专项11 四边形的综合探究【王朝霞系列丛书】2024-2025学年八年级下册数学期末试卷精选（冀教版）河北专版

期末复习第2步·攻专项 专项11 四边形的综合探究 根据河北省最新中考考情编写 满分:30分得分: 编者按:本专项聚焦于期末考试中四边形的综合探究问题,涵盖四边形中的动点问题和折叠问题 通过专项练习助力同学们突破期末重难点. 1.(10分)如图,在矩形ABCD中,AC=10cm,乙ACD=60{*,点P从点C出发沿CA方向以 2.cm/s的速度向点A匀速运动.同时点0从点A出发沿AB方向以1cm/s的速度向点B 匀速运动,当其中一个点到达终点时,另一个点也随之停止运动,设点P,0运动的时 间是ts.过点P作PE1BC于点E,连接PO,OE (1)B0=cm,PE=cm(用含t的代数式表示) (2)求证:无论:为何值,四边形A0EP总是平行四边形 (3)连接AE,AE与P0能垂直吗?如果能,求出相应的;值;如果不能,请说明理由 2.[昆明市](10分)在菱形ABCD中,/ABC三60{,P是射线BD上一动点,以AP为边向右侧 K回N物·写 作等边三角形APE,点E的位置随着点P位置的变化而变化,连接CE (1)如图1.当点E在菱形ABCD内部或边上时,BP与CE的数量关系是 ;CE与AD 的位置关系是 (2)如图2,当点E在菱形ABCD外部时,(1)中的结论是否还成立?若成立,请予以证 明;若不成立,请说明理由 (3)如图3,当点P在线段BD的延长线上时,若AB=1,BP=3,连接AC,DE,请直接写 出四边形ACDE的面积 图1 图2 图3 河北专版 数学 八年级 下册 冀教 31 3. 设题新角度综合与实践(10分)综合与实践:折纸中的数学. 已知正方形纸片ABCD的边长为a 动手操作: 第一步:如图1.先将正方形纸片ABCD对折,使AB与DC重合,把纸片展平,得到折痕EF 第二步:如图2.再将正方形纸片的右下角向上翻折,使点C与点E重合,边BC翻折至BE 的位置,得到折痕MN.设EF与MN交于点G.B'E与AB交于点HI.连接CG 问题解决: (1)在图2中,四边形EMCG的形状是 ;直线CG和HE的位置关 系是 (2)在图2中,若a=4,求DM的长. 拓广探索: (③)如图3,若P是边AD上的一点(点A.D除外),将正方形纸片的右下角向上翻折,使点 C与点P重合,边BC翻折至B'P的位置,得到折痕MN.若B'P与AB交于点H.求△AHP的 周长. A R B , H B' C -C 1C 1 图2 图1 长回N步·r 图3 32 河北专版 数学 八年级 下册 冀教∴.AM=CN,AC=MN. ∴四边形CDBF是平行四边形 :D是AB的中点，BD=AD ∴.四边形CDBF是菱形. (7分) '∠ADM=∠BDN,∴.△ADM≌△BDN.(3分) ②四边形CDBF的面积为8√3】 (9分) ..AM BN,DM=DN. 【解析】设BC与DF的交点为O .BC BN CN 2AM. .∠ACB=90°，∠CBA=60°， E是AC的中点，AE=EC.DM=AE ∴.∠A=90°-∠CBA=30°. (5分) 在Rt△ABC中，BC=4, .:MN∥AC,∴.四边形AMDE为平行四边形. ∴.AM=DE,AM∥DE. ..AB=2BC=8...AC=AB2 BC2=4V3. △ABC≌△DEF, DE/8C.DE-C. (7分 ∴AC=DF=4V3.由平移的性质，得AC∥DF ·.∠DOB=∠ACB=90°，即BC⊥DF. 2.解：(1)证明：E是AD的中点，AE=DE. :DF∥AC,.∠OAD=∠ADF. ∴Ssa=Sae+Sn=2DF:C0+ .∠AEO=∠DEF,∴.