专题12 不等式的性质、恒成立及基本不等式（新高考通用）-【好题汇编】2025年高考数学二模试题分类汇编

专题12 不等式的性质、恒成立及基本不等式 题型概览 题型01 基本不等式 题型02 不等式的性质 题型03 不等式恒成立 题型04 不等式的证明 题型05 不等式与函数的性质交汇 ( 题型01 )基本不等式 1．（2025·山东菏泽·二模）已知，，且，则的最大值为（    ） A． B．1 C．4 D．16 2．（2025·河南新乡·二模）已知随机变量，，则的最大值为（    ） A．9 B． C． D． 3．（2025·贵州·二模）已知一组数据1，4，5，，3，4，5，1，，7，4的平均数为4，其中，均为正整数，则当取得最小值时，这组数据的方差为（   ） A． B． C． D． 4．（多选）（2025·内蒙古包头·模拟预测）已知 为正实数， ，则下列说法正确的是（   ） A． B． 的最小值为 -1 C．的最小值为 12 D． 的最小值为 5．（2025·山东临沂·二模）已知为正项等差数列，若，则的最大值为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 6．（多选）（2025·江西上饶·二模）若正实数满足，则（   ） A．的最大值是 B．的最小值是9 C．的最大值是 D．的最小值是 7．（2025·江西·二模）已知，若，当取得最大值时，（    ） A． B． C． D． 8．（2025·广东清远·二模）已知函数，若，，且，则的最小值是 ． 9．（2025·甘肃·二模）已知实数，满足，则的最小值为 ． 10．（2025·山东菏泽·二模）记的内角的对边分别为，已知． (1)求； (2)若，求边上高的最大值． ( 题型0 2 )不等式的性质 1．（多选）（2025·河南·三模）已知，c为实数，则下列不等式正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（多选）（2025·山东临沂·二模）已知，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（2025·山东聊城·二模）已知实数满足，则（    ） A． B． C．若，则 D．若，则 4．（多选）（2025·河北衡水·二模）已知实数满足，则下列不等关系一定成立的是（   ） A． B． C． D． 5．（多选）（2025·山西·二模）已知，则（   ） A． B． C． D． ( 题型0 3 )不等式恒成立 1．（2025·江西上饶·二模）若不等式恒成立，则的取值集合为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·四川雅安·二模）已知，且，对于任意均有，则（   ） A． B． C． D． 3．（2025·内蒙古呼和浩特·二模）已知函数在上单调，且在上恒成立，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（2025·山西·二模）设函数，对任意，.若对任意，都有，则的极小值为（    ） A． B． C． D．0 5．（2025·广东揭阳·二模）已知定义在上的函数，对任意满足，且当时，.设，，则（   ） A． B． C． D． 6．（2025·山东潍坊·二模），，则实数的取值范围是 ． 7．（2025·辽宁·二模）设函数．若在上恒成立，则实数的取值范围为 ． 8．（2025·河北邯郸·二模）设函数，若存在实数，使得恒成立，则实数的取值范围是 ． 9．（2025·山西晋城·二模）若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为 ． 10．（2025·江西鹰潭·二模）已知函数 (1)求函数在处的切线方程； (2)若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围； 11．（2025·安徽滁州·二模）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若对任意和任意，都有，求实数的取值范围． 12．（2025·江苏·二模）已知函数，，. (1)若曲线在点的切线也是曲线的切线，求的值； (2)讨论函数在区间上的单调性； (3)若对任意恒成立，求的取值范围. 13．（2025·山东青岛·二模）已知函数 (1)当时，求证： (2)若对恒成立，求的取值范围. 14．（2025·云南曲靖·二模）已知函数． (1)当时，求函数在上的值域； (2)若在上恒成立，求实数的取值范围. 15．（2025·辽宁沈阳·二模）已知函数． (1)若存在，使成立，求k的取值范围； (2)已知，若在上恒成立，求k的最小值． ( 题型0 4 )不等式的证明 1．（2025·江西上饶·二模）已知函数 (1)求曲线在点处的切线方程； (2)证明：当时成立． 2．（2025·河北邯郸·二模）已知函数，. (1)讨论函数的单调性； (2)证明：. 3．（2025·湖北黄冈·二模）已知函数． (1)若，求在的值域； (2)证明：存在唯一的极值点，且； (3)若恒成立，证明：． 4．（2025·山东潍坊·二模）已知函数． (1)若在处取得极值0，求的值； (2)若有两个零点． （i）当时，曲线在点处的切线斜率为1，求的值； （ii）证明：． 5．（2025·山东临沂·二模）已知函数． (1)当时，讨论的单调性； (2)设函数，已知有两个极值点． ①求的取值范围； ②求证：． 6．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）已知函数． (1)当时，求在区间上的零点个数； (2)当，时，求证：． 7．