有实数解组成的集合． 【解析】（1）不等式的解集用描述法表示为． （2）根据点坐标的符号，集合用描述法表示为． （3）集合用描述法表示为． （4）根据点坐标的符号，集合用描述法表示为． （5）集合用描述法表示为． （6）集合用描述法表示为． （7）方程的解集用描述法表示为． 【解题总结】 利用描述法表示集合的注意点 ①写清楚该集合代表元素的符号． ②所有描述的内容都要写在花括号内． 【变式5-1】已知集合，则中的元素个数为 ． 【答案】4 【解析】当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，． 由集合C中元素满足互异性，所以． 故答案为：4 【变式5-2】用描述法表示下列集合： (1)所有被3整除的整数组成的集合； (2)不等式的解集； (3)方程的所有实数解组成的集合； (4)抛物线上所有点组成的集合； (5)集合． 【解析】（1）所有被3整除的整数组成的集合，用描述法可表示为： （2）不等式的解集，用描述法可表示为：． （3）方程的所有实数解组成的集合， 用描述法可表示为：． （4）抛物线上所有点组成的集合， 用描述法可表示为：． （5）集合，用描述法可表示为：且． 【变式5-3】说明下列各集合表示的含义． (1)； (2) ； (3)； (4) ． 【解析】（1）A表示y的取值集合，由反比例函数的图象，知． （2）B中的元素是点，B表示直线上所有点组成的集合． （3）C表示一个单元素集，是一个实数对，是以一个点的坐标为元素的集合． （4）D表示一个实数对集，即方程组的解，解方程组得其解为，D是一个单元素集． 题型六：集合表示法的综合应用 【例6】设集合， （1）验证5和6是否属于集合M． （2）关于集合M，还能得出什么结论吗？ 【解析】（1）∵，∴． 设，则，而， 则说明和中一个为偶数，另一个为奇数．另外， 又有是偶数， 这说明和必同为偶数或同为奇数，矛盾．故． （2）可以得到下列结论： ①一切奇数属于集合M．因任一奇数，∴． ②形如的数也属于M．因，故． ③形如的偶数不属于．可模仿题（1）中的证明． ④属于M的两个整数的积也属于M． 设， ，∵． 【解题总结】 集合表示法中元素与集合的关系 （1）若已知集合是用描述法表示的，理解集合的代表元素和集合属性是关键； （2）若已知集合是用列举法表示的，把握元素的共同特征是关键； 【变式6-1】已知集合． (1)若集合中只有一个元素，求实数的值； (2)若集合中至多有一个元素，求实数的取值范围； (3)若集合中有两个元素，求实数的取值范围． 【解析】（1）当时，原方程变为，此时，符合题意； 当时，原方程为一元二次方程， 故当，即时，原方程的解为，符合题意． 综上，当或时，集合中只有一个元素． （2）集合中至多有一个元素，即集合中只有一个元素或没有元素． 当集合中只有一个元素时，由（1）可知，或． 当中没有元素时，，且，即． 综上，当集合中至多有一个元素时，实数的取值范围是或． （3）由题意得，且， 所以且， 故实数的取值范围是且． 【变式6-2】求证： (1)集合中都是合数； (2)集合中存在无穷多合数． 【解析】（1）由于， 若为偶数，则为偶数； 若为奇数，为偶数，故也为偶数． 又因为， 所以为合数，即集合中都是合数． （2）取，， 则． 此时是2026的倍数，是合数， 故集合中存在无穷多合数． 【变式6-3】（1）是否存在实数，，使得等式成立？若存在，写出所有实数对的集合；若不存在，请说明理由； （2）计算：． 【解析】（1）由题意， ，且，即 故所有满足条件的实数对的集合为． （2）在（1）中令，， 有 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 将5个式子左右叠加可得： 题型七：集合的创新定义 【例7】（2025·高一·广东深圳·期中）已知元有限集，若，则称集合为“元和谐集”． (1)写出一个“二元和谐集”(无需写计算过程)； (2)若正数集是“二元和谐集”，试证明：元素，中至少有一个大于2； (3)是否存在集合中元素均为正整数的“三元和谐集”？如果有，有几个？请说明理由． 【解析】（1）不妨令，此时，满足要求； （2）法一：假设命题不成立，即元素，均小于等于2，因为 ，， 故可设，，两边同时除以得，，因为， 所以，与矛盾，不合要求，故假设不成立， 元素，中至少有一个大于2； 法二；集合是“二元和谐集”，设， 则，可以看成一元二次方程的两正根，则， 解得：(舍)或，即，所以至少有一个大于2； （3）设正整数集为“三元和谐集”，则， 不妨设，则，解得， 因为，故只有，满足要求， 综上，满足要求，其他均不合要求， 存在1个集合中元素均为正整数的“三元和谐集”，即． 【解题总结】 一看代表元素，是数集还是点集，二看元素满足什么条件即有什么公共特性． 【变式7-1】（2025·高一·广东广州·期中）非空有限集合由若干个正实数组成，集合的元素个数不少于个． 对于任意，，，若和中至少有一个属于，则称集合是“好集”；否则，称集合是“坏集”． (1)判断和是“好集”还是“坏集”，并简单说明理由； (2)题设的有限集合中，既有大于的元素，又有小于的元素，证明：集合是“坏集”； (3)非空有限集合由若干个正实数组成，集合的元素个数不少于个． 对于任意，，若和都属于，则称集合为“超级好集”，求出所有的“超级好集”． 【解析】（1）对于集合，当时，，；集合是“坏集”； 对于集合，不妨令， 当时，，； 当，时，，； 当，时，，； 当，时，，； 对于任意，，若和中至少有一个属于，则集合是“好集”． （2）假设有限集合中的大于的最小元素为，最小元素为，则，， ，，，，有限集合是“坏集”． （3）当且时，，，是“超级好集”； 下面证明：集合中不可能存在其他元素． 由（2）知：集合中不可能同时有大于和小于的元素， 若，且为中大于的元素中最大的元素， 此时，，不是“超级好集”； 若，且为中小于的元素中最大的元素， 此时，，不是“超级好集”； 中不可能存在其他元素． 满足题意的“超级好集”且． 【变式7-2】（2025·高一·北京平谷·期中）定义：给定整数，如果非空集合满足如下个条件：①；②；③，若，则．则称集合为“减集”问：是否为“减集”？是否为“减集”？ 【解析】，且， ，无解，只可能是， ，，于是是“减集”； ，且，同理可知， ，，于是不是“减集”． 故是“减集”， 不是“减集”． 【变式7-3】对于在平面直角坐标系第一象限内的两点作如下定义：若，则称点领先于点． (1)试判断点是否领先于点，并说明理由； (2)若点领先于点，试证明：点领先于点． (3)对，点领先于点，且点领先于点，求符合条件的正整数组成的集合中元素的个数． 【解析】（1）由条件，证是否成立，即证， 即证，即证，即证，该式显然正确， 所以点领先于点． （2）要证点领先于点，即证， 即证， 即证，由条件点领先于点知该式显然成立，即证． （3）由条件知，有， 即，有， 先考虑变量，需要恒成立，所以，有， 再考虑变量，存在即可，所以，解得， 又因为，故，易知该集合中有1个元素． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$