△AOE≌△DFE. (3分) (2)四边形AODF为矩形 (4分) BO-DF-BC-8/3. 理由：△AOE≌△DFE,.AO=DF :DF∥AC,.四边形AODF为平行四边形 专项11四边形的综合探究 ,四边形ABCD为菱形， 1.解：(1)(5-t)t (2分) ∴，AC⊥BD,即∠AOD=90° 【解析】：四边形ABCD是矩形，∠DCB= ∴.平行四边形AODF为矩形 (7分) 90°.，∠ACD=60°，，∠ACB=∠DCB-∠ACD= 3.解：(1)证明：，四边形ABCD为矩形， 30°.×AC=10cm,AB=2AC=5cm.点P 0A=AC,OD =BD,AC=BD...0A=OD. 从点C出发沿CA方向以2cm/s的速度向点A :∠AOD=60°，∴.△AOD为等边三角形 匀速运动，同时点Q从点A出发沿AB方向以 :AE⊥BD,.DE=0E.∴.OD=20E.(4分) 1cm/s的速度向点B匀速运动，∴.PC=2lcm, (2)四边形ABCD为矩形，∴.∠DAB=90°. AQ=tcm.∴，BQ=AB-AQ=(5-t)cm..PE⊥ △AOD为等边三角形，∴.AD=0D=23. (5分) BC,∴PE=2PC=tcm ∴.BD=20D=2×2W/3=4W3. (2)证明：四边形ABCD是矩形， 在Rt△ABD中，由勾股定理，得AB= .∴.∠ABC=90 √BD2-AD2=6. PE⊥BC,.∠PEC=90° ∴.∠ABC=∠PEC.∴.AQ∥PE (4分) 一C形A@=2(AB+AD)=2×(6+2√3)= .'AO=t cm,PE =t cm,..AO=PE. 12+4W3. (8分) :无论t为何值，四边形AQEP总是平行四边 4.解：(1)AF=BE,AF⊥BE. (1分) 形. (6分) 证明：四边形ABCD为正方形 (3)能 (7分) .DA=AB,∠FDA=∠EAB=90 ,四边形AQEP是平行四边形 ,DF=AE,∴.△ADF≌△BAE. (2分) ∴.当AQ=AP时，四边形AQEP是菱形，此时 .∴AF=BE,∠DAF=∠ABE AE⊥PQ. :∠ABE+∠BEA=90°， .AQ=t cm,AP=(10-2t)cm, ∴，∠DAF+∠BEA=90° ∴∠AGE=90°，即AF⊥BE 4分) 1=10-2x解得1=号 (10分) (2)·四边形ABCD是边长为4的正方形 2.解：(1)BP=CECE⊥AD (2分) ∴.BC=CD=4,∠BCD=90° 【解析】连接AC,延长CE交AD于点F .AE=DF,AE=1, 四边形ABCD是菱形，∠ABC=60° DF=1.∴.CF=CD-DF=3. .AB=BC=CD=AD,∠ADC=∠ABC=60°， ∴在Rt△BCF中，由勾股定理，得BF= BD平分∠ABC. √BC2+CF2=5. (7分) ∴△ABC,△ACD是等边三角形 由(1)得AF⊥BE..∠BGF=90° ∴AB=AC,∠BAC=∠CAD=60° ,H为BF的中点， :△APE是等边三角形 GH-2BF-2 (9分) .AP=AE,∠PAE=60° ∴.∠BAP+∠PAC=∠PAC+∠EAC. 5.解：(1)CF=AD. (2分) ∴LBAP=∠EAC..△BAP≌△CAE. (2)①四边形CDBF是菱形 (3分) BP=CE,LABP=∠ACE. 理由：由平移的性质，得CF∥AD,CF=AD. .BD平分LABC, (4分) ,△ACB是直角三角形，D是AB的中点 ∴.∠ACE=∠ABP= 2∠ABC=30 ∴.CD=AD=BD.∴.BD=CF (5分) .∠CFD=∠ACE+∠CAD=90°.