（2025·江苏南京·二模）已知函数,. (1)当时，设曲线在处的切线为，求与曲线的公共点个数； (2)当时，若，恒成立，求实数的取值范围. 8．（2025·山西·二模）已知函数. (1)设是曲线的任意一条切线，若，求a的值； (2)证明：存在，对任意，且，都有； (3)证明：. 9．（2025·广东深圳·二模）已知函数，函数图象上的一点，按照如下的方式构造切线：在点处作的切线，记切线与x轴交点的横坐标为． (1)写出与的递推关系式； (2)记的零点为r，且． （i）证明：当时，； （ii）证明：对于任意的，都有． 10．（2025·河南·二模）已知函数. (1)当时，若不等式恒成立，求的取值范围； (2)若有两个零点，，且. （i）求的取值范围； （ii）证明：. ( 题型0 5 )不等式与函数的性质交汇 1．（2025·贵州·二模）已知为偶函数，当时，，且，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·河南·二模）已知函数，则满足的实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 3．（2025·湖南邵阳·二模）已知函数，则满足的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（2025·江苏南京·二模）已知，，，则a，b，c的大小关系为（   ） A． B． C． D． 5．（2025·重庆·二模）已知函数 是定义在上的偶函数，且在 上为增函数，设，，则 的大小关系是（   ） A． B． C． D． 6．（2025·山东聊城·二模）函数定义域为，且满足，若是偶函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 7．（多选）（2025·河北张家口·二模）已知函数的定义域为R，当时，，且对于任意的，都有，则（   ） A． B．为偶函数 C．当时， D．当时， 8．（多选）（2025·安徽黄山·二模）已知是定义在上的奇函数，且图象连续不间断，函数的导函数为．当时，，其中为自然对数的底数，则（   ） A．在上有且只有1个零点 B．在区间上单调递增 C． D． 2 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题12 不等式的性质、恒成立及基本不等式 题型概览 题型01 基本不等式 题型02 不等式的性质 题型03 不等式恒成立 题型04 不等式的证明 题型05 不等式与函数的性质交汇 SHAPE \* MERGEFORMAT 基本不等式 1．（2025·山东菏泽·二模）已知 ， ，且 ，则 的最大值为（    ） A． B．1 C．4 D．16 【答案】B 【分析】由基本不等式结合对数运算性质即可求解. 【详解】 ，当且仅当 ，即 时取等号， 故选：B 2．（2025·河南新乡·二模）已知随机变量 ， ，则 的最大值为（    ） A．9 B． C． D． 【答案】D 【分析】利用正态分布的对称性得到 ，再用代换1法求最大值即可. 【详解】因为 ， ，所以 . 由正态分布的对称性，可得 .因为 ， 所以 ，当且仅当 ，即 ， 时，等号成立，即 的最大值为 .故选：D. 3．（2025·贵州·二模）已知一组数据1，4，5， ，3，4，5，1， ，7，4的平均数为4，其中 ， 均为正整数，则当 取得最小值时，这组数据的方差为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用平均数的定义列式求出 ，再利用基本不等式“1”的妙用求出取最小值的条件，然后利用方差的定义求解. 【详解】依题意， ，解得 ， 则 ，当且仅当 ，即 时取等号，因此当 时， 取得最小值，所以这组数据的方差为 .故选：D 4．（多选）（2025·内蒙古包头·模拟预测）已知 为正实数， ，则下列说法正确的是（   ） A． B． 的最小值为 -1 C． 的最小值为 12 D． 的最小值为 【答案】ABD 【分析】根据题意，化简得到 ，令 ，得到 ，结合函数 单调性，可判定A正确；由 ，得到 ，结合二次函数的性质，可得判定B正确；化简 ，利用基本不等式，可得判定C不正确；由 ，得到 ，可判定D正确. 【详解】由 ，可得 ，对于A中，令 ，则 且 ，可得 ，则 ，因为函数 在 上单调递减，在 上单调递增，可得 ，所以 ，所以A正确；对于B中，由 ，可得 ，则 ，当且仅当 时， 取得最小值 ，所以B正确；对于C中，由 ，当且仅当 时，即 时，即 时，等号成立，所以C不正确；对于D中，由 ， 可得 ，当且仅当 时，即 时，等号成立， 所以 的最小值为 ，所以D正确.故选：ABD. 5．（2025·山东临沂·二模）已知 为正项等差数列，若 ，则 的最大值为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【分析】由题意求得 ， ，进一步将所求转换为关于 的二次式子即可求解. 【详解】 ，解得 ，由于 为正项等差数列，则 ，解得 ， ，等号成立当且仅当 ，所以 的最大值为8.故选：C. 6．（多选）（2025·江西上饶·二模）若正实数 满足 ，则（   ） A． 的最大值是 B． 的最小值是9 C． 的最大值是 D． 的最小值是 【答案】ABC 【分析】利用基本不等式求积的最大值判断AC；利用“1”的妙用求出最小值判断B；消元利用二次函数求出最小值判断D. 【详解】对于A， ，当且仅当 时取等号，A正确； 对于B， ，当且仅当 时取等号，B正确； 对于C， ，当且仅当 时取等号，C正确； 对于D， ，则 ，当且仅当 时取等号，D错误.故选：ABC 7．（2025·江西·二模）已知 ，若 ，当 取得最大值时， （    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据已知条件 ，利用两角和与差的正弦公式展开，得到 与 的关系，再将 展开，结合基本不等式求出其最大值时 的值，进而求出 ． 【详解】已知 ，根据两角和与差的正弦公式展开可得： ，移项可得： ． 因为 ，所以 ， ，等式两边同时除以 ，得到 ． 根据两角差的正切公式可得： ． 令 ，因为 ，所以 ，则 ． 根据基本不等式： ，当且仅当 ，即 ， 时等号成立． 所以 ，即当 时， 取得最大值 ． 因为 ，当 时， ． 当 取得最大值时， ，故选：A． 8．（2025·广东清远·二模）已知函数 ，若 ， ，且 ，则 的最小值是 ． 【答案】4 【分析】先分析函数的奇偶性和单调性，结合函数性质可得 的关系，再利用基本不等式求和的最小值. 【详解】因为 ，所以 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 ， ，所以函数 为奇函数且为增函数， . 由 可得 ，即为 .因为 ，所以 ．当且仅当 ， 时取等号．故答案为：4 9．（2025·甘肃·二模）已知实数 ， 满足 ，则 的最小值为 ． 【答案】 # 【分析】考虑每个选项和圆的关系，考虑每个选项的几何意义即可求解 【详解】因为 ，所以 ，所以 ，所以 ， 因为 ，所以 ， 当 时取等号， 所以 ，则 的最小值为 .故答案为： 10．（2025·山东菏泽·二模）记 的内角 的对边分别为 ，已知 ． (1)求 ； (2)若 ，求 边上高的最大值． 【答案】(1) ；(2) . 【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再由诱导公式及两角和的正弦公式求出 ，即可得解； （2）设 外接圆的半径为 ，由 即可求出 ，从而求出 ，再由余弦定理及基本不等式求出 的最大值，最后由等面积法计算可得. 【详解】（1）因为 ，由正弦定理得： ①，因为 ，所以 .故①式可变形为 ， 即 ，化简得： ，因为 ，所以 ，故 . 因为 ，故 . （2）设 外接圆的半径为 ，由正弦定理得： ，则 ， ， ，又 ，故得 ，由（1）知 ，故 ，则 ，由余弦定理得： ，即 ，则 ，当且仅当 时等号成立，设 边上高为 ，由三角形的面积公式得： ，即 .故 边上高的最大值为 . SHAPE \* MERGEFORMAT 不等式的性质 1．（多选）（2025·河南·三模）已知 ，c为实数，则下列不等式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】由题意可得 ，利用不等式的性质及函数的单调性对选项逐一判断即可. 【详解】由题意可得 ，A项:由 单调递增，知 ，故选项A正确；B项: 时选项B不正确；C项:由 ，则 ，当且仅当 时等号成立，∵ ，∴等号不成立，故选项C正确；D项:构造函数 ， ，∴ 单调递增，又 ，得 ，故选项D不正确．故选:AC． 2．（多选）（2025·山东临沂·二模）已知 ，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】对于A，可以用作差法判断，对于BC，举反例判断即可，对于D，分 三种情况讨论即可判断. 【详解】对于A， ，因为 ，所以 ，即 ，所以 ，故A正确；对于B，取 ，此时 ，故B错误；对于C，取 ，则 ，故C错误，对于D，若 ，则 显然成立，若 ，则 成立，若 ，则 成立，综上所述，只要 ，就一定有 ，故D正确.故选：AD. 3．（2025·山东聊城·二模）已知实数 满足 ，则（    ） A． B． C．若 ，则 D．若 ，则 【答案】BC 【分析】A举反例 ；B利用基本不等式即可；C作差法；D举反例 . 【详解】对于A，当 时， ，故A错误；对于B，因 ，则 ， ，则 ，等号成立时 ，故B正确；对于C，因 且 ，则 ，则 ，故C正确；对于D，若 ，则 ，故D错误.故选：BC 4．（多选）（2025·河北衡水·二模）已知实数 满足 ，则下列不等关系一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据已知有 ，则 ，根据指数函数的单调性判断A；两侧平方有 ，结合基本不等式、不等式性质判断B；特殊值 判断C；讨论 、 ，结合不等式性质判断D. 【详解】因为 ，所以 ，所以 ，故A对；因为 ，所以 ，由 ，所以 ，故B对；若 ，满足 ，显然 不成立，故C错；当 ，则 ，必有 ，当 ，则 ，故 ，必有 ，故D对.故选：ABD 5．（多选）（2025·山西·二模）已知 ，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】由指数函数 单调性可判断A项，由幂函数 单调性可判断B项，运用作差法及对数函数性质可判断C项，运用作差法及不等式性质可判断D项. 【详解】对于A项，因为 EMBED Equation.DSMT4 是减函数，而 ，所以 ，故A项正确；对于B项，因为 EMBED Equation.DSMT4 在 上单调递增，而 ，所以 ，故B项正确；对于C项， ，因为 ， ， ，所以 ，即 ，故C项错误；对于D项， ，因为 ， ， ，所以 ，即 ，故D项正确.故选：ABD. SHAPE \* MERGEFORMAT 不等式恒成立 1．（2025·江西上饶·二模）若不等式 恒成立，则 的取值集合为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用换元法，把原不等式转化为 恒成立问题，再分 ， ， 讨论即可. 【详解】设 ，则 ， .原不等式可化为： .因为 ，所以 ， . 当 时， ，所以 在 恒成立，所以 ；当 时， ，所以 成立；当 时， ，所以 在 上恒成立，所以 .综上可得： .故选：A 2．