∴.CE⊥AD 河北专版 数学 八年级 下册冀教 8 (2)成立. (3分) 11.C【解析】如图 证明：连接AC,设AD与CE交于点M. :四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°， ∴AB=BC=CD=AD,∠ADC=∠ABC=60°， BD平分LABC..△ABC,△ACD是等边三角形 ∴.AB=AC,∠BAC=∠CAD=60°. B :△APE是等边三角形，.AP=AE,∠PAE=60°. 由三角形的外角性质可知，∠1=∠AMN+ ∴.∠BAC+∠PAC=∠PAE+∠PAC. A,∠2=∠ANM+∠A.∴.∠1+∠2=∠AMN .∠BAP=∠CAE.,△BAP≌△CAE. +∠A+∠ANM+∠A=180°+∠A.∴.y=180 ∴BP=CE,∠ABP=∠ACE. (6分) +x,C选项符合题意.故选C :BD平分∠ABC 12.C【解析】M,N分别是PQ,AP的中点， ∠ACE=∠ABP=2ABC=30. MN是△PAQ的中位线..MN=AQ.当 ∴.∠CMD=∠ACE+∠CAD=90°. 点Q的位置固定时，AQ长一定，.MW的长 ∴CE⊥AD (8分) 度不随点P位置的变化而变化.①错误. (3)S同边形ACDE=2 (10分) 当点Q和点C重合时，AQ的长度最大， .AD=8,DC=6,AD⊥DC, 【解析】由(2)知，ADLCE,CE=BP .SwAD-CE-AB-BP. ∴AQ=AD2+DC=10 AB=1,BP=3, 此时MN=2AQ=5. .当点Q的位置变化时，MN的长度的最大 S边形ACE=2 ×1×3= 3 值为5.②正确 3.解：(1)菱形CGLHE (2分) 当点Q与点D重合时，AQ的长度最小 (2)设DM=m,则CM=4-m.由折叠的性质， ,AD=8, 得CM=EM=4-m. (4分) :E为AD的中点，∴，DE=2.在Rt△DEM 此时MN=方×8=4 中，DE+DMP=EM,∴.22+m2=(4-m)2.解 :当点Q的位置变化时，MW的长度的最小 得m-号：DM 3 值为4.③正确 (6分) ,正确的说法是②③.故选C. (3)过点C作CK⊥HP于点K,连接CH,CP, 二、准确填空 如图 13.8014.x=215.1 16.(1)10(2)(2,3) 【解析】(1)点D(0,-1),C(3,0),.0D= 1,0C=3. :∠C0D=90°， .CD=√0C2+0D2=32+12=√10. 由折叠的性质，得∠HPM=∠BCD=90°，PM= ,四边形ABCD为正方形， CM.∴.∠MPC=∠MCP. .AB=CD=√10 CK⊥HP,.∠CKH=∠CKP=∠HPM=90. (2)过点B作BE⊥x轴于点E,如图所示 ∴.CK∥PM..∠MPC=∠KCP. ∴.∠KCP=∠MCP..∠D=∠CKP,CP=CP, .△CDP≌△CKP.∴DP=KP,CD=CK. (8分) :四边形ABCD是正方形，，∠B=90°， BC=CD.∴.BC=CK. :∠B=LCKH=90°，CH=CH, .Rt△CBH≌Rt△CKH.∴.BH=KH. 四边形ABCD为正方形，，∠BCD=90°， .△AHP的周长为AH+HP+AP=AH+KH+ BC=CD. KP+AP=AH+BH+DP+AP=AB+AD=2a. ∴.∠BCE+∠DC0=90° (10分) ,∠CEB=90°， ∴，∠BCE+∠CBE=90°..∠DCO=∠CBE. 期末复习第3步·练真题 '∠COD=∠CEB=90°，∴.△BCE≌△CDO. 试卷1石家庄市新华区 ..BE=CO=3,CE=OD=1. 一、精心选择 .0E=2..点B的坐标是(2,3) 1.C2.A3.A4.C5.C6.B7.D 三、细心解答 8.A9.C10.B 17.解：(1)1.25 (2分) 河北专版 数学 八年级下册冀救