（2025·四川雅安·二模）已知 ，且 ，对于任意 均有 ，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】对 分 与 两种情况讨论，结合三次函数的性质分析即可得到答案. 【详解】因为 ，所以 且 ，设 ，则 的零点为 ，当 时，则 ， ，要使 ，必有 ，则 ，不合题意； 当 时，则 或 ，即 或 ; 综上一定有 .故选：B. 3．（2025·内蒙古呼和浩特·二模）已知函数 在 上单调，且 在 上恒成立，则 的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题可得函数 在 上单调递减，由 在 恒成立可得 恒成立，据此可得答案. 【详解】因函数 在 上单调，又 在 上单调递减， 则函数 在 上单调递减，则 .则 时， ，又 ，则 恒成立，则 . 故选：B 4．（2025·山西·二模）设函数 ，对任意 ， .若对任意 ，都有 ，则 的极小值为（    ） A． B． C． D．0 【答案】A 【分析】先将 代入 ，化简可得 ，由三次函数的图象性质及零点存在性定理得 ， ，从而得到 ，最后利用导数计算极小值即可. 【详解】将 代入 ，可得 ，由于等式对任意 都成立，则 项系数必须为0，即 ，所以 ，令 ，可得 或 ，由三次函数图象性质易得 为函数 的唯一变号零点，由任意 ，都有 ，可得 ， 时，总有 ，所以 为函数 的变号零点，所以 ，则 ，此时 ，求导得 ，令 ，得 或2，当 或 时， ；当 时， .故 为极小值点，极小值 .故选：A. 5．（2025·广东揭阳·二模）已知定义在 上的函数 ，对任意 满足 ，且当 时， .设 ， ，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设 ，则有 .根据已知可得出 ，从而得出函数 在 上单调递减.构造函数 ，利用导函数证明 在 上恒成立.进而分 以及 讨论，即可得出答案. 【详解】设 ，则有 .当 时，由已知可得 ，化简可得 .又由已知当 时， 可得， ，所以 . 所以， 在 上单调递减.又 时，构造 ，则 在 上恒成立，所以， 恒成立，所以 在 上恒成立.所以，有 在 上恒成立；当 时，有 ，所以有 ，即 ；当 时， ，此时有 ，即 .综上所述， .故选：D. 6．（2025·山东潍坊·二模） ， ，则实数 的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据绝对值三角不等式得到 ，从而得到 ，解得即可. 【详解】因为 （当且仅当 时取等号）， 又 ， ，所以 ，则 或 ，解得 或 ，即实数 的取值范围是 .故答案为： 7．（2025·辽宁·二模）设函数 ．若 在 上恒成立，则实数 的取值范围为 ． 【答案】 【分析】分类讨论，当 时， ，再讨论 的范围得出 ；当 时，讨论 的范围，由导数求得 ，即可求解． 【详解】①当 时， ，对称轴为 ，当 时， ，则 ；当 时， ，则 ；所以当 时，若 在 上恒成立，则 ；②当 时， ，则 ，当 时， ，则 在 上单调递增，当 时， ，不合题意；当 时，令 ，解得 ，当 时， ，则 在 上单调递增，当 时， ，则 在 上单调递减，所以 ，解得 ， 所以当 时，若 在 上恒成立，则 ；综上所述， ， 8．（2025·河北邯郸·二模）设函数 ，若存在实数 ，使得 恒成立，则实数 的取值范围是 ． 【答案】 【分析】将恒成立问题转化为曲线位置问题，再研究曲线相切的情况，利用导数的几何意义求出 的取值，最后再分析曲线的性质得到取值范围即可. 【详解】因为存在实数 ，使得 恒成立，所以 ， 若满足条件，只需 在曲线 的下方，且 在曲线 的上方即可， 但我们只需找到 与曲线 均相切时的 的值即可，我们先研究 与曲线 相切时的情况，设切点为 ， ，由导数的几何意义得 ， 将 代入 中，得到 ，解得 ，故 ，解得 ，代入 中，得到 ，设当 与 的切点为 ， ， 将 代入 中，得到 ，由导数的几何意义得 ，解得 ，而 在曲线 的下方，且 在曲线 的上方， 则 越小， 越大，更容易满足题意，故 . 9．（2025·山西晋城·二模）若关于 的不等式 在 上恒成立，则实数 的取值范围为 ． 【答案】 【分析】构造函数 ，分 应用导函数得出函数的单调性及最值计算求出恒成立问题. 【详解】由 ，得 在 上恒成立， 令 ，则 ，当 时， ， 在 上单调递减； 当 时， ， 在 上单调递增，所以 ， 则 ，所以 在 上恒成立．当 时， 恒成立，则 ； 当 时，由 ，得 ；当 时，由 ，得 ．设 ，则 ，当 或 时， ， 在 和 上单调递减；当 时， ， 在 上单调递增，则 在 上的最大值为 ， 在 上的最小值为 ．综上可知，实数 的取值范围为 . 10．（2025·江西鹰潭·二模）已知函数 (1)求函数 在 处的切线方程； (2)若关于 的不等式 恒成立，求实数 的取值范围； 【答案】(1) ；(2) ． 【分析】（1）由导数的意义求出切线的斜率，再由点斜式可得直线方程； （2）先问题等价于在 时 恒成立，构造函数 ，求导分析单调性后得到最小值即可. 【详解】（1） ， ，而 ， ，所以 在 处的切线方程为： （2）由题意得： 恒成立，因为 ，所以问题等价于在 时 恒成立，令 ， ， ，当 时， ， 为增函数；当 时， ， 为减函数，则函数 ，故 ． 11．（2025·安徽滁州·二模）已知函数 ． (1)讨论 的单调性； (2)若对任意 和任意 ，都有 ，求实数 的取值范围． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）求出函数的导数，就 、 、 分类讨论其符号后可得单调性； （2）由（1）可得 的最小值，令 ，求出 的最大值后可得参数的取值范围. 【详解】（1） 的定义域为 ， ， 若 ，当 时， ，当 时， ，所以 在 上单调递增，在 上单调递减； 若 ，当 或 时， ，当 时， ，所以 在 和 上单调递增，在 上单调递减； 若 ，当 或 时， ，当 时， ，所以 在 和 上单调递减，在 上单调递增．综上可知，当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减；当 时， 在 和 上单调递增，在 上单调递减；当 时， 在 和 上单调递减，在 上单调递增． （2）令 ，易知 ，由题意知， ，由（1）知 ， 又 ，当 时， ，当 时， ，所以 在 上单调递增，在 上单调递减，所以 ，所以 ，故实数 的取值范围为 ． 12．（2025·江苏·二模）已知函数 ， ， . (1)若曲线 在点 的切线也是曲线 的切线，求 的值； (2)讨论函数 在区间 上的单调性； (3)若 对任意 恒成立，求 的取值范围. 【答案】(1) (2)答案见解析 (3) 【分析】（1）利用导数的几何意义来求曲线在某点处的切线方程即可求解； （2）利用分类讨论，通过导数正负符号的判断可得单调区间； （3）利用端点值刚好为 ，要满足不等式恒成立，必要条件先行，再证明充分性即可求解. 【详解】（1）由已知得 ， ， 在点 处的切线方程为 .设与 切于 ， ， ，则 过该点的切线方程为： ，整理得 ，由于该切线与 重合，则 . （2）由 ，求导得 ， ①当 时， ， ， 在 上单调递增； ②当 时，令 ，当 时， ， 在区间 上单调递减， 当 时， ， 在区间 上单调递增 ③当 时，令 当 时， ， 在区间 上单调递增； 当 时， ， 在区间 上单调递减 （3）由题意得 ，即 对 恒成立.令 ， ，令 ， ，因为 ， ，若 ，则 在 处的切线必然是上升的，又因为 ，所以当 且靠近 的函数值满足 ，此时就有 ，从而可推导 在 且靠近 的附近是递增的，又因为 ，所以在 且靠近 的附近必有 则必然不满足对 恒有 ，所以要满足对 恒有 ， 首先必需满足在 且靠近 的附近 ，所以满足 ， 从而可得参数 满足的必要条件是 ；下面再证充分性，当 ， 时，则 ，即有 ， 又构造 ， ，可得 ，所以 在区间 上单调递增，即 ，则可知 ，则 ， 恒成立，符合题意，综上： 的取值范围为 . 13．（2025·山东青岛·二模）已知函数 (1)当 时，求证： (2)若 对 恒成立，求 的取值范围. 【答案】(1)证明见解析；(2) 【分析】（1）由 ，得 ，构造函数 ，求解单调性，即可证明； （2）求导得 ，令 ，则 ，分类讨论可求得 的范围. 【详解】（1）由 ，得 .要证 只要证 令 ，则 当 时， 则 单调递减，当 时， 则 单调递增，   所以 则 即 （2）由已知可得 ，令 ，求导可得 ， (1)当 时，由 ，得 ，因此 ，满足题意. (2)当 时，由 ，得 ，则 在 上单调递增. ①当 时， ，所以 ，即 在 单调递增，所以 在 单调递增，所以 ，则 在 上单调递增，所以 满足题意.      ②当 时， ， ，则存在唯一的 ，使得 ，且当 时， ， 在 上单调递减，所以 不满足题意.                              综上： 14．（2025·云南曲靖·二模）已知函数 ． (1)当 时，求函数 在 上的值域； (2)若 在 上恒成立，求实数 的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求导数，令 ，求得单调递增区间，令 ，求得单调递减区间，进而求得极值下端点值，求得最值，可求值域； （2）求导，令 ，进而求导数，分 ， ， 三种情况讨论，可求得实数 的取值范围. 【详解】（1）（1）当 时， ，所以 ， 令 ，得 或 ，令 ，得 ，所以 在 和 上单调递增，在 上单调递减，又 ， ，所以 ，又 ， ，所以 ，所以当 时，求函数 在 上的值域为 ； （2）由 ，得 ，令 ，则 ，因为 ，所以 ，所以 ， ①当 时， ，满足 恒成立， ②当 时， ，故 在 上单调递增，又 ，所以当 时， ，进而 ，所以 在 上单调递减，当 时， ，进而 ，所以 在 上单调递增，所以 ，满足 恒成立， ③当 时， ，故 在 上单调递减，又 ，所以当 时， ，进而 ，所以 在 上单调递增，当 时， ，进而 ，所以 在 上单调递减，所以 ，不满足 恒成立， 综上所述：实数 的取值范围为 . 15．（2025·辽宁沈阳·二模）已知函数 ． (1)若存在 ，使 成立，求k的取值范围； (2)已知 ，若 在 上恒成立，求k的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）转化为存在 ，使 成立，令 ，利用导数求出 的最大值可得答案； （2）转化为 在 上恒成立，令 ，利用导数求出 可得答案． 【详解】（1）由 得 ，可得存在 ，使 成立， 令 ， ，令 得 ，当 时 ， 单调递增， 当 时 ， 单调递减，所以 ，若存在 ，使 成立，则 ； （2） ，若 在 上恒成立，则 在 上恒成立，令 ，则 ，令 ，则 （舍）或 ，当 时 ， 单调递增，当 时 ， 单调递减，所以 ，则 ，则k的最小值为 ． SHAPE \* MERGEFORMAT 不等式的证明 1．（2025·江西上饶·二模）已知函数 (1)求曲线 在点 处的切线方程； (2)证明：当 时 成立． 【答案】(1) ； (2)证明见解析. 【分析】（1）求出函数 的导数，再利用导数的几何意义求出切线方程. （2）等价变形不等式，利用不等式性质将问题转化为证 在 恒成立，结合导数分段推理证明. 【详解】（1）函数 ，求导得 ， 则 ，而 ，所以所求切线方程为 . （2）函数 的定义域为 ，不等式 ，当 时， ，则 ，令函数 ，当 时， ，令函数 ，求导得 ，函数 在 上单调递减， ， ；当 时， ，令 ，求导得 ，函数 在 上单调递减，在 上单调递增，而 ，则存在 ，使得 ， 当 或 时， ；当 时， ，函数 在 上单调递增，在 上单调递减， ，则当 时， ；当 时 ， 函数 在 上单调递增，在 上单调递减，又 ，则 ；当 时， ，函数 在 上单调递增， ， 因此 ， ，则 ，所以当 时， 成立. 2．（2025·河北邯郸·二模）已知函数 ， . (1)讨论函数 的单调性； (2)证明： . 【答案】(1)当 时，函数 在 上单调递减；当 时，函数 在 上单调递减，在 上单调递增 (2)证明见解析 【分析】（1）由函数 的解析式可知函数 的定义域为 及导函数 ，对 分 和 两类讨论即可求解； （2）由（1）知当 时， ，即 ，进而可得 .令 ，对函数 求导可知 在 上单调递增，可得 ，故 ，原不等式得证. 【详解】（1）由题知： ，其定义域为 ， . 当 时，则 ， 在 上单调递减；当 时，令 ，解得 ；令 ，解得 ，∴函数 在 上单调递减，在 上单调递增.综上所述，当 时，函数 在 上单调递减；当 时，函数 在 上单调递减，在 上单调递增. （2）要证 ，即证 .由（1）知：当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增，∴ ，即 ， ， . 令 ， ，∴ 在 上单调递增，∴当 时， ，即 ，∴ ，即 ，∴原不等式成立. 3．（2025·湖北黄冈·二模）已知函数 ． (1)若 ，求 在 的值域； (2)证明： 存在唯一的极值点 ，且 ； (3)若 恒成立，证明： ． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）求导后分析单调性可得； （2）由（1）可知 为函数 的唯一极值点且为极小值点，求导后分当 时和 讨论，当 时，分别构造 ，求导分析单调性和极值，利用零点存在定理分析； （3）由（2）可知 的最小值，利用 恒成立，得到 ，采用分析法证明令 ，构造函数 ，求导分析单调性和最值可证明. 【详解】（1）当 时， ， 当 时， 单调递减；当 时， 单调递增， 又 ，所以 在 的值域为 ． （2）证明：当 时，由（1）可知 为函数 的唯一极值点且为极小值点，满足 下面讨论 的情形： ， 当 时， ，所以 ，所以 在 单调递增，无极值点． 当 时， ，设 恒成立，所以 在 单调递增， 令 得 即 ，则有 ，即 ． 又设 ，易知 在 单调递增， ， 令 ，设 ， ， 当 时， 单调递减，所以 ，即 ， 而 ，根据函数零点存在定理可知，存在唯一的 ，使得 即 ， 当 时， 即 ，当 时， 即 ， 故 是函数 唯一的极值点且为极小值点． 综上所述，存在唯一的极小值点 ，且 ． （3）证明：由（2）可知 在 单调递减，在 单调递增，所以 的最小值为 ，又因为 即 ，所以 ，从而有 ， 若 恒成立，则 ，令 ，则 ，要证 ，即证 即 ．设 在 单调递减， 所以 ，所以 在 单调递增，所以 ，即 ．所以 成立． 4．（2025·山东潍坊·二模）已知函数 ． (1)若 在 处取得极值0，求 的值； (2)若 有两个零点． （i）当 时，曲线 在点 处的切线斜率为1，求 的值； （ii）证明： ． 【答案】(1) (2)（i） ；（ii）证明见解析 【分析】（1）求导 ，由题意得 ，求得 的值并利用单调性进行验证； （2）（i）根据导数的几何意义得 ， ，求得 的值并进行验证； （ii）利用导数求得极小值 ，再根据 有两个零点，即可得证. 【详解】（1） ，由题意 即 解得 ． 当 时， ， 单调递减， 单调递增，所以 在 处取极值． （2）（i） 时， ， ，所以 ， 又 ，所以 ，解得 或 ．若 只有一个零点，不符合题意，舍去，所以 ． （ii） ，若 ，则 在 上单调递增，不合题意， 若 ，令 ，得 ，且 单调递减， 单调递增，所以 在 处取极小值 ，因为函数有两个零点，则 ，所以 ， 即 ． 5．（2025·山东临沂·二模）已知函数 ． (1)当 时，讨论 的单调性； (2)设函数 ，已知 有两个极值点 ． ①求 的取值范围； ②求证： ． 【答案】(1)答案见解析 (2)① ；②证明过程见解析 【分析】（1）求导，根据导数零点大小对 分类讨论即可得解； （2）①根据 分离参数即可求解；②理由韦达定理将 转换为 的函数，利用导数研究函数的单调性即可得证. 【详解】（1）对函数 求导得， ， 若 ，则 ， 若 ， ，此时 在定义域 上单调递增， 若 ，则 ，当 或 时， ，当 时， ， 此时 在 上单调递增，在 上单调递减， 若 ，则 ，当 或 时， ，当 时， ， 此时 在 上单调递增，在 上单调递减， 综上所述，若 ，则 在定义域 上单调递增； 若 ，则 在 上单调递增，在 上单调递减； 若 ，则 在 上单调递增，在 上单调递减. （2）① ， 求导得 ， 因为 有两个极值点 ，所以 有两个“变号”零点， 即 有两个零点， 令 ， 是一一对应的， 从而 有两个零点， 设 ，该二次函数开口向下，对称轴是 ， 注意到 ，所以 ，即 的取值范围是 ； ②由（2）①不妨设 ，即 ， 等价于 ，由韦达定理有 ， ， EMBED Equation.DSMT4 ，令 ， ，所以 单调递增， 从而 . 6．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）已知函数 ． (1)当 时，求 在区间 上的零点个数； (2)当 ， 时，求证： ． 【答案】(1)1 (2)证明过程见解析 【分析】（1）直接求导得函数在 上单调递增，结合零点存在定理即可求解； （2）求导后令 ，继续求导得 的单调性，进一步结合零点存在定理得它的符号变化，从而可得 的单调性，由此即可得解. 【详解】（1）当 时， ，求导得 ， 当 时， 且这三者不同时为0，从而 在 上恒成立， 从而 在 上严格单调递增， 注意到 ， 从而 在区间 上的零点个数为1； （2）当 ， 时， ，求导得 ， 令 ，则 ， 由（1）知 在 上单调递增，从而 在 上单调递减， 又 在 上单调递减， 所以 在 上单调递减， 注意到 ， 从而存在唯一的 ，使得 ， 所以当 时， ， 即 在 上单调递增， 当 时， ， 即 在 上单调递减， 而 ， 所以当 时， ， 从而存在唯一的 ，使得 ， 当 时， ， 在 上单调递增， 当 时， ， 在 上单调递减， 综上所述， 在 上单调递增，在 上单调递减， ，所以当 ， 时， . 7．（2025·江苏南京·二模）已知函数 , . (1)当 时，设曲线 在 处的切线为 ，求 与曲线 的公共点个数； (2)当 时，若 ， 恒成立，求实数 的取值范围. 【答案】(1)1个 (2) 【分析】（1）先求切线方程，再联立方程，化为单变量方程，分析单调性和极值点，判断交点个数； （2）利用函数在区间内的最大值与最小值之差，考虑极值点和端点，列不等式，解出 的取值范围. 【详解】（1）当 时， ，其定义域为 .因为 ，所以 . 所以曲线 在 处的切线方程为 ，即 .联立方程 可得， .设 ， ，求导得 . 所以 在 上单调递增.又 ，所以 有且仅有一个零点，所以直线 与曲线 的公共点个数为1. （2）对函数求导得 ，令 ，可得 . 分情况讨论，①当 时，即 ，此时 在区间 上单调递增， 则 ，解得 .又 ，所以 . ②当 时，即 ， 在 上单调递减，在 上单调递增. 所以最小值为 ， ， ， 当 最大时，即 ，解得 . 此时， ，而 恒成立. 所以 ，满足题意. 当 最大时，即 ，解得 . 此时 ，即 . 设 ， ， ， 所以 在 上递减，故 ，所以 ，满足题意. 综上， . ③当 时，即 ， 在区间 上单调递减， 此时 . 若其成立，则 ，与条件 相矛盾，所以该情况下不等式不能恒成立. 综上所述，实数 的取值范围为 . 8．（2025·山西·二模）已知函数 . (1)设 是曲线 的任意一条切线，若 ，求a的值； (2)证明：存在 ，对任意 ，且 ，都有 ； (3)证明： . 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）设切点再根据点斜式结合不等式计算得出参数； （2）构造函数 ，结合函数单调性计算证明； （3）由（2）知 ，结合应用错位相减法计算证明即可. 【详解】（1）设直线 与曲线 切点横坐标为 ，因为 ， 所以切线方程为： ， 所以 ，即 对任意 都成立， 因为 ，所以 在 上递增且存在唯一正的零点 ， 又 在 上递减，所以 也是它的零点. 所以 ；解得 . （2）因为 的定义域为 ， ， ， 当 时， ， 递减；当 时， ， 递增. 取 ，设 ，代入 得， ，所以 ，设 ， ， 因为 ，所以 在 上单调递增， 所以 ，即 ，所以 ，所以 时，结论成立. （3）取 ， ， ， ，则 ， ，由（2）知， ，即 ，因为 ， ，所以 ，设 ，所以 ，两式相减得， ，所以 ，所以 . 9．（2025·广东深圳·二模）已知函数 ，函数 图象上的一点 ，按照如下的方式构造切线 ：在点 处作 的切线 ，记切线 与x轴交点的横坐标为 ． (1)写出 与 的递推关系式； (2)记 的零点为r，且 ． （i）证明：当 时， ； （ii）证明：对于任意的 ，都有 ． 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析 【分析】（1）利用导数的几何意义求出 在点 处的切线方程，令 即可求解； （2）（i）易知当 时 ，当 时，利用导数和零点的存在性定理证明 在 上单调递增，进而 ，即可证明；（ii）由（i）知当 时 ，令 ，只需证 .令 （ ），利用3阶导数研究 的单调性可得 ，结合累乘法计算即可证明. 【详解】（1） ， ， 则函数 在点 处的切线方程为 ， 令 ，得 ． （2）（i）当 时， ， 当 时， ， 单调递增， 又因为 ， 所以 有唯一的零点 ，其中 ． 令 ，则 ， 当 时， ，故 在 上单调递增． 因为 ，所以 ． 因为 在 上单调递增，所以当 时， ， 又因为 ，所以 ， 即证得：当 时， ． （ii）由（i）知：因为 ，从而 ，进而 ， 由此递推可知：当 时， ， 令 ， 下面证明：对于任意的 ，都有 成立， 即 ． 因为 ，所以只需证明 ， 即 ， 令 ，其中 ， 则 ， 因为 ， 所以 ，故 ，从而 在 上单调递增，可知 ，故 在 上单调递增，因此 ， 因为 ，故 ，即对于任意的 ，都有 成立，由此可得： ，所以对于任意的 ，都有 ． 10．（2025·河南·二模）已知函数 . (1)当 时，若不等式 恒成立，求 的取值范围； (2)若 有两个零点 ， ，且 . （i）求 的取值范围； （ii）证明： . 【答案】(1) (2)（i） ，（ii）证明见解析 【分析】（1）整理不等式并构造函数，利用导数分情况研究函数单调性，可得答案； （2）（i）利用导数分情况研究函数单调性，求得其最值，结合零点存在性定理，可得答案；（ii）明确零点的取值范围，分析整理不等式，利用函数的单调性，构造不等式与函数，利用导数求新函数的最值，可得答案. 【详解】（1）设 ，则 ，令 ，则 ，所以 在 上单调递增，从而 . ①当 ，即 时， ，则 在 上单调递增，从而 ，符合题意； ②当 ，即 时， ，则一定存在 ，使得当 时， ，则 在 上单调递减，从而 ，合题意．综上所述， 的取值范围为 ． （2）（i）由题意知， 的定义域为 ． 当 时， ，所以 在 上单调递增，从而 在 上至多有一个零点．7分当 时，令 ，得 ．当 时， 在 上单调递减；当 时， 在 上单调递增．所以 是 的极小值点，也是最小值点，即 ． ，则 ．所以当 时， 在 上单调递增；当 时， 在 上单调递减，所以 是 的极大值点，也是 的最大值点．即 ，从而 ．一方面，由（1）可知，取 ，当 时， ，即 ，即 ，易知当 时， 也成立．所以当 时， ．所以 ，即 ，从而 ．因为 ，所以 在 内有一个零点 .另一方面，由（1）知， ．又 ，所以 ，所以 在区间 内有一个零点 ．综上所述， 的取值范围是 ． （ii）证明：由 ，得 ，所以 ，即 ． 要证 成立，只需证 ，即证 ，即证 ．令 ，则 ．即证 ，即证 ．设 ，则 ，所以 在区间 上单调递增，所以 ，即 式成立． 所以不等式 成立. SHAPE \* MERGEFORMAT 不等式与函数的性质交汇 1．（2025·贵州·二模）已知 为偶函数，当 时， ，且 ，则不等式 的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据条件分类讨论，分别对 情况解不等式即可. 【详解】当 时， ，若 ，则 ；当 时， ，成立；当 时，因为 为偶函数，所以 ，即 ， ；综上： ，故选：B. 2．（2025·河南·二模）已知函数 ，则满足 的实数 的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据解析式得到 ，即 的图象关于 对称，导数研究函数的区间单调性，利用对称性、单调性解不等式求参数范围. 【详解】若 ，则 ，故 EMBED Equation.DSMT4 ， 所以 的图象关于 对称，当 ，有 ，则 ，所以 在 上单调递增，故在 上单调递减，对于 ，则 ，可得 ，所以 .故选：B 3．（2025·湖南邵阳·二模）已知函数 ，则满足 的 的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用函数的单调性和奇偶性结合导数可得. 【详解】 ，定义域为 ， ，为奇函数， 又 ，所以 在 上单调递增，所以 即 ，即 的取值范围是 .故选：C 4．（2025·江苏南京·二模）已知 ， ， ，则a，b，c的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对数函数的单调性、对数的运算性质可得 、 ，即可求解. 【详解】 ，由 ，得 ，则 ，即 ； ，所以 .故选：D 5．（2025·重庆·二模）已知函数 是定义在 上的偶函数，且 在 上为增函数，设 ， ，则 的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】易得函数 在 上为减函数，再利用指数函数和幂函数的单调性得到 求解. 【详解】因为函数 是定义在 上的偶函数，且 在 上为增函数，所以函数 在 上为减函数，又 ， ，所以 ，则 ，故选：B 6．（2025·山东聊城·二模）函数 定义域为 ，且满足 ，若 是偶函数，则不等式 的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数是偶函数列式得出函数解析式，再应用导函数判断函数单调性，最后结合单调性计算求解. 【详解】因为 ，且 是偶函数，所以 ， 所以 ， 单调递减，则不等式 化简为 ，所以 ，即 ，所以 或 .故选：B. 7．（多选）（2025·河北张家口·二模）已知函数 的定义域为R，当 时， ，且对于任意的 ，都有 ，则（   ） A． B． 为偶函数 C．当 时， D．当 时， 【答案】ACD 【分析】对A，利用赋值法，令 可得解；对B，令 ，结合奇偶函数定义判断；对C，根据当 时， ，结合 是奇函数，得当 时， ，从而得解；对D，令 ，利用单调性定义证明 在 上单调递增，结合 是奇函数，所以 在 上单调递增，得解. 【详解】对于A，令 ，得 ，解得 ，故A正确； 对于B，令 ，则 ，所以 是奇函数，故B错误；对于C，当 时， ，因为当 时， ， 是奇函数，所以当 时， ，所以 ，故C正确；对于D，设 ，令 ，则 ，因为 ，所以 ，因为 ，所以 ，因此 ，即 在 上单调递增，因为 是奇函数，所以 在 上单调递增， 当 时， ，故 ，故D正确.故选：ACD. 8．（多选）（2025·安徽黄山·二模）已知 是定义在 上的奇函数，且 图象连续不间断，函数 的导函数为 ．当 时， ，其中 为自然对数的底数，则（   ） A． 在 上有且只有1个零点 B． 在区间 上单调递增 C． D． 【答案】ACD 【分析】构造 ，根据已知及奇偶性定义、导数研究函数的性质得到 在R上单调递减，且 时 ， 时 ， ，进而判断各项的正误. 【详解】令 ，而 是定义在 上的奇函数，则 ， ，即 在R上也是奇函数，而 ，当 时， ，所以 在 上单调递减，结合奇函数性质知： 在R上单调递减，综上， 时 ， 时 ， ，故 ， 显然 时 ，故 时 ， 时 ，所以 在 上有且只有1个零点， ， ，A、C、D对；由 ，显然 在 上单调递增，且 ， 在 上单调递减，在 上单调递增，且周期为 ， ， 所以 在 上不一定单调，B错.故选：ACD 9．（2025·贵州毕节·二模）已知函数 是定义域为 的奇函数， 是 的导函数， ，当 时， ，则不等式 的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】当 时， ，可得 在 上单调递增，结合函数 是定义域为 的奇函数， ，从而得到不等式，求出答案. 【详解】令 ，则 ，由题意知当 时， ，故 在 上单调递增，因为函数 是定义域为 的奇函数，所以 ，所以 ，所以 是定义域为 的偶函数，所以 在 上单调递减，又因为 ，所以 ，所以 ，所以当 时， ，则 ；当 时， ，则 ；当 时， ，则 ；当 时， ，则 .则不等式 的解集为 .故选：D. 题型01 题型02 题型03 题型04 题型05 2 / 